Как найти координаты прямой геометрия 9 класс - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат O x y .

Любое уравнение первой степени, имеющее вид A x + B y + C = 0 , где А , В , С – некоторые действительные числа ( А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид A x + B y + C = 0 при некотором наборе значений А , В , С .

указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.

Докажем, что уравнение A x + B y + C = 0 определяет на плоскости прямую.

Пусть существует некоторая точка М 0 ( x 0 , y 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C = 0 . Таким образом: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Вычтем из левой и правой частей уравнений A x + B y + C = 0 левую и правую части уравнения A x 0 + B y 0 + C = 0 , получим новое уравнение, имеющее вид A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Оно эквивалентно A x + B y + C = 0 .

Полученное уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) . Таким образом, множество точек M ( x , y ) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n → = ( A , B ) . Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 не было бы верным.

Следовательно, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение A x + B y + C = 0 определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.

Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени A x + B y + C = 0 .

Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую a ; точку M 0 ( x 0 , y 0 ) , через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой n → = ( A , B ) .

Пусть также существует некоторая точка M ( x , y ) – плавающая точка прямой. В таком случае, векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) являются перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение есть нуль:

n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0

Перепишем уравнение A x + B y — A x 0 — B y 0 = 0 , определим C : C = — A x 0 — B y 0 и в конечном результате получим уравнение A x + B y + C = 0 .

Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C = 0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y .

Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой A x + B y + C = 0 .

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

Пусть задано уравнение 2 x + 3 y — 2 = 0 , которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n → = ( 2 , 3 ) . Изобразим заданную прямую линию на чертеже.

Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.

Мы можем получить уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , умножив обе части общего уравнения прямой на число λ , не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.

Неполное уравнение общей прямой

Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , в котором числа А , В , С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.

Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

Когда А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , общее уравнение принимает вид B y + C = 0 . Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат O x y прямую, которая параллельна оси O x , поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение — C B . Иначе говоря, общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , когда А = 0 , В ≠ 0 , задает геометрическое место точек ( x , y ) , координаты которых равны одному и тому же числу — C B .
Если А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , общее уравнение принимает вид y = 0 . Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс O x .
Когда А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , получаем неполное общее уравнение A x + С = 0 , задающее прямую, параллельную оси ординат.
Пусть А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 , тогда неполное общее уравнение примет вид x = 0 , и это есть уравнение координатной прямой O y .
Наконец, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неполное общее уравнение принимает вид A x + B y = 0 . И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел ( 0 , 0 ) отвечает равенству A x + B y = 0 , поскольку А · 0 + В · 0 = 0 .

Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку 2 7 , — 11 . Необходимо записать общее уравнение заданной прямой.

Решение

Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида A x + C = 0 , в котором А ≠ 0 . Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения A x + C = 0 , т.е. верно равенство:

Из него возможно определить C , если придать A какое-то ненулевое значение, к примеру, A = 7 . В таком случае получим: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = — 2 . Нам известны оба коэффициента A и C , подставим их в уравнение A x + C = 0 и получим требуемое уравнение прямой: 7 x — 2 = 0

Ответ: 7 x — 2 = 0

На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение.

Решение

Приведенный чертеж позволяет нам легко взять исходные данные для решения задачи. Мы видим на чертеже, что заданная прямая параллельна оси O x и проходит через точку ( 0 , 3 ) .

Прямую, которая параллельна очи абсцисс, определяет неполное общее уравнение B y + С = 0 . Найдем значения B и C . Координаты точки ( 0 , 3 ) , поскольку через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой B y + С = 0 , тогда справедливым является равенство: В · 3 + С = 0 . Зададим для В какое-то значение, отличное от нуля. Допустим, В = 1 , в таком случае из равенства В · 3 + С = 0 можем найти С : С = — 3 . Используем известные значения В и С , получаем требуемое уравнение прямой: y — 3 = 0 .

Ответ: y — 3 = 0 .

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Пусть заданная прямая проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) , тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C = 0 , это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) и имеет нормальный вектор n → = ( A , B ) .

Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

Даны точка М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой n → = ( 1 , — 2 ) . Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: А = 1 , В = — 2 , x 0 = — 3 , y 0 = 4 . Тогда:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 1 · ( x — ( — 3 ) ) — 2 · y ( y — 4 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 2 y + 22 = 0

Задачу можно было решить иначе. Общее уравнение прямой имеет вид A x + B y + C = 0 . Заданный нормальный вектор позволяет получить значения коэффициентов A и B , тогда:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x — 2 · y + C = 0 ⇔ x — 2 · y + C = 0

Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению x — 2 · y + C = 0 , т.е. — 3 — 2 · 4 + С = 0 . Отсюда С = 11 . Требуемое уравнение прямой принимает вид: x — 2 · y + 11 = 0 .

Ответ: x — 2 · y + 11 = 0 .

Задана прямая 2 3 x — y — 1 2 = 0 и точка М 0 , лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна — 3 . Необходимо определить ординату заданной точки.

Решение

Зададим обозначение координат точки М 0 как x 0 и y 0 . В исходных данных указано, что x 0 = — 3 . Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство:

2 3 x 0 — y 0 — 1 2 = 0

Определяем y 0 : 2 3 · ( — 3 ) — y 0 — 1 2 = 0 ⇔ — 5 2 — y 0 = 0 ⇔ y 0 = — 5 2

Ответ: — 5 2

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида A x + B y + C = 0 к каноническому уравнению x — x 1 a x = y — y 1 a y .

Если А ≠ 0 , тогда переносим слагаемое B y в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: A x + C A = — B y .

Это равенство возможно записать как пропорцию: x + C A — B = y A .

В случае, если В ≠ 0 , оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое A x , прочие переносим в правую часть, получаем: A x = — B y — C . Выносим – В за скобки, тогда: A x = — B y + C B .

Перепишем равенство в виде пропорции: x — B = y + C B A .

Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Задано общее уравнение прямой 3 y — 4 = 0 . Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение.

Решение

Запишем исходное уравнение как 3 y — 4 = 0 . Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое 0 x ; а в правой части выносим — 3 за скобки; получаем: 0 x = — 3 y — 4 3 .

Запишем полученное равенство как пропорцию: x — 3 = y — 4 3 0 . Так, мы получили уравнение канонического вида.

Ответ: x — 3 = y — 4 3 0 .

Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Прямая задана уравнением 2 x — 5 y — 1 = 0 . Запишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:

2 x — 5 y — 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными λ , тогда:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Ответ: x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , но только тогда, когда В ≠ 0 . Для перехода в левой части оставляем слагаемое B y , остальные переносятся в правую. Получим: B y = — A x — C . Разделим обе части полученного равенство на B , отличное от нуля: y = — A B x — C B .

Задано общее уравнение прямой: 2 x + 7 y = 0 . Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом.

Решение

Произведем нужные действия по алгоритму:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y — 2 x ⇔ y = — 2 7 x

Ответ: y = — 2 7 x .

Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 . Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на – С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y :

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1

Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 в уравнение прямой в отрезках.

Решение

Перенесем 1 2 в правую часть: x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .

Разделим на -1/2 обе части равенства: x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .

Преобразуем далее в необходимый вид: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y — 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y — k x — b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) ⇔ ⇔ a y x — a x y — a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Заданы параметрические уравнения прямой x = — 1 + 2 · λ y = 4 . Необходимо записать общее уравнение этой прямой.

Решение

Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:

x = — 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = — 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y — 4 0 ⇔ x + 1 2 = y — 4 0

Перейдем от канонического к общему:

x + 1 2 = y — 4 0 ⇔ 0 · ( x + 1 ) = 2 ( y — 4 ) ⇔ y — 4 = 0

Ответ: y — 4 = 0

Задано уравнение прямой в отрезках x 3 + y 1 2 = 1 . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.

Решение:

Просто перепишем уравнение в необходимом виде:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y — 1 = 0

Ответ: 1 3 x + 2 y — 1 = 0 .

Составление общего уравнения прямой

Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Там же мы разобрали соответствующий пример.

Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.

Задана прямая, параллельная прямой 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Также известна точка M 0 ( 4 , 1 ) , через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой n → = ( 2 , — 3 ) : 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 2 ( x — 4 ) — 3 ( y — 1 ) = 0 ⇔ 2 x — 3 y — 5 = 0

Ответ: 2 x — 3 y — 5 = 0 .

Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x — 2 3 = y + 4 5 . Необходимо составить общее уравнение заданной прямой.

Решение

Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой x — 2 3 = y + 4 5 .

Тогда n → = ( 3 , 5 ) . Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку О ( 0 , 0 ) . Составим общее уравнение заданной прямой:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 3 ( x — 0 ) + 5 ( y — 0 ) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Прямая линия. Уравнение прямой.

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

прямые пересекаются;

прямые параллельны;

прямые скрещиваются.

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 — прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

перпендикулярен прямой , заданной уравнением

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно

С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой,

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (α₁, α₂), компоненты которого удовлетворяют условию

Аα₁ + Вα₂ = 0 называется направляющим вектором прямой.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:

или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ — p = 0 – нормальное уравнение прямой.

Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁) и N( x ₂, y ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂ и y ₁ ≠ y ₂, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x — x ₁ = y — y ₁

x ₂ — x ₁ y ₂ — y ₁

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x ₀ y = m t + y ₀

где N( x ₀, y ₀) — координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >- координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x ₀, y ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1 y = -4 t + 7

Решение. Так как M _y — N _y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁, z ₁) и N( x ₂, y ₂, z ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂, y ₁ ≠ y ₂ и z ₁ ≠ z ₂, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x — x ₁ = y — y ₁ = z — z ₁

x ₂ — x ₁ y ₂ — y ₁ z ₂ — z ₁

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x ₀

y = m t + y ₀

z = n t + z ₀

где ( x ₀, y ₀, z ₀) — координаты точки лежащей на прямой, — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x ₀, y ₀, z ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x ₀ = y — y ₀ = z — z ₀

l m n

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

источники:

http://www.calc.ru/Uravneniye-Pryamoy.html

http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/line/

Источник

Используем два уже известных факта и выведем уравнение окружности:

1) все точки окружности находятся на данном расстоянии (радиус) от данной точки (центр);

2) мы имеем формулу для расчёта расстояния между двумя точками, если знаем координаты точек

AB=xA−xB2+yA−yB2

, а если так, то квадрат расстояния

AB2=xA−xB2+yA−yB2

Допустим, что центр окружности находится в точке

CxC;yC

, а радиус окружности равен (R).

Любая точка

Px;y

на этой окружности находится на расстоянии (R) от центра (C), значит, справедливо равенство

Это и есть уравнение окружности с центром (C) и радиусом (R). Координаты всех точек, которые находятся на окружности, удовлетворяют уравнению.

Если центр окружности находится в начале координат

0;0

, то уравнение имеет вид

Для выведения уравнения прямой проведём эту прямую как серединный перпендикуляр некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.

Известно, что все точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов отрезка.

Координаты концов отрезка

AxA;yA

BxB;yB

. Любая точка

Px;y

находится на равных расстояниях от конечных точек

PA=PB

, конечно, равны и квадраты расстояний

PA2=PB2

, значит, справедливо равенство

x−xA2+y−yA2=x−xB2+y−yB2

, которое и есть уравнение прямой.

После возведения выражений в скобках и приведения подобных слагаемых

x2−2⋅x⋅xA+xA2+y2−2⋅y⋅yA+yA2=

=x2−2⋅x⋅xB+xB2+y2−2⋅y⋅yB+yB2;

2⋅x⋅xB−2⋅x⋅xA+2⋅y⋅yB−2⋅y⋅yA+xA2−xB2+yA2−yB2=0;

2xB−2xA⋅x+2yB−2yA⋅y+xA2−xB2+yA2−yB2=0;

уравнение будет в таком виде:

ax+by+c=0;a=2xB−xA;b=2yB−yA;

c=xA2−xB2+yA2−yB2.

