Как найти координаты вершины равностороннего треугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Найдите координаты вершины С равностороннего треугольника АВС, если А (2; -3) и В (-2; 3).

Ваш ответ

решение вопроса

Как найти вершину равностороннего треугольника

Ключевые слова: треугольник, сторона, угол, окружность вписанная, описанная

Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами ($$alpha, beta, gamma$$), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Правильный треугольник или равносторонний треугольник — правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны равны между собой, и все углы равны 60° (или $$frac<pi><3>$$).

Пусть t — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону $$r = frac<sqrt<3>><6>cdot t$$.
Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону $$R = frac<sqrt<3>><3>cdot t$$.
Периметр правильного треугольника равен $$P = 3t = 3 sqrt<3>R = 6sqrt<3>r$$.
Высота правильного треугольника: $$h = frac<sqrt<3>><2>t$$.
Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам: $$S = frac<sqrt<3>><4>t^ <2>= frac<3sqrt<3>><4>R^ <2>= 3 sqrt<3>r^<2>$$.

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

источники:

http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=61

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

Источник

Как найти вершину треугольника?

Для того чтобы найти координаты вершины равностороннего треугольника, если известны координаты двух других его вершин, нужно воспользоваться одним из предложенных способов.

1 способ (графический)

В системе координат отмечаем две заданные вершины.
Ставим ножку циркуля в одну из построенных точек.
Проводим окружность с радиусом, равным расстоянию между отмеченными вершинами.
Таким же образом чертим вторую окружность с тем же радиусом, но из второй отмеченной точки.
Точки пересечения проведённых окружностей определяют вершины треугольников (их получится два).
Определяем координаты полученных точек, исходя из полученного чертежа.

Данный способ позволяет точно построить третью вершину. Однако определение координат является приблизительным. Метод хорошо использовать для иллюстрации.

2 способ (аналитический)

Решение задачи основано на применении формулы нахождения расстояния между двумя точками: d(A(x1;y1);B(x2;y2))=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)

Пусть имеются вершины A(x1;y1) и B(x2;y2) треугольника АВС. Обозначим координаты третьей вершины x и y (то есть, С(x;y))
Составляем соотношения
AC=√((x-x1)^2+(y-y1)^2)
BC=√((x-x2)^2+(y-y2)^2)
AB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
Учитывая, что треугольник равносторонний, составляем систему уравнений:
AC=BC
AC=AB
Или система уравнений:
√((x-x1)^2+(y-y1)^2)= √((x-x2)^2+(y-y2)^2)
√((x-x1)^2+(y-y1)^2)= √((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
Методом подстановки решаем полученную систему.

Теперь вы знаете, как найти вершину треугольника.

Внимание! Оба случая применимы только для равностороннего треугольника.
Для равнобедренного или любого другого произвольного треугольника для нахождения координат третьей вершины требуются дополнительные данные (например, значение некоторых отрезков или углов).

Уравнение описанной окружности

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности

получим систему уравнений

$[ left{ begin{array}{l} (2 - a)^2 + (1 - b)^2 = R^2 , \ (6 - a)^2 + (3 - b)^2 = R^2 , \ (9 - a)^2 + (2 - b)^2 = R^2 . \ end{array} right. ]$

Вычтем из первого уравнения системы второе:

Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:

Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:

Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:

a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности

Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.

Прямая на плоскости

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Пример . В задачах даны координаты точек A , B , C . Требуется: 1) записать векторы AB и AC в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами AB и AC .
Решение.
1) Координаты векторов в системе орт. Координаты векторов находим по формуле:
X=x_j-x_i; Y=y_j-y_i
здесь X , Y координаты вектора; x_i , y_i — координаты точки А_i ; x_j , y_j — координаты точки А_j
Например, для вектора AB: X=x₂-x₁=12-7=5 ; Y=y₂-y₁=-1-(-4)=3
AB(5;3), AC(3;5), BC(-2;2)
2) Длина сторон треугольника. Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между прямыми. Угол между векторами a₁(X₁;Y₁) , a₂(X₂;Y₂) можно найти по формуле:

где a₁a₂=X₁X₂+Y₁Y₂
Найдем угол между сторонами AB и AC

γ = arccos(0.88) = 28.07 0
Уравнение прямой. Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂) , представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB . Каноническое уравнение прямой:
или
y= 3 /₅x- 41 /₅ или 5y-3x+41=0

Источник

UCHEES.RU — помощь студентам и школьникам

В 8:10 поступил вопрос в раздел ЕГЭ (школьный), который вызвал затруднения у обучающегося.

Вопрос вызвавший трудности

Найдите координаты вершины А равностороннего треугольника ABC, если известны координаты вершин В (-2;0) и с (4;0)

Ответ подготовленный экспертами Учись.Ru

Для того чтобы дать полноценный ответ, был привлечен специалист, который хорошо разбирается требуемой тематике «ЕГЭ (школьный)». Ваш вопрос звучал следующим образом: Найдите координаты вершины А равностороннего треугольника ABC, если известны координаты вершин В (-2;0) и с (4;0)

После проведенного совещания с другими специалистами нашего сервиса, мы склонны полагать, что правильный ответ на заданный вами вопрос будет звучать следующим образом:

решение задания по геометрии

НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ АВТОРЕ ЭТОГО ОТВЕТА:

Работы, которые я готовлю для студентов, преподаватели всегда оценивают на отлично. Я занимаюсь написанием студенческих работ уже более 4-х лет. За это время, мне еще ни разу не возвращали выполненную работу на доработку! Если вы желаете заказать у меня помощь оставьте заявку на этом сайте. Ознакомиться с отзывами моих клиентов можно на этой странице.

Королёва Рамина Кирилловна — автор студенческих работ, заработанная сумма за прошлый месяц 84 300 рублей. Её работа началась с того, что она просто откликнулась на эту вакансию

ПОМОГАЕМ УЧИТЬСЯ НА ОТЛИЧНО!

Выполняем ученические работы любой сложности на заказ. Гарантируем низкие цены и высокое качество.

Деятельность компании в цифрах:

Зачтено оказывает услуги помощи студентам с 1999 года. За все время деятельности мы выполнили более 400 тысяч работ. Написанные нами работы все были успешно защищены и сданы. К настоящему моменту наши офисы работают в 40 городах.

РАЗДЕЛЫ САЙТА

Ответы на вопросы — в этот раздел попадают вопросы, которые задают нам посетители нашего сайта. Рубрику ведут эксперты различных научных отраслей.

Полезные статьи — раздел наполняется студенческой информацией, которая может помочь в сдаче экзаменов и сессий, а так же при написании различных учебных работ.

Красивые высказывания — цитаты, афоризмы, статусы для социальных сетей. Мы собрали полный сборник высказываний всех народов мира и отсортировали его по соответствующим рубрикам. Вы можете свободно поделиться любой цитатой с нашего сайта в социальных сетях без предварительного уведомления администрации.

ЗАДАТЬ ВОПРОС

НОВЫЕ ОТВЕТЫ

Абадзехская стоянка, Даховская пещера. ..

По закону сохранения заряда каждый шарик после соприкасl..

2)прогудел первый мохнатый шмель 3) Зазвенела Прогудел 4) ..

В мілкій траві ворушаться сліди веселих, сполоханих доще
..

ПОХОЖИЕ ВОПРОСЫ

Найдите длину отрезка, концы которого лежат на осях координат, а серединой является точка М (-4; 3),

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (-2; 1), В (1;4) С (5;0) D (2; -3) является прямоугольником

Площадка Учись.Ru разработана специально для студентов и школьников. Здесь можно найти ответы на вопросы по гуманитарным, техническим, естественным, общественным, прикладным и прочим наукам. Если же ответ не удается найти, то можно задать свой вопрос экспертам. С нами сотрудничают преподаватели школ, колледжей, университетов, которые с радостью помогут вам. Помощь студентам и школьникам оказывается круглосуточно. С Учись.Ru обучение станет в несколько раз проще, так как здесь можно не только получить ответ на свой вопрос, но расширить свои знания изучая ответы экспертов по различным направлениям науки.

2020 — 2023 — UCHEES.RU

Источник

Let $C = (a, b)$ be any given point in the plane, and let $r$ be any given positive real number. Then how to find the coordinates of the vertices of an equilateral triangle inscribed in the circle
$$
left{ (x, y) in mathbb{R}^2 colon (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 right}?
$$

My Attempt:

Let $P$, $Q$, $R$ be the vertices one such equilateral triangle. Then we have
$$
triangle PCQ cong triangle QCR cong triangle RCP.
$$
So we have
$$
angle PCQ cong angle QCR cong angle RCP,
$$
which implies that
$$
m angle PCQ = m angle QCR = m angle RCP = frac{pi}{3}.
$$
Moreover, we also have
$$
vec{OP} = vec{OC} + vec{CP}.
$$
If $alpha$ is the angle that $vec{CP}$ makes with the positive $x$-axis, where $0 leq alpha < 2 pi$, then we have
$$
vec{OP} = (a + r cos alpha ) hat{i} + ( b + r sin alpha ) hat{j}.
$$
Thus we have
$$
P = big( a + r cos alpha, b + r sin alpha big).
$$
Since the angle between the vectors $vec{CP}$ and $vec{CQ}$ and the angle between $vec{CQ}$ and $vec{CR}$ is $frac{pi}{3}$, we have
$$
vec{OQ} = vec{OC} + vec{CQ} = left( a + r cos left( alpha + frac{pi}{3} right) right) hat{i} + left( b + r sin left( alpha + frac{pi}{3} right) right) hat{j},
$$
and therefore we have
$$
Q = left( a + r cos left( alpha + frac{pi}{3} right) , , , b + r sin left( alpha + frac{pi}{3} right) right).
$$
Similarly, we have
$$
R = left( a + r cos left( alpha + frac{2pi}{3} right) , , , b + r sin left( alpha + frac{2 pi }{3} right) right).
$$

Is my solution correct and clear enough? Or, are there any problems?

Источник

Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.

поделиться знаниями или
запомнить страничку

Все категории
экономические
43,662
гуманитарные
33,654
юридические
17,917
школьный раздел
611,978
разное
16,905

Популярное на сайте:

Источник

Найдите координаты вершины С равностороннего треугольника АВС, если А (2; -3) и В (-2; 3).

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

Как найти вершину равностороннего треугольника

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

Определение равностороннего треугольника

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

Свойство 2

Свойство 3

Свойство 4

Свойство 5

Свойство 6

Пример задачи

Как найти вершину треугольника?

1 способ (графический)

2 способ (аналитический)

Уравнение описанной окружности

Прямая на плоскости

Вопрос вызвавший трудности

Ответ подготовленный экспертами Учись.Ru