Как найти координаты точек удаленных от точки

Добрый вечер!

Помогите мне пожалуйста со следующей задачей.
Дано 3 точки с координатами A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)
Нужно найти координаты точки D(x4,y4), которая лежит на прямой AB и удалена от точки С на 10.

Длинну отрезка мы можем выразить через координаты:
(x3-x4)^2 + (y3-y4)^2 = 100

Уравнение прямой — Ax4 + By4 + C = 0

Пытался подставить одно выражение в другое:

(x3-x4)^2 = 100 — (y3-y4)^2
x3-x4 = sqrt(100 — (y3-y4)^2)
x4 = x3 — sqrt(100 — (y3-y4)^2)

A(x3 — sqrt(100 — (y3-y4)^2)) + By4 + C = 0

А дальше не получается извлечь y4 из этого выражения.
Помогите пожалуйста.

Прикреплённая картинка

AD x AB = 0 //косое (векторное) произведение нулевое, если данные векторы параллельны, т.е. D лежит на AB
в координатах:
(x4-x1)*(y2-y1) — (y4-y1)*(x2-x1)=0
(x3-x4)^2 + (y3-y4)^2 = 100 //это твое уравнение для расстояния

получается система из двух уравнений первого и второго порядка с двумя неизвестными, имеет от нуля до двух решений.
Нужно раскрыть скобки (корней не извлекая!) и решить (выразить x4 из первого, подставить во второе, решить полученное квадратное уравнение относительно y4). Развесистые выражения получатся, конечно.
Вот что онлайн-Matematica выдаёт:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve…3D100+for+x%2Cy

Сообщение отредактировано: MBo — 07.01.13, 05:57

Можно решить геометрически без «развесистых» выражений:
//1) вычисляем вспом.параметры отрезка AB
L = sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2); //длина AB
SinAB = (y2-y1)/L; //sin угла наклона AB
CosAB = (x2-x1)/L; //cos угла наклона AB

//2) находим координаты т.C в системе координат луча AB (центр в т.А, ось абцисс — по лучу AB)
u = SinAB*(y3-y1)+CosAB*(x3-x1); //вдоль AB (от А до проекции С на AB)
v = SinAB*(x3-x1)-CosAB*(y3-y1); //поперек AB (по перпендикуляру от C к AB)

//3) находим координаты искомой точки D на расстоянии 10 от С
if abs(v) <= 10 then //если расстояние от С до AB не более заданного
{
uCD = sqrt(10^2-v^2); //длина проекции отрезка CD на AB
x4 = x1 + (u ± uCD)*CosAB; //при uCD=0 одно решение, иначе — два
y4 = y1 + (u ± uCD)*SinAB;
}
else
… //решений нет

Сообщение отредактировано: leo — 09.01.13, 16:35