Как найти координаты асимптоты гиперболы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Математическая гипербола.

Функция заданная формулой (y=frac{k}{x}), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac{k}{x}) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

1. Ветви гиперболы. Если k>o, то ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти. Если k<0, то ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти.
гипербола, где k>0 ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти

гипербола, где k<0 ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти

2.Асимптоты гиперболы. Чтобы найти асимптоты гиперболы необходимо,иногда, уравнение гиперболы упростить. Рассмотрим на примере:
Пример №1:
$$y=frac{1}{x}$$
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х не равен 0.
$$yneqcolor{red} {frac{1}{x}}+0$$
(frac{1}{x}) дробь отбрасываем, для того чтобы найти вторую асимптоту.
Остается простое число
y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=frac{1}{x+2}-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

$$y=color{red} {frac{1}{x+2}}-1$$

Дробь (color{red} {frac{1}{x+2}}) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Пример №3:

$$begin{align*}
&y=frac{2+x}{1+x} \\
&y=frac{color{red} {1+1}+x}{1+x} \\
&y=frac{1}{1+x}+frac{1+x}{1+x}\\
&y=frac{1}{1+x}+1\\
&y=frac{1}{color{red} {1+x}}+1
end{align*}$$

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

$$y=color{red}{frac{1}{1+x}}+1$$

(color{red}{frac{1}{1+x}}) Дробь убираем.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

$$y=frac{1}{x}$$

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

$$y=frac{1}{x}$$

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

$$f(-x)=frac{1}{-x}=-frac{1}{x}=-f(x)$$

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

$$y=frac{-1}{x-1}-1$$

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

$$y=color{red} {frac{-1}{x-1}}-1$$

Дробь (color{red} {frac{-1}{x-1}}) удаляем.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k<0 функция возрастающая.

8. Для более точного построения взять несколько дополнительных точек. Пример смотреть в пункте №6.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
реклама

Источник

Загрузить PDF

Асимптоты гиперболы – это прямые, проходящие через центр гиперболы. Гипербола приближается к асимптотам, но никогда не пересекает (и даже не касается) их. Найти уравнения асимптот можно двумя способами, которые помогут понять саму концепцию асимптот.