Рассмотрим особые прямые.

1. Прямая проходит через некоторую точку на оси (Ox) с координатами

AxA;0

Для любой точки на этой прямой

x=xA

, это и есть уравнение прямой.

Так как ось (Oy) проходит через начало координат, то уравнение оси (Oy) есть

x=0

2. Прямая проходит через некоторую точку на оси (Oy) с координатами

B0;yB

Для любой точки на этой прямой

y=yB

, это и есть уравнение прямой.

Так как ось (Ox) проходит через начало координат, то уравнение оси (Ox) есть

y=0

Источник

Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем – как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Итак, пусть нам даны две точки и . Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами имеет вид:

То есть если прямая проходит через две точки и она – одна из этого пучка прямых, проходящих через точку и эта прямая имеет определенный коэффициент . Значит, координаты точки должны удовлетворять уравнению (1), то есть

Находим из (2) :

$[k=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}]$

и подставим в уравнение (1):

$[y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1) eqno (3)]$

Преобразовывая уравнение (3) получим:

$[frac{y-y_1}{y_2-y_1}=frac{x-x_1}{x_2-x_1}]$

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Примечание: если точки и лежат на прямой, которая параллельна оси или оси , то уравнение прямой будет иметь вид или соответственно.

Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:

$[k=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}]$

Геометрический вывод уравнения прямой

Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат и отметим на прямой две точки и , координаты которых известны и и отметим на этой прямой произвольную точку .

Из подобия треугольников и находим:

$[frac{DM}{CB}=frac{AD}{AC}]$

Из рисунка видно, что:

Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:

$[frac{y-y_1}{y_2-y_1}=frac{x-x_1}{x_2-x_1}]$

Задача

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Решение: Имеем , , , . Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

$[frac{y-2}{7-2}=frac{x-1}{3-1}]$

$[frac{y-2}{5}=frac{x-1}{2}]$

Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:

$y-2=frac{5x-5}{2}$

– получившееся уравнение прямой.

Давайте сделаем проверку – если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек и мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки :

Теперь координаты точки :

Значит, уравнение прямой мы нашли верно.

Ответ:

Условие прохождения прямой через три заданные точки

Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:

Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, если нам даны три точки , и , лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:

$[frac{y_3-y_1}{y_2-y_1}=frac{x_3-x_1}{x_2-x_1}]$

Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить – принадлежит ли третья точка этой прямой.

Источник

Комментарии преподавателя

Уравнение прямой

Прямой, к примеру, является серединный перпендикуляр к отрезку. Для задания прямой следует зафиксировать концы отрезка и написать уравнение серединного перпендикуляра, используя тот факт, что серединный перпендикуляр является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка.

Выведем уравнение прямой – серединного перпендикуляра р к отрезку АВ,

Рис. 1. Уравнение прямой

Пусть точка М(х;у) – произвольная точка серединного перпендикуляра, тогда она равноудалена от точек А и В (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

это уравнение серединного перпендикуляра.

Если точка , то ее координаты удовлетворяют полученному уравнению.

Упростим уравнение – раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Обозначим:

хотя бы одно из чисел a и b не равно 0, так как точки А и В разные.

Тогда уравнение прямой примет вид:

фиксированные числа. Такое уравнение называется общим уравнением прямой.

Частные случаи уравнения прямой

а) Вертикальная прямая (рис. 3).

Рис. 3. Вертикальная прямая

Если через точку провести вертикальную прямую, то есть прямую, перпендикулярную оси х, то ее уравнение будет . Аналогично, и т. д. (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к примеру

Обратим внимание на последнюю прямую . Вся прямая проектируется на ось х в точку 3. На этой прямой много точек, но абсцисса каждой из них равна 3.

Уравнение вертикальной прямой: или .

Уравнение оси Oy.

б) Горизонтальная прямая (рис. 5).

Рис. 5. Горизонтальная прямая

Если горизонтальная прямая проходит через точку , то ее уравнение , любая точка этой прямой имеет ординату .

Уравнение горизонтальной прямой или .

Уравнение оси .

