Содержание:
- Формула
- Примеры нахождения коллинеарного вектора
Формула
Для того чтобы вектор
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ был коллинеарным вектору $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$ необходимо, чтобы их соответствующие
координаты были пропорциональны, то есть их координаты удовлетворяли условию
$$frac{a_{x}}{b_{x}}=frac{a_{y}}{b_{y}}$$
Если векторы заданны в пространстве своими координатами:
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right), bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$, тогда условие коллинеарности имеет вид:
$$frac{a_{x}}{b_{x}}=frac{a_{y}}{b_{y}}=frac{a_{z}}{b_{z}}$$
Примеры нахождения коллинеарного вектора
Пример
Задание. Даны два вектора
$bar{a}=(2 ;-3)$ и $bar{b}=(-1 ; m)$. При каком значении
$m$ эти векторы будут коллинеарными?
Решение. Для того чтобы векторы
$bar{a}$ и
$bar{b}$ были коллинеарными необходимо,
чтобы их координаты были пропорциональными, то есть удовлетворяли условию:
$$frac{a_{x}}{b_{x}}=frac{a_{y}}{b_{y}}$$
Подставим координаты заданных векторов в это равенство и найдем значение
$m$:
$$frac{2}{-1}=frac{-3}{m}$$
По пропорции имеем:
$$2 cdot m=(-1) cdot(-3) Rightarrow 2 cdot m=3 Rightarrow m=frac{3}{2}=1,5$$
Ответ. Векторы
$bar{a}$ и
$bar{b}$ будут коллинеарными при
$m=1,5$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Заданы два вектора
$bar{a}=(4 ;-m ; 1)$ и $bar{b}=(2 ;-3 ; n)$. При каких значениях
$m$ и
$n$ векторы
$bar{a}$ и
$bar{b}$ будут коллинеарными?
Решение. Для того чтобы векторы
$bar{a}$ и
$bar{b}$ были коллинеарными необходимо, чтобы их координаты
были пропорциональными, то есть чтобы выполнялись следующие равенства:
$$frac{4}{2}=frac{-m}{-3}=frac{1}{n}$$
А тогда значения неизвестных параметров
$m$ и
$n$ находим из равенств
$$frac{m}{3}=2 Rightarrow m=6$$
$$frac{1}{n}=2 Rightarrow n=frac{1}{2}=0,5$$
Ответ. Векторы
$bar{a}$ и
$bar{b}$ будут коллинеарными при
$m=6$ и $n=0,5$
Читать дальше: как найти вектор перпендикулярный вектору.
Любовь Петровна Гаврилюк
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Понятие коллинеарности векторов
Чтобы понять, что значит коллинеарные векторы, сперва надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.
Определение 1
Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.
Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.
Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.
Определение 2
Вектором (направленным отрезком) будем называть такой отрезок, у которого обозначено, какая граничная точка его начало, а какая является его концом.
Обозначение: $overline{AB}$ — вектор $AB$, имеющий начало в точке $A$, а конец в точке $B$.
Иначе одной маленькой буквой: $overline{a}$ (рис. 1).
Рисунок 1. Обозначение векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Определение 3
Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.
Обозначение: $overline{0}$.
Далее рассмотрим, какие векторы называются коллинеарными.
Определение 4
Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой. Кроме того, понятие коллинеарность наблюдается в случается параллельности векторов (рис.2).
«Как найти вектор, коллинеарный вектору» 👇
Рисунок 2. Коллинеарность векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Также введем определение векторного произведения, которое будет нам необходимо далее.
Определение 5
Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют ту же ориентацию, как и декартова система координат.
Обозначение: $overline{α}хoverline{β}$.
Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой
$overline{α}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}$
Признак коллинеарности через пропорциональность или как определить коллинеарность векторов по координатам
Теорема 1
Главное условие коллинеарности векторов: чтобы ненулевые векторы были коллинеарны между собой, необходимо, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны друг другу.
Доказательство.
Необходимость: Пусть нам даны векторы $overline{α}$ и $overline{β}$, которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно, причем они коллинеарны друг другу. Тогда нам нужно доказать следующие равенства
$α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$
Так как векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ коллинеарны, то они будут либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Без ограничения общности, будем считать, что они будут сонаправлены, то есть $overline{α}↑↑overline{β}$. Умножим один из этих векторов на действительное, большее нуля, число $r$, так, чтобы длины векторов $roverline{α}$ и $overline{β}$ были равны между собой. По определению умножения векторов на число, получим, что $roverline{α}↑↑overline{β}$. Но тогда, по определению равенства векторов, получим, что $roverline{α}=overline{β}$. Из этого равенства получим, что
$α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$
Достаточность: Пусть верны равенства $α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$. Докажем, что векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ будут коллинеарными.
