Как найти координаты векторов сторон треугольника

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике»

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

По известным координатам вершин треугольника  А(4;4), В(-6;-1), С(-2;-4) записать для его сторон уравнения в общем виде и уравнение в общем виде биссектрисы угла АВС. 

Решение

Так как нам известны координаты вершин, то проще всего получить уравнение стороны в канонической форме – формула, от которого легко перейти к уравнению в общей форме. Для канонического уравнения нам нужны координаты точки, принадлежащей стороне и координаты направляющего вектора (параллельного рассматриваемому).

1. Найдем уравнение стороны АВ. В качестве точки прямой можно взять точку А с заданными координатами, а в качестве направляющего вектора – вектор АВ. Найдем координаты вектора АВ:

2. Тогда каноническое уравнение стороны АВ запишется:

3. Аналогично можно получить уравнения остальных сторон треугольника: для стороны ВС: координаты вектора 

4. Откуда каноническое уравнение:

Следовательно, общее уравнение: 3x+4y+22=0.

5. Для стороны CА: координаты направляющего вектора

6. Каноническое уравнение: 

7. Выведем общее уравнение для биссектрисы. Известно, что биссектриса делит угол пополам. Если на сторонах АВ и ВС треугольника отложить орты (соответственно a и b) и построить на них ромб, то диагональ ромба также поделит угол пополам (по своему свойству) и, значит, ее можно будет взять направляющей биссектрисы. Вектор, построенный на диагонали ромба, равен сумме векторов a и b).

8. Для нахождения орта a необходимо знать координаты вектора BA:

соответственно a определится как:

9. Аналогично определим орт b:

Теперь определим их сумму:

10. Тогда каноническое уравнение биссектрисы:

Вспомним для начала основные понятия и формулы.

Пусть даны две точки: А(x1; x2) и B(y1; y2). Рассмотрим отрезок AB.

Длина отрезка АВ – это расстояние между точками A и B, его величина вычисляется по следующей формуле:

Рассмотрим теперь вектор AB. Напомню, что вектор – это направленный отрезок, то есть для него указано, какая из двух точек A и B является началом, а какая – концом. На рисунке ниже слева изображен отрезок AB, а справа – вектор AB с началом в точке A и концом в точке B.

Координаты вектора AB вычисляются следующим образом: из соответствующих координат конца вектора вычитаются соответствующие координаты начала вектора. Например, для нашего вектора AB это будет выглядеть так: AB(x2 – x1; y2 – y1).

Замечу, что модулем вектора AB называется длина отрезка AB.

Вспомним как найти координаты середины отрезка AB. Для этого есть простая формула:

x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2.

До этого момента мы рассматривали координаты на плоскости, а что, если речь пойдет о пространстве? Тут, оказывается, тоже все просто.

Пусть даны две точки A(x1; x2; x3) и B(y1; y2; y3).

Формула для вычисления длины отрезка AB, расположенного в пространстве будет выглядеть так:

А координаты середины отрезка AB найдем по формуле

x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2, z = (z1 + z2)/2.

И еще одна полезная формула: если вектор задан своими координатами, например,  MN(x1; x2; x3), то его модуль вычисляется по формуле:

Чтобы сложить два или более векторов, нужно сложить их соответствующие координаты, например,

(x1; x2; x3) + (y1; y2; y3) = (x1 + y1; x2 + y2; x3 + y3).

Чтобы умножить вектор на число, нужно умножить каждую его координату на это число, например,

5 · (x1; x2; x3) = (5 · x1; 5 · x2; 5 · x3).

Скалярным произведением двух векторов а и b называется число

a · b = |a»b| · сos (a, b),

Чтобы вычислить скалярное произведение векторов, заданных координатами, например, MN(x1; x2; x3) и PK(y1; y2; y3), можно воспользоваться следующей формулой:

MN · PK = x1 · y1 + x2 · y2 + x3 · y3.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

На практике коллинеарность векторов (x1; x2) и (y1; y2) проще всего проверить, используя следующее свойство: коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты, то есть существует число p, такое, что (x1; x2) = p · (y1; y2).

Существуют также такие понятия, как сонаправленные векторы и противоположно направленные векторы. Сонаправленные векторы – это коллинеарные векторы, которые направлены в одну сторону, соответственно, противоположно направленные векторы – это коллинеарные векторы, которые направлены в разные стороны.

Теперь давайте рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задача 1.

Доказать, что треугольник с вершинами A(6; -4; 2), B(3; 2; 3) и C(3; -5; -1) прямоугольный.

Решение.

Вполне очевидно, что для доказательства этой задачи достаточно показать, что один из углов треугольника ABC равен 90 градусов. Вспомним формулу для вычисления скалярного произведения через модули соответствующих векторов и косинус угла между ними, преобразуем ее и воспользуемся для нахождения угла.

сos (a, b) = a · b/|a»b|.

Для начала нам понадобятся координаты всех векторов, задающих стороны треугольника, их модули и всевозможные скалярные произведения. Вычисляем их.

Координаты векторов:

AB(3 – 6; 2 – (-4); 3 – 2) = AB(-3; 6; 1);

BC(3 – 3; -5 – 2; -1 – 3) = BC(0; -7; -4);

CA(6 – 3; -4 – (-5); 2 – (-1)) = CA(3; 1; 3).

Модули:

|AB| =

|BC| =

|CA| =

Скалярные произведения:

AB · BC = (-3) · 0 + 6 · (-7) + 1 · (-4) = 0 – 42 – 4 = -46;

BC · CA = 0 · 3 + (-7) · 1 + (-4) · 3 = 0 – 7 – 12 = -19;

AB · CA = (-3) · 3 + 6 · 1 + 1 · 3 = -9 + 6 + 3 = 0.

Теперь легко заметить, что угол между векторами AB и CA равен 90 градусов, так как

сos (AB, CA) = AB · CA / |AB»CA| = 0.

А, значит, угол А треугольника ABC равен 90 градусов, то есть треугольник ABC – прямоугольный, что и требовалось доказать.

Задача 2.

Даны точки А(0; 1; 2), B(1; 2; 4), C(-1; -1; 3) и D(1; 0; 0). Точки M и N – середины отрезков AC и BD. Найдите вектор MN и его модуль.

Решение.

Для начала найдем координаты точек M и N.

M((0 – 1)/2; (1 – 1)/2; (2 + 3)/2) = M(-1/2; 0; 5/2);

N((1 + 1)/2; (2 + 0)/2; (4 + 0)/2) = N(1; 1; 2).

Теперь найдем координаты вектора MN:

MN(1 – (-1/2); 1 – 0; 2 – 5/2) = MN(3/2; 1; -1/2).

Осталось найти модуль вектора MN.

|MN| =

Задача 3.

При каких значениях x векторы (x³ – 1)a и 2xa сонаправлены, где a – вектор, не равный нулевому вектору?

Решение.

Для того чтобы данные векторы были сонаправлены, необходимо, чтобы коэффициенты (x³ – 1) и 2x имели одинаковый знак, а значит, чтобы выполнялось следующее неравенство: (x³ – 1) · 2x > 0. Решим его методом интервалов и найдем соответствующие x.

Получим x € (-∞; 0) U (1; +∞).

Если бы в задаче требовалось узнать, при каких x данные векторы будут противоположно направлены, мы бы потребовали, чтобы у коэффициентов (x³ – 1) и 2x были различные знаки.

Задача 4.

Даны координаты вершин четырехугольника: A(2; -2), B(-3; 1), C(7; 7) и D(7; 1). Доказать, что ABCD – трапеция.

Решение.

Так как трапеция – это четырехугольник, у которого одна пара противолежащих сторон параллельна, то для доказательства нам достаточно показать, что векторы BC и AD – коллинеарны, то есть лежат на параллельных прямых. Найдем для начала их координаты.

BC(7 – (-3); 7 – 1) = BC(10; 6);

AD(7 – 2; 1 – (-2)) = AD(5; 3).

Заметим, что координаты векторов пропорциональны: (10; 6) = 2 · (5; 3). Это и указывает на то, что данные векторы коллинеарны, а, значит, ABCD – трапеция.

Остались вопросы? Не знаете, как выполнять действия над векторами?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Как по координатам вершин треугольника найти уравнения его сторон

В аналитической геометрии треугольник на плоскости можно задать в декартовой системе координат. Зная координаты вершин, вы можете составить уравнения сторон треугольника. Это будут уравнения трех прямых, которые, пересекаясь, образуют фигуру.

Вам понадобится

• — ручка;
• — бумага для записей;
• — калькулятор.

Инструкция

Прямая на плоскости описывается уравнением: ax+bу+с = 0, где х,y – координаты по оси 0х и оси 0у какой-либо точки прямой; a, b, с – числовые коэффициенты. Причем a и b не могут равняться нулю одновременно. Такой вид записи называется общим уравнением прямой.

Также прямую можно задать выражением вида: y = kx+c. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, который является тангенсом угла, образующегося при пересечении данной прямой с осью 0х.

Зная координаты двух точек А (х1;y1), В (х2;у2), вы можете записать уравнение прямой, проведенной через эти точки, используя пропорцию: (у-у1)/(у1-у2)=(х-х1)/(у1-у2). Далее, преобразовав это равенство, приведите его к виду как в шаге 1 или 2.

Рассмотрите алгоритм решения задачи на конкретном примере. Даны три вершины треугольника с известными координатами: А (9;8), В (7;-6), С (-7;4). Напишите уравнение прямых, образующих его.

Найдите уравнение для прямой АВ. Примените формулу из шага 3, подставив значения координат точек А и В: (у-8)/(8-(-6)) = (х-9)/(9-7). Преобразуйте его: (у-8)/14 = (х-9)/2 или 2(у-8) = 14(х-9). Сократите уравнение, разделив левую и правую части на два, и раскройте скобки: у = 7х-63+8 = 7х-55.
Уравнение для АВ: у = 7х-55. Или: 7х-у-55 = 0 (АВ).

Аналогично напишите уравнение для прямой ВС: (у-(-6))/(-6-4) = (х-7)/7-(-7)). (у+6)/(-10) = (х-7)/14. 7(у+6) = -5(х-7). 7у+42 = -5х+35. 7у = -5х-7. у = -5/7х-1.
Уравнение для ВС: y = -5/7х-1. Или: -5х-7у-7 = 0 (ВС).

Затем уравнение для прямой СА: (у-8)/(8-4) = (х-9)/(9-(-7)). 16(у-8) = 4(х-9). 4у-32 = х-9. 4у = х-9+32. у = 0,25х+5,75.
Уравнение для СА: у = 0,25х+5,75. Или: х-4у+23 = 0 (СА).

Вы составили уравнения трех сторон фигуры. Для самопроверки постройте треугольника в системе координат. Найдите на чертеже значения пересечений прямых с осью 0у. Сравните эти координаты с полученными в уравнении. Например, для (BC) при y = 0, х = -1,4.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?