Как найти координаты прямоугольника по двум точкам

Так, как я понял задачу. Есть обычная декартова система координат, прямоугольник, стороны a и b, одна его точка, и он повернут относительно этой точки на угол.

Вопрос в том, как он располагался ранее, что за длины a и b.

  A3
  -------a------<- A2
  |            |
  b            |
  |            |
  --------------
  ^            ^
  A0           A1

Если представить картину таким образом, то все предельно просто. A0, естественно, остается на месте.

Если это то, что нужно вам. Но в общем случае прямоугольник-то уже мог быть изначально ориентирован как угодно. Вам нужно четко ставить задачу — даже для самого себя, а иначе получается «мне надо что-то посчитать!» — «ну возьмите какие-нибудь формулы…»

Алгоритм рисования прямоугольника

Будем рисовать из точки 0 в точку 1 не поднимая перо.

Начинаем с горизонтальной стороны:

1. Определим размеры сторон прямоугольника
2. Переведем перо в точку 1
3. Нарисуем горизонтальную сторону
4. Нарисуем вертикальную сторону
5. Нарисуем горизонтальную сторону в обратном направлении
6. Нарисуем вертикальную сторону в обратном направлении

Запишем этот алгоритм на языке системы КУМИР , используя команды исполнителя Чертежник:

| Построение прямоугольника

| по двум точкам

использовать Чертежник

вещ x0,y0,x1,y1,w,h

алг

нач

| координаты исходных точек

x0 := 1

y0 := 2

x1 := 5

y1 := 7

| Размеры сторон прямоугольника

w := x1-x0 | по оси X

h := y1-y0 | по оси Y

поднять перо

сместиться в точку (x0,y0)

опустить перо

сместиться на вектор(w,0)

сместиться на вектор(0,h)

сместиться на вектор(-w,0)

сместиться на вектор(0,-h)

кон

Уравнение многоугольника

Составление и решение уравнений многоугольников

Скачать:

Вложение	Размер
составление и решение уравнений многоугольников	124.82 КБ

Предварительный просмотр:

Автор работы: Шпакова Маргарита Андреевна, г.о. Тольятти, МБУ СОШ

Научный руководитель: Владимирова Ольга Ивановна, учитель математики первой категории МБУ СОШ № 58.

В школьном курсе математики учащиеся часто встречаются с алгебраическими уравнениями, уравнениями прямых, уравнениями окружностей, квадратными уравнениями и т.д. Что собой представляют уравнения многоугольников, учащиеся не знают.

Как, например, выглядит уравнение треугольника? Можно ли по фигуре на плоскости составить уравнение? Можно ли рассчитать площадь фигуры по заданному уравнению? Можно ли по заданному уравнению определить, что за многоугольник? Решение этих вопросов меня и заинтересовало. В них есть проблема моей исследовательской работы.

Цель работы: изучить и исследовать на примерах методы, которые дают возможность получить уравнение с модулем любого выпуклого многоугольника на плоскости, координаты вершин которого известны. Найти взаимосвязь площади фигуры от ее уравнения.

Основные ЗАДАЧИ исследования:

1. Познакомиться с некоторыми видами уравнений прямых на плоскости (уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости);
2. Научиться составлять уравнение прямой через заданную точку и параллельную другой прямой;
3. Научиться составлять уравнение прямой, проходящей через две заданные точки;
4. Научиться по уравнению строить многоугольник на плоскости и наоборот, по чертежу составлять уравнение многоугольника;
5. Изучить метод областей при решении уравнений, содержащих знак модуля.

Как известно из курса геометрии, любая прямая на координатной плоскости может быть задана уравнением вида

Подобное уравнение называют линейным. Уравнение такого вида называют также общим уравнением прямой на плоскости.

Если ax+by+c = 0 — уравнение некоторой прямой m, то уравнение ax+by+c = p, где р ≠ 0, задает прямую m`, параллельную m. Это следует из того, что данные два уравнения не имеют общих решений, а значит, прямые не имеют общих точек.

У параллельных прямых

Пример1 . Составим уравнение прямой, проходящей через точку М (1;-2) и параллельной прямой 3x-4y+5=0

Подставляя координаты точки М в левую часть уравнения, получаем значение 16. Значит, искомым уравнением прямой будет 3x+4y+5=16 или окончательно 3x+4y-11=0.

Пусть известны координаты двух точек М 1 (x 1 ;y 2 ), М 2 (x 2 ;y 2 ), лежащих на данной прямой. Составим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )=0

Пример 2 . Составим уравнение прямой, проходящей через точку М 1 (3;1) и М 2 (2;2).

Получаем такое уравнение (x-3)(2-1)-(y-1)(2-3)=0

после преобразований выходит х+у-4=0.

Если известны координаты (а;0) и (0;b) точек пересечения прямой с осями Ох и Оу, то для этой прямой проще всего записать уравнение в отрезках + = 1.

Рассмотрим на координатной плоскости ху треугольник с вершинами в точках А (х 1 ;у 1 ), В (х 2 ;у 2 ), С (х 3 ;у 3 ). Уравнение прямой, на которой лежит сторона АВ этого треугольника, можно записать в виде

(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )=0.

Подставим координаты третьей вершины С (х 3 ;у 3 ) в левую часть этого уравнения,

получим некоторое значение

q=(x 3 -x 1 )(y 2 -y 1 )-(y 3 -y 1 )(x 2 -x 1 )

Чтобы понять геометрический смысл числа q, заметим, что уравнение

(х-х 1 )(у 2 -у 1 )-(у-у 1 )(х 2 -х 1 )=q задает прямую, параллельную стороне АВ данного треугольника. Поэтому для каждой точки этой прямой результат подстановки ее координат в левую часть уравнения тот же, что и для точки C (х 3 ;у 3 ), и дает число q. Значит, то же значение получится и для точки С 1 (х 4 ;у 1 ) пересечения упомянутой прямой с прямой у=у 1 , параллельной оси абсцисс и проходящей через вершину A треугольника. Но в этой точке

(х-х 1 )(у 2 -у 1 )-(у-у 2 )(х 2 -х 1 ) = (х 4 -х 1 )(у 2 -у 1 ). Геометрический смысл последнего выражения понять уже несложно: |(х 4 -х 1 )(у 2 -у 1 )| площадь параллелограмма со сторонами АВ и АС 1 . Длина стороны АС 1 равна |х 4 -х 1 |, а длина высоты параллелограмма, опущенной из вершины B на эту сторону, есть |у 2 -у 1 |. Поэтому |q| есть площадь ΔАВС 1 , но она такая же, что и у ΔАВС. В результате приходим к следующей формуле для площади треугольника

S = |(x 3 -x 1 )(y 2 -y 1 )-(y 3 -y 1 )(x 2 -x 1 )|. (3, стр. 169).

Если треугольник задан в декартовой системе координат и имеет своими вершинами точки А (х 1 ;у 1 ), В (х 2 ;у 2 ), С (х 3 ;у 3 ), то можно составить уравнение треугольника:

|(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )| + |(x-x 2 )(y 3 -y 2 )-(y-y 2 )(x 3 -x 2 )| +

+ |(x-x 3 )(y 1 -y 3 )—(y-y 3 )(x 1 -x 3 )| = 2S, где

S = |(x 3 -x 1 )(y 2 -y 1 )-(y 3 -y 1 )(x 2 -x 1 )|.

Пример 3 . Составим уравнение треугольника, изображенного на рисунке. Для этого составим уравнения прямых, которые являются его сторонами, по формуле

(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )=0, задающей уравнение прямой по двум ее точкам. При этом допустимым считаем раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых и недопустимым – умножение обеих частей уравнения на некоторое число (за исключением -1) .

Уравнения сторон имеют вид: х-у+1=0, х+у-1=0, 2у=0. Сложив модули левых частей этих уравнений, и приравняв полученное выражение к удвоенной площади ΔАВС, равной в данном случае 1, приходим к искомому уравнению |x-y+1|+|x+y-1|+2|y|=2.

Описанный метод дает возможность получить уравнение любого выпуклого многоугольника на плоскости, координаты вершин которого известны.

Уравнение квадрата, ромба

Пример 4 . Составить уравнение квадрата:

|x-1| + |y-1| + |x| + |y| = 1. Площадь равна 1.

Пример 5 . Составить уравнение ромба:

Через точки с координатами (1;0), (0;1) уравнение прямой: x +y -1 = 0.

Через точки с координатами (-1;0), (0;1) уравнение прямой: x – y + 1 = 0.

Через точки с координатами (-1;0), (0;-1) уравнение прямой: x + y + 1 = 0.

Через точки с координатами (0;-1), (1;0) уравнение прямой: -x + y + 1 = 0.

Получили: | x + y — 1| + | x – y + 1| + | x + y + 1| + | -x + y + 1 | = 4.

Этот же ромб имеет другое уравнение: |х| + |у| = 1, которое лучше решать «методом областей». Площадь ромба равна 2.

Пример 6 . Докажите, что уравнения: |x + y| + |x — y| = 2 и |x + 1| + |y + 1| + |x -1| +|y — 1| =4 относятся к одному квадрату.

Первое уравнение лучше решать «методом областей», где вся плоскость разбивается прямыми у =-х и у=х на четыре области, значит, искомая фигура четырехугольник, стороны которого параллельны осям координат. Из уравнений каждой области у=1, х=1и т.д. понимаем, что это квадрат, площадь которого равна 4.

Второе уравнение наглядно изображено, подтверждая первое.

Пример 7. Определить вид многоугольника по уравнениям:

|х| + 3|у| = 6; |х-3| + |у+3| = 3; |х-1| + 7|у| = 1.

Во всех случаях даны уравнения ромба .

Пример 8 . Изобразить на плоскости многоугольник по данному уравнению: |x|+|y|+|x+y|=4.

Из данного уравнения следует, что х=0, у=0, х= -у –прямые, которые разбивают плоскость на несколько областей.

Найдем уравнение прямой, стороны многоугольника, в каждой из областей:

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение с примерами

Содержание:

Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение к простейшим задачам

Прямоугольные координаты точки на плоскости

Координатами точки на плоскости называются числа, определяющие положение этой точки на плоскости.

Прямоугольные декартовы координаты (по имени математика Декарта) на плоскости вводятся следующим образом: на этой плоскости выбираются точка О (начало координат) и проходящие через нее взаимно перпендикулярные направленные прямые Ох и Оу (оси координат) (рис. 1). Для удобства рассмотрения будем предполагать, что ось Ох 0ось абсцисс) горизонтальна и направлена слева направо, а ось Оу (ось ординат) вертикальна и направлена снизу вверх; таким образом, ось О у повернута относительно оси Ох на угол 90° против хода часовой стрелки 1 ). Кроме того, выбирается единица масштаба для измерения расстояний.

Для данной точки М введем в рассмотрение два числа: абсциссу х и ординату у этой точки.

Абсциссой х называется число, выражающее в некотором масштабе расстояние от точки до оси ординат, взятое со знаком плюс, если точка лежит вправо от оси ординат, и со знаком минус, если точка лежит влево от оси ординат. Ординатой у называется число, выражающее в некотором масштабе (обыкновенно в том же, как и для абсциссы) расстояние от точки до оси абсцисс, взятое со знаком плюс, если точка лежит выше оси абсцисс, и со знаком минус, если точка лежит ниже оси абсцисс.

Эти два числа х и у и принимаются за координаты точки М, так как они полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка, координатами которой являются эти числа; и обратно, каждая точка плоскости имеет определенные координаты х и у. Если точка М имеет координаты х и у, то это обстоятельство обозначают так: М (х, у) (на первом месте ставится абсцисса х, а на втором — ордината у). При записи координат знак плюс, как обычно, можно опускать.

Оси Ох и Оу разбивают плоскость на четыре части, называемые квадрантами. Производя нумерацию квадрантов (I, II, III и IV) в направлении против хода часовой стрелки, отправляясь от того квадранта, где обе координаты положительны, получим следующую таблицу знаков координат:

Отрезок ОМ у соединяющий начало координат О с точкой М (рис. 2), называется ее радиусом-вектором. Обозначая через ф угол, образованный отрезком ОМ с положительным направлением оси Ох, и через его длину, для точки М, лежащей в I квадранте, из треугольников ОММ’ и ОММ» получим

Нетрудно убедиться, что формулы (1) будут справедливы для координат точек всех квадрантов. Таким образом, знак абсциссы х точки М совпадает со знаком косинуса, а знак ее ординаты у — со знаком синуса в соответствующем квадранте.

Легко видеть, что если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината у равна нулю; если же она лежит на оси ординат, ее абсцисса х равна нулю, и обратно. Следовательно, если точка совпадает с началом координат, то равны нулю обе ее координаты.

В дальнейшем прямоугольные декартовы координаты для краткости будем называть просто прямоугольными координатами.

В следующих параграфах рассмотрим некоторые простейшие задачи на применение прямоугольных координат на плоскости.

Преобразование прямоугольной системы координат

При решении задач иногда выгодно вместо данной прямоугольной системы координат выбрать другую прямоугольную систему координат О’х’у определенным образом ориентированную относительно первой. Например, при межпланетных путешествиях можно пользоваться системой координат, связанной с центром Земли (геоцентрическая система координат); однако более удобно использовать систему координат, связанную с центром Солнца (гелиоцентрическая система координат).

Возникает вопрос о том, как от одной системы координат перейти к другой.

Рассмотрим сначала простейший случай (рис. 3), когда оси «новой системы координат» О’х’у’ параллельны соответствующим осям «старой системы координат о Оху и имеют одинаковые направления с ними (параллельный перенос системы координат).

Пусть начало новой системы координат — точка О’ — имеет координаты (а, Ь) в старой системе координат. Точка М плоскости со «старыми координатами» (х, у) будет иметь некоторые «новые координаты» [х у’] (для ясности мы их обозначаем квадратными скобками). Из рис. 3 непосредственно получаем

х’ = х — а, у’ = у — b, (1)

т. е. новые координаты точки равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала.

Обратно, из (1) находим

х = х’ + а, у = у’ + Ь. (2)

Пусть теперь «новая система» координат Ох’у при неизменном начале О, повернута относительно «старой системы» Оху на угол а (рис. 4), т. е. , причем а считается положительным, если поворот осуществляется против хода часовой стрелки, и отрицательным — в противоположном случае (поворот системы координат).

Обозначим через угол, образованный радиусом-вектором г = ОМ точки М с осью Ох’; тогда отрезок ОМ, с учетом знака угла ), будет составлять с осью Ох угол . Отсюда на основании формул (1) из при любом расположении точки М имеем

Так как новые координаты точки М, очевидно, есть

то из формул (3) и (4) получаем

Для запоминания формул (6) используют следующий мнемонический прием: говорят, что первая формула (6) содержит полный беспорядок, а вторая — полный порядок. Действительно, в первой формуле на первом месте стоит cos, на втором — sin; кроме того, присутствует знак минус. Во второй формуле (6) никаких нарушений правильности в этом смысле нет.

Формулы (6) выражают старые координаты х и у точки М через ее новые х’ и у’. Чтобы выразить новые координаты х’ и у’ через старые х и у, достаточно разрешить систему (6) относительно х’и у’. Однако можно поступить проще, а именно принять систему Ох’у’ за «старую», а систему Оху за «новую». Тогда, учитывая, что вторая система повернута относительно первой на угол — а, заменяя в формулах (6) х’ и у’ соответственно на х и у и обратно и принимая во внимание, что cos (-a) = cos a, sin (-a) = -sin a, будем иметь

Наконец, в общем случае, когда новое начало координат есть точка О’ (a, Ь) и ось О’х’ образует с осью Ох угол а, соединяя формулы (2) и (6), находим

Здесь угол Р считается положительным, если радиус-вектор ОМ повернут относительно оси Ох’ против хода часовой стрелки, и отрицательным, если он повернут относительно этой оси по ходу часовой стрелки.

Аналогично, из формул (1) и (7) получаем

Из формул (8) и (9) вытекает, что формулы перехода от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат являются линейными функциями как новых, так и старых координат, т. е. содержат эти координаты в первой степени.

Пример:

Отрезок ОМ, где точка М имеет координаты (х, г/), повернут на угол а = 120° против хода часовой стрелки (рис. 5). Каковы будут координаты х’ и у’ нового положения М’ точки М?

Решение:

Предполагая, что с точкой М связана подвижная система координат Ох’у на основании формул (6) будем иметь

Расстояние между двумя точками на плоскости

1) Найдем сначала расстояние г от начала координат О (0, 0) до точки М (х, у) (рис. 6).

Расстояние г = ОМ, очевидно, является гипотенузой прямоугольного ОММ’ с катетами . По теореме Пифагора получаем

Таким образом, расстояние от начала координат до некоторой точки равно корню квадратному из суммы квадратов координат этой точки.

2) В общем случае, пусть для точек A и Б (рис. 7) требуется найти расстояние d = АВ между этими точками.

Выберем новую систему координат Ах’у’ начало которой совпадает с точкой А и оси которой параллельны прежним осям и имеют, соответственно, одинаковые направления с ними. Тогда в новой системе координат точки Л и В будут иметь координаты А [0, 0] и Б . Отсюда на основании формулы (1) получаем

т. е. расстояние между двумя точками плоскости (при любом их расположении) равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

Замечание. Формула (2) дает также длину отрезка АВ. Легко определить направление этого отрезка. Из прямоугольного А ABC имеем

(dx и dy называются проекциями отрезка АВ на оси координат Оху). Отсюда получаем где d определяется формулой (2).

Пример:

Танк на местности переместился из точки А (-30, 80) в точку Б (50, 20) (относительно некоторой системы координат Оху)> причем координаты точек даны в километрах. Найти путь d, пройденный танком, если он двигался, не меняя направления.

Решение:

Применяя формулу (2), имеем

Деление отрезка в данном отношении

Предположим, что отрезок АВ (рис. 8), соединяющий точки A (xl9 уг) и В (x2t у2), разделен точкой С на два отрезка АС и СБ, причем отношение АС к СБ равно I (I > 0):

Требуется выразить координаты х и у точки С(х, у) через координаты концов отрезка АВ.

Опустим перпендикуляры соответственно из точек А, В и С на ось Ох. Тогда получим, что три параллельные прямые пересекают стороны угла (не обозначенного на рисунке), образованного прямыми АВ и Ох. Как известно из элементарной геометрии, пучок параллельных прямых рассекает стороны угла на пропорциональные части; поэтому

откуда на основании равенства (1) будем иметь

Из рис. 8 видно, что х2 — х. Подставляя эти выражения в формулу (2), получим

Решая уравнение (3) относительно неизвестной абсциссы х, будем иметь

Итак, координаты точки С (ху у), делящей отрезок АВ в отношении / (считая от А к В), определяются формулами Если точка С делит отрезок АВ пополам, то АС = СВ и, следовательно, I = АС/СВ = 1. Обозначая координаты середины отрезка АВ через х, у, получим на основании формул (4)

т. е. координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

Примечание. При выводе формул (4) и (5) мы предполагали, что концы А и В отрезка АВ лежат в первом квадранте и, следовательно, координаты точек Аи В положительны. Легко доказать, что формулы (4) и (5) будут справедливы и в случае произвольного расположения отрезка АВ на координатной плоскости.

