Координаты точки объекта можно вычислить
по формулам (35) – (39), если известны
элементы ориентирования снимков и
измерены координаты точек стереопары.
В этом случае решается прямая засечка.
Иногда возникает необходимость решения
обратной засечки по нескольким опорным
точкам, изобразившихся на снимке,
определяются координаты точки
фотографирования и другие элементы
ориентирования.
Исходными данными являются: 1) тип
измерительного прибора, 2) количество
контрольных точек левого снимка, 3)
количество контрольных точек правого
снимка, 4) количество контрольных точек
общих для обрабатываемой пары снимков,
5) точность вычислений элементов
ориентирования левого и правого снимков
в итерационном процессе, 6) максимальное
количество итераций при вычислениях
элементов ориентирования снимков, 7)
приближенные исходные данные левого и
правого снимков
.
Пусть известны координаты X,Y,Zточки А
в системеSXYZи элементы
ориентирования снимка Р. Найдем координатыx иzизображенияаточки А в системеSx‘y‘z‘.
Если координаты XS,
YS,
ZSцентра проекции не равны нулю, то
(51)
Измеряют
координаты изображений опорных и
определяемых точек на снимках и вычисляют
эти координаты, используя приближенные
значения неизвестных. Затем для каждой
точки сети составляют два уравнения
(52)
где а, b,
…, lиа’, b’, …, l‘
— частные производные функций (50) по
переменнымXS,YS,…,ZS,
δXS,
δYS,…,
δZS–
поправки к приближенным значениям
элементов ориентирования снимков и
координат определяемой точки.
Уравнение
(52) решают по методу наименьших квадратов
путем последовательных приближений.
Уравнение
(52) запишем в матричном виде:
AX + L = V,
(54)
где А — матрица
коэффициентов уравнений поправок
Х — вектор
неизвестных
L
— вектор свободных членов
Составляют
систему нормальных уравнений пятого
порядка
ВХ + С = 0,
(55)
здесь
В = A’PA
C = A’PL,
где A’
— транспонированная матрица
Р — матрица
весов
Уравнение (52) решают под
условием
=min(56)
где рир‘ –
веса измеренных величинxи z.
Осн.:1[61-64],
Контрольные вопросы:
-
Приближенные
исходные данные левого и правого
снимков. -
Уравнение поправок
для каждой точки. -
Уравнение поправок
в матричном виде -
Система нормальных
уравнений пятого порядка. -
Условие решения
уравнений.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Содержание
- Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения
- Первый способ
- Второй способ
- Третий способ
- Готовые работы на аналогичную тему
- Координаты точки пересечения графиков функций
- Как найти?
- Случай двух линейных функций
- Случай двух нелинейных функций
- Как найти точки пересечения графиков функций
- Точки пересечения графика функции с осями координат
- Точки пересечения графиков функций
- Как найти координаты, примеры решения
- Приравнивание функций друг к другу и нахождение корней
- Путем составления системы уравнений
- Нахождение через графическое построений функций
Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения
Вы будете перенаправлены на Автор24
В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.
Первый способ
Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.
Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:
Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:
$y=-frac<1> <2>– 2 = — 2frac12$.
Точка пересечения будет $(-frac<1><2>;- 2frac12)$.
Второй способ
Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.
Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.
Решение:
Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:
Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:
Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:
$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 — frac<1> <2>= frac<1><2>$.
Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-frac<1><2>; frac<1><2>)$.
Третий способ
Готовые работы на аналогичную тему
Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.
Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.
Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.
Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.
Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение:
Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.
Источник
Координаты точки пересечения графиков функций
Как найти?
- Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций нужно приравнять обе функции друг к другу, перенести в левую часть все члена, содержащие $ x $, а в правую остальные и найти корни, полученного уравнения.
- Второй способ заключается в том, что нужно составить систему уравнений и решить её путём подстановки одной функции в другую
- Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.
Случай двух линейных функций
Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.
Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ — это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.
Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = 1 $. Замечаем, что $ k_1 neq k_2 $, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения $ f(x)=g(x) $:
Переносим слагаемые с $ x $ в левую часть, а остальные в правую:
Получили $ x=8 $ абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим $ x = 8 $ в любое из уравнений хоть в $ f(x) $, либо в $ g(x) $:
$$ f(8) = 2cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11 $$
Итак, $ M (8;11) $ — является точкой пересечения графиков двух линейных функций.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Пример 1 |
Пусть даны $ f(x) = 2x-5 $ и $ g(x)=x+3 $. Найти координаты точки пересечения графиков функций. |
Решение |
Ответ |
$$ M (8;11) $$ |
Пример 2 |
Дано $ f(x)=2x-1 $ и $ g(x) = 2x-4 $. Найти точки пересечения графиков функций. |
Решение |
Как найти? Опять же обращаем внимание на то, что угловые коэффициенты равны $ k_1 = k_2 = 2 $. Это означает, что линейные функции параллельны между собой, поэтому у них нет точек пересечения! |
Ответы |
Графики функций параллельны, нет точек пересечения. |
Случай двух нелинейных функций
Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни:
Разносим по разным сторонам уравнения члены с $ x $ и без него:
Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё нехватает ординаты $ y $. Подставляем $ x = 0 $ в любое из двух уравнений условия задачи. Например:
$$ f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1 $$
$ M (0;1) $ — точка пересечения графиков функций
Источник
Как найти точки пересечения графиков функций
Здравствуйте!
Как найти точки пересечения графиков функций у=2х-1 и у=5-х?
Спасибо!
Задание.
Найти точки пересечения графиков функций у=2х-1 и у=5-х.
Решение.
Точки пересечения графиков функций можно найти двумя способами.
1-й способ.
Построить оба графика на одной координатной плоскости и определить координаты их точки пересечения. Для таких простых функций, как заданы в условии, графики строятся также просто. К тому же можно воспользоваться специальными программами для построения графиков или онлайн-сервисами.
Как видно из полученного графика, обе функции пересекаются в точке с координатами (2; 3).
Проверим с помощью второго способа, правильно ли мы определили ее координаты.
2-й способ.
Можно точки пересечения находить без построения графиков – аналитически. Для этого приравнивают правые части обоих уравнений и решают получившееся уравнение.
Итак, запишем уравнение из правых частей заданных функций:
2х – 1 = 5 – х.
Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены – в правую:
2х + х = 5 + 1
3х = 6
х = 2.
Из получившегося уравнения нашли первую координату х точки пересечения графиков. Найдем вторую координату у этой точки. Для этого в любое из уравнений подставим полученное значение х:
у = 2х – 1
у = 2 * 2 – 1
у = 4 – 1
у = 3.
Итак, точка пересечения графиков функций у = 2х – 1 и у = 5 – х имеет координаты (2; 3).
Источник
Точки пересечения графика функции с осями координат
Точки пересечения графиков функций
В алгебре и начале анализа можно встретить множество задач на поиск точек пересечения графиков функций с помощью их построения или другими методами. Благодаря определенному алгоритму действий, найти ответ достаточно просто. В большинстве случаев решение заключается в определении корней различного вида уравнений.
График функции (y = f(x)) является множеством точек ((x; y)) , координаты которых связаны соотношением (y = f(x).)
Равенство (y = f(x)) называют уравнением данного графика. Таким образом, график функции представляет собой множество точек (x; y), где x — является аргументом, а y — определяется как значение функции, соответствующее данному аргументу.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В том случае, когда графики пересекаются в какой-то точке, можно сделать вывод о существовании общего решения системы уравнений. Определить координаты точки можно с помощью графического или аналитического метода. В первом случае требуется построить график уравнения с переменной. Аналитический метод поиска координат точек, в которых графики функций пересекаются, подразумевает решение уравнения, а найденные корни и являются искомыми точками.
