Как найти координаты точки в прямоугольном треугольнике

Как найти координаты третьей вершины?

Прошу помочь в нахождении формул.

• Вопрос задан более трёх лет назад
• 21885 просмотров

Оценить 5 комментариев

Хорошо учился бы в школе, вопросов бы не задавал.

Рад, что предоставил вам возможность почувствовать себя образованнее.

«Если задать вопрос на американском форуме, вам 40 человек дадут подробный ответ на вопрос.
Если спросить на израильском форуме, вам в ответ зададут 40 вопросов.
А если спросить на русском форуме, вам 40 человек расскажут почему ты мудак и вопрос твой мудацкий» ©

Человек же просто спросил.

В таком случае уж начните с определений:

— какая перед Вами стоит задача;
— какой инструментарий Вам доступен;
— способны ли Вы найти сумму квадратов катетов.

В противном случае не совсем понятно на каком уровне Вам отвечать: дать ссылку на готовую библиотеку или научить пользоваться калькулятором.

Раз так, то пляшем от картинки:

Один из вариантов решения Вашей задачи: предположим, что центр системы координат совпадает с точкой A, таким образом Cx=b*cos(g+t), Cy=b*sin(g+t)

Угол g вычисляем по теореме косинусов или синусов, смотря что Вам идеологически ближе (теорему см. по фиолетовой ссылке).
Синус угла t будет равен By/c.

Следует обратить внимание на периодичность функций, не забывать про различия промеж градусами и радианами, поглядывать сюда и сюда а так же иметь в виду особенные случаи про которые в условии ничего не сказано.

Не так давно уважаемый тов. timyrik20 написал хабрапост на интересующую Вас тему.

Человек же просто спросил.

Человеку прям сразу и ответили. Вполне исчерпывающе, как на уровень хабра.

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

1.Теорема Пифагора

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство.

1. Разделим каждую сторону большого квадрата на два отрезка x и y точкой. И проведем через эти точки отрезки.

2. Тогда треугольники 1,2,3,4 равны по двум сторонам и углу между ними.

3. Т.к. сумма углов α + β = 90°, то фигура внутри большого квадрата тоже квадрат. (Все стороны = с и все углы = 90° )

4. Площадь большого квадрата равна сумме площадей малого квадрата и 4-х треугольников. (Рис.1)

2.Египетский треугольник

Пусть дан треугольник со сторонами АВ = a, ВС = b, АС = c. При условии, что а 2 + b 2 = с 2 . Доказать, что угол, лежащий против стороны с, прямой.

Допустим, что треугольник АВС не прямоугольный. Тогда можно опустить высоту на сторону АС — h (Рис.2). Из двух прямоугольных треугольников ABD и DBC составим следующую систему уравнений по теореме Пифагора. Обозначим AD как х, BD — высота h.

Но по условию задачи а 2 + b 2 = с 2 . Следовательно х = 0 и сторона а = h. Т.е. угол между сторонами АВ и АС — прямой.

В древнем Египте данное соотношение применялось очень широко. Например для построения прямого угла между сторонами при строительстве зданий и сооружений. Или при измерении прямых углов пахотных земель. Так как зная соотношение, можно легко построить прямой угол. По этой причине треугольник со сторонами 3,4,5 ед. называют Египетским треугольником.

Рис.2 Египетский треугольник.

3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС. Проведем прямую ЕF параллельную стороне АВ (Рис.3). Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:

Т.е. соs α не зависит от размеров прямоугольного треугольника, а зависит только от величины угла. Тогда по теореме Пифагора sin α также зависит только от величины угла. А следовательно tg α и ctg α.

Отсюда можно сделать следующие выводы:

AB = BC sin α
AC = BC cos α
AB = AC tg α
AC = AB ctg α

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )	Примечание: дробные числа записывайте через точку, а не запятую. Округлять до -го знака после запятой. Планиметрия. Страница 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Рис.1 Теорема Пифагора.
Рис.3 Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике. 4.Основные тригонометрические тождества Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.4)	Рис.4 Основные тригонометрические тождества. Репетитор: Васильев Алексей Александрович
	Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование. 2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты. Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

5.Пример 1

У треугольника одна сторона равна 1 м, а прилегающие к ней углы 30° и 45°. Найдите другие стороны треугольника. (рис.5)

Так как один из углов 30 градусов, то катет, лежащий против этого угла равен половине гипотенузы, т.е. h = b/2. А следовательно КС = h, т.к. угол β = 45 градусов.

Рис.5 Задача. У треугольника одна сторона равна 1 м.

Пример 2

Найдите высоту равнобокой трапеции, если ее основания равны 6 м и 12 м, а боковая сторона равна 5 м. (Рис.6)

Решение:

Пусть ABCD данная трапеция. ВЕ перпендикуляр, опущенный на основание AD. Тогда АЕ = (12 — 6)/ 2 = 3 м. Так как АЕ = FD.

По теореме Пифагора:

АВ 2 = AE 2 + BE 2

Рис.6 Задача. Найдите высоту равнобокой трапеции.

Пример 3

Докажите, что расстояние между двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон. (Рис.7)

Доказательство:

Пусть ABC данный треугольник. АС — его большая сторона. Проведем отрезок DE параллельно стороне АС. Необходимо доказать, что отрезок DE меньше стороны АС. Если мы докажем, что отрезок DE меньше большей стороны АС, то при взятии двух других точек треугольника на других его меньших сторонах, отрезок между этими точками будет также меньше стороны АС.

Опустим перпендикуляр BF на большую сторону АС. Составим следующее соотношение:

АС = АВ сos α + ВС cos β

Тогда отрезок DE будет равен:

DE = DB сos α + ВE cos β

Так как DB Рис.7 Задача. Докажите, что расстояние между двумя точками.

Пример 4

Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние меньше радиуса, пересекает окружность в двух точках. (Рис.8)

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, отстоящая от центра окружности точки О, на расстояние ОЕ = h h, то прямая а будет иметь две точки пересечения. Так как

h = ОА*cos α = ОВ*cos (-α)

Радиусы ОА и ОВ можно рассматривать как две наклонные, отложенные в двух полуплоскостях, в треугольнике АОВ перпендикуляра ОЕ.

Рис.8 Задача. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности.

Пример 5

Даны три положительных числа a,b,c. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.9)

Доказательство:

Пусть даны три точки. Если эти три точки лежат на одной прямой, например А,Е,С, то расстояния между этими точками связаны соотношением: АС = АЕ + ЕС

Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше двух других. Т.е. расстояние между точками А и С не больше двух расстояний АЕ и ЕС.

Если взять три точки, не лежащих на одной прямой, например А,В,С и опустить перпендикуляр ВЕ, то АС AB + BC (Рис.9 б). Тогда концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в точке В. Так как, если даже отрезки такой же длины отложить на отрезке АС, то получится, что

Таким образом, если числа a,b и с принять за длины отрезков, то концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в одной точке В. Между ними образуется некое расстояние ВВ₁ и построить треугольник не получится.

Рис.9 Задача. Даны три положительных числа.

I want to locate precisely the 3rd coordinate of a right angled triangle.
I have:

1. the length of three sides
2. The three angles
3. The other two coordinates of the triangle

The triangle can lie in any orientation in 2D coordinate system.

The three sides, angles and coordinates could be different in the piece of experiment and I am not working with any fix pair of values… I am actually dealing with multiple pairs of all above mentioned values.

I need a reliable and accurate way of finding the 3rd coordinate. Currently I have this formula but it calculated two pairs of coordinates (forming a butterfly) instead of the triangle.

Edit 2:

In the diagram that I mentioned and to which a (potential) solution has been presented, I have a confusion/connected question (because I believe this could be the cause of the problem).

Question:

Can $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$ be any pair of the right angles triangle? or does $(x_1, y_1)$ must the coordinates of the right angle and $(x_2, y_2)$ for the base vertex?

Currently I get this:

As you can see, the coordinate I am trying to get is draw way-off the border of the circle. The coordinate should be found on the border of the circles and not that far away in space.

As you might have guessed that I am trying to draw tangents between each circle. I have worked out rest of the code but the coordinate is being calculated incorrectly and thus the right angled triangle is formed incorrectly..

Edit (ignore this heading please):

I want to find only ONE triangle instead of the four possibilities.

http://awaismunir.net/universal/tangents/3rd-third-vertext-calculate-right-angled-triangle.gif

Note:

I have already reviewed these urls:

Calculate coordinates of 3rd point (vertex) of a scalene triangle if angles and sides are known.

and

How to find the third coordinate of a right triangle given 2 coordinates and lengths of each side

Kindly help.

Thanks!

Steve

Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

1. Расстояние между двумя точками.

Теорема
1.
Для любых двух точек
иплоскости расстояниемежду ними выражается формулой:

.
(1.1)

Например,
если
даны точки
и,
то расстояние между ними:

.

2. Площадь треугольника.

Теорема
2.
Для любых точек

,
не лежащих на одной прямой, площадь
треугольника
выражается формулой:

.
(1.2)

Например,
найдем площадь треугольника, образованного
точками
,и.

.

