Как найти координаты отрезка если известны точки


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Найти длину вертикального или горизонтального отрезка на координатной плоскости можно с помощью координат, а вот сделать это с диагональным отрезком сложнее. Длину диагонального отрезка можно вычислить по формуле, которая основана на теореме Пифагора, где гипотенузой прямоугольного треугольника является наш диагональный отрезок.[1]
С помощью этой формулы можно быстро найти длину любого отрезка на координатной плоскости.

  1. Изображение с названием Use Distance Formula to Find the Length of a Line Step 1

    1

    Запишите формулу для вычисления длины. Формула: d={sqrt  {(x_{{2}}-x_{{1}})^{{2}}+(y_{{2}}-y_{{1}})^{{2}}}}, где d — длина отрезка, (x_{{1}},y_{{1}}) — координаты начальной точки отрезка, (x_{{2}},y_{{2}}) — координаты конечной точки отрезка.[2]

  2. Изображение с названием Use Distance Formula to Find the Length of a Line Step 2

    2

    Найдите координаты точек отрезка. Возможно, они будут даны. Если нет, найдите их по осям Х и Y.[3]

  3. Изображение с названием Use Distance Formula to Find the Length of a Line Step 3

    3

    Подставьте координаты в формулу. Будьте внимательны и подставьте значения соответствующих переменных. Две координаты x должны находится внутри первой пары скобок, а две координаты y — внутри второй пары скобок.[4]

    Реклама

  1. Изображение с названием Use Distance Formula to Find the Length of a Line Step 4

    1

    Выполните вычитание в скобках. Сделайте это, потому что операции в скобках имеют приоритет.[5]

  2. Изображение с названием Use Distance Formula to Find the Length of a Line Step 5

    2

    Возведите в квадрат полученные значения. В нашем случае возведение в степень — это вторая по важности операция.[6]

  3. Изображение с названием Use Distance Formula to Find the Length of a Line Step 6

    3

    Сложите числа под знаком корня. Делайте вычисления так, как будто работаете с целыми числами.

  4. Изображение с названием Use Distance Formula to Find the Length of a Line Step 7

    4

    Вычислите длину отрезка d. Для этого извлеките корень из полученной суммы чисел.

    Реклама

Советы

  • Не путайте эту формулу с другими, например, с формулой для вычисления углового коэффициента или с линейным уравнением.
  • Помните о порядке выполнения математических операций. Сначала вычтите, затем возведите в квадрат, затем сложите, а затем извлеките квадратный корень.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 24 709 раз.

Была ли эта статья полезной?

План урока:

Взаимосвязь координат векторов и его начала и конца

Определение координат середины отрезка

Вычисление длины вектора и отрезка

Простейшие задачи с использованием координатного метода

Использование признака коллинеарности векторов

Деление отрезка в заданном отношении

Введение прямоугольной системы координат

Взаимосвязь координат векторов и его начала и конца

На координатной плоскости любые две точки можно соединить друг с другом. В результате получается отрезок. Если же дополнительно указано, какая из этих точек – начало отрезка, а какая – конец, то в итоге мы уже имеем вектор. Попробуем определить, есть ли связь между координатами вектора и координатами (можно использовать сокращение коор-ты) его граничных точек.

Пусть в прямоугольной системе координат отмечены точки А (хАА) и В(хBB).Тогда можно задать вектор АВ. Также построим ещё два вспомогательных вектора ОА и ОВ, начинающиеся в точке О – начале коор-т:

1 zadachi v koordinatah

Вектора ОВ и ОА – это радиус-векторы (так как их начало находится в начале координат), поэтому их коор-ты ОВ и ОА совпадают с коор-тами их концов (В и А соответственно):

2 zadachi v koordinatah

Итак, зная коор-ты граничных точек вектора, можно найти и координаты данного вектора:

3 zadachi v koordinatah

Например, если вектор начинается в точке А (2; 1), а заканчивается в точке В (6; 3), то коор-ты вектора АВ можно определить так:

4 zadachi v koordinatah

Задание. Начало вектора находится в точке М, а конец – в точке К. Определите его коор-ты, если:

а) М(2; 7) и К(6; 8);

б) М(5; 1) и К(2; 10);

в) М(0; 8) и К(9; -5).

Решение. Из коор-т К мы просто вычитаем соответствующие коор-ты М, и в итоге определяем коор-ты вектора:

5 zadachi v koordinatah

Задание. От точки H (8; 15) отложили вектор m{5; – 6}. Каковы координаты конца этого вектора?

Решение. Обозначим интересующие нас коор-ты как (хк; ук). Для вектора, начинающегося в точке (8; 15) и заканчивающегося в точке (хк; ук), коор-ты можно вычислить так:

x = xk — 8

y = yk — 15

Однако нам даны координаты вектора, то есть величины х и у, поэтому мы можем записать:

5 = xk — 8

-6 = yk — 15

Оба равенства представляет собой уравнения, которые можно решить:

5 = xk — 8

xk = 5 + 8 = 13

-6 = yk — 15

yk = -6 + 15 = 9

В итоге получили, что конец вектора находится в точке (13; 9).

