Как найти координаты линейной функции двух точек

b) Во втором случае функция та же, только значения (x=-6) и (x=3) не рассматриваются, так как они не принадлежат интервалу ((-6;3)). 

Поэтому точки ((-6); (-1)) и ((3); (2)) на рисунке отмечены светлыми кружочками.

По графику линейной функции, можно определить наибольшее и наименьшее значения линейной функции на заданном отрезке.

В случае

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Функция	Коэффициент k	Коэффициент b
y = 2x + 8	k = 2	b = 8
y = −x + 3	k = −1	b = 3
y = 1/8x − 1	k = 1/8	b = −1
y = 0,2x	k = 0,2	b = 0

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

Вывести уравнение прямой по координатам двух точек

По введенным пользователем координатам двух точек вывести уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Общее уравнение прямой имеет вид y = kx + b . Для какой-то конкретной прямой в уравнении коэффициенты k и b заменяются на числа, например, y = 4x — 2 . Задача сводится именно к нахождению этих коэффициентов.

Так как координаты точки это значения x и y , то мы имеем два уравнения. Пусть, например, координаты точки А(3;2), а координаты B(-1;-1). Получаем уравнения:
2 = k*3 + b,
-1 = k*(-1) + b.
Решая полученную систему уравнений находим значения k и b :
b = 2 — 3k
-1 = -k + 2 — 3k
4k = 3
k = 3/4 = 0.75
b = 2 — 3 * 0.75 = 2 — 2.25 = -0.25
Таким образом, получается уравнение конкретной прямой, проходящей через указанные точки: y = 0.75x — 0.25.

Алгоритм решения данной задаче на языке программирования будет таков:

1. Получить значения координат первой точки и присвоить их переменным, например x1 и y1 .
2. Получить значения координат ( x2, y2 ) второй точки.
3. Вычислить значение k по формуле k = (y1 — y2) / (x1 — x2) .
4. Вычислить значение b по формуле b = y2 — k * x2 .
5. Вывести на экран полученное уравнение.

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

График линейного уравнения с двумя переменными

В линейном уравнении с двумя переменными ax+by=c , a и b называют коэффициентами при переменных, c — свободным членом.

Если сравним полученное уравнение $с y = kx+ tilde b$ (см. §38 данного справочника), получаем:

Графиком $y = kx+ tilde b$ является прямая, угловой коэффициент k определяет угол наклона, слагаемое $tilde b$ – точку пересечения прямой с осью Y (см. §39 данного справочника).

Точки пересечения с осями координат:

График линейной функции ax+by=c с ненулевыми коэффициентами очень удобно чертить по двум точкам пересечения с осями координат: точка на оси X ( $frac$;0) и точка на оси Y (0; $frac$)

Равенство нулю коэффициентов при переменных:

$0x+2y = 4 Rightarrow y = 2$

График – прямая, параллельная оси Х.

$3x+0y = 3 Rightarrow x = 1$

График – прямая, параллельная оси У.

a = 0, b = 0, $c neq 0$

x, $y in Bbb R$ — любое действительное число.

График – вся координатная плоскость

График – пустое множество.

Взаимное расположение графиков двух уравнений

$$ a_1 x+b_1 y = c_1 и a_2 x+b_2 y = c_2 $$

источники:

http://gospodaretsva.com/straight.html

http://reshator.com/sprav/algebra/7-klass/linejnoe-uravnenie-s-dvumya-peremennymi-i-ego-grafik/

Прежде чем перейти к изучению функции «y = kx»
внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».

Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b» — это семейство всевозможных функций, где вместо
«k» и «b» стоят числа.

Примеры функций типа «y = kx + b».

• y = 5x + 3
• y = −x + 1
• y = x − 2
• y = 0,5x

Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты
«k» и
«b».

Функция	Коэффициент «k»	Коэффициент «b»
y = 5x + 3	k = 5	b = 3
y = −x + 1	k = −1	b = 1
y = 2 3 x − 2	k = 2 3	b = −2
y = 0,5x	k = 0,5	b = 0

Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x»
в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b».

Рассматривая
функцию «y = 0,5x», неверно утверждать, что числового коэффициента
«b» в функции нет.

Числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда.
В функции «y = 0,5x»
числовый коэффициент «b» равен нулю.

Как построить график линейной функции
«y = kx + b»

Так как графиком функции «y = kx + b»
является прямая линия, функцию называют линейной функцией.

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств),
что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что
чтобы построить график функции вида
«у = kx + b» нам достаточно будет найти всего
две точки.

Для примера построим график функции «y = −2x + 1».

Найдем значение функции «y» для двух произвольных значений «x».
Подставим, например, вместо «x» числа «0» и «1».

x	Расчет «y = −2x + 1»
0	y(0) = −2 · 0 + 1 = 1
1	y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1

Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1» в таблицу.

Точка	Координата по оси «Оx» (абсцисса)	Координата по оси «Оy» (ордината)
(·)A	0	1
(·)B	1	−1

Отметим полученные точки на системе координат.

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет
являться графиком функции «y = −2x + 1».

Как решать задачи на
линейную функцию «y = kx + b»

Рассмотрим задачу.

---

Построить график функции «y = 2x + 3». Найти по графику:

1. значение «y» соответствующее значению «x» равному −1; 2; 3; 5;
2. значение «x», если значение «y» равно
   1; 4; 0; −1.

---

Вначале построим график функции «y = 2x + 3».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше.
Для построения графика функции «y = 2x + 3» достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для «x». Для удобства расчетов выберем числа
«0» и «1».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Точка	Координата по оси «Оx»	Координата по оси «Оy»
(·)A	0	y(0) = 2 · 0 + 3 = 3
(·)B	1	y(1) = 2 ·1 + 3 = 5

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции
«y = 2x + 3».