Решение задач

Задача 1.

Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки и . Найдите точки пересечения этой прямой с осями координат.

Решение (рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

1. Уравнение искомой прямой будем искать в виде:

Прямая проходит через точки А и В, значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставим координаты точек в уравнение и получим систему:

Это система из двух уравнений с тремя неизвестными, при решении ее будем считать, что с известно.

Подставим в уравнение:

поэтому на с можно сократить:

2. Находим точки пересечения с осями (рис. 7, 8).

точка

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

точка

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Ответ:

Задача 2.

а) Напишите уравнение прямой CD, проходящей через две данные точки C(2; 5) и D(5; 2) .

б) Найдите площадь треугольника, образованного прямой CD и осями координат.

Решение (рис. 9):

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

а) искомое уравнение прямой. Координаты точек C и D подставим в уравнение и получим систему:

б) Находим точки пересечения с осями координат и площадь треугольника (рис. 10):

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Ответ:

Уравнение наклонной прямой

общее уравнение прямой.

Рассмотрим случай

Обозначим

и получим уравнение наклонной прямой:

В этом уравнении m – ордината точки пересечения прямой с осью y, k – угловой коэффициент.

Решение задач

Для примера решим вторым способом предыдущую задачу. Напишите уравнение прямой CD, проходящей через две данные точки C(2; 5) и D(5; 2) .

Будем искать уравнение прямой в виде , координаты точек C и D удовлетворяют уравнению:

Задача 3.

а) Напишите уравнение прямой MN, где M(0; 1), N(-4; —5).

б) В треугольнике, образованном прямой MN и осями координат, найти длину медианы OD, проведенной из вершины О(0;0).

Решение (рис. 11):

Рис. 11. Иллюстрация к задаче

а) Уравнение прямой будем искать в виде Подставим в уравнение координаты точек M и N:

б) Определим координаты точек пересечения прямой с осями координат: точка M нам известна; координаты точки А определим как координаты точки пересечения с осью Ох из системы (рис. 12):

Рис. 12. Иллюстрация к задаче

Теперь найдем координаты точки D как середины отрезка AM:

и вычислим длину отрезка OD:

Ответ:

Решим эту же задачу вторым способом. Составим уравнение прямой, проходящей через точки M(0; 1) и N(-4; —5), используя уравнение наклонной прямой в виде . Подставим координаты точек в уравнение и получим систему:

Задача 4.

Напишите уравнение серединного перпендикуляра к отрезку АВ, где А(-7; 5), В(3; -1) (рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче

Решение:

В начале этого урока мы вывели уравнение прямой как уравнение серединного перпендикуляра к отрезку, используя то, что любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от его концов. Если , то .

Рис. 14. Иллюстрация к задаче

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Ответ:

Заключение

Итак, мы вывели уравнение прямой и использовали его для решения простейших задач. На следующем уроке мы продолжим решать задачи по теме «Уравнение прямой».

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/uravnenie-pryamoy

http://www.youtube.com/watch?v=aWrWel3jDAA

http://www.mathprofi.ru/uravnenie_pryamoi_na_ploskosti.html

http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/forms_of_equation_of_line_on_plane.html

http://www.mathelp.spb.ru/book1/line_on_plane.htm

Источник

Прежде чем
приступить к изучению нового материала, давайте повторим формулу для нахождения
координат середины отрезка

, , формулу для
определения расстояния между двумя точками , вспомним, что
называется уравнением линии l, запишем уравнение
окружности с радиусом r и центром в точке C (x₀;y₀).
Вспомним уравнение окружности радиуса r и центром в
начале координат .

Сегодня на уроке мы
выведем уравнение произвольной прямой l.

В координатной
плоскости прямая может располагаться либо вертикально (параллельно оси Oy), горизонтально (параллельно оси Ox)
либо быть наклонной к обеим осям.

Первым давайте
рассмотрим случай, когда прямая параллельна оси Oy.

