Как найти координаты точки математика 6 класс

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Как найти координаты точки

Поддержать сайт

Математика

6 класс

Урок № 79

Декартова система координат на плоскости

Перечень рассматриваемых вопросов:

• прямоугольная система координат;
• координатная плоскость;
• координатная ось, координата точки;
• изображение точек с действительными координатами на плоскости.

Тезаурус

Координатная плоскость. Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Координатные оси пересекаются в точке, являющейся началом отсчёта для каждой из них.

Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.

Оси координат разделяют плоскость на 4 угла, которые называются координатными четвертями.

Координаты точки М (х; у), где х – абсцисса, у – ордината точки.

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Единичные отрезки осей возьмём равными друг другу.

Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.

Положительное направление на осях указывается стрелкой.

Точку пересечения осей называют началом координат.

Оси взаимно перпендикулярны, поэтому заданную таким образом систему координат называют прямоугольной.

Оси координат разделяют плоскость на 4 угла – координатные четверти. Обозначают римскими цифрами как показано на рисунке.

Одним из первых, кто начал широко использовать прямоугольную систему координат в своих исследованиях, был французский философ и математик Рене Декарт, поэтому её часто называют декартовой системой координат.

Пусть A – произвольная точка координатной плоскости. Проведём через точку A прямые, параллельные осям координат. Прямая, параллельная оси y, пересечёт ось x в точке A₁, а прямая, параллельная оси x, пересечёт ось y в точке A₂. Координату точки A₁ на оси x называют абсциссой точки A. Координату точки A₂ на оси y называют ординатой точки A. Абсциссу x и ординату y точки A называют координатами точки A.

Координаты точки, записывают в круглых скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: М (х; у).

Важно!

х – первая координата

у – вторая координата

Поменять местами х и у нельзя – получится другая точка.

Поэтому пару координат (x; y) точки A называют упорядоченной парой чисел.

Если на плоскости задана прямоугольная система координат хOу, то:

– каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (координаты точки);

– разным точкам плоскости соответствуют разные упорядоченные пары чисел;

– каждая упорядоченная пара чисел соответствует одной точке плоскости.

То есть установлено взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.

Алгоритм построения точки на координатной плоскости

Построим точку А(3; 6).

Введём прямоугольную систему координат.

На каждой оси откладываем заданные координаты х и у (x > 0 и y > 0, значит, точка A расположена в I координатной четверти).

Проводим перпендикуляры к оси х и оси у.

Точка их пересечения – искомая точка.

В(– 4; 5) – имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату, значит, расположена во II четверти.

С(– 8; – 4) – имеет обе отрицательные координаты, значит, расположена в III четверти.

D(9; – 2) – имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату, значит, расположена в IV четверти.

F(6; 0), E(– 5; 0) – точки лежат на оси абсцисс.

H(0; – 5) – точка лежит на оси ординат.

O(0; 0) – начальная точка системы координат.

В географии положение объектов на земной поверхности определяется двумя координатами: широтой и долготой.

В концертном зале своё кресло можно найти по номеру ряда и места.

В шахматах каждой клетке соответствует буква столбца и цифра ряда.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Построить прямую АВ, если А(3; 2), В(– 3; – 4).

Найти:

1) координаты точек пересечения прямой AB с осями;

2) координаты середины отрезка AB.

Шаг 1. Строим точки А и В по их координатам.

Шаг 2. Проводим прямую АВ.

Шаг 3. Находим точки пересечения с осями координат, обозначаем их буквами M и N. Определяем их координаты:

М (1; 0), N (0; – 1).

Шаг 4. Находим по графику середину отрезка АВ, это точка N (0; – 1).

Ответ: координаты точек пересечения прямой AB с осями: М (1; 0), N (0; – 1), координаты середины отрезка AB: N (0; – 1).

Тип 2. Нарисуйте фигуру, последовательно соединяя точки

(0; 4), (– 2; – 2), (3; 2), (– 3; 2), (2; – 4), (0; 4).

Введение

Вот такие отметки на дороге (рис. 1) выполняют сразу три функции.

Рис. 1. Отметки на дороге

• Измерение расстояний. Мы знаем, на сколько мы удалились от города. Или от другой подобной отметки.
• Адрес, имя. Мы знаем, где находимся. По телефону легко передать числовой адрес нашего места.
• Направление. Глядя на эти отметки, легко понять, в какой стороне находится город – начало отсчета.

Где ещё числа помогают нам ориентироваться? В кинотеатре. В зрительном зале все ряды и все кресла пронумерованы. И на нашем билете написаны номер ряда и номер места. С помощью двух этих чисел мы легко находим свое место (рис. 2).

Рис. 2. Место в кинотеатре

Раньше дома не имели номеров. Вы приезжаете в город и ищете дом купца Елисеева. Когда людей и домов не очень много, то это не очень трудно. Особенно, если вы ищете дом известного человека (рис. 3).

Рис. 3. Дом без номера

Но в современном городе с сотнями тысяч и миллионами жителей ориентироваться нам помогает нумерация домов (рис. 4).

Рис. 4. Нумерация домов

Но вернемся к дороге. Представьте, что вы вдруг оказались на дороге перед отметкой  (рис. 5).

Рис. 5. Отметка

Понятно ли, где вы находитесь? Пока нет. Нужно знать еще вот что:

• В каких единицах это измерено: может, это километры, может, версты, а может, мы в Англии и это мили.
• Точка отсчета. А в какой стороне начало, город от которого отсчитывается? В какую сторону увеличиваются эти отметки?

Когда нам будут известны эти две вещи, то мы точно будем знать, где находимся.

Координатная (числовая) прямая

Моделью дороги в математике является прямая.

Две идеи (присвоить точкам имена и измерять расстояния) объединяются в одну – координатная (или числовая) прямая. Можно имена присваивать буквенные. Там даже функцию порядка можно сохранить – за  идет , за  идет  и т.д. Но с измерением расстояний тут не понятно, как поступить. Поэтому удобнее присвоить точкам на прямой числовые имена.

Для этого требуется три действия.

• Отмечаем точку, относительно которой все будет считаться, начало отсчета. Самое разумное – поставить там отметку ноль, ведь если мы находимся в этой точке, то расстояние до начала отсчета равно нулю (рис. 6).

Рис. 6. Начало отсчета

• Выбираем единицы, в которых будем измерять. Для этого нужно указать длину отрезка, которую мы будем считать единичной (рис. 7).

Рис. 7. Единичный отрезок

• Выбираем направления, куда будут увеличиваться отметки. Отметим его стрелкой. Координатная прямая готова (рис. 8).

Рис. 8. Координатная прямая

Теперь каждой точке соответствует число, адрес этой точки. Это число называют координатой.

Модель дороги

Когда мы говорим «модель дороги в математике – прямая», может возникнуть резонный вопрос: но дорога далеко не всегда бывает прямой, она может быть какой угодно формы (рис. 9).

Рис. 9. Извилистая дорога

Уточним: мы говорим о модели дороги в том случае, если речь идёт не об удобстве, а только о расстоянии и порядке.

Если мы можем двигаться исключительно по дороге (не можем срезать и т.п.), то нам неважно, какой формы дорога: за столбом с номером  будет идти столб с номером  и т.д. Таким образом, для описания движения автомобиля, например, дорогу можно «выпрямить» и рассматривать модель – прямую

Координатная плоскость

В жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда упорядочивания по одному параметру недостаточно.

Например, в кинотеатре места занумерованы не от  до нескольких тысяч (что значительно усложнило бы поиск места зрителем), а обозначены номером ряда и номером места в этом ряду. Таким образом, каждому месту мы ставим в соответствие две координаты (а не одну) – ряд и место (рис. 10).

Рис. 10. Ряд и место

В этом случае нам уже не будет хватать координатной прямой, понадобится координатная плоскость.

Посмотреть урок про координатную плоскость можно по ссылке: Координатная плоскость. 

Определение координат точки

Давайте потренируемся определять эти координаты для разных точек.

Определим координату точки  (рис. 11).

Рис. 11. Точка

Для этого измерим, сколько раз единичный отрезок уложится от начала отсчета  до точки .  раза. Точке  соответствует число . Или точка  имеет координату  (рис. 12).

Рис. 12. Координата точки

Иногда координату записывают в скобках после названия точки (рис. 13).

Рис. 13. Запись координаты

Определим координату точки  (рис. 14).

Рис. 14. Точка

Единичный отрезок поместился  раз. Координата  (рис. 15).

Рис. 15. Координата точки

Можно поступить наоборот: найти точку по ее координате. Точка  имеет координату . Тогда от нуля нужно отложить  целых единичных отрезков и  (рис. 16).

Рис. 16. Расположение точки

Пусть теперь точка левее начала отсчета. Точка . Отрезок укладывается  раза. Но координата  уже занята для точки  справа (рис. 17).

Рис. 17. Расположение точки

Да и все остальные положительные числа уже использованы для координат тех точек, что находятся справа от нуля.

Но у нас остались еще отрицательные числа. Их и будем использовать для таких точек. То есть точка  имеет координату .

Две координаты, отличающиеся только знаками (то есть противоположные числа), соответствуют точкам, симметричным относительно начала координат. Например,  и соответствуют двум симметричным точкам  и  (рис. 18).

Рис. 18. Симметричные точки

Названия числовых прямых

Если числовых прямых две или больше, то, чтобы отличать одну от другой, их обозначают буквами, , ,  и т.д. Например, в прямоугольной системе координат на плоскости две оси. Их обозначают обычно  и . В нашем случае, хоть прямая и одна, ее все равно обычно обозначают буквой . Кроме того, чтобы не откладывать каждый раз единичные отрезки до нужной точки, на прямой часто сразу ставят несколько отметок, соответствующих целым числам.

Определение

Итак, координатная прямая (числовая прямая) – это прямая, на которой выбраны начало отсчета, направление, масштаб (единичный отрезок).

Каждой точке соответствует число, которое называют координатой. Координата является адресом точки. По этой координате можно точно найти, где находится точка, как дом по адресу. И, наоборот, по точке можно однозначно сказать, какая у нее координата (рис. 19).

Рис. 19. Координатная прямая

Использование координатной прямой

Итак, когда же мы используем координатную прямую? Представьте, что вам по телефону нужно объяснить, где находятся эти точки на прямой (рис. 20).

Рис. 20. Точки на прямой

Мы можем взять линейку, измерить все расстояния между точками и передать по телефону.

А теперь, пусть это числовая прямая. Теперь у каждой точки есть координата, ее можно продиктовать по телефону, а на том конце ваш собеседник по этим координатам может точно так же расставить точки (рис. 21).

Рис. 21. Точки на координатной прямой

Сравнение чисел и арифметические операции с помощью числовой прямой

Итак, у нас каждой точке соответствует число и наоборот. Но соответствие распространяется и дальше – на сравнение чисел и на арифметические операции.

То, что , означает, что точка с большой координатой находится правее (рис. 22).

Рис. 22. Сравнение координат

Прибавить к числу  положительное число  на прямой будет означать, что от исходной точки с координатой  отступить вправо на  единичных отрезка. Придем в точку  (рис. 23).

Рис. 23. Сложение положительных чисел

Прибавить отрицательное число (вычесть положительное) означает сдвиг влево (рис. 24).

Рис. 24. Вычитание

Свойство противоположных чисел: их сумма равна нулю. Двум противоположным числам соответствуют симметричные относительно нуля точки. Например,  и . Можно к  прибавить , то есть сдвинуться на  единиц вправо, придем в точку ноль. Или, наоборот, от точки  можно сдвинуться на  единиц влево (прибавить отрицательное число  или вычесть ) (рис. 25).

Рис. 25. Свойство противоположных чисел

Задача

Замена в задаче чисел точками, а сложения – сдвигом может облегчить решение. Чему равна сумма бесконечного числа слагаемых: ?

Решение

Изобразим точку  на прямой. Она находится посредине между  и  (рис. 26).

Рис. 26. Расположение точки

Добавить одну четвертую – значит найти точку, сдвинутую на  единичного отрезка вправо, то есть на половину оставшегося до единицы (рис. 27).

Рис. 27. Добавили

Добавим к нему , то есть еще движемся вправо на , половину оставшегося отрезка (рис. 28).

Рис. 28. Добавили

Этот процесс будет продолжаться до бесконечности, но новая точка всегда будет левее единицы, но все ближе и ближе к ней.

То есть сумма становится всё ближе к единице, но не превосходит ее. Поэтому такую бесконечную сумму считают равной единице: .

Заключение

Мы выяснили, что числовая прямая устанавливает соответствие между точками и числами. Такое взаимно-однозначное соответствие позволяет заменить работу с точками на работу с числами или наоборот. Переход от одних объектов к другим часто позволяет упростить задачу, облегчить понимание.

1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. М.: ИОЦ «Мнемозина», 2014.
2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. Ч. 2. М. «Просвещение», 2010.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математика. Учебник для 6 класса. М.: ИОЦ «Мнемозина», 2013.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Math-prosto.ru (Источник).
3. School-assistant.ru (Источник).

Домашнее задание

• Укажите координату точки  (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию

Вам
уже известно понятие «координатный луч».

Это
луч. Но на нём в отличие от обычного луча есть начало отсчёта, единичный
отрезок и стрелка, указывающая положительное направление.

Дополним
этот луч до прямой. На новом луче мы тоже можем отложить отрезки, равные
единичному.

Чтобы
различать друг от друга координаты на этих лучах, договорились перед координатами
на одном луче ставить знак «+», а перед
координатами на другом луче знак «-».

Числа
со знаком «+» называются положительными
числами.

Числа
со знаком «-» называются отрицательными
числами.

Нельзя
сказать, что для вас отрицательные числа совсем новые.

Зимой
часто приходится слышать от мамы: «На улице -20 градусов,
одевайся теплее!»

Записывают
такие числа вот так:

Читают:
минус 20; минус 3,5; минус 2
½.

При
записи положительных чисел знак «+» писать
не обязательно.

Поэтому
вместо плюс 5 пишут 5.
То есть +5 и 5
это одно и то же число, только обозначенное по-разному.

Как
же быть с числом 0?

На
прямой, которую мы изобразили, оно отделяет положительные числа от
отрицательных. Отрицательное оно или положительное?

Запомните!
Само число 0 не является не отрицательным, ни положительным числом.

Определение

Теперь
посмотрим на рисунок, который у нас получился:

·                   
прямая;

·                   
на
ней выбрано начало отсчёта;

·                   
единичный
отрезок;

·                   
стрелкой
обозначено положительное направление (то есть луч с положительными
координатами).

Такая
прямая называется координатной прямой.

Число
-2 показывает положение точки М на прямой, число -2
называют координатой точки М.

Точка
С имеет координату 5.

Кстати,
располагаться координатная прямая может не только горизонтально, но и
вертикально.

В
таком случае положительными считают точки выше начала отсчёта, отрицательные
– ниже. На вертикальной координатной прямой точка В
имеет координату -3, точка А координату 2.

Записывают
так:

Теперь
давайте вспомним, где нам уже встречалась такая шкала. Где применяются
положительные и отрицательные числа?

Термометр
за окном может показывать положительную и отрицательную температуру.

Линия
времени на уроках истории похожа на координатную прямую.

На
ней можно отметить время до нашей эры и время нашей эры.

Задание

Найдём
координаты точек. Координата характеризует расстояние от
данной точки до начала координат, выраженное в единичных отрезках.

Посмотрите,
какую запись можно сделать в тетради.

Известно
ли вам,

Задание

Отметить
на координатной прямой точку В с координатой
 и
точку М с координатой .

Итоги

Координатная
прямая – это прямая, на которой выбрано начало отсчёта; единичный отрезок.
Стрелкой обозначено положительное направление.

Числа,
которые мы откладываем левее начала отсчёта, называют отрицательными.

Числа,
которые мы откладываем правее начала отсчёта, называют положительными.

Число
0 не является не отрицательным, ни положительным числом.