Как найти координаты, примеры решения
Существует несколько способов решения подобных задач:
- Поиск точек пересечения графиков функций заключается в приравнивании обеих функций друг к другу. При этом все члены с х переносят в левую сторону, а оставшиеся – в правую. Затем остается найти корни уравнения, которое получилось после преобразований.
- Второй метод состоит в записи системы уравнения для ее последующего решения с помощью подстановки одной функции в другую.
- Третий способ подразумевает построение графиков функций, чтобы определить точки их пересечения визуально.
В качестве примера можно рассмотреть две линейные функции:
Данные функции являются прямыми. Их можно графически изобразить, если принять какие-либо два значения (x_1) и (x_2) и найти (f(x_1)) и ((x_2)) . Далее действия необходимо повторить с функцией (g(x)) . Затем достаточно легко определить визуально координаты точки пересечения рассматриваемых функций.
Важно отметить, что для линейных функций характерна лишь одна точка пересечения только в том случае, когда (k_1 neq k_2) . В противном случае (k_1=k_2) , а функции будут параллельными друг другу, в связи с тем, что k является коэффициентом угла наклона. При ( k_1 neq k_2) и (m_1=m_2) точка пересечения будет соответствовать (M(0;m)) . Данная закономерность упрощает решение многих подобных задач.
Имеются функции: (f(x) = 2x-5)
Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики рассматриваемых функций.
В первую очередь стоит отметить, что функции являются линейными. Важно обратить внимание на коэффициент угла наклона рассматриваемых функций:
По этой причине имеется лишь одна точка пересечения графиков функций. Определить ее можно путем решения уравнения:
Необходимо перенести члены с x в левую часть, а остальные — в правую:
В результате удалось найти x=8, что соответствует абсциссе точки пересечения графиков. Требуется определить ординату y с помощью подстановки x = 8 в любое из уравнений – в (f(x)) , либо в (g(x)) :
(f(8) = 2cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11)
Таким образом, M (8;11) – представляет собой точку, в которой пересекаются графики пары линейных функций.
Записаны две функции: (f(x)=2x-1)
Необходимо определить точки, в которых графики рассматриваемых функций пересекаются.
Таким образом, линейные функции параллельны между собой, что объясняет отсутствие точек пересечения их графиков.
Ответ: графики функций параллельны, точки пересечения отсутствуют.
Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики следующих функций: (f(x)=x^2-2x+1)
В данном случае функции являются нелинейными. Поэтому алгоритм решения задачи будет несколько отличаться от предыдущих примеров. В первую очередь следует приравнять уравнения:
Далее необходимо разнести в разные стороны уравнения члены с x и без него:
Таким образом, будет определена абсцисса искомой точки. Затем необходимо найти ординату у. Для этого нужно подставить (x = 0) в какое-либо из двух начальных уравнений. К примеру:
(f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1)
M (0;1) является точкой, в которой пересекаются графики функций.
Приравнивание функций друг к другу и нахождение корней
Выяснить, имеют ли точки пересечения графики функций, можно путем сравнения соответствующих тождеств и решения уравнения. Однако при этом допускается получение различных равенств с неизвестными. Тогда целесообразно воспользоваться специальными методиками.
Когда уравнение относится к первой степени или является линейным, решение получить достаточно просто. Метод заключается в переносе переменных величин в одну часть уравнения, а известных – в другую. Алгоритм действий:
- раскрытие скобок, приведение подобных коэффициентов;
- перенос членов с неизвестными в одну сторону, а с известными – в другую;
- математические преобразования;
- определение корня.
Квадратные уравнения решают с помощью одного из способов:
- разложение на множители;
- выделение полного квадрата;
- поиск дискриминанта;
- теорема Виета.
В первом случае представляется возможным понизить степень при неизвестной величине. Второй метод заключается в выделении квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Каждая из этих методик реализуема при наличии знаний соответствующих тождеств, в том числе правил разложения на множители.