Пример:

Вычислить координаты точки С (х, у)> делящей отрезок АВ между точками А (-5, -3) и В (4, -6) в отношении АС/СВ = 3/2.

Решение:

В этом случае I = 3/2 и, следовательно,

Площадь треугольника

Пусть требуется найти площадь S треугольника ABC (рис. 9) с вершинами

Пусть АВ = с, АС = Ь, а углы, образованные этими сторонами с осью Ох, соответственно равны .

На основании (см. замечание) имеем (рис. 9)

и

Пусть ; очевидно (рис. 9), . По известной формуле тригонометрии получаем

Отсюда в силу (1) и (2) имеем

Заметим, что формула (4) при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком минус. Поэтому формулу для площади треугольника обычно пишут в виде

где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число,

Используя понятие определителя второго порядка

формулу (4′) можно записать в удобной для запоминания форме:

Формула (4′) упрощается, если точка А находится в начале координат. А именно, полагая получим

Отметим, что если точки А, В, С находятся на одной прямой, то площадь S = 0; и обратно, если S = 0, то вершины А, Б и С расположены на одной прямой.

Пример:

Вспаханное поле имеет форму треугольника с вершинами А (-2, -1), В (3, 5) и С (-1, 4) (размеры даны в километрах). Определить площадь S этого поля.

По формуле (5) имеем

Замечание. Вычисление площади многоугольника сводится к вычислению площадей треугольников. Для этого достаточно разбить многоугольник на треугольники, площади которых вычисляют по формуле (4).

Рекомендую подробно изучить предметы:

Математика Алгебра Линейная алгебра Векторная алгебра Высшая математика Дискретная математика Математический анализ Математическая логика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Линии второго порядка
• Полярные координаты
• Непрерывность функции
• Уравнения поверхности и линии в пространстве
• Интегрирование рациональных дробей
• Интегрирование тригонометрических функций
• Интегрирование тригонометрических выражений
• Интегрирование иррациональных функций

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Уравнение квадрата в декартовой системе координат.

Проанализируем расположение квадрата на координатной плоскости.

В общем случае уравнение квадрата в декартовой (прямоугольной) системе координат принимает вид:

где точка О`(a;b) – точка пересечения диагоналей квадрата;

d – длина диагонали квадрата.

В частном случае, когда точка О(0;0) — начала координат, является одновременно и точкой пересечения диагоналей квадрата, уравнение квадрата принимает вид:

где d– длина диагонали квадрата.

К примеру- давайте повернем прямоугольник на 90градусов, ширина его будет 6, высота 4.
Так как известно , что точка вращения в центре — легко находим координаты деля ширину и высоту пополам
А(x, y) — Аx = 0(координата) — (6 / 2), Ау = 0 + (4 / 2) А(-3, 2)
В(x, y) — Вx = 0(координата) + (6 / 2), Ву = 0 + (4 / 2) В(3, 2)
С(x, y) — Сx = 0(координата) + (6 / 2), Су = 0 — (4 / 2) С(3, -2)
D(x, y) — Dx = 0(координата) — (6 / 2), Dy = 0 — (4 / 2) D(-3, -2)

Находим точку А после вращения
по Вашей формуле
Аx = -3 * cos90 — 2 * sin90 = -3 * 0 — 2 * 1 = -2
Ay = -3 * sin90 + 2 *cos90 = -3 * 1 + 2 * 0 = -3

A(x, y) = (-2, -3);

Те же действия проделываем со всеми точками, а цифры по возможности округляем