Как найти координаты фокусов линий

Кривые линии второго порядка

Общее уравнение кривых второго порядка имеет вид: ,

где .

К кривым линиям второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Окружность

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной и той же точки — центра окружности.

Утверждение. Окружность является кривой второго порядка и ее каноническое уравнение имеет вид:

где и — координаты центра окружности; — радиус окружности.

Доказательство. Рассмотрим окружность с заданными параметрами в системе координат на плоскости. Возьмем произвольную точку этой окружности .

По формуле расстояния между двумя точками имеем:

Возведем обе части уравнения в квадрат и получим

— уравнение окружности.

Задача №24.

Показать, что уравнение является окружностью. Найти ее центр и радиус.

Решение:

Заданное уравнение приведем к виду .

Сгруппируем члены, содержащие только и только следующим образом:

Допишем теперь до квадрата разности и суммы:

Кривая является окружностью с центром (2; -1) и радиусом .

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная равная .

Утверждение. Эллипс является кривой второго порядка, и каноническое уравнение эллипса имеет вид:

где и — полуоси эллипса.

Доказательство. Пусть и — некоторые фиксированные точки плоскости, являющиеся фокусами эллипса и пусть точка — произвольная точка данного эллипса. Расположим систему координат так, чтобы ось проходила через точки и , а начало координат делило бы отрезок пополам.

Предположим, что расстояние между фокусами равно , тогда и пусть . Из определения эллипса имеем . Но по формуле расстояния между двумя точками

Получаем:

или

Если , то

Если , то

Число называется большой полуосью эллипса, число — малой полуосью эллипса, — фокусы. Между , и существует соотношение .

Эксцентриситетом эллипса называется отношение . Ясно, что . Если , то форма эллипса будет стремиться к форме отрезка . Если , то форма эллипса будет стремиться к форме окружности.

Если , то эллипс вытянут вдоль оси , большой полуосью будет , а малой — , фокусы лежат на оси и .

Задача №25.

Найти координаты фокусов эллипса и его эксцентриситет, если известно уравнение эллипса:

Решение:

Уравнение имеет канонический вид и .

Найдем . или , значит

Задача №26.

Показать, что уравнение является уравнением эллипса. Найти оси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса.

Решение:

Приведем уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение данного эллипса.

— большая полуось; — малая полуось. Найдем координаты фокусов. Так как , то

Эксцентриситет

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

или

Утверждение. Гипербола является кривой второго порядка, и ее каноническое уравнение имеет вид: . Число называется действительной полуосью, число называется мнимой полуосью и .

Доказательство. Пусть — произвольная точка гиперболы. Пусть и . Очевидно, что . По формуле расстояний между двумя точками получим:

Положим . Подставим предыдущие равенства в (*).

Если , то и — точки пересечения гиперболы с осью . Очевидно, что точек пересечения с осью нет.

Эксцентриситетом гиперболы называют отношение . Эта величина характеризует форму гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты .

Задача №27.

Составить каноническое уравнение гиперболы, если .

Решение:

Так как , то . можем найти из соотношения . Для этого найдем из равенства .
, значит — уравнение данной гиперболы.

Задача №28.

Показать, что уравнение является уравнением гиперболы. Найти оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот.

Решение:

Приведем уравнение к каноническому виду:

или .

— каноническое уравнение данной гиперболы.

— действительная полуось; — мнимая полуось.

Найдем координаты фокуса. или .

Значит — фокусы гиперболы.

Эксцентриситет

Асимптоты имеют следующие уравнения:

Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которой одинаково удалена от данной точки , называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через данную точку и называемой директрисой.

Утверждение. Парабола является кривой второго порядка и ее каноническое уравнение имеет вид: , где — расстояние от фокуса до директрисы.

Доказательство. Построим систему координат так, чтобы ось проходила через точку перпендикулярно директрисе , а начало координат делило расстояние от фокуса до директрисы пополам.

Предположим расстояние , тогда точка имеет координаты , а уравнение директрисы . Пусть точка принадлежит параболе, а точка — ее проекция на директрису, тогда по определению расстояние . Но и . Таким образом,

— каноническое уравнение параболы.

Если , то , таким образом, парабола проходит через начало координат. Функция симметрична относительно оси .

Если , то ветви параболы направлены вправо, если , то — влево.

Задача №29.

Найти координаты фокуса и уравнение директрисы следующей параболы .

Решение:

Запишем уравнение следующим образом:

, следовательно, .

— уравнение директрисы.

Координаты фокуса: .

Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:

Решение задач по высшей математике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

или можно встретить следующую форму записи:

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F₁ и F₂ — фокусы.

с — фокальное расстояние,

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

с — фокальное расстояние,

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

x — действительная ось, y — мнимая ось.

а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f₁ — правая директриса, f₂ — левая директриса.

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F — фокус параболы, f — директриса параболы.

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

.

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

,

называются фокусами.

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение эллипса:

.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

.

Получаем фокусы эллипса:

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

,

где и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса готово:

Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

,

так как из исходного уравнения эллипса .

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Как найти координаты фокусов эллипса? Pawok [16.9K] 9 лет назад  Как, зная уравнение эллипса, найти координаты его фокусов? Далия Slave [21.9K] 9 лет назад  Предположим, для эллипса, заданного формулой х*х/(49) + у*у/(25) = 1 координаты фокусов имеют следующий вид (а*с , 0) и (-а*с, 0), где с = корень(а*а-б*б)/а в нашем случае а = 7, б = 5 значит с = корень(49-25)/5 = корень(24)/5 = 2*корень(6) / 5 И таким образом, координаты фокусов (2*корень(6) , 0) и (-2*корень(6) , 0) автор вопроса выбрал этот ответ лучшим комментировать в избранное ссылка отблагодарить Laliq­ue [53.6K] 6 лет назад  Координаты фокусов эллипса вычислить достаточно просто. Например, дано уравнение эллипса: х^2/13^2 + у^2/12^2 = 1. 13- длина большой полуоси; 12 — длина малой полуоси. Теперь нам нужно найти вспомогательный параметр С: С=корень квадратный из (13^2-12^2)=корень квадратный из 25=5 Решением задачи будут такие координаты: F1=(5;0); F2=(-5;0). Фокусы эллипса — это особые его точки, из которых строятся прямые к дуге эллипса. И сумма этих прямых (в любой точке эллипса) — есть величина одинаковая. комментировать в избранное ссылка отблагодарить Mefod­y66 [35.1K] 9 лет назад  Кажется, Далия дала правильный ответ, только на а делить не надо. Общее уравнение эллипса (x-x0)^2/a^2 + (y-y0)^2/b^2 = 1 Здесь A(x0, y0) — центр эллипса, a, b — полуоси. Расстояние |F1F2| = 2c, где с можно найти из условия c^2 = |a^2 — b^2| Если координатные оси параллельны осям эллипса, то координаты фокусов F1(x0 — c, y0), F2(x0 + c, y0). комментировать в избранное ссылка отблагодарить Знаете ответ?

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

.

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

,

называются фокусами.

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение эллипса:

.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

.

Получаем фокусы эллипса:

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

,

где и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса готово:

Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

,

так как из исходного уравнения эллипса .

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

1. Окружность. 2Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной фиксированной точки, называемой центром окружности. Расстояние от произвольной точки окружности до его центра называется радиусом окружности.

g Если центр окружности находится в точке , а радиус равен R, то уравнение окружности имеет вид:

. (3.13)

4Обозначим через (рис. 3.5) произвольную точку окружности. Используя формулу расстояния между двумя токами (3.1) и определение окружности, получим: . Возводя полученное равенство в квадрат, мы получим формулу (3.13).3

2. Эллипс. 2 Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Для того, чтобы вывести каноническое (простейшее) уравнение эллипса, примем за ось Ox прямую, соединяющую фокусы F₁ и F₂. Пусть при этом фокусы будут симметричны относительно начала координат, т.е. будут иметь координаты: и . Здесь через 2с обозначено расстояние между фокусами. Обозначим через x и y координаты произвольной точки М эллипса (рис 3.6). Тогда по определению эллипса, сумма расстояний от точки М до точек F₁ и F₂ равно константе (обозначим эту константу через 2а).

. (3.14)

Уравнение (3.14) является уравнением эллипса. Упростим данное уравнение, избавившись от квадратных корней. Для этого перенесем один из радикалов в правую часть равенства (3.14) и возведем обе части полученного равенства в квадрат:

,

,

,

.

Возводя последнее равенство в квадрат, получим

, или

,

.

Разделим обе части на :

.

Так как сумма расстояний от произвольной точки эллипса до его фокусов больше расстояния между фокусами, т.е. 2а > 2c, то .

Обозначим через b 2 . Тогда простейшее (каноническое) уравнение эллипса будет иметь вид:

, (3.15)

. (3.16)

Оси координат являются осями симметрии эллипса, заданного уравнением (3.15). Действительно, если точка с текущими координатами (x; y) принадлежит эллипсу, то и точки при любом сочетании знаков принадлежат эллипсу.

2Ось симметрии эллипса, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса. Подставляя x = 0 или y = 0 в уравнение эллипса найдем координаты вершин:

2Отрезки А₁А₂ и B₁B₂, соединяющие противоположные вершины эллипса, а также их длины 2a и 2b, называют соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b, называют соответственно большой и малой полуосями эллипса.

2Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами (2с) к большой оси (2a), т.е.

. (3.17)

Так как а и с положительны, причем c

2Отрезок 2a, длина которого равна расстоянию между вершинами гиперболы, называют действительной осью гиперболы. Отрезок 2b называют мнимой осью гиперболы. Числа a и b, называют соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Можно доказать, что прямые линии

(3.23)

являются асимптотами гиперболы, т.е. такими прямыми, к которым неограниченно приближаются точки гиперболы при их неограниченном удалении от начала координат ( ).

2Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами (2с) к действительной оси (2a), т.е., как и в случае эллипса

. (3.24)

Однако в отличии от эллипса эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Если фокусы гиперболы расположены на оси Oy, то в левой части уравнения гиперболы изменятся знаки на противоположные:

. (3.25)

В этом случае полуось b будет действительной, а полуось a – мнимой. Ветви гиперболы будут симметричны относительно оси Oy (рис 3.9). Формулы (3.22) и (3.23) не изменятся, формула (3.24) будет выглядеть следующим образом:

. (3.26)

4. Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что фокус не лежит на директрисе).

Для того, чтобы составить простейшее уравнение параболы примем за ось Ox прямую, проходящую через ее фокус перпендикулярно директрисе, и направленную от директрисы к фокусу. За начало координат примем середину отрезка O от фокуса F до точки А пересечения оси Ox с директрисой. Длина отрезка AF обозначается через p и называется параметром параболы.

В данной системе координат координаты точек А и F будут, соответственно, , . Уравнение директрисы параболы будет . Обозначим через (x; y) координаты произвольной точки М параболы (рис. 3.10). Тогда по определению параболы:

. (3.27)

Возведем обе части равенства (3.27) в квадрат:

, или

, откуда

. (3.28)

Уравнение (3.28) называется каноническим уравнением параболы.

Каноническими являются так же следующие уравнения параболы.

. (3.29)

Ветви параболы, заданной уравнением (3.29), направлены влево, фокус имеет координаты , уравнение директрисы .

. (3.30)

Ветви параболы, заданной уравнением (3.30), направлены вверх, фокус имеет координаты , уравнение директрисы .

. (3.31)

Ветви параболы, заданной уравнением (3.31), направлены вниз, фокус имеет координаты , уравнение директрисы .

Задача 3.3. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса:

Решение. В каноническом виде уравнение эллипса выглядит следующим образом: Из этого уравнения видно, что большая полуось эллипса равна а малая полуось равна Расстояние от центра эллипса до его фокусов, находим из формулы (3.16): Таким образом, фокусы эллипса имеют координаты:

Эксцентриситет эллипса найдем по формуле (3.17):

Задача 3.4. Асимптоты гиперболы имеют уравнения и расстояние между фокусами равно 10. Составить каноническое уравнение гиперболы.

Решение. Из условия задачи следует, что

.

Подставляя в равенство (3.22) с = 5 и a = 2b, мы получим уравнение, из которого найдем b:

b 2 = 25 – 4b 2 , 5b 2 = 25, b 2 = 5, . Следовательно, a = 2b = .

Подставляя a 2 = 20 и b 2 = 5 в уравнение (3.21), получим искомое уравнение гиперболы:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10572 — | 7332 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Эллипс – геометрическое место точек M(x;y), сумма расстояний которых до двух данных точек F₁F₂ имеет одно и то же значение 2a:

точки F₁ и F₂ – называются фокусами эллипса;

расстояние F₁F₂ – фокусное расстояние и равно F₁F₂=2с;

a — большая полуось;

b — малая полуось;

c — фокальный радиус, то есть полу расстояние между фокусами;

p — фокальный параметр;

R_min – минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

R_max — максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

где

Длина малой оси эллипса 134 м. Длина большой оси равна 140 м. Найти коэффициент сжатия k и сжатие α этого эллипса

Постройте кривую 4x 2 +9y 2 =36. Найдите фокусы, фокальный параметр и эксцентриситет.

Делим обе части на 36 и получаем каноническое уравнение эллипса

a=3, b=2

c 2 =a 2 -b 2 =3 2 -2 2 =9-4=5

Отсюда находим Фокусы F₁(-2,2;0) F₂(2,2;0)

Фокальный параметр находим следующим образом

Эксцентриситет эллипса

Пример 3
Постройте кривую . Найдите фокусы и эксцентриситет.

Решение
Уравнение запишем в виде

a=1, b=5
Это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, так как b>a, а должно быть b c 2 =a 2 − b 2 =5 2 −1 2 =25 − 1=24

Следовательно, фокусы в системе координат (x’;y’) имеют координаты (-4,9;0) и (4,9;0), а в системе (x;y) координаты

Эксцентриситет эллипса равен

Примеры решения задач

Задача 6.1.
Найти полуоси, координаты фокусов и
эксцентриситет эллипса

Решение.
Разделив данное уравнение эллипса на
,
приведем его к виду.
Отсюда следует, что большая полуось
эллипса,
а малая полуось.
Известно, что,
поэтому

.

Следовательно,
координаты фокусов
и,
а его эксцентриситет.

Ответ.

Задача 6.2.
Эллипс касается оси ординат в начале
координат, а центр симметрии его находится
в точке
.
Составить уравнение эллипса, если его
эксцентриситет равен.

Решение.
Выполним чертеж (рис. 2.35).

Каноническое уравнение такого эллипса В нашем случае

Рис. 2.35

Известно, что
.
Следовательно, для нахождениянадо знать.
Найдемиз формулы эксцентриситета:,,
откуда.
Значит,,

Итак, уравнение
искомого эллипса

Ответ.

Задача 6.3.
Определитель траекторию точки
,
которая при своем движении остается
втрое ближе к точке,
чем к прямой

Решение. Траекторию точки найдем как уравнение множества точек плоскости, обладающих свойством(рис. 2.36). Расстояние между любыми точками инайдем по формуле Следовательно, .

Рис. 2.36

После преобразований
получаем искомое уравнение:

.

Таким образом,
точка
движется по эллипсу. При этом большая
ось эллипса и его фокусы расположены
на оси

Ответ.
.

Задача 6.4.
Действительная
полуось гиперболы
,
эксцентриситетСоставить каноническое уравнение
гиперболы и начертить ее.

Решение.
Эксцентриситет гиперболы
Следовательно,

,
,

откуда фокусы
гиперболы
,,
а мнимая полуось.
Искомым уравнением гиперболы будет

.

Рис. 2.37

Вершины гиперболы: ,,,. Через них проводим стороны основного прямоугольника. Его диагоналиявляются асимптотами гиперболы. Построим их. Затем через вершиныигиперболы проводим ее ветви, приближая их к асимптотам (рис. 2.37).

Ответ.
.

Задача 6.5. Дана
равносторонняя гипербола
.
Найти уравнение эллипса, фокусы которого
находятся в фокусах гиперболы, если
известно, что эллипс проходит через
точку.

Решение.
Для данной гиперболы
.
Следовательно, из соотношенияполучаем,
откуда.
Значит, фокусы гиперболыи.
В этих же точках находятся фокусы
эллипса.

Обозначим через
исоответственно большую и малую полуоси
эллипса. Тогда при условии, что,
будем иметьДля определенияииспользуем еще одно условие: что точкалежит на эллипсе, т.е. ее координаты
должны удовлетворять уравнению эллипса

(6.8)

Это значит, что
Таким образом, для определенияиимеем систему уравнений

решив которую,
получим
,Подставив эти значения в уравнение
(6.8), найдем

Ответ.

Задача 6.6.
Асимптоты гиперболы имеют уравнения
.
Фокусы лежат на осии расстояние между ними равно.
Написать каноническое уравнение
гиперболы и начертить ее.

Решение.
Так как фокусы гиперболы лежат на оси
,
то ее каноническое уравнение имеет вид

Разрешив уравнение
асимптот относительно
,
получим,
откуда.
Кроме того,,
т.е.Так как для гиперболы,
то для нахожденияиполучим систему уравнений

Рис. 2.38

решив которую, будем иметь ,. Следовательно, каноническое уравнение гиперболы (рис. 2.38)

Ответ.

Задача 6.7.
Составить уравнение параболы и ее
директрисы, если парабола проходит
через точки пересечения прямой
и окружностии симметрична относительно оси.

Решение.
Найдем точки пересечения заданных
линий, решив совместно их уравнения:

В результате
получим два решения
и.
Точки пересеченияи.
Так как парабола проходит через точкуи симметрична относительно оси,
то в этой точке будет находиться вершина
параболы. Поэтому уравнение параболы
имеет вид.
Так как парабола проходит через точку,
то координаты этой точки удовлетворяют
уравнению параболы:,,

Итак, уравнением
параболы будет
,
уравнение директрисыили,
откуда

Ответ.
;

Задача 6.8.
Мостовая арка имеет форму параболы.
Определить параметр
этой параболы, зная, что пролет арки
равен,
а высота

Решение. выберем
прямоугольную систему координат так,
чтобы вершина параболы (мостовой арки)
находилась в начале координат, а ось
симметрии совпадала с отрицательным
направлением оси
.
В таком случае каноническое уравнение
параболы имеет вид,
а концы хорды аркии.
Подставив координаты одного из концов
хорды (например,)
в уравнение параболы и решив полученное
уравнение относительно,
получим

Ответ.

Задача 6.9.
Привести уравнение кривой
к каноническому виду и построить эту
кривую.

Решение.
В уравнении
,,,,,Вычислим дискриминант старших членов:

.

Так как
,
данная линия является кривой эллиптического
типа.

Найдем центр кривой
из системы

Решив ее, получим
,.

С помощью
параллельного переноса осей координат
в центр
уравнение кривой в новой системеприводится к виду:

,

подставив в исходное
уравнение кривой, получим

(6.9)

Для дальнейшего
упрощения уравнения (6.9) применим правило
приведения квадратичной формы к
каноническому виду. Составим
характеристическое уравнение

или
.

Отсюда
.

Повернув теперь
оси координат так, чтобы направления
осей
исовпадали с главными направлениями
квадратичной формы, уравнение (6.5)
приведем к каноническому виду

или .

Из уравнения видно,
что это эллипс с полуосями
,.
Чтобы построить этот эллипс найдем
главное направление, соответствующее
характеристическому числу(его мы приняли за осьв каноническом уравнении). Подставив
коэффициенты нашего уравнения в систему

получим

Полагая
,
находим, что.
Единичный вектор

оси
имеет в системекоординатыи.
Следовательно,,
а.

Повернув систему на уголпо часовой стрелке, получим прямоугольную систему координат, в которой легко построить эллипс (рис. 3.39). Задача 6.10. Преобразовать к каноническому виду уравнение (6.10) и построить линию, задаваемую этим уравнением.

Рис. 3.39

Решение.
В исходном уравнении
,,,,,Дискриминант старших членов

Следовательно,
уравнение определяет нецентральную
линию второго порядка, т.е. линию
параболического типа.

Составим
характеристическое уравнение квадратичной
формы старших членов:

или

Отсюда
,

Найдем главное
направление, соответствующее
характеристическому числу
.
Для этого подставим в систему

коэффициенты
нашего уравнения. Получим

Полагая
,
имеем.
Следовательно, главное направление,
соответствующее характеристическому
числу,
определяется вектором.
Нормируя его, находим единичный вектор:.
Это значит, что,
а,
т.е. поворачиваем системуна угол.

Используя теперь
равенства (6.10), имеем:

Следовательно,
уравнение (10.17) в системе координат
принимает вид

(6.11)

Уравнение (6.11)
определяет параболу. Для приведения
его к каноническому виду найдем координаты
нового начала. Сгруппируем члены с
одинаковыми переменными и выделим
полный квадрат:

Рис. 2.40

После параллельного переноса осей координат в новое начало уравнение параболы (6.11) в системе координатпримет канонический вид. Расположение параболы показано на рис. 2.40.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #