Как найти координаты прямой перпендикулярной данной прямой - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как составить уравнение прямой перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку?

Пусть y=k₁x+b₁ — данная прямая. С учётом условия перпендикулярности прямых уравнение прямой, перпендикулярной данной, имеет вид

$[y = - frac{1}{{k_1 }}x + b_2 .]$

Если эта прямая проходит через точку M(x_o; y_o), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение x_o и y_o, мы найдем b.

Примеры.

1) Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(-10;3), перпендикулярной прямой y=5x-11.

Решение:

Так как прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку, то

$[k_2 = - frac{1}{{k_1 }} = - frac{1}{5} = - 0,2.]$

Значит уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11, имеет вид

Так как прямая проходит через точку A(-10;3), то координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

откуда b=1.

Итак, уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11 и проходящей через точку A(-10;3)

Ответ: y= -0,2x+1.

2) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой x= -2, проходящей через точку M(-5;9).

Решение:

Прямая x= -2 перпендикулярна оси абсцисс. Значит, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси абсцисс, то есть ищем уравнение прямой в виде y=b.

Так как искомая прямая проходит через точку M(-5;9), то координаты M удовлетворяют уравнению прямой: y=9.

Ответ: y=9.

3) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=4, проходящей через точку F(7;-5).

Решение:

Прямая y=4 перпендикулярна оси ординат. Следовательно, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси ординат, а значит, её уравнение имеет вид x=a.

Так как эта прямая проходит через точку F(7;-5), то координаты F удовлетворяют уравнению прямой: x=7.

Ответ: x=7.

Источник

2.5.4. Как найти прямую, перпендикулярную данной?

В отличие от предыдущих задач п. 2.5, рассмотренные ниже схемы работают лишь в декартовой системе

координат (но не в общем аффинном случае):

Задача 79

Прямая задана уравнением в декартовой системе координат. Составить

уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .

Решение: по условию известна точка ( – значок принадлежности), и нам неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Так как прямые перпендикулярны, то фокус прост: из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .

Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ:

Развернём геометрический этюд:
И аналитическая проверка решения:

1) Из уравнений , вытаскиваем направляющие векторы и с помощью скалярного произведения приходим к выводу, что прямые действительно

перпендикулярны:
.
Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению
Оба пункта легко выполнить устно!

Самостоятельно:

Задача 80

Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение в декартовой системе координат и точка .

В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.

И наше увлекательное путешествие продолжается:

2.5.5. Как вычислить расстояние от точки до прямой?

2.5.3. Как найти точку пересечения прямых?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник

1

Simplify the equation of the line. If you are given the equation of a line and one common point and asked to find a line that runs perpendicular to it, it is important that you first convert the equation into the format. To do this, you want to get the by itself.^[3]
2

Calculate the opposite reciprocal of the slope. When a line is perpendicular to another line, the slope will be the negative opposite of the original line. This is called the opposite reciprocal. The lines cross each other at a right angle, so the slopes must be opposite. Two perpendicular slopes multiplied together will always equal .^[4]

Advertisement
3

Plug the point into the slope equation to find the y-intercept. Now that you have the slope of the perpendicular line, you can plug the value of the slope and the point you were given into a slope equation. This will give you the value of the y-intercept. Using the y-intercept, you can move on to complete the slope equation.^[5]
4

Solve the equation for the y-intercept. Once you have your values entered into the slope equation, it is time to isolate , or the y-intercept. To isolate , you must move all other numbers from one side of the equation. After you solve for the y-intercept, you will know all of the numbers needed to write the equation of the perpendicular line.^[6]
5

1

Understand the coordinates you were given. If you are given three coordinates from two perpendicular lines, they cannot all be used for the same equations. The first two coordinates will be used for one line, and the third will be used once you begin calculating the equation of the perpendicular line. The goal is finding two perpendicular equations.^[8]
2
3
4

Simplify the equation to solve for . Once you have your chosen point and slope plugged into the equation, it is time to simplify. This will give you the equation of one line. After you know the equation of this line, you will be able to figure out the equation of the line that runs perpendicular to it.^[11]
5

Find the slope of the perpendicular line using the opposite reciprocal. A line perpendicular to another line will always have an opposite slope. If the slope of the original line is a positive whole number, then the slope of the perpendicular line will be a negative fraction. Two perpendicular slopes multiplied together will always equal .^[12]
6

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

References

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 70,530 times.

Did this article help you?

Get all the best how-tos!

You’re all set!

Источник

1.Пусть прямая, проходит через точку T₁(x₁;y₁) и перпендикулярно прямой y=kx+b, тогда её можно представить уравнением (уравнение прямой перпендикулярной данной прямой):

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к прямой.
2. Если прямая проходит через ту же точку T₁(x₁;y₁) и перпендикулярно прямой, но только записанной в виде Ax+By+C = 0, то уравнение можно представить как:

A (y − y₁) − B (x − x₁ ) = 0

Пример 1
Составить уравнение прямой, проходящей через точку L(1;-2) и перпендикулярно прямой

4x-3y-1 = 0 (на рисунке прямая, обозначенная красным цветом)

Решение
Данную прямую можно представить уравнением y = 4/3x-1/3 (здесь a = 4/3). Уравнение искомой прямой есть

Пример 2
Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(-1;-2) и перпендикулярной к прямой 3y+2=0

Решение
Здесь A=0, B=3, получаем 3(x+1)=0, т.е. x+1=0. В этом случае формула неприменима.

23294

Источник

Как найти уравнение перпендикулярной прямой

В декартовой системе координат всякая прямая может быть записана в виде линейного уравнения. Различают общий, канонический и параметрический способы задания прямой, каждый из которых предполагает свои условия перпендикулярности.

Инструкция

Пусть две прямые в пространстве заданы каноническими уравнениями:(x-x1)/q1 = (y-y1)/w1 = (z-z1)/e1;(x-x2)/q2 = (y-y2)/w2 = (z-z2)/e2.

Числа q, w и e, представленные в знаменателях, являются координатами направляющих векторов к этим прямым. Направляющим называют такой ненулевой вектор, который лежит на данной прямой либо параллелен ей.

Косинус угла между прямыми имеет формулу:cosλ = ± (q1·q2 + w1·w2 + e1·e2) / √ [(q1)² + (w1)² + (e1)²] · [(q2)² + (w2)² + (e2)²].

Прямые, заданные каноническими уравнениями, взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы ортогональны. То есть, угол между прямыми (он же – угол между направляющими векторами) равен 90°. Косинус угла в этом случае обращается в ноль. Поскольку косинус выражен дробью, то его равенство нулю эквивалентно нулевому знаменателю. В координатах это запишется так:q1·q2 + w1·w2 + e1·e2 = 0.

Для прямых на плоскости цепочка рассуждений выглядит аналогично, но условие перпендикулярности запишется чуть более упрощенно: q1·q2 + w1·w2 = 0, т.к. третья координата отсутствует.

Пусть теперь прямые заданы общими уравнениями:J1 · x + K1 · y + L1 · z = 0;J2 · x + K2 · y + L2 · z = 0.

Здесь коэффициенты J, K, L – это координаты нормальных векторов. Нормаль – это единичный вектор, перпендикулярный к прямой.

Косинус угла между прямыми теперь запишется в таком виде:cosλ = (J1·J2 + K1·K2 + L1·L2) / √ [(J1)² + (K1)² + (L1)²] · [(J2)² + (K2)² + (L2)²].

Прямые взаимно перпендикулярны в том случае, если нормальные векторы ортогональны. В векторном виде, соответственно, это условие выглядит так:J1·J2 + K1·K2 + L1·L2 = 0.

Прямые на плоскости, заданные общими уравнениями, перпендикулярны, когда J1·J2 + K1·K2 = 0.

Полезный совет

Имея уравнение некоторой прямой, найдите уравнение прямой, которая ей перпендикулярна, используя изложенные выше свойства.

Источники:

«Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», Р.Ф. Апатенок, А.М. Маркина, Н.В. Попова, В.Б. Хейнман, 1986.
«Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Д.В. Беклемишев, 2001.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник