Как найти координаты центроида

A triangle consists of three sides and three interior angles. Centroid refers to the centre of an object. Coming to the centroid of the triangle, it is defined as the meeting point of all the three medians of a triangle. The median of a triangle is defined as the line that is drawn from one side of a triangle to the midpoint of another side. So, we can say that the median is a line that is drawn from a vertex to the opposite side and divides in a 1:1 ratio. 

In order to understand better about the median consider the below figure:

A line that is drawn from the vertex “A” divides the opposite side i.e., “BC” into 2 equal parts.

Therefore,  BD:DC = 1:1

The centroid of the triangle divides the median in the ratio 2:1. To prove that centroid divides median in 2:1 ratio let’s consider a triangle and reflect it on one of the sides i.e., as shown in the below fig. where triangle ABD is the reflection of triangle ACD when reflected along with the side AD.

 , 

ACDB is a parallelogram 

The lines GD = AF and AG // FD, therefore AGDF make a parallelogram

CG = GD, IG //  DJ, from the intercept theorem CI = IK

IK = KJ, CK:IK = 2:1

Therefore the centroid here is I that divides median CK in 2:1 ratio.

In order to find the coordinates of centroid, it is simply the mean of all the coordinates of three vertices of a triangle. Let us consider (x1, y1), (x2, y2) and (x3, y3) as the three coordinates of the triangle, then the coordinates of centroid are  ([x1+x2+x3]/3, [y1+y2+y3]/3).

Centroid formula for the triangle is

Sample Problems

Problem 1. Find the centroid of the triangle whose vertices are A(2,4), B(2,6) and C(4,6),

Solution:

Given A(2,4), B(2,6) and C(4,6) as the vertices of triangle ABC.

From the centroid formula of triangle we know,

centroid = ([x1+x2+x3]/3, [y1+y2+y3]/3) 

substituting the given values we get ⇒  ([2+2+4]/3, [4+6+6]/3)

⇒ (8/3,16/3)

Hence the centroid for the given vertices is (8/3,16/3).

Problem 2. Find the centroid of the triangle whose vertices are A(9,4), B(1,6) and C(-2,0),

Solution:

Given A(9,4), B(1,6) and C(-2,0) as the vertices of triangle ABC.

From the centroid formula of triangle we know,

centroid = ([x1+x2+x3]/3, [y1+y2+y3]/3)

substituting the given values we get ⇒  ([9+1+-2]/3, [4+6+0]/3)

⇒ (8/3,10/3)

Hence the centroid for the given vertices is (8/3,10/3).

Problem 3. Find the centroid of the triangle whose vertices are P(-2,-4), Q(0,2) and R(0,0).

Solution:

Given P(-2,-4), Q(0,2) and R(0,0) as the vertices of triangle PQR.

From the centroid formula of triangle we know,

centroid = ([x1+x2+x3]/3, [y1+y2+y3]/3)

substituting the given values we get ⇒  ([-2+0+0]/3, [-4+2+0]/3)

⇒ (-2/3,-2/3)

Hence the centroid for the given vertices is (-2/3,-2/3).

Problem 4. Find the centroid of the triangle whose vertices are A(2,6), B(9,4) and C(6,15)

Solution:

Given A(2,6), B(9,4) and C(6,15) as the vertices of triangle ABC.

From the centroid formula of triangle we know,

centroid = ([x1+x2+x3]/3, [y1+y2+y3]/3)

substituting the given values we get ⇒  ([2+9+6]/3, [6+4+15]/3)

⇒ (17/3,25/3)

Hence the centroid for the given vertices is (17/3,25/3).

Problem 5. Find the centroid of the triangle whose vertices are A(20,0), B(2,0) and C(11,6)

Solution:

Given A(20,0), B(2,0) and C(11,6) as the vertices of triangle ABC.

From the centroid formula of triangle we know,

centroid = ([x1+x2+x3]/3, [y1+y2+y3]/3)

substituting the given values we get ⇒  ([20+2+11]/3, [0+0+6]/3)

⇒ (33/3,6/3)

Hence the centroid for the given vertices is (11,2).