Ответ:(13; 9).

Определение координат середины отрезка

Пусть построен вектор АВ, причем известны коор-ты его начала А (хА; уА) и его конца B (хB; уB). Обозначим буквой С середину отрезка АВ и попытаемся вычислить коор-ты С, которые мы обозначим как (хC; уC):

6 zadachi v koordinatah

Рассмотрим вектора АС и СВ. Они имеют одинаковую длину, потому что С разбивает АВ пополам. Также АС и СВ коллинеарны, так как они лежат на одной прямой АВ. При этом они и сонаправлены, а значит, эти вектора равны:

7 zadachi v koordinatah

Нам удалось выразить коор-ты С через координаты А и В. В итоге можно сформулировать правило:

8 zadachi v koordinatah

Например, пусть необходимо найти координаты середины отрезка HK, при этом известны коор-ты его концов: Н(5; – 2) и К(3; 4). Сначала найдем полусумму коор-т х и получим эту же коор-ту у середины:

9 zadachi v koordinatah

Итак, точка середины отрезка имеет коор-ты (4; 1). Для наглядности построим отрезок ОК и продемонстрируем, что его середина действительно находится в точке (4; 1):

10 zadachi v koordinatah

Вычисление длины вектора и отрезка

Пусть есть произвольный вектор с коор-тами {x; у}. Отложим его от точки начала координат, после чего из его конца опустим перпендикуляры ОВ и ОС на координатные оси:

11 zadachi v koordinatah

Для простоты рассмотрим случай, когда х и у – положительные числа, то есть точка А находится в первой четверти. Тогда длина ОВ будет равна х:

OB = x

Так как ОСАВ – прямоугольник, то стороны ОС и АВ одинаковы, причем ОС имеет длину, равную коор-те у:

AB = OC = y

Теперь изучим ∆ОВА. Он прямоугольный, и ОА в нем – гипотенуза, поэтому можно записать теорему Пифагора:

OA2 = OB2 + AB2

Теперь заменим отрезки ОВ и АВ на х и у:

OA2 = x2 + y2

Осталось извлечь квадратный корень:

12 zadachi v koordinatah

Мы вывели формулу для вычисления длины вектора по его координатам. Можно рассмотреть и остальные случаи, когда точка А лежит в другой четверти координатной плоскости или на координатных осях, однако во всех случаях будет получаться одинаковая формула.

13 zadachi v koordinatah

Задание. Определите длину вектора с коор-тами:

14 zadachi v koordinatah

Решение. Во всех случаях просто возводим каждую коор-ту в квадрат, потом складываем полученные числа и извлекаем из полученной суммы квадратный корень:

15 zadachi v koordinatah

Теперь предположим, что имеется две точки с коор-тами (х1; у1) и (х2; у2). Требуется найти длину отрезка, их соединяющего, то есть расстояние между этими двумя точками. Если принять одну из этих точек, например первую, за начало вектора, а вторую за его конец, то задача сведется к вычислению длины этого вектора. Его коор-ты можно будет высчитать так:

x = x2 — x1

y = y2 — y1

Тогда расстояние между точками (обозначим его как d) будет вычисляться по формуле:

16 zadachi v koordinatah

Задание. Определите длину отрезка MP, если известны коор-ты его концов:

17 zadachi v koordinatah

Простейшие задачи с использованием координатного метода

Выведенные нами формулы являются базовыми для расчетов, связанных с коор-тами. До этого мы решали лишь простейшие задачи на использование этих формул, однако в более сложных задачах надо использовать сразу несколько более сложных формул.

Задание. Известны коор-ты трех вершин параллелограмма АВСD: А(4; 1), В(1; 1), С(3; 5). Определите коор-ты четвертой вершины D.

Решение.

18 zadachi v koordinatah

Сначала найдем коор-ты вектора ВС. Мы можем это сделать, так как нам известны коор-ты его начальной и конечной точки:

xBC = xC — xB = 3 — 1 = 2

yBC = yC — yB = 5 — 1 = 4

Так как в параллелограмме противоположные стороны имеют одинаковую длину и при этом параллельны, то вектора ВС и АD равны, то есть имеют одинаковые коор-ты:

19 zadachi v koordinatah

Итак, D имеет коор-ты (6; 5).

Ответ (6; 5).

Задание. В – середина отрезка АС. Известны коор-ты точек: А(2; 4) и В(0; 18). Найдите коор-ты С.

Решение.