Третий способ состоит в поиске корней через дискриминант (Д), который является дополнительным параметром, позволяющим сразу решить задачу. Дискриминант определяется с помощью формулы:
В том случае, когда Д>0, переменная может иметь пару значений, которые превращают равенство в справедливое тождество. Если Д=0, то корень является единственным. Когда Д Примечание
Распространенной ошибкой является пренебрежение проверкой результатов решения. Некорректные действия могут привести к образованию ложных корней.
Существует несколько методик решения тождеств кубического и биквадратного типов:
- понижение степени, то есть разложение на множители;
- замена переменной.
Первый вариант решения подразумевает выполнение преобразований для последующего применения одной из формул сокращенного умножения. Такой способ применяют нечасто. Второй способ состоит в том, что при решении необходимо ввести переменную с более низкой степенью, которая упрощает выражение. Порядок действий при этом следующий:
- выполнение математических преобразований;
- выражение переменной через другую;
- решение квадратного или линейного уравнения;
- подстановка промежуточных корней, которые получилось найти на третьем шаге, во второй;
- вычисление искомых корней;
- проверка;
- исключение ложных решений;
- запись ответа.
Путем составления системы уравнений
Данный метод определения точек пересечения графиков функций предполагает запись системы уравнения. К примеру:
Решение системы уравнений представляет собой пару чисел (х, у), являющуюся одновременно решением для первого и второго уравнения системы. Решить систему уравнений – значит, отыскать все ее решения, либо установить их отсутствие.
Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере:
Решение будет иметь следующий вид:
Данные уравнения являются линейными, поэтому график каждого из них представляет собой прямую. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и является решением системы уравнений.
Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:
Если подставить данные числа в любое из уравнений, то получится справедливое равенство. Таким образом, имеется единственное решение линейной системы. Можно записать отчет: (-1;0).
В процессе решения линейной системы можно столкнуться с разными ситуациями:
- система обладает единственным решением, прямые пересекаются;
- решения системы отсутствуют. прямые параллельны;
- система обладает бесчисленным множеством решений, прямые совпадают.
При рассмотрении частного случая системы p(x; y) и q(x; y) являются линейными выражениями от x и y.
В задачах нередко требуется решить нелинейную систему уравнений. К примеру, необходимо решить следующую систему:
Решение имеет следующий вид:
График первого уравнения будет иметь вид прямой, а второго – являться окружностью. Можно построить первый график по точкам:
Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.
Графики пересекаются в точке А(0; 1) и в точке В(-1; 0).
Можно решить систему графическим способом:
В первую очередь необходимо построить график первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения является параболой, которая смещена относительно начала координат на 2 вверх, то есть ее вершина – точка (0; 2).
Графики обладают одной общей точкой А(0; 2). Данная точка является решением системы. Если подставить два числа в уравнение, можно проверить корректность ответа и записать его. Ответ: (0; 2).
В качестве еще одного примера можно решить следующую систему:
Первым шагом является построение графика первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 1.
Далее необходимо построить график функции:
График будет являться ломанной:
Далее следует сместить ее на 1 вниз по оси oy. В результате получится график функции:
При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация:
Таким образом, получились три точки пересечения: А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1)
Нахождение через графическое построений функций
Любой определенный график задают с помощью соответствующей функции. Найти точки, в которых пересекаются графики, можно путем решения уравнения, имеющего вид:
Решение данного уравнения будет являться искомой точкой.
Построить график можно с помощью бумаги и ручки. В процессе необходимо обратить внимание на то, что количество точек пересечения пары графиков определяется видом функции. Линейные функции обладают лишь одной точкой пересечения, линейная и квадратная – двумя, квадратные – двумя, либо четырьмя.
