Как найти координаты вершины в прямоугольном треугольнике

Как найти координаты третьей вершины?

Прошу помочь в нахождении формул.

• Вопрос задан более трёх лет назад
• 21885 просмотров

Оценить 5 комментариев

Хорошо учился бы в школе, вопросов бы не задавал.

Рад, что предоставил вам возможность почувствовать себя образованнее.

«Если задать вопрос на американском форуме, вам 40 человек дадут подробный ответ на вопрос.
Если спросить на израильском форуме, вам в ответ зададут 40 вопросов.
А если спросить на русском форуме, вам 40 человек расскажут почему ты мудак и вопрос твой мудацкий» ©

Человек же просто спросил.

В таком случае уж начните с определений:

— какая перед Вами стоит задача;
— какой инструментарий Вам доступен;
— способны ли Вы найти сумму квадратов катетов.

В противном случае не совсем понятно на каком уровне Вам отвечать: дать ссылку на готовую библиотеку или научить пользоваться калькулятором.

Раз так, то пляшем от картинки:

Один из вариантов решения Вашей задачи: предположим, что центр системы координат совпадает с точкой A, таким образом Cx=b*cos(g+t), Cy=b*sin(g+t)

Угол g вычисляем по теореме косинусов или синусов, смотря что Вам идеологически ближе (теорему см. по фиолетовой ссылке).
Синус угла t будет равен By/c.

Следует обратить внимание на периодичность функций, не забывать про различия промеж градусами и радианами, поглядывать сюда и сюда а так же иметь в виду особенные случаи про которые в условии ничего не сказано.

Не так давно уважаемый тов. timyrik20 написал хабрапост на интересующую Вас тему.

Человек же просто спросил.

Человеку прям сразу и ответили. Вполне исчерпывающе, как на уровень хабра.

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

1.Теорема Пифагора

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство.

1. Разделим каждую сторону большого квадрата на два отрезка x и y точкой. И проведем через эти точки отрезки.

2. Тогда треугольники 1,2,3,4 равны по двум сторонам и углу между ними.

3. Т.к. сумма углов α + β = 90°, то фигура внутри большого квадрата тоже квадрат. (Все стороны = с и все углы = 90° )

4. Площадь большого квадрата равна сумме площадей малого квадрата и 4-х треугольников. (Рис.1)

2.Египетский треугольник

Пусть дан треугольник со сторонами АВ = a, ВС = b, АС = c. При условии, что а 2 + b 2 = с 2 . Доказать, что угол, лежащий против стороны с, прямой.

Допустим, что треугольник АВС не прямоугольный. Тогда можно опустить высоту на сторону АС — h (Рис.2). Из двух прямоугольных треугольников ABD и DBC составим следующую систему уравнений по теореме Пифагора. Обозначим AD как х, BD — высота h.

Но по условию задачи а 2 + b 2 = с 2 . Следовательно х = 0 и сторона а = h. Т.е. угол между сторонами АВ и АС — прямой.

В древнем Египте данное соотношение применялось очень широко. Например для построения прямого угла между сторонами при строительстве зданий и сооружений. Или при измерении прямых углов пахотных земель. Так как зная соотношение, можно легко построить прямой угол. По этой причине треугольник со сторонами 3,4,5 ед. называют Египетским треугольником.

Рис.2 Египетский треугольник.

3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС. Проведем прямую ЕF параллельную стороне АВ (Рис.3). Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:

Т.е. соs α не зависит от размеров прямоугольного треугольника, а зависит только от величины угла. Тогда по теореме Пифагора sin α также зависит только от величины угла. А следовательно tg α и ctg α.

Отсюда можно сделать следующие выводы:

AB = BC sin α
AC = BC cos α
AB = AC tg α
AC = AB ctg α

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )	Примечание: дробные числа записывайте через точку, а не запятую. Округлять до -го знака после запятой. Планиметрия. Страница 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Рис.1 Теорема Пифагора.
Рис.3 Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике. 4.Основные тригонометрические тождества Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.4)	Рис.4 Основные тригонометрические тождества. Репетитор: Васильев Алексей Александрович
	Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование. 2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты. Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

5.Пример 1

У треугольника одна сторона равна 1 м, а прилегающие к ней углы 30° и 45°. Найдите другие стороны треугольника. (рис.5)

Так как один из углов 30 градусов, то катет, лежащий против этого угла равен половине гипотенузы, т.е. h = b/2. А следовательно КС = h, т.к. угол β = 45 градусов.

Рис.5 Задача. У треугольника одна сторона равна 1 м.

Пример 2

Найдите высоту равнобокой трапеции, если ее основания равны 6 м и 12 м, а боковая сторона равна 5 м. (Рис.6)

Решение:

Пусть ABCD данная трапеция. ВЕ перпендикуляр, опущенный на основание AD. Тогда АЕ = (12 — 6)/ 2 = 3 м. Так как АЕ = FD.

По теореме Пифагора:

АВ 2 = AE 2 + BE 2

Рис.6 Задача. Найдите высоту равнобокой трапеции.

Пример 3

Докажите, что расстояние между двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон. (Рис.7)

Доказательство:

Пусть ABC данный треугольник. АС — его большая сторона. Проведем отрезок DE параллельно стороне АС. Необходимо доказать, что отрезок DE меньше стороны АС. Если мы докажем, что отрезок DE меньше большей стороны АС, то при взятии двух других точек треугольника на других его меньших сторонах, отрезок между этими точками будет также меньше стороны АС.

Опустим перпендикуляр BF на большую сторону АС. Составим следующее соотношение:

АС = АВ сos α + ВС cos β

Тогда отрезок DE будет равен:

DE = DB сos α + ВE cos β

Так как DB Рис.7 Задача. Докажите, что расстояние между двумя точками.

Пример 4

Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние меньше радиуса, пересекает окружность в двух точках. (Рис.8)

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, отстоящая от центра окружности точки О, на расстояние ОЕ = h h, то прямая а будет иметь две точки пересечения. Так как

h = ОА*cos α = ОВ*cos (-α)

Радиусы ОА и ОВ можно рассматривать как две наклонные, отложенные в двух полуплоскостях, в треугольнике АОВ перпендикуляра ОЕ.

Рис.8 Задача. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности.

Пример 5

Даны три положительных числа a,b,c. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.9)

Доказательство:

Пусть даны три точки. Если эти три точки лежат на одной прямой, например А,Е,С, то расстояния между этими точками связаны соотношением: АС = АЕ + ЕС

Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше двух других. Т.е. расстояние между точками А и С не больше двух расстояний АЕ и ЕС.

Если взять три точки, не лежащих на одной прямой, например А,В,С и опустить перпендикуляр ВЕ, то АС AB + BC (Рис.9 б). Тогда концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в точке В. Так как, если даже отрезки такой же длины отложить на отрезке АС, то получится, что

Таким образом, если числа a,b и с принять за длины отрезков, то концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в одной точке В. Между ними образуется некое расстояние ВВ₁ и построить треугольник не получится.

Рис.9 Задача. Даны три положительных числа.

I want to locate precisely the 3rd coordinate of a right angled triangle.
I have:

1. the length of three sides
2. The three angles
3. The other two coordinates of the triangle

The triangle can lie in any orientation in 2D coordinate system.

The three sides, angles and coordinates could be different in the piece of experiment and I am not working with any fix pair of values… I am actually dealing with multiple pairs of all above mentioned values.

I need a reliable and accurate way of finding the 3rd coordinate. Currently I have this formula but it calculated two pairs of coordinates (forming a butterfly) instead of the triangle.

Edit 2:

In the diagram that I mentioned and to which a (potential) solution has been presented, I have a confusion/connected question (because I believe this could be the cause of the problem).

Question:

Can $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$ be any pair of the right angles triangle? or does $(x_1, y_1)$ must the coordinates of the right angle and $(x_2, y_2)$ for the base vertex?

Currently I get this:

As you can see, the coordinate I am trying to get is draw way-off the border of the circle. The coordinate should be found on the border of the circles and not that far away in space.

As you might have guessed that I am trying to draw tangents between each circle. I have worked out rest of the code but the coordinate is being calculated incorrectly and thus the right angled triangle is formed incorrectly..

Edit (ignore this heading please):

I want to find only ONE triangle instead of the four possibilities.

http://awaismunir.net/universal/tangents/3rd-third-vertext-calculate-right-angled-triangle.gif

Note:

I have already reviewed these urls:

Calculate coordinates of 3rd point (vertex) of a scalene triangle if angles and sides are known.

and

How to find the third coordinate of a right triangle given 2 coordinates and lengths of each side

Kindly help.

Thanks!

Steve

Автор	Сообщение
	Заголовок сообщения: Найти вершину прямоугольного треугольника Добавлено: 01 апр 2014, 06:03
Начинающий Зарегистрирован: 01 апр 2014, 06:00 Сообщений: 9 Cпасибо сказано: 0 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1	Здравствуйте! Прошу вашей помощи в решении такой задачи. Есть прямоугольный треугольник, для которого известны все углы, все стороны, координаты двух вершин. Нужно найти координаты третьей вершины.
Вернуться к началу

v0id	Заголовок сообщения: Re: Найти вершину прямоугольного треугольника Добавлено: 01 апр 2014, 07:28
	Вот чертёж: Точки А(3542375, 951786), B(3542479, 951686), заданы параметрически. Исходя из этого, необходимо вычислить координаты вершины С.
Вернуться к началу

v0id	Заголовок сообщения: Re: Найти вершину прямоугольного треугольника Добавлено: 01 апр 2014, 08:32
	Если я Вас правильно понимаю, то параметром данной задачи являются координаты двух вершин.
Вернуться к началу

v0id	Заголовок сообщения: Re: Найти вершину прямоугольного треугольника Добавлено: 01 апр 2014, 09:15
	Andy, задача немного вырвана из контекста, т.к. задача встала при разработке программы, но могу изложить её суть. Есть координаты 2 точек которые лежат на дуге с радиусом 150, значение центрального угла. Задача: найти центр этой окружности. Может конечно и очень лёгкая задача, но буду благодарен, если Вы мне подскажете её решить.
Вернуться к началу

v0id	Заголовок сообщения: Re: Найти вершину прямоугольного треугольника Добавлено: 01 апр 2014, 09:30
	Andy, откуда ведь я взял этот прямоугольный треугольник: имея 2 точки на дуге, проводим хорду, получаем равнобедренный треугольник, находим середину хорды, строим медиану этого треугольника, и получается 2 подобных прямоугольных треугольников, а дальше чертёж, который в начале темы. Поясните пожалуйста. Если можно, то покажите как рассчитать координаты центра(координаты вершины прямоугольного треугольника).
Вернуться к началу

Andy	Заголовок сообщения: Re: Найти вершину прямоугольного треугольника Добавлено: 01 апр 2014, 09:42
	v0id, заметьте, что двум заданным точкам соответствуют две окружности заданного радиуса, которым эти точки могут принадлежать. Центры этих окружностей можно найти так: 1) найти уравнение прямой, соединяющей заданные точки; 2) найти уравнение прямой, перпендикулярной найденной в п. 1 и проходящей через середину отрезка, соединяющего заданные точки; 3) составить уравнение окружности заданного радиуса с центром в одной из заданных точек и найти точки её пересечения с прямой, найденной в п. 2.
Вернуться к началу