Как найти корень линейной функции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

��

�� : ��, �� , �� , �� , ��, ��

��  �� y = kx + b, �� k � b — �� .

��  �� x � y �� y = kx.

��  y = kx �� $$k ne 0$$

��  — �� R �� .
�� — �� x = 0.
��  �� k:

k > 0, �� y > 0 �� x > 0 ; y < 0 �� x < 0;
k < 0, �� y > 0 �� x < 0 ; y < 0 �� x > 0.

�� ��.
�� :

�� k > 0, �� y �� ;
�� k < 0, �� y �� .

�� .
��  — �� R.
�� — �� y = kx ��.

�� y = kx �� , �� .

�� k �� ��  �� .

�� y = kx + b �� , �� b ��.
�� . ��: A(0;b) B($$-frac{b}{k}$$;0), �� $$k ne 0$$.

��. ��:
�� , �� , �� , �� , �� , �� , �� , �� , �� , �� , �� , �� , ��

Источник

В этой теме рассмотрим подробный алгоритм решения линейных уравнений с одной переменной. Что же такое решение уравнений? Уравнение считается решенным, если мы нашли корни уравнения или доказали, что их нет. Линейные уравнения – это самый простой вид уравнений в школьной программе по математике.

Формула линейного уравнения.

Принято линейное уравнение записывать так:
ax+b=0
где коэффициенты a и b произвольные числа (числа которые явно записаны),
а переменная x – это неизвестное число.
Пример линейных уравнений:
5x-6=0,
0,3-4x=0,
6x=2.

Алгоритм решения линейного уравнения.

В математике существуют различные виды уравнений. Например, квадратные уравнения, рациональные уравнения, иррациональные уравнения и т.д. И каждый вид уравнения решается определенным способом. Не существует единого алгоритма решения всех уравнений, поэтому для каждого вида уравнений свой способ решения. И каждый способ надо запоминать. Теперь вернемся к линейным уравнениям и разберем пошаговый алгоритм действий.
Как решать линейные уравнения?

Правило решения достаточно просты.

1 шаг. У всех уравнений есть две стороны левая и правая. Знак равно = эти две части разделяет. Все что написано в уравнении до знака равно находится с левой части уравнения, а все что написано после знака равно — правая часть.
Рассмотрим пример линейного уравнения:
2x+5=8
Левая часть уравнения (2x+5) = правая часть уравнения (8)

2 шаг. Необходимо перенести неизвестные (переменные или буквы) в одну сторону, а известные (цифры) в другую сторону уравнения. При переносе слева на право или наоборот справа на лево числа или переменной, нужно поменять знак. Если был знак “+” поменяется на знак минус и наоборот.
В нашем примере 2х это неизвестное, а число 5 и 8 известное.
В уравнении 2x+5=8 число 5 находится слева, необходимо, это число перенести вправо, чтобы числа посчитать с числами. У числа 5 знак + поэтому при переносе слева на право знак поменяется на минус. Получим:
2x=8-5
2x=3

3 шаг. Если перед переменной стоит число, а в нашем уравнении стоит 2 перед х, тогда все уравнение делим на это число.
2x=3 |:2
|:2 такая запись означает, что мы должны все элементы уравнения поделить на 2. Если подробно расписать, то линейное уравнение будет выглядеть так:
2x:2=3:2
2x:2 получим 1x или просто х, а 3:2=1,5
x=1,5

4 шаг. Мы нашли корень уравнения x=1,5.
Корень уравнения – это число которое превращает уравнение в верное равенство.
Чтобы проверить правильно ли решено уравнение необходимо вместо переменной х в уравнение 2x+5=8 подставить найденный корень x=1,5.
2x+5=8
2 •1,5+5=8
3+5=8
8=8
Получено верное равенство, поэтому корень найден верно.

Рассмотрим следующий пример:
2х–3,5=7х+10
Сделаем перенос неизвестных влево, а известных вправо. Неизвестные – это 2х и 7х. Необходимо 7х перенести влево и поменять знак с “+” на “–”. Перед 7х не стоит ни каких знаков поэтому считается знак плюс. Известные – это -3,5 и 10. Число -3,5 нужно перенести слева на право и поменять знак с минуса на плюс. Получим:
2х–7х=10+3,5
–5х=13,5
Так как перед переменной х стоит число -5, нужно все уравнение поделить на -5, чтобы перед переменной х стало число 1.
–5х=13,5 |:(–5)
x=13,5:( –5)
x=–2,7
Сделаем проверку. Подставим в уравнение 2х–3,5=7х+10 вместо переменной х число –2,7.
2х–3,5=7х+10
2•(–2,7)–3,5=7•(–2,7)+10
–5,4–3,5= –18,9+10
-8,9=-8,9

Линейные уравнение, которые не имеют решения.

Уравнения могут не иметь решения. Как же выглядят такие линейные равнения? Как решаются такие линейные уравнения.
Для простоты давайте рассмотрим пример:
3х-6,7=х+4+2х
Здесь мы решаем точно также, как и в предыдущих примерах. Неизвестные (3х, х и 2х) группируем с лева, а известные (-6,7 и 4) – с права. Не забываем менять знаки при переносе. Получаем:
3х-х-2х=4+6,7
0х=10,7 или 0=10,7
Всем известно, что число 0 и 10,7 не равны друг другу, следовательно, у такого уравнения нет решения, потому что при любом значении переменной х верного равенства не будет.

Линейные уравнения, у которых бесконечное количество решений.

Чаще всего у линейных уравнений один корень, но бывают случаи, когда корней бесконечное множество. Такое линейное уравнение легко распознать визуально. Левая часть и правая часть уравнения равны при любых переменных.
Рассмотрим пример:
-5+2х+1=9+2х-13
Переносим неизвестные влево, а известные вправо. Не забываем менять знак.
2х-2х=9-13+5-1
0=0
Когда левая часть и правая часть равны одинаковым выражениям, тогда такое линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Источник

Как найти k и b по графику линейной функции?

В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции , т.е. найти (k) и (b) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):

В статье я расскажу про два простых способа найти (k) и (b), если известен график линейной функции.

Способ 1

Первый способ основывается на трех фактах:

Линейная функция пересекает ось (y) в точке (b).
Примеры:

Но не советую определять так (b), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.

Если функция возрастает, то знак коэффициента (k) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то (k=0).

Чтоб конкретнее определить (k) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить (k) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.

Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.

(b=3) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит (k 0). (k=+frac=frac<4><4>=1,b=1). (f(x)=x+1).

Теперь перейдем к функции (g(x)). Найдем координаты точек (D) и (E): (D(-2;4)), (E(-4;1)). Можно составить систему:

Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать (b):

(g(x)=1,5x+7). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем (f(x)) и (g(x)).

Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку «скачать статью».

Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007

Тип урока: Обобщение, закрепление пройденного материала и объяснение нового.

Цели и задачи урока:

повторение изученных графиков функций;
повторение и закрепление графического способа решения уравнений;
закрепление навыков записи и копирования формул, построения графиков функций в электронных таблицах Excel 2007;
формирование и первичное закрепление знаний о решении уравнений с использованием возможностей электронных таблиц Excel 2007;
формирование мышления, направленного на выбор оптимального решения;
формирование информационной культуры школьников.

Оборудование: персональные компьютеры, мультимедиапроектор, проекционный экран.

Материалы к уроку: презентация Power Point на компьютере учителя (Приложение 1).

Слайд 1 из Приложения1 ( далее ссылки на слайды идут без указания Приложения1).

Объявление темы урока.

1. Устная работа (актуализация знаний).

Слайд 2 — Соотнесите перечисленные ниже функции с графиками на чертеже (Рис. 1):

у = 6 — х; у = 2х + 3; у = (х + 3) 2 ; у = -(х — 4) 2 ; .

Слайд 3 Графический способ решения уравнений вида f(x)=0.

Корнями уравнения f(x)=0 являются значения х₁, х₂, … точек пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс (Рис. 2).

Найдите корни уравнения х 2 -2х-3=0, используя графический способ решения уравнений (Рис.3).

Слайд 5 Графический способ решения уравнений вида f (x)=g (x).

Корнями уравнения f(x)=g(x) являются значения х₁, х₂, … точек пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x). (Рис. 4):

Слайд 6 Найдите корни уравнения , используя графический способ решения уравнений (Рис. 5).

2. Объяснение нового материала. Практическая работа.

Решение уравнений графическим способом требует больших временных затрат на построение графиков функций и в большинстве случаев дает грубо приближенные решения. При использовании электронных таблиц, в данном случае – Microsoft Excel 2007, существенно экономится время на построение графиков функций, и появляются дополнительные возможности нахождения корней уравнения с заданной точностью (метод Подбор параметра).

I. Графический способ решения уравнений вида f(x)=0 в Excel.

Дальнейшая работа выполняется учителем в Excel одновременно с учениками с подробными (при необходимости) инструкциями и выводом результатов на проекционный экран. Слайды Приложения 1 используются для формулировки задач и подведения промежуточных итогов.

Пример1: Используя средства построения диаграмм в Excel, решить графическим способом уравнение —х 2 +5х-4=0.

Для этого: построить график функции у=-х 2 +5х-4 на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25; найти значения х точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

Выполнение задания можно разбить на этапы:

1 этап: Представление функции в табличной форме (рис. 6):

в ячейку А1 ввести текст Х, в ячейку A2 — Y;

в ячейку В1 ввести число 0, в ячейку С1 – число 0,25;

выделить ячейки В1:С1, подвести указатель мыши к маркеру выделения, и в тот момент, когда указатель мыши примет форму черного крестика, протянуть маркер выделения вправо до ячейки V1 (Рис. 7).

При вводе формулы можно вводить адрес ячейки с клавиатуры (не забыть переключиться на латиницу), а можно просто щелкнуть мышью на ячейке с нужным адресом.

После ввода формулы в ячейке окажется результат вычисления по формуле, а в поле ввода строки формул — сама формула (Рис. 8):

скопировать содержимое ячейки B2 в ячейки C2:V2 за маркер выделения. Весь ряд выделенных ячеек заполнится содержимым первой ячейки. При этом ссылки на ячейки в формулах изменятся относительно смещения самой формулы.

2 этап: Построение диаграммы типа График.

