Как найти координаты центра тяжести четырехугольника

Четырехугольник

Мнемоника

Окружность вписанная в четырехугольник

Почему нельзя вписать окружность?

Задача

Окружность, описанная около четырехугольника

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Центр тяжести

Распределительное свойство центров тяжести

Если разделить систему материальных точек S на дне части S’ и S«, то ее центр тяжести есть в то же время центр тяжести двух масс М’ и М» систем S’ и S«, помещенных соответственно в центрах тяжести этих двух систем.

Центр тяжести четырехугольника

(1)

(2)

Метод отвеса

Метод балансировки

Барицентр выпуклой двумерной фигуры можно найти путём балансировки на меньшей фигуре, например на вершине узкого цилиндра. Барицентр будет находиться где-то внутри области контакта этих фигур. В принципе, последовательным уменьшением диаметра цилиндра можно получить местоположение барицентра с любой точностью. На практике потоки воздуха делают это невозможным, однако используя наложение областей балансировки и усреднение, можно получить нужную точность.

С помощью геометрического разложения

Центр тяжести объекта в форме буквы L

Барицентр

Барицентрическая система отсчета

Барицентрические координаты

Случай двух тел

Центр тяжести четырехугольника. Выпуклого

Недавно внук,- он в восьмом классе,- выполнял задание по приблизительному определению центра тяжести четырехугольника, вырезанного из картона. Делать это очень просто: снизу картонки водится гвоздь и когда достигается равновесие (на острие гвоздя), то это и будет нужная точка.

Все это верно, конечно, но мне захотелось вместе с Андрюшей математически точно определить данный центр. И сопоставить с физическим опытом.

Вообще-то задача эта хорошо известна. Нужно начертить два диаметра фигуры, найти для четырех треугольников точки пересечения медиан и пары этих точек соединить. Точка пересечения двух прямых будет центром тяжести.

Но геометрическое решение тут довольно громоздкое. Придется столько дуг окружностей чертить, столько линий, что в результате будем иметь рыболовную сетку. Хотелось бы найти самое простое построение. И аналитику, конечно. Чтобы на компе быстро вычислять центр для самых разных вариантов выпуклых четырехугольников.

Эту математическую задачу мы запустили на лучшем форуме для студентов и школьников. Ответы были самые неожиданные. Одно решение предлагалось даже векторное! Между прочим, очень уж красивое. Может, когда-нибудь им и займемся, но в данный момент цель наша была — найти чисто школьный вариант. То есть цепочку формул, дающую в конце координаты центра.

Да, забыл сказать, что решили математическую модель строить через координаты вершин фигуры. Например, такие:

На форуме очень нам помог лучший в области геометрии специалист с ником Li6-D. Мы с Андрюшей чуточку его решение изменили и получили такую простоту, что сами удивились!
Глядим на рисунок. Имеем четырехугольник ABCD. Чертим две диагонали AC и BD. Точки K и P (с чертой наверху) — это середины диагоналей. Циркулем отмеряем отрезок BM и откладываем его на другом конце той же диагонали (отрезок DL). Точно так же отрезок AM дает на другом конце CT. Определенным образом соединяем пары точек TK и PL, как показано на рисунке и находим пересечением прямых точку S. Она и есть центр тяжести данного четырехугольника! Строить такое циркулем и линейкой — сплошное удовольствие!

Мы сопоставили аналитику с физикой и расхождение оказалось четыре миллиметра. Причина ясна: абсолютно ровно картон не разрезать. Особенно школьнику. Да и нужно понимать, что любая картонка не идеальна по толщине и плотности. Так что верить нужно формулам, а не гвоздику.