В общем случае двух линейных функций можно предположить, что:
Для поиска точки пересечения графиков необходимо решить уравнение:
(y1=y2 или k1x+b1=k2x+b2)
После преобразований получится, что:
Далее нужно выразить x:
При известной координате точки по оси абсцисс следует определить координату по оси ординат. Таким образом, можно найти координаты точки пересечения графиков:
График функции y = f (х) представляет собой множество точек плоскости, координаты (х, у) которых соответствуют выражению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика определяют несколько значений довода х и для них рассчитывают соответствующие значения функции y=f(x). Для больше точного и наглядного построения графика следует обнаружить его точки пересечения с осями координат.
С целью определить точку пересечения графика функции с осью y, нужно определить значение функции при х=0, то есть обнаружить f(0). В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции, изображенной на рисунке:
В данном случае при х=0 ((y=a*0+b)) функция равна b. Таким образом, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b). Когда пересекается ось абсцисс (ось Х) функция равна 0, то есть (y=f(x)=0) . Для того чтобы определить х, следует решить уравнение (f(x)=0) . В случае линейной функции получаем уравнение (ax+b=0) , откуда и находим (x=-b/a) . В результате можно сделать вывод, что ось Х пересекается в точке ((-b/a,0).)
При наличии квадратичной зависимости y от х, уравнение (f(x)=0) обладает двумя корнями. Таким образом, ось абсцисс пересекается два раза. В случае периодической зависимости y от х, например, (y=sin(x)) , график функции обладает бесконечным количеством точек пересечения с осью Х. Проверить корректность расчета координат точек, в которых пересекаются графики функций, можно с помощью подстановки найденных значений х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.
Источник
Adblock
detector
Пример 3 |
Найти координаты точки пересечения графиков функций: $ f(x)=x^2-2x+1 $ и $ g(x)=x^2+1 $ |
Решение |
На чтение 6 мин Просмотров 1.8к. Опубликовано 03.12.2020
При наличии прямоугольных координат X и Y вершин n -угольника его площадь можно вычислить по формулам аналитической геометрии; выведем одну из таких формул.
Пусть в треугольнике ABC координаты вершин равны X1 , Y1 (A), X2, Y2 (B) и X3, Y3 (C) – рис.6.2.
Рис.6.2
Из вершин треугольника опустим перпендикуляры на оси координат и обозначим их длину, как показано на рис.6.2.
Площадь треугольника P будет равна сумме площадей двух трапеций I(aABc) и II(bBCc) за вычетом площади трапеции III(aACc)
P=PI+PII-PIII. (6.9)
Выразим площадь каждой трапеции через ее основания и высоту:
PI=0.5(X1+X2)*(Y1-Y2);
PI=0.5(X2+X3)*(Y3-Y2); (6.10)
PI=0.5(X3+X1)*(Y1-Y3);
Чтобы избавиться от множителя 0.5, будем вычислять удвоенную площадь треугольника. Выполним умножение, приведем подобные члены, вынесем общие множители за скобки и получим:
2*P=X1*(Y2-Y3)+X2*(Y3-Y1)+X3*(Y1-Y2)
или в общем виде:
(6.11)
В этой формуле индекс “i” показывает номер вершины треугольника; индекс “i” означает, что нужно брать следующую или предыдущую вершину (при обходе фигуры по часовой стрелке).
Если при группировке членов выносить за скобки Y1, то получится формула:
(6.12)
Вычисления по обоим формулам дают одинаковый результат, поэтому на практике можно пользоваться любой из них.
Хотя формулы (6.11) и (6.12) выведены для треугольника, нетрудно показать, что они пригодны для вычисления площади любого n – угольника.
Оценка точности площади. В большинстве случаев участки на местности имеют форму неправильного n – угольника, причем количество вершин многоугольника n может быть от 30 до 20 и более. Площадь таких участков вычисляют аналитическим способом по прямоугольным координатам вершин, которые, в свою очередь, определяют в результате обработки геодезических измерений. При этом для каждой вершины многоугольника получают координаты и ошибку ее положения относительно исходных пунктов, задающих систему координат на местности.
Выведем формулу для оценки площади многоугольника по известным внутренним углам, длинам его сторон и ошибкам положения mti его вершин.
На рис.6.3 изображен фрагмент многоугольника с вершинами i-1, i, i+1, i+2 и сторонами li-1,li,li+1.
Проведем на вершинах i и i+1 окружности радиусами mti и mt(i+1) и построим биссектрисы углов βi и βi+1. Затем восстановим перпендикуляры к стороне li и найдем проекции отрезков mti и mt(i+1) на эти перпендикуляры:
(6.13)
(6.14)
Рис.6.3
Построим трапецию, основаниями которой являются отрезки mi и mi+1, а высотой – сторона li и найдем площадь этой трапеции ΔPi. Как известно, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, а поскольку основаниями трапеции являются проекции ср.кв. ошибок, то вместо полусуммы нужно взять квадратичную полусумму оснований; таким образом,
(6.15)
где
c = Sin( β/2 ) .
Площадь трапеции, построенной на одной стороне многоугольника, является частью ошибки площади всего многоугольника; выполнив квадратичное суммирование площадей ΔPi по всем сторонам, получим:
или
(6.16)
Из формулы (6.16) можно получить формулу средней квадратической ошибки площади правильного многоугольника с одинаковой ошибкой положения mt всех его вершин:
mP=an * mt * L, (6.17)
где: L – периметр многоугольника,
an – коэффициент, зависящий от n – количества вершин;
его значения:
n 3 4 5 6 7 8 9 10
an 0.204 0.250 0.256 0.250 0.243 0.231 0.222 0.212
n 11 12 15 20 24 30 60 120
an 0.205 0.197 0.179 0.156 0.143 0.128 0.091 0.065
Формула (6.17) является базовой и при оценке площади неправильных n-угольников, для которых ошибка площади mp оказывается лишь на несколько процентов больше, чем для правильного n – угольника. Так, если площадь неправильного n – угольника при том же периметре в два раза меньше площади правильного n-угольника, то ошибка его площади увеличивается лишь на 20 %.
При неодинаковых ошибках положения вершин многоугольника в формуле (6.17) достаточно вместо mt поставить mt(ср).
Примером применения формулы (6.17) является оценка площади участков, координаты вершин которых получены с топографических планов. Например, для плана масштаба 1:2000 ошибку положения точек можно принять равной mt = 0.50 мм * M = 1 м (при условии, что основа плана достаточно жесткая и ее деформацией можно пренебречь). При площади участка 0.12 га и количестве вершин n=4 (5 или 6) средняя квадратическая ошибка его площади при правильной форме (периметр L = 140 м) будет равна 35 кв.м, а при неправильной форме (периметр L>140 м) она может достигать 40 кв.м.
Другим примером применения формулы (6.17) может служить оценка площади многоугольника, координаты вершин которого получены из полярной засечки, выполненной с одного пункта-станции.
При использовании точных приборов (электронных тахеометров или систем GPS) доля ошибок измерений в ошибке положения точек значительно меньше доли ошибки их фиксации mф на местности. Приняв mti= mф, можно использовать формулу (6.17) для любых способов получения координат вершин многоугольника.
Площадь правильного n-угольника можно выразить через его периметр:
(6.18)
И из формулы (6.17) получить формулу относительной ошибки площади:
(6.19)
где
(6.20)
Например:
для треугольника (n=3) mp/P = 4.24* mt/L,
для четырехугольника (n=4) mp/P = 4.00* mt/L,
для пятиугольника (n=5) mp/P = 3.72 mt/L,
для шестиугольника (n=6) mp/P = 3.46 mt/L.
Таким образом, для приближенной оценки площади 3-4-5-6- угольника в аналитическом способе можно применять формулу:
mp/P=4* mt/L; (6.21)
ошибка этой формулы может достигать 15% – 20% для участков, форма которых заметно отличается от формы правильного n -угольника.