выделить диапазон ячеек B2:V2;

на вкладке Вставка|Диаграммы|График выбрать вид График;

на вкладке Конструктор|Выбрать данные (Рис. 9) в открывшемся окне «Выбор источника данных» щелкнуть по кнопке Изменить в поле Подписи горизонтальной оси — откроется окно «Подписи оси». Выделить в таблице диапазон ячеек B1:V1 (значения переменной х). В обоих окнах щелкнуть по кнопкам ОК;

на вкладке Макет|Оси|Основная горизонтальная ось|Дополнительные параметры основной горизонтальной оси выбрать:

Интервал между делениями: 4;

Интервал между подписями: Единица измерения интервала: 4;

Положение оси: по делениям;

Выбрать ширину и цвет линии (Вкладки Тип линии и Цвет линии);

самостоятельно изменить ширину и цвет линии для вертикальной оси;
на вкладке Макет|Сетка|Вертикальные линии сетки по основной оси выбрать Основные линии сетки.

Примерный результат работы приведен на рис. 10:

3 этап: Определение корней уравнения.

График функции у=-х 2 +5х-4 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня: х₁=1; х₂=4.

II. Графический способ решения уравнений вида f(x)=g(x) в Excel.

Пример 2: Решить графическим способом уравнение .

Для этого: в одной системе координат построить графики функций у₁= и у₂=1-х на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; найти значение х точки пересечения графиков функций.

1 этап: Представление функций в табличной форме (рис. 1):

Перейти на Лист2.

Аналогично Примеру 1, применив приемы копирования, заполнить таблицу. При табулировании функции у₁=воспользоваться встроенной функцией Корень (Рис. 11).

2 этап: Построение диаграммы типа График.

Выделить диапазон ячеек (А2:V3);

Аналогично Примеру 1 вставить и отформатировать диаграмму типа График, выбрав дополнительно в настройках горизонтальной оси: вертикальная ось пересекает в категории с номером 5.

Примерный результат работы приведен на Рис. 12:

3 этап: Определение корней уравнения.

Графики функций у₁= и у₂=1-х пересекаются в одной точке (0;1) и, следовательно, уравнение имеет один корень – абсцисса этой точки: х=0.

III. Метод Подбор параметра.

Графический способ решения уравнений красив, но далеко не всегда точки пересечения могут быть такими «хорошими», как в специально подобранных примерах 1 и 2.

Возможности электронных таблиц позволяют находить приближенные значения коней уравнения с заданной точностью. Для этого используется метод Подбор параметра.

Пример 3: Разберем метод Подбор параметра на примере решения уравнения —х 2 +5х-3=0.

1 этап: Построение диаграммы типа График для приближенного определения корней уравнения.

Построить график функции у=—х 2 +5х-3, отредактировав полученные в Примере 1 формулы.

выполнить двойной щелчок по ячейке B2, внести необходимые изменения;

с помощью маркера выделения скопировать формулу во все ячейки диапазона C2:V2.

Все изменения сразу отобразятся на графике.

Примерный результат работы приведен на Рис. 13:

2 этап: Определение приближенных значений корней уравнения.

График функции у=-х 2 +5х-3 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня.

По графику приближенно можно определить, что х₁≈0,7; х₂≈4,3.

3 этап: Поиск приближенного решения уравнения с заданной точностью методом Подбор параметра.

1) Начать с поиска более точного значения меньшего корня.

По графику видно, что ближайший аргумент к точке пересечения графика с осью абсцисс равен 0,75. В таблице значений функции этот аргумент размещается в ячейке E1.

Выделить ячейку Е2;

перейти на вкладку Данные|Анализ «что-если»|Подбор параметра…;

В открывшемся диалоговом окне Подбор параметра (Рис. 14) в поле Значение ввести требуемое значение функции: 0.

В поле Изменяя значение ячейки: ввести $E$1 (щелкнув по ячейке E1).

Щелкнуть по кнопке ОК.

В окне Результат подбора (Рис. 15) выводится информация о величине подбираемого и подобранного значения функции:

В ячейке E1 выводится подобранное значение аргумента 0,6972 с требуемой точностью (0,0001).

Установить точность можно путем установки в ячейках таблицы точности представления чисел – числа знаков после запятой (Формат ячеек|Число|Числовой).

Итак, первый корень уравнения определен с заданной точностью: х₁≈0,6972.

2) Самостоятельно найти значение большего корня с той же точностью. (х₂≈4,3029).

IV. Метод Подбор параметра для решения уравнений вида f(x)=g(x).

При использовании метода Подбор параметров для решения уравнений вида f(x)=g(x) вводят вспомогательную функцию y(x)=f(x)-g(x) и находят с требуемой точностью значения х точек пересечения графика функции y(x) с осью абсцисс.

3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа.

Задание: Используя метода Подбор параметров, найти корни уравнения с точностью до 0,001.

ввести функцию у=и построить ее график на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25 (Рис. 16):

найти приближенное значение х точки пересечения графика функции с осью абсцисс (х≈1,4);

найти приближенное решение уравнения с точностью до 0,001 методом Подбор параметра (х≈1,438).

4. Итог урока.

Слайд 12 Проверка результатов самостоятельной работы.

Слайд 13 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=0.

Слайд 14 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=g(x).

5. Домашнее задание.

Используя средства построения диаграмм в Excel и метод Подбор параметра, определите корни уравнения х 2 -5х+2=0 с точностью до 0,01.

Построение графиков функций

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Графический способ — наглядно.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

стационарные и критические точки;

точки экстремума;

нули функции;

точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

Найти область определения функции.

