Как найти координаты центра тяжести угла - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Центр масс
Центр параллельных сил
Центр тяжести
Центры тяжести некоторых плоских однородных фигур
Центр тяжести дуги окружности
Центр тяжести кругового сектора
Центр тяжести кругового сегмента
Центр тяжести треугольника
Центр тяжести трапеции
Примеры решения задач на тему: Центр масс
Способы определения координат центра тяжести тела
Метод симметрии
Метод разбиения
Метод дополнения
Экспериментальные способы
Центры тяжести некоторых однородных тел
Центр тяжести дуги окружности
Центр тяжести треугольника
Центр тяжести сектора

Центр масс — это геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Центр масс

Центр масс — это некоторое положение, определяемое относительно объекта или системы объектов и это среднее положение всех частей системы, взвешенное в соответствии с их массами.

Центр параллельных сил

Если на тело действует система параллельных сил , ,…, , то точка , через которую проходит равнодействующая этой системы сил, называется центром параллельных сил (рис.9.1).

Координаты центра параллельных сил определяются по зависимостям:

где — координаты точек приложения сил .

Центр параллельных сил имеет ту особенность, что через него обязательно будет проходить линия действия равнодействующей при вращении линий действия всех сил системы вокруг точек их приложения на один и тот же угол в одну и ту же сторону. Модули сил при вращении не должны меняться.

Центр тяжести

Если твердое тело находится возле поверхности Земли, то на каждую материальную часть этого тела действует сила тяжести , которая направлена к центру Земли. Поскольку размеры тела небольшие по сравнению с размерами Земли, то образованную систему сил можно рассматривать как параллельную. Равнодействующая этой параллельной системе сил , которая равна их сумме, называется тяжестью тела, а центр этой системы — точка называется центром тяжести тела (рис.9.2).

Координаты центра тяжести твердого тела можно определить как координаты центра параллельных сил:

где — сила тяжести элементарной частицы тела;

— тяжесть тела;

— координаты центра тяжести;

— координаты элементарной частицы тела.

Если тело однородное, то есть удельный вес не меняется по объему , то:

где — объем тела;

— объем элементарной частицы.

Тогда формулы для определения координат центра тяжести твердого тела приобретут вид:

Положение центра тяжести однородного тела зависит только от формы объема, что занимает тело, и называется центром тяжести этого объема.

Если однородное тело имеет форму тонкой пластины, то его можно рассматривать как материальную плоскую фигуру. В этом случае положение центра тяжести плоской фигуры определяется двумя координатами и и зависит от формы площади фигуры:

где — площадь элементарной части плоской фигуры;

— площадь плоской фигуры.

Центр тяжести однородной пластины называется центром тяжести плоской фигуры.

Если выбранный элементарный объем (площадь элементарной площадки в плоском случае) направить к нулю, то формулы для вычисления координат центра тяжести приобретут интегральный вид:

а) для однородного твердого тела:

где — объем тела, интегрирование выполняется по всему объему тела;

б) для однородной поверхности:

где — площадь поверхности, интегрирование выполняется по всей поверхности тела;

в) для однородной плоской фигуры, лежащей в плоскости xy:

г) для однородной линии:

где — длина линии, интегрирование выполняется по всей длине линии.

Центры тяжести некоторых плоских однородных фигур

Для упрощения определения центра тяжести используются следующие вспомогательные правилами:

1. Если тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести лежит на этой плоскости.
2. Если тело симметрично относительно оси, то центр тяжести лежит на этой оси.
3. Если тело симметрично относительно точки, то центр тяжести лежит в центре симметрии.
4. Если тело состоит из нескольких частей, центры тяжести которых можно определить, то центр тяжести такого тела находят как центр тяжести нескольких материальных точек, а именно тех, в которых расположены весы каждой отдельной части тела.

Центр тяжести дуги окружности

Центр тяжести дуги окружности (рис.9.3) лежит на ее оси симметрии и на расстоянии от центра окружности:

где — радиус окружности;

— половина центрального угла, опирающегося на дугу .

Центр тяжести кругового сектора

Центр тяжести кругового сектора лежит на оси симметрии и имеет координаты:

где — радиус окружности;

— половина центрального угла сектора.

Центр тяжести кругового сегмента

Центр тяжести кругового сегмента лежит на оси симметрии сегмента и имеет координаты:

где — радиус окружности;

— половина центрального угла сегмента.

Центр тяжести треугольника

Центр тяжести треугольника (рис. 9.6) лежит в точке пересечения его медиан — на расстоянии 1/3 каждой медианы от соответствующего основания треугольника.

Центр тяжести трапеции

Центр тяжести трапеции (рис.9.7) с основаниями и и высотой лежит на прямой , которая соединяет середины основ.

Расстояния и центра тяжести площади трапеции от ее основ определяются по формулам:

Наиболее распространенный способ определения положения центра тяжести однородного тела сложной формы заключается в том, что его разбивают на такие части, положение центров тяжести которых известно, или может быть легко определено.

Например, однородную плоскую фигуру (рис.9.8) разбивают на три части 1,2 и 3, положения центров тяжести которых, можно определить.

Координаты центра тяжести фигуры определяются по формулам:

где — координаты центра тяжести первой части плоской фигуры;

— площадь первой части и т.п.

Этим способом удобно пользоваться и при определении положения центра тяжести плоской фигуры, из которой вырезана некоторая часть (рис.9.9).

В этом случае площадь плоской фигуры можно записать в виде разницы площадей сплошной фигуры 1 (площадь положительная) и вырезанной части 2 (площадь отрицательная), то есть .

Координаты центра тяжести фигуры равны:

где — координаты центра тяжести сплошной фигуры 1, площадь которой равна ;

— координаты центра тяжести вырезанной части 2, площадь которой равна — .

Первый из этих методов имеет название «метод разбиения», второй — «метод дополнения», или «метод отрицательных масс». В общем случае формулы для определения центра тяжести плоской фигуры имеют вид:

где — площадь всей фигуры.

Примеры решения задач на тему: Центр масс

Задача № 1

Найти центр тяжести двутаврового профиля, размеры которого в сантиметрах указаны на рис.9.10.

Решение. Поскольку форма сечения имеет ось симметрии, ось направим вдоль оси симметрии, а ось перпендикулярно ей.

В силу симметричности профиля относительно оси центр тяжести будет лежать на этой оси, то есть

Линиями и поделим профиль на три прямоугольника 1, 2 и 3.

Запишем уравнение для определения абсциссы центра тяжести площади:

где — абсциссы центров тяжести прямоугольников 1, 2, 3;

— площади этих прямоугольников.

Поскольку центры тяжести прямоугольников и лежат на пересечении их диагоналей, то (рис.9.10):

Площади этих прямоугольников соответственно равны:

Тогда:

Таким образом, центр тяжести фигуры лежит в точке с координатами:

Ответ:

Задача № 2

Найти координаты центра тяжести поперечного пересечения разностороннего угольника (рис.9.11), полки которого имеют ширину и толщину

Решение. Разделим пересечение линией на два прямоугольника и , центры тяжести которых лежат на пересечении соответствующих диагоналей.

Запишем формулы для координат и центра тяжести пересечения:

где и — координаты центров тяжести прямоугольников 1 и 2;

, — площади прямоугольников 1 и 2.

С рис.9.11 видим, что

Тогда:

Ответ:

Задача № 3

Определить положение центра тяжести плоской фигуры (рис.9.12), ограниченной полуокружностью радиуса и двумя прямыми равной длины и , причем

Решение. Данная площадь имеет ось симметрии, вдоль которой направим ось . Поскольку центр тяжести площади лежит на оси симметрии, то

Разделим площадь линией на две части: полуокружность и равнобедренный треугольник .

Абсцисса центра тяжести площади будет равняться:

где — координата центра тяжести половины круга ;

— координата центра тяжести треугольника ;

, — площади половины круга и треугольника.

Для определения воспользуемся приведенными в разделе 9.3.2 координатами центра тяжести кругового сектора

В случае половины круга

Площадь половины круга равна:

Центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан (раздел 9.3.4). Поскольку треугольник равнобедрен, то линия будет его медианой и расстояние будет равняться третьей части от :

Площадь треугольника равна:

Подставив найденные значения , , и в уравнение для , получим:

Ответ:

Задача № 4

Найти координаты центра тяжести квадратной пластины с вырезом в виде сегмента радиуса (рис.9.13), если

Решение. Осью симметрии рассматриваемой фигуры будет диагональ прямоугольника

Поэтому направим ось вдоль этой линии, а ось — перпендикулярно (рис.9.13).

Центр тяжести пластины будет лежать на оси , то есть

Площадь фигуры можно представить как разницу площадей квадрата (положительная площадь) и сектора (отрицательная площадь).

Абсцисса центра тяжести фигуры будет равняться:

где — абсцисса центра тяжести квадрата ;

— абсцисса центра тяжести сектора ;

и — площади квадрата и сектора.

Для квадрата получим:

Как следует из рис. 9.13, равняется

где — расстояние от точки к центру тяжести кругового сектора .

Для кругового сектора (раздел 9.3.2) получим:

Поскольку и , то

Таким образом, абсцисса равняется:

Площадь кругового сектора :

Подставив значение , , и в формулу для , получим:

Ответ:

Задача № 5

Найти координаты центра тяжести площади, ограниченной (рис.9.14) правой веткой параболы , осью и прямой

Решение. На расстоянии от оси выделяем элементарную площадку шириной (заштрихованная область).

Площадь выделенной элементарной площадки будет равняться:

Площадь фигуры, что ограничена заданными линиями:

Поскольку точка представляет собой пересечение параболы и прямой , то

Отсюда:

Тогда:

Абсцисса центра тяжести

Для определения координаты выделим элементарную площадку шириной на расстоянии от оси .

Площадь выделенной площадки:

Ордината центра тяжести:

Тогда:

Ответ:

Способы определения координат центра тяжести тела

Существует несколько способов определения координат центра тяжести тел. среди них различают: метод симметрии, метод разбиения и дополнения, экспериментальные способы.

Рассмотрим последовательно эти способы.

Метод симметрии

Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.

Таким образом, центр тяжести однородных симметричных тел, таких как кольца,
прямоугольные пластины, прямоугольные параллелепипеды, шары и другие тела, которые
имеют центр симметрии, расположенный в геометрических центрах (центры симметрии) этих тел.

Метод разбиения

Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести нетрудно определяется, то координаты центра тяжести всего тела можно определить непосредственно по формулам выше. Причем количество слагаемых в числителе каждого из указанных выражений будет равно количеству частей, на которое разбивается тело.

Приведем пример определения центра тяжести тела методом разбиения его на отдельные тела, центры тяжести которых известны.

Пример:

Определить координаты центра тяжести однородной пластины. Размеры в
мм заданные на рис. 1.64

Решение.

Выберем оси координат x и y. Разбиваем пластину на отдельные прямоугольные части. Для каждого прямоугольника проводим диагонали, точки пересечения которых c₁, c₂ и c₃ соответствуют центрам веса каждого прямоугольника. В принятой системе координат нетрудно получить значение координат этих точек. А именно: c₁(–1,1), c₂(1,5), c₃(5,9). Площади каждого тела соответственно равны: I — s₁ = 4 см²; II — s₂ = 20 см²; III — s₃ = 12 см². Площадь всей пластины равна: S = s₁ + s₂ + s₃ = 36 см².

Для определения координат центра тяжести заданной пластины используем выражение выше. Подставив значения всех известных величин в уравнения, получим

По вычисленным значениям координат центра тяжести пластины можно обозначить точку C на рисунке. Как видим, центр тяжести (геометрическая точка) пластины расположен за ее пределами.

Метод дополнения

Способ, о котором говорится далее, является некоторым случаем способа разбиения. Он может применяться к телам, которые имеют вырезы, полости, причем без учета выреза, или вырезанной части тела положение центра тяжести тела известно. Рассмотрим пример применения такого метода.

Пример. Определить положение центра тяжести круглой пластины радиусом R, имеет круговое отверстие радиуса r (рис. 1.65). Расстояние C₁C₂ = a.

Решение.

Как видно из рисунка, центр тяжести пластины находится на оси симметрии пластины x, то есть на прямой, проходящей через точки C₁ и C₂. Таким образом, для определения положения центра тяжести этой пластины необходимо вычислить только одну координату x_C, поскольку вторая координата y_Cравна нулю. Покажем оси координат x, y. Примем, что пластина состоит из двух тел — с полного круга (без учета выреза) и тела,
образовано вырезом. В принятой системе координаты x для указанных тел будут равны: x₁= 0; x₂ = C₁C₂ = a. Площади тел равны: Общая площадь всего тела будет равна физической разницы между площадями первого и второго тел, а именно
Для определения неизвестной координаты центра тяжести
заданной пластины используем первое уравнение выражения.

Подставив значения всех известных величин в это уравнение, получим

Таким образом, значение координаты x_C отрицательное, а потому, поскольку вторая координата 0 y_C = 0, то центр тяжести пластины C размещен на оси x слева от точки C₁.

Экспериментальные способы

Эти способы нашли широкое применение при отыскании положения центра тяжести тел сложных форм и конфигураций, для которых другие способы почти непригодны вследствие громоздкости и сложности. К таким телам, в первую очередь, следует отнести комбайны, тракторы, сложные сельскохозяйственные машины и орудия. При применении экспериментальных способов отыскания положения
центра тяжести наиболее широко используют метод подвешивания и метод взвешивания тел.

При применении метода подвешивания тело на тросе подвешивают за различные его точки. Направление троса, будет давать каждый раз направление силы веса тела. Тогда точка пересечения этих направлений и дает положение центра тяжести тела.

Использование второго метода — взвешивание требует измерения веса всего тела, а также отдельных его частей. Рассмотрим пример применения этого метода.

Пример.

Определим продольную координату центра тяжести трактора, у которого продольная база составляет l (рис. 1.66).

Решение.

Сначала поставим на платформу весов задние колеса трактора, как это показано на рисунке. Итак, определяем силу давления задних колес на платформу, или реакцию . Аналогично определяем вес переднего моста, или реакцию . Вполне понятно, что сумма этих реакций равна общему весу трактора, а именно:

Q = R_A + R_B.

Теперь составим алгебраическую сумму моментов всех сил относительно точки A. Она равна

Откуда определяем продольную координату центра тяжести:

x_C = .

Для определения поперечной координаты центра тяжести трактора необходимо знать реакции левых колес (переднего и заднего) и правых, а также поперечную базу трактора. Дальше аналогичным выражением определяется эти координаты центра тяжести.

Центры тяжести некоторых однородных тел

Определим далее координаты центров тяжести некоторых простых однородных тел.

Центр тяжести дуги окружности

Рассмотрим дугу AB окружности радиусом R, в которой центральный угол OAB равен 2α (радиан) (рис. 1.67). Покажем оси координат x, y начало которых разместим в точке O. Вследствие того, что дуга имеет ось симметрии Ox, то центр ее тяжести будет расположен именно на этой оси (y_C = 0). Остается только вычислить координату x_C.

Используем для вычисления этой координаты первое уравнение выражения, а именно

Определим составляющие, которые необходимо подставить в это уравнение. Для этого выделим на дуге AB элемент M M₁ длиной dl, равной:

dl = R · dφ.

Если φ — угол, определяющий положение элемента M M₁ на дуге AB, то координата x элемента M M₁ будет равна:

x = Rcosφ.

Общая длина дуги AB равна:

L = 2α · R.

Подставим эти значения в первое уравнение выражения. При этом считается, что интеграл в числителе данного выражения должен быть определенным по всей длине дуги. Будем иметь:

Таким образом, координата x_C будет равняться

x_C = .

Центр тяжести треугольника

Есть произвольный треугольник, вершины которого в принятой системе координат Oxy соответствуют точкам с координатами A₁ (x₁, y₁), A₂ (x₂, y₂), A₃ (x₃, y₃) (рис. 1.68). Если провести прямые, которые будут параллельны основе A₁A₃ и провести их достаточное количество, то вся площадь треугольника будет состоять из полос бесконечно малой ширины, центры тяжести которых будут размещены посередине каждой полосы, а потому и центр тяжести треугольника будет расположенный на его медиане. А если провести линии, параллельные другой стороне треугольника, то и в этом случае центр тяжести будет размещен на соответствующей медиане. Таким образом, совершенно очевидно, что центр тяжести треугольника C будет расположен в точке пересечения его медиан.

Определим координаты этой точки. По курсу аналитической геометрии известно, что точка пересечения медиан треугольника в принятой системе координат определяется такими зависимостями

где x₁, x₂, …, y₃ — координаты вершин треугольника.

Полезно также знать, что

Центр тяжести сектора

Рассмотрим круговой сектор OAB радиуса R, центральный угол которого равен 2α (радиан) (рис. 1.69). Центр тяжести сектора, вполне очевидно, лежит на оси его симметрии, то есть на биссектрисе угла AOB. Эту биссектрису примем за ось x и найдем на этой оси положение центра C. Разобьем площадь сектора на бесконечно большое число элементарных секторов с центральными углами ∆φ.

Будем рассматривать каждый сектор как треугольник с основанием R · ∆φ и высотой R. Центр тяжести каждого треугольника расположен на расстоянии от центра сектора. Таким образом, центры тяжести всех треугольников расположены на дуге A´B´. Итак, если 0 ∆φ → 0, то центры тяжести образуют дугу AB, тогда необходимо найти центр тяжести дуги A´B´. Используем формулу, по которой определяется центр тяжести дуги окружности радиусом r:

Тогда учитывая, что

Будем иметь

Услуги по теоретической механике:

Заказать теоретическую механику
Помощь по теоретической механике
Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

Статика
Система сходящихся сил
Момент силы
Пара сил
Произвольная система сил
Плоская произвольная система сил
Трение
Расчет ферм
Расчет усилий в стержнях фермы
Пространственная система сил
Произвольная пространственная система сил
Плоская система сходящихся сил
Пространственная система сходящихся сил
Равновесие тела под действием пространственной системы сил
Естественный способ задания движения точки
Центр параллельных сил
Параллельные силы
Система произвольно расположенных сил
Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
Кинематика
Кинематика твердого тела
Движения твердого тела
Динамика материальной точки
Динамика механической системы
Динамика плоского движения твердого тела
Динамика относительного движения материальной точки
Динамика твердого тела
Кинематика простейших движений твердого тела
Общее уравнение динамики
Работа и мощность силы
Обратная задача динамики
Поступательное и вращательное движение твердого тела
Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
Сферическое движение твёрдого тела
Движение свободного твердого тела
Сложное движение твердого тела
Сложное движение точки
Плоское движение тела
Статика твердого тела
Равновесие составной конструкции
Равновесие с учетом сил трения
Колебания материальной точки
Относительное движение материальной точки
Статические инварианты
Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
Динамика системы материальных точек
Общие теоремы динамики
Теорема об изменении кинетической энергии
Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
Потенциальное силовое поле
Метод кинетостатики
Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Источник

Во многих случаях
центр тяжести тела можно определить с
помощью весьма простых методов. Рассмотрим
некоторые из них.

Симметрия. Если
тело однородно и имеет плоскость
симметрии, то задача определения центра
тяжести несколько упрощается.

Если однородное
тело имеет плоскость симметрии, то центр
тяжести лежит в этой плоскости.

Пусть однородное
тело имеет ось симметрии.

Если однородное
тело имеет ось симметрии, то его центр
тяжести лежит на этой оси.

Аналогично можно
показать, что если
однородное тело имеет ось симметрии,
то центр тяжести тела будет совпадать
с этой точкой.

Так, например, для
пластины, имеющей прямоугольную форму,
центр тяжести лежит в центре прямоугольника.

Разбиение. Иногда
представляется возможным разбить тело
на такие части, для которых вес и положение
центра тяжести заранее известны.

(8.19)

Для однородной
пластины, например, из формулы (8.19)
следует

,

,

(8.20) где

– площади частей плоской фигуры

– координаты центров тяжести этих
частей.

Задача 8.1. Способом разбиения найти
координаты центра тяжести площади
неравнобокого угольника, размеры
которого указаны на рис.

Решение. Разобьем угольник на два
прямоугольника, площади которых равны

,

.

На основании (8.20) формулы для координат
центра тяжести угольника имеют вид

,

,

где

,

– координаты центра тяжести первого
прямоугольника, а

,

– координаты центра тяжести второго
треугольника.

Очевидно, что

,

,

,

.

Таким образом, имеем

Отрицательные
веса. Этот
способ применяют при нахождении центра
тяжести тела, имеющего свободные (т.е.
пустые полости). Центр тяжести тела,
имеющего полости определяет вектор

.
(
8.21)
Таким образом, при нахождении центра
тяжести тела, имеющего свободные полости,
следует применять способ разбиения, но
считать, что полости имеют отрицательные
веса.

Задача 8.2. Найти центр тяжести
однородной круглой пластины радиуса
,
у которой вырезано отверстие в виде
прямоугольника со сторонами

,
использовав способ отрицательных весов.

П
ластина
симметрична относительно оси

;
следовательно,

.
Остается найти лишь одну координату

.

Согласно (8.21) будем иметь

где

,

,

,

.

Таким образом,

8.4. Центры тяжести простейших фигур

Ц
ентр
тяжести треугольника. Воспользуемся
способом разбиения и разделим треугольник
АВС
на элементарные полоски, проведя линии,
параллельные стороне АС
треугольника. Каждую такую полоску
можно принять за прямоугольник; центры
тяжести этих прямоугольников находятся
в их серединах, т.е. на медиане BD
треугольника. Следовательно, центр
тяжести треугольника должен лежать на
этой же медиане BD.

Разбивая теперь
треугольник на элементарные полоски
линиями, параллельными стороне АВ,
заключаем, что центр тяжести треугольника
должен быть расположен на медиане ЕС.

С
ледовательно,
центр
тяжести треугольника находится в точке
пересечения его медиан.
Эта точка, как известно, делит каждую
из медиан на отрезки в отношении

,
т.е

.

Центр тяжести
трапеции. Аналогично
предыдущему, разобьем трапецию ABCD
на элементарные полоски, параллельные
основаниям ВС
и АD.
Центры тяжести полосок расположатся
на прямой KL,
соединяющей середины оснований трапеции.
Следовательно, и центр тяжести трапеции
лежит на этой прямой. Для того, чтобы
найти его расстояние

от нижнего основания, разобьем трапецию
на треугольники АВС
и АСD.
Для этих треугольников соответственно
имеем

,

,

,

.

Используя формулу
(8.20), получаем

Центр тяжести
дуги окружности.
Рассмотрим дугу АDВ
окружности радиуса

с центральным углом

.
Поместим начало координат в центре
окружности и направим ось

перпендикулярно хорде АВ.

Т
ак
как вследствие симметрии фигуры
относительно оси

центр тяжести будет лежать на этой оси

,
т.е.

,
то остается только найти абсциссу центра
тяжести

;
для этого воспользуемся формулой (8.18).

Согласно рис.
имеем

,

,

и, следовательно,

(8.22) где

– половина центрального угла в радианах.

В частности, для
дуги полуокружности

будем иметь

Центр тяжести
кругового сектора. Для
определения положения центра тяжести
кругового сектора разобьем его на
элементарные секторы, как показано на
рис. Каждый элементарный сектор можно
принять за равнобедренный треугольник
с высотой, равной

.
Но высота в равнобедренном треугольнике
является также и его медианой;
следовательно, центр тяжести каждого
элементарного треугольника лежит на
расстоянии

от начала координат О.
Соответственно геометрическим местом
центров тяжести всех элементарных
треугольников является дуга окружности
радиусом

Это означает, что
центр тяжести площади кругового сектора
можно искать как центр тяжести материальной
линии, по которой непрерывно и равномерно
распределен вес этого сектора. Применив
формулу (8.22), получим координату центра
тяжести площади сектора

(8.23) где

– половина центрального угла в радианах.
В частности, для сектора в виде полукруга

получим

(8.24)

Задача 8.3. Пластина получена из
квадрата, сторона которого равна

,
после того,
как из него была вырезана часть,
составляющая четверть круга радиуса

с центром в вершине А квадрата.
Определить центр тяжести пластины.

Решение. Ось

проведем по диагонали квадрата, взяв
начало оси в вершине А. Так как ось

является осью симметрии пластины, то
центр тяжести ее находится на этой оси.
Площадь квадрата без выреза

,
абсцисса его центра тяжести

;
площадь вырезанной части

,
абсцисса центра тяжести ее определяется
формулой (8.23), в которой

,

Центр тяжести пластины определим по
формуле

или, подставляя соответствующие
величины,

Приведем без вывода
формулы, определяющие положения центров
тяжести некоторых простейших однородных
тел.

Поверхность
шарового сегмента

(8.25)

Пирамида и конус.
Центр тяжести
находится на прямой, соединяющей вершину
с центром тяжести О
площади основания, на

ее длины, считая от основания

(8.26)

Шаровой сектор.

(8.27) где

– радиус шара и

– высота сферической части сектора.

З
адача
8.4. Определить центр тяжести высоты
колонны, состоящей из однородного
цилиндра весом

,
высоты

и радиуса

,
на который установлена половина
однородного шара радиуса

Решение. Разделим колонну на
цилиндрическую и шаровую части. Центр
тяжести всей системы лежит на оси
симметрии. Абсцисса центра тяжести
цилиндра

.
Расстояние от центра полушария до его
центра тяжести найдем по формуле (8.27)
при

,
что дает

.
Следовательно,

.
Пользуясь равенством (8.19), найдем центр
тяжести колонны

^*
Методы решения статически неопределимых
задач выходят за рамки теоретической
механики и относятся к курсу сопротивления
материалов и строительной механики.

1
Усилием в стержне называется алгебраическая
величина силы, действующей вдоль стержня
и растягивающей или сжимающей его; при
растяжении усилие считается положительным,
а при сжатии – отрицательным.

2
Здесь и в дальнейшем на протяжении
пятой главы предполагается, что все
силы расположены в одной плоскости ху
и что точки, относительно которых
вычисляются моменты, лежат в плоскости
действия сил. Ось z, перпендикулярная
плоскости действия сил, на рисунках не
показывается.

*
В тех случаях, когда стрела провеса f
не мала по сравнению с длиной пролета
l, уравнение кривой
равновесия тяжелой линии определяет
цепную линию.

3
Предполагается, что линии действия сил
параллельны оси z/

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Статические моменты и координаты центра тяжести

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой

а) Пусть материальная точка массы отстоит от оси ell на расстоянии . Статическим моментом этой точки относительно оси ell называют число . Статическим моментом системы материальных точек A_1,A_2,ldots,A_n , расположенных по одну сторону от оси ell , массы которых равны m_1,m_2,ldots,m_n , а расстояния от оси ell равны d_1,d_2,ldots,d_n называют число

$S_{ell}= sumlimits_{k=1}^{n}m_kd_k,.$

Если же эти точки расположены по разные стороны от оси, то для точек, находящихся по одну сторону оси, расстояния берутся положительными, а для точек по другую сторону от оси — отрицательными.

Поэтому если точки A_1,A_2,ldots,A_n расположены на координатной плоскости,

A_k=A_k(x_k;y_k) , то $S_x=sumlimits_{k=1}^{n}m_ky_k,,~~ S_y=sumlimits_{k=1}^{n}m_kx_k,,$

где S_x — статический момент относительно оси и S_y — относительно оси .

б) Рассмотрим теперь случай, когда масса равномерно распределена по некоторой кривой Gamma или по некоторой области lambda . Будем считать, что плотность распределения равна единице. Тогда масса дуги численно равна ее длине, а масса области — ее площади.

Начнем со случая кривой линии Gamma , задаваемой уравнением y=f(x),~a leqslant x leqslant b , причем предположим, что функция f(x) непрерывна и неотрицательна.

Как обычно, разобьем отрезок [a;b] на части точками a=x_0<x_1< ldots<x_n=b и обозначим через m_k и M_k наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке $[x_k;x_{k+1}]$ , Этому разбиению соответствует разбиение дуги Gamma на части $gamma_0,ldots, gamma_{n-1}$ (рис. 60). Из физических соображений ясно, что статический момент S_k части gamma_k относительно оси абсцисс заключен между m_kell_k и , где ell_k —длина этой части, ell_k=ell(gamma_k) (напомним, что мы положили линейную плотность дуги равной единице). Таким образом,

Разбиение отрезка на части точками

m_kcdotell_k leqslant S_k leqslant M_kcdotell_k . Поэтому $sumlimits_{k=0}^{n-1} m_kell_k leqslant S_x leqslant sumlimits_{k=0}^{n-1}M_kell_k$ , то есть

$sumlimits_{k=0}^{n-1}m_k intlimits_{x_k}^{x_{k+1}} sqrt{1+(y')^2},dx leqslant S_x leqslant sumlimits_{k=0}^{n-1}M_k intlimits_{x_k}^{x_{k+1}} sqrt{1+(y')^2},dx,.$

Так как на отрезке $[x_k;x_{k+1}]$ выполняется неравенство

$m_kcdot sqrt{1+(y')^2} leqslant ycdot sqrt{1+(y')^2} leqslant M_kcdot sqrt{1+(y')^2},,$

то в тех же границах, что и S_x , заключен интеграл $intlimits_{a}^{b} ysqrt{1+(y')^2},dx$ . Значит,

$S_x= intlimits_{a}^{b}ysqrt{1+(y')^2},dx,.$

(1)

Этот интеграл обозначают также следующим образом: $intlimits_{Gamma}y,dell$ или $intlimits_{0}^{ell}y,dell$ .

Физики обычно заменяют проведенное рассуждение более коротким. Они берут «бесконечно малый участок дуги» dell . Его статический момент равен y,dell . А статический момент всей дуги равен сумме элементарных статических моментов, т. е. $intlimits_{a}^{b} y,dell$ . Преимуществом этого вывода является его наглядность. Однако в нем не определено, что такое «бесконечно малый участок дуги», или как еще говорят, «элемент дуги». При уточнении этого понятия мы вновь приходим к более длинному выводу, изложенному ранее. В дальнейшем для краткости изложения мы будем использовать принятый в физике метод рассуждений. С его помощью сразу выводим, что

$S_y=intlimits_{a}^{b}xsqrt{1+(y')^2},dx= intlimits_{0}^{ell}x,dell,.$

(2)

Как формула (1), так и формула (2) верны и в случае, когда кривая Gamma пересекает оси координат.

в) Введем понятие центра тяжести.

Определение. Центром тяжести тела называется такая точка , что если в ней сосредоточить всю его массу, то статический момент этой точки относительно любой оси будет равен статическому моменту всего тела относительно той же оси.

Обозначим через и eta расстояния центра тяжести кривой от осей ординат и абсцисс.

Тогда, пользуясь определением центра тяжести кривой, получим:

$S_x= ellcdoteta= intlimits_{0}^{ell}y,dell,;qquad S_y=ellcdotxi= intlimits_{0}^{ell}x,dell,.$

Разрешая полученные равенства относительно и eta , найдем координаты центра тяжести плоской кривой Gamma:

$xi=frac{1}{ell} intlimits_{0}^{ell} x,dell,;qquad eta=frac{1}{ell} intlimits_{0}^{ell}y,dell,.$

Замечание. Если кривая расположена симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести такой кривой находится на этой прямой.

Это замечание позволяет в некоторых случаях упростить нахождение координат центра тяжести плоской кривой.

Пример 1. Найти статический момент полуокружности относительно диаметра.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а диаметр, относительно которого мы ищем статический момент, совпал с осью . Тогда статический момент полуокружности относительно диаметра выразится формулой

$S_x=intlimits_{0}^{ell} y,dell$ , где $dell=sqrt{1+(y')^2},dx$ — дифференциал дуги кривой y=f(x) .

В выбранной системе координат уравнение полуокружности запишется так: $y=sqrt{R^2-x^2}$ . Тогда

$y'=-frac{x}{sqrt{R^2-x^2}},~~1+(y')^2= frac{R^2}{R^2-x^2}$ и потому $dell=frac{R,dx}{sqrt{R^2-x^2}}$ .

Следовательно,

$S_x=intlimits_{-R}^{R}! sqrt{R^2-x^2}cdot frac{R,dx}{sqrt{R^2-x^2}}= 2R intlimits_{0}^{R}dx= 2R^2.$

Пример 2. Найдем центр тяжести четверти окружности x^2+y^2=4 , расположенной в первом квадранте.

Решение. Данная кривая расположена симметрично относительна биссектрисы первого координатного угла, следовательно, центр тяжести этой кривой лежит на биссектрисе, а потому xi=eta . Достаточно найти только $xi=frac{1}{ell} intlimits_{0}^{ell} x,dell$ .

Вычисление проще провести, перейдя к параметрическим уравнениям окружности. Так как ее радиус равен двум, то для четверти окружности имеем:

$begin{cases}x=2cos{t},,\ y=2sin{t},,end{cases} 0 leqslant t leqslant frac{pi}{2},.$

Отсюда находим, что $x'_t=-2sin{t},~ y'_t=2cos{t}$ и

$dell= sqrt{(x'_t)^2+(y'_t)^2},dt= sqrt{4sin^2t+4cos^2t},dt= 2,dt,.$

Поскольку длина ell четверти данной окружности равна $frac{1}{4}cdot 2picdot2=pi$ , то

$xi=frac{1}{pi} intlimits_{0}^{2pi} 2cos{t}cdot2,dt= left.{frac{4}{pi} sin{t}}right|_{0}^{pi/2}= frac{4}{pi},.$

Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур

Найдем статический момент прямоугольника со сторонами и ell относительно стороны . Разобьем этот прямоугольник на элементарные прямоугольники, имеющие стороны и (рис. 61). Масса элементарного прямоугольника равна его площади k,dy (напомним, что по предположению плотность распределения массы равна единице). Поэтому элементарный статический момент равен ky,dy , а статический момент всего прямоугольника равен

Разбиение прямоугольника на элементарные прямоугольники

$intlimits_{0}^{ell} ky,dy= left.{frac{k}{2},y^2}right|_{0}^{ell}= frac{kell^2}{2},.$

(1)

Теперь уже легко найти статический момент криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x) , где f(x) — непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a;b] , снизу осью абсцисс, а с боков прямыми x=a,~ x=b .

Разобьем криволинейную трапецию на элементарные прямоугольники, основание каждого из которых равно и высота . Статический момент такого прямоугольника относительно оси абсцисс по формуле (1) равен $frac{y^2}{2},dx$ , а потому статический момент всей криволинейной трапеции равен $frac{1}{2}intlimits_{a}^{b} y^2,dx$ . В случае, когда не выполняется предположение о неотрицательности функции y=f(x) , эту формулу надо заменить такой:

$S_x=frac{1}{2} intlimits_{a}^{b} y|y|,dx$

(части фигуры, расположенные ниже оси абсцисс, дают отрицательный вклад в S_x ).

Поскольку по предположению плотность равна единице, то масса криволинейной трапеции равна ее площади, т. е. интегралу $intlimits_{a}^{b} |y|,dx$ , а потому ордината центра тяжести этой трапеции выражается формулой

$eta=frac{intlimits_{a}^{b} y|y|,dx}{2 intlimits_{a}^{b} |y|,dx},.$

Нетрудно найти и статический момент криволинейной трапеции относительно оси ординат. Для этого достаточно заметить, что расстояние элементарного прямоугольника от этой оси равно . Поэтому его статический момент равен x|y|,dx , а статический момент всей трапеции выражается формулой

$S_y=intlimits_{a}^{b} x|y|,dx$ . Следовательно, абсцисса центра тяжести выражается так: $xi=frac{intlimits_{a}^{b} x|y|,dx}{intlimits_{a}^{b} |y|,dx}$ .

Пример 3. Найти статический момент (относительно оси ) фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды:

$begin{cases}x=a(t-sin{t}),\ y=a(1-cos{t}),end{cases} 0leqslant tleqslant2pi,.$

Решение. Так как параметр одной арки циклоиды изменяется от до 2pi , то

$begin{aligned}S_x&= frac{1}{2} intlimits_{0}^{2pi} a^2(1-cos{t})^2a(1-cos{t}),dt= frac{a^3}{2} intlimits_{0}^{2pi} (1-cos{t})^3,dt=\ &= left.{frac{a^3}{2}! left[t-3sin{t}+ frac{3}{2}! left(t+frac{1}{2} sin2tright)- left(sin{t}-frac{1}{3} sin^3tright)right] }right|_{0}^{2pi}=\ & =frac{a^3}{2}! left(2pi+frac{3}{2}cdot 2piright) = frac{5}{2},pi a^3.end{aligned}$

Пример 4. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной осью и одной полуволной синусоиды y=sin{x} .

Решение. Так как фигура под полуволной синусоиды расположена симметрично относительно прямой $x=frac{pi}{2}$ , то центр тяжести лежит на этой прямой и, следовательно, $xi=frac{pi}{2}$ . Ордината eta центра тяжести находится по формуле $eta=frac{1}{2S} intlimits_{0}^{pi} y^2,dx$ .

Так как $S=intlimits_{0}^{pi} sin{x},dx= Bigl.{-cos{x}}Bigr|_{0}^{pi}=2$ , то $eta=frac{1}{4} intlimits_{0}^{pi}sin^2x,dx = frac{pi}{8}$ .

Итак, центр тяжести данной фигуры находится в точке $left(frac{pi}{2}; frac{pi}{8}right)$ .

Пример 5. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды $begin{cases}x=a(t-sin{t}),\ y=a(1-cos{t}).end{cases}$ .

Решение. Данная фигура расположена симметрично относительно прямой x=pi a , следовательно, центр тяжести ее находится на этой прямой, и потому xi=pi a . Найдем eta по формуле $eta=frac{1}{2S} intlimits_{a}^{b} y^2,dx$ .

Площадь данной фигуры была вычислена раньше, она равна 3pi a^2 . Следовательно,

$eta=frac{1}{6pi a^2} intlimits_{0}^{2pi} a^3(1-cos{t})^3,dt= frac{5}{6},a,.$

Центр тяжести данной фигуры находится в точке $left(pi a; frac{5}{6},aright)$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Определение координат центра тяжести x_C и y_C плоских фигур нестандартной формы выполняется при решении задач для последующих расчетов остальных геометрических характеристик, например, таких как радиусы и осевые моменты инерции поперечных сечений.

Рассмотрим способы и пример определения координат положения центра тяжести фигуры нестандартной формы.

Способы определения координат центра тяжести

Способы определения координат центров тяжести твердых объёмных тел и плоских фигур можно получить исходя из полученных ранее общих формул для расчета положения центра тяжести.

Существует 5 способов расчета координат положения центра тяжести:

Аналитический (путем интегрирования).
Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
Экспериментальный. (метод подвешивания тела).
Этот способ подходит в основном для плоских и линейных тел.
Разбиение. Тело или фигура разбивается на конечное число частей (простых тел или фигур), для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь A известны.
Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями A₁ и A₂ (A = A₁+ A₂).

Рисунок 1.8

Центры тяжести этих фигур находятся в точках C₁(x₁, y₁) и C₂(x₂, y₂). Тогда координаты центра тяжести тела равны:
Дополнение (Метод отрицательных площадей или объемов).
Это частный случай предыдущего способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны.

Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):

Рисунок 1.9

Тогда координаты центра тяжести фигуры с отверстием можно определить по формулам:

При решении задач по определению координат центра тяжести плоских фигур и объемных тел применяются последние два способа (разбиение и дополнение).

Пример определения координат центра тяжести сложной фигуры в нашем коротком видео:

Другие видео

Пример определения координат центра тяжести плоской фигуры

Задача
Определить координаты центра тяжести плоской фигуры с круглым отверстием

Решение
Разделим заданное сечение на простые фигуры – прямоугольник, круг и прямоугольный треугольник.
Через нижнюю левую точку фигуры проведем координатные оси x и y.

Рассчитаем необходимые для решения задачи площади A и координаты x,y центров тяжести C_i отдельных фигур:

Прямоугольник (фигура 1)
Площадь
A₁=400×500=200000 мм²
Положение центра тяжести
x₁=200мм
y₁=250мм

Круг (2) (вычитаемая фигура)
Площадь
A₂=π×200²/4=31416 мм²
Центр тяжести
x₂=200мм
y₂=300мм

Прямоугольный треугольник (3)
Площадь
A₃=400*100/2=20000 мм²
Положение центра тяжести треугольника находится на пересечении его медиан (на расстоянии 1/3 высоты от основания или 2/3 высоты от его вершин)
x₃=400×2/3=266,7мм
y₃=500+100×1/3=533,3мм

Координаты x и y центра тяжести C всей плоской фигуры определим по формулам:

Ответ: Таким образом, центр тяжести заданной фигуры находится в точке C с координатами x_C=207,1мм, y_C=271,7мм.

Другие примеры решения задач >
Центры тяжести простейших фигур >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Источник