Last Updated :
15 Mar, 2022

Like Article

Save Article

Модераторы: Poseidon

Поиск:

 

0 Пользователей читают эту тему (0 Гостей и 0 Скрытых Пользователей)

0 Пользователей:

« Предыдущая тема | Центр помощи | Следующая тема »

6354 / 4062 / 1510 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
17.08.2019, 16:13	2
Сообщение было отмечено Europe_X как решение Решение Сообщение от Europe_X Координаты треугольника нам известны. Пропущено слово «вершин». Сообщение от Europe_X Нужно найти, чему равны Сами вы не найдёте, только с точностью до подобия, то есть можно найти доли — если вы увеличите все с в 10 раз, координаты М не изменятся. Сообщение от Europe_X и двух центроидов. Достаточно знать координаты вершин треугольника и точки М, чтобы найти вышеуказанные два отношения. Для этого нужно решить систему уравнений относительно или, что то же самое, систему Система 3*2, поэтому может решений и не иметь (не знаю вашей подготовки, но некоторые студенты почему-то считают, что если вместо исходных данных подставлять произвольные числа, то метод/формула всегда должен выдавать решение, в вашем случае это не так). Решаем систему 2*2 методом Крамера с условием, что при найденных значениях третье уравнение системы должно выполняться. Решение: Если определитель в знаменателе равен 0, а хотя бы один из определителей в числителе не равен 0, то решений нет — ортогональные проекции на ХОY вершин треугольника лежат на одной прямой, а та же проекция точки М на ней же не лежит, чего быть не может. Если все определители в числителях и знаменателе равны по 0, то взять в системе 3*2 не первые две строки, а другую пару строк и решить систему 2*2 уже с этой парой. Геометрически это означает, что плоскость данного треугольника ортогональна плоскости XOY, поэтому треугольник проецируется в отрезок на плоскость ХОY, и нам нужно тогда спроецировать его на другую координатную плоскость. Нашли вы неизвестные отношения. Тогда должно быть выполнено равенство . Если оно не выполняется, то геометрически это означает, что точка М не лежит в плоскости данного треугольника, то есть решения нет, так как исходные данные не корректные (ошибка многих студентов, о чём писал выше). Добавлено через 18 минут Чтобы корректно задать исходные данные, нужно проверить условие , что геометрически означает, что векторы лежат в одной плоскости. Может так выйти, что коэффициенты (один или оба) получатся вне отрезка [0;1]. Это означает, что вы взяли точку М вне треугольника АВС, и тогда какой-то из коэффициентов или несколько будут <0. 1

Центр тяжести треугольника

Этот онлайн калькулятор находит центроид, или барицентр (центр тяжести) треугольника по координатам его вершин

Центр тяжести (центр масс, барицентр) треугольника для треугольника с равномерно распределённой массой (или в вершинах которого находятся равные массы) находится в центроиде треугольника. Центроидом называется точка пересечения медиан треугольника. Центроид относится к так называемым замечательным точкам треугольника. Например, помимо того, что он является центром тяжести, он также делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины, а три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника.

Чтобы вычислить положение центра тяжести по координатам вершин треугольника, достаточно вычислить среднее арифметическое координат вершин по оси x и по оси y, что и делает калькулятор ниже.

Тема 1.5. Центр тяжести тела

§1. Центр тяжести однородного тела.

Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит.

Если разбить тело на элементарные части объемом ∆V_i , то на каждую его часть будет действовать сила притяжения ∆P_i, направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис.1), и к ней применимы все выводы предыдущей главы.

Рис.1. Параллельная система сил

Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела.

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой

2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тя­жести тела находится в этой точке.

§2. Способы определения координат центра тяжести.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.2), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

Рис.2. Центр тяжести тел, имеющих ось симметрии

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.3), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Рис.3. Центр тяжести сплошной

сложной геометрической фигуры

— центр тяжести и площадь первой фигуры;

— центр тяжести и площадь второй фигуры;

— координата центра тяжести сплошной сложной геометрической фигуры по оси x;

— координата центра тяжести сплошной сложной геометрической фигуры по оси y;

3. Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.4). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S₁ и площади вырезанной части S₂ .

Рис.4. Центр тяжести сложной геометрической фигуры,

— центр тяжести и площадь первой фигуры;

— центр тяжести и площадь второй фигуры;

— координата центра тяжести сложной геометрической фигуры по оси x;

— координата центра тяжести сложной геометрической фигуры по оси y;

§3. Координаты центра тяжести некоторых простых фигур.