Найти область допустимых значений функции.

Проверить не является ли функция четной или нечетной.

Проверить не является ли функция периодической.

Найти нули функции.

Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.

Найти асимптоты графика функции.

Найти производную функции.

Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.

На основании проведенного исследования построить график функции.

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

Сдвигаем график вправо на 1:

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/564361

http://skysmart.ru/articles/mathematic/postroenie-grafikov-funkcij

Источник

Что такое линейная функция, какого вида может быть линейная функция, как построить график линейной функции и его возможные варианты. Все это и многое другое вы узнаете в данной статье. Кроме того, мы разберем задания, связанные с построением графика линейной функции и нахождением ее параметров-коэффициентов.

Итак,

Содержание

1 Что такое линейная функция
2 График линейной функции. Самый быстрый способ построить прямую
3 Расположение прямой в зависимости от коэффициентов
4 Точки пересечения с осями координат
5 Условия пересечения, перпендикулярности и параллельности двух прямых
6 Задачи, связанные с линейной функцией, и как их решать

Что такое линейная функция

Линейной функцией называется функция вида

y=kx+b

где k,b — некоторые числа, — переменная, — аргумент функции, зависящий от переменной .

Линейная функция может быть задана и вот так:

x=my+n

— ее обычно называют обратной для функции y=kx+b , здесь выразили через ( m,n -также некоторые числа).

Кроме того, можно встретить и такую запись линейной функции:

ax+by=c

здесь a,b,c — некоторые числа.

В любом из представленных видов, обратите внимание, переменные и имеют первую степень.

Примеры линейных функций:

Второй и третий способы задания линейной функции, встречаются редко (в основном при решении систем линейных уравнений). А для построения графика используется первый вид.

График линейной функции. Самый быстрый способ построить прямую

Графиком линейной функции является прямая. (Кстати, название линейная функция получила потому, что ее графиком является прямая линия).

Чтобы построить прямую, достаточно знать 2 точки. Так как аргумент зависит от переменной , нам нужно взять любые два значения и подставить в функцию, тогда получим два значения . Полученные точки с координатами $(x_{1};y_{1})$ и $(x_{2};y_{2})$ нанесем на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Давайте рассмотрим на конкретном примере, как строиться график линейной функции.

Итак, дана функция y=2x+1 .

Возьмем 2 некоторых значения равные, например, 0 и 1. Подставим в функцию:

Получили две точки (0;1) и (1;3) отметим их на координатной плоскости:

на координатной плоскости отметили точки с координатами А(0;1) и B(1;3)

Теперь приложив линейку так, чтобы она проходила через обе точки, проведем прямую:

через данные точки A(0;1) и B(1;3) провели прямую y=2x+1

Такой метод построения прямой дают в школьной программе. Но существует очень легкий и довольно быстрый способ построения прямой. Для того чтобы использовать этот метод запишем нашу функцию следующим образом:

$y=frac{2}{1}x+1$

Данной записью мы функцию не изменили и не «нарушили», так как $frac{2}{1}=2$ .

Итак,

1. Значение свободного слагаемого b=1 . На координатной плоскости от точки пересечения осей т.О(0;0) вверх по оси Оу отсчитываем 1 (так как b=1 ) и ставим в этом месте первую точку А(0;1) (на рисунке-схеме эта точка закрашена красным).

2. Значение $k=2=frac{2}{1}$ мы специально представили его в виде дроби, чтобы используя значения сначала знаменателя равного +1, а затем числителя равного +2, двигаться в следующем порядке. Сначала от точки А(0;1) отсчитываем вправо 1 (так как знаменатель равен +1) — это промежуточная точка (на схеме точка розовая), затем вверх на 2 (так как числитель равен +2) — здесь ставим вторую точку B(1;3) (на схеме точка снова красная). Теперь осталось с помощью линейки провести прямую через данные точки.

схема построения прямой

Давайте еще раз построим вторым методом другую функцию 2y-x=6 . Для начала приведем эту функцию к необходимому виду. Перенесем слагаемое с переменной вправо от знака равно, не забывая поменять знак на противоположный, и избавимся от коэффициента перед , разделив все слагаемые на него, то есть на 2:

2y=x+6

$y=frac{1}{2}x+frac{6}{2}$

$y=frac{1}{2}x+3$

Нам понадобятся значения $b=+3, k=frac{+1}{+2}$ . При движении по координатной плоскости будем использовать эти значения: вверх от т.О на +3 (первая точка), вправо на +2 (промежуточная точка) и снова вверх на +1 (вторая точка).

схема-пример 2

Пример 3. Функция

$y=-frac{3}{5}x-2$ ,

запишем вот в таком виде:

$y=frac{+3}{-5}x-2$

Коэффициенты $b=-2, k=frac{+3}{-5}$ . Теперь мы знаем как двигаться: вниз на 2 (так как -2) — получили первую точку А, влево на 5 (так как -5) — промежуточная точка С, вверх на 3 (так как +3) — вторая точка B, проводим прямую через точки А и B:

схема-пример 3

Расположение прямой в зависимости от коэффициентов

От коэффициентов k, b линейной функции y=kx+b зависит вид прямой, как она расположена на координатной плоскости. Давайте рассмотрим это по подробнее.

Если , функция будет выглядеть вот так: , а прямая будет проходить через начало координат. В зависимости от углового коэффициента k, равного тангенсу угла наклона к оси Ох (то есть ), прямая будет наклонена вправо или влево и будет отклонятся от положительного направления оси абсцисс на угол .
Давайте рассмотрим, как будет выглядеть прямая на графике:

прямая y=kx (k>0)
прямая y=kx (k<0)
То есть получаем:
а) при — прямая наклонена вправо относительно оси Оy и угол — острый;
б) при — прямая наклонена влево от оси Оy и угол — тупой;
в) при — функция вырождается в — а это прямая совпадающая с осью Ох.

Пройдя по ссылке: движение прямой в зависимости от коэффциента k, вы сможете наблюдать, как изменяется угол наклона прямой, при изменении коэффициента k в диапазоне от -5 до +5 (для этого необходимо нажать в месте задания функции кнопку просмотра):

скриншот ссылки
Если , то график функции будет сдвигаться на вверх, если функция или на вниз, если :

движение прямой y=kx в зависимости от значения b
Нажав на ссылку движение прямой в зависимости от изменения b, вы сможете пронаблюдать как изменяется расположение прямой при изменении значения линейной функции .

Если же , то график функции будет проходить параллельно оси Ox, выше неё при , и ниже неё при :

прямые y=b, параллельные оси абсцисс

Точки пересечения с осями координат

Иногда при решении задач с линейными функциями, необходимо найти точки пересечения с осями координат. Это очень просто!

Нужно только подставить ноль вместо , если ищем точку пересечения с осью Oy:

Получим y=b . Значит, линейная функция будет пересекать ось ординат в точке с координатами (0;b) .

Если в функции вместо подставим 0, то получим линейное уравнение

kx+b=0

Решив его, получим значение :

$x=frac{-b}{k}$

и получаем точку с координатами $(-frac{b}{k};0)$ — точку пересечения с осью абсцисс:

точки пересечения с осями координат

Условия пересечения, перпендикулярности и параллельности двух прямых

Пусть даны две линейные функции $y=k_{1}x+b_{1}$ (назовем ее прямую ) и $y=k_{2}x+b_{2}$ (эту прямую назовем ). При разных вариантах сочетания коэффициентов данных функций эти прямые будут либо пересекаться в одной точке (причем перпендикулярно или произвольно), либо не будут пересекаться, то есть будут параллельны. Рассмотрим эти варианты

Условие пересечения прямых
Если $k_{1}neq k_{2}$ , то прямые и пересекаются в одной точке E:

пересечение двух прямых m и n в точке Е
Условие перпендикулярности
Если коэффициенты $k_{1}neq k_{2}$ и при этом еще выполняется условие $k_{1}cdot k_{2}=-1$ , то прямые и будут не только пересекаться, но еще будут перпендикулярны друг другу

перпендикулярные прямые n и m
Условие параллельности
Две прямые будут параллельны друг другу, если будет выполнятся два условия одновременно:
$left{begin{matrix} k_{1}=k_{2} & & \ b_{1}neq b_{2} & & end{matrix}right.$

параллельные прямые n и m

Должна заметить, если второе условие не будет выполняться, то есть $b_{1}=b_{2}$ , то прямые будут просто совпадать.

Если пройдете по ссылке движение двух прямых и возможные варианты пересечения и параллельности при разных значениях коэффициентов k, то сможете пронаблюдать, как расположены прямые по отношению друг к другу при разных значениях коэффициентов.

Задачи, связанные с линейной функцией, и как их решать

При подготовке к экзаменам ЕГЭ по математике (как к базовой, так и профильной) или ОГЭ, нужно уделить внимание решению задач, связанных с линейной функцией. Эти задачи могут не встретиться точно в таком виде, как мы рассмотрим ниже, но «внутри» других задач они могут быть. Итак,

Пример 1.

Найти уравнение прямой, проходящей через 2 точки: A (2;5) и B(-1;2) .

Нарисовать прямую проходящую через 2 точки — очень просто! А вот написать уравнение прямой — нужно подумать Но не долго! Давайте вспомним общее уравнение прямой! Выше в статье я его много раз писала:

y=kx+b

Нам нужно найти коэффициенты k и b. Если мы в нашу линейную функцию вместо подставим координаты точек,
(сначала A (2;5) : так как , то получим ;
затем B(-1;2) : здесь , тогда )

то получим систему 2х уравнений, где k и b будут неизвестными:

$left{begin{matrix} 5=kcdot 2+b & & \ 2=kcdot (-1)+b& & end{matrix}right.$

Используя сначала метод сложения, затем метод подстановки, получим:

$left{begin{matrix} 5=2k+b & & \ 2=-k+b& & end{matrix}right. begin{matrix} & & \ | times 2 & & end{matrix} Rightarrow left{begin{matrix} 5=2k+b & & \ 4=-2k+2b& & end{matrix}right.Rightarrow$

подставим b=3 , во второе уравнение системы и найдем k:

Значит, уравнение прямой выглядит так:

y=x+3 .

Пример 2.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(4;2), и перпендикулярной прямой y=2x+3 .

график к примеру 2

Пусть m — заданная прямая y=2x+3 , её угловой коэффициент $k_{1}=2$ .
Пусть n — прямая, которую нужно найти, её угловой коэффициент $k_{2}=frac{-1}{k_{1}}$ (согласно условию перпендикулярности $k_{1}cdot k_{2}=-1$ ), то есть $k_{2}=frac{-1}{2}=-0,5$ . Получили вот такой вид прямой n:

Подставим в полученное уравнение координаты точки А(4;2), через которую она проходит по условию. Так как , получим уравнение с неизвестным b:

Следовательно наша прямая n: .

Пример 3.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (4;2), параллельно прямой y=2x+3

график к примеру 3

Также как и в предыдущем примере, пусть m — заданная прямая y=2x+3 , её угловой коэффициент $k_{1}=2$ .
Пусть n — прямая, которую нужно найти, её угловой коэффициент $k_{2}=k_{1}=2$ , по условию параллельности двух прямых.

Получили прямую n: y=2x+b .
Теперь найдем b: подставим координаты точки А в полученное уравнение, поскольку данная точка лежит на искомой прямой:

И вот уравнение прямой, которое нужно было найти

y=2x-6 .

Пример 4.
Построить график функции:

$y=frac{x^{2}-3x+2}{x-1}+3x$

С первого взгляда функция может показаться сложной: здесь и дробь, и квадратная функция и линейная функция одновременно… Но не стоит спешить с выводами о сложности. Здесь сначала нужно упростить функцию, причем не «в лоб», то есть просто привести к общему знаменателю и прибавить к дроби слагаемое . Здесь нужно сначала попробовать разложить на множители квадратный трехчлен в числителе, и посмотреть, что получиться. Итак, разложим квадратный трехчлен $x^{2}-3x+2$ на множители, для этого распишу :

$x^{2}-3x+2=x^{2}-x-2x+2$

разгруппирую слагаемые и вынесу общие множители, если это возможно:
$(x^{2}-x)-2x+2=x(x-1)-2(x-1)$ у меня получилось два слагаемых с одинаковой скобкой, вынесу ее также за скобку:

Теперь функция выглядит так:

$y=frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)}+3x$

Получили и в числителе и в знаменателе одинаковые множители-скобки, их можно сократить, но прежде чем это сделать, нужно отметить, что , то есть xneq 1 . Этот момент важен, его нужно будет отобразить на графике! А вот теперь можно спокойно сокращать:

y=4x-2

В итоге мы получили линейную функцию, построим её и не забудем «выколоть» точку на прямой, где xneq 1 :

график к примеру 4

Пример 5.

Построить графики функций, где присутствует модуль. (Модуль числа — это его абсолютная величина. Главное свойство модуля, которое используется при построении графика — это то, что модуль не может быть отрицательным). Рассмотрим различные структуры:

а) — в таких случаях та часть графика, которая выше оси Ох (и на самой оси) остается без изменений, а та часть которая имеет отрицательные значения , то есть ниже оси Ох, симметрично переносится в положительную часть относительно оси Ох.

Построим

график к примеру 5а

б) — в таких случаях та часть функции для которой x>0 остается неизменной, меняется отрицательная часть аргумента. Здесь часть, которая правее оси Оу отображается симметрично относительно оси ординат (Оу).

Построим

график к примеру 5б

в) — в таких случаях, та часть функции которая выше оси Ох остается неизменной, и эта же часть отражается вниз симметрично относительно оси абсцисс (Ох). Та часть прямой, которая была ниже оси Ох «уходит».

Построим

график к примеру 5в

Мы рассмотрели основные виды задач, связанные с темой «Линейная функция и её график».

Попробуйте сами также порешать такие задания:

1) Напишите уравнение прямой проходящей через две точки А (1;-1) и В (0;1);

2) Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А(2;2) и перпендикулярной прямой y=-2x+1 ;

3) Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А(2;2) и параллельной прямой y=-2x+1 ;

4) Построить график функции $y=frac{x^{2}+5x}{x}-2x$ ;

5) Построить графики функций с модулем

Жду ваших решений!

Источник

Как найти k и b по графику линейной функции?

В статье я расскажу про два простых способа найти (k) и (b), если известен график линейной функции.

Способ 1

Первый способ основывается на трех фактах:

Линейная функция пересекает ось (y) в точке (b).
Примеры:

Если функция возрастает, то знак коэффициента (k) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то (k=0).

Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.

(b=3) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит (k 0). (k=+frac=frac<4><4>=1,b=1). (f(x)=x+1).

Теперь перейдем к функции (g(x)). Найдем координаты точек (D) и (E): (D(-2;4)), (E(-4;1)). Можно составить систему:

Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать (b):

(g(x)=1,5x+7). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем (f(x)) и (g(x)).

Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку «скачать статью».

Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

Раздел «Квадратичная функция», ее свойства и график проходят в средней школе в 8 — 9 классах. Но не все учителя объясняют доступно. А вышедшим из ученического возраста может понадобиться обновить познания.

Поэтому рассмотрим простые примеры построения графиков квадратичной функции.

Определение и формула квадратичной функции

Квадратичной называют функцию канонического вида:

a, b – коэффициенты;

с – свободный член.

Формально конструкция именуется «квадратный трехчлен». Сразу заметно, что область определения не ограничена, а четность не выявлена.

Примеры построения парабол

Займемся упрощенными случаями и подметим закономерности.

График функции при а = 1, b = c = 0

Наиболее тривиальная, но наглядная и информативная разновидность с формулой:

Функция четная, возрастающая. Построим по точкам.

