Как найти координаты медианы пирамиды

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольной пирамиды (тетраэдра):

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.



5.7. Задача с треугольной пирамидой

Концептуально эта задача напоминает задачу с треугольником на плоскости. Только вот треугольников у нас теперь

четыре, и образуют они треугольную пирамиду или тетраэдр:

У треугольной пирамиды есть:

– четыре вершины;

– шесть рёбер (сторон);

– четыре грани.

Чем богаты, тем и рады.

Не буду перечислять геометрические свойства данной фигуры, известные из школьной программы, поскольку аналитическую геометрию интересует совсем

другое, а именно: уравнения рёбер, плоскостей, всевозможные длины, углы и некоторые другие вещи, которые вы увидите прямо сейчас. Типовая задача

формулируется так:

Задача 166

Треугольная пирамида задана координатами своих вершин, пусть это будут вершины . Требуется: … если повезёт, то только 3-4 пункта из перечисленных:

1) найти длину ребра ;

2) составить уравнения стороны ;

3) найти угол между рёбрами ;

4) найти площадь грани ;

5) найти угол между ребром  и плоскостью ;

6) составить уравнение грани ;

7) составить уравнения высоты , опущенной из вершины  на грань ;

вычислить длину высоты ;

9) найти основание высоты ;

10) вычислить объем пирамиды;

11) составить уравнения медианы  грани ;

12) составить уравнение плоскости, проходящей через прямую  и вершину ;

13) найти угол между плоскостями  и

14) выполнить чертёж пирамиды  в прямоугольной системе координат.

15) перекреститься левой пяткой.

Во-первых, разберёмся с обозначениями вершин. Самый распространённый вариант, когда они обозначены буквами :

Если бегло просмотреть пункты условия, то легко заметить, что

там часто встречается грань . Чаще всего требуется составить уравнение этой

«особенной» грани, а также найти её площадь. В качестве «особенной» вершины выступает точка , обычно из неё строится перпендикуляр к плоскости .

А всё это я сказал к тому, что в вашей задаче могут быть совершенно другие обозначения вершин. Например, . Здесь «особой» гранью, скорее всего, будет , а «особенной» точкой – вершина .

В этой связи очень важно выполнить схематический рисунок пирамиды, чтобы не запутаться в дальнейшем алгоритме решение. Да, более подготовленные

читатели могут представлять тетраэдр мысленно, но для «чайников» чертёж просто обязателен.

Итак, на предварительном этапе разбираемся с обозначениями вершин, анализируем условие, находим «особенную» плоскость и точку и

выполняем бесхитростный набросок на черновике.

С чего начать решение? Начать лучше всего с того, что загнать координаты вершин в Геометрический

калькулятор (см. приложения), который автоматически рассчитает наиболее популярные пункты. Ибо приятно заранее знать

правильные ответы

Но расписать-то всё нужно подробно. И поэтому оформление решения удобно начать с нахождения векторов. Почти всегда векторы

откладываются от первой вершины, в данном случае – от точки :
Решим эту элементарную задачу:
     

Чтобы комфортнее воспринимать информацию, координаты четырёх точек и трёх полученных вектора рекомендую переписать на отдельный листочек.

Это же сделайте, когда  будете решать свою задачу – чтобы каждый раз не выискивать нужный вектор, нужную точку. Их удобно держать перед

глазами.

Понеслось:

1) Найдём длину ребра . Длина данного ребра равна длине вектора :

Я обычно округляю результаты до двух знаков после запятой, но в условии задачи может быть дополнительное указание проводить округления,

например, до 1 или 3 десятичных знаков.

Полагаю, в случае надобности никого не затруднит аналогичным образом найти длину ребра   или . Как вариант, можно использовать

формулу расстояния между двумя точками: . Но зачем? У нас уже найдены

векторы.

2) Найдём уравнения ребра . Строго говоря, здесь следует

сказать «уравнения прямой, которая содержит ребро», но этим почти всегда пренебрегают. «По умолчанию» обычно подразумевается, что студент запишет канонические уравнения прямой.

Уравнения ребра  составим по точке  (можно взять ) и направляющему

вектору :

Для проверки подставляем координаты точек  в полученное уравнение. Обе

должны «подойти».

3) Найдём угол между сторонами :

Перед вами обычный угол пространственного треугольника,

который рассчитывается как угол между векторами: . И снова при делах задро тривиальная формула:

 – заметьте, что в ходе вычислений можно (и нужно) использовать ранее полученные результаты, в данном случае нам

уже известно, что  (см. пункт 1).

С помощью обратной функции находим сам угол:

4) Найдём площадь грани :

Площадь треугольника вычислим с помощью векторного произведения векторов, используя формулу:


Найдём векторное произведение:


и вычислим его длину:

 …и вынести из-под корня ничего нельзя, поэтому он войдёт в ответ в

неизменном виде.

Таким образом, площадь грани :

Если получаются страшноватые числа, не обращайте внимания, обычная картина. Главное, не допустить ошибку в вычислениях.

5) Найдём угол  между ребром  и плоскостью , прошу прощения за неточность

последующих чертежей, я рисую от руки:

Это стандартная задача, рассмотренная в Задаче 162 (пункт

«д»). Используем формулу:

и с помощью арксинуса рассчитываем сам угол:

6) Составим уравнение грани . А точнее, «уравнение  плоскости,

которая содержит грань». Первая мысль – использовать точки , но есть более выгодное решение. У нас уже найден

вектор нормали  плоскости . Поэтому уравнение грани  составим по точке  (можно взять  либо ) и вектору нормали :

Таким образом:

Для проверки можно подставить координаты точек  в полученное уравнение, все три точки

должны «подойти».

7) Как составить уравнения высоты пирамиды? Звучит грозно, решается просто.

Уравнения высоты , опущенной из вершины  на грань , составим по точке  и направляющему

вектору :

 – по умолчанию записываем канонические уравнения.

Вектор нормали в рассматриваемой задаче работает «на всю катушку», и как только вам предложили найти площадь грани, составить уравнение грани или

уравнения высоты – сразу «пробивайте» векторное произведение.

Длину высоты  найдём как расстояние от точки  до плоскости :

Результат громоздкий, поэтому позволим себе вольность не избавляться от иррациональности в знаменателе.

Теперь пунктик потруднее:

9) Найдём основание высоты – точку . Тема пересечения

прямой и плоскости подробно муссировалась в той же в Задаче 162 (пункт «б»). Повторим.

Перепишем уравнения высоты в параметрической форме:

Неизвестным координатам точки  соответствует вполне конкретное значение

параметра :
, или: .

Основание высоты, понятно, лежит в плоскости. Подставим параметрические координаты точки  в уравнение :

Кому-то покажется жестью, но на самом деле шифер  Который шуршит.

Полученное значение параметра подставим в координаты нашей точки:
 

Сурово, но идеально точно. Я проверил.

10)  Объём треугольной пирамиды в ангеме традиционно рассчитывается с помощью

смешанного произведения векторов:

Таким образом,

И тут уместно выполнить проверку, вычислив объем тетраэдра по школьной формуле , где  – площадь грани,  – длина высоты, опущенной к этой грани. Уместно ПОТОМУ, что мы знаем и площадь грани , и длину высоты :
, чему мы очень рады.

11) Составим уравнения медианы  грани . Ничего сложного, обычная медиана обычного пространственного треугольника:
По сравнению с треугольником на

плоскости, добавится лишь дополнительная координата. Нам известны вершины , и по формулам координат середины отрезка находим адрес точки :

Уравнения медианы можно составить по двум точкам, но сначала (см. по ссылке, почему) лучше найти

направляющий вектор: . В качестве направляющего можно взять любой

коллинеарный вектор, и сейчас подходящий момент избавиться от дробей:

Уравнения медианы составим по точке  и направляющему вектору :

Заметьте, что уравнения с эстетической точки зрения лучше составить по точке , так как координаты точки «эм» – дробные. Проверка обыденна, нужно подставить координаты точек  в полученные уравнения.

12) Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую  и вершину :

Увы, мы не знаем «вкусный» вектор нормали, и поэтому уравнение

плоскости  придётся добывать по точке и двум

неколлинеарным векторам.

В качестве точки обязательно выбираем «одинокую» точку, которая не принадлежит прямой, в данном случае – это вершина . Один из нужных  векторов уже известен: , но, конечно же, удобнее выбрать друга-мажора . Ему в пару подходит вектор , но лучше .
Ибо координаты этого вектора будут целыми:

Уравнение плоскости составим по точке  и двум неколлинеарным векторам :

Непременно проверяем, что координаты точек  удовлетворяют

полученному уравнению.

13) Найдём угол между плоскостями  и .

Это типовая задача.

Обозначим искомый угол через  и используем формулу: , где  – вектор

нормали плоскости . Напоминаю, что вектор  и его длина  уже известны.

Осталось из уравнения  снять вектор нормали:  и аккуратно провести вычисления:

Возиться с такими корнями смысла нет, поэтому сразу находим угол:

От тупизны подальше за ответ таки лучше принять смежного соседа:

14) Выполним точный чертёж пирамиды  прямоугольной системе координат. Да, конечно, существуют программы и онлайн сервисы для построения чертежей, но не

факт, что они под рукой, и не факт, что такой чертёж будет качественным. Поэтому я расскажу вам о ручном способе построения – в тетради с помощью

карандаша и линейки.

С чего начать?

Во-первых, нужно правильно изобразить декартову систему координат на клетчатой бумаге. Во-вторых, необходимо уметь строить точки в трёхмерном пространстве, о чём мы уже вспомнили, когда разбирали канонические уравнения прямой. И сейчас тема получает продолжение.

Построим точку .  Для этого отмеряем 2 единицы в положительном направлении

оси  и 3 единицы в отрицательном направлении оси . В плоскости  прочерчиваем тонкие

пунктирные дорожки, которые параллельны соответствующим  координатным осям. Пересечение этих дорожек отмечено ромбиком (слева

внизу):

Теперь, в соответствии с отрицательной «зетовой» координатой, отмеряем 1 единицу вниз и тоже проводим пунктирную дорожку. Здесь и будет находиться

наша точка , она расположена в нижнем полупространстве.

Для точки  отмеряем 5 единиц «на себя» и 4 единицы вправо, строим параллельные

осям пунктирные дорожки и находим их точку пересечения. В соответствии с «зетовой» координатой, чертим пунктиром «подставку для точки» – 2 единицы

вверх. Данная точка расположена в верхнем полупространстве.

Аналогично строятся две другие точки. Заметьте, что вершина  лежит в самой

плоскости .

Теперь нужно разобраться в удалённости точек, а в этом как раз и помогут пунктирные линии. Немного включаем пространственное воображение и

внимательно смотрим на ось . Очевидно, что самая близкая к нам вершина – , а самая удалённая – .

Строим рёбра. Если есть сомнения, то сначала тонко-тонко прочерчиваем все 6 сторон и начинаем разбираться, какие рёбра видимы, а какие нет. Лучше начать от самой близкой точки . Очевидно, что все

три «исходящих» ребра в поле нашего зрения:

Должен предостеречь, что так бывает далеко не всегда, одно ребро, например, может быть от нас скрыто. Не теряйте визуального восприятия

пространства!

Какие ещё стороны в зоне видимости? ВиднЫ рёбра , а вот сторона  спряталась за пирамидой. Обратите внимание, что она лежит в нижнем

полупространстве и проходит под осями :

Готово.

Следует отметить, что чертеж-«конфетка» получается далеко не всегда. Бывает, что фортуна разворачивается задом. Так, грань пирамиды может полностью

или частично закрывать всё остальное (слева).
       

Но самое скверное, когда перекрываются рёбра (справа). Тут сразу три ребра выстроились на одной прямой (правая верхняя прямая). В

подобной ситуации можно жирно прочертить накладывающиеся стороны разными цветами и ниже чертежа записать дополнительные комментарии о расположении

пирамиды. А можно поступить творчески – поменять оси местами (например,  и ).

Существуют и более мелкие неприятности, например, одна из сторон пирамиды может наложить на координатную ось (а то и вовсе расположиться за ней).
Увы, перечисленные случаи – не редкость на практике.

В конце решения следует выполнить Пункт 15, после чего желательно записать ответ, где по пунктам перечислить

полученные результаты.

6.1. Поверхности второго порядка

5.6.7. Добро пожаловать в «реальные боевые условия»!

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Раздел 1.5

Задача
1.6

Даны
вершины пирамиды A(x₁,y₁,z₁),
B(x₂,y₂,z₂),
C(x₃,y₃,z₃),
D(x₄,y₄,z₄).
Найти: а) угол между гранями АВС и ABD;

б)
каноническое и параметрические уравнения
прямой CD;

в)
уравнения плоскости параллельной
плоскости АВС, проходящую через точку
D;

г)
каноническое уравнение высоты пирамиды.

x₁=7
x₂=5
x₃=5
x₄=2

y₁=2
y₂=7
y₃=3
y₄=3

z₁=2
z₂=7
z₃=1
z₄=7

Вектор
АВ={xB-xA,
yB-yA, zB-zA}={-2, 5, 5}
Длина
ребра
АВ=7.3

Вектор
BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB}={0, -4, -6}
Длина
ребра
ВC=7.2

Вектор
АC={xC-xA,
yC-yA, zC-zA}={-2, 1, -1}
Длина
ребра
АC=2.4

Вектор
АD={xD-xA,
yD-yA, zD-zA}={-5, 1, 5}
Длина
ребра
АD=7.1

Вектор
BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB}={-3, -4, 0}
Длина
ребра
BD=5

Вектор
CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC}={-3, 0, 6}
Длина
ребра
CD=6.7

А)
Угол между гранями ABC и ABD

Угол
между гранями равен углу между нормалями
к этим граням

Уравнение
плоскости ABC:
-5x — 6y + 4z + 39 = 0

Уравнение
плоскости ABD:
20x — 15y + 23z-156 = 0

γ
= arccos (0.27) = 74.338^o

Б)
Каноническое
и параметрические уравнения прямой CD

Вектор
CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC}={-3, 0, 6}

С
(5; 3; 1) D
(2; 3; 7)

Решение.
Воспользуемся формулой для уравнения
прямой проходящей через две точки

=
==t

X
= 5 – 3t
Y
= 3 + t
Z
= 1 + 6t

В)
Уравнения плоскости параллельной
плоскости АВС, проходящую через точку
D

Решение:
Вектор n
( -5; -6; 4) есть нормальный вектор
плоскости ABC
= -5x
– 6y
+ 4z
+ 39 = 0.

Уравнение
плоскости, которая проходит через
точку D
(2; 3; 7) и имеет нормальный вектор n
= (-5; -6; 4), имеет вид 

-5
* (x
– 2) – 6 * (y
– 3) + 4 * (z
– 7) = 0 ↔ —5x
– 6y
– 4z
+ 51 = 0.

Это
искомое уравнение плоскости, проходящей
через заданную точку параллельно
заданной плоскости.

Г)
Каноническое уравнение высоты пирамиды.

Уравнение
плоскости ABC: −5x
− 6y + 4z + 39 = 0 или,
если умножить на -1: 5x
+ 6y — 4z – 39 = 0

Получаем
уравнение прямой, перпендикулярной
плоскости ABC
и проходящей через точку D (т.е. высоту
пирамиды)

Из
уравнения плоскости 5x
+ 6y — 4z – 39 = 0 берем
коэффициенты при x,y,z и получаем нормальный
вектор: {5, 6, -4}. Параметрическое уравнение
прямой с заданным направляющим вектором
(A,B,C) и проходящей через данную точку
(2, 3, 7):

x=
2+At y= 3+Bt z= 8+Ct

Подставляем
нормальный вектор плоскости и точку D:

x=
2+5t y= 3+6t z= 7-4t

Получили
параметрическое уравнение высоты
пирамиды. Если нужно каноническое
уравнение, в каждом уравнении выражаем
параметр t, а потом приравниваем:

t
=
t
=
t
=

Уравнение
высоты: t
=
t
=
t
=

Задача
1. 7.

Даны
три точки на плоскости: A(0;2)
B(6;6)
С(-12;3)

Найти:

а)
уравнение стороны AB;

б)
уравнение высоты, опущенной из вершины
A;

в)
уравнение медианы, опущенной из вершины
B;

г)
уравнение прямой, параллельной прямой
BС, проходящей через точку

А;

д)
угол при вершине B.

А)
Уравнение стороны AB

Решение:
Даны
три вершины треугольника, поэтому
уравнения сторон будем искать ка
уравнение прямой, проходящей через две
заданные точки  =
Подставляем
координаты вершин: уравнение
стороны AB,
при известных координатах вершины
A(0;-2) и B(6;6

AB
=
=

Б)
Уравнение высоты, опущенной из вершины
A

Решение:

Прямая,
проходящая через точку A(0;-2)
и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0
имеет направляющий вектор (A;B) и, значит,
представляется уравнениями:

Найдем
уравнение высоты через вершину Ay
= -6x -2 или y +6x + 2 = 0

В)
Уравнение медианы, опущенной из вершины
B

Решение:
Обозначим
середину стороны AC буквой М. Тогда
координаты точки M найдем по формулам
деления отрезка пополам.
M(-6;¹/₂)
Уравнение
медианы BM найдем, используя формулу для
уравнения прямой, проходящей через две
заданные точки. Медиана BМ проходит
через точки B(6;6) и М(-6;¹/₂),
поэтому:

Каноническое
уравнение прямой:
илиили
y =¹¹/₂₄x
+ ¹³/₄ или
24y -11x — 78 = 0

Найдем
длину медианы:
Расстояние между двумя
точками выражается через координаты
формулой:

ВМ
= √(-6-6)²
+ √(
-6)²
= √12²
+ ()²
= √=√697

Г)
Уравнение прямой, параллельной прямой
BС, проходящей через точку А

Решение:
Прямая,
проходящая через точки В(6; 6) и С(-12; 3),
представляется уравнениями:

Уравнение
прямой BC
Каноническое уравнение
прямой:

y
= ¹/₆x
+ 5 или 6y -x — 30 = 0

Уравнение
прямой BC: y = ¹/₆x
+ 5
Уравнение AB
параллельно BC находится по формуле:
y
— y₀ =
k(x — x₀)
Подставляя
x₀ =
0, k = ¹/₆,
y₀ =
-2 получим:
y-(-2) = ¹/₆(x-0)
y
= ¹/₆x
-2 или 6y -x +12 = 0

Д)
Угол при вершине B.

Решение:
Найдем угол B как угол между двумя
прямыми.
Уравнение прямой AB: y = ⁴/₃x
-2
Уравнение прямой BC: y = ¹/₆x
+ 5
Угол φ между двумя прямыми, заданными
уравнениями с угловыми коэффициентами
y = k₁x
+ b₁ и
y₂ =
k₂x
+ b₂,
вычисляется по формуле:

Угловые
коэффициенты данных прямых равны ⁴/₃ и ¹/₆.
Воспользуемся формулой, причем ее правую
часть берем по модулю:

tg
φ =²¹/₂₂
Ответ:
φ = arctg (²¹/₂₂)
= 43.67⁰

Задача
1.8

Перевести
уравнение кривой второго порядка а₁₁x²
+ a₂₂y²
+ 2a₁x
+ 2a₂y
+ a₀
= 0 к каноническому виду, выяснить, что
это за кривая. Найти координаты смещённого
центра. Построить кривую на плоскости.

а₁₁
=
3 а₂₂
= 2 а₁
= 3
а₂
= 4 а₀
= -45

Дано
уравнение кривой:
3x² +
2y² +
6x + 8y — 45 = 0
1. Определить тип кривой.
2.
Привести уравнение к каноническому
виду и построить кривую в исходной
системе координат.
3. Найти соответствующие
преобразования координат.

Решение:

Приводим
квадратичную форму B = 3x² +
2y²
к
главным осям, то есть к каноническому
виду. Матрица этой квадратичной формы:

B =

3 0 0 2

Находим
собственные числа и собственные векторы
этой матрицы:
(3 — λ)x₁ +
0y₁ =
0
0x₁ +
(2 — λ)y₁ =
0
Характеристическое уравнение:

3 — λ 0 0 2 — λ

= λ 2 — 5λ + 6 = 0

λ² -5
λ + 6 = 0
D = (-5)² —
4 • 1 • 6 = 1

Исходное
уравнение определяет эллипс (λ₁ >
0; λ₂ >
0)
Вид квадратичной формы:
3x² +
2y²
Выделяем
полные квадраты:
для x₁:
3(x₁²+2•1x₁ +
1) -3•1 = 3(x₁+1)²-3
для
y₁:
2(y₁²+2•2y₁ +
2²)
-2•2² =
2(y₁+2)²-8

В
итоге получаем:
3(x₁+1)²+2(y₁+2)² =
56
Разделим все выражение на 56
Полуоси
эллипса:Данное
уравнение определяет эллипс с центром
в точке:
C(-1; -2)
Найдем координаты
фокусов F₁(-c;0)
и F₂(c;0),
где c — половина расстояния между
фокусами
Итак,
фокусы эллипса:С
учетом центра, координаты фокусов
равны:Тогда
эксцентриситет будет равен:Вследствие
неравенстваc
< a эксцентриситет
эллипса меньше 1.

В этом уроке приведены определение и свойства правильной треугольной пирамиды и ее частного случая — тетраэдра (см. ниже). Ссылки на примеры решения задач приведены в конце урока.

Определение

Правильная треугольная пирамида — это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.

На рисунке обозначены:
ABC — Основание пирамиды
OS — Высота
KS — Апофема
OK — радиус окружности, вписанной в основание
AO — радиус окружности, описанной вокруг основания правильной треугольной пирамиды
SKO — двугранный угол между основанием и гранью пирамиды (в правильной пирамиде они равны)

Важно. В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS ) может быть не равна длине стороны основания (на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида называется тетраэдром (см. ниже).

Свойства правильной треугольной пирамиды:

• боковые ребра правильной пирамиды равны
• все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками
• в правильную треугольную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу
• если центры вписанной и описанной вокруг правильной треугольной пирамиды, сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π (180 градусов) , а каждый из них соответственно равен π / 3  (пи делить на 3 или 60 градусов ).
• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
• вершина пирамиды проецируется на основание в центр правильного равностороннего треугольника,, который является центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан

Формулы для правильной треугольной пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

где

V — объем правильной пирамиды, имеющей в основании правильный (равносторонний) треугольник
h — высота пирамиды
a — длина стороны основания пирамиды
R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности

Поскольку правильная треугольная пирамида является частным случаем правильной пирамиды, то формулы, которые верны для правильной пирамиды, верны и для правильной треугольной — см. формулы для правильной пирамиды.

Примеры решения задач:

• Нахождение периметра правильной треугольной пирамиды 
• Вычисление объема 
• Нахождение площади поверхности   

Тетраэдр

Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр.

Тетраэдр — это правильный многогранник (правильная треугольная пирамида) у которой все грани являются правильными треугольниками.

У тетраэдра:

• Все грани равны
• 4 грани, 4 вершины и 6 ребер
• Все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

Медиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, противолежащего вершине)

Бимедиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер (соединяющий середины сторон треугольника, являющегося одной из граней тетраэдра)

Высота тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани (то есть является высотой, проведенной от любой грани, также совпадает с центром описанной окружности).

Тетраэдр обладает следующими свойствами:

• Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке
• Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины
• Эта точка делит бимедианы пополам

Площадь, объем, высота, радиус вписанной и описанной окружности и другие формулы для тетраэдра

См. пример задачи: формулы и свойства тетраэдра.

0
 

 Пирамида с равнобедренным треугольником в основании |

Описание курса

| Периметр основания правильной треугольной пирамиды