Как найти координаты основания перпендикуляра к плоскости

Условие

Решение

Написать комментарий

Задача 22245 5. Найти уравнения перпендикуляра к.

Условие

5. Найти уравнения перпендикуляра к плоскости x-2y+z-9 = 0, проходящего через точку А(-2;0; -1), и определить координаты основания этого перпендикуляра.

Решение

Нормальный вектор плоскости, является направляющим вектором этого перпендикуляра.
vector=(A;B;C)=(1;-2;1)

Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным направляющим вектором (p;q;r):

Находим координаты точки Р — основания перпендикуляра или точки пересечения прямой и плоскjсти
<(x+2)/1=(y-0)/(-2)=(z+1)/1

и подставляем в первое
х-2*(-2х-4)+(х+1)-9=0
6х=0
х=0
y=-2*0 — 4 = — 4
z=0 + 2= 2

Уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

В рамках этого материала мы разберем, как найти уравнение плоскости, если мы знаем координаты трех различных ее точек, которые не лежат на одной прямой. Для этого нам понадобится вспомнить, что такое прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Для начала мы введем основной принцип данного уравнения и покажем, как именно использовать его при решении конкретных задач.

Как найти уравнение плоскости, которая проходит через 3 заданные точки

Для начала нам необходимо вспомнить одну аксиому, которая звучит следующим образом:

Если три точки не совпадают друг с другом и не лежат на одной прямой, то в трехмерном пространстве через них проходит только одна плоскость.

Иными словами, если у нас есть три разных точки, координаты которых не совпадают и которые нельзя соединить прямой, то мы можем определить плоскость, проходящую через нее.

Допустим, у нас имеется прямоугольная система координат. Обозначим ее O x y z . В ней лежат три точки M с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) , которые нельзя соединить прямой линией. Исходя из этих условий, мы можем записать уравнение необходимой нам плоскости. Есть два подхода к решению этой задачи.

1. Первый подход использует общее уравнение плоскости. В буквенном виде оно записывается как A ( x — x 1 ) + B ( y — y 1 ) + C ( z — z 1 ) = 0 . С его помощью можно задать в прямоугольной системе координат некую плоскость альфа, которая проходит через первую заданную точку M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) . У нас получается, что нормальный вектор плоскости α будет иметь координаты A , B , C .

Зная координаты нормального вектора и координаты точки, через которую проходит плоскость, мы можем записать общее уравнение этой плоскости.

Из этого мы и будем исходить в дальнейшем.

Таким образом, согласно условиям задачи, мы имеем координаты искомой точки (даже трех), через которую проходит плоскость. Чтобы найти уравнение, нужно вычислить координаты ее нормального вектора. Обозначим его n → .

Вспомним правило: любой не равный нулю вектор данной плоскости является перпендикулярным нормальному вектору этой же плоскости. Тогда мы имеем, что n → будет перпендикулярным по отношению к векторам, составленным из исходных точек M 1 M 2 → и M 1 M 3 → . Тогда мы можем обозначить n → как векторное произведение вида M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Поскольку M 1 M 2 → = ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , z 2 — z 1 ) а M 1 M 3 → = x 3 — x 1 , y 3 — y 1 , z 3 — z 1 (доказательства этих равенств приведены в статье, посвященной вычислению координат вектора по координатам точек), тогда получается, что:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1

Если мы вычислим определитель, то получим необходимые нам координаты нормального вектора n → . Теперь мы можем записать нужное нам уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

2. Второй подход нахождения уравнения, проходящей через M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) , основан на таком понятии, как компланарность векторов.

Если у нас есть множество точек M ( x , y , z ) , то в прямоугольной системе координат они определяют плоскость для заданных точек M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) только в том случае, когда векторы M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 , z — z 1 ) , M 1 M 2 → = ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , z 2 — z 1 ) и M 1 M 3 → = ( x 3 — x 1 , y 3 — y 1 , z 3 — z 1 ) будут компланарными.

На схеме это будет выглядеть так:

Это будет означать, что смешанное произведение векторов M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → будет равно нулю: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , поскольку это является основным условием компланарности: M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 , z — z 1 ) , M 1 M 2 → = ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , z 2 — z 1 ) и M 1 M 3 → = ( x 3 — x 1 , y 3 — y 1 , z 3 — z 1 ) .

Запишем полученное уравнение в координатной форме:

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0

После того, как мы вычислим определитель, мы сможем получить нужное нам уравнение плоскости для трех не лежащих на одной прямой точек M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) .

От полученного в результате уравнения можно перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости, если этого требуют условия задачи.

В следующем пункте мы приведем примеры того, как указанные нами подходы реализуются на практике.

Примеры задач на составление уравнения плоскости, проходящих через 3 точки

Ранее мы выделили два подхода, с помощью которых можно найти искомое уравнение. Давайте посмотрим, как они применяются в решениях задач и когда следует выбирать каждый из них.

Есть три точки, не лежащие на одной прямой, с координатами M 1 ( — 3 , 2 , — 1 ) , M 2 ( — 1 , 2 , 4 ) , M 3 ( 3 , 3 , — 1 ) . Составьте уравнение плоскости, проходящей через них.

Решение

Используем поочередно оба способа.

1. Найдем координаты двух нужных нам векторов M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = — 1 — — 3 , 2 — 2 , 4 — — 1 ⇔ M 1 M 2 → = ( 2 , 0 , 5 ) M 1 M 3 → = 3 — — 3 , 3 — 2 , — 1 — — 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Теперь вычислим их векторное произведение. Вычисления определителя расписывать при этом не будем:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = — 5 · i → + 30 · j → + 2 · k →

У нас получился нормальный вектор плоскости, которая проходит через три искомые точки: n → = ( — 5 , 30 , 2 ) . Далее нам нужно взять одну из точек, например, M 1 ( — 3 , 2 , — 1 ) , и записать уравнение для плоскости с вектором n → = ( — 5 , 30 , 2 ) . Мы получим, что: — 5 · ( x — ( — 3 ) ) + 30 · ( y — 2 ) + 2 · ( z — ( — 1 ) ) = 0 ⇔ — 5 x + 30 y + 2 z — 73 = 0

Это и есть нужное нам уравнение плоскости, которая проходит через три точки.

2. Используем другой подход. Запишем уравнение для плоскости с тремя точками M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) в следующем виде:

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0

Сюда можно подставить данные из условия задачи. Поскольку x 1 = — 3 , y 1 = 2 , z 1 = — 1 , x 2 = — 1 , y 2 = 2 , z 2 = 4 , x 3 = 3 , y 3 = 3 , z 3 = — 1 , в итоге мы получим:

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = x — ( — 3 ) y — 2 z — ( — 1 ) — 1 — ( — 3 ) 2 — 2 4 — ( — 1 ) 3 — ( — 3 ) 3 — 2 — 1 — ( — 1 ) = = x + 3 y — 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = — 5 x + 30 y + 2 z — 73

Мы получили нужное нам уравнение.

Ответ: — 5 x + 30 y + 2 z — 73 .

А как быть, если заданные точки все же лежат на одной прямой и нам нужно составить уравнение плоскости для них? Здесь сразу надо сказать, что это условие будет не совсем корректным. Через такие точки может проходить бесконечно много плоскостей, поэтому вычислить один-единственный ответ невозможно. Рассмотрим такую задачу, чтобы доказать некорректность подобной постановки вопроса.

У нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой размещены три точки с координатами M 1 ( 5 , — 8 , — 2 ) , M 2 ( 1 , — 2 , 0 ) , M 3 ( — 1 , 1 , 1 ) . Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через нее.

Решение

Используем первый способ и начнем с вычисления координат двух векторов M 1 M 2 → и M 1 M 3 → . Подсчитаем их координаты: M 1 M 2 → = ( — 4 , 6 , 2 ) , M 1 M 3 → = — 6 , 9 , 3 .

Векторное произведение будет равно:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → — 4 6 2 — 6 9 3 = 0 · i ⇀ + 0 · j → + 0 · k → = 0 →

Поскольку M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , то наши векторы будут коллинеарными (перечитайте статью о них, если забыли определение этого понятия). Таким образом, исходные точки M 1 ( 5 , — 8 , — 2 ) , M 2 ( 1 , — 2 , 0 ) , M 3 ( — 1 , 1 , 1 ) находятся на одной прямой, и наша задача имеет бесконечно много вариантов ответа.

Если мы используем второй способ, у нас получится:

x — x 1 y — y 1 z — z 1 x 2 — x 1 y 2 — y 1 z 2 — z 1 x 3 — x 1 y 3 — y 1 z 3 — z 1 = 0 ⇔ x — 5 y — ( — 8 ) z — ( — 2 ) 1 — 5 — 2 — ( — 8 ) 0 — ( — 2 ) — 1 — 5 1 — ( — 8 ) 1 — ( — 2 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 5 y + 8 z + 2 — 4 6 2 — 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Из получившегося равенства также следует, что заданные точки M 1 ( 5 , — 8 , — 2 ) , M 2 ( 1 , — 2 , 0 ) , M 3 ( — 1 , 1 , 1 ) находятся на одной прямой.

Если вы хотите найти хоть один ответ этой задачи из бесконечного множества ее вариантов, то нужно выполнить следующие шаги:

1. Записать уравнение прямой М 1 М 2 , М 1 М 3 или М 2 М 3 (при необходимости посмотрите материал об этом действии).

2. Взять точку M 4 ( x 4 , y 4 , z 4 ) , которая не лежит на прямой М 1 М 2 .

3. Записать уравнение плоскости, которая проходит через три различных точки М 1 , М 2 и M 4 , не лежащих на одной прямой.

Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Найти уравнение плоскости

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны:

Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

x — x 1	y — y 1	z — z 1	= 0
x 2 — x 1	y 2 — y 1	z 2 — z 1
x 3 — x 1	y 3 — y 1	z 3 — z 1

Если заданы координаты точки A( x ₁, y ₁, z ₁) лежащей на плоскости и вектор нормали n = , то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Министерство
образования и науки Российской Федерации

Калужский
филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования

«Московский
государственный технический университет

имени
Н.Э. Баумана»

кафедра

Высшая
математика

Учебное пособие по курсу аналитической геометрии «Решение типовых задач»

Составил:
Влайков Н.Д.

Рецензент:
к.ф.-м.н. Савотин А.И.

г.
Калуга, 2011 г.

Содержание.

1. Уравнение
   прямой и плоскости в пространстве
   стр. 2

2. Уравнения
   кривых второго порядка
   стр.7

3. Матричные
   уравнения
   стр. 8

4. Решение
   СЛАУ
   стр. 10

5. Задачи
   для самостоятельного решения
   стр. 14

6. Список
   рекомендуемой литературы
   стр. 16

1. Уравнение плоскости и прямой в пространстве.

Даны
координаты четырех точек в пространстве
.

Найти:

1. Уравнение
   плоскости, проходящей через точки
   .

2. Уравнение
   и длину перпендикуляра, опущенного из
   т.
   на
   плоскость, проходящую через точки
   .

3. Расстояние
   от т.
   
   до прямой, проходящей через точки
   .

4. Точку,
   симметричную точке
   ,
   относительно прямой, проходящей через
   точки
   .

5. Выполнить
   чертеж.

Решение.

1.1.
Уравнение плоскости, проходящей через
три заданные точки,

,

имеет
вид:

.
Для наших точек:
.
Вычислим определитель:
следовательно,
уравнение искомой плоскости
.

1.2.
Составим уравнение перпендикуляра,
опущенного из т.
на
плоскость, проходящую через точки
.
Запишем это уравнение в каноническом
виде:
,
где
—
координаты точки, принадлежащей прямой,
а в знаменателях записаны соответствующие
координаты направляющего вектора
.
Координаты точки,
принадлежащей прямой, нам известны. В
качестве направляющего вектора, возьмем
нормальный вектор плоскости. Т.е.
_.

Запишем
уравнение перпендикуляра:
.

Длина
перпендикуляра может быть найдена как
расстояние от т.
до плоскости

по формуле:
,
где
,,—
координаты нормального вектора плоскости,
а

— координаты точки
.

.

1.3. Расстояние от т. До прямой, проходящей через точки .

а)
Общий вид уравнения прямой проходящей
через две заданные точки
,имеет
вид:
.
Для наших точек:

;
;

б)
Теперь найдем расстояние от точки
до
прямой
.
Для этого составим уравнение плоскости

,
проходящей через т.
,
перпендикулярно прямой
.
Уравнение плоскости, проходящей через
т.
,
с нормальным вектором

имеет вид:
.

Координаты
т.
известны,
а в качестве нормального вектора можно
выбрать направляющий вектор прямой
:

.
Подставим координаты в уравнение:
;
раскрыв скобки и приведя подобные
слагаемые получим уравнение плоскости

.

в)
Найдем координаты точки
—
точки пересечения прямой
и
плоскости
.
Точка
—
будет являться основанием перпендикуляра
опущенного из т.

на прямую
.
Т.к. т.

принадлежит и прямой и плоскости, ее
координаты должны удовлетворять двум
уравнениям, следовательно, координаты
можно найти, решив систему:

_;

Для
этого перейдем к параметрическому
уравнению прямой
:

;
выразим

через
параметр
:.

Подставим
в уравнение плоскости

и решим его:
;

.
Найдем

из системы:
;;.

Следовательно,
координаты т.
.

г)
Расстояние от т.

до прямой, проходящей через точки

можно найти как расстояние между точками

и

по формуле:
.

.

1.4.
Найдем координаты т.
,
симметричной точке
,
относительно прямой, проходящей через
точки
.
Координаты точки

можно найти из условия: т.
—
середина отрезка

(т.к. прямая
).
Координаты середины отрезка можно найти
по формулам:
,

,

.
Следовательно, координаты т.

можно
найти так:
,

,

.

Т.е.

,

,

.

.

1.5.
Построим несколько поясняющих чертежей:

1.5.1.
Построим
точки
.
Для примера построим т.

Рис
1.1 Точка

1.5.2.
На рис 1.2 построим плоскость
,
приведя общее уравнение к уравнению
плоскости в отрезках:
;

;

Рис
1.2 плоскость
.

1.5.3.
Изобразим прямую
:

Рис
1.3 прямая

1.5.4.
Построим точку
:

Рис
1.4 Точка
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости

Наша цель построить уравнение прямой, проходящей через данную точку M₀ и перпендикулярной к данной плоскости Ax+By+Cz+D=0.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

(1)

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

(2)

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональный плоскости (1) имеет следующий вид:

(3)

Пример 1. Построить прямую, проходящую через точку M₀(5, -4, 4) и перпендикулярной плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид (1), где :

(4)

Подставляя координаты точки M₀(5, -4, 4) и координаты нормального вектора плоскости (4) в (3), получим:

Прямая, перпендикулярная к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Расстояние от точки до плоскости

Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Определение . Прямой, перпендикулярной к плоскости , называют такую прямую, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей на этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости . Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство . Рассмотрим сначала следующий случай.

Предположим, что прямая p , пересекающая плоскость α в точке O, перпендикулярна к прямым a и b , лежащим на плоскости α и проходящим через точку O . Докажем, что в этом случае прямая p перпендикулярна любой другой прямой c , лежащей на плоскости α и проходящей через точку O .

С этой целью отметим на прямой a произвольную точку A , а на прямой b произвольную точку B (рис. 1).

Проведем прямую AB и обозначим буквой C точку пересечения прямых AB и c. Отметим на прямой p произвольную точку P и обозначим символом P’ точку, расположенную на прямой p так, чтобы точка O оказалась серединой отрезка PP’ . Поскольку прямые OA и OB являются серединными перпендикулярами к отрезку PP’ , то справедливы равенства

Из этих равенств, а также поскольку отрезок AB является общей стороной треугольников APB и AP’B , заключаем, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам трегольники APB и AP’B равны. Следовательно,

Отсюда в силу признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними заключаем, что трегольник PBС равен треугольнику P’BС ( BP = BP’ , , сторона BС — общая). Следовательно,

Таким образом, прямые PO и c перпендикулярны, что и требовалось доказать в рассматриваемом случае.

Теперь перейдем к общему случаю.

Предположим, что что прямая p , пересекающая плоскость α в точке O, перпендикулярна к прямым a и b , лежащим на плоскости α . Докажем, что в этом случае прямая p перпендикулярна любой другой прямой c , лежащей плоскости α (рис. 2).

С этой целью проведем через точку O прямые a’ , b’ и c’ соответственно параллельные прямым параллельные прямым a , b и c .

По определению угла между скрещивающимися прямыми прямая будет перпендикулярна прямым a’ и b’ , проходящим через точку O, и мы оказываемся в условиях уже рассмотренного случая.

Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости завершено.

Замечание . Прямую, перпендикулярную к плоскости, часто называют перпендикуляром к плоскости. Точку перечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с самой плоскостью называют основанием перпендикуляра.

Так, например, на рисунке 1 точка O является основанием перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость α .

Свойства перпендикуляра к плоскости

Перечислим следующие свойства перпендикуляра к плоскости, доказательства которых мы оставляем читателю в качестве полезных упражнений.

Рисунок	Свойство
	Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка O — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость α , то длину отрезка PO называют расстоянием от точки P до плоскости α.
	Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны
	Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.
	Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
	Если плоскости α и β перпендикулярны, а точка P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки P на плоскость α , также лежит в плоскости β.

Свойство:
Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка O — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость α , то длину отрезка PO называют расстоянием от точки P до плоскости α.

Свойство:
Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны параллельны

Свойство:
Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.

Свойство:
Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Свойство:
Если плоскости α и β перпендикулярны, а точка P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки P на плоскость α , также лежит в плоскости β.

Задача 22245 5. Найти уравнения перпендикуляра к.

Условие

5. Найти уравнения перпендикуляра к плоскости x-2y+z-9 = 0, проходящего через точку А(-2;0; -1), и определить координаты основания этого перпендикуляра.

Решение

Нормальный вектор плоскости, является направляющим вектором этого перпендикуляра.
vector=(A;B;C)=(1;-2;1)

Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным направляющим вектором (p;q;r):

Находим координаты точки Р — основания перпендикуляра или точки пересечения прямой и плоскjсти
<(x+2)/1=(y-0)/(-2)=(z+1)/1

и подставляем в первое
х-2*(-2х-4)+(х+1)-9=0
6х=0
х=0
y=-2*0 — 4 = — 4
z=0 + 2= 2