Как найти координаты серединного перпендикуляра

Была ли эта статья полезной?

Светило науки — 12 ответов — 0 раз оказано помощи

Содержание:

Декартовы координаты на плоскости:

Изучая материал этой лекции, вы расширите свои знания о координатной плоскости.

Вы научитесь находить длину отрезка и координаты его середины, зная координаты его концов.

Сформируете представление об уравнении фигуры, выведете уравнения прямой и окружности.

Ознакомитесь с методом координат, позволяющим решать геометрические задачи средствами алгебры.

Расстояние между двумя точками с заданными координатами. Координаты середины отрезка

В 6 классе вы ознакомились с координатной плоскостью, то есть с плоскостью, на которой изображены две перпендикулярные координатные прямые (ось абсцисс и ось ординат) с общим началом отсчета (рис. 8.1). Вы умеете отмечать на ней точки по их координатам и наоборот, находить координаты точки, отмеченной на координатной плоскости.

Договорились координатную плоскость с осью

Координаты точки на плоскости называют декартовыми координатами в честь французского математика Рене Декарта (см. рассказ на с. 103).

Вы знаете, как находить расстояние в между двумя точками, заданными своими координатами на координатной прямой. Для точек (рис. 8.2) имеем:

Научимся находить расстояние между точками заданными на плоскости

Рассмотрим случай, когда отрезок не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.3).

Через точки проведем прямые, перпендикулярные координатным осям. Получим прямоугольный треугольник в котором Отсюда

Тогда формулу расстояния между точками можно записать так:

Докажите самостоятельно, что эта формула остается верной и для случая, когда отрезок перпендикулярен одной из осей координат.

Пусть — точки плоскости Найдем координаты точки — середины отрезка

Рассмотрим случай, когда отрезок не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.4). Будем считать, что (случай, когда рассматривается аналогично). Через точки проведем прямые, перпендикулярные оси абсцисс, которые пересекут эту ось соответственно в точках По теореме Фалеса тогда Поскольку то можем записать: Отсюда Аналогично можно показать что

Формулы для нахождения координат середины отрезка остаются верными и для случая, когда отрезок перпендикулярен одной из осей координат. Докажите это самостоятельно.

Пример №1

Докажите, что треугольник с вершинами в точках является равнобедренным прямоугольным.

Решение:

Используя формулу расстояния между двумя точками, найдем стороны данного треугольника:

Следовательно, то есть треугольник равнобедренный.

Поскольку то треугольник прямоугольный.

Пример №2

Точка — середина отрезка Найдите координаты точки

Решение:

Обозначим — координаты точки — координаты точки — координаты точки

Поскольку то получаем:

Аналогично

Ответ:

Пример №3

Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках является прямоугольником.

Решение:

Пусть точка — середина диагонали Тогда

Следовательно,

Пусть точка — середина диагонали Тогда

Следовательно,

Таким образом, точки совпадают, то есть диагонали четырехугольника имеют общую середину. Отсюда следует, что четырехугольник — параллелограмм.

Найдем диагонали параллелограмма:

Следовательно, диагонали параллелограмма равны. Отсюда следует, что этот параллелограмм является прямоугольником.

Уравнение фигуры. Уравнение окружности

Из курса алгебры 7 класса вы знаете, какую фигуру называют графиком уравнения. В этом пункте вы ознакомитесь с понятием уравнения фигуры.

Координаты каждой точки параболы, изображенной на рисунке 9.1, являются решением уравнения И наоборот, каждое решение уравнения с двумя переменными является координатами точки, лежащей на этой параболе. В этом случае говорят, что уравнение параболы, изображенной на рисунке 9.1, имеет вид

Определение. Уравнением фигуры заданной на плоскости называют уравнение с двумя переменными обладающее следующими свойствами:

1. если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением данного уравнения;
2. любое решение данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре

Например, уравнение прямой, изображенной на рисунке 9.2, имеет вид а уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 9.3, имеет вид Принято говорить, что, например, уравнения задают прямую и гиперболу соответственно.

