Как найти координаты точки авс - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Как найти координаты точки

Поддержать сайт

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на
первом месте стоит
абсцисса, а на
втором —
ордината точки.

Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):

находить координаты точки;
найти положение точки.

Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки
перпендикуляры на оси координат.

Точка пересечения с осью «x» называется абсциссой точки «А»,
а с осью y называется ординатой точки «А».

Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3).

Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2).

Запомните!

На первом месте записывают абсциссу (координату по оси «x»), а на втором —
ординату (координату по оси «y») точки.

Особые случаи расположения точек

Если точка лежит на оси «Oy»,
то её абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2).
Если точка лежит на оси «Ox», то её ордината равна 0.
Например,
точка F (3, 0).
Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0).
Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0).
Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y).

Как найти положение точки по её координатам

Найти точку в системе координат можно двумя способами.

Первый способ

Чтобы определить положение точки по её координатам,
например, точки D (−4 , 2), надо:

Отметить на оси «Ox», точку с координатой
«−4», и провести через неё прямую перпендикулярную оси «Ox».
Отметить на оси «Oy»,
точку с координатой 2, и провести через неё прямую перпендикулярную
оси «Oy».
Точка пересечения перпендикуляров (·) D — искомая точка.
У неё абсцисса равна «−4», а ордината равна 2.

Второй способ

Чтобы найти точку D (−4 , 2) надо:

Сместиться по оси «x» влево на
4 единицы, так как у нас
перед 4
стоит «−».
Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так
как у нас перед 2 стоит «+».

Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на
листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать
готовую систему координат на нашем сайте.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Источник

Три попарно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей измерения образуют систему координат в пространстве. Точка пересечения всех прямых является началом системы координат.

Оси координат (Ox), (Oy) и (Oz) называются соответственно: (Ox) — ось абсцисс, (Oy) — ось ординат, (Oz) — ось аппликат.

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Получаем три координатные плоскости: ((Oxy)), ((Oyz)) и ((Oxz)).

Положение точки (A) в пространстве определяется тремя координатами: (x), (y) и (z).

Координата (x) называется абсциссой точки (A), координата (y) — ординатой точки (A), координата (z) — аппликатой точки (A).

Записываются так: (A(x; y; z)).

Если точка находится на оси (Ox), то её координаты (X(x; 0; 0)).

Если точка находится на оси (Oy), то её координаты (Y(0; y; 0)).

Если точка находится на оси (Oz), то её координаты (Z(0; 0; z)).

Если точка находится в плоскости (Oxy), то её координаты

A1x;y;0

Если точка находится в плоскости (Oyz), то её координаты

A20;y;z

Если точка находится в плоскости (Oxz), то её координаты

A3x;0;z

Если в системе координат от начальной точки отложить единичные векторы

i→

j→

k→

, то можно определить прямоугольный базис. Любой вектор можно разложить по единичным векторам и представить в виде

OA→=x⋅i→+y⋅j→+z⋅k→

Коэффициенты (x), (y) и (z) определяются одним-единственным образом и называются координатами вектора.

Записываются так:

OA→x;y;z

Рассмотрим правила о том, как с помощью координат записать:

— координаты суммы векторов, если даны координаты векторов:

a→x1;y1;z1

b→x2;y2;z2

a→+b→x1+x2;y1+y2;z1+z2

;

— координаты разности векторов, если даны координаты векторов:

a→−b→x1−x2;y1−y2;z1−z2

;

— координаты произведения вектора на число, если даны координаты вектора:

— длину вектора:

— координаты вектора, если даны координаты начальной и конечной точек вектора:

AxA;yA;zA

BxB;yB;zB

AB→xB−xA;yB−yA;zB−zA

;

— расстояние между двумя точками, если даны координаты точек:

AB→=AB=xB−xA2+yB−yA2+zB−zA2

;

— координаты серединной точки отрезка, если даны координаты начальной и конечной точек отрезка:

xC=xA+xB2;yC=yA+yB2;zC=zA+zB2

Источник

Марина Николаевна Ковальчук

Эксперт по предмету «Геометрия»

Задать вопрос автору статьи

Прямоугольная система координат

Чтобы определить понятие координат точек, нам необходимо ввести систему координат, в которой мы и будем определять ее координаты. Одна и та же точка в разных системах координат может иметь различные координаты. Здесь мы будем рассматривать прямоугольную систему координат в пространстве.