1. Центр тяжести тре­угольника. Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан (рис.5). Координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин: x_c =1/3(x₁+x₂+x₃) ; y_c =1/3(y₁+y₂+y₃).

Рис.5. Центр тяжести треугольника

2. Центр тяжести прямоугольника. Центр тяжести прямоугольника лежит в точке пересечения его диагоналей (рис.6). Координаты центра тяжести прямоугольника рассчитываются по формулам: x_c =b/2 ; y_c =h/2.

Рис. 6. Центр тяжести треугольника

3. Центр тяжести полукруга. Центр тяжести полукруга лежит на оси симметрии (рис.7). Координаты центра тяжести полукруга рассчитываются по формулам: x_c =D/2 ; y_c =4R/3π.

Рис. 7. Центр тяжести полукруга

4. Центр тяжести круга. Центр тяжести круга лежит в центре (рис.8). Координаты центра тяжести круга рассчитываются по формулам: x_c =R ; y_c =R.

Рис. 8. Центр тяжести круга

Вопросы для самопроверки:

— Что называется центром параллельных сил?

— Что называется центром тяжести тела?

— Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?

— Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?

— Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, квадрата, трапеции и половины круга?

— Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?

— В чем состоит сущность способа отрицательных площадей?

— Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?

— Запишите формулу, определяющую центр тяжести треугольника.

Центр треугольника

Центр треугольника — точка пересечения медиан в треугольнике. Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

Калькулятор центра треугольника. Точка, через которую все три медианы треугольника проходят называется центром треугольника и делит каждую медиану в отношении 2:1.

Формула центроида треугольника

Пример нахождения центроида

Найдите центр треугольника, если известны координаты его вершин (-1, -3), (2, 1) и (8, -4). x1 = -1, y1 = -3 x2 = 2, y2 = 1 и x3 = 8, y3 = -4

Подставляем значения в формулу

Приведенный выше пример наглядно показывает, как рассчитать центр треугольника вручную.

Среднее («среднее») положение всех точек в форме Центроид треугольника

В математика и физика, центроид или геометрический центр плоской фигуры — это среднее арифметическое положение всех точек на рисунке. Неформально, это точка, в которой вырез формы может быть идеально сбалансирован на кончике булавки.

Определение распространяется на любой объект в n- мерном пространстве : его центроид — это среднее положение всех точек во всех направлениях координат.

В то время как в геометрии слово барицентр является синонимом центроида, в астрофизике и астрономии барицентр — это центр масс двух или более тел, вращающихся по орбите друг с другом. В физике центр масс — это среднее арифметическое всех точек , взвешенных по локальной плотности или удельному весу. Если физический объект имеет однородную плотность, его центр масс совпадает с центроидом его формы.

В geography центроид радиальной проекции области земной поверхности на уровень моря — это географический центр региона.

Содержание

• 1 История
• 2 Свойства
• 3 Примеры
• 4 Расположение
  • 4.1 Метод отвеса
  • 4.2 Метод балансировки
  • 4.3 Из конечного набора точек
  • 4.4 Путем геометрического разложения
  • 4.5 По интегральной формуле
  • 4.6 Ограниченной области
  • 4.7 L-образного объекта
  • 4.8 Треугольника
  • 4.9 Многоугольника
  • 4.10 Конуса или пирамиды
  • 4.11 Тетраэдра и n -мерный симплекс
  • 4.12 Полушария
• 5 См. также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

История

Термин «центроид» появился недавно чеканка (1814 г.). Он используется в качестве замены старых терминов «центр тяжести » и «центр масс », когда необходимо подчеркнуть чисто геометрические аспекты этой точки. Термин свойственен английскому языку. Французы чаще всего используют «центр притяжения», а другие используют термины схожего значения.

Центр тяжести, как следует из названия, возник в механике, скорее всего, в связи со строительством. Когда, где и кем он был изобретен, неизвестно, так как эта концепция, вероятно, пришла в голову многим людям индивидуально с небольшими различиями.

Хотя возможно Евклид все еще был активен в Александрии в детстве Архимеда (287–212 до н.э.), несомненно, что когда Архимед посетил Александрия, Евклида там больше не было. Таким образом, Архимед не мог усвоить теорему о том, что медианы треугольника пересекаются в точке — центре тяжести треугольника непосредственно от Евклида, поскольку этого утверждения нет в Элементах Евклида. Первое явное утверждение этого предположения принадлежит Герону Александрийскому (возможно, I век н.э.) и встречается в его «Механике». Между прочим, можно добавить, что это положение не входило в учебники по геометрии плоскости до XIX века.

Хотя Архимед прямо не заявляет об этом утверждении, он косвенно ссылается на него, предполагая, что он был с ним знаком. Однако Жан Этьен Монтукла (1725–1799), автор первой истории математики (1758), категорически заявляет (т. I, стр. 463), что центр тяжести твердых тел является предметом Архимеда не трогал.

В 1802 году Шарль Босу (1730–1813) опубликовал двухтомный Essai sur l’histoire générale des mathématiques. Эта книга была высоко оценена современниками, судя по тому, что уже через два года после публикации она была переведена на итальянский (1802–03), английский (1803) и немецкий (1804) языки. Боссут считает, что Архимед обнаружил центроид плоских фигур, но ничего не говорит о твердых телах.

Свойства

Геометрический центроид выпуклого объекта всегда лежит в объект. У невыпуклого объекта центр тяжести может находиться за пределами самой фигуры. Центроид кольца кольца или чаши, например, лежит в центральной пустоте объекта.

Если центроид определен, он является фиксированной точкой всех изометрий в его группе симметрии. В частности, геометрический центр тяжести объекта лежит на пересечении всех его гиперплоскостей симметрии . Центроид многих фигур (правильный многоугольник, правильный многогранник, цилиндр, прямоугольник, ромб, круг, сфера, эллипс, эллипсоид, суперэллипс, суперэллипсоид и т. д.) может определяться только этим принципом.

В частности, центр тяжести параллелограмма является точкой пересечения его двух диагоналей . Это не относится к другим четырехугольникам .

. По той же причине центроид объекта с трансляционной симметрией не определен (или находится за пределами ограничивающего пространства), поскольку сдвиг не имеет фиксированной точки..

Примеры

Центроид треугольника — это пересечение трех медиан треугольника (каждая медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны).

Другие свойства центроида треугольника см. В ниже.

Определение местоположения

Метод отвесной линии

Центроид равномерно плотной плоской пластинки, например, на рисунке (а) ниже, может быть определено экспериментально с использованием отвеса и штифта для нахождения совмещенного центра масс тонкого тела однородной плотности, имеющего такую ​​же форму. Корпус удерживается штифтом, вставленным в точку за пределами предполагаемого центра тяжести, таким образом, что он может свободно вращаться вокруг штифта; затем отвес снимается со штифта (рисунок b). Положение отвеса отслеживается на поверхности, и процедура повторяется со шпилькой, вставленной в любой другой точке (или в нескольких точках) за пределами центроида объекта. Единственной точкой пересечения этих линий будет центроид (рисунок c). При условии, что тело имеет однородную плотность, все линии, построенные таким образом, будут включать центроид, и все линии будут пересекаться в одном и том же месте.

Этот метод может быть расширен (теоретически) на вогнутые формы, где центр тяжести может лежать вне формы, и фактически к твердым телам (опять же с однородной плотностью), где центр тяжести может находиться внутри тела. (Виртуальные) положения отвесов должны быть записаны другими способами, кроме их рисования по форме.

Метод балансировки

Для выпуклых двумерных форм центр тяжести может быть найден путем уравновешивания формы на меньшей форме, такой как вершина узкого цилиндра. Центроид находится где-то в пределах диапазона контакта между двумя формами (и точно в точке, где форма будет балансировать на штифте). В принципе, для определения центра тяжести с произвольной точностью можно использовать все более узкие цилиндры. На практике воздушные потоки делают это невозможным. Однако, отмечая диапазон перекрытия нескольких весов, можно достичь значительного уровня точности.

конечного набора точек

Центроид конечного набора k { displaystyle k}точек x 1, x 2, …, Xk { displaystyle mathbf {x} _ {1}, mathbf {x} _ {2}, ldots, mathbf {x} _ {k}}в R п { displaystyle mathbb {R} ^ {n}}равно

C = x 1 + x 2 + ⋯ + xkk { displaystyle mathbf {C} = { frac { mathbf {x} _ {1} + mathbf {x} _ {2} + cdots + mathbf {x} _ {k}} {k}}}.

Эта точка минимизирует сумму квадратов евклидовых расстояний между собой и каждая точка в наборе.

Путем геометрического разложения

Центроид плоской фигуры X { displaystyle X}можно вычислить, разделив его на конечное число более простых фигур X 1, X 2,…, X n { displaystyle X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n}}, вычисление центроида C i { displaystyle C_ {i}}и области A i { displaystyle A_ {i}}каждой части, а затем вычисление

C x = ∑ C ix A я ∑ A я, С Y знак равно ∑ С iy A я ∑ A я { displaystyle C_ {x} = { frac { sum C_ {i_ {x}} A_ {i}} { sum A_ {i}} }, C_ {y} = { frac { sum C_ {i_ {y}} A_ {i}} { sum A_ {i}}}}

Отверстия на рисунке X { displaystyle X }, перекрытия между частями или части, выходящие за пределы рисунка, могут быть обработаны с использованием отрицательных областей A i { displaystyle A_ {i}}. А именно, меры A i { displaystyle A_ {i}}следует принимать с положительными и отрицательными знаками таким образом, чтобы сумма знаков A i { displaystyle A_ {i}}для всех частей, которые окружают данную точку p { displaystyle p}равно 1, если p { displaystyle p}принадлежит X { displaystyle X}, иначе 0.

Например, рисунок ниже (а) легко разделить на квадрат и треугольник, оба с положительной площадью; и круглое отверстие с отрицательной площадью (b).

(a) 2D-объект (b) Объект, описанный с использованием более простых элементов (c) Центроиды элементов объекта

Центроид каждой части можно найти в любом списке центроидов простых форм (в). Тогда центроид фигуры — это средневзвешенное значение трех точек. Горизонтальное положение центроида от левого края рисунка

x = 5 × 10 2 + 13,33 × 1 2 10 2 — 3 × π 2,5 2 10 2 + 1 2 10 2 — π 2,5 2 ≈ 8,5 единицы измерения. { displaystyle x = { frac {5 times 10 ^ {2} +13,33 times { frac {1} {2}} 10 ^ {2} -3 times pi 2,5 ^ {2}} {10 ^ {2} + { frac {1} {2}} 10 ^ {2} — pi 2,5 ^ {2}}} приблизительно 8,5 { mbox {units}}.}

Вертикальное положение центроид находится точно так же.

Та же формула верна для любых трехмерных объектов, за исключением того, что каждый A i { displaystyle A_ {i}}должен быть объемом X i { displaystyle X_ {i}}, а не его площадь. Это также справедливо для любого подмножества R d { displaystyle mathbb {R} ^ {d}}, для любого измерения d { displaystyle d}с областями, замененными на d { displaystyle d}-размерные меры частей.

По интегральной формуле

Центроид подмножества X из R n { displaystyle mathbb {R} ^ {n}}также может быть вычислен интегралом

C = ∫ xg (x) dx ∫ g (x) dx { displaystyle C = { frac { int xg (x) ; dx} { int g (x) ; dx}}}

где интегралы берутся по всему пространству R n { displaystyle mathbb {R} ^ {n}}, а g — характеристика функция подмножества, которая равна 1 внутри X и 0 вне его. Обратите внимание, что знаменатель — это просто мера множества X. Эта формула не может быть применена, если у множества X есть нулевая мера или если любой интеграл расходится.

Другая формула для центроида:

C k = ∫ z S k (z) dz ∫ S k (z) dz { displaystyle C_ {k} = { frac { int zS_ {k } (z) ; dz} { int S_ {k} (z) ; dz}}}

где C k — это k-я координата C, а S k (z) — это мера пересечения X с гиперплоскостью, определяемая уравнением x k = z. И снова знаменатель — это просто мера X.

Для плоской фигуры, в частности, координаты центра масс:

C x = ∫ x S y (x) dx A { displaystyle C _ { mathrm {x}} = { frac { int xS _ { mathrm {y}} (x) ; dx} {A}}}

C y = ∫ y S x (y) dy A { displaystyle C _ { mathrm {y}} = { frac { int yS _ { mathrm {x}} (y) ; dy} {A}}}

где A — площадь фигуры X; S y (x) — длина пересечения X с вертикальной линией на абсциссе x; и S x (y) — аналогичная величина для поменяемых местами осей.

ограниченной области

Центроид (x ¯, y ¯) { displaystyle ({ bar {x}}, ; { bar {y}}) }области, ограниченной графиками непрерывных функций f { displaystyle f}и g { displaystyle g}такое, что f (x) ≥ g (x) { displaystyle f (x) geq g (x)}на интервале [a, b] { displaystyle [a, b]}, a ≤ x ≤ b { displaystyle a leq x leq b}, задается как

x ¯ = 1 A ∫ abx [f (х) — g (x)] dx { displaystyle { bar {x}} = { frac {1} {A}} int _ {a} ^ {b} x [f (x) -g ( х)] ; dx}

y ¯ = 1 A ∫ ab [f (x) + g (x) 2] [f (x) — g (x)] dx, { displaystyle { bar {y }} = { frac {1} {A}} int _ {a} ^ {b} left [{ frac {f (x) + g (x)} {2}} right] [f ( x) -g (x)] ; dx,}

где A { displaystyle A}— площадь региона (заданная как ∫ ab [f (x) — g (x)] dx { displaystyle int _ {a} ^ {b} [f (x) -g (x)] ; dx}).

L-образного объекта

Это метод определения ce ntroid L-образного объекта.

1. Разделите фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 2. Найдите центроиды этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали. Нарисуйте линию, соединяющую центроиды. Центроид фигуры должен лежать на этой линии AB.
2. Разделите фигуру на два других прямоугольника, как показано на рис. 3. Найдите центроиды этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали. Нарисуйте линию, соединяющую центроиды. Центроид L-образной формы должен лежать на этой прямой CD.
3. Поскольку центр тяжести формы должен лежать как вдоль AB, так и вдоль CD, он должен быть на пересечении этих двух линий в точке O. точка O может находиться внутри или снаружи L-образного объекта.

треугольника

Центроид треугольника — это точка пересечения его медиан (линии соединение каждой вершины со средней точкой противоположной стороны). Центроид делит каждую из медиан в соотношении 2: 1, то есть находится на расстояния от каждой стороны до противоположной вершины (см. Рисунки справа). Его декартовы координаты — это означает координат трех вершин. То есть, если три вершины равны L = (x L, y L), { displaystyle L = (x_ {L}, y_ {L}),}M = (x M, y M), { displaystyle M = (x_ {M}, y_ {M}),}и N = (x N, y N), { displaystyle N = (x_ {N}, y_ {N}),}, то центроид (обозначенный здесь C, но чаще всего обозначаемый G в геометрии треугольника ) равен

C = 1 3 (L + M + N) = (1 3 (x L + x M + x N), 1 3 (y L + y M + y N)). { displaystyle C = { frac {1} {3}} (L + M + N) = left ({ frac {1} {3}} (x_ {L} + x_ {M} + x_ {N) }), ; ; { frac {1} {3}} (y_ {L} + y_ {M} + y_ {N}) right).}

Следовательно, центроид находится в 1 3: 1 3: 1 3 { displaystyle { tfrac {1} {3}}: { tfrac {1} {3}}: { tfrac {1} {3}}}дюйм барицентрические координаты.

В трилинейных координатах центроид может быть выражен любым из этих эквивалентных способов с точки зрения длин сторон a, b, c и углов при вершинах L, M, N:

C = 1 a: 1 b: 1 c = bc: ca: ab = csc ⁡ L: csc ⁡ M: csc ⁡ N = cos ⁡ L + cos ⁡ M ⋅ cos ⁡ N: cos ⁡ M + cos ⁡ N ⋅ cos ⁡ L: cos ⁡ N + cos ⁡ L ⋅ cos ⁡ M = sec ⁡ L + sec ⁡ M ⋅ sec ⁡ N: sec ⁡ M + sec ⁡ N ⋅ sec ⁡ L: sec ⁡ N + sec ⁡ L ⋅ sec ⁡ М. { displaystyle { begin {align} C = { frac {1} {a}}: { frac {1} {b}}: { frac {1} {c}} = bc: ca: ab = csc L: csc M: csc N \ [6pt] = cos L + cos M cdot cos N: cos M + cos N cdot cos L: cos N + cos L cdot cos M \ [6pt] = sec L + sec M cdot sec N: sec M + sec N cdot sec L: sec N + sec L cdot sec M. end {выровнено }}}

Центроид также является физическим центром масс, если треугольник сделан из однородного листа материала; или если вся масса сосредоточена в трех вершинах и поровну разделена между ними. С другой стороны, если масса распределена по периметру треугольника с равномерной линейной плотностью, то центр масс находится в центре Шпикера (центр среднего треугольника ), который (в общем случае) не совпадает с геометрическим центром тяжести полного треугольника.

Площадь треугольника в 1,5 раза превышает длину любой стороны, умноженную на перпендикулярное расстояние от стороны до центроида.

Центроид треугольника лежит на его прямой Эйлера между его ортоцентром H и его центром описанной окружности O, ровно в два раза ближе к последнему, чем к первому:

CH ¯ = 2 CO ¯. { displaystyle { overline {CH}} = 2 { overline {CO}}.}

Кроме того, для инцентратора I и центра по девяти точкам N, имеем

CH ¯ = 4 CN ¯ CO ¯ = 2 CN ¯ IC ¯ < H C ¯ I H ¯ < H C ¯ I C ¯ < I O ¯ {displaystyle {begin{aligned}{overline {CH}}=4{overline {CN}}\[5pt]{overline {CO}}=2{overline {CN}}\[5pt]{overline {IC}}<{overline {HC}}\[5pt]{overline {IH}}<{overline {HC}}\[5pt]{overline {IC}}<{overline {IO}}end{aligned}}}

Если G — центр тяжести треугольника ABC, то:

(Площадь △ ABG) = (Площадь △ ACG) = (Площадь △ BCG) = 1 3 (Площадь △ ABC) { displaystyle displaystyle ({ text {Площадь}} треугольник mathrm {ABG}) = ({ text {Площадь}} треугольник mathrm {ACG}) = ({ text {Площадь}} треугольник mathrm {BCG}) = { frac {1} {3}} ({ text {Площадь}} треугольник mathrm {ABC })}

изогонально сопряженным центроиду треугольника является его симедианная точка.

Любая из трех медиан, проходящих через центроид, делит площадь треугольника пополам. Это неверно для других линий, проходящих через центроид; наибольшее отклонение от деления на равные площади происходит, когда линия, проходящая через центр тяжести, параллельна стороне треугольника, образуя меньший треугольник и трапецию ; в этом случае площадь трапеции равна 5/9 площади исходного треугольника.

Пусть P — любая точка на плоскости треугольника с вершинами A, B, C и центроидом G. Тогда сумма Квадрат расстояний P от трех вершин превышает сумму квадратов расстояний от центроида G до вершин в три раза больше квадрата расстояния между P и G:

PA 2 + PB 2 + PC 2 = GA 2 + GB 2 + GC 2 + 3 PG 2. { displaystyle PA ^ {2} + PB ^ {2} + PC ^ {2} = GA ^ {2} + GB ^ {2} + GC ^ {2} + 3PG ^ {2}.}

сумма квадратов сторон треугольника равна троекратной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:

AB 2 + BC 2 + CA 2 = 3 (GA 2 + GB 2 + GC 2). { displaystyle AB ^ {2} + BC ^ {2} + CA ^ {2} = 3 (GA ^ {2} + GB ^ {2} + GC ^ {2}).}

Центроид треугольника равен точка, которая максимизирует произведение ориентированных расстояний от точки до сторон треугольника.

Пусть ABC — треугольник, пусть G — его центр тяжести, а D, E и F — середины BC, CA и AB соответственно. Для любой точки P в плоскости ABC тогда

P A + P B + P C ≤ 2 (P D + P E + P F) + 3 P G. { displaystyle PA + PB + PC leq 2 (PD + PE + PF) + 3PG.}

многоугольника

Центроид несамопересекающегося замкнутого многоугольника, определяемое n вершинами (x 0,y0), (x 1,y1),…, (x n − 1, y n − 1), является точкой ( C x, C y), где

C x = 1 6 A ∑ i = 0 n — 1 (xi + xi + 1) (xiyi + 1 — xi + 1 yi), { displaystyle C _ { mathrm {x}} = { frac {1} {6A}} sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} + x_ {i + 1}) (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i}),}и