Замечание.
Если площадь треугольника равна нулю,
это означает, что точки лежат на одной
прямой.

3. Деление отрезка в заданном отношении.

Пусть
на плоскости дан произвольный отрезок

и
пусть

–любая
точка этого отрезка, отличная от точек
концов. Число
,
определенное равенством,
называетсяотношением,
в
котором точка
делит отрезок.

Задача
о делении отрезка в данном отношении
состоит в том, чтобы по данному отношению
и данным координатам точек

и
найти координаты точки.

Теорема
3.
Если
точка
делит отрезок
в
отношении

,
то
координаты этой точки определяются
формулами:
(1.3), где– координаты точки,– координаты точки.

Следствие:
Если
– середина отрезка

,
где
и,
то(1.4) (т.к.).

Например.
Даны точки
и.
Найти координаты точки,
которая в два раза ближе к,
чем к

Решение:
Искомая точка
делит
отрезок

в
отношении
так как,
тогда,,
получили

.

Полярные координаты

Наиболее
важной после прямоугольной системы
координат является полярная система
координат. Она состоит из некоторой
точки
,
называемойполюсом,
и исходящего из нее луча
–полярной
оси.
Кроме того, задается единица масштаба
для измерения длин отрезков.

Пусть
задана полярная система координат и
пусть
– произвольная точка плоскости. Пусть
–
расстояние от точки

до
точки
;– угол, на который нужно повернуть
полярную ось для совмещения с лучом.

Полярными
координатами точки
называются числаи.
При этом числосчитается первой координатой и называетсяполярным
радиусом,
число
– второй координатой и называетсяполярным
углом.

Обозначается
.
Полярный радиус может иметь любое
неотрицательное значение:.
Обычно считают, что полярный угол
изменяется в следующих пределах:.
Однако в ряде случаев приходится
определять углы, отсчитываемые от
полярной оси по часовой стрелке.

Связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами.

Будем
считать, что начало прямоугольной
системы координат находится в полюсе,
а положительная полуось абсцисс совпадает
с полярной осью.

Пусть
– в прямоугольной системе координат и– в полярной системе координат. Определен– прямоугольный треугольник с.
Тогда(1.5).
Эти формулы выражают прямоугольные
координаты через полярные.

С
другой стороны, по теореме Пифагора
и

(1.6)
– эти формулы, выражают полярные
координаты через прямоугольные.

Заметим,
что формула
определяет два значения полярного угла,
так как.
Из этих двух значений углавыбирают тот, при котором удовлетворяются
равенства.

Например,
найдем полярные координаты точки
..или,
т.к.I
четверти.

Пример
1:
Найти точку, симметричную точке

относительно
биссектрисы первого координатного
угла.

Решение:

Проведем
через точку А
прямую l₁,
перпендикулярную биссектрисе l
первого координатного угла. Пусть
.
На прямой
l₁
отложим отрезок
СА₁,
равный
отрезку
АС.
Прямоугольные треугольники
АСО
и
А₁СО
равны
между собой (по двум катетам). Отсюда
следует, что |ОА|
= |OA₁|.
Треугольники
ADO
и
ОЕА₁
также равны между собой (по гипотенузе
и острому углу). Заключаем, что
|AD|
= |ОЕ|
= 4,
|OD| = |EA₁|
=
2, т.е. точка имеет координаты х
= 4, у = -2,
т.е. А₁(4;-2).

Отметим,
что имеет место общее утверждение: точка
A₁,
симметричная точке

относительно биссектрисы первого и
третьего координатных углов, имеет
координаты
,
то есть.

Пример
2:
Найти точку, в которой прямая, проходящая
через точки
и
,
пересечет ось
Ох.

Решение:

Координаты
искомой точки
С
есть (x;
0). А так как точки
А,
В и
С
лежат на одной прямой, то должно
выполняться условие (x₂-x₁)(y₃-y₁)-(x₃-x₁)(y₂-y₁)=0
(формула (1.2), площадь треугольника ABC
равна
нулю!), где

–
координаты точки А,
– точкиВ,
– точкиС.
Получаем
,
т.е.,
,
.
Следовательно, точка
С
имеет координаты
,,
т.е..

Пример
3: В
полярной системе координат заданы точки
,.
Найти:
а)
расстояние между точками

и
;
б)
площадь треугольника
ОМ₁М₂
(О
– полюс).

Решение:

а)
Воспользуемся формулами (1.1) и (1.5):

,

то
есть,
.

б)
пользуясь формулой для площади
треугольника со сторонами
а
и
b
и углом
между ними (),
находим площадь треугольника
ОМ₁М₂.
.