Как найти координаты многочлена в базисе

Понятие базиса пространства Rⁿ
уже обсуждалось ранее. Аналогично
определяется базис любого линейного
пространства.

Определение. Конечная система
векторов

называется базисом линейного пространства
V, если:

а) векторы

линейно независимы;

б) любой вектор

пространства V представляется в
виде линейной комбинации векторов
базиса:

.
(*)

Коэффициенты разложения (*) определяются
однозначно и называются
координатами вектора
в базисе

.
Действительно, в противном случае, если

и

,
где

для некоторых

,
то вычитая почленно получим

,
нулевую линейную комбинацию векторов

,
где не все коэффициенты равны нулю.

Это
противоречит условию линейной
независимости системы {f}.

Из единственности разложения следует
что два вектора равны, если совпадают
их координаты по любому базису.

Примеры.

1. В пространстве

тройка векторов

представляют базис, а координатами
любого вектора по этому базису являются
проекции вектора на координатные оси.

2. Стандартным базисом в пространстве
Rⁿ служит система линейно
независимых векторов

;

,
…,

и каждый вектор

,

.

3. В пространстве многочленов степени

функции

образуют базис. Линейная независимость
этой системы уже проверялась. Координаты
любого многочлена

по данному базису равны

.
Введение базиса позволяет перейти от
линейных операций над векторами линейного
пространства к операциям над их
координатами, т.е. к привычным операциям
над числами.

Теорема. При сложении векторов
их соответствующие координаты
складываются,

при умножении вектора
на число все координаты его умножаются
на то же число.

Перейдем к понятию размерности
пространства.

Изучая аналитическую геометрию, мы
заметили, что на прямой не существует
двух линейно независимых векторов; на
плоскости любая пара неколлинеарных
векторов линейно независима, но каждые
три вектора уже линейно зависимы; в
пространстве же существуют линейно
независимые тройки векторов
(неколлинеарных), но уже любые четыре
вектора линейно зависимы. Упомянутые
пространства отличаются своей
размерностью.

При изучении пространства Rⁿ
(юнита 1) мы убедились, что в пространстве
можно выбрать различные базисы. Все они
обладают важным свойством – число их
векторов одинаково.

Это свойство справедливо для любого
линейного пространства V.

Определение. Число векторов
во всех базисах пространства V
одинаково. Это число называется
размерностью пространства V
и обозначается

.

Если

,
то любые n линейно независимых
векторов пространства V образуют
базис. Поэтому прямая линия – одномерное
пространство, плоскость – двумерна, а
привычное нам пространство – трехмерно.

Если в пространстве можно выбрать любое
число линейно независимых векторов, то
его называют бесконечномерным.

В пространстве многочленов степени не
выше n есть базис

из

векторов, потому размерность этого
пространства равна

.
Пространство же всех непрерывных на
отрезке

функции

не является конечномерным. Мы будем
рассматривать пространства, имеющие
конечные базисы.

Пример 1. В пространстве

рассмотрим два базиса. Базис

:

,

(неколлинеарные) и

:

,

.
Найдем координаты вектора

в каждом базисе. Очевидно, вектор

,
значит его координаты в базисе

.
В то же время

,
а значит

.

Пример 2. Рассмотрим совокупность
всех квадратных матриц 2-го порядка

.
Как уже говорилось, они образуют линейное
пространство. Покажем, что его размерность
равна 4. Действительно, система матриц

,

,

,

линейно независима,

а
матрица

– линейная комбинация

.
Система матриц

– базис
пространства, числа


– координаты матрицы А в этом
базисе. Базис состоит из

4 элементов,
следовательно, пространство четырехмерно.
Заметим, что пространство квадратных
матриц порядка n имеет размерность

.

Пример 3. В пространстве V
многочленов степени

,
функции

,

,

образуют базис.

Проверим их линейную независимость

,

.

.

Отсюда следует:

.

Мы показали, что размерность пространства
V многочленов степени

равна 3, потому

– базис пространства V.

Найдем координаты многочлена

в базисе

.

или

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях х в многочлене слева
и справа, получаем

.

Отсюда,

,

,

– координаты многочлена

в базисе

:

.
Заметим, что в стандартном базисе

многочлен

имеет координаты

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Автор	Сообщение
	Заголовок сообщения: Найти координаты многочлена f(x)=x^2+8x–24 в базисе Добавлено: 24 ноя 2016, 00:16
Начинающий Зарегистрирован: 24 ноя 2016, 00:11 Сообщений: 7 Cпасибо сказано: 3 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1	Найти координаты многочлена f(x)=x^2+8x–24 в базисе 3x^2+2x–1, 3x+4, x^2+3x–2. как сделать? если можно то поподробнее
Вернуться к началу

michel	Заголовок сообщения: Re: Найти координаты многочлена f(x)=x^2+8x–24 в базисе Добавлено: 24 ноя 2016, 10:29
	OlegSuvorov писал(а): Найти координаты многочлена f(x)=x^2+8x–24 в базисе 3x^2+2x–1, 3x+4, x^2+3x–2. как сделать? если можно то поподробнее Если я правильно понял условие задачи, надо исходный многочлен записать как сумму заданных базисных многочленов с постоянными коэффициентами a,b,c, которые и будут координатами многочлена в этом базисе. В данном случае коэффициенты получились [math]a=-2,b=-3,c=7[/math]
Вернуться к началу
	За это сообщение пользователю michel «Спасибо» сказали: OlegSuvorov

venjar	Заголовок сообщения: Re: Найти координаты многочлена f(x)=x^2+8x–24 в базисе Добавлено: 24 ноя 2016, 17:34
	OlegSuvorov писал(а): Найти координаты многочлена f(x)=x^2+8x–24 в базисе 3x^2+2x–1, 3x+4, x^2+3x–2. как сделать? если можно то поподробнее Задача сводится к стандартной: Найти координаты вектора (1,8,-24) в базисе из векторов (3,2,-1), (0,3,4), (1,3,-2)
Вернуться к началу

Korifa	Заголовок сообщения: Re: Найти координаты многочлена f(x)=x^2+8x–24 в базисе Добавлено: 18 мар 2020, 23:29
	venjar писал(а): OlegSuvorov писал(а): Найти координаты многочлена f(x)=x^2+8x–24 в базисе 3x^2+2x–1, 3x+4, x^2+3x–2. как сделать? если можно то поподробнее Задача сводится к стандартной: Найти координаты вектора (1,8,-24) в базисе из векторов (3,2,-1), (0,3,4), (1,3,-2) где-то читал, но не до конца понял, подскажите кто-нибудь можно ли с помощью формулы Тейлора найти координаты?
Вернуться к началу

Координаты вектора в базисе

Пример №1 . Даны векторы ε₁(2;1;3), ε₂(3;-2;1), ε₃(1;-3;-4), X(7;0;7). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить, образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:

∆ = 2*((-2)*(-4) — (-3)*1) — 3*(1*(-4) — (-3)*3) + 1*(1*1 — (-2)*3) = 14
Определитель матрицы равен ∆ =14
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α₁α₂α₃, что имеет место равенство:
X = α₁ε₁ + α₂ε₂ + α₃ε₃
Запишем данное равенство в координатной форме:
(7;0;7) = α(2;1;3) + α(3;-2;1) + α(1;-3;-4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(7;0;7) = (2α₁;1α₁;3α₁ + (3α₂;-2α₂;1α₂ + (1α₃;-3α₃;-4α₃
(7;0;7) = (2α₁ + 3α₂ + 1α₃;1α₁ -2α₂ -3α₃;3α₁ + 1α₂ -4α₃)
По свойству равенства векторов имеем:
2α₁ + 3α₂ + 1α₃ = 7
1α₁ -2α₂ -3α₃ = 0
3α₁ + 1α₂ -4α₃ = 7
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.
Ответ:

X = 2ε₁ + ε₂

В системе векторов a₁, a₂, a₃, a₄ найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.

Пример №2 . В системе векторов a₁, a₂, a₃, a₄ найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
a₁=(1;5;3), a₂=(2;1;-1), a₃=(4;2;1), a₄=(17;13;4).

Координаты и преобразования координат в линейном пространстве

Координаты векторов в данном базисе линейного пространства

Пусть — базис линейного пространства . Каждый вектор можно разложить по базису (см. теорему 8.1), т.е. представить в виде , причем коэффициенты в разложении определяются однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектора в базисе (или относительно базиса ). Координаты вектора — это упорядоченный на бор чисел, который представляется в виде матрицы-столбца и называется координатным столбцом вектора (в данном базисе). Вектор и его координатный столбец обозначаются одной и той же буквой полужирной или светлой соответственно.

Если базис (как упорядоченный набор векторов) представить в виде символической матрицы-строки , то разложение вектора по базису можно записать следующим образом:

Здесь умножение символической матрицы-строки на числовую матрицу-столбец производится по правилам умножения матриц.

При необходимости, если речь идет о разных базисах, у координатного столбца указывается обозначение базиса, относительно которого получены координаты, например, — координатный столбец вектора в базисе .

Из теоремы 8.1 следует, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты (в одном и том же базисе), и наоборот, если координаты векторов (в одном и том же базисе) соответственно равны, то равны и сами векторы .

Линейные операции в координатной форме

Пусть — базис линейного пространства , векторы и имеют в этом базисе координаты и соответственно, т.е.

Складывая эти равенства, получаем .

т.е. при сложении векторов их координаты складываются .

Умножая второе равенство в (8.7) на число , получаем

т.е. при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число .

Другими словами, сумма векторов имеет координаты , а произведение имеет координаты . Разумеется, что все координаты получены в одном базисе .

1. Нетрудно показать, что координатный столбец линейной комбинации векторов равен линейной комбинации координатных столбцов этих векторов.

2. Если система векторов линейно зависима (линейно независима), то их координатные столбцы, полученные относительно одного базиса, образуют линейно зависимую (соответственно, линейно независимую) систему. Это следует из равносильности равенств и . Например, если в этих равенствах не все коэффициенты равны нулю, т.е. система векторов и система их координатных столбцов линейно зависимы одновременно.

3. Все свойства линейной зависимости и линейной независимости векторов переносятся без изменений на их координатные столбцы, полученные в одном и том же базисе. И наоборот, свойства для матриц-столбцов, переносятся на векторы, если матрицы-столбцы считать их координатными столбцами.

4. Выбрав в n-мерном вещественном линейном пространстве некоторый базис, можно установить взаимно однозначное соответствие: каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец (в вы бранном базисе), и наоборот, каждому координатному столбцу поставить в соответствие вектор. Другими словами, любой фиксированный базис n-мерного вещественного линейного пространства позволяет установить взаимно однозначное соответствие между всеми векторами вещественно го пространства и всеми столбцами n-мерного арифметического пространства . Это соответствие обозначается . Для n-мерного комплексного линейного пространства аналогичное взаимно однозначное соответствие устанавливается с пространством .

Преобразование координат вектора при замене базиса

Пусть заданы два базиса пространства и . Базис будем условно называть «старым», а базис — «новым». Пусть известны разложения каждого вектора нового базиса по старому базису:

Записывая по столбцам координаты векторов в базисе , составляем матрицу:

Квадратная матрица , составленная из координатных столбцов векторов нового базиса в старом базисе , называется матрицей перехода от старого базиса к новому. При помощи матрицы перехода (8.9) формулы (8.8) можно записать в виде:

Умножение символической матрицы-строки на матрицу перехода в (8.10) производится по правилам умножения матриц.

Пусть в базисе вектор имеет координаты , а в базисе — координаты , т.е.

Подставляя в правую часть последнего равенства выражение (8.10), получаем — два разложения вектора в одном и том же базисе . Коэффициенты этих разложений должны совпадать (по теореме 8.1), так как это координаты одного и того же вектора в одном базисе. Поэтому

Формула (8.11) устанавливает связь координат вектора в разных базисах: координатный столбец вектора в старом базисе получается в результате умножения матрицы перехода на координатный столбец вектора в новом базисе .

Пример 8.3. В пространстве многочленов степени не выше второй даны две системы многочленов:

Доказать, что каждая система является базисом пространства . Найти матрицу перехода от базиса к базису . Определить координаты квадратного трехчлена относительно базисов и .

Решение. Система многочленов является стандартным базисом пространства . Докажем, что система является базисом. По ступим следующим образом. Найдем координатные столбцы этих многочленов в стандартном базисе. Раскладывая по базису , получаем

Составим из этих столбцов матрицу . Ранг этой матрицы равен 3, так как . Следовательно, столбцы линейно независимы, тогда и многочлены линейно независимы (см. пункт 2 замечаний 8.5). Итак, многочлены являются базисом пространства , а матрица — искомая матрица перехода от базиса к базису . Осталось найти координаты многочлена в этих базисах. Раскладывая по базисам, находим

Проверим результат, вычисляя по формуле (8.11):

Свойства матрицы перехода от одного базиса к другому

1. Пусть имеются три базиса пространства и известны матрицы перехода: от базиса к базису ; от к ; от к . Тогда

Действительно, запишем связь (8.10) для данных базисов:

Подставляя первое выражение во второе равенство, получаем . Сравнивая с третьим равенством, приходим к (8.12).

2. Если — матрица перехода от базиса к базису , то матрица обратима и обратная матрица является матрицей перехода от базиса к базису . Координаты вектора в базисах и связаны формулами:

В самом деле, пусть — матрица перехода от базиса к базису . Учитывая, что матрица перехода от базиса к базису — единичная, применяем свойство 1 к трем базисам . Для трех базисов аналогично получаем: . Следовательно, .

3. Всякая обратимая квадратная матрица n-го порядка может служить матрицей перехода от одного базиса n-мерного линейного пространства к другому базису.

Пример 8.4. В двумерном арифметическом пространстве даны два базиса: и . Найти матрицу перехода от базиса к базису и координаты вектора в каждом из базисов.

Решение. Рассмотрим стандартный базис пространства . Находим координаты векторов в стандартном базисе. Раскладываем вектор

В стандартном базисе пространства координатный столбец совпадает с вектором . Для других векторов аналогично получаем . Из координатных столбцов составим матрицы перехода (8.9) от стандартного базиса к данным базисам и

По свойству 1 матриц перехода имеем . .По свойству 2: . Поэтому

В стандартном базисе пространства координатный столбец совпадает с вектором . Найдем координаты этого вектора в базисе (по свойству 2 матрицы перехода):

В самом деле, справедливо разложение

Найдем координаты вектора в базисе двумя способами

Полученный результат подтверждает разложение:

Нахождение координат вектора

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB , нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора

» data-lang=»default» data-override=»<«emptyTable»:»»,»info»:»»,»infoEmpty»:»»,»infoFiltered»:»»,»lengthMenu»:»»,»search»:»»,»zeroRecords»:»»,»exportLabel»:»»,»file»:»default»>» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач	AB = x — Ax; By — Ay>
Для трехмерных задач	AB = x — Ax; By — Ay; Bz — Az>
Для n-мерных векторов	AB = 1 — A1; B2 — A2; . Bn — An>

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB , если у его точек следующие координаты: , .

Задание 2
Определим координаты точки B вектора , если координаты точки .

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
B_x = AB _x + A_x = 6 + 2 = 8.
B_y = AB _y + A_y = 14 + 5 = 19.