Как найти координаты вектора абс - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти координаты вектора в базисе

Решение:
Записываем матрицу перехода А:

и находим ее определитель
<>0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f₁ , f₂ , f₃ линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:

Обратная матрица А -1

Находим координаты вектора х относительно нового базиса.

Пример №1 . Даны векторы a<1;2;1>, b<2;-2;1>, c <1;-2;0>и d <0;3;1>. Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c

Пример №2 . Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:

Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃, х»₁ = b₁₁x’₁ + b₁₂x’₂ + b₁₃x’₃,
х’₂ = a21x1 + a22x2 + a23x3, х»₂ = b₂₁x’1 + b₂₂x’₂ + b₂₃x’₃,
х’₃ = a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃, х»₃ = b₃₁x’₁ + b₃₂x’₂ + b₃₃x’₃,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х»₁, x»₂, x»₃ через х₁, х₂, х₃.
х’₁ = 4x₁ + 3x₂ + 5x₃, х»₁ = — x’₁ + 3x’₂ — 2x’₃,
х’₂ = 6x₁ + 7x₂ + x₃, х»₂ = — 4x’₁ + x’₂ + 2x’₃,
х’₃ = 9x₁ + x₂ + 8x₃, х»₃ = 3x’₁ — 4x’₂ + 5x’₃,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .

A -1 = -1/182

55	-19	-32
-39	-13	26
-57	23	10

Матрицу Х ищем по формуле:

X = A -1 ·B = -1/182

55	-19	-32
-39	-13	26
-57	23	10

75 /₁₈₂	-1 46 /₉₁	1 9 /₁₃
-13 /₁₄	1 2 /₇	-1
5 /₁₈₂	1 3 /₉₁	-1 2 /₁₃

Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e ₁= AB , e ₂= AC , e ₃= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e ₁, e ₂, e ₃)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид
Решим полученную систему уравнений.

Нахождение координат вектора

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB , нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора

» data-lang=»default» data-override=»<«emptyTable»:»»,»info»:»»,»infoEmpty»:»»,»infoFiltered»:»»,»lengthMenu»:»»,»search»:»»,»zeroRecords»:»»,»exportLabel»:»»,»file»:»default»>» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач	AB = x — A_x; B_y — A_y>
Для трехмерных задач	AB = x — A_x; B_y — A_y; B_z — A_z>
Для n-мерных векторов	AB = 1 — A₁; B₂ — A₂; . B_n — A_n>

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB , если у его точек следующие координаты: , .

Задание 2
Определим координаты точки B вектора , если координаты точки .

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
B_x = AB _x + A_x = 6 + 2 = 8.
B_y = AB _y + A_y = 14 + 5 = 19.

Как найти координаты вектора

Формула

Чтобы найти координаты вектора $overline $, если заданы координаты его начала и конца, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. В случае если точки заданы на плоскости и имеют соответственно координаты $Aleft(x_ ; y_right)$ и $Bleft(x_ ; y_right)$, то координаты вектора $overline $ вычисляются по формуле:

Примеры нахождения координат вектора

Задание. Даны точки $A(5 ; 1)$ и $B(4 ;-3)$. Найти координаты векторов $overline $ и $overline $

Решение. Точки заданны на плоскости, поэтому координаты вектора $overline $ вычислим по формуле:

Подставляя координаты заданных точек, получим:

Для нахождения вектора $overline $ исходная формула примет вид:

Ответ. $overline=(-1 ;-4), overline=(1 ; 4)$

Задание. Даны точки $A(4 ; 3 ; 2)$, $B(-3 ; 2 ;-1)$ и $C(-1 ; 0 ; 1)$ . Найти координаты вектора $overline $, $overline $ .

Решение. Точки заданны в пространстве, поэтому для нахождения координат искомых векторов будем пользоваться формулой

Подставляя заданные координаты, получим:

Для вектора $overline $ имеем:

Ответ. $overline=(-7 ;-1 ;-3), overline=(-2 ; 2 ;-2)$

источники:

Нахождение координат вектора

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_13_6.php

Источник

Нахождение координат вектора
Примеры задач

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора


Для плоских задач	AB = {B_x — A_x; B_y — A_y}
Для трехмерных задач	AB = {B_x — A_x; B_y — A_y; B_z — A_z}
Для n-мерных векторов	AB = {B₁ — A₁; B₂ — A₂; … B_n — A_n}

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).

Решение:
AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.

Задание 2
Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
B_x = AB_x + A_x = 6 + 2 = 8.
B_y = AB_y + A_y = 14 + 5 = 19.

Таким образом, B = (8; 19).

Источник

Основное соотношение.Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Формулы определения координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки

Формула определения координат вектора для плоских задач

В случае плоской задачи вектор AB заданный координатами точек A(A_x ; A_y) и B(B_x ; B_y) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B_x — A_x ; B_y — A_y}

Формула определения координат вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи вектор AB заданный координатами точек A(A_x ; A_y ; A_z) и B(B_x ; B_y ; B_z) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B_x — A_x ; B_y — A_y ; B_z — A_z}

Формула определения координат вектора для n -мерного пространства

В случае n-мерного пространства вектор AB заданный координатами точек A(A₁ ; A₂ ; … ; A_n) и B(B₁ ; B₂ ; … ; B_n) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B₁ — A₁ ; B₂ — A₂ ; … ; B_n — A_n}

Примеры задач связанных с определением координат вектора по двум точкам

Примеры для плоских задач

Пример 1. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4), B(3; 1).

Решение: AB = {3 — 1; 1 — 4} = {2; -3}.

Пример 2. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1}, если координаты точки A(3; -4).

Решение:

AB_x = B_x — A_x => B_x = AB_x + A_x => B_x = 5 + 3 = 8
AB_y = B_y — A_y => B_y = AB_y + A_y => B_y = 1 + (-4) = -3

Ответ: B(8; -3).

Пример 3. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1}, если координаты точки B(3; -4).

Решение:

AB_x = B_x — A_x => A_x = B_x — AB_x => A_x = 3 — 5 = -2
AB_y = B_y — A_y => A_y = B_y — AB_y => A_y = -4 — 1 = -5

Ответ: A(-2; -5).

Примеры для пространственных задач

Пример 4. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5), B(3; 1; 1).

Решение: AB = {3 — 1; 1 — 4; 1 — 5} = {2; -3; -4}.

Пример 5. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2}, если координаты точки A(3; -4; 3).

Решение:

AB_x = B_x — A_x   =>   B_x = AB_x + A_x   =>   B_x = 5 + 3 = 8
AB_y = B_y — A_y   =>   B_y = AB_y + A_y   =>   B_y = 1 + (-4) = -3
AB_z = B_z — A_z   =>   B_z = AB_z + A_z   =>   B_z = 2 + 3 = 5

Ответ: B(8; -3; 5).

Пример 6. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4}, если координаты точки B(3; -4; 1).

Решение:

AB_x = B_x — A_x   =>   A_x = B_x — AB_x   =>   A_x = 3 — 5 = -2
AB_y = B_y — A_y   =>   A_y = B_y — AB_y   =>   A_y = -4 — 1 = -5
AB_z = B_z — A_z   =>   A_z = B_z — AB_z   =>   A_z = 1 — 4 = -3

Ответ: A(-2; -5; -3).

Примеры для n -мерного пространства

Пример 7. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5; 5; -3), B(3; 0; 1; -2; 5).

Решение: AB = {3 — 1; 0 — 4; 1 — 5; -2 — 5; 5 — (-3)} = {2; -4; -4; -7; 8}.

Пример 8. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2; 1}, если координаты точки A(3; -4; 3; 2).

Решение:

AB₁ = B₁ — A₁   =>   B₁ = AB₁ + A₁   =>   B₁ = 5 + 3 = 8
AB₂ = B₂ — A₂   =>   B₂ = AB₂ + A₂   =>   B₂ = 1 + (-4) = -3
AB₃ = B₃ — A₃   =>   B₃ = AB₃ + A₃   =>   B₃ = 2 + 3 = 5
AB₄ = B₄ — A₄   =>   B₄ = AB₄ + A₄   =>   B₄ = 1 + 2 = 3

Ответ: B(8; -3; 5; 3).

Пример 9. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4; 5}, если координаты точки B(3; -4; 1; 8).

Решение:

AB₁ = B₁ — A₁   =>   A₁ = B₁ — AB₁   =>   A₁ = 3 — 5 = -2
AB₂ = B₂ — A₂   =>   A₂ = B₂ — AB₂   =>   A₂ = -4 — 1 = -5
AB₃ = B₃ — A₃   =>   A₃ = B₃ — AB₃   =>   A₃ = 1 — 4 = -3
AB₄ = B₄ — A₄   =>   A₄ = B₄ — AB₄   =>   A₄ = 8 — 5 = 3

Ответ: A(-2; -5; -3; 3).

Источник

Задачи с векторами только на первый взгляд кажутся сложными, особенно если задача связана с трехмерным пространством. Но не стоит пугаться ведь если разобраться по-лучше в данной тематике задачи решаются в два счета. Так например в данной статье мы разберем тематику определения координат вектора, исходными данными для которого известны координаты начальной и конечной точки.

Основное правило, которое будет сопровождать в данной теме, гласит так:

Для того чтобы определить координаты некоторого вектора MN⃗vec{MN}, зная координаты начала и конца, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Задача 1

Рассмотрим первый вариант задачи. Вектор задан в двухмерном пространстве {x,y}. Тогда у каждой точки вектора существует две координаты, соответственно относящиеся к оси ОХ и ОУ. Формула для определения координаты вектора в таком случае принимает вид:

MN⃗=Mx−Nx;My−Ny.vec{MN}={M_x{-N}_x;M_y{-N}_y}.

Рассмотрим на примере: На некоторой плоскости заданы точки M и N, координаты которых равны соответственно (1,2) и (3,5). Необходимо найти координаты вектора MN⃗vec{MN}

Решение

Возьмем некоторую плоскость ОХУОХУ и отметим точки ММ и NN. Затем соединим исходные точки и рассчитаем координаты полученного вектора. MN⃗={3−1;5−2}=2;3.vec{MN}=left{3-1;5-2right}={2;3}.

Вот так вот мы получили простое решение искомой задачи. Вариация таких задач может сочетать в себе нахождение не только координат вектора, но и отдельных координат исходных точек вектора.

Но у меня задача может быть не только одно- или двухмерное, но также трехмерное или как мы будем называть их n-мерное. Формула тогда в таком случае немного изменит вид, но смысл не меняется.

Задача 2

Сформулируем формулу для определения координат вектора расположенного в n-мерном пространстве.
Такое пространство подразумевает координаты точек в виде M(M1;M2;M3;..;Mn)M(M_1;M_2{;M}_3;..{;M}_n) и формула примет вид:

MN⃗=Mx−Nx;My−Ny;..;Mn−Nn.vec{MN}={M_x{-N}_x;M_y{-N}_y{;..;M}_n{-N}_n}.

Рассмотрим задачу на примере 5-мерного пространства. Необходимо найти координаты точки N вектора

MN⃗={3,8,4,1,7}vec{MN}={3,8,4,1,7}, если известны координаты точки M(1,9,6,7,4).M(1,9,6,7,4).

Решение

Не стоит пугаться при виде слов 5-мерное пространство, т.к. рисовать данную систему координат не обязательно. Стоит лишь правильно понимать и применять формулу которую мы рассмотрели выше. Перепишем ее еще раз для нашего случая.

MN⃗={M1−N1;M2−N2;M3−N3;M4−N4;M5−N5}.vec{MN}= {M_1{-N}_1;M_2{-N}_2{;M_3{-N}_3{;M}_4{-N}_4;M}_5{-N}_5}.

Тогда рассмотрим систему:

{1−N1=39−N2=86−N3=47−N4=14−N5=7begin{cases}1-N_1=3 \
9-N_2=8 \
6-N_3=4\
7-N_4=1\
4-N_5=7end{cases}

и решив данную систему, получим

{N1=−2N2=1N3=2N4=6N5=−3begin{cases}N_1=-2\
N_2=1\
N_3=2\
N_4=6\
N_5=-3\ end{cases}

Тогда получим ответ на задачу N(−2,1,2,6,−3).N(-2,1,2,6,-3).

Источник

Содержание:

Формула
Примеры нахождения координат вектора

Формула

Чтобы найти координаты вектора $overline {A B}$, если заданы координаты его начала и конца,
необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. В случае если точки заданы на плоскости и имеют соответственно
координаты $Aleft(x_{A} ; y_{A}right)$ и $Bleft(x_{B} ; y_{B}right)$, то координаты вектора $overline {A B}$ вычисляются по формуле:

$$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A}right)$$

Если точки заданы в пространстве и имеют координаты
$Aleft(x_{A} ; y_{A} ; z_{A}right)$ и $Bleft(x_{B} ; y_{B} ; z_{B}right)$ соответственно, то координаты вектора
$overline {A B}$ вычисляются по следующей формуле:

$$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A} ; z_{B}-z_{A}right)$$

Примеры нахождения координат вектора

Пример

Задание. Даны точки
$A(5 ; 1)$ и $B(4 ;-3)$. Найти координаты векторов
$overline {A B}$ и
$overline {B A}$

Решение. Точки заданны на плоскости, поэтому координаты вектора
$overline {A B}$ вычислим по формуле:

$$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A}right)$$

Подставляя координаты заданных точек, получим:

$$overline{A B}=(4-5 ;-3-1)=(-1 ;-4)$$

Для нахождения вектора $overline {B A}$ исходная формула примет вид:

$$overline{B A}=left(x_{A}-x_{B} ; y_{A}-y_{B}right)$$

то есть

$$overline{B A}=(5-4 ; 1-(-3))=(1 ; 4)$$

Ответ. $overline{A B}=(-1 ;-4), overline{B A}=(1 ; 4)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Даны точки
$A(4 ; 3 ; 2)$, $B(-3 ; 2 ;-1)$ и $C(-1 ; 0 ; 1)$ . Найти координаты вектора
$overline {A B}$,
$overline {C B}$ .

Решение. Точки заданны в пространстве, поэтому для нахождения координат искомых векторов будем пользоваться формулой

$overline{A B}=left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A} ; z_{B}-z_{A}right)$

Подставляя заданные координаты, получим:

$$overline{A B}=(-3-4 ; 2-3 ;-1-2)=(-7 ;-1 ;-3)$$

Для вектора $overline {C B}$ имеем:

$overline{C B}=left(x_{B}-x_{C} ; y_{B}-y_{C} ; z_{B}-z_{C}right)$
$overline{C B}=(-3-(-1) ; 2-0 ;-1-1)=(-2 ; 2 ;-2)$

Ответ. $overline{A B}=(-7 ;-1 ;-3), overline{C B}=(-2 ; 2 ;-2)$

Читать дальше: как найти направляющие косинусы вектора.

Источник