Возьмем в пространстве точку $O$ и введем для нее координаты $(0,0,0)$. Назовем ее началом системы координат. Проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$, как на рисунке 1. Эти оси будут называться осями абсцисс, ординат и аппликат, соответственно. Осталось только ввести масштаб на осях (единичный отрезок) – прямоугольная система координат в пространстве готова (рис. 1)

Рисунок 1. Прямоугольная система координат в пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Координаты точки

Теперь разберем, как определяют в такой системе координаты любой точки. Возьмем произвольную точку $M$ (рис. 2).

Рисунок 2. Произвольная точка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Построим на координатных осях прямоугольный параллелепипед, так, что точки $O$ и $M$ противоположные его вершины (рис. 3).

Рисунок 3. Построение прямоугольного параллелепипеда. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

«Координаты точки и координаты вектора. Как найти координаты вектора» 👇

Тогда точка $M$ будет иметь координаты $(X,Y,Z)$, где $X$ – значение на числовой оси $Ox$, $Y$ – значение на числовой оси $Oy$, а $Z$ – значение на числовой оси $Oz$.

Пример 1

Необходимо найти решение следующей задачи: написать координаты вершин параллелепипеда, изображенного на рисунке 4.

Рисунок 4. Параллелепипед. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение.

Точка $O$ начало координат, следовательно, $O=(0,0,0)$.

Точки $Q$, $N$ и $R$ лежат на осях $Ox$, $Oz$ и $Oy$, соответственно, значит

$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1.5)$, $R=(0,2.5,0)$

Точки $S$, $L$ и $M$ лежат в плоскостях $Oxz$, $Oxy$ и $Oyz$, соответственно, значит

$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$

Точка $P$ имеет координаты $P=(2,2.5,1.5)$

Координаты вектора по двум точкам и формула нахождения

Чтобы узнать, как найти вектор по координатам двух точек, необходимо рассмотреть введенную нами ранее систему координат. В ней от точки $O$ по направлению оси $Ox$ отложим единичный вектор $overline{i}$, по направлению оси $Oy$ — единичный вектор $overline{j}$, а единичный вектор $overline{k}$ нужно направлять по оси $Oz$.

Для того чтобы ввести понятие координат вектора, введем следующую теорему (здесь ее доказательство мы рассматривать не будем).

Теорема 1

Произвольный вектор в пространстве может быть разложен по трем любым векторам, которые не лежат в одной плоскости, причем коэффициенты в таком разложении будут единственным образом определены.

Математически это выглядит следующим образом:

$overline{δ}=moverline{α}+noverline{β}+loverline{γ}$

Так как векторы $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ построены на координатных осях прямоугольной системы координат, то они, очевидно, не будут принадлежать одной плоскости. Значит любой вектор $overline{δ}$ в этой системе координат, по теореме 1, может принимать следующий вид

$overline{δ}=moverline{i}+noverline{j}+loverline{k}$ (1)

где $n,m,l∈R$.

Определение 1

Три вектора $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ будут называться координатными векторами.

Определение 2

Коэффициенты перед векторами $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ в разложении (1) будут называться координатами этого вектора в заданной нами системе координат, то есть

$overline{δ}=(m,n,l)$

Линейные операции над векторами

Теорема 2

Теорема о сумме: Координаты суммы любого числа векторов определяются суммой их соответствующих координат.

Доказательство.

Будем доказывать эту теорему для 2-х векторов. Для 3-х и более векторов доказательство строится аналогичным образом. Пусть $overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, $overline{β}=(β_1,β_2 ,β_3)$.

Эти вектора можно записать следующим образом

$overline{α}=α_1overline{i}+ α_2overline{j}+α_3overline{k}$, $overline{β}=β_1overline{i}+ β_2overline{j}+β_3overline{k}$

$overline{α}+overline{β}=α_1overline{i}+α_2overline{j}+α_3overline{k}+β_1overline{i}+ β_2overline{j}+β_3overline{k}=(α_1+β_1 )overline{i}+(α_2+β_2 )overline{j}+(α_3+β_3)overline{k}$

Следовательно

$overline{α}+overline{β}=(α_1+β_1,α_2+β_2,α_3+β_3)$

Теорема доказана.

Замечание 1

Замечание: Аналогично, находится решение разности нескольких векторов.

Теорема 3

Теорема о произведении на число: Координаты произведения произвольного вектора на действительное число определяется произведением координат на это число.

Доказательство.

Возьмем $overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, тогда $overline{α}=α_1overline{i}+α_2overline{j}+α_3overline{k}$, а

$loverline{α}=l(α_1overline{i}+ α_2overline{j}+α_3overline{k})=lα_1overline{i}+ lα_2overline{j}+lα_3overline{k}$

Значит

$koverline{α}=(lα_1,lα_2,lα_3)$

Теорема доказана.

Пример 2

Пусть $overline{α}=(3,0,4)$, $overline{β}=(2,-1,1)$. Найти $overline{α}+overline{β}$, $overline{α}-overline{β}$ и $3overline{α}$.

Решение.

$overline{α}+overline{β}=(3+2,0+(-1),4+1)=(5,-1,5)$

$overline{α}-overline{β}=(3-2,0-(-1),4-1)=(1,1,3)$

$3overline{α}=(3cdot 3,3cdot 0,3cdot 4)=(9,0,12)$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про координаты точки, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое
координаты точки , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика.

каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на первомместе стоит абсцисса,
а на втором — ордината точки.

Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):

находить координаты точки;
найти положение точки.

Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки перпендикуляры на оси координат.

Точка пересечения с осью x называется абсциссой точки А, а с осью y называется ординатой точки А.

Обозначают координаты точки, как указано выше (•) A (2; 3).

Пример (•) A (2; 3) и (•) B (3; 2).

На первом месте записывают абсциссу (координату по оси x), а на втором — ординату (координату по оси y) точки.

Особые случаи расположения точек

Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0 . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Например, точка С (0, 2).
Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например, точка F (3, 0).
Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0).
Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0).
Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y).

Как найти положение точки по ее координатам

Найти точку в системе координат можно двумя способами.

Первый способ

Чтобы определить положение точки по ее координатам, например, точки D (-4 , 2), надо:

Отметить на оси Ox, точку с координатой (-4), и провести через нее прямую перпендикулярную оси 0x.
Отметить на оси Oy, точку с координатой (2), и провести через нее прямую перпендикулярную оси 0y.
Точка пересечения перпендикуляров (•) D — искомая точка. У нее абсцисса равна (-4), а ордината равна (2).

Второй способ

Чтобы найти точку D (-4 , 2) надо:

Сместиться по оси x влево на 4 единицы, так как у нас перед 4 стоит «-».
Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит «+».

Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать готовую систему координат на нашем сайте.

Как ты считаеешь, будет ли теория про координаты точки улучшена в обозримом будующем? Надеюсь, что теперь ты понял что такое координаты точки
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Арифметика

Из статьи мы узнали кратко, но емко про координаты точки

Источник

Раздел V.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

И В ПРОСТРАНСТВЕ

В раздел включены
задачи, которые рассматриваются в теме
«Аналитическая геометрия на плоскости
и в пространстве»: составление различных
уравнений прямых на плоскости и в
пространстве; определение взаимного
расположения прямых на плоскости,
прямых, прямой и плоскости, плоскостей
в пространстве; изображение кривых
второго порядка. Необходимо отметить,
что в данном разделе представлены задачи
экономического содержания, при решении
которых применяются сведения из
аналитической геометрии на плоскости.