Получившаяся кривая называется «парабола». Характерна для уравнений с «квадратом».

Нижнюю точку с координатами (0; 0) называют «вершиной». Единственное место, где одной функции соответствует один аргумент. В данном случае – это минимум функции.

Уходящие вверх части кривой – «ветви». На всех участках кроме вершины к одному (y) относятся сразу (±x).

Вывод: ветви данной параболы имеют ось симметрии — вертикальную прямую ординат Y.

График функции, когда b = c = 0, а > 1 и а 0. В таком случае действительные корни не существуют. Парабола не пересекает ось Х.

D положителен, D > 0. Существуют оба корня. Кривая пересекает X в двух известных местах.

D = 0. Корень один – -b/2a. Пересечение единственно. А такое возможно в одном случае: найденное означает абсциссу вершины.

Вершина

Горизонтальная координата вычисляется по формуле:

Касательная в вершине параболы совпадает с осью X или параллельна ей. Значит тангенс её относительного наклона равен 0. А это производная функции:

Нашли x0, а y0 находится подстановкой в уравнение найденного.

Ось симметрии

Параллельная оси ординат прямая x = x0.

Приблизительный вид

По уравнению можно прикинуть общую картину:

положительное значение коэффициента a говорит о направленности ветвей вверх и наоборот;

по дискриминанту определим расположение относительно X;

находим пересечения (если есть).

Пример построения графика

a = 1, положительный, поэтому ветви параболы направлены вверх;

Алгоритм построения графика квадратичной функции:

1. Находим вершину:

2. Определяем точки пересечения с осью X:

3. Посчитав еще 2 — 3 точки правее и левее оси симметрии x = -1, получим достоверный график.

Свойства параболы

Основные свойства следующие:

Область определения – все действительные числа.

Вершина является минимумом при положительном коэффициенте x2, максимумом – при отрицательном.

Координаты вершины зависят только от коэффициентов.

Ось симметрии проходит через вершину и параллельна оси ординат.

Заключение

В интернете существует масса онлайн-калькуляторов для облегчения работы с кривой. Приведенные же приемы и перечисленные свойства позволяют лучше понять сущность квадратичного выражения.

Параболические отражатели позволяют получать параллельный пучок света от точечного источника. Антенна такого типа позволяет концентрировать и усиливать радиосигнал. Не абстрактная линия на бумаге.

Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств

п.1. Количество корней кубического уравнения

Кубическое уравнение $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ на множестве действительных чисел может иметь один, два или три корня.
С помощью производной можно быстро ответить на вопрос, сколько корней имеет данное уравнение. begin f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ f'(x)=3ax^2+bx+c end Если в уравнении (f'(x)=0) дискриминант (D=4b^2-12ac=4(b^2-3ac)gt 0), кубическая парабола имеет две точки экстремума: (x_<1,2>=frac<-2bpmsqrt><6a>). Если при этом значения функции в точках экстремума (f(x_1)cdot f(x_2)lt 0), т.е. расположены по разные стороны от оси OX, парабола имеет три точки пересечения с этой осью. Исходное уравнение имеет три корня.
Если две точки экстремума найдены, но (f(x_1)cdot f(x_2)=0), уравнение имеет два корня.
Во всех остальных случаях – у исходного уравнения 1 корень.

Пример 1. Сколько корней имеют уравнения:

п.2. Количество корней произвольного уравнения

Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.

Пример 2. а) Найдите число корней уравнения (frac 1x+frac<1>+frac<1>)
б) Найдите число корней уравнения (frac 1x+frac<1>+frac<1>=k)

Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью (y=1). Это и будет ответом на вопрос задачи (а).
Исследуем функцию: $$ f(x)=frac1x+frac<1>+frac<1> $$ Алгоритм исследования и построения графика – см. §49 данного справочника.
1) ОДЗ: (xneleft<0;1;3right>)
Все три точки – точки разрыва 2-го рода. begin lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=-infty-1-frac13=-infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=+infty-1-frac13=+infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=1-infty-frac12=-infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=1+infty-frac12=+infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=frac13+frac12-infty=-infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=frac13+frac12+infty=+infty end 2) Функция ни четная, ни нечетная.
Функция непериодическая.
3) Асимптоты
1. Вертикальные (x=0, x=1, x=3) – точки разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные: begin lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=-0-0-0=-0\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=+0+0+0=+0\ end Горизонтальная асимптота (y=0)
На минус бесконечности функция стремится к 0 снизу, на плюс бесконечности – сверху.
3. Наклонные: (k=0), нет.
4) Первая производная $$ f'(x)=-frac<1>-frac<1><(x-1)^2>-frac<1><(x-3)^2>lt 0 $$ Производная отрицательная на всей ОДЗ.
Функция убывает.

5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.

6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. (x=0) – асимптота
Точки пересечения с OX – две, (0lt x_1lt 1,1lt x_2lt 3)

7) График

Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.

Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь (y=k) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем:
При (klt 0) — три корня
При (k=0) — два корня
При (kgt 0) — три корня

Ответ: а) 3 корня; б) при (k=0) два корня, при (kne 0) три корня.

Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ sqrt+sqrt<10-2x>=a $$ имеет по крайней мере одно решение.

Исследуем функцию (f(x)=sqrt+sqrt<10-2x>)
ОДЗ: ( begin x-1geq 0\ 10-2xgeq 0 end Rightarrow begin xgeq 1\ xleq 5 end Rightarrow 1leq xleq 5 )
Функция определена на конечном интервале.
Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика.
Значения функции на концах интервала: (f(1)=0+sqrt<8>=2sqrt<2>, f(5)=sqrt<4>+0=2)
Первая производная: begin f'(x)=frac<1><2sqrt>+frac<-2><2sqrt<10-2x>>=frac<1><2sqrt>-frac<1><sqrt<10-2x>>\ f'(x)=0 text<при> 2sqrt=sqrt<10-2x>Rightarrow 4(x-1)=10-2xRightarrow 6x=14Rightarrow x=frac73\ fleft(frac73right)=sqrt<frac73-1>+sqrt<10-2cdot frac73>=sqrt<frac43>+sqrt<frac<16><3>>=frac<6><sqrt<3>>=2sqrt <3>end Промежутки монотонности:

(x)	1	(1; 7/3)	7/3	(7/3; 5)	5
(f'(x))	∅	+	0	—	∅
(f(x))	(2sqrt<2>)	(nearrow )	max (2sqrt<3>)	(searrow )	2

Можем строить график:

(y=a) — горизонтальная прямая.
Количество точек пересечения (f(x)) и (y) равно количеству решений.
Получаем:

$$ alt 2 $$	нет решений
$$ 2leq alt 2sqrt <2>$$	1 решение
$$ 2sqrt<2>leq alt 2sqrt <3>$$	2 решения
$$ a=2sqrt <3>$$	1 решение
$$ agt 2sqrt <3>$$	нет решений

По крайней мере одно решение будет в интервале (2leq aleq 2sqrt<3>).

п.3. Решение неравенств с построением графиков

Пример 4. Решите неравенство (frac<2+log_3 x>gt frac<6><2x-1>)

Разобьем неравенство на совокупность двух систем.
Если (xgt 1), то (x-1gt 0), на него можно умножить слева и справа и не менять знак.
Если (xlt 1), то (x-1lt 0), умножить также можно, только знак нужно поменять.
Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: (xgt 0)

Получаем совокупность: begin left[ begin begin xgt 1\ 2+log_3 xgtfrac<6(x-1)> <2x-1>end \ begin 0lt xlt 1\ 2+log_3 xltfrac<6(x-1)> <2x-1>end end right. \ 2+log_3 xgt frac<6(x-1)><2x-1>Rightarrow log_3 xgt frac<6(x-1)-2(2x-1)><2x-1>Rightarrow log_3 xgt frac<2x-4><2x-1>\ left[ begin begin xgt 1\ log_3 xgtfrac<2x-4> <2x-1>end \ begin 0lt xlt 1\ log_3 xltfrac<2x-4> <2x-1>end end right. end Исследуем функцию (f(x)=frac<2x-4><2x-1>=frac<2x-1-3><2x-1>=1-frac<3><2x-1>)
Точка разрыва: (x=frac12) – вертикальная асимптота
Односторонние пределы: begin lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><-0>=+infty\ lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><+0>=-infty end Второе слагаемое стремится к 0 на бесконечности, и это дает горизонтальную асимптоту: (y=1) begin lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><-infty>=1+0\ lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><+infty>=1-0 end На минус бесконечности кривая стремится к (y=1) сверху, а на плюс бесконечности – снизу.
Первая производная: $$ f'(x)=left(1-frac<3><2x-1>right)’=frac<3><(2x-1)^2>gt 0 $$ Производная положительная на всей ОДЗ, функция возрастает.
Вторая производная: $$ f»(x)=-frac<6> <(2x-1)^3>$$ Одна критическая точка 2-го порядка (x=frac12)

источники:

http://kupuk.net/uroki/algebra/kvadratichnaia-fynkciia-opredelenie-svoistva-formyly-yravneniia-i-znaki-kornei-algoritm-postroeniia-grafikov-po-zadannym-parametram-primery-parabol/

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/primenenie-proizvodnoj-dlya-resheniya-nelinejnyh-uravnenij-i-neravenstv/

Источник

�������� �������

Формула линейного уравнения.

Алгоритм решения линейного уравнения.

Линейные уравнение, которые не имеют решения.

Линейные уравнения, у которых бесконечное количество решений.

Как найти k и b по графику линейной функции?

Способ 1

Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007

Построение графиков функций

Понятие функции

Понятие графика функции

Исследование функции

Построение графика функции

Что такое линейная функция

График линейной функции. Самый быстрый способ построить прямую

Расположение прямой в зависимости от коэффициентов

Точки пересечения с осями координат

Условия пересечения, перпендикулярности и параллельности двух прямых

Задачи, связанные с линейной функцией, и как их решать

Как найти k и b по графику линейной функции?

Способ 1

Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

Определение и формула квадратичной функции

Примеры построения парабол

График функции при а = 1, b = c = 0

График функции, когда b = c = 0, а > 1 и а 0. В таком случае действительные корни не существуют. Парабола не пересекает ось Х.

Вершина

Ось симметрии

Приблизительный вид

Пример построения графика

Свойства параболы

Заключение

Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств

п.1. Количество корней кубического уравнения

п.2. Количество корней произвольного уравнения

п.3. Решение неравенств с построением графиков

��