Из данных равенств следует, что $roverline{α}=overline{β}$.
Имеются два случая:
-
$r lt 0$
В этом случае, по определению умножения вектора на число, получим, что $roverline{α}↑↓overline{β}$.
-
$r >0$
В этом случае получим, что $roverline{α}↑↑overline{β}$.
Тогда, в обоих случаях получаем доказательство коллинеарности векторов $overline{α}$ и $overline{β}$.
Ответ: теорема доказана.
Пример 1
Как проверить коллинеарность векторов $(3,-1)$ и $(9,-3)$.
Доказательство.
Разложим второй вектор:
$(9,-3)=(3cdot 3,3cdot (-1) )=3(3,-1)$
Получаем, что координаты этих векторов пропорциональны друг другу, что, по теореме 1, и доказывает наше утверждение.
Признаки и свойства коллинеарности векторов через их произведение
Теорема 2
Чтобы ненулевые векторы были коллинеарны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулевому вектору.
Доказательство.
Необходимость: Пусть нам даны векторы $overline{α}$ и $overline{β}$, которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно, причем они коллинеарны друг другу. Тогда нам нужно доказать, что $overline{α}хoverline{β}=overline{0}$.
Так как векторы коллинеарны, то, по теореме 1, верны равенства
$α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$
Найдем $overline{α}хoverline{β}$ по формуле
$overline{α}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\rβ_1&rβ_2&rβ_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}=rbegin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\β_1&β_2&β_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}=rcdot overline{0}=overline{0}$
Достаточность: Пусть верно равенство $overline{α}хoverline{β}=overline{0}$, докажем, что векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ коллинеарны. Так как векторное произведение равняется $overline{0}$, то его длина также равняется нулю. Следовательно, угол между $overline{α}$ и $overline{β}$ равняется $180^circ$ или $0^circ$. То есть, чтобы они были коллинеарны, векторы должны лежать на одной или параллельных прямых.
Теорема доказана.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Ученики 9-го класса, помимо понятия вектора, должны знать, что такое коллинеарные векторы, а также условия коллинеарности векторов.
Вектор — это направленный отрезок. Вектор обозначается двумя заглавными латинскими буквами со стрелочкой над ними
или одной маленькой со стрелочкой над ней
.
Нулевой вектор — вектор, начало которого совпадает с концом. То есть в геометрической интерпретации это просто точка.
Теперь, когда мы вспомнили базовые понятия, можно переходить к определению коллинеарных векторов.
Что значит «коллинеарные векторы»
Коллинеарные векторы — это ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Причем считается, что нулевой вектор коллинеарен каждому другому вектору. То есть, попросту говоря, коллинеарность — это параллельность векторов. Если векторы
и
коллинеарны, то это записывают так:
.
Коллинеарные векторы можно разделить по направлению на две группы: сонаправленные и противоположно направленные.
Векторы
и
лежат на параллельных прямых, а также имеют одно направление, поэтому
и
— сонаправленные векторы:
.
Векторы
и
лежат на параллельных прямых, но имеют разное направление, поэтому
и
— противоположно направленные векторы:
.
Задача № 1
Найдите сонаправленные и противоположно направленные векторы.
Благодаря клетчатому фону мы можем определить, что все векторы на рисунке коллинеарны, то есть лежат на параллельных прямых. Осталось посмотреть на направление векторов и сделать выводы:
-
,
-
,
-
,
-
.
Но не забываем о нулевом векторе
— он будет сонаправлен с каждым вектором.
Но согласитесь, что визуальная оценка параллельности не самая точная вещь на планете, а математика славится своей точностью и четкостью. Поэтому возникает вопрос: как проверить коллинеарность векторов алгебраическими способами? Для этого существуют признаки коллинеарности векторов. Рассмотрим их.
Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту
Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут
Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас
Признаки коллинеарности векторов
-
Первый критерий коллинеарности векторов: векторы
и
коллинеарны, если
. -
Второй критерий коллинеарности векторов: два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
Но здесь важно понимать, что это условие параллельности векторов работает только для всех ненулевых координат. Значит, если хотя бы один компонент вектора равен нулю, то правило неприменимо.
-
Третий критерий коллинеарности векторов, который могут применять одиннадцатиклассники, взрослые и все, кто увлечен математикой: два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.
Применим условия коллинеарности векторов при решении задач.
Задача № 2
Докажите, что векторы
и
коллинеарны.
