На этой странице можно рассчитать координаты середины отрезка как на плоскости, так и в пространстве. Введите координаты точек и получите ответ, а также подробное решение с помощью наших онлайн-калькуляторов.
Задача нахождения координат середины отрезка довольно часто возникает при решении задач, связанных с нахождением средней линии, медианы а также других вычислениях. На нашем сайте также можно рассчитать длину отрезка, заданного координатами.
Середина отрезка — точка, расположенная на отрезке на равном расстоянии от его конечных точек.
Формула для нахождения координат середины отрезка на плоскости
{x_c=dfrac{x_a + x_b}{2}; ; y_c=dfrac{y_a + y_b}{2}}
xa и ya — координаты первой точки A,
xb и yb — координаты второй точки B,
xc и yc — координаты середины отрезка (точка C).
Формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве
{x_c=dfrac{x_a + x_b}{2}; ; y_c=dfrac{y_a + y_b}{2}; ; z_c=dfrac{z_a + z_b}{2}}
xa, ya и za — координаты первой точки A,
xb, yb и zb— координаты второй точки B,
xc, yc и zc — координаты середины отрезка (точка C).
Примеры задач на вычисление середины отрезка
Задача 1
Найдите координаты середины отрезка АВ,если А(-2,3) и В(6,-3).
Решение
Подставим координаты концов отрезка в формулы.
x_c=dfrac{x_a + x_b}{2} = dfrac{-2 + 6}{2} = dfrac{4}{2} = 2
y_c=dfrac{y_a + y_b}{2} = dfrac{3 + (-3)}{2} = dfrac{0}{2} = 0
Мы получили координаты середины отрезка — C(2, 0).
Ответ: C(2, 0)
Калькулятор середины отрезка поможет проверить результат.
Задача 2
Дано: A(1, -1, 2), B(3, 1, -2). Найдите координаты середины отрезка AB.
Решение
Воспользуемся формулами координат середины отрезка в пространстве, подставив в них значение координат концов отрезка.
x_c=dfrac{x_a + x_b}{2} = dfrac{1 + 3}{2} = dfrac{4}{2} = 2
y_c=dfrac{y_a + y_b}{2} = dfrac{-1 + 1}{2} = dfrac{0}{2} = 0
z_c=dfrac{z_a + z_b}{2} = dfrac{2 + (-2)}{2} = dfrac{0}{2} = 0
Мы получили координаты середины отрезка — C(2, 0, 0).
Ответ: C(2, 0, 0)
Проверка
В данной публикации мы рассмотрим, что такое середина отрезка, по какой формуле считаются ее координаты (в плоскости и пространстве). Также разберем примеры решения задач по этой теме.
- Расчет координат середины отрезка
- Примеры задач
Расчет координат середины отрезка
Серединой называется точка, лежащая на отрезке и находящаяся на одинаковом расстоянии от его концов.
AC = CB
Если концы отрезка A (xa, ya) и B (xb, yb) расположены в одной плоскости, то координаты его середины (точки C) считаются по формуле:
Если отрезок с концами A (xa, ya, za) и B (xb, yb, zb) находится в трехмерном пространстве, координаты его середины рассчитываются следующим образом:
Примеры задач
Задание 1
Вычислим координаты точки C, которая является серединой отрезка AB, образованного точками A (5, -2) и B (11, 10).
Решение:
В данном случае нам подойдут формулы для плоскости:
xc = (5 + 11) / 2 = 8
yc = (-2 + 10) / 2 = 4
Таким образом, точка C имеет координаты (8, 4).
Задание 2
Найдем координаты точки B, являющейся одним из концов отрезка AB. При этом известны координаты точки A (7, 13) и середины отрезка – C (4, -3).
Решение:
Нужные нам формулы можно вывести из выражений для расчета координат середины отрезка:
xb = 2xc – xa = 2 · 4 – 7 = 1
yb = 2yc – ya = 2 · (-3) – 13 = -19
Следовательно, координаты B – (1, -19).
Определение.
Середина отрезка — это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.
В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах поиска медианы, средней линии, …
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.
Формулы вычисления расстояния между двумя точками:
- Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости:
xc = xa + xb yc = ya + yb 2 2 - Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве:
xc = xa + xb yc = ya + yb zc = za + zb 2 2 2
Примеры задач на вычисление середины отрезка
Примеры вычисления координат середины отрезка на плоскости
Пример 1.
Найти координаты точки С, середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3) и B(6, 5).
Решение.
| xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
| yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
Ответ: С(2.5, 4).
Пример 2.
Найти координаты точки В, если известны координаты точки C(1; 5), середины отрезка AB и точки A(-1, 3).
Решение.
xc =
xa + xb2
=> xb = 2xc — xa = 2·1-(-1)=2+1=3
yc =
ya + yb2
=> yb = 2yc — ya = 2·5-3=10-3=7
Ответ: B(3, 7).
Примеры вычисления координат середины отрезка в пространстве
Пример 3.
Найти координаты точки С середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3, 1) и B(6, 5, -3).
Решение.
| xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
| yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
| zc = | za + zb | = | 1 + (-3) | = | -2 | = -1 |
| 2 | 2 | 2 |
Ответ: С(2.5, 4, -1).
Пример 4.
Найти координаты точки В если известны координаты точки C(1, 5, 2), середины отрезка AB и точки A(-1, 3, 10).
Решение.
xc =
xa + xb2
=> xb = 2xc — xa = 2·1-(-1)=2+1=3
yc =
ya + yb2
=> yb = 2yc — ya = 2·5-3=10-3=7
zc =
za + zb2
=> zb = 2zc — za = 2·2-10=4-10=-6
Ответ: B(3, 7, -6).
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Основное определение отрезка
Определение
Отрезок — это прямая линия, которая соединяет две произвольно расположенные точки, именуемые окончанием отрезка. В качестве конкретного примера можно назвать точки A и B и соответственно отрезок AB.
Прямую АВ можно получить путем удлинения отрезка, который состоит из двух точек. Вследствие чего, можно сказать, что полученный отрезок АВ — это часть прямой, которая ограничена точками А и В. Отрезок объединяет обе точки, которые являются концами прямой, а также множество других точек, лежащих на отрезке.
Например: дана точка К которая расположена между заданными отметками, следовательно, можно сказать, что данная точка лежит на этом отрезке.
Определения
Длина прямой – конкретное отмеренное расстояние, которое задано в масштабе. Чаще всего данный параметр задается как АВ.
Середина отрезка – это некая определенная отметка, которая лежит на прямой и удалена от концов на одинаковом расстоянии друг от друга. Ее можно обозначить как координата С.
Середина отрезка на координатной прямой
Заданы следующие параметры: координатная прямая Ox; точки А и В, которые не совпадают с данной прямой.
Заданным точкам соответствуют действительные числовые значения [x_{A}] и [x_{B}]. Координата С — это середина отрезка А и В. Исходя из этого нужно определить значение координаты [x_{C}] .
AB = |a — b|, где A и B — это произвольные точки, расстояние между которыми надо найти, то есть, найти длину отрезка AB, a и b — координаты точек.
Выражение |a — b| можно заменить выражением |b — a|, так как a — b и b — a являются противоположными числами и их модули равны.
Следовательно, чтобы найти расстояние между точками координатной прямой надо из координаты одной точки вычесть координату другой точки.
Середина отрезка на плоскости
Зададим следующие параметры: прямоугольная система координат относительно заданной плоскости Oxy; две произвольно расположенные несовпадающие точки, для которых заданы координаты [mathrm{A}left(x_{A} y_{A}right)] и [Bleft(chi_{B} chi_{B}right)]. Точка C — это заданная середина отрезка АВ. Нужно вычислить координаты [x_{C}] и [y_{C}] относительно точки С.
Чтобы правильно проанализировать задачу, возьмем случай, когда точки A и В между собой не совпадают и расположены на одной координатной плоскости.
В свою очередь координатная плоскость является перпендикулярной относительной одной из осей.
Координаты отметок [A_{x} A_{y} B_{x} B_{y} C_{x} C_{y}] — это проекции точек А, В, С.
Согласно построению, все прямые можно назвать параллельными; прямые также параллельны между собой. Принимая во внимание данное свойство и теорему Фалеса из равенства А С = С В следуют, что все равенства между собой равны. Также они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка [C_{x}] – это середина отрезка [A_{x}] и [B_{x}], [C_{y}] а – середина отрезка [A_{y}] и [B_{y}].
Опираясь на полученное выражение получаем основное уравнение середины отрезка на координатной плоскости.
[x_{c}=frac{x_{A}+x_{B}}{2}text { и } y_{c}=frac{y_{A}+y_{B}}{2}]
Данным набором формул можно использовать, когда точки А и B лежат на одной координатной плоскости или прямой. Которая соответственно перпендикулярна относительной одной из осей.
В данном случае координаты отрезка будут определяться по следующей формуле:
[x_{C}=frac{x_{A}+x_{B}}{2} text{ и } y_{c}=frac{y_{A}+y_{B}}{2}]
Параметры середины отрезка в пространстве
Для выведения основной формулы для решения подобного рода задач, нужно рассмотреть конкретный пример.
Дана система координат, две произвольные координатные точки с конкретными координатами [mathrm{A}left(A_{x} A_{y} A_{z}right)] и [mathrm{B}left(B_{chi} B_{y} B_{z}right)]. Нужно определить отметку точки C, которая в свою очередь будет являться серединой отрезка.
Согласно основной теоремы Фалеса, все равенства между собой являются равными. Следовательно, значение точек С будут являться серединами отрезков, каждой координатной плоскости, коих имеется три.
Можно составить и записать окончательную формулу для определения середины прямой при координатной плоскости, состоящей более чем двух осей.
[x_{c}=frac{x_{A}+x_{B}}{2} text{ и } y_{C}=frac{y_{A}+y_{B}}{2}, z_{c}=frac{z_{A}+z_{B}}{2}]
Данные формулы также можно применять в случаях, когда точки A и B расположены на одной из координатных прямых. Либо на прямой, которая перпендикулярна относительно одной из осей. Есть еще случай, когда точки расположены в одной координатной плоскости, которая перпендикулярна одной из координатных плоскостей.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов
Формулу для определения отметок середины отрезка, можно определить применяя алгебраическое правило решения векторных выражений.
Исходные данные: прямоугольная декартова система координат Oxy, точки с конкретно заданными координатами [mathrm{A}left(A_{x} A_{y}right)] и [text { B }left(B_{x} B_{y}right)].
Точка C – это середина отрезка с точками А и В.
Согласно геометрическому правилу и определению, действия над векторами будет выглядеть следующим образом:
[overline{O C}=frac{1}{2} cdot(overline{O A}+overline{O B}).]
Координата С в данной ситуации — это значение, в которой пересекаются диагонали геометрической фигуры параллелограмм. Данная фигура построена на основании следующих векторов [overline{O A}] и [overline{O B}], иными словами — это точка середины диагоналей.
Координатные показатели радиуса — это векторные показатели, которые равны координатам, тогда будут верны и равенства: [overline{O A}left(x_{A} y_{A}right)] и [overline{O B}left(x_{B} y_{B}right)].
Выполним следующие действия над векторными значениями и получим следующие формулы:
[overline{O C}=frac{1}{2} cdot(overline{O A}+overline{O B})=left(frac{x_{A}+y_{B}}{2}, frac{y_{A}+y_{B}}{2}right).]
Следовательно, заданная координата С обладает данными:
[left(frac{x_{A}+y_{B}}{2}, frac{y_{A}+y_{B}}{2}right).]
Аналогичным образом определяется нахождение координат середины заданного отрезка в пространстве.
[Cleft(frac{x_{A}+y_{B}}{2}, frac{y_{A}+y_{B}}{2}, frac{z_{A}+z_{B}}{2}right)]
Примеры решения задачи, при нахождении точки середины отрезка
Примеры
Пример №1:
Заданы координатные данные. Точка А с показателями (-7,3) и В (2,4).
Нужно определить точку с отметками, которая является серединой отрезка А и В.
Решение:
Середину отрезка можно обозначить любой точкой. В данном примере возьмем наименование точки — С.
Координатные значения ее будут вычисляться как половина суммы координат концов заданного отрезка с точками А
и В.
Составим и запишем следующие формулы:
[x_{C}=frac{x_{A}+x_{B}}{2}=frac{-7+2}{2}=-frac{5}{2}\y_{C}=frac{y_{A}+y_{B}}{2}=frac{3+4}{2}=frac{7}{2}]
Ответ: искомые координатные значения середины отрезка будут равны следующим данным:
[mathrm{AB}left(-frac{5}{2}, frac{7}{2}right)]
Пример №2:
Заданы координатные отметки геометрической фигуры треугольника: АВС А(-1,0), В (3,2), С (9,-8). По условию
необходимо вычислить длину медианы АМ.
Решение:
По условию задачи AM – медиана, следовательно, точка M будет являться точкой середины отрезка BC. В первую
очередь необходимо определить координаты середины отрезка BC, а именно: точки M.
[x_{M}=frac{x_{B}+x_{C}}{2}=frac{3+9}{2}=6\y_{M}=frac{y_{B}+y_{C}}{2}=frac{2+(-8)}{2}=-3]
Так как, нам известны координатные значения двух концов медианы, точки А и М. Можно воспользоваться формулой
определения расстояния между заданными значениями, и вычислить окончательное значение медианы.
[AM=sqrt{(6-(-1))^{2}+(-3+0)^{2}}=sqrt{58}]
Ответ: [sqrt{58}].
Координаты точки середины отрезка в пространстве онлайн
Калькулятор рассчитывает координаты середины отрезка в пространстве по координатам конца отрезка с подробным порядком вычислений. В поля можно вводить целые или десятичные числа.
Введите координаты точки A
Введите координаты точки B
Определение середины отрезка
Середина отрезка — это точка которая лежит на отрезке, делит этот отрезок пополам и находится на равном расстоянии от начала и конца отрезка.
Формула расчёта координаты середины отрезка в пространстве
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
xc=(xa+xb)/2
yc=(ya+yb)/2
zc=(za+zb)/2
A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb) — координаты концов отрезка
C(xc, yc, zc) — координаты середины отрезка
Разберём пример
Найдите координаты середины отрезка AC заданного точками A(4,5,7), C(10,11,5)
По формуле найдём координаты середины отрезка
x=(4+10)/2=7
y=(5+11)/2=8
z=(7+5)/2=6
Найдите координаты точки C середины отрезка AB заданного точками A(3,4,5), B(9,10,11)
xc=(3+9)/2=6
yc=(4+10)/2=7
yc=(5+11)/2=8
Найти координаты середины отрезка AB если A(4, 4, 4), B(2, 6, 3).
Найти координаты середины отрезка AB если A(1, 1, 0), B(2, 5, 2).
Найти координаты середины отрезка AB если A(2, 6, 6), B(0, 3, 2).
Найти координаты середины отрезка AB если A(1, 3, 3), B(3, 4, 4).
Похожие калькуляторы