На скорую руку мы составили программу расчета на Yabasic. Двумя методами воспользовались. Первый нашли в инете — он самый легкий в плане аналитики. Второй — как раз о котором мы рассказ ведем. Вот текст:

xA=0:yA=0
xB=4:yB=5
xC=7:yC=7
xD=8:yD=0
S1=1/2*abs((xB-xA)*(yC-yA)-(xC-yA)*(yB-yA))
S2=1/2*abs((xC-xA)*(yD-yA)-(xD-yA)*(yC-yA))
xm1=(xA+xB+xC)/3:ym1=(yA+yB+yC)/3
xm2=(xA+xC+xD)/3:ym2=(yA+yC+yD)/3
x1=(S1*xm1+S2*xm2)/(S1+S2):y1=(S1*ym1+S2*ym2)/(S1+S2)
print «1) «;
print x1,y1
y0=(yA-yC)/(xA-xC)*(x0-xA)+yA
A0=sqrt((xA-x0)^2+(yA-y0)^2)
B0=sqrt((xB-x0)^2+(yB-y0)^2)
xL=xD-(x0-xB):yL=yD-(y0-yB)
xT=xC-(x0-xA):yT=yC-(y0-yA)
xK=(xB+xD)/2:yK=(yB+yD)/2
xP=(xA+xC)/2:yP=(yA+yC)/2
y2=(yK-yT)/(xK-xT)*(x1-xK)+yK
print «2) «;
print x2,y2

Оба метода дали точку (4.85185, 2.51852).

24 ноября 2020 г.

PS. Вчера исполнилось три года со дня рождения двух моих маленьких внучат: Никите и Илье.

Как можно найти центроид четырёх точек ( Quadrilateral ), зная координаты этих вершин?

Вот тут хорошо расписано.

Сначала надо триангулировать четырехугольник. Потом, центр масс каждого треугольника — среднее арифметическое координат. Далее, остается найти центр масс двух точек — центров масс треугольников, где в каждой точке лежит масса равная площади треугольника.

Чтобы это работало и с невыпуклыми многоугольниками надо считать площадь треугольников через векторное произведение сторон, разрешая таким образом отрицательные площади у треугольников снаружи вашей фигуры.

Итоговая фромула (в векторах):

Тут pi — i-ая вершина четырехугольника, pipj — вектор между точками i и j. pipj*pkpl — векторное произведение двух векторов.

Love Soft

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Навигация

Загрузки всякие

Связь

Содержание

Четырехугольник

Мнемоника

для запоминания условий, для того чтобы можно было вписать или описать окружность в четырехугольнике, у меня в опорном конспекте (и отложилось, фактически само по себе, в голове): две картинки: дорожный знак «кирпич», на котором написано 180. И вторая картинка, это инопланетянин в квадратном шлеме с плюсами вместо ушей. Ну и чем более абсурдный образ, тем лучше. Я никогда не перепутаю эти условия потому что, например, знак «кирпич» — окружность снаружи, а надпись 180 – означает суму противоположных углов.

Окружность вписанная в четырехугольник

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Наоборот: если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов четырехугольника.

Почему нельзя вписать окружность?

в отличие от треугольника, далеко не во всякий четырехугольник можно поместить окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.

Треугольник всегда является описанным – потому что во всякий треугольник можно вписать окружность. Чем же четырехугольник-то хуже? И вот оказывается, что чем-то, да хуже.

Представь себе, например, длинный прямоугольник. Как вот в него, спрашивается, можно вписать окружность? Конечно, никак. И это лишь один из примеров четырехугольника, в которой НЕЛЬЗЯ вписать окружность.

Задача

Окружность, описанная около четырехугольника

Если около выпуклого четырехугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна ∠ϕ+∠γ=180∘.

И наоборот: Если сумма двух противоположных углов выпуклого четырехугольника равна ∠ϕ+∠γ=180∘, то около него можно описать окружность.

Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Около выпуклого четырехугольника описана окружность ⇔ ∠α=∠β.

Площадь вписанного четырехугольника вычисляется по формуле

где a, b, c, d – его стороны, p — полупериметр

Задача 1

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Задача 2

Стороны AB, BC, CD, AD четырехугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные меры которых равны соответственно 95 ∘ ,49 ∘ ,71 ∘ ,145 ∘ . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Угол B четырехугольника равен вписанному углу ABC. Этот угол опирается на дугу ADC, равную 145 ∘ +71 ∘ =216 ∘ . Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то ∠B=∠ABC=108 ∘ .

