Как найти координату вершины d трапеции abcd

Решение: рассмотрим рисунок.

Из рисунка видно, что координату точки D можно найти как точку пересечения двух прямых. Выберем эту пару прямых. 
1. Прямая CD — для этой прямой известна только координата одной точки — C.
2. Прямая AD — для этой прямой известна координата одной точки A и направление — прямая AD параллельна прямой BC  (AD||BC), а для прямой BC — известны координаты двух точек B и C, т.е можно построить прямую по двум точкам. 
3. Прямая BD — для этой прямой известна координата одной точки B и направление — прямая BD перпендикулярна прямой AC  (BD perp AC), а для прямой AC — известны координаты двух точек A и C, т.е можно построить прямую по двум точкам. 

Из приведенного выше анализа приходим к выводу, что координаты точки D будем искать как точку пересечение двух прямых AD и BD.

1. Найдем уравнение прямой AD.
Даны координаты вершины A(-3;-2) и сказано, что прямая (AD||BC). 
Уравнение прямой AD будем искать, используя уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y — y_0 = k(x — x_0) quad (1)$$ Угловые коэффициент прямых (k_{AD} = k_{BC}), как угловые коэффициенты двух параллельных прямых.
Найдем уравнение прямой BC. Известны координаты двух точек этой прямой В(4;-1), С(1;3), поэтому уравнения прямой BC будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки ( frac{x-x_1}{x_2-x_1} = frac{y-y_1}{y_2-y_1} quad (2) ) Подставляем координаты вершин: $$BC: quad frac{x-4}{1-4} = frac{y+1}{3+1} => y = frac{13}{3} — frac{4}{3}x$$ Из уравнения прямой получаем угловой коэффициент (k_{BC} = -frac{4}{3} => k_{AD} = -frac{4}{3})
Найдем уравнение прямой AD, подставим координаты вершину A(-3;-2) и угловой коэффициент (k_{AD} = -frac{4}{3}) в уравнение (1) $$AD: quad y +2 = -frac{4}{3}(x — 3) => y = -6  — frac{4}{3}x$$
2. Найдем уравнение прямой BD.
Даны координаты вершины В(4;-1) и сказано, что прямая (BD perp AC). 
Уравнение прямой BD будем искать, используя уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y — y_0 = k(x — x_0) quad (1)$$ Угловой коэффициент прямых (k_{AC} =-frac{1}{k_{BD}}), как угловые коэффициенты двух перпендикулярных прямых.
Найдем уравнение прямой AC. Известны координаты двух точек этой прямой A(-3;-2), С(1;3), поэтому уравнения прямой будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки ( frac{x-x_1}{x_2-x_1} = frac{y-y_1}{y_2-y_1} ) Подставляем координаты вершин: $$AC: quad frac{x+3}{1+3} = frac{y+2}{3+2} => y = frac{7}{4} + frac{5}{4}x$$ Из уравнения прямой получаем угловой коэффициент (k_{AC} = frac{5}{4} => k_{BD} = -frac{4}{5})
Найдем уравнение прямой BD, подставим координаты вершины B(4;-1) и угловой коэффициент (k_{BD} = -frac{4}{5}) в уравнение (1) $$BD: quad y +1 = -frac{4}{5}(x — 4) => y = frac{11}{5}  — frac{4}{5}x$$
 3. Найдем точку пересечения двух прямых AD и BD.
Составляем систему уравнений $$begin{cases}y = -6  — frac{4}{3}x\ y= frac{11}{5}  — frac{4}{5}xend{cases} => begin{cases}3y = -18  — 4x\ 5y= 11 — 4xend{cases} =>$$$$  begin{cases}3y = -18  — 4x\ 5y= 11 — 4xend{cases} => begin{cases} y = 14.5\ x=-15.375 end{cases}$$
Ответ: координаты искомой вершины (D(-15.375;14.5))