C y = 1 6 A ∑ i = 0 п — 1 (yi + yi + 1) (xiyi + 1 — xi + 1 yi), { displaystyle C _ { mathrm {y}} = { frac {1} {6A}} sum _ {i = 0 } ^ {n-1} (y_ {i} + y_ {i + 1}) (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i}),}

и где A — подписанная площадь многоугольника, как описано формулой шнурка :

A = 1 2 ∑ i = 0 n — 1 (xiyi + 1 — xi + 1 yi). { displaystyle A = { frac {1} {2}} sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i}).}

В этих формулах предполагается, что вершины пронумерованы в порядке их появления по периметру многоугольника; кроме того, вершина (x n, y n) предполагается такой же, как (x 0, y 0), значение i + 1 { displaystyle i + 1}в последнем случае должно выполняться в цикле до i = 0 { displaystyle i = 0}. (Если точки пронумерованы по часовой стрелке, площадь A, вычисленная, как указано выше, будет отрицательной; однако координаты центроида будут правильными даже в этом случае.)

Конуса или пирамиды

Центроид конуса или пирамиды расположен на отрезке линии, который соединяет вершину с центроидом основания. Для твердого конуса или пирамиды центр тяжести составляет 1/4 расстояния от основания до вершины. Для конуса или пирамиды, представляющих собой просто оболочку (полую) без основания, центроид составляет 1/3 расстояния от плоскости основания до вершины.

тетраэдра и n-мерного симплекса

A тетраэдр представляет собой объект в трехмерном пространстве, имеющий четыре треугольника в качестве его граней. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани, называется срединной, а отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер, называется бимедианой. Следовательно, есть четыре медианы и три бимедианы. Эти семь отрезков пересекаются в центре тетраэдра. Медианы делятся на центроид в соотношении 3: 1. Центроид тетраэдра — это середина между его точкой Монжа и центром описанной области (центром описанной сферы). Эти три точки определяют линию Эйлера тетраэдра, которая аналогична прямой Эйлера треугольника.

Эти результаты обобщаются на любой n-мерный симплекс следующим образом. Если набор вершин симплекса равен v 0,…, vn { displaystyle {v_ {0}, ldots, v_ {n}}}, то рассматриваемые вершины как векторов, центроид равен

C = 1 n + 1 ∑ i = 0 nvi. { displaystyle C = { frac {1} {n + 1}} sum _ {i = 0} ^ {n} v_ {i}.}

Геометрический центроид совпадает с центром масс, если масса равномерно распределена по всему симплексу или сосредоточена в вершинах как n + 1 равных масс.

полушария

Центроид твердого полушария (т.е. половина твердого шара) делит отрезок прямой, соединяющий центр шара с полюсом полушария в соотношении 3: 5 (т.е. лежит на 3/8 пути от центра до полюса). Центроид полого полушария (то есть половина полой сферы) делит отрезок прямой, соединяющий центр сферы с полюсом полушария пополам.

См. Также

• Центр Чебышева
• Среднее Фреше
• Алгоритм k-средних
• Список центроидов
• Определение центра масс
• Медоид
• Теорема Паппа о центроидах
• Спектральный центроид
• Центр треугольника

Примечания

Ссылки

• Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: Введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд..), Нью-Йорк: Barnes Noble, LCCN 52013504
• Бурк, Пол (июль 1997 г.). «Расчет площади и центра тяжести многоугольника».
• Джонсон, Роджер А. (2007), Advanced Euclidean Geometry, Dover
• Kay, David C. (1969), College Geometry, Нью-Йорк : Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69012075
• Larson, Roland E.; Хостетлер, Роберт П.; Эдвардс, Брюс Х. (1998), Исчисление одной переменной (6-е изд.), Houghton Mifflin Company
• Protter, Murray H.; Морри, младший, Чарльз Б. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley, LCCN 76087042

External ссылки

• Энциклопедия центров треугольников Кларка Кимберлинга. Центроид индексируется как X (2).
• Характеристическое свойство центроида в точке срезать узел
• Барицентрические координаты в точке разрезать узел
• Интерактивный анимация, показывающая Центроид треугольника и Построение центроида с компасом и линейкой
• Экспериментальное определение медиан и центроида треугольника в Эскизы динамической геометрии, интерактивный эскиз динамической геометрии с использованием симулятора гравитации Золушки.