---

Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3».

Требуется найти значение «y»,
соответствующее значению «x»,
которое равно −1; 2; 3; 5.

---

Тему
«Как получить координаты точки функции» с графика функции
мы уже подробно рассматривали в уроке
«Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = 2x + 3»
необходимые значения функции «y» для
«x» равным −1; 2; 3; 5.

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «x»	Полученное с графика значение «y»
−1	1
2	7
3	9
5	13

---

Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x»,
если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.

Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания.
Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси
«Oy».

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «y»	Полученное с графика значение «x»
−1	−2
0	−1,5
1	−1
4	0,5

---

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Не выполняя построения графика функции
«y = 2x −
», выяснить, проходит ли график
через точки с координатами (0;
− ) и (1; −2).

---

Подставим в функцию
«y = 2x −
»

координаты точки (0;
− ).

− = 2 · 0
−

   − =
−

(верно)

Это означает, что график функции «y = 2x −
» проходит через точку с координатами (0;
− ).

---

Проверим точку с координатами (1; −2).
Также подставим координаты
в функцию «y = 2x −
».

−2 = 2 · 1 −

−2 = 2 −

−2 = 1 −

        −2 = 1 (неверно)

Это означает, что график функции «y = 2x −
» не проходит через точку с координатами (1; −2).

---

Как найти точки пересечения графика с осями

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» с осями координат.

Для начала построим график функции «y = −1,5x + 3» и на графике отметим точки пересечения
с осями.

Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции
«y = −1,5x + 3».

Выберем два произвольных числовых значения для «x» и рассчитаем значение
«y» по формуле
функции. Например, для x = 0 и
x = 1.

Точка	Координата по оси «Оx»	Координата по оси «Оy»
(·)A	0	y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3
(·)B	1	y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5

Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую.
Тем самым мы построим график функции «y = −1,5x + 3».

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Подставим вместо «x» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3

(0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Oy».

Подставим вместо «y» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

0 = −1,5x + 3        
1,5x = 3        | :(1,5)
x = 3 : 1,5           
x = 2                   

(2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Ox».

Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните
«правило противоположности».

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

В этой статье мы рассмотрим линейную функцию, график линейной функции и его свойства. И, как обычно, решим несколько задач на эту тему.

Линейной функцией называется функция вида

В уравнении функции число , которое мы умножаем на называется коэффициентом наклона.

Например, в уравнении функции ;

в уравнении функции    ;

в уравнении функции   ;

в уравнении функции   .

Графиком линейной функции является прямая линия.

1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции , удобно взять   и , тогда ординаты эти точек будут равны  и .

Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график  функции :

2. В уравнении функции  коэффициент  отвечает за наклон графика функции:

Коэффициент  отвечает за сдвиг графика вдоль оси :

На рисунке ниже изображены графики функций ; ; 

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.

Во всех функциях — и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций ; ; 

На этот раз  во всех  функциях коэффициент меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.

Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций  ; ;

Теперь  во всех уравнениях функций коэффициенты равны. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY  в различных точках:

График функции (b=3) пересекает ось OY  в точке (0;3)

График функции (b=0) пересекает ось OY  в точке (0;0) —  начале координат.

График функции (b=-2) пересекает ось OY  в точке (0;-2)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .

Если  k<0 и b>0, то график функции  имеет вид:

Если  k>0 и b>0, то график функции  имеет вид:

Если  k>0 и b<0, то график функции  имеет вид:

Если  k<0 и b<0, то график функции  имеет вид:

Если  k=0 , то  функция превращается в функцию    и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции  равны 

Если b=0, то график функции  проходит через начало координат:

 Это график прямой пропорциональности.

3. Отдельно отмечу график уравнения . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси  все точки которой имеют абсциссу .

Например, график уравнения  выглядит так:

Внимание! Уравнение  не является функцией, так  как различным значениям функции соответствует одно и то же значение аргумента, что не соответствует определению функции.

4. Условие параллельности двух прямых:

График функции  параллелен графику функции , если 

5. Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции  перпендикулярен графику функции , если  или 

6. Точки пересечения графика функции  с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (;0):

Рассмотрим решение задач.

1. Постройте график функции , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.

В уравнении функции   два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.

а) Из того, что график функции  параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид 

б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции  проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:

  отсюда b=-10

Таким образом, нам надо построить график функции 

Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой  . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение   и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим . Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.

Итак, уравнение прямой .

3. Постройте график уравнения

Чтобы найти,  при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю и учесть ОДЗ каждого множителя. 

Это уравнение не имеет ограничений на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и приравняем каждый множитель к нулю. Получим совокупность уравнений:

Построим графики всех  уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть график уравнения  :

4. Постройте график функции , если он перпендикулярен прямой  и проходит через точку М(-1;2)

Мы не будем строить график, только найдем уравнение прямой.

а) Так как график функции , если он перпендикулярен прямой , следовательно , отсюда . То есть уравнение функции имеет вид 

б) Мы знаем, что  график функции  проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим:

, отсюда .

Следовательно, наша функция имеет вид: .

5. Постройте график функции 

Упростим выражение, стоящее в правой части уравнения функции.

Важно! Прежде чем упрощать выражение, найдем его ОДЗ.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому , .

Тогда наша функция принимает вид:

То есть нам надо построить график функции  и выколоть на нем две точки: с абсциссами x=1 и x=-1:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.