Задача 3

Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB,BC,CD,DA, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Так как дуги AB,BC,CD,DA относятся как 4:2:3:6, то можно принять дугу AB за 4x, дугу BC за 2x, дугу CD за 3x и дугу DA за 6x. Так как все эти дуги в совокупности дают целую окружность, градусная мера которой равна 360∘, то 4x+2x+3x+6x=360∘, откуда x=24∘. Угол A равен вписанному углу BAD, опирающемуся на дугу BCD, равную 2x+3x=5x=120∘. Так как вписанный угол равен половине этой дуги, то ∠A=60∘.

Центр тяжести

Центр тяжести системы материальных точек — обозначим через $m_k$ — массы точек, $x_k, y_k, z_k$ — координаты точек.

К каждой из точек приложен вектор величины $m_k$, все векторы параллельны и направлены в одну сторону.

Центр этих векторов есть точка с координатами $$M_x = sum m_k x_k, M_y = sum m_k y_k, M_z = sum m_k z_k$$

Если все точки имеют одинаковую массу, то $M = sum m_k$ — масса всей системы, тогда

$$M_x = M sum x_k, M_y = M sum y_k, M_z = M sum z_k$$

В математике и физике барицентр или геометрический центр области — это среднее арифметическое положений всех точек фигуры.

Неформально — это точка равновесия фигуры, вырезанной из картона в предположении, что картон имеет постоянную плотность и гравитационное поле постоянно по величине и направлению.

Центр масс (и центр тяжести в постоянном гравитационном поле) является средним арифметическим всех точек с учётом локальной плотности или удельного веса. Если физический объект имеет постоянную плотность, то его центр масс совпадает с барицентром фигуры той же формы.

Геометрический барицентр выпуклого объекта всегда лежит внутри объекта. Невыпуклый объект может иметь барицентр, лежащий вне фигуры. Барицентр кольца или миски, например, лежат вне фигуры.

Барицентр объекта лежит на пересечении всех его гиперплоскостей симметрии. Барицентры многих фигур (правильный многоугольник, правильный многогранник, цилиндр, прямоугольник, ромб, окружность, сфера, эллипс, эллипсоид, суперэллипс, суперэллипсоид, и т.д.) можно найти исходя исключительно из этого принципа.

В частности, барицентром параллелограмма является пересечение диагоналей. Вообще говоря, это неверно для других четырёхугольников.

Распределительное свойство центров тяжести

Если разделить систему материальных точек S на дне части S’ и S«, то ее центр тяжести есть в то же время центр тяжести двух масс М’ и М» систем S’ и S«, помещенных соответственно в центрах тяжести этих двух систем.

Центр тяжести четырехугольника

Центр тяжести площади четырехугольника определяется пересечением двух прямых, которые мы получаем, используя распределительное свойство центров тяжести.

Сначала делим четырехугольник диагональю на два треугольника. Центр тяжести четырехугольника лежит на прямой, соединяющей центры тяжести этих треугольников. Это первая искомая прямая.

Вторая искомая прямая получается аналогичным образом — разбивая четырехугольник на треугольники второй диагональю.

Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.

Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины.

Метод отвеса

Барицентр однородной плоской фигуры, такой как на рисунке ниже, можно найти экспериментально с использованием отвеса и булавки. Пластина удерживается булавкой, вставленной ближе к периметру так, чтобы пластина могла свободно вращаться. Отмечаем на пластине прямую, которую образует отвес, прикреплённый к булавке. Проделываем то же самое с другим положением булавки. Пересечение двух прямых даст барицентр.

Метод балансировки

Барицентр выпуклой двумерной фигуры можно найти путём балансировки на меньшей фигуре, например на вершине узкого цилиндра. Барицентр будет находиться где-то внутри области контакта этих фигур. В принципе, последовательным уменьшением диаметра цилиндра можно получить местоположение барицентра с любой точностью. На практике потоки воздуха делают это невозможным, однако используя наложение областей балансировки и усреднение, можно получить нужную точность.

С помощью геометрического разложения

Барицентр плоской фигуры можно вычислить, разделив её на конечное число более простых фигур.

Рассмотрим пример. Фигуру на рисунке легко разделить на квадрат и треугольник с положительным знаком площади и круглое отверстие с отрицательным знаком площади.

Квадрат — пересечение диагоналей $(5, 5)$. Площадь 100.

Прямоугольный треугольник — отложить по трети катета от вершины прямого угла $(10+10/3,10/3) = (13.33; 3.33)$. Площадь 50.

Окружность — центр $(2.5; 12.5)$. Площадь $6.25pi = 19.63$

Та же формула применима для любого трёхмерного объекта, только вместо площадей берут объёмы частей тела.

Центр тяжести объекта в форме буквы L

Делим на два прямоугольника, находим центры каждого из них как пересечение диагоналей, соединяем. Барицентр фигуры должен лежать на этом отрезке AB.

Делим фигуру на два прямоугольника другим способом. Находим барицентры этих двух прямоугольников. Проводим отрезок, соединяющий центры. Барицентр фигуры должен лежать на этом отрезке CD.

Барицентр должен лежать как на отрезке AB, так и на отрезке CD, очевидно, что он является точкой пересечения этих двух отрезков — точкой O. Точка O не обязана лежать внутри фигуры.

Барицентр

это цетр масс двух и более тел, которые вращаются друг около друга.

Чем массивнее одно из двух тел, тем ближе к нему барицентр. Для системы Луна-Земля барицентр расположен примерно на расстоянии 4 671 км от центра Земли, радиус планеты 6 378 км.

Барицентрическая система отсчета

International Celestial Reference System (ICRS, Международная небесная система координат или Международная система астрономических координат) — с 1998 года стандартная небесная система координат.

Началом отсчёта является барицентр Солнечной системы. Координаты в этой системе максимально приближены к экваториальным эпохи J2000.0 (расхождение составляет доли секунды дуги)

Оси системы зафиксированы в пространстве относительно квазаров, которые считаются наиболее удалёнными объектами наблюдаемой Вселенной. Их предполагаемое собственное движение настолько мало, что им можно пренебречь. Внедрение системы обусловлено необходимостью повышения точности астрономических измерений до 0,05″.

Полученная система координат независима от вращения Земли.

Барицентрические координаты

Пусть дан треугольник ABC. Тогда любую точку P в плоскости треугольника можно представить как центр некоторых масс α, β, γ, помещенных в его вершины A, B, C.

Тройка чисел (α, β, γ) называется барицентрическими координатами точки P относительно треугольника.

Барицентрические координаты точки определены с точностью до ненулевого множителя: все тройки (kα, kβ, kγ) при любом k ≠ 0 задают одну и ту же точку P. Любые три числа с ненулевой суммой являются барицентрическими координатами некоторой точки. Иногда барицентрическими координатами называют ту из пропорциональных троек, у которой сумма чисел равна единице. Соответствие между такими тройками и точками плоскости взаимно-однозначно.

Если точка P лежит внутри треугольника ABC, то ее барицентрические координаты пропорциональны площадям треугольников PAB, PBC и PCA. Для точек вне треугольника это тоже верно, только нужно брать ориентированные площади.

Случай двух тел

Два тела взаимодействуют только друг с другом. Тела вращаются поэллиптической орбите пример двойные звезды.

аналитическая-геометрия — Найти центр тяжести

Каждое тело можно представить состоящим из отдельных частей, имеющих определенный вес.

Эти веса составляют систему параллельных сил, равнодействующая которых равна весу всего тела и приложена в точке тела, называемой центром тяжести данного тела.

Положение центра тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы, так как вес единицы объема для такого тела есть величина постоянная. В дальнейшем будем рассматривать только однородные тела.

В частном случае, если данное тело, плоскость и линия имеют плоскость симметрии , ось симметрии, равноделящую линию (Равноделящей линией называется линия, делящая данную плоскость таким

образом, что каждому элементу площади по одной стороне этой линии соответствует такой же элемент по другой стороне) или среднюю точку, то центр тяжести лежит на них.

Обратимся теперь к определению центра тяжести наиболее часто встречающихся площадей.

Центр тяжести треугольника АВС (рисунок 1) находится в точке пересечения прямых, соединяющих середины сторон с противоположными вершинами углов, так как каждая такая прямая есть равноделящая линия, причем центр тяжести отстоит от каждой стороны треугольника на 1/3 от соответственной высоты.

Центр тяжести параллелограмма ABCD (рисунок 2) находится в точке пересечения диагоналей как равноделящих осей.

Центр тяжести любого четырехугольника ABCD (рисунок 3) находится следующим образом.

Данный четырехугольник разлагаем диагональю АС на два треугольника АВС и ACD с центрами тяжести S1 и S2, затем диагональю DB — на треугольники DBC и ABD с центрами тяжести S3 и S4.

Линии S1S2 и S3S4 пересекаются в искомом центре тяжести S четырехугольника ABCD, причем S1S2 ll BD и S3S4 ll АС, так что в действительности требуется только для определения центра тяжести S найти центры тяжести S1 и S3.

Центр тяжести любого многоугольника определяется подобно предыдущему, разложением на отдельные части.

Расстояние центра тяжести S кругового сегмента (рисунок 4) от центра круга определяется по одной из следующих формул:

причем площадь кругового сегмента:

Для кругового сектора (рисунок 5) имеем:

причем площадь кругового сектора

Для половины круговой площади отсюда получаем:

Для четверти круговой площади:

Для шестой части круговой площади:

Для части кругового кольца (рисунок 6) имеем:

Для определения центра тяжести площадей можно пользоватся также методом статических моментов. Для этого данную площадь (рисунок 7) разложим на отдельные площади f1, f2 и f3, центры тяжести которых находятся соответственно в точках S1, S2 и S3.

Затем примем в данной плоскости прямоугольнику координатную систему ХУ и обозначим координаты точек S1, S2 и S3 соответственно через х1, у1; х2, у2: и х3, у3; тогда статическим моментом площади f1 относительно оси У называется произведение f1 • х1, а относительно оси Х — произведение f1 • у1.

Обозначая далее координаты искомого центра тяжести S через E и n, получаем:

и

То есть для нахождения расстояния центра тяжести от произвольной оси лежащей в данной плоскости, надо сумму статических моментов отдельных площадей относительно этой оси делить на сумму площадей.

Определим еще в виде примера центр тяжести сечения, изображенного на рисунке 8.

Данное сечение можно разложить на площади ABCD, EFGH и JKLM (f1, f2 и f3) с соответственными центрами тяжести S1, S2 и S3, отстоящими от линии DC на х1, х2 и х3.

Так как рассматриваемые площади имеют общую ось симметрии, то искомый центр тяжести должен лежать на этой оси, значит нам нужно только определить расстояние центра тяжести от линии DC, то есть:

Для определения центра тяжести денного тела можно данноее тело разложить на отдельные части, центры тяжести которых могут быть nрямо найдены.

Пусть например данное тело разложено на части А, В и С (рисунок 9), центры тяжести которых S1, S2 и S3, а веса соответственно равны Р1, Р2 и Р3.

Соединяем S2 и S3, тогда силы Р2 и Р3 могут быть заменены одной равнодействующей силой Р2 + P3, проходящей через точку S’, причем положение точки S’ на прямой S2S3 определяется из условия:

или

Затем соединяем точки S1S’ и находим равнодействующую Р1 + Р2 + Р3, которая проходит через искомый центр тяжести S данного тела, причем подобно предыдущему положению точки S на прямой S1S’, определяется из соотношения:

Для определения центра тяжести плоских сечений с неправильным криволинейным очертанием можно воспользоваться методом подвешивания. Этот метод состоит в следующем. Из толстого картона вырезают фигуру заданного очертания, подвешивают ее в произвольном месте на тонкой нитке и отмечают на картоне продолжение нитки. Подвешивая затем фигуру за другое место и отмечая опять продолжение нитки. Получают две линии, пересекающиеся в искомом центре тяжести данной фигуры.