При решении задач
аналитической геометрии целесообразно
воспользоваться учебными пособиями
следующих авторов: Д.В. Клетеника, Н. Ш.
Кремера, Д.Т. Письменного В.И. Малыхина,
т.к. в данной литературе рассматривается
более широкий круг задач, которые можно
использовать для самостоятельной
подготовки по данной теме. Применение
аналитической геометрии к решению
экономических задач изложено в учебных
изданиях М.С. Красса и В.И. Ермакова.

Задача 5.1. Даны
координаты вершин треугольника АВС.
Необходимо

а) написать
уравнения сторон треугольника;

б) написать
уравнение высоты треугольника проведенной
из вершины С
к стороне АВ
и найти ее длину;

в) написать
уравнение медианы треугольника,
проведенной из вершины В
к стороне АС;

г) найти углы
треугольника и установить его вид
(прямоугольный, остроугольный,
тупоугольный);

д) найти длины
сторон треугольника и определить его
тип (разносторонний, равнобедренный,
равносторонний);

е) найти координаты
центра тяжести (точка пересечения
медиан) треугольника АВС;

ж) найти координаты
ортоцентра (точка пересечения высот)
треугольника АВС.

К каждому из
пунктов а) – в) решения сделать рисунки
в системе координат. На рисунках
обозначить соответствующие пунктам
задачи линии и точки.

Данные к условию
задачи, соответствующие вариантам:

1)
;

2)
;

3)
;

7)
;

;

9)
;

10)
;

11)
;

12)
;

13)
;

14)
;

15)
;

16)
;

17)
;

18)

;

4)
;

5)
;

6)
;

19)
;

20)
;

21)
;

22)
;

23)
;

24)
;

25)
;

26)
;

27)
;

28)
;

29)
;

30).

Пример 5.1

Даны координаты
вершин треугольника АВС:

.
Необходимо а) написать уравнения сторон
треугольника; б) написать уравнение
высоты треугольника проведенной из
вершины С
к стороне АВ
и найти ее длину; в) написать уравнение
медианы треугольника, проведенной из
вершины В
к стороне АС;
г) найти длины сторон треугольника и
определить его тип (разносторонний,
равнобедренный, равносторонний); д)
найти углы треугольника и установить
его вид (прямоугольный, остроугольный,
тупоугольный); е) найти координаты центра
тяжести (точка пересечения медиан)
треугольника АВС;
ж) найти координаты ортоцентра (точка
пересечения высот) треугольника АВС.

Решение

а)
Для каждой стороны треугольника известны
координаты двух точек, которые лежат
на искомых линиях, значит уравнения
сторон треугольника – уравнения прямых,
проходящих через две заданные точки

(5.1)

где

и

соответствующие координаты точек.

Таким образом,
подставляя в формулу (5.1) координаты
соответствующих прямым точек получаем

,
,
,

откуда после
преобразований записываем уравнения
сторон

На рис. 7 изобразим
соответствующие сторонам треугольника

прямые.

Ответ:

,
,
.

Рис. 7

б)
Пусть

– высота, проведенная из вершины

к стороне
.
Поскольку

проходит через точку

перпендикулярно вектору
,
то составим уравнение прямой по следующей
формуле

(5.2)

где

– координаты вектора перпендикулярного
искомой прямой,

– координаты точки, принадлежащей этой
прямой. Найдем координаты вектора,
перпендикулярного прямой
,
и подставим в формулу (5.2)

,
,

Найдем длину высоты
CH
как расстояние от точки

до прямой

(5.3)

где

– уравнение прямой
,

– координаты точки
.

В предыдущем пункте
было найдено

Подставив данные
в формулу (5.3), получим

На рис. 8 изобразим
треугольник и найденную высоту СН.

Ответ:

.

Рис.
8

в)
медиана

треугольника

делит сторону

на две равные части, т.е. точка

является серединой отрезка
.
Исходя из этого, можно найти координаты

точки

,
,

(5.4)

где

и

– координаты соответственно точек

и
,
подставив которые в формулы (5.4), получим

;
.

Уравнение медианы

треугольника

составим как уравнение прямой, проходящей
через точки

и

по формуле (5.1)

Ответ:

(рис. 9).

Рис.
9

г)
Длины сторон треугольника найдем как
длины соответствующих векторов, т.е.

,
,
.

Стороны

и

треугольника

равны, значит, треугольник является
равнобедренным с основанием
.

Ответ:
треугольник

равнобедренный с основанием
;

,
.

д)
Углы треугольника

найдем как углы между векторами,
исходящими из соответствующих вершин
данного треугольника, т.е.

,
,
.

Поскольку треугольник
равнобедренный с основанием
,
то

Углы между векторами
вычислим по формуле (4.4), для которой
потребуются скалярные произведения
векторов
,
.

Найдем координаты
и модули векторов, необходимых для
вычисления углов

,
;

,
,
.

Подставляя
найденные данные в формулу (4.4), получим

Поскольку значения
косинусов всех найденных углов
положительны, то треугольник

является остроугольным.

Ответ:
треугольник

остроугольный;

,
,
.

е)
Пусть

– центр тяжести треугольника
,
тогда координаты

точки

можно найти, по формулам (5.5)

,
,

(5.5)

где
,

и

– координаты соответственно точек
,

и
,
следовательно,

,
.

Ответ:

– центр тяжести треугольника
.

ж) Пусть

– ортоцентр треугольника
.
Найдем координаты точки

как координаты точки пересечения высот
треугольника. Уравнение высоты

было найдено в пункте б).
Найдем уравнение высоты
:

,
,

Поскольку
,
то решение системы

является координатами
точки
,
откуда находим
.

Ответ:

– ортоцентр треугольника
.

Задача 5.2.
Фиксированные издержки на предприятии
при выпуске некоторой продукции
составляют F
руб. в месяц, переменные издержки – V₀
руб. за
единицу продукции, при этом выручка
составляет R₀
руб. за единицу изготовленной продукции.
Составить функцию прибыли P(q)
(q
– количество произведенной продукции);
построить ее график и определить точку
безубыточности.

Данные к условию
задачи, соответствующие вариантам:

1)
;

2)
;

3)
;

4)
;

5)
;

6)
;

7)
;

;

9)
;

10)
;

11)
;

12)
;

13)
;

14)
;

15)
;

16)
;

17)
;

18)
;

19)
;

20)
;

21)
;

22)
;

23)
;

24)
;

25)
;

26)
;

27)
;

28)
;

29)
;

30)
.

Пример 5.2

Фиксированные
издержки на предприятии при выпуске
некоторой продукции составляют

руб. в месяц, переменные издержки –

руб. за единицу
продукции, при этом выручка составляет

руб. за единицу
изготовленной продукции. Составить
функцию прибыли P(q)
(q
– количество произведенной продукции);
построить ее график и определить точку
безубыточности.

Решение

Вычислим совокупные
издержки на производстве при выпуске
q
единиц некоторой продукции

Если будет продано
q
единиц продукции, то совокупный доход
составит

Исходя из полученных
функций совокупного дохода и совокупных
издержек, найдем функцию прибыли

Точка
безубыточности – точка, в которой
прибыль равна нулю, или точка, в которой
совокупные издержки равны совокупному
доходу

откуда находим

– точка безубыточности.

Для построения
графика (рис. 10) функции прибыли найдем
еще одну точку

Рис. 10

Ответ:
функция прибыли
,
точка безубыточности
.

Задача 5.3. Законы
спроса и предложения на некоторый товар
соответственно определяются уравнениями
p=p_D(q),
p=p_S(q),
где p
– цена на товар, q
– количество товара. Предполагается,
что спрос определяется только ценой
товара на рынке p_С,
а предложение – только ценой p_S,
получаемой поставщиками. Необходимо