Как найти координаты точки пересечения диагоналей квадрата

Уравнение квадрата в декартовой системе координат.

Проанализируем расположение квадрата на координатной плоскости.

В общем случае уравнение квадрата в декартовой (прямоугольной) системе координат принимает вид:

где точка О`(a;b) – точка пересечения диагоналей квадрата;

d – длина диагонали квадрата.

В частном случае, когда точка О(0;0) — начала координат, является одновременно и точкой пересечения диагоналей квадрата, уравнение квадрата принимает вид:

где d– длина диагонали квадрата.

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Свойства квадрата

• Длины всех сторон квадрата равны.
• Все углы квадрата прямые.
• Диагонали квадрата равны.
• Диагонали пересекаются под прямым углом.
• Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

.

(1)

Из равенства (1) найдем d:

.

(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Ответ:

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Ответ:

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

(5)

Из формулы (5) найдем R:

(6)

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

.

(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

.

(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

(9)

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Из (13) следует, что

(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

Задача 31272 Известна точка пересечения диагоналей.

Условие

Известна точка пересечения диагоналей квадрата К( 1,5; 2,5) и уравнение одной из его сторон х-4у = 0. Найти координаты вершин квадрата и составить уравнения его диагоналей.

Все решения

Уравнение стороны запишем в виде
y=(1/4)x
k=1/4
tg α =1/4

Уравнение диагонали в общем виде:
y=k_(1)x+b

(Диагонали квадрата являются биссектрисами прямых углов квадрата, значит угол между стороной и диагональю квадрата равен 45^(o))

Так как
tg( β — α )=(tg β -tg α )/(1+tg β *tg α )
и

y=(5/3)x+b — уравнение диагонали

Подставим координаты точки К

Диагонали взаимно перпендикулярны.
Значит уравнение второй диагонали
y=(-3/5)x+b
Подставим координаты точки К
2,5=(-3/5)*1,5+b
b=3,4

Координаты одной вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у=0 и диагонали у=(5/3)х
<х-4у=0
<у=(5/3)х

Координаты второй вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у+24=0 и диагонали у=(-3/5)х+3,4
<х-4у=0 ⇒ y=(1/4)x
<у=(-3/5)х+3,4

Координаты двух других точек можно найти из симметрии.

Задача 31255 Известна точка пересечения диагоналей.

Условие

Известна точка пересечения диагоналей квадрата K(2,5; 4,5)
и уравнение одной из его сторон
x -4y + 24 = 0
. Найти
координаты вершин квадрата и составить уравнения его
диагоналей.

Все решения

Уравнение стороны запишем в виде
y=(1/4)x+6
k=1/4
tg α =1/4
Тогда
уравнение диагонали:
y=k_(1)x+b
tg β =k_(1)

tg( β — α )=(tg β -tg α )/(1+tg β *tg α )

y=(5/3)x+b — уравнение диагонали

Подставим координаты точки К

Диагонали взаимно перпендикулярны.
Значит уравнение второй диагонали
y=(-3/5)x+b
Подставим координаты точки К
4,5=(-3/5)*2,5+b
b=6

Координаты одной вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у+24=0 и диагонали у=(5/3)х+(1/3)
<х-4у+24=0
<у=(5/3)х+(1/3)
x=4
y=7

Координаты второй вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у+24=0 и диагонали у=(-3/5)х+6
<х-4у+24=0
<у=(-3/5)х+6
x=0
y=6

Координаты двух других точек можно найти из симметрии.

Уравнение квадрата в декартовой системе координат.

Проанализируем расположение квадрата на координатной плоскости.

В общем случае уравнение квадрата в декартовой (прямоугольной) системе координат принимает вид:

где точка О`(a;b) – точка пересечения диагоналей квадрата;

d – длина диагонали квадрата.

В частном случае, когда точка О(0;0) — начала координат, является одновременно и точкой пересечения диагоналей квадрата, уравнение квадрата принимает вид:

где d– длина диагонали квадрата.

Раздел 1

Задача. Пусть точка А(1; 3) — вершина квадрата ABCD, а его диагональ BD лежит на прямой х + 2у — 12 = 0. Найти:

а) координаты вершин В, С и D;

b) уравнения сторон АВ, ВС, CD и AD.

Указание. Из школьного курса геометрии известны следующие свойства диагоналей квадрата, которые будут использованы при решении этой задачи.

Диагонали квадрата: 1) взаимно перпендикулярны; 2) делятся точкой своего пересечения — центром квадрата — пополам; 3) равны.

Решение: 1. Найдем уравнение прямой, на которой лежит АС — вторая диагональ квадрата. Вспомним, что уравнение любой невертикальной прямой может быть приведено к виду у = kx + b, где параметр k — угловой коэффициент этой прямой.

В силу свойства диагоналей квадрата угловые коэффициенты =-0,5 и k_BD прямых АС и BD связаны соотношением

Найдем угловой коэффициент k_BD. Для этого выразим у через х из данного уравнения прямой BD: 2у = — х + 12, откуда у =-0,5 х + 6. Итак, k_BD =-0,5. Поэтому из соотношения (1) получим, что k_AC=2.

Теперь уже легко найти уравнение прямой АС. Нам известны координаты ее точки А и угловой коэффициент k_AC. Используем уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

Подставим в это уравнение числовые данные нашей задачи: x_A = 1, у_А = 3, k_AC=2. Получим у — 3 = 2(х — 1) или (после упрощений)

AC: у = 2х + 1.

2. С помощью свойства 2) диагоналей квадрата найдем координаты центра Е квадрата — точки пересечения его диагоналей.

Поскольку точка Е лежит на диагонали АС, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой АС; аналогично рассуждая, получим, что координаты точки Е должны одновременно удовлетворять и уравнению прямой BD. Таким образом, координаты точки Е должны удовлетворять системе из уравнений прямых АС и BD

(первое — уравнение прямой АС, второе — прямой BD).

Далее, вычитая второе уравнение из первого, получим: 0=2,5x-5. Значит х = 2. Подставим найденное значение х в любое из уравнений системы, например, в первое. Найдем, что у = 5.

Итак, мы нашли координаты точки Е, центра квадрата: х_Е = 2, у_Е = 5, т.е. Е(2; 5).

3. Найдем длину отрезка АЕ — половину диагонали квадрата, а затем воспользуемся тем, что и остальные вершины квадрата находятся от его центра E на таком же расстоянии (свойства 2) и 3) диагоналей), т.е. что все вершины квадрата лежат на окружности радиуса АЕ с центром в точке Е

Подставив в правую часть этой формулы числовые значения координат точек А и Е, получим, что

Уравнение окружности радиуса АЕ с центром в точке Е записывается в виде

Подставив в него числовые значения радиуса АЕ и координат центра Е, получим уравнение окружности, проходящей через все вершины квадрата:

Теперь с помощью простого рассуждения находим по очереди координаты всех вершин квадрата.

Точки А и С лежат на пересечении найденной окружности и прямой АС, это общие точки указанных окружности и прямой. Значит, координаты этих точек — решения системы уравнений окружности и прямой:

Координаты вершины А мы знаем, поэтому будем искать вершину С.

Подставим во второе уравнение системы вместо у его выражение 2х + 1 из первого уравнения. Получим:

(х — 2) 2 + (2х + 1 — 5) 2 = 5,

откуда (х — 2) 2 + (2х — 4) 2 = 5, поэтому (х — 2) 2 + 4(х — 2) 2 = 5, т.е. 5(х — 2) 2 = 5, значит (х — 2) 2 = 1. Если квадрат числа равен 1, это число равно либо 1, либо (-1). Поэтому х — 2 = 1 и тогда х = 3, либо х — 2 = -1 и тогда х = 1.

Во втором случае мы получили известную нам абсциссу вершины А (а из первого уравнения системы получим ординату этой вершины), а первый случай дает нам абсциссу вершины С: х_С = 3. Тогда из первого уравнения системы найдем ординату вершины С: у_С = 2×3 + 1 = 7. Итак, найдена вершина С(3; 7).

Аналогично, для нахождения координат вершин В и D надо решить систему, состоящую из уравнений прямой BD и той же окружности:

Выразим из первого уравнения х через у: х = 12 — 2у.и подставим полученное выражение во второе уравнение системы. Получим (аналогично решению предыдущей системы) 4(у — 5) 2 + (у — 5) 2 = 5, откуда либо у — 5 = 1 и тогда у = 6, либо у — 5 = -1 и тогда у = 4.

При у = 6 первое уравнение системы дает х = 12 — 2у = 12 — 12 = 0, а при у= 4 аналогично получаем, что х = 4.

Итак, получены два решения системы, пары (0; 6) и (4; 4). Одно из этих решений — координаты точки В, а второе — точки D. Поскольку обе эти вершины совершенно равноправны, мы можем любую из них обозначить буквой В, тогда вторая будет вершиной D. Вся разница в том, идут ли вершины А, В, С и D в порядке обхода контура квадрата по или против часовой стрелки, что для решения нашей задачи безразлично; просто надо выбрать одно из этих направлений произвольно.

Мы будем считать, что вершины квадрата таковы: B(0; 6); D(4; 4).

4. Нам осталось найти уравнения сторон квадрата. Для этого вспомним уравнение прямой, проходящей через точки М(х_М; у_М) и N(x_N; y_N):

(2)

и подставим в него координаты соответствующих вершин квадрата.

Уравнение прямой АВ получим, если в формуле (2) вместо точек М и N возьмем точки А и В:

.

Подставляя в это уравнение координаты вершин А(1; 3) и В(0; 6), находим:

или y-3=-3(x-1), откуда y=-3x+6.

Аналогично получаем уравнения других сторон. Теперь можно сделать чертеж.

Ответ: а) В(0; 6); С(3; 7); D(4; 4);

BC:

DA:

Замечание. Если иначе выбрать точки B и D (cм. п.3 решения), в ответе надо поменять местами: в п. а) — координаты точек В и D; в п. b) — уравнения прямых АВ и CD, а также уравнения прямых ВС и CD.

Дата добавления: 2014-12-02 ; просмотров: 1393 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Знаете ответ?

Задача 68588 4. Видимые координаты точки пересечения…

Светило науки — 549480 ответов — 388270 раз оказано помощи