Как найти координаты вершины параллелограмма если остальные - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти координаты 4-й вершины параллелограмма, зная координаты трёх других его вершин?

В декартовых координатах эту задачу можно решить, используя свойство диагоналей параллелограмма.

Из трёх известных вершин две являются концами одной диагонали. Находим координаты середины этой диагонали. Точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них. Для второй диагонали находим второй конец по известным одному концу и середине.

Примеры.

Дано: ABCD — параллелограмм,

A(-3;11), B(12;-4), C(1;-7)

Найти: D.

Решение:

1) Найдём координаты точки O — середины диагонали AC.

По формуле координат середины отрезка

$[x_O = frac{{x_A + x_C }}{2} = frac{{ - 3 + 1}}{2} = - 1;]$

$[y_O = frac{{y_A + y_C }}{2} = frac{{11 + ( - 7)}}{2} = 2.]$

То есть O(-1;2).

2) По свойству диагоналей параллелограмма, точка O также является серединой BD:

$[x_O = frac{{x_B + x_D }}{2}; - 1 = frac{{12 + x_D }}{2};x_D = - 14;]$

$[y_O = frac{{y_B + y_D }}{2};2 = frac{{ - 4 + y_D }}{2};y_D = 8.]$

Ответ: D (-14; 8).

Дано: ABCD — параллелограмм,

B(7;4), C(-5;10), D(-1;-2)

Найти: A.

Решение:

1) Ищем координаты точки O — середины отрезка BD:

$[x_O = frac{{x_B + x_D }}{2};x_O = frac{{7 + ( - 1)}}{2} = 3;]$

$[y_O = frac{{y_B + y_D }}{2};x_O = frac{{4 + ( - 2)}}{2} = 1.]$

Итак, O (3;1).

2) Точка O также является серединой AC:

$[x_O = frac{{x_A + x_C }}{2};3 = frac{{x_A + ( - 5)}}{2};x_A = 11;]$

$[y_O = frac{{y_A + y_C }}{2};1 = frac{{y_A + 10}}{2};y_A = - 8.]$

Ответ: A (11;-8).

Источник

13. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если координаты трех других вершин известны:

1) А(2;3;2), В(0;2;4), С(4;1;0);

2) А(1;-1;0), В(0;1;-1), С(-1;0;1);

3) А(4;2;-1), В(1;-3;2), С(-4;2;1).

Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Источник:

Решебник

по

геометрии

за 10 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №13
к главе «§18. Декартовы координаты и векторы в пространстве».

Все задачи

← 12. Даны один конец отрезка А(2;3;-1) и его середина С(1;1;1). Найдите второй конец отрезка В(х;у;z).

14. Докажите, что середина отрезка с концами в точках А(а;с;-Ь) и В(-а;d;b) лежит на оси у. →

Комментарии

Источник

Найдите координаты всех вершин параллелограмма, если известны координаты одной вершины А(1;0) и уравнения двух его сторон: — 3x+7y-5=0 и 5x-9y+3=0

математика ВУЗ
1115

★

Точка А не принадлежит ни одной из данных прямых, так как

при подстановке координат точки А в данные уравнения не получается верных равенств:

-3*1+7*0-5=0 — неверно
5*1-9*0+3=0 — неверно

Найдем точку пересечения двух сторон, заданных уравнениями:

[m]left{begin{matrix}-3x+7y-5=0\5x-9y+3=0 end{matrix}right.[/m].

Умножаем первое уравнение на 5, второе на 3
[m]left{begin{matrix}-15x+35y-25=0\15x-27y+9=0 end{matrix}right.[/m].

Складываем, т. е одно из данных уравнений оставляем без изменения, а вместо второго
— сумму двух последних
[m]left{begin{matrix}-3x+7y-5=0\7y-16=0 end{matrix}right.[/m].

[m]left{begin{matrix}3x=7cdotfrac{16}{7} -5 \y=frac{16}{7} end{matrix}right.[/m].

Пусть это точка С ([m]frac{11}{3}[/m];[m]frac{16}{9}[/m])

Тогда составляем уравнение сторон, параллельных данным и проходящих через точку А:

( см. решение аналогичной задачи https://reshimvse.com/question/5fad897f322e6f41f4eb6685 )

-3x+7y-5=0 ⇒ Семейство параллельных ей прямых -3x+7y+m=0 ⇒ -3*1+7*0+m=0 ⇒ m=3

[b]-3x+7y+3=0 [/b]

5x-9y+3=0⇒ Семейство параллельных ей прямых 5x-9y+n=0 ⇒5*1-9*0+n=0 ⇒n=-5

[b]5x-9y-5=0[/b]

Находим двух других вершин как точки пересечения прямых:
[m]left{begin{matrix}-3x+7y-5=0\5x-9y-5=0 end{matrix}right.[/m] и [m]left{begin{matrix}-3x+7y+3=0\5x-9y+3=0 end{matrix}right.[/m].

Решаем самстоятельно ….

Источник

ГДЗ (готовое домашние задание из решебника) на Задача №13, § 4 по учебнику Геометрия. 10-11 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений / А. В. Погорелов — 13-е издание. Просвещение, 2014-2017г.

Условие

Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если координаты трех других вершин известны: 1) A(2;3;2), B(0;2;4), C(4;1;0); 2) A(1;-1;0), B(0;1;-1), C(-1;0;1); 3) A(4;2;-1), B(1;-3;2), C(-4;2;1).

Решение 1

Восстановление пароля

Мы отправили письмо со ссылкой на смену пароля на username@mail.ru.

Если письма нет, проверь папку «Спам».

Чтобы вопрос опубликовался, войди или зарегистрируйся

Нужна регистрация на Учи.ру

«Ваш урок» теперь называется Учи.Ответы. Чтобы зайти на сайт, используй логин и пароль от Учи.ру. Если у тебя их нет, зарегистрируйся на платформе.

Источник

Условие

Решение 1

Популярные решебники

Восстановление пароля

Нужна регистрация на Учи.ру