1
Запишите каноническое уравнение гиперболы. Рассмотрим простейший пример – гиперболу, центр которой расположен в начале координат. В этом случае каноническое уравнение гиперболы имеет вид: ^x²/_a² — ^y²/_b² = 1 (когда ветви гиперболы направлены вправо или влево) или ^y²/_b² — ^x²/_a² = 1 (когда ветви гиперболы направлены вверх или вниз).^[1] Имейте в виду, что в этом уравнении «х» и «у» – это переменные, а «а» и «b» – постоянные (то есть числа).
- Пример 1: ^x²/₉ — ^y²/₁₆ = 1
- Некоторые преподаватели и авторы учебников меняют местами постоянные «а» и «b».^[2] Поэтому изучите данное вам уравнение, чтобы понять, что к чему. Не стоит просто запоминать уравнение – в этом случае вы ничего не поймете, если переменные и/или постоянные будут обозначены другими символами.
2
Приравняйте каноническое уравнение к нулю (а не к единице). Новое уравнение описывает обе асимптоты, но чтобы получить уравнение каждой асимптоты, придется приложить некоторые усилия.^[3]
- Пример 1: ^x²/₉ — ^y²/₁₆ = 0
3
Разложите на множители новое уравнение. Разложите на множители левую часть уравнения. Вспомните, как раскладывать на множители квадратное уравнение, и читайте дальше.
- Конечное уравнение (то есть уравнение, разложенное на множители) будет иметь вид (__ ± __)(__ ± __) = 0.
- При перемножении первых членов (внутри каждой пары скобок) должен получиться член ^x²/₉, поэтому из этого члена извлеките квадратный корень, и результат запишите вместо первого пробела внутри каждой пары скобок:(^x/₃ ± __)(^x/₃ ± __) = 0
- Аналогично извлеките квадратный корень из члена ^y²/₁₆, и результат запишите вместо второго пробела внутри каждой пары скобок: (^x/₃ ± ^y/₄)(^x/₃ ± ^y/₄) = 0
- Вы нашли все члены уравнения, поэтому внутри одной пары скобок между членами напишите знак плюс, а внутри второй – знак минус, чтобы при перемножении соответствующие члены сокращались: (^x/₃ + ^y/₄)(^x/₃ — ^y/₄) = 0
4
Приравняйте каждый двучлен (то есть выражение внутри каждой пары скобок) к нулю и вычислите «y». Так вы найдете два уравнения, которые описывают каждую асимптоту.
- Пример 1: Так как (^x/₃ + ^y/₄)(^x/₃ — ^y/₄) = 0, то ^x/₃ + ^y/₄ = 0 и ^x/₃ — ^y/₄ = 0
- Перепишите уравнение следующим образом: ^x/₃ + ^y/₄ = 0 → ^y/₄ = — ^x/₃ → y = — ^4x/₃
- Перепишите уравнение следующим образом: ^x/₃ — ^y/₄ = 0 → — ^y/₄ = — ^x/₃ → y = ^4x/₃
5
Выполните описанные действия с гиперболой, уравнение которой отличается от канонического. В предыдущем шаге вы нашли уравнения асимптот гиперболы с центром в начале координат. Если центр гиперболы находится в точке с координатами (h,k), то она описывается следующим уравнением: ^{(x — h)²}/_a² — ^{(y — k)²}/_b² = 1 или ^{(y — k)²}/_b² — ^{(x — h)²}/_a² = 1. Это уравнение также можно разложить на множители. Но в этом случае не трогайте двучлены (x — h) и (y — k) до тех пор, пока не придете к последнему шагу.
- Пример 2: ^{(x — 3)²}/₄ — ^{(y + 1)²}/₂₅ = 1
- Приравняйте это уравнение к 0 и разложите его на множители:
- (^{(x — 3)}/₂ + ^{(y + 1)}/₅)(^{(x — 3)}/₂ — ^{(y + 1)}/₅) = 0
- Приравняйте каждый двучлен (то есть выражение внутри каждой пары скобок) к нулю и вычислите «y», чтобы найти уравнения асимптот:
- ^{(x — 3)}/₂ + ^{(y + 1)}/₅ = 0 → y = —⁵/₂x + ¹³/₂
- (^{(x — 3)}/₂ — ^{(y + 1)}/₅) = 0 → y = ⁵/₂x — ¹⁷/₂
Реклама

1
Обособьте член y² на левой стороне уравнения гиперболы. Применяйте этот метод в том случае, когда уравнение гиперболы дано в квадратичной форме. Даже если дано каноническое уравнение гиперболы, этот метод позволит лучше понять концепцию асимптот. Обособьте y² или (y — k)² на левой стороне уравнения.
- Пример 3: ^{(y + 2)²}/₁₆ — ^{(x + 3)²}/₄ = 1
- К обеим частям уравнения прибавьте «х», а затем умножьте обе части на 16:
- (y + 2)² = 16(1 + ^{(x + 3)²}/₄)
- Упростите полученное уравнение:
- (y + 2)² = 16 + 4(x + 3)²
2
Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения. При этом не упрощайте правую часть уравнения, так как при извлечении квадратного корня получаются два результата – положительный и отрицательный (например, -2 * -2 = 4, поэтому √4 = 2 и √4 = -2). Чтобы привести оба результата, используйте символ ±.
- √((y + 2)²) = √(16 + 4(x + 3)²)
- (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3)²)
3

Уясните понятие асимптоты. Сделайте это до того, как перейти к следующему шагу. Асимптота – это прямая, к которой приближается гипербола с ростом значений «х». Гипербола никогда не пересечет асимптоту, но с увеличением «х» гипербола приблизится к асимптоте на бесконечно малое расстояние.
4
Преобразуйте уравнение с учетом больших значений «х». Как правило, при работе с уравнениями асимптот учитываются только большие значения «х» (то есть такие значения, которые стремятся к бесконечности). Поэтому в уравнении можно пренебречь определенными константами, так как по сравнению с «х» их вклад невелик. Например, если переменная «х» равна нескольким миллиардам, то прибавление числа (константы) 3 окажет мизерное влияние на значение «х».
- В уравнении (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3)²) при стремлении «x» к бесконечности постоянной 16 можно пренебречь.
- При больших значениях «х» (y+2) ≈ ± √(4(x + 3)²)
5
Вычислите «у», чтобы найти уравнения асимптот. Избавившись от констант, можно упростить подкоренное выражение. Помните, что в ответе нужно записать два уравнения – одно со знаком плюс, а второе со знаком минус.
- y + 2 = ±√(4(x+3)^2)
- y + 2 = ±2(x+3)
- y + 2 = 2x + 6 и y + 2 = -2x — 6
- y = 2x + 4 и y = -2x — 8
Реклама