Если данное уравнение является уравнением фигуры то эту фигуру можно рассматривать как геометрическое место точек (ГМТ), координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Пользуясь этими соображениями, выведем уравнение окружности радиуса с центром в точке

Пусть — произвольная точка данной окружности (рис. 9.4). Тогда Используя формулу расстояния между точками, получим:

Отсюда

Мы показали, что координаты произвольной точки данной окружности являются решением уравнения Теперь покажем, что любое решение уравнения является координатами точки, принадлежащей данной окружности.

Пусть пара чисел — произвольное решение уравнения

Тогда Отсюда

Это равенство показывает, что точка удалена от центра окружности на расстояние, равное радиусу окружности, а следовательно, точка принадлежит данной окружности.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 9.1. Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид

Верно и такое утверждение: любое уравнение вида где некоторые числа, причем является уравнением окружности радиуса с центром в точке с координатами

Если центром окружности является начало координат (рис. 9.5), то В этом случае уравнение окружности имеет вид

Пример №4

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок если

Решение:

Поскольку центр окружности является серединой диаметра, то можем найти координаты центра окружности:

Следовательно,

Радиус окружности равен отрезку Тогда

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Пример №5

Докажите, что уравнение задает окружность. Найдите координаты центра и радиус этой окружности.

Решение:

Представим данное уравнение в виде

Следовательно, данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке и радиусом

Ответ:

Пример №6

Докажите, что треугольник с вершинами в точках является прямоугольным, и составьте уравнение окружности, описанной около треугольника

Решение:

Найдем квадраты сторон данного треугольника:

Поскольку то данный треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине Центром описанной окружности является середина гипотенузы — точка радиус окружности Следовательно, искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Уравнение прямой

В предыдущем пункте, рассматривая окружность как ГМТ, равноудаленных от данной точки, мы вывели ее уравнение. Для того чтобы вывести уравнение прямой, рассмотрим ее как ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.

Пусть — данная прямая. Выберем две точки и так, чтобы прямая была серединным перпендикуляром отрезка (рис. 10.1).

Пусть — произвольная точка прямой Тогда по свойству серединного перпендикуляра отрезка выполняется равенство то есть

Мы показали, что координаты произвольной точки прямой являются решением уравнения

Теперь покажем, что любое решение уравнения является координатами точки, принадлежащей данной прямой

Пусть — произвольное решение уравнения Тогда Это равенство означает, что точка равноудалена от точек следовательно, точка принадлежит серединному перпендикуляру отрезка то есть прямой

Итак, мы доказали, что уравнение является уравнением данной прямой

Однако из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение прямой выглядит гораздо проще, а именно: где и — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно. Покажем, что уравнение можно преобразовать к такому виду. Возведем обе части уравнения в квадрат. Имеем:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим:

Обозначив получим уравнение

Поскольку точки различны, то хотя бы одна из разностей не равна нулю. Следовательно, числа и не равны нулю одновременно.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 10.1. Уравнение прямой имеет вид?

где — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно.

Верно и такое утверждение: любое уравнение вида где — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.

Если то графиком уравнения является вся плоскость Если то уравнение не имеет решений.

Из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение вида называют линейным уравнением с двумя переменными. Уравнение прямой является частным видом линейного уравнения. Схема, изображенная на рисунке 10.2, иллюстрирует сказанное.

на уроках алгебры в 7 классе мы приняли без доказательства тот факт, что графиком линейной функции является прямая. Сейчас мы можем это доказать.

Перепишем уравнение Мы получили уравнение вида для случая, когда Поскольку в этом уравнении то мы получили уравнение прямой.

А любую ли прямую на плоскости можно задать уравнением вида Ответ на этот вопрос отрицательный.

Дело в том, что прямая, перпендикулярная оси абсцисс, не может являться графиком функции, а следовательно, не может быть задана уравнением вида

Вместе с тем, если в уравнении прямой принять то его можно переписать так: Мы получили частный вид уравнения прямой, все точки которой имеют одинаковые абсциссы. Следовательно, эта прямая перпендикулярна оси абсцисс. Ее называют вертикальной.

Если то уравнение прямой можно записать так:

Обозначив получим уравнение

Следовательно, если то уравнение прямой задает вертикальную прямую; если то это уравнение задает невертикальную прямую.

Уравнение невертикальной прямой удобно записывать в виде

Данная таблица подытоживает материал, рассмотренный в этом пункте.

Пример №7

Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

Решение:

1) Поскольку данные точки имеют равные абсциссы, то прямая является вертикальной. Ее уравнение имеет вид

2) Поскольку данные точки имеют разные абсциссы, то прямая не является вертикальной. Тогда можно воспользоваться уравнением прямой в виде

Подставив координаты точек в уравнение получаем систему уравнений:

Решив эту систему уравнений, находим, что

Ответ:

Пример №8

Найдите периметр и площадь треугольника, ограниченного прямой и осями координат.

Решение:

Найдем точки пересечения данной прямой с осями координат.

С осью абсцисс: при получаем

С осью ординат: при получаем

Следовательно, данная прямая и оси координат ограничивают прямоугольный треугольник (рис. 10.3) с вершинами Найдем стороны треугольника:

Тогда искомые периметр и площадь соответственно равны

Ответ:

Угловой коэффициент прямой

Рассмотрим уравнение Оно задает невертикальную прямую, проходящую через начало координат.

Покажем, что прямые где параллельны.

Точки принадлежат прямой а точки и принадлежат прямой (рис. 11.1). Легко убедиться (сделайте это самостоятельно), что середины диагоналей четырехугольника совпадают. Следовательно, четырехугольник — параллелограмм. Отсюда

Теперь мы можем сделать такой вывод: если то прямые параллельны (1).

Пусть прямая пересекает единичную полуокружность в точке (рис. 11.2). Угол называют углом между данной прямой и положительным направлением оси абсцисс.

Если прямая совпадает с осью абсцисс, то угол между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс считают равным

Если прямая образует с положительным направлением оси абсцисс угол то считают, что и прямая параллельная прямой также образует угол с положительным направлением оси абсцисс (рис. 11.3).

Рассмотрим прямую уравнение которой имеет вид (рис. 11.2). Если Поскольку точка принадлежит прямой Отсюда Таким образом, для прямой получаем, что

где — угол, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент называют угловым коэффициентом этой прямой.

Если невертикальные прямые параллельны, то они образуют равные углы с положительным направлением оси абсцисс. Тогда тангенсы этих углов равны, следовательно, равны и их угловые коэффициенты. Таким образом,

если прямые параллельны, то (2).

Выводы (1) и (2) объединим в одну теорему.

Теорема 11.1. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда

Пример №9

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку и параллельна прямой

Решение:

Пусть уравнение искомой прямой Поскольку эта прямая и прямая параллельны, то их угловые коэффициенты равны, то есть

Следовательно, искомое уравнение имеет вид Учитывая, что данная прямая проходит через точку получаем: Отсюда

Искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Метод координат

Мы часто говорим: прямая парабола окружность тем самым отождествляя фигуру с ее уравнением. Такой подход позволяет сводить задачу о поиске свойств фигуры к задаче об исследовании ее уравнения. В этом и состоит суть метода координат.

Проиллюстрируем сказанное на таком примере.

Из наглядных соображений очевидно, что прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Однако это утверждение не является аксиомой, поэтому его надо доказывать.

Эта задача сводится к исследованию количества решений системы уравнений

где числа одновременно не равны нулю и

Решая эту систему методом подстановки, мы получим квадратное уравнение, которое может иметь два решения, одно решение или вообще не иметь решений. Следовательно, для данной системы существует три возможных случая:

1. система имеет два решения — прямая и окружность пересекаются в двух точках;
2. система имеет одно решение — прямая касается окружности;
3. система не имеет решений — прямая и окружность не имеют общих точек.

С каждым из этих случаев вы встречались, решая задачи 10.17-10.19.

Метод координат особенно эффективен в тех случаях, когда требуется найти фигуру, все точки которой обладают некоторым свойством, то есть найти геометрическое место точек.

Отметим на плоскости две точки Вы хорошо знаете, какой фигурой является геометрическое место точек таких, что

Это серединный перпендикуляр отрезка Интересно выяснить, какую фигуру образуют все точки для которых Решим эту задачу для

Плоскость, на которой отмечены точки «превратим» в координатную. Сделаем это так: в качестве начала координат выберем точку в качестве единичного отрезка — отрезок ось абсцисс проведем так, чтобы точка имела координаты (рис. 11.6).

Пусть — произвольная точка искомой фигуры Тогда Отсюда

Следовательно, если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением уравнения

Пусть — некоторое решение уравнения Тогда легко показать, что А это означает, что точка такова, что Тогда Следовательно, точка принадлежит фигуре

Таким образом, уравнением фигуры является уравнение то есть фигура — это окружность с центром в точке и радиусом

Мы решили задачу для частного случая, когда Можно показать, что искомой фигурой для любого положительного будет окружность. Эту окружность называют окружностью Аполлония

Как строили мост между геометрией и алгеброй

Идея координат зародилась очень давно. Ведь еще в старину люди изучали Землю, наблюдали звезды, а по результатам своих исследований составляли карты, схемы.

Во II в. до н. э. древнегреческий ученый Гиппарх впервые использовал идею координат для определения места расположения объектов на поверхности Земли.

Только в XIV в. французский ученый Николя Орем (ок. 1323-1382) впервые применил в математике идею Гиппарха: он разбил плоскость на клетки (как разбита страница вашей тетради) и стал задавать положение точек широтой и долготой.

Однако огромные возможности применения этой идеи были раскрыты лишь в XVII в. в работах выдающихся французских математиков Пьера Ферма и Рене Декарта. В своих трудах эти ученые показали, как благодаря системе координат можно переходить от точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии к алгебре.

Несмотря на то что П. Ферма опубликовал свою роботу на год раньше Р. Декарта, систему координат, которой мы сегодня пользуемся, называют декартовой. Р. Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» предложил новую удобную буквенную символику, которой с незначительными изменениями мы пользуемся и сегодня. Вслед за Декартом мы обозначаем переменные последними буквами латинского алфавита а коэффициенты — первыми: Привычные нам обозначения степеней и т. д. также ввел Р. Декарт.

Справочный материал

Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками можно найти по формуле

Координаты середины отрезка

Координаты середины отрезка с концами можно найти по формулам:

Уравнение фигуры

Уравнением фигуры заданной на плоскости называют уравнение с двумя переменными обладающее следующими свойствами:

1) если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением данного уравнения;

2) любое решение данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре

Уравнение окружности

Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид

Любое уравнение вида где — некоторые числа, причем является уравнением окружности радиуса с центром в точке с координатами

Уравнение прямой

Уравнение прямой имеет вид — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно. Любое уравнение вида — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.

Если то уравнение прямой задает вертикальную прямую; если то это уравнение задает невертикальную прямую.

Угловой коэффициент прямой

Коэффициент в уравнении прямой называют угловым коэффициентом прямой, и он равен тангенсу угла, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс.

Необходимое и достаточное условие параллельности невертикальных прямых

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

На рисунке 1 прямая ( small l ) серединный перпендикуляр к отрезку ( small AB .)

Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку

Теорема 1. 1) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. 2) Обратно: Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство. 1) Пусть точка ( small O ) середина отрезка ( small AB ) и пусть прямая ( small q ) серединный перпендикуляр к отрезку ( small AB ) (Рис.2). Рассмотрим любую точку ( small M ) на прямой ( small q ). Докажем, что ( small AM=BM. ) Если точка ( small M ) совпадает с точкой ( small O ), то равенство ( small AM=BM ) верно поскольку ( small AO=BO ) (( small O )-середина отрезка). Пусть ( small M ) и ( small O ) различные точки. Тогда прямоугольные треугольники ( small MOA ) и ( small MOB ) равны по двум катетам (( small AO=OB ), ( small OM )− общий). Следовательно ( small AM=BM. )

2) Пусть точка ( small P ) равноудалена от от концов отрезка ( small AB ) (Рис.3). Тогда выполено равенство ( small AP=BP ). Докажем, что ( small P ) лежит на серединном перпендикуляре ( q ). Если точка ( small P ) принадлежит прямой ( small AB ), то поскольку она равноудалена от концов отрезка ( small AB, ) она совпадает с точкой ( small O ), т.е. лежит на прямой ( q.) Если же ( small P ) не лежит на прямой ( small AB ), то треугольник ( small ABP ) равнобедренный, поскольку ( small AP=BP .) Отрезок ( small PO ) медиана этого равнобедренного треугольника и, значит, является также высотой этого треугольника. Тогда ( small PO⊥AB .) Прямые ( small PO ) и ( q ) проходят через точку ( small O ) и перпендикулярны к ( small AB .) Следовательно эти прямые совпадают, т.е. точка ( small P ) принадлежит прямой ( q. )

Серединный перпендикуляр

Что такое серединный перпендикуляр к отрезку? Что можно сказать о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника? К сторонам многоугольника?

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.

m — серединный перпендикуляр к отрезку AB, если

точка C — середина отрезка AB,

Чтобы построить серединный перпендикуляр к данному отрезку с помощью угольника, нужно:

1) найти середину отрезка;

2) провести через эту точку прямую, перпендикулярную данному отрезку (для этого угольник прикладываем прямым углом к середине отрезка так, чтобы она сторона угольника проходила через отрезок, а через другую сторону проводим прямую):

Свойства серединного перпендикуляра.

1) Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Например, прямая m — геометрическое место точек, равноудаленных от точек A и B (рисунок 1).

2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром описанной около треугольника окружности.

3) Если около многоугольника можно описать окружность, то центр этой описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Выведение уравнения прямой

Для выведения уравнения прямой проведем эту прямую как серединный перпендикуляр к некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.

Все точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов отрезка.

Рис. 1. Серединный перпендикуляр к отрезку

Пусть  – это произвольная точка на прямой  (см. Рис. 1), которая является серединным перпендикуляром к отрезку  (точка  имеет координаты , точка  имеет координаты ). Тогда , отсюда следует, что , то есть справедливо равенство:

 — это равенство и есть уравнением прямой.

Возведем в квадрат выражения в скобках и приведем подобные слагаемые:

 

 

 

Введем новые обозначения:

 

 

 

Следовательно, уравнение прямой будет иметь следующий вид:

 

Уравнение вертикальной прямой

 

 – уравнение вертикальной прямой

На рис. 2 изображены вертикальные прямые, уравнение которых выглядят следующим образом:

а) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

б) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

в) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату , то есть это уравнение оси .

Рис. 2. Вертикальные прямые

Уравнение горизонтальной прямой

 

 – уравнение горизонтальной прямой

На рис. 3 изображены горизонтальные прямые, уравнения которых выглядят следующим образом:

а) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

б) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .

в) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату , то есть это уравнение оси .

Рис. 3. Горизонтальные прямые

Уравнение наклонной прямой к оси  ()

 

 

 

Введем новые обозначения:

 

 

Таким образом, уравнение наклонной к оси  прямой выглядит следующим образом:

, где

 – угловой коэффициент (если , то функция возрастает, если  – убывает);

 – ордината точки пересечения прямой с осью .

Примеры

1. Дано уравнение прямой: .

В этом случае ; . Следовательно, данная функция возрастает, прямая пересекает ось в точке с координатами  (см. Рис. 4). 

Рис. 4. Прямая

2. Дано уравнение прямой: .

В этом случае ; . Следовательно, данная функция убывает, прямая пересекает ось  в точке с координатами  (см. Рис. 5). 

Рис. 5. Прямая

Условия параллельности и перпендикулярности наклонных прямых

Даны две прямые:

 

 

1. Данные прямые будут параллельными, если выполняются следующие условия:

 

То есть эти прямые должны быть наклонены под одним углом к оси , но проходить через разные точки на оси .

2. Данные прямые будут перпендикулярными, если выполняется следующее условие:

 

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку

Дана точка  с координатами . Уравнение наклонной прямой: , следовательно, условие того, что точка  лежит на прямой, – это .

 

 – уравнение любой наклонной прямой, проходящей через точку .

Задавая коэффициент , можно выбрать конкретную прямую, проходящую через точку.

Задача 1

Дано: прямая ; точка .

Найти: а) уравнение прямой, которая проходит через точку  и параллельна заданной прямой; б) уравнение прямой, которая проходит через точку  и перпендикулярна заданной прямой.

Решение

Все наклонные прямые, которые проходят через точку , имеют уравнение:

 

1. Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Поэтому уравнение прямой, проходящей через точку  и параллельной заданной прямой, имеет угловой коэффициент . Следовательно, уравнение такой прямой имеет следующий вид:

 

 

 

2. Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно . Следовательно, угловой коэффициент прямой, перпендикулярной, равен:

 

 

Подставляем данный коэффициент в уравнение прямых, проходящих через точку :

 

 

Ответ: а) ; б)  .

Задача 2

Дано: точка ; точка .

Найти: уравнение прямой  и точки ее пересечения с осями координат.

Решение

Уравнение прямой имеет вид:

 

Необходимо определить числа , , . Подставим координаты точек  и  в уравнение прямой, получим систему из двух уравнений:

 

Решим эту систему, выразив  и  через :

 

 

 

 

Подставим это значение в равенство:

 

 

Найденные значения  и  подставляем в общее выражение прямой:

 

При  разделим это выражение на  и умножим на :

 

Мы получили уравнение прямой, которая проходит через две данные точки ( и ). Запишем это уравнение в таком виде:

 

Это уравнение наклонной прямой, которая имеет угловой коэффициент  и пересекает ось  в точке с координатой  (на рисунке 6 точка ).

Определим координаты точки пересечения прямой с осью , для этого приравняем к нулю :

 

 

 

Следовательно, координаты точки пересечения прямой с осью  –  (на рисунке 6 точка ).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Ответ: ; ; .

Задача 3

Дано: точка ; точка .

Найти: уравнение серединного перпендикуляра к отрезку .

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Решение

Пусть  (см. Рис. 7) – это произвольная точка на серединном перпендикуляре к отрезку . Тогда , отсюда следует, что , то есть справедливо равенство:

 

Подставим в данное равенство соответствующие координаты:

 

 

 

Разделим обе части уравнения на 4 и получим искомое уравнение серединного перпендикуляра:

 

Ответ: .

---

Уравнение прямой в отрезках

Пусть  – уравнение наклонной прямой, которая пересекает оси  и  в точках  и . Тогда уравнение этой прямой можно представить в виде:

 

Такое уравнение называется уравнением прямой в отрезках. В данном случае отрезок , а отрезок .

Выведем данное уравнение.

Дано: точка ; точка ; ,  (прямая не пересекает начало координат) (см. Рис. 8).

Требуется: вывести уравнение прямой .

Решение

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству

Прямая  – это наклонная прямая, следовательно, ее уравнение записывается в виде .