20 zadachi v koordinatah

Для начала будем работать только с коор-той х. Так как В – середина АС, то их абсциссы (напомним, так называют координату х точек) связаны соотношением:

21 zadachi v koordinatah

Задание. Отрезок MN имеет длину 13. Даны координаты концов отрезка: M(4; 6) и N (х; 1). Найдите величину переменной х.

22 zadachi v koordinatah

Нам по условию известно это расстояние для точек M и N, а также известны 3 и 4 коор-т точек. Поэтому надо просто подставить все известные данные в формулу, получить уравнение и решить его:

23 zadachi v koordinatah

Далее извлекаем корень из обеих частей, но при этом появляется два различных корня (так обычно и бывает при решении квадратных уравнений):

24 zadachi v koordinatah

Ответ: – 8 или 16.

Задание. Расстояние от точки S(2x; – 2) до точки T (6; 4х) составляет 14. Определите величину х.

Решение. Задача во многом аналогично предыдущей, надо подставить в формулу расстояния между точками данные из условия и решить получившееся уравнение:

25 zadachi v koordinatah

Решаем это квадратное уравнение через дискриминант:

26 zadachi v koordinatah

Ответ: (– 2,6) или 3.

Задание. Найдите коор-ты точки M на рисунке, если точка А имеет коор-ты (4; 2).

27 zadachi v koordinatah

Решение. По рисунку видно, что середина отрезка находится в точке О(0; 0). Коор-ты середины отрезка (то есть точки О) и его граничных точек связаны формулами:

28 zadachi v koordinatah

Использование признака коллинеарности векторов

На прошлом уроке мы выяснили, что если вектора коллинеарны, то их коор-ты пропорциональны. Это позволяет определить, лежит ли та или иная точка на указанной прямой.

Задание. Даны точки А(1; 2), В(4; 7) и С (10; 17). Определите, лежит ли точка В на прямой АС.

Решение. Если А, В и С принадлежат одной прямой, то любые два вектора, проведенные через эти точки, окажутся коллинеарными друг другу. Если же они НЕ лежат на одной прямой, то наоборот, любые два таких вектора окажутся неколлинеарными. То есть надо составить два вектора, например, АВ и ВС, и проверить их коллинеарность.

Определим коор-ты АВ:

29 zadachi v koordinatah

Напомним, что для проверки векторов на коллинеарность надо поделить их коор-ты друг на друга. Если получится одно и то же число, то вектора коллинеарны:

30 zadachi v koordinatah

В обоих случаях получилось одинаковое число, значит, вектора коллинеарны.

Ответ: Да, точка B лежит на прямой AC.

Задание. Проверьте, лежат ли точки А(3; 7), В (8; 12) и С(6; 4) на одной прямой.

Решение. Снова вычисляем коор-ты векторов АВ и ВС:

31 zadachi v koordinatah

Получились разные числа, следовательно, вектора АВ и ВС не коллинеарны, а потому точки А, В и С никак не могут лежать на одной прямой.

Ответ: Нет, точки A,B,C не лежат на одной прямой.

Задание. Проверьте, параллельны ли друг другу отрезки АВ и CD, если известны коор-ты: А(1; 1), В(5; 5), С(4; 2), D(6; 4).

Решение. Если отрезки параллельны, то и вектора АВ и CD должны быть коллинеарными. Проверим это также, как мы это делали в двух предыдущих задачах:

32 zadachi v koordinatah

Итак, вектора коллинеарны. Означает ли это, что отрезки АВ и CD параллельны? Ещё нет. На самом деле возможно два случая:

1) АВ и CD действительно параллельны;

2) АВ и СD лежат на одной прямой, и тогда их параллельными считать нельзя.

33 zadachi v koordinatah

Как же проверить, какой из двух случаев относится к этой задаче? Надо рассмотреть ещё один ВС. Если реализуется второй случай, то он окажется коллинеарен вектору АВ. В первом же случае он будет ему не коллинеарен.

34 zadachi v koordinatah

Получили различные числа, значит, АВ и ВС не коллинеарны. Теперь мы можем точно утверждать, что АВ и СD параллельны.

Ответ: Да, отрезки AB и CD параллельны.

Деление отрезка в заданном отношении

Мы уже научились находить коор-ты середины отрезка. Можно сказать, что середина – это точка, которая разбивает отрезок в отношении 1:1, то есть на равные отрезки. А что делать в более сложном случае, если нужно найти точку, разбивающую отрезок в другом отношении, например, в отношении 2:1? Выведем для такого случая формулу.

Пусть точка С разбивает отрезок АВ в некотором отношении так, что отрезок АС в больше отрезка СВ:

35 zadachi v koordinatah

(Примечание. Если отрезок АС меньше СВ, то число k будет меньше единицы.)

Как и обычно, для обозначения коор-т точек используем индексы, совпадающие с обозначением точек: А(xА; уА), В(xВ; уВ) и С(xС; уС).

36 zadachi v koordinatah

Нам также потребуются вектора АС{xАС; уАС} и СВ{xСВ; уСВ}. Так как эти вектора сонаправлены, и АС в k раз длиннее, то

37 zadachi v koordinatah

Абсолютно аналогичные образования приведут к такому же выражению для коор-ты у:

38 zadachi v koordinatah

Рассмотрим на примерах использование этой формулы.

Задание. На отрезке РM отложена точка K так, что она разбивает РM на отрезки РK и KM в отношении РK:KM = 2:1. Даны коор-ты точек: Р(6; 3) и К (18; 12). Вычислите коор-ты K.

Решение.

39 zadachi v koordinatah

Отношение РК:КМ = 2:1 означает, что отрезок РК в 2 раза длиннее, чем КМ. Это означает, что в формуле

40 zadachi v koordinatah

Задание. Точки B (5; – 16) и H(29; 24) соединены отрезком. Точка M на отрезке ВН отмечена так, что ВМ:МН = 3:5. Определите коор-ты точки М.

Решение. Из отношения ВМ:МН = 3:5 вытекает, что ВМ длиннее МН в

3/5 = 0,6 раз

то есть фактически ВМ короче МН. То есть при использовании формулы

51 zadachi v koordinatah

Рассмотрим ещё несколько более усложненных задач с использованием коор-т.

Задание. Точка K лежит на оси Ох, при этом она равноудалена от точек Е(2; 2) и F(6; 10). Найдите коор-ты К.

Решение. У любой точки, лежащей на оси Ох, коор-та у будет равна нулю, в том числе и у точки К:

yk = 0

Будем обозначать неизвестную коор-ту К как х:

xk = x

Напомним расстояние между точками можно рассчитать, используя формулу:

42 zadachi v koordinatah

Получили иррациональное уравнение. В данном случае можно просто приравнять подкоренные выражения, однако после получения корней надо проверить, нет ли среди них посторонних:

43 zadachi v koordinatah

Проверяем, не является ли корень посторонним. Для этого просто подставляем его в уравнение:

44 zadachi v koordinatah

Корень действительно подошел, поэтому коор-та х точки К равна 16.

Ответ: (16; 0).

Введение прямоугольной системы координат

Даже если в формулировке задачи коор-ты и вектора прямо не упоминаются, может быть полезным самостоятельно добавить в нее прямоугольную систему координат. Это позволит использовать формулы, используемые в методе коор-т, для решения задачи.

Задание. Докажите, что если в параллелограмме сложить квадраты всех его сторон, то получится то же число, что и при сложении квадратов диагоналей этого параллелограмма.

Решение. Расположим систему коор-т таким образом, одна из сторон параллелограмма находилась на оси Ох, причем одна ее вершина совпадала с началом коор-т, а другая имела положительную коор-ту х:

45 zadachi v koordinatah

Пусть вершина А находится в начале коор-т, и тогда она имеет коор-ты (0; 0). Вершина D лежит на Ох, тогда ее ордината равна нулю, а абсциссу обозначим буквой а. Точка В имеет произвольные коор-ты (b; с), коор-ты же точки С можно рассчитать. Сначала заметим, что вектор коор-ты вектора АВ совпадают с коор-тами точки В, так как он является радиус-вектором:

46 zadachi v koordinatah

Вектора АВ и DC равны, потому что они лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину:

47 zadachi v koordinatah

Итак, коор-ты С – это (а + b; с).

Теперь мы должны длину каждой стороны параллелограмма и возвести ее в квадрат. Обратите внимание, что если расстояние между точками рассчитывается по формуле

48 zadachi v koordinatah

Равенство доказано.

Задание. В равнобедренном треугольнике длина основания составляет 80 см, а опущенная на нее медиана имеет длину 160 см. Вычислите длины двух других медиан.

Решение. Пусть АВС – рассматриваемый в задаче треугольник, причем АВ – его основание. Расположим систему коор-т так, чтобы ее начало совпадало с точкой, в которой медиана пересекается с основанием:

49 zadachi v koordinatah

В этом случае вершина, из которой опущена медиана, будет иметь коор-ты (0; 160), а две другие вершины будут иметь коор-ты (– 40; 0) и (40; 0).

Нам надо найти длину двух других медиан АM и BN. Они одинаковы по длине, поэтому достаточно найти длину только одной из них, например, АМ. Для этого сначала найдем коор-ты М, которая является серединой ВС:

50 zadachi v koordinatah

Сегодня мы познакомились с важнейшими формулами, используемыми в методе коор-т, и научились решать некоторые простейшие задачи. В будущем мы узнаем о более сложных задачах, в которых будут фигурировать не только отрезки и многоугольники, но и окружности.

Содержание:

Декартовы координаты на плоскости:

Изучая материал этой лекции, вы расширите свои знания о координатной плоскости.

Вы научитесь находить длину отрезка и координаты его середины, зная координаты его концов.

Сформируете представление об уравнении фигуры, выведете уравнения прямой и окружности.

Ознакомитесь с методом координат, позволяющим решать геометрические задачи средствами алгебры.

Расстояние между двумя точками с заданными координатами. Координаты середины отрезка

В 6 классе вы ознакомились с координатной плоскостью, то есть с плоскостью, на которой изображены две перпендикулярные координатные прямые (ось абсцисс и ось ординат) с общим началом отсчета (рис. 8.1). Вы умеете отмечать на ней точки по их координатам и наоборот, находить координаты точки, отмеченной на координатной плоскости.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Договорились координатную плоскость с осью Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Координаты точки на плоскости Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют декартовыми координатами в честь французского математика Рене Декарта (см. рассказ на с. 103).

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Вы знаете, как находить расстояние в между двумя точками, заданными своими координатами на координатной прямой. Для точек Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 8.2) имеем:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Научимся находить расстояние между точками Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемзаданными на плоскости Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Рассмотрим случай, когда отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.3).

Через точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением проведем прямые, перпендикулярные координатным осям. Получим прямоугольный треугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением в котором Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемДекартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Тогда формулу расстояния между точками Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением можно записать так:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Докажите самостоятельно, что эта формула остается верной и для случая, когда отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением перпендикулярен одной из осей координат.

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — точки плоскости Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Найдем координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — середины отрезка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Рассмотрим случай, когда отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.4). Будем считать, что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (случай, когда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемрассматривается аналогично). Через точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемДекартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением проведем прямые, перпендикулярные оси абсцисс, которые пересекут эту ось соответственно в точках Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением По теореме Фалеса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Поскольку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемто можем записать: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Аналогично можно показать что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Формулы для нахождения координат середины отрезка остаются верными и для случая, когда отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением перпендикулярен одной из осей координат. Докажите это самостоятельно.

Пример №1

Докажите, что треугольник с вершинами в точках Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является равнобедренным прямоугольным.

Решение:

Используя формулу расстояния между двумя точками, найдем стороны данного треугольника:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то есть треугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением равнобедренный.

Поскольку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то треугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением прямоугольный. Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №2

Точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — середина отрезка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Найдите координаты точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решение:

Обозначим Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — координаты точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемДекартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — координаты точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — координаты точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Поскольку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то получаем: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Аналогично Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №3

Докажите, что четырехугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с вершинами в точках Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является прямоугольником.

Решение:

Пусть точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — середина диагонали Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — середина диагонали Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Таким образом, точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением совпадают, то есть диагонали четырехугольника Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением имеют общую середину. Отсюда следует, что четырехугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — параллелограмм.

Найдем диагонали параллелограмма:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, диагонали параллелограмма Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением равны. Отсюда следует, что этот параллелограмм является прямоугольником. Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Уравнение фигуры. Уравнение окружности

Из курса алгебры 7 класса вы знаете, какую фигуру называют графиком уравнения. В этом пункте вы ознакомитесь с понятием уравнения фигуры.

Координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением каждой точки параболы, изображенной на рисунке 9.1, являются решением уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением И наоборот, каждое решение уравнения с двумя переменными Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является координатами точки, лежащей на этой параболе. В этом случае говорят, что уравнение параболы, изображенной на рисунке 9.1, имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Определение. Уравнением фигуры Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением заданной на плоскости Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют уравнение с двумя переменными Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением обладающее следующими свойствами:

  1. если точка принадлежит фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то ее координаты являются решением данного уравнения;
  2. любое решение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Например, уравнение прямой, изображенной на рисунке 9.2, имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением а уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 9.3, имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Принято говорить, что, например, уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением задают прямую и гиперболу соответственно.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Если данное уравнение является уравнением фигуры Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то эту фигуру можно рассматривать как геометрическое место точек (ГМТ), координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Пользуясь этими соображениями, выведем уравнение окружности радиуса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с центром в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — произвольная точка данной окружности (рис. 9.4). Тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Используя формулу расстояния между точками, получим:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Отсюда

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Мы показали, что координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением произвольной точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением данной окружности являются решением уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Теперь покажем, что любое решение уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является координатами точки, принадлежащей данной окружности.

Пусть пара чисел Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — произвольное решение уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Это равенство показывает, что точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением удалена от центра окружности Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением на расстояние, равное радиусу окружности, а следовательно, точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежит данной окружности.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 9.1. Уравнение окружности радиуса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с центром в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением имеет вид

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Верно и такое утверждение: любое уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является уравнением окружности радиуса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с центром в точке с координатами Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Если центром окружности является начало координат (рис. 9.5), то Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением В этом случае уравнение окружности имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №4

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решение:

Поскольку центр окружности является серединой диаметра, то можем найти координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением центра Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением окружности:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Радиус окружности Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением равен отрезку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №5

Докажите, что уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением задает окружность. Найдите координаты центра и радиус этой окружности.

Решение:

Представим данное уравнение в виде Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и радиусом Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №6

Докажите, что треугольник с вершинами в точках Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является прямоугольным, и составьте уравнение окружности, описанной около треугольника Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решение:

Найдем квадраты сторон данного треугольника:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Поскольку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то данный треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Центром описанной окружности является середина гипотенузы Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением радиус окружности Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемСледовательно, искомое уравнение имеет вид

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Уравнение прямой

В предыдущем пункте, рассматривая окружность как ГМТ, равноудаленных от данной точки, мы вывели ее уравнение. Для того чтобы вывести уравнение прямой, рассмотрим ее как ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — данная прямая. Выберем две точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением так, чтобы прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением была серединным перпендикуляром отрезка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 10.1).

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — произвольная точка прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда по свойству серединного перпендикуляра отрезка выполняется равенство Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то есть

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Мы показали, что координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением произвольной точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением являются решением уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Теперь покажем, что любое решение уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является координатами точки, принадлежащей данной прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — произвольное решение уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Это равенство означает, что точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением равноудалена от точек Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением следовательно, точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежит серединному перпендикуляру отрезка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то есть прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Итак, мы доказали, что уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является уравнением данной прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Однако из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение прямой выглядит гораздо проще, а именно: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно. Покажем, что уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением можно преобразовать к такому виду. Возведем обе части уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением в квадрат. Имеем:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Обозначив Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получим уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Поскольку точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением различны, то хотя бы одна из разностей Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равна нулю. Следовательно, числа Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 10.1. Уравнение прямой имеет вид?

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно.

Верно и такое утверждение: любое уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.

Если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то графиком уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является вся плоскость Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемЕсли Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то уравнение не имеет решений.

Из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют линейным уравнением с двумя переменными. Уравнение прямой является частным видом линейного уравнения. Схема, изображенная на рисунке 10.2, иллюстрирует сказанное.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

на уроках алгебры в 7 классе мы приняли без доказательства тот факт, что графиком линейной функции Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является прямая. Сейчас мы можем это доказать.

Перепишем уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Мы получили уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением для случая, когда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Поскольку в этом уравнении Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то мы получили уравнение прямой.

А любую ли прямую на плоскости можно задать уравнением вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемОтвет на этот вопрос отрицательный.

Дело в том, что прямая, перпендикулярная оси абсцисс, не может являться графиком функции, а следовательно, не может быть задана уравнением вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Вместе с тем, если в уравнении прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принять Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то его можно переписать так: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Мы получили частный вид уравнения прямой, все точки которой имеют одинаковые абсциссы. Следовательно, эта прямая перпендикулярна оси абсцисс. Ее называют вертикальной.

Если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то уравнение прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением можно записать так:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Обозначив Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получим уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то уравнение прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением задает вертикальную прямую; если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то это уравнение задает невертикальную прямую.

Уравнение невертикальной прямой удобно записывать в виде Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Данная таблица подытоживает материал, рассмотренный в этом пункте.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №7

Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решение:

1) Поскольку данные точки имеют равные абсциссы, то прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является вертикальной. Ее уравнение имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

2) Поскольку данные точки имеют разные абсциссы, то прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не является вертикальной. Тогда можно воспользоваться уравнением прямой в виде Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Подставив координаты точек Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением в уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получаем систему уравнений:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решив эту систему уравнений, находим, что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №8

Найдите периметр и площадь треугольника, ограниченного прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и осями координат.

Решение:

Найдем точки пересечения данной прямой с осями координат.

С осью абсцисс: при Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получаем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

С осью ординат: при Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получаем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, данная прямая и оси координат ограничивают прямоугольный треугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 10.3) с вершинами Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Найдем стороны треугольника: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда искомые периметр и площадь соответственно равны Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Угловой коэффициент прямой

Рассмотрим уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Оно задает невертикальную прямую, проходящую через начало координат.

Покажем, что прямые Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны.

Точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежат прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением а точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежат прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 11.1). Легко убедиться (сделайте это самостоятельно), что середины диагоналей Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением четырехугольника Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением совпадают. Следовательно, четырехугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — параллелограмм. Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Теперь мы можем сделать такой вывод: если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то прямые Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны (1).

Пусть прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением пересекает единичную полуокружность в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 11.2). Угол Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют углом между данной прямой и положительным направлением оси абсцисс.

Если прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением совпадает с осью абсцисс, то угол между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс считают равным Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Если прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением образует с положительным направлением оси абсцисс угол Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то считают, что и прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельная прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением также образует угол Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с положительным направлением оси абсцисс (рис. 11.3).

Рассмотрим прямую Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением уравнение которой имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением(рис. 11.2). Если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Поскольку точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежит прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Таким образом, для прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получаем, что

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — угол, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют угловым коэффициентом этой прямой.

Если невертикальные прямые параллельны, то они образуют равные углы с положительным направлением оси абсцисс. Тогда тангенсы этих углов равны, следовательно, равны и их угловые коэффициенты. Таким образом,

если прямые Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны, то Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (2).

Выводы (1) и (2) объединим в одну теорему.

Теорема 11.1. Прямые Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны тогда и только тогда, когда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №9

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и параллельна прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решение:

Пусть уравнение искомой прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Поскольку эта прямая и прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны, то их угловые коэффициенты равны, то есть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, искомое уравнение имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Учитывая, что данная прямая проходит через точку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получаем: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Искомое уравнение имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Метод координат

Мы часто говорим: прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением парабола Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением окружность Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением тем самым отождествляя фигуру с ее уравнением. Такой подход позволяет сводить задачу о поиске свойств фигуры к задаче об исследовании ее уравнения. В этом и состоит суть метода координат.

Проиллюстрируем сказанное на таком примере.

Из наглядных соображений очевидно, что прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Однако это утверждение не является аксиомой, поэтому его надо доказывать.

Эта задача сводится к исследованию количества решений системы уравнений

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

где числа Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением одновременно не равны нулю и Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решая эту систему методом подстановки, мы получим квадратное уравнение, которое может иметь два решения, одно решение или вообще не иметь решений. Следовательно, для данной системы существует три возможных случая:

  1. система имеет два решения — прямая и окружность пересекаются в двух точках;
  2. система имеет одно решение — прямая касается окружности;
  3. система не имеет решений — прямая и окружность не имеют общих точек.

С каждым из этих случаев вы встречались, решая задачи 10.17-10.19.

Метод координат особенно эффективен в тех случаях, когда требуется найти фигуру, все точки которой обладают некоторым свойством, то есть найти геометрическое место точек.

Отметим на плоскости две точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Вы хорошо знаете, какой фигурой является геометрическое место точек Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением таких, что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Это серединный перпендикуляр отрезка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Интересно выяснить, какую фигуру образуют все точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением для которых Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Решим эту задачу для Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Плоскость, на которой отмечены точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением «превратим» в координатную. Сделаем это так: в качестве начала координат выберем точку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением в качестве единичного отрезка — отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением ось абсцисс проведем так, чтобы точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением имела координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 11.6).

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — произвольная точка искомой фигуры Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, если точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежит фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то ее координаты являются решением уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторое решение уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда легко показать, что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением А это означает, что точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением такова, что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Следовательно, точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежит фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Таким образом, уравнением фигуры Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то есть фигура Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — это окружность с центром в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и радиусом Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Мы решили задачу для частного случая, когда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Можно показать, что искомой фигурой для любого положительного Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением будет окружность. Эту окружность называют окружностью АполлонияДекартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Как строили мост между геометрией и алгеброй

Идея координат зародилась очень давно. Ведь еще в старину люди изучали Землю, наблюдали звезды, а по результатам своих исследований составляли карты, схемы.

Во II в. до н. э. древнегреческий ученый Гиппарх впервые использовал идею координат для определения места расположения объектов на поверхности Земли.

Только в XIV в. французский ученый Николя Орем (ок. 1323-1382) впервые применил в математике идею Гиппарха: он разбил плоскость на клетки (как разбита страница вашей тетради) и стал задавать положение точек широтой и долготой.

Однако огромные возможности применения этой идеи были раскрыты лишь в XVII в. в работах выдающихся французских математиков Пьера Ферма и Рене Декарта. В своих трудах эти ученые показали, как благодаря системе координат можно переходить от точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии к алгебре.

Несмотря на то что П. Ферма опубликовал свою роботу на год раньше Р. Декарта, систему координат, которой мы сегодня пользуемся, называют декартовой. Р. Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» предложил новую удобную буквенную символику, которой с незначительными изменениями мы пользуемся и сегодня. Вслед за Декартом мы обозначаем переменные последними буквами латинского алфавита Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением а коэффициенты — первыми: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемДекартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Привычные нам обозначения степеней Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и т. д. также ввел Р. Декарт.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Справочный материал

Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением можно найти по формуле Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Координаты середины отрезка

Координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением середины отрезка с концами Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением можно найти по формулам:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Уравнение фигуры

Уравнением фигуры Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением заданной на плоскости Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют уравнение с двумя переменными Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением обладающее следующими свойствами:

1) если точка принадлежит фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то ее координаты являются решением данного уравнения;

2) любое решение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Уравнение окружности

Уравнение окружности радиуса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с центром в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Любое уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является уравнением окружности радиуса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с центром в точке с координатами Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Уравнение прямой

Уравнение прямой имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно. Любое уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.

Если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то уравнение прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением задает вертикальную прямую; если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то это уравнение задает невертикальную прямую.

Угловой коэффициент прямой

Коэффициент Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением в уравнении прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют угловым коэффициентом прямой, и он равен тангенсу угла, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс.

Необходимое и достаточное условие параллельности невертикальных прямых

Прямые Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны тогда и только тогда, когда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

  • Декартовы координаты в пространстве
  • Геометрические преобразования в геометрии
  • Планиметрия — формулы, определение и вычисление
  • Стереометрия — формулы, определение и вычисление
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
  • Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
  • Ортогональное проецирование

Факт 1.
(bullet) Если (A_1(x_1;y_1)) и (A_2(x_2;y_2)) – две точки на плоскости, (O) – середина отрезка (A_1A_2), то верны следующие формулы для длины отрезка (A_1A_2) и координат середины (O):

Факт 2.
(bullet) Сложение двух векторов:
1. Правильно треугольника: отложить вектор (vec b) от конца вектора (vec a), тогда (vec a+vec b) будет равен вектору, начало которого совпадает с началом вектора (vec a), а конец совпадает с концом вектора (vec b).
2. Правильно параллелограмма: отложить вектор (vec b) от начала вектора (vec a), построить на данных векторах параллелограмм. Тогда (vec a+vec b) – вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, выходящей из начала векторов (vec a) и (vec b).

Отрезок. Формула длины отрезка.

Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.

Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).

В данном примере вектор AB задан координатами (х2— х1, y2— y1). Квадрат длины вектора будет равен сумме квадратов его координат. Следовательно, расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, вычисляется согласно формуле:

Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек

Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов1y1) и 22).

Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника. Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.

Установим длину этих проекций.

На ось у длина проекции равна y2 — y1, а на ось х длина проекции равна х2 — х1. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1.

В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.

Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.

Середина отрезка. Координаты середины отрезка

В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах поиска медианы, средней линии, .

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

  • Формула вычисления координат середины отрезка с концами A( xa , ya ) и B( xb , yb ) на плоскости:
xc = xa + xb yc = ya + yb
2 2

Формула вычисления координат середины отрезка с концами A( xa , ya , za ) и B( xb , yb , zb ) в пространстве:

xc = xa + xb yc = ya + yb zc = za + zb
2 2 2

Примеры задач на вычисление середины отрезка

Примеры вычисления координат середины отрезка на плоскости

xc = xa + xb = -1 + 6 = 5 = 2.5
2 2 2
yc = ya + yb = 3 + 5 = 8 = 4
2 2 2

Примеры вычисления координат середины отрезка в пространстве

xc = xa + xb = -1 + 6 = 5 = 2.5
2 2 2
yc = ya + yb = 3 + 5 = 8 = 4
2 2 2
zc = za + zb = 1 + (-3) = -2 = -1
2 2 2

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .

Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B

И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C ) при заданных координатах концов отрезка ( A и B ), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Середина отрезка на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B : необходимо определить координату x C .

Поскольку точка C является серединой отрезка А В , верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C

Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — ( x B — x C )

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных — несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A ( x A ) и B ( x B ):

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Середина отрезка на плоскости

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y — проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y ).

Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A ( x A , y A ) и B ( x B , y B ) определяются как:

( x A + x B 2 , y A + y B 2 )

Середина отрезка в пространстве

Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A ( x A , y A , z A ) и B ( x B , y B , z B ) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A ( x A , y A ) и B ( x B , x B ) . Точка C – середина отрезка A B .

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = ( x A , y A ) , O B → = ( x B , y B ) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

x A + x B 2 , y A + y B 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C ( x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2 )

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А ( — 7 , 3 ) и В ( 2 , 4 ) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В .

Решение

Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .

x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ: координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .

Исходные данные: известны координаты треугольника А В С : А ( — 1 , 0 ) , В ( 3 , 2 ) , С ( 9 , — 8 ) . Необходимо найти длину медианы А М .

Решение

  1. По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M :

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + ( — 8 ) 2 = — 3

  1. Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М ), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М :

A M = ( 6 — ( — 1 ) ) 2 + ( — 3 — 0 ) 2 = 58

Ответ: 58

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 ( 1 , 1 , 0 ) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M ( 4 , 2 , — 4 ) . Необходимо рассчитать координаты точки А .

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А : x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M — x C 1 = 2 · 4 — 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M — y C 1 = 2 · 2 — 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M — z C 1 = 2 · ( — 4 ) — 0 = — 8

Ответ: координаты точки А ( 7 , 3 , — 8 ) .

источники:

http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/points_center/

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/nahozhdenie-serediny-otrezka/

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как исправить худое лицо девушке
  • Как найти панорамная карта
  • Как на телефоне найти скрытые приложения самсунг
  • Составить небылицу для 1 класса как составить
  • Как составить бюджет отеля