У нас с вами есть два способа определить или доказать коллинеарность векторов, однако в координатах каждого вектора есть нули — значит, подходит только первый критерий, который еще называется свойством коллинеарных векторов: если
, то
.
Для начала определим
. А теперь проверим, выполняется ли условие
:
, значит,
. Что и требовалось доказать.
Задача № 3
Какие из векторов
,
и
коллинеарны?
А здесь очень удобно использовать второй критерий коллинеарности векторов, который звучит так: отношения соответствующих координат коллинеарных векторов равны.
-
Проверим коллинеарность векторов
и
: должно выполняться условие
, т. е.
— верно, значит,
. -
Проверим коллинеарность векторов
и
: должно выполняться условие
, т. е.
— неверно, значит,
и
неколлинеарны. -
Проверим коллинеарность векторов
и
: должно выполняться условие
, т. е.
— неверно, значит,
и
неколлинеарны.
Задача № 4
Определите, при каком значении k векторы
и
коллинеарны.
Так как по условию векторы должны быть коллинеарны, а в их координатах не содержится нуля, то можно использовать второй критерий коллинеарности, а именно — должно выполняться условие
, то есть
.
По свойству пропорции выразим k:
;
k = 27.
Значит, при k = 27 векторы
и
коллинеарны.
Если же вам нужно проверить коллинеарность векторов в пространстве, а не на плоскости, то все эти условия продолжают работать, но помните, что к проверке присоединяется третья координата векторов. Рассмотрим пару примеров.
Задача № 5
Докажите, что векторы
и
коллинеарны.
Поступим аналогично решению в задаче 2 — применим первый критерий, который еще называется свойством коллинеарных векторов, т. е. если
, то
.
Для начала определим
. А теперь проверим, выполняется ли условие
:
, значит,
. Что и требовалось доказать.
Задача № 6
Определите, при каких значениях k и f векторы
и
коллинеарны.
Аналогично задаче 4: так как по условию векторы должны быть коллинеарны и в их координатах не содержится нуля, то можно использовать второй критерий коллинеарности. А именно — должно выполняться условие
, то есть
.
Рассмотрим первую и вторую дроби, по свойству пропорции выразим k:
;
k = 27.
Рассмотрим первую и третью дроби, по свойству пропорции выразим f:
;
f = 2.
Значит, при k = 27 и f = 2 векторы
и
коллинеарны.
Векторы — удивительная тема, с помощью которой можно решить многие физические задачи, легко и просто доказать самые сложные геометрические теоремы. Сегодня вы узнали, какие векторы называются коллинеарными, но это лишь один аспект большой главы о векторах. Чтобы узнать остальные действия с векторами, познакомиться с интересными задачами и способами решений, приходите на онлайн-курсы математики для детей в Skysmart.
Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.
Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).
 |
| рис. 1 |
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = < ax ; ay ; az > и b = < nax ; nay ; naz >. Найдем их векторное произведение
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
Решим это уравнение:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
| 3 | = | 2 | = | m |
| 9 | n | 12 |
Из этого соотношения получим два уравнения:
Решим эти уравнения:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
Условие коллинеарности векторов
В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.
Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.
Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.
Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор b → = λ · a → коллинеарен вектору a → , где λ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор b → коллинеарен вектору a → , его можно представить в виде λ · a → . Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.
Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: b → = λ · a → или a → = μ · b → , μ ∈ R
Координатная форма условия коллинеарности векторов
Исходные данные: вектор a → задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты ( a x , a y ) , тогда, согласно полученному выше условию, вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y ) .
По аналогии: если вектор a → задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a = ( a x , a y , a z ) , а вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y , λ · a z ) . Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании.
- Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y или a x = μ · b x a y = μ · b y
- Для коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z или a x = μ · b x a y = μ · b y a z = μ · b z
Мы можем также получить еще одно условие коллинеарности векторов, опираясь на понятие их произведения.
Если ненулевые векторы a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) коллинеарны, то согласно векторному определению произведения a → × b → = 0 → . И это также соответствует равенству: i → j → k → a x a y a z b x b y b z = 0 → , что, в свою очередь, возможно только тогда, когда заданные векторы связаны соотношениями b → = λ · a → и a → = μ · b → , где μ — произвольное действительное число (на основании теоремы о ранге матрицы), что указывает на факт коллинеарности векторов.
Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.
Рассмотрим применение условия коллинеарности на конкретных примерах.
Исходные данные: векторы a → = ( 3 — 2 2 , 1 ) и b → = ( 1 2 + 1 , 2 + 1 ) . Необходимо определить, коллинеарны ли они.
Решение
Выполним задачу, опираясь на условие коллинеарности векторов на плоскости в координатах: b x = λ · a x b y = λ · a y Подставив заданные значения координат, получим: b x = λ · a x ⇔ 1 2 + 1 = λ · ( 3 — 2 2 ) ⇒ λ = 1 ( 2 + 1 ) · ( 3 — 2 2 ) = 1 3 2 — 4 + 3 — 2 2 = 1 2 — 1 b y = λ · a y ⇔ 2 + 1 = 1 2 — 1 · 1 ⇔ ( 2 + 1 ) · ( 2 — 1 ) = 1 ⇔ 1 ≡ 1
Т.е. b → = 1 2 — 1 · a → , следовательно, заданные векторы коллинеарны.
Ответ: заданные векторы коллинеарны.
Исходные данные: векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( — 3 , 0 , 6 ) . Необходимо убедиться в их коллинеарности.
Решение
Т.к. b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z ⇔ — 3 = — 3 · 1 0 = — 3 · 0 6 = — 3 · ( — 2 ) , то верным будет равенство: b → = — 3 · a → , что является необходимым и достаточным условием коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.
Найдем также векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 1 0 — 2 — 3 0 6 = i → · 0 · 6 + j → · ( — 2 ) · ( — 3 ) + k → · 1 · 0 — k → · 0 · ( — 3 ) — j → · 1 · 6 — i → · ( — 2 ) · 0 = 0 → Ответ: заданные векторы коллинеарны.
Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 7 ) и b → = ( p , 3 ) . Необходимо определить, при каком значении p заданные векторы будут коллинеарны.
Решение
Согласно выведенному выше условию, векторы коллинеарны, если
b → = λ · a → ⇔ b x = λ · a x b y = λ · a y ⇔ p = λ · 2 3 = λ · 7
тогда λ = 3 7 , а p = λ · 2 ⇔ p = 6 7 .
Ответ: при p = 6 7 заданные векторы коллинеарны.
Также распространены задачи на нахождения вектора, коллинеарного заданному. Решаются они без затруднений, основываясь на условии коллинеарности: : достаточным будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный данному.
Исходные данные: вектор a → = ( 2 , — 6 ) . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.
Решение
Ответом может послужить, например, 1 2 · a → = ( 1 , — 3 ) или вектор 3 · a → = ( 6 , — 18 ) .
Ответ: вектор, коллинеарный заданному имеет координаты ( 1 , — 3 ) .
Исходные данные: вектор a → = ( 3 , 4 , — 5 ) . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.
Решение
Вычислим длину заданного вектора по его координатам: a → = a x 2 + b x 2 + c x 2 = 3 2 + 4 2 + ( — 5 ) 2 = 5 2 Разделим каждую из заданных координат на полученную длину и получим единичный вектор, коллинеарный данному: 1 a → · a → = ( 3 5 2 , 4 5 2 , — 1 2 )
Как найти вектор коллинеарный вектору
Формула
Примеры нахождения коллинеарного вектора
Подставим координаты заданных векторов в это равенство и найдем значение $m$:
По пропорции имеем:
$$2 cdot m=(-1) cdot(-3) Rightarrow 2 cdot m=3 Rightarrow m=frac<3><2>=1,5$$
А тогда значения неизвестных параметров $m$ и $n$ находим из равенств
$$frac<3>=2 Rightarrow m=6$$ $$frac<1>=2 Rightarrow n=frac<1><2>=0,5$$
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Поможем выполнить
любую работу
Все еще сложно?
Наши эксперты помогут разобраться
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Ищещь ответ на вопрос с которым нужна помощь?
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/uslovie-kollinearnosti-vektorov/
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_13_13.php
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b
Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = {ax; ay; az} и b = {nax; nay; naz}. Найдем их векторное произведение
a × b =
ijk
axayaz
bxbybz
= i (aybz — azby) — j (axbz — azbx) + k (axby — aybx) =
= i (aynaz — aznay) — j (axnaz — aznax) + k (axnay — aynax) = 0i + 0j + 0k = 0
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
Значит:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Пример 2. Доказать что вектора a = {0; 3} и b = {0; 6} коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}
Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
Значит:
Решим это уравнение:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Значит:
Вектора a и b коллинеарны т.к.
14 = 28 = 312
Вектора a и с не коллинеарны т.к.
15 = 210 ≠ 312
Вектора с и b не коллинеарны т.к.
54 = 108 ≠ 1212
Пример 5. Доказать что вектора a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}
Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Значит:
| 3 | = | 2 | = | m |
| 9 | n | 12 |
Из этого соотношения получим два уравнения:
Решим эти уравнения:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.