Необходимо найти коэффициент  и свободный член . Для этого подставляем координаты точек  и , лежащих на прямой, в уравнение наклонной прямой:

  

 

 

Подставляем полученные значения в уравнение наклонной прямой:

 

Обе части уравнения умножаем на :

 

 

Обе части уравнения делим на произведение :

 

 

Мы получили уравнение прямой в отрезках:  

Пример

Дано: точка ; точка .

Найти: уравнение прямой .

Решение

Уравнение прямой в отрезках выглядит следующим образом:

 

В данном случае: ; . Подставляем эти значения в уравнение:

 

Ответ: .

---

Задача типа С5 из ЕГЭ по математике

Найдите значение параметра , при котором система неравенств имеет единственное решение.

 

Решение

1. Рассмотрим первое неравенство.

Неравенство  задает круг с центром в точке  и радиуса  (см. Рис. 9).

Координаты точки  зависят от параметра: .

Радиус  также зависит от параметра: .

Обе части этого неравенства неотрицательны, следовательно, его можно возвести в квадрат:

 

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

2. Рассмотрим второе неравенство.

Неравенство  задает полуплоскость под прямой , так как:

 

 

 

Эта полуплоскость фиксированна, не зависит от параметра .

3. Необходимо расположить круг так, чтобы он находился над прямой и касался ее. Общая точка прямой и окружности находится из системы:

 

Подставим значение  в первое уравнение:

 

Сделаем замену:

 

 

Тогда:

 

 

 

Нам требуется единственность решения данного уравнения, следовательно, его дискриминант должен быть равен нулю.

 

 

Так как , то:

 

 

 

 

 

Выполним проверку этих значений параметра .

а) Если , то координаты центра окружности равны . Подставим координату  в уравнение прямой и сравним получившееся значение  со второй координатой центра окружности:

 

 

Следовательно, точка  лежит над прямой , и значение  нам подходит.

б) Можно выполнить проверку другим способом.

Если , то координаты центра окружности равны .

Подставим значения  и в неравенство :

 

 – неверно, следовательно, точка  также не лежит в полуплоскости, задаваемой неравенством .

Таким образом, искомые значения параметра равны: , .

Ответ: , .

---

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Первый способ вывода

Ранее мы вывели общее уравнение прямой, проходящей через две точки:

 

Выведем уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки.

Дано: точки  и  на наклонной прямой  (см. Рис. 10).

Требуется: вывести уравнение наклонной прямой .

Рис. 10. Наклонная прямая, проходящая через две точки

Решение

Выберем произвольную точку , находящуюся на прямой . Вектор  коллинеарен вектору  (см. Рис. 10), следовательно:

 

В координатном виде это выглядит следующим образом:

 

Векторное равенство дает систему из двух уравнений:

 

 

Это и есть уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки, при .

Ответ: .

Если , то это вертикальная прямая.

Если , то это горизонтальная прямая.

Пример

Даны две точки , . Написать уравнение наклонной прямой, проходящей через эти точки.

Решение

Уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки, в общем виде выглядит следующем образом:

 

Подставляем значение координат данных в условии точек в уравнение:

 

 

 

 

В итоге мы получили уравнение прямой в отрезках.

---

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Второй способ вывода

Дано: точки  и  на наклонной прямой  (см. Рис. 11).

Требуется: вывести уравнение наклонной прямой .

Рис. 11. Наклонная прямая, проходящая через две точки

Решение

Подставляем координаты первой точки в уравнение наклонной прямой:

 

Получаем систему уравнений:

 

Вычтем из первого уравнения второе:

 

Необходимо найти , для этого подставляем координаты двух точек в уравнение наклонной прямой:

 

Вычтем из первого уравнения второе:

 

 

Следовательно:

 

 

Ответ: , где  и .

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт mathprofi.ru (Источник)

2. Интернет-сайт mathelp.spb.ru (Источник)

3. Интернет-сайт YouTube (Источник)

Домашнее задание

1. Задачи 972, 977, 982 – Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия, 7-9 (Источник)

2. Докажите, что прямые, заданные уравнениями  и , параллельны.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки , .