Как найти координаты точки пересечения перпендикуляра - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Из всех заданий я только знаю как решается первая задача:

Пусть [math]K[/math] середина стороны [math]AB[/math], тогда координаты [math]K[/math] равно: [math]X_k=frac{2+0}{2},~Y_k=frac{3-3}{2}[/math],
соответственно координаты [math]K(1;0)[/math] вектор [math]AB(-2;-6)[/math]

Уравнение середины перпендикуляра [math]KO colon -2(x-1)-6(y-0)=0[/math] или [math]KO colon х+3у-1=0[/math]

Аналогично со стороной [math]BC[/math]. Координаты [math]L!left(frac{5}{2};-frac{5}{2}right)[/math], а вектор [math]BC(5;1)[/math]

Уравнение середины перпендикуляра [math]LO colon 5!left(x-frac{5}{2}right)-1!left(y+frac{5}{2}right)=0[/math] или [math]LO colon 5x+y+15=0[/math]

Затем составляем систему уравнений: [math]begin{cases}x+3y-1=0,\5x+y+15=0;end{cases}[/math] отсюда [math]begin{cases}x=-23/7,\y=10/7.end{cases}[/math]

Ответ: [math]O!left(-frac{23}{7};frac{10}{7}right)[/math].

Источник

~~Butt-Head~~

Заблокирован

Найти точку пересечения отрезка и перпендикуляра, опущенного на отрезок из точки

23.07.2015, 13:33. Показов 15549. Ответов 30

Метки нет (Все метки)

Привет! Помогите двоишнику, я же тупой батхэд !

Есть отрезок, заданный двумя точками P1 и P2. Есть точка P3. Так вот, нужно найти координаты точки пересечения перпендикуляра, опущенного на заданный отрезок и, собственно этого отрезка, причём, если точка не находится на отрезке — как то просигнализировать …

Нужен рабочий код. Можно использовать С++ 11/14 и Qt, в котором есть

C++

1	static float dotProduct(const QVector2D& v1, const QVector2D& v2);

…

Миниатюры

Programming

Эксперт

94731 / 64177 / 26122

Регистрация: 12.04.2006

Сообщений: 116,782

23.07.2015, 13:33

Ответы с готовыми решениями:

Найти точку пересечения отрезка и перпендикуляра, опущенного на отрезок из точки
Привет! Помогите двоишнику, я бивис!

Есть отрезок, заданный двумя точками P1 и P2. Есть точка…

Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую
Необходимо решить 2 задачи,но я не понимаю каким образом это можно сделать.
1.Дан метрический…

Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую
Доброго времени суток
Прорешиваю практику по экзамена по алгему,попался вопрос,который звучит так…

Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую
написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(-1;0;3) на прямую (х+1)/3 = (у-1)/2=z/1

1471 / 826 / 140

Регистрация: 12.10.2013

Сообщений: 5,456

23.07.2015, 13:53

Сообщение было отмечено Butt-Head как решение

Решение

Хлебнете вы от аналитической геометрии…
Может тут?
Подобие math.h для геометрии
Где-то на форуме была точно помню…
Гуглить вроде “ перпендикуляр на прямую, Координаты перпендикуляра на прямую”?.

Добавлено через 6 минут
Вот ответ.
Перпендикуляр из точки на прямую

~~Butt-Head~~

Заблокирован

23.07.2015, 14:05

[ТС]

Сообщение от Excalibur921

Подобие math.h для геометрии

Не… буст в топку

Сообщение от Excalibur921

Гуглить вроде “ перпендикуляр на прямую, Координаты перпендикуляра на прямую”?.

Да гуглил… Найти расстояние (длину этого перпендикуляра) от этой точки до отрезка — нет проблем, а вот координаты — хз как находить.

Мне собственно нужны даже не совсем координаты, а просто смещение от точки P1 до точки P4, то есть расстояние от начальной точки отрезка, до точки пересечения. Конечно же, зная координаты, я это расстояние найду. Но вроде бы как то можно скалярным произведением всё решить …. Помогите, dotProduct использовать можно !

Добавлено через 6 минут
То есть фактический ответом на мой вопрос будет это: (верно? Excalibur921 ? )

C++

//Прямая задана двумя точками (x1,y1) (x2,y2). Есть третья точка (x3,y3). Из точки нужно опустить перпендикуляр и найти координаты его основания на прямой (x4,y4)
float x1, x2, x3, x4;
float y1, y2, y3, y4;
//...
x4=((x2-x1)*(y2-y1)*(y3-y1)+x1*pow(y2-y1, 2)+x3*pow(x2-x1, 2))/(pow(y2-y1, 2)+pow(x2-x1, 2));
y4=(y2-y1)*(x4-x1)/(x2-x1)+y1;

Добавлено через 1 минуту
Ну ок, а как проверить, есть ли вообще решение? Ну то есть если перпендикуляр опускается на отрезок, но не попадает в его границы (попадает по лучу, а не по отрезку) ?

1471 / 826 / 140

Регистрация: 12.10.2013

Сообщений: 5,456

23.07.2015, 14:10

Сообщение от Butt-Head

попадает по лучу, а не по отрезку)

То найдет координаты точки на луче вроде.

~~Butt-Head~~

Заблокирован

23.07.2015, 14:17

[ТС]

Сообщение от Excalibur921

То найдет координаты точки на луче вроде.

чта?
Я нахожу координаты точки пересечения перпендикуляра и отрезка. Как теперь мне определить, принадлежать ли эти координаты этому отрезку?

1471 / 826 / 140

Регистрация: 12.10.2013

Сообщений: 5,456

23.07.2015, 14:27

Сообщение от Butt-Head

чта?

Найдет координаты точки перпендикуляра на луч за границами отрезка.

Может можно и проще если важна скорость, но нужно очень шарить в геометрии. Надобыло в геометрии создавать…и просить решение в символьной форме.

Сообщение от Butt-Head

Как теперь мне определить,

Ну наверно проверить принадлежность точки отрезку… вход точки в интервал между X и Y точек P1 и P2. А как еще?

Добавлено через 1 минуту
Может есть еще решение в что то типа высота треугольника…

~~Butt-Head~~

Заблокирован

23.07.2015, 14:34

[ТС]

Сообщение от Excalibur921

Ну наверно проверить принадлежность точки отрезку… вход точки в интервал между X и Y точек P1 и P2. А как еще?

ну это — то понятно:

C++

1	if((x3 > x1 && x3 < x2) && ... и тд

но дело в том, что у тебя отрезок может быть направлен в отрицательную сторону, тогда у тебя x2 будет меньше x1 и по этому тут нужно сперва всё это перегонять в 1-ю четверть (всего 3 координатные четверти), делать операцию и обратно. Понимаешь? По этому я и спрашиваю готовую формулу, т.к. лень всё делать самому.

В Qt наверняка что — то есть, неужели нет?

1471 / 826 / 140

Регистрация: 12.10.2013

Сообщений: 5,456

23.07.2015, 14:41

А можно узнать угол отрезка P1 P3 даст Альфа 1 и угол отрезка P1 P2 даст Альфа 2. Повернуть отрезок P1 P3 на Альфа 2 будет как треугольник с горизонтальным основанием(без поворота). Тогда P4=(x1,y3).

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от Butt-Head

В Qt наверняка что — то есть,

Скорей всего…
Тогда надобыло в теме Qt создавать .Или поискать либы по геометрии в Qt…А чем плоха что я кидал либу? Там и 3д есть.

~~Butt-Head~~

Заблокирован

23.07.2015, 14:49

[ТС]

Сообщение от Excalibur921

Тогда надобыло в теме Qt создавать

Да толку то …, всё равно все сидят только здесь

Сообщение от Excalibur921

А чем плоха что я кидал либу?

Тем что её надо изучать.

Ладно, через жопу на Qt реализовал, скоростью и не пахнет, да мне она и не нужна.
Вообще странно, что нет ничего готового для таких стандартных вещей …

1471 / 826 / 140

Регистрация: 12.10.2013

Сообщений: 5,456

23.07.2015, 14:57

Сообщение от Butt-Head

Вообще странно, что нет ничего готового для таких стандартных вещей

Я в Qt сначала неделю его ставил… Неверные переменные среды QT 4.8.0 Creator 2.4.1
потом не мог вывести синусоиду никто не подсказал 600 чел смотрели тему…
Синусоида OpenGL и слайдер
Потом ели стер этот Qt еще и с ошибками даже на удалении =).А примеры там это вообще жесть… куча мусора. Как не программист делал примеры туда.

2013 / 1342 / 382

Регистрация: 16.05.2013

Сообщений: 3,463

Записей в блоге: 6

23.07.2015, 15:01

Берете три вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{vec{r}}_{31}, {vec{r}}_{32}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{vec{r}}_{21}$
Что бы перпендикуляр лежал на отрезке достаточно, что бы скалярные произведения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({vec{r}}_{31}, {vec{r}}_{21})$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({vec{r}}_{32}, {vec{r}}_{21})$ были разных знаков.
Точка пересечения перпендикуляра находится как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?vec{r} = {vec{r}}_{1} + ({vec{r}}_{31}, {vec{e}}_{21}){vec{e}}_{21}$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{vec{e}}_{21} = frac{{vec{r}}_{21}}{left|{vec{r}}_{21} right|}$

~~Butt-Head~~

Заблокирован

23.07.2015, 15:18

[ТС]

Сообщение от Excalibur921

потом не мог вывести синусоиду никто не подсказал 600 чел смотрели тему…
Синусоида OpenGL и слайдер

Так там есть же ответ в последнем посте На самом деле сейчас большинство современного софта пишется на Qt, т.к. код на Qt собирается на любой современной ОС. Зря ты от него отказался

Сообщение от Ilot

Берете три вектора и

Спасибо. Но я не очень понимаю, что значит берёте три вектора.
У меня есть три пары координат (см рисунок в первом посте), вот как из них получить векторы?

Сообщение от Ilot

Точка пересечения перпендикуляра находится как

А это что, сложение вектора с о скобками, в которых чего? скалярное произведение или что ?

Не могли бы вы в координаты ваши формулы перевести?

2013 / 1342 / 382

Регистрация: 16.05.2013

Сообщений: 3,463

Записей в блоге: 6

23.07.2015, 15:30

Условие того, что точка лежит внутри отрезка:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?left( ({x}_{3} - {x}_{1}) * ({x}_{2} - {x}_{1}) + ({y}_{3} - {y}_{1}) * ({y}_{2} - {y}_{1})right) * left( ({x}_{3} - {x}_{2}) * ({x}_{2} - {x}_{1}) + ({y}_{3} - {y}_{2}) * ({y}_{2} - {y}_{1})right) < 0$
Точка пересечения перепендикулляра и отрезка:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = {x}_{1} + frac{ ({x}_{3} - {x}_{1}) * ({x}_{2} - {x}_{1}) + ({y}_{3} - {y}_{1}) * ({y}_{2} - {y}_{1})}{sqrt{({x}_{2} - {x}_{1}) * ({x}_{2} - {x}_{1}) + ({y}_{2} - {y}_{1}) * ({y}_{2} - {y}_{1})}} * frac{ ({x}_{2} - {x}_{1})}{sqrt{({x}_{2} - {x}_{1}) * ({x}_{2} - {x}_{1}) + ({y}_{2} - {y}_{1}) * ({y}_{2} - {y}_{1})}}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y = {y}_{1} + frac{ ({x}_{3} - {x}_{1}) * ({x}_{2} - {x}_{1}) + ({y}_{3} - {y}_{1}) * ({y}_{2} - {y}_{1})}{sqrt{({x}_{2} - {x}_{1}) * ({x}_{2} - {x}_{1}) + ({y}_{2} - {y}_{1}) * ({y}_{2} - {y}_{1})}} * frac{ ({y}_{2} - {y}_{1})}{sqrt{({x}_{2} - {x}_{1}) * ({x}_{2} - {x}_{1}) + ({y}_{2} - {y}_{1}) * ({y}_{2} - {y}_{1})}}$
Надеюсь нигде не соврал…
p.s. В последних выражениях корни одинаковые поэтому их можно схлопнуть. Расписал для лучшего понимания.

~~Butt-Head~~

Заблокирован

23.07.2015, 15:48

[ТС]

Сообщение от Ilot

Условие

Хмм… а что это за условие?

Результирующие координаты это x и у ?

Добавлено через 2 минуты
Ааа понял, это что б как бы точка принадлежала именно отрезку, а не лучу…
Ну что ж, спасибо, но в итоге это получается намноОого громоздче, нежели

C++

1 2	x4=((x2-x1)(y2-y1)(y3-y1)+x1pow(y2-y1, 2)+x3pow(x2-x1, 2))/(pow(y2-y1, 2)+pow(x2-x1, 2)); y4=(y2-y1)*(x4-x1)/(x2-x1)+y1;

из 3-го поста …
Всё таки векторная математика — чисто понт, в действительности — то всё идёт через обычные умножения, сложения и тд, но если решать всё с понтом, то решение получится намного сложнее

Ilot

2013 / 1342 / 382

Регистрация: 16.05.2013

Сообщений: 3,463

Записей в блоге: 6

23.07.2015, 16:03

Сообщение было отмечено Ilot как решение

Решение

Сообщение от Butt-Head

Ну что ж, спасибо, но в итоге это получается намноОого громоздче, нежели…

Это еще как посмотреть:

C++

1
2
3

k = ((x3-x1) * (x2-x1) + (y3-y1)*(y2-y1))/ (pow(x2-x1, 2) + pow(y2-y1, 2));
x = x1 + k * (x2-x1);
y = y1 + k * (y2-y1);

~~Butt-Head~~

Заблокирован

23.07.2015, 16:10

[ТС]

Сообщение от Ilot

Это еще как посмотреть:

Ну в принципе да…
Ладно, спасибо тебе о великий Ilot

1471 / 826 / 140

Регистрация: 12.10.2013

Сообщений: 5,456

23.07.2015, 16:53

ТС у вас работает?
Решил попробовать и не работает ваш код.
вершина
отрезок
искомая

1471 / 826 / 140

Регистрация: 12.10.2013

Сообщений: 5,456

23.07.2015, 17:30

Сообщение от Butt-Head

Работает что?

Второй метод который вы просили расписать через вектора… и который быстрей должен быть.

Сообщение от Butt-Head

А ты что за формулы привёл?

Второй метод Ilot.

Добавлено через 24 минуты
Получается Butt-Head, использует метод который я предложил, а модератор отметил неработающую формулу как лучший ответ… забавно… =).

~~Butt-Head~~

Заблокирован

23.07.2015, 17:46

[ТС]

Сообщение от Excalibur921

Получается Butt-Head, использует метод который я предложил, а модератор отметил неработающую формулу как лучший ответ… забавно… =).

Это не модератор отметил, а я Раз так, снимаю с ИЛОТА лучший ответ. Садись — два Илот .
Ставлю лучший ответ чудо мечу. (и не один, я не жадный ехехе)

Источник

найти координаты пересечения прямой и перпендикуляра

	От:	coreduo
Дата:	18.07.07 10:18
	Оценка:

День добрый!

Есть прямая, заданная двумя точками, p1 и p2. Есть третья точка — p3. Из p3 проводим перпендикуляр к прямой p1-p2, как посчитать координаты пересечения перпендикуляра и прямой?
Ткните пожалуйста мордой в алгоритм или в исходники, а то что-то туплю…

С уважением,
Михаил Белов

Re: найти координаты пересечения прямой и перпендикуляра

От:

SergH

Дата:

18.07.07 10:54

Оценка:

Здравствуйте, coreduo, Вы писали:

C>Есть прямая, заданная двумя точками, p1 и p2. Есть третья точка — p3. Из p3 проводим перпендикуляр к прямой p1-p2, как посчитать координаты пересечения перпендикуляра и прямой?
C>Ткните пожалуйста мордой в алгоритм или в исходники, а то что-то туплю…

Находим первую прямую в виде a1x + b1y + c1 = 0
Любой перпендикуляр к ней имеет вид b1x — a1y + c2 = 0
Теперь нужо найти c2 такое, что перпендикуляр проходи через точку p3
А потом найти точку пересечения двух прямых.

Делай что должно, и будь что будет

Re: найти координаты пересечения прямой и перпендикуляра

От:

Socrat

Дата:

18.07.07 11:02

Оценка:

Здравствуйте, coreduo, Вы писали:

C>День добрый!

C>Есть прямая, заданная двумя точками, p1 и p2. Есть третья точка — p3. Из p3 проводим перпендикуляр к прямой p1-p2, как посчитать координаты пересечения перпендикуляра и прямой?
C>Ткните пожалуйста мордой в алгоритм или в исходники, а то что-то туплю…

Сначала найдем скалярное произведение (p2-p1) и (p3-p1). Назовем его P. Длина проекции (p3-p1) на прямую равна L=P/|p2-p1|.

А дальше все просто — искомая точка O=p1+(p2-p1)*L/|p2-p1|=p1+(p2-p1)*P/|p2-p1|^2

Re[2]: найти координаты пересечения прямой и перпендикуляра

	От:	coreduo
Дата:	18.07.07 11:28
	Оценка:

Здравствуйте, Socrat, Вы писали:

спасибо большое, возник вопрос…

S>Сначала найдем скалярное произведение (p2-p1) и (p3-p1). Назовем его P. Длина проекции (p3-p1) на прямую равна L=P/|p2-p1|.

а вот это точно? пытаюсь нарисовать и что-то не то у меня получается…

S>А дальше все просто — искомая точка O=p1+(p2-p1)*L/|p2-p1|=p1+(p2-p1)*P/|p2-p1|^2

С уважением,
Михаил Белов

Re[3]: найти координаты пересечения прямой и перпендикуляра

От:

Socrat

Дата:

18.07.07 11:34

Оценка:

Здравствуйте, coreduo, Вы писали:

C>Здравствуйте, Socrat, Вы писали:

C>спасибо большое, возник вопрос…

S>>Сначала найдем скалярное произведение (p2-p1) и (p3-p1). Назовем его P. Длина проекции (p3-p1) на прямую равна L=P/|p2-p1|.

C>а вот это точно? пытаюсь нарисовать и что-то не то у меня получается…

Вообще-то скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. Длина проекции равна длине |p3-p1|, умноженной на косинус. Что не получается?

S>>А дальше все просто — искомая точка O=p1+(p2-p1)*L/|p2-p1|=p1+(p2-p1)*P/|p2-p1|^2

C>С уважением,
C>Михаил Белов

Re[3]: найти координаты пересечения прямой и перпендикуляра

От:

SergH

Дата:

18.07.07 12:03

Оценка:

Здравствуйте, coreduo, Вы писали:

C>а вот это точно? пытаюсь нарисовать и что-то не то у меня получается…

Точно. Скалярное произведение это произведение длинн векторов и косинуса угла между ними. Если одну длину убрать (разделить на неё), получится вторая длина на косинус, а это и есть длина проекции.

Делай что должно, и будь что будет

Re[4]: найти координаты пересечения прямой и перпендикуляра

	От:	coreduo
Дата:	18.07.07 17:44
	Оценка:

Да-да, вы правы… а как проще всего посчитать угол, без арк-функций это получится?

Здравствуйте, Socrat, Вы писали:

S>Здравствуйте, coreduo, Вы писали:

C>>Здравствуйте, Socrat, Вы писали:

C>>спасибо большое, возник вопрос…

S>>>Сначала найдем скалярное произведение (p2-p1) и (p3-p1). Назовем его P. Длина проекции (p3-p1) на прямую равна L=P/|p2-p1|.

C>>а вот это точно? пытаюсь нарисовать и что-то не то у меня получается…

S>Вообще-то скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. Длина проекции равна длине |p3-p1|, умноженной на косинус. Что не получается?

S>>>А дальше все просто — искомая точка O=p1+(p2-p1)*L/|p2-p1|=p1+(p2-p1)*P/|p2-p1|^2

C>>С уважением,
C>>Михаил Белов

Re[5]: найти координаты пересечения прямой и перпендикуляра

От:

Socrat

Дата:

18.07.07 19:29

Оценка:

Здравствуйте, coreduo, Вы писали:

C>Да-да, вы правы… а как проще всего посчитать угол, без арк-функций это получится?

Это вряд ли… Думаю, длину дуги вычислить сложней, чем арк-функцию.

Re: найти координаты пересечения прямой и перпендикуляра

От:

Пётр Седов

Дата:

18.07.07 19:36

Оценка:

Здравствуйте, coreduo, Вы писали:
C>Есть прямая, заданная двумя точками, p1 и p2. Есть третья точка — p3. Из p3 проводим перпендикуляр к прямой p1-p2, как посчитать координаты пересечения перпендикуляра и прямой?

Здесь

Автор:
Дата: 22.06.07

Пусть есть точка — xc,yc, отрезок x1,y1,x2,y2, как найти точку пересечения прямой, проходящей через отрезок x1,y1,x2,y2 и перпендикуляра опущенного из точки xc,yc на эту прямую

Пётр Седов (ушёл с RSDN)

Wait...

Переместить
Удалить
Выделить ветку

Пока на собственное сообщение не было ответов, его можно удалить.

Источник

Внимание!

Точка пересечения
перпендикуляра с плоскостью определяется
по правилам нахождения точки пересечения
прямой с плоскостью. А именно, искомая
точка К определяется с помощью
вспомогательной прямой, заведомо
принадлежащей плоскости

— проведём через
перпендикуляр вспомогательную
проецирующую плоскость (горизонтально
проецирующую или фронтально проецирующую);

— построим линию
пересечения
(3-4)
данной плоскости ΔАВС
и вспомогательной плоскости, (точка
встречи К
определится при пересечении перпендикуляра
и построенной прямой (3-4));

— на чертеже через
горизонтальную проекцию перпендикуляра
проведём горизонтально проецирующую
плоскость β₁
и построим линию пересечения (3-4)
плоскости ΔАВС
с проецирующей плоскостью
β₁.

Черт. 4

Фронтальная
проекция точки встречи К₂
лежит на пересечении фронтальной
проекции перпендикуляра и фронтальной
проекции линии (3₂-4₂).
Горизонтальная проекция К₁
определяется по линии связи.

Видимость
перпендикуляра и плоскости ΔАВС
определяется по конкурирующим точкам.
Видимость горизонтальной проекции А₁С₁
стороны ΔАВС
и горизонтальной проекции отрезка D₁К₁
перпендикуляра
относительно горизонтальной плоскости
проекций определяется конкуренцией
точек 4₂
и 5₂(точка
5₁принадлежащая
перпендикуляру – видима).

Видимость фронтальной
проекции А₂В₂
стороны ΔАВС
и фронтальной проекции отрезка D₂K₂определяется
конкуренцией точек 6₁
и 7₁(точка
7₂
принадлежащая перпендикуляру – видима).

3. Определить натуральную величину отрезка от точки d до точки встречи методом прямоугольного треугольника,(черт. 5), для этого:

— на горизонтальной
проекции перпендикуляра D₁К₁строим
прямоугольный треугольник D₁К₁D_o,
в котором катет D₁D_o
равен расстоянию Δ,
а гипотенуза D_oК₁
будет равна
натуральной величине отрезка
DК.

Черт. 5

Условие задачи
№3:

Построить линию
пересечения двух плоскостей. Определить
их видимость на плоскостях проекций.

Алгоритм
построения линии пересечения плоскостей

1. Строим точки пересечения прямых, принадлежащих одной плоскости, со второй плоскостью (черт. 6), для этого:

Черт.6

Внимание!

Линия пересечения
двух плоскостей общего положения может
быть построена двумя способами:

— построив точки
пересечения двух прямых одной плоскости
с другой плоскостью, т.е. дважды применив
решение задачи на пересечение прямой
с плоскостью. Этот способ применяют,
как правило, для построения линии
пересечения плоскостей в случае их
совмещенного расположения;

— вводя две
вспомогательные проецирующие плоскости,
построить линии их пересечения с
заданными плоскостями.

Две соответственные
точки пересечения этих линий определят
искомую линию пересечения плоскостей.

Способ введения
двух вспомогательных проецирующих
плоскостей применяют и для построения
линии пересечения разнесенных

плоскостей.

Отметим, что при
решении задачи первым способом, точка
пересечения прямой с плоскостью также
может быть определена с помощью
вспомогательной проецирующей плоскости,
проведенной через рассматриваемую
прямую.

Нахождение точки
пересечения прямой с плоскостью
посредством проведения через данную
прямую вспомогательной проецирующей
плоскости базируются на собирательном
свойстве
проецирующей плоскости. А именно, всё,
что находится в этой плоскости (точки,
прямые и том числе, точка пересечения
этой плоскости с заданной прямой)
располагаются на вырожденной
(в виде
прямой) проекции проецирующей плоскости.

— одну из плоскостей
∆EFD
выбираем в качестве основной плоскости,
а во второй плоскости ∆АВС
возьмем две прямые, ей принадлежащие
АВ
и СВ;

— через прямые
проведём вспомогательные плоскости
(горизонтально или фронтально
проецирующие). В нашем примере через
С₂В₂
фронтально-проецирующую плоскость α_2

,через А₁В₁
– горизонтально-проецирующую β₁;

— построим линию
пересечения (1-2)
и (3-4)
плоскости ∆EFD
с плоскостями α₂
и β₁.

Горизонтальная
проекция точки встречи М₁
стороны ВС
с плоскостью ∆EFD
будет находиться на пересечении
горизонтальной проекции В₁С₁
с горизонтальной проекцией линии (1₁-2₁).

Фронтальная
проекция точки встречи N₂
стороны АВ
с плоскостью ∆EFD
будет находиться на пересечении
фронтальной проекции А₂В₂
с горизонтальной проекцией линии (3₂-4₂).

Фронтальная
проекция точек M₂
и N₁ определится
по линиям проекционной связи.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Точка пересечения перпендикуляра к двум прямым со второй прямой — это точка, удовлетворяющая уравнению перпендикуляра к двум прямым и уравнению второй прямой.

Содержание

1 Обозначения
2 Формулы
- 2.1 Пример
3 Другие формулы
4 Ссылки

Обозначения[править]

Введём обозначения:

— радиус-вектор точки пересечения;

${displaystyle {bar {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ — радиус-вектор точки на первой прямой;

${displaystyle {bar {r}}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$ — радиус-вектор точки на второй прямой;

${displaystyle {bar {s}}_{1}=(l_{1},m_{1},n_{1})}$ — направляющий вектор первой прямой;

${displaystyle {bar {s}}_{2}=(l_{2},m_{2},n_{2})}$ — направляющий вектор второй прямой;

${displaystyle {frac {x-x_{1}}{l_{1}}}={frac {y-y_{1}}{m_{1}}}={frac {z-z_{1}}{n_{1}}}}$ — уравнение первой прямой;

${displaystyle {frac {x-x_{2}}{l_{2}}}={frac {y-y_{2}}{m_{2}}}={frac {z-z_{2}}{n_{2}}}}$ — уравнение второй прямой.

Формулы[править]

Векторная форма:

Координатная форма:

Заметим, что формулы верны только для скрещивающихся прямых.

Пример[править]

Даны две скрещивающиеся прямые:
${displaystyle {frac {x-1}{-2}}={frac {y+5}{3}}={frac {z+1}{4}}}$ и
${displaystyle {frac {x+2}{-2}}={frac {y-1}{2}}={frac {z-2}{3}}}$ .

Найти точку пересечения перпендикуляра к двум прямым со второй прямой.

Решение.

Другие формулы[править]

Основание перпендикуляра из точки к прямой;
Основание перпендикуляра из точки к плоскости;
Точка пересечения перпендикуляра к двум прямым с первой прямой;
Точка пересечения перпендикуляра к двум прямым со второй прямой;
Точка пересечения прямой и плоскости;
Точка пересечения трёх плоскостей;
Точка деления отрезка в данном отношении;
Точка прямой, находящаяся от первой точки прямой до второй в данном отношении;
Точка прямой, находящаяся перед первой точкой прямой до второй в данном отношении;
Точка прямой, находящаяся от первой точки прямой за второй в данном отношении.

Ссылки[править]

Участник:Logic-samara

Источник