Советы

Помните, что уравнение гиперболы и уравнения ее асимптот всегда включают постоянные (константы).
Равносторонняя гипербола – это гипербола, в уравнении которой а = b = с (константа).
Если дано уравнение равносторонней гиперболы, сначала преобразуйте его в каноническую форму, а затем найдите уравнения асимптот.

Предупреждения

Помните, что ответ не всегда записывается в канонической форме.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 91 746 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Асимптоты гиперболы

Пусть Г — какая-нибудь
линия, М — переменная точка на ней, а —
некоторая прямая. Если возможно такое
движение точки М по линии Г, что:

точка М уходит в
бесконечность;
при этом расстояние
от точки М до прямой а стремится к нулю,
—

то говорят, что линия
Г ассимптотически приближается к прямой
а. Прямая а в таком случае называется
асимптотой линии Г.

Асимптотами гиперболы
называются прямые, имеющие уравнения:

и
.
(3)

Эти прямые являются
диагоналями основного прямоугольника.
Построим гиперболу
и
рассмотрим какую-нибудь точку М(х;у),
лежащую на гиперболе в первом квадранте.

Выясним, как в первом
квадранте по мере возрастания х будет
изменяться расстояние от точки М
гиперболы до асимптоты
.
Обозначим через N точку асимптоты с
абсциссой х: N(x;Y), где Y=.
Тогда

(4)

Так как а 
х, то в скобках первое слагаемое всегда
больше второго, следовательно, Y-y>0, а
это означает, что при одной и той же
абсциссе точка гиперболы лежит под
соответствующей точкой асимптоты.

Преобразовав неравенство
(4):

,
(5)

убеждаемся, что длина
отрезка MN по мере возрастания х
уменьшается, и когда х неограниченно
растет, MN стремится к нулю. Так как MN
больше расстояния МК от точки M до
асимптоты, то при этом МК и подавно
стремится к нулю.

Аналогичное рассуждение
можно провести в любом квадранте.

Итак, прямые
в
смысле определения асимптот к графику
функции являются асимптотами гиперболы

При построении гиперболы
обычно строят основной прямоугольник
и проводят асимптоты, так как они
позволяют точнее вычерчивать гиперболу.

Равнобочная гипербола

Возьмем каноническое
уравнение гиперболы

В случае, когда а=b,
уравнение гиперболы имеет вид

или

х²
— у²
= а².
(6)

Гипербола, у которой
полуоси а и b равны, называется равнобочной
гиперболой.
Уравнение (6) называется уравнением
равнобочной гиперболы. Так как основной
прямоугольник этой гиперболы является
квадратом, то асимптоты равнобочной
гиперболы будут перпендикулярны друг
другу. (Рис. 5)

Рис. 5

Сопряженная гипербола

Рассмотрим уравнение

.
(7)

Представим уравнение
(7) в следующем виде:

.
(8)

Очевидно, что уравнение
(8) представляет собой уравнение гиперболы,
у которой действительной осью является
ось ординат, а мнимой — ось абсцисс.

Построим основной
прямоугольник, проведем асимптоты и
построим гиперболу (7). Далее в той же
системе координат построим (пунктиром)
(Рис. 6) гиперболу

Рис. 6

Очевидно, что гиперболы
и
имеют
общие асимптоты. Такие гиперболы
называются сопряженными.

Выведем теперь уравнение
гиперболы, асимптотами которой служат
оси координат. Возьмем уравнение
равнобочной гиперболы х²
— у²
= а²
и рассмотрим уравнение этой гиперболы
в новой системе координат Х`OY`, полученной
из старой поворотом осей координат на
угол =(Рис.
2).

Используя для этого
формулы поворота осей координат:

х = х`cos
— y`sin;

y = x`sin
+ y`cos,

подставим значения х,
у в уравнение гиперболы:

х²
— у²
= а².

Получим:

.
(9)

Обозначая
,
получим х`y`=c.

Уравнение равнобочной
гиперболы, для которой координатные
оси ОХ и OY являются асимптотами, будет
иметь вид:

ху = с

или

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Гипербола: определение, свойства, построение

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 и F_2 есть величина постоянная (2a) , меньшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы.

Фокальное свойство гиперболы

Точки F_1 и F_2 называются фокусами гиперболы, расстояние 2c=F_1F_2 между ними — фокусным расстоянием, середина отрезка F_1F_2 — центром гиперболы, число — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, — действительной полуосью гиперболы). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение $e=frac{c}{a}$ , где $c=sqrt{a^2+b^2}$ , называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения (2a<2c) следует, что e>1 .

Геометрическое определение гиперболы, выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:

$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1.$

(3.50)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б). Центр гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Гипербола и фокальное свойство гипербол

Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0) и F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей гиперболе, имеем:

$left||overrightarrow{F_1M}|-|overrightarrow{F_2M}|right|=2a.$

Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:

$sqrt{(x+c)^2+y^2}-sqrt{(x-c)^2+y^2}=pm2a.$

Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:

$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1,,$

где $b=sqrt{c^2-a^2}$ , т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии $a^2!!not{phantom{|}},c$ от нее (рис.3.41,а). При a=0 , когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.

Гиперболу с эксцентриситетом e=1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету (директориальное свойство гиперболы). Здесь и — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

Директрисы гиперболы и директориальное свойство

В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.41,а) условие $frac{r_2}{rho_2}=e$ можно записать в координатной форме:

$sqrt{(x-c)^2+y^2}=eleft(x-frac{a^2}{c}right)$

Избавляясь от иррациональности и заменяя $e=frac{c}{a},~c^2-a^2=b^2$ , приходим к каноническому уравнению гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы d_1 :

$frac{r_1}{rho_1}=e quad Leftrightarrow quad sqrt{(x+c)^2+y^2}= eleft(x+frac{a^2}{c} right).$

Уравнение гиперболы в полярной системе координат

Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат F_2rvarphi (рис.3.41,б) имеет вид

$r=frac{p}{1-ecdotcosvarphi}$ , где $p=frac{p^2}{a}$ — фокальный параметр гиперболы.

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус F_2 гиперболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке F_2 , принадлежащий прямой F_1F_2 , но не содержащий точки F_1 (рис.3.41,б). Тогда для произвольной точки M(r,varphi) , принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем F_1M-r=2a . Выражаем расстояние между точками M(r,varphi) и F_1(2c,pi) (см. пункт 2 замечаний 2.8):

$F_1M=sqrt{(2c)^2+r^2-2cdot(2c)^2cdot rcdotcos(varphi-pi)}=sqrt{r^2+4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}.$

Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет вид

$sqrt{r^2+4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}-r=2a.$

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

$r^2+4crcdotcosvarphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 quad Leftrightarrow quad aleft(1-frac{c}{a}cosvarphiright)r=c^2-a^2.$

Выражаем полярный радиус и делаем замены $e=frac{c}{a},~b^2=c^2-a^2,~p=frac{b^2}{a}$ :

$r=frac{c^2-a^2}{a(1-ecosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{b^2}{a(1-ecosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{p}{1-ecosvarphi},$

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ( e>1 для гиперболы, 0leqslant e<1 для эллипса).

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы

Найдем точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а) с осью абсцисс (вершины гиперболы). Подставляя в уравнение y=0 , находим абсциссы точек пересечения: x=pm a . Следовательно, вершины имеют координаты (-a,0),,(a,0) . Длина отрезка, соединяющего вершины, равна . Этот отрезок называется действительной осью гиперболы, а число — действительной полуосью гиперболы. Подставляя x=0 , получаем y=pm ib . Длина отрезка оси ординат, соединяющего точки (0,-b),,(0,b) , равна . Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число — мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.

Замечания 3.10.

1. Прямые x=pm a,~y=pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которого находится гипербола (рис.3.42,а).

2. Прямые $y=pmfrac{b}{a},x$ , содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис.3.42,а).

Для равносторонней гиперболы, описываемой уравнением $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{a^2}=1$ (т.е. при a=b ), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат Ox'y' (рис.3.42,б). В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид $y'=frac{a^2}{2x'}$ (гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).

Асимптоты гиперболы и равносторонняя гипербола

В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол $varphi=-frac{pi}{4}$ (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами

$left{!begin{aligned}x&=frac{sqrt{2}}{2}cdot x'+frac{sqrt{2}}{2}cdot y',\ y&=-frac{sqrt{2}}{2}cdot x'+frac{sqrt{2}}{2}cdot y'end{aligned}right. quad Leftrightarrow quad left{!begin{aligned}x&=frac{sqrt{2}}{2}cdot(x'+y'),\ y&=frac{sqrt{2}}{2}cdot(y'-x')end{aligned}right.$

Подставляя эти выражения в уравнение $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{a^2}=1$ равносторонней гиперболы и приводя подобные члены, получаем

$frac{frac{1}{2}(x'+y')^2}{a^2}-frac{frac{1}{2}(y'-x')^2}{a^2}=1 quad Leftrightarrow quad 2cdot x'cdot y'=a^2 quad Leftrightarrow quad y'=frac{a^2}{2cdot x'}.$

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр — центром симметрии.

Действительно, если точка M(x,y) принадлежит гиперболе $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$ . то и точки M'(x,y) и M''(-x,y) , симметричные точке относительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе.

Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью.

4. Из уравнения гиперболы в полярных координатах $r=frac{p}{1-ecosvarphi}$ (см. рис.3.41,б) выясняется геометрический смысл фокального параметра — это половина длины хорды гиперболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси ( r=p при $varphi=frac{pi}{2}$ ).

5. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем больше , тем шире ветви гиперболы, а чем ближе к единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а).

Действительно, величина gamma угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника: $operatorname{tg}frac{gamma}{2}=frac{b}{2}$ . Учитывая, что $e=frac{c}{a}$ и c^2=a^2+b^2 , получаем

$e^2=frac{c^2}{a^2}=frac{a^2+b^2}{a^2}=1+{left(frac{b}{a}right)!}^2=1+operatorname{tg}^2frac{gamma}{2}.$

Чем больше , тем больше угол gamma . Для равносторонней гиперболы (a=b) имеем e=sqrt{2} и $gamma=frac{pi}{2}$ . Для e>sqrt{2} угол gamma тупой, а для 1<e<sqrt{2} угол gamma острый (рис.3.43,а).

Эксцентриситет гиперболы и сопряжённая гипербола

6. Две гиперболы, определяемые в одной и той же системе координат уравнениями $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$ и $-frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ называются сопряженными друг с другом. Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты (рис.3.43,б). Уравнение сопряженной гиперболы $-frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ приводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).

7. Уравнение $frac{(x-x_0)^2}{a^2}-frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$ определяет гиперболу с центром в точке O'(x_0,y_0) , оси которой параллельны координатным осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнение $-frac{(x-x_0)^2}{a^2}+frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$ определяет сопряженную гиперболу с центром в точке O'(x_0,y_0) .

Параметрическое уравнение гиперболы

Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид

$begin{cases}x=acdotoperatorname{ch}t,\y=bcdotoperatorname{sh}t,end{cases}tinmathbb{R},$

где $operatorname{ch}t=frac{e^t+e^{-t}}{2}$ — гиперболический косинус, a $operatorname{sh}t=frac{e^t-e^{-t}}{2}$ гиперболический синус.

Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству $operatorname{ch}^2t-operatorname{sh}^2t=1$ .

Построение гиперболы в канонической системе координат

Пример 3.21. Изобразить гиперболу $frac{x^2}{2^2}-frac{y^2}{3^2}=1$ в канонической системе координат Oxy . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот и директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2 — действительная полуось, b=3 — мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=6 с центром в начале координат (рис.3.44). Проводим асимптоты, продлевая диагонали основного прямоугольника. Строим гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатных осей. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставляя x=4 в уравнение гиперболы, получаем

$frac{4^2}{2^2}-frac{y^2}{3^2}=1 quad Leftrightarrow quad y^2=27 quad Leftrightarrow quad y=pm3sqrt{3}.$

Следовательно, точки с координатами (4;3sqrt{3}) и (4;-3sqrt{3}) принадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние

$2cdot c=2cdotsqrt{a^2+b^2}=2cdotsqrt{2^2+3^2}=2sqrt{13}$

эксцентриситет $e=frac{c}{a}=frac{sqrt{13}}{2}$ ; фокальныи параметр $p=frac{b^2}{a}=frac{3^2}{2}=4,!5$ . Составляем уравнения асимптот $y=pmfrac{b}{a},x$ , то есть $y=pmfrac{3}{2},x$ , и уравнения директрис: $x=pmfrac{a^2}{c}=frac{4}{sqrt{13}}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Download Article

Asymptotes of a hyperbola are the lines that pass through center of the hyperbola. The hyperbola gets closer and closer to the asymptotes, but can never reach them. There are two different approaches you can use to find the asymptotes. Learning how to do both may help you understand the concept.

1
Write down the equation of the hyperbola in its standard form. We’ll start with a simple example: a hyperbola with the center of its origin. For these hyperbolas, the standard form of the equation is ^x²/_a² — ^y²/_b² = 1 for hyperbolas that extend right and left, or ^y²/_b² — ^x²/_a² = 1 for hyperbolas that extend up and down. Remember, x and y are variables, while a and b are constants (ordinary numbers).^[1]
- Example 1: ^x²/₉ — ^y²/₁₆ = 1
- Some textbooks and teachers switch the position of a and b in these equations. Follow the equation closely so you understand what’s going on. If you just memorize the equations you won’t be prepared when you see a different notation.
2
Set the equation equal to zero instead of one. This new equation represents both asymptotes, though it will take a little more work to separate them.^[2]
- Example 1: ^x²/₉ — ^y²/₁₆ = 0
Advertisement
3
Factor the new equation. Factor the left hand side of the equation into two products.^[3] Refresh your memory on factoring a quadratic if you need to, or follow along while we continue Example 1:
- We’ll end up with an equation in the form (__ ± __)(__ ± __) = 0.
- The first two terms need to multiply together to make ^x²/₉, so take the square root and write it in those spaces: (^x/₃ ± __)(^x/₃ ± __) = 0
- Similarly, take the square root of ^y²/₁₆ and place it in the two remaining spaces: (^x/₃ ± ^y/₄)(^x/₃ ± ^y/₄) = 0
- Since there are no other terms, write one plus sign and one minus sign so the other terms cancel when multiplied: (^x/₃ + ^y/₄)(^x/₃ — ^y/₄) = 0
4
Separate the factors and solve for y. To get the equations for the asymptotes, separate the two factors and solve in terms of y.^[4]
- Example 1: Since (^x/₃ + ^y/₄)(^x/₃ — ^y/₄) = 0, we know ^x/₃ + ^y/₄ = 0 and ^x/₃ — ^y/₄ = 0
- Rewrite ^x/₃ + ^y/₄ = 0 → ^y/₄ = — ^x/₃ → y = — ^4x/₃
- Rewrite ^x/₃ — ^y/₄ = 0 → — ^y/₄ = — ^x/₃ → y = ^4x/₃
5
Try the same process with a harder equation. We’ve just found the asymptotes for a hyperbola centered at the origin. A hyperbola centered at (h,k) has an equation in the form ^{(x — h)²}/_a² — ^{(y — k)²}/_b² = 1, or in the form ^{(y — k)²}/_b² — ^{(x — h)²}/_a² = 1. You can solve these with exactly the same factoring method described above. Just leave the (x — h) and (y — k) terms intact until the last step.
- Example 2: ^{(x — 3)²}/₄ — ^{(y + 1)²}/₂₅ = 1
- Set this equal to 0 and factor to get:
- (^{(x — 3)}/₂ + ^{(y + 1)}/₅)(^{(x — 3)}/₂ — ^{(y + 1)}/₅) = 0
- Separate each factor and solve to find the equations of the asymptotes:
- ^{(x — 3)}/₂ + ^{(y + 1)}/₅ = 0 → y = —⁵/₂x + ¹³/₂
- (^{(x — 3)}/₂ — ^{(y + 1)}/₅) = 0 → y = ⁵/₂x — ¹⁷/₂

1
Write down the hyperbola equation with the y² term on the left side. This method is useful if you have an equation that’s in general quadratic form. Even if it’s in standard form for hyperbolas, this approach can give you some insight into the nature of asymptotes. Rearrange the equation so the y² or (y — k)² term is on one side to get started.^[5]
- Example 3: ^{(y + 2)²}/₁₆ — ^{(x + 3)²}/₄ = 1
- Add the x term to both sides, then multiply each side by 16:
- (y + 2)² = 16(1 + ^{(x + 3)²}/₄)
- Simplify:
- (y + 2)² = 16 + 4(x + 3)²
2
Take the square root of each side. Take the square root, but don’t try to simplify the right hand side yet. Remember, when you take the square root, there are two possible solutions: a positive and a negative. (For example, -2 * -2 = 4, so √4 can be equal to -2 as well as 2.) Use the «+ or -» sign ± to keep track of both solutions.^[6]
- √((y + 2)²) = √(16 + 4(x + 3)²)
- (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3)²)
3

Review the definition of an asymptote. It’s important that you understand this before you continue to the next step. The asymptote of a hyperbola is a line that the hyperbola gets closer and closer to as x increases. X can never actually reach the asymptote, but if we follow the hyperbola for larger and larger values of x, we’ll get closer and closer to the asymptote.^[7]
4
Adjust the equation for large values of x. Since we’re trying to find the asymptote equation now, we only care about x for very large values («approaching infinity»). This lets us ignore certain constants in the equation, because they contribute such a small part relative to the x term. Once x is at 99 billion (for example), adding three is so small we can ignore it.
- In the equation (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3)²), as x approaches infinity, the 16 becomes irrelevant.
- (y+2) = approximately ± √(4(x + 3)²) for large values of x
5
Solve for y to find the two asymptote equations. Now that we’ve got rid of the constant, we can simplify the square root. Solve in terms of y to get the answer. Remember to split the ± symbol into two separate equations, one with + and one with -.^[8]
- y + 2 = ±√(4(x+3)^2)
- y + 2 = ±2(x+3)
- y + 2 = 2x + 6 and y + 2 = -2x — 6
- y = 2x + 4 and y = -2x — 8

Add New Question

Question

How do I find the equation of asymptotes of hyperbolis 16×2-9y2=144?

Divide both sides of the equation by 144 to get 1 on the right hand => the equation will be x^2/9 + y^2/16 =1 => a=3 and b=4 so the equation of asymptote will be y = — b/a x and y= b/a x
so y= — 4/3*x and y = 4/3*x.
Question

How do I solve the equation of f(x)+3?

That’s not an equation. You would need two sides of an equation, divided by an equal sign (=), in order to solve it.
Question

How to find the asymptotes of a rectangular hyperbola whose equation is x squared — y squared = 1?

In this case a and b are both equal to 1, and the asymptotes are y = x and y = -x.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

Always remember a hyperbola equation and its pair of asymptotes always defer by a constant.
A rectangular hyperbola is one where in a=b=constant=c.
When dealing with rectangular hyperbolas first convert them to standard form and then find the asymptotes.

Thanks for submitting a tip for review!

Beware of putting equations always in standard form.

References

About This Article

Article SummaryX

To find the equations of the asymptotes of a hyperbola, start by writing down the equation in standard form, but setting it equal to 0 instead of 1. Then, factor the left side of the equation into 2 products, set each equal to 0, and solve them both for “Y” to get the equations for the asymptotes. Alternatively, you can rearrange the equation with the Y^2 term on the left side, take the square root of both sides, then solve for “Y.” Just remember to split your answer into 2 separate equations, one with a plus sign and the other with a minus sign. To work through examples of how to find the equations of the asymptotes of a hyperbola using both these methods, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 195,071 times.

Did this article help you?

Источник