Возьмем на оси Ox, например, точку с координатой 3 и проведем через эту
точку прямую, параллельную оси Oy. Абсцисса любой точки
этой прямой равна 3. То есть координаты любой точки этой прямой удовлетворяют
уравнению x=3, а координаты любой точки, которая не
лежит на данной прямой не удовлетворяют данному уравнению. Значит, уравнение x=3 является уравнением прямой параллельной оси Oy и проходящей через точку с координатами (3;0).

Можно сказать, что
произвольная прямая параллельная оси Oy задается уравнением . Уравнение является уравнением оси
.

Задача. Записать
уравнения прямых, показанных на рисунке:

Решение.

Для того, чтобы
записать уравнение каждой прямой, запишем общее уравнение прямых параллельных
оси Oy.

Рассмотрим теперь
случай когда прямая параллельна оси Ox.

Возьмем на оси Oy, например, точку 5 и проведем через нее прямую
параллельную оси Ox. Любая точка этой прямой
удовлетворяет уравнению y=5, любая точка, которая не
лежит на этой прямой не удовлетворяет этому уравнению, значит, эту прямую
задает уравнение y=5.

Можно сказать, что
произвольная прямая параллельная оси Ox задается уравнением .Ось Ox
задается уравнением .

Задача. Записать
уравнения прямых, показанных на рисунке:

Решение.

Запишем общее
уравнение прямых параллельных оси Ox.

Теперь рассмотрим
случай, когда прямая наклонная к обеим осям.

Отметим на
координатной плоскости точки с координатами (x₁;
y₁) и (x₂;
y₂) так, чтобы указанная прямая l была серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Теперь возьмем
произвольную точку M (x;y). Если точка M лежит на прямой l, то, очевидно, что длины отрезков AM
и BM будут равны. Найдем эти отрезки и приравняем их.

Получим уравнение:

Если точка M не лежит на прямой, то, очевидно, что отрезки AM и BM не будут равны и координаты
точки M не будут удовлетворять этому уравнению.

Значит, в
прямоугольной системе координат уравнение прямой l
имеет вид:

Раскроем скобки и выполним
элементарные преобразования.Введем замену. ;

Получим уравнение .

Так как в самом
начале мы говорили, что точки A и B – различные точки, то хотя бы одна из разностей , не равна нулю, то есть
хотя бы один из коэффициентов a и b
не равен нулю. То есть можно сказать, что уравнение прямой в прямоугольной
системе координат является уравнением первой степени и имеет вид: .

Задача. Написать
уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение.

Ответ:

Предположим, что в этом уравнении коэффициент
.

Тогда получим
уравнение .

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Отметим, что две
параллельные прямые, не параллельные оси Oy имеют
одинаковые угловые коэффициенты и если две прямые имеют одинаковые угловые
коэффициенты, то эти прямые параллельны.

Задача. Записать
угловой коэффициент прямой, проходящей через точки и .

Решение.

Ответ:

Задача. Среди
предложенных уравнений прямых выберите те, которые задают прямые, параллельные
прямой

а) б) в) г) .

Решение. Мы
говорили, что две параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты,
поэтому искомыми уравнениями будут только уравнения

а)

б)

в)

г)

Ответ: б) г) .

Задача. Укажите
пары параллельных прямых

а) и б) и

в) и .

Решение.

а)

б)

в)

Ответ: б) и .

Задача. Даны
координаты вершин трапеции

. Написать
уравнения прямых, содержащих диагонали .

Решение.

Запишем общее уравнение прямой .

Аналогично найдем,
что уравнение прямой, которая содержит диагональ BD
имеет вид y=1.

Ответ: .

Давайте подведем
итоги урока.

Уравнение прямой
имеет вид: . Еще один вид уравнения
прямой – –
угловой коэффициент прямой.

Уравнение прямой,
параллельной оси Ox имеет вид . Уравнение прямой,
параллельной оси Oy имеет вид .

Две параллельные
прямые, не параллельные оси о игрек имеют одинаковые угловые коэффициенты и
если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые
параллельны.

Источник

x — x ₁	=	y — y ₁	=	z — z ₁
x ₂ — x ₁	y ₂ — y ₁	z ₂ — z ₁