Как найти корень уравнения с десятичными дробями - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

обыкновенный вид — ½ или a/b,
десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а; если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Линейное уравнение выглядит так

ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.

Квадратное уравнение выглядит так:

ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

Область допустимых значений: х ≠ −2.
Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Уравнения с десятичными дробями

Линейные уравнения с десятичными дробями можно решать так же, как и остальные линейные уравнения.

Однако, удобнее сначала уравнение упростить, избавившись от десятичных дробей.

Для начала рассмотрим оба способа решения и сравним их.

Раскрываем скобки. Так как перед скобками стоит множитель, умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках:

Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Чтобы перевести десятичные дроби в целые числа, умножим обе части уравнения почленно на 10:

(При умножении произведения 2,4(6-3х) на 10 применяем сочетательное свойство умножения, то есть на 10 мы умножим только первый множитель, 2,4).

Получили линейное уравнение, которое не содержит десятичных дробей. Решаем его:

На мой взгляд, линейные уравнения с десятичными дробями удобнее решать, переводя их в уравнения с целыми числами.

Чтобы избавиться от десятичных дробей, обе части уравнения умножаем на 10. При этом в произведении 5(0,1х-0,5) на 10 умножаем второй множитель, то есть выражение в скобках, а в произведении 0,4(х-3) — первый, то есть 0,4:

Далее — решаем обычное линейное уравнение:

Обе части уравнения умножаем на 100. При этом в произведении 1,2(2,3х-3,1), надо первый множитель 1,2 умножить на 10 и второй множитель (2,3х-3,1) умножить на 10:

Решить уравнение с дробями онлайн

При помощи калькулятора можно решать уравнение с дробями. Для этого просто введите заданные дроби и быстро получите результат. Калькулятор простой в использовании и выдаёт только точный ответ.

Калькулятор

Инструкция

Примечание: π записывается как pi; корень квадратный как sqrt().

Шаг 1. Введите заданный пример, состоящий из дробей.

Шаг 2. Нажмите кнопку “Решить”.

Шаг 3. Получите подробный результат.

Чтобы калькулятор посчитал дроби правильно, вводите дробь через знак: “/”. Например: . Калькулятор посчитает уравнение и даже покажет на графике, почему получился такой результат.

Что такое уравнение с дробями

Уравнение с дробями – это уравнение, в котором коэффициенты являются дробными числами. Линейные уравнения с дробями решается по стандартной схеме: неизвестные переносятся в одну сторону, а известные – в другую.

Рассмотрим на примере:

Дроби с неизвестными переносятся влево, а остальные дроби – вправо. Когда переносятся числа за знак равенства, тогда у чисел знак меняется на противоположный:

Теперь нужно выполнить только действия обеих частей равенства:

Получилось обыкновенное линейное уравнение. Теперь нужно поделить левую и правую части на коэффициент при переменной.

Средняя оценка 2.5 / 5. Количество оценок: 66

источники:

http://www.for6cl.uznateshe.ru/uravneniya-s-desyatichnymi-drobyami-2/

http://nauchniestati.ru/kalkulatory/reshit-uravnenie-s-drobjami-onlajn/

Источник

Применение умножения десятичных дробей для решения уравнений.

Здравствуйте ребята. Мы продолжаем работать с десятичными дробями. Сегодня наша задача вспомнить, что такое уравнение, корень уравнения, что значит решить уравнение, и как эти знания можно применить к десятичным дробям. Для успешного усвоения материала, рекомендую следовать предложенной инструкции.

1. Откройте тетрадь, запишите дату и тему урока:

«Применение умножения десятичных дробей для решения уравнений».

Прежде чем, начнем решать уравнения с десятичными дробями, предлагаю вспомнить что такое уравнение.

Для того, чтобы успешно выполнить задания, необходимо вспомнить, правила сложения, вычитания и умножения десятичных дробей. А также как найти неизвестные компоненты арифметических действий.

6,7 – х = 2,8

Х – 3,243 = 5,1

0,83 + у = 1,1

у + 0,205 = 1,7

(9,1 – х) – 2,8 = 2,9

(х – 5,6) : 12 = 5,7

(х + 3,5) – 4,8 = 2,4

(7,1 — х) + 3,9 = 4,5

3,84 – (х + 0,89) = 2,9

Проверьте все ли вы записали в тетрадь, получилось ли решить уравнения. Если данная тема вызывает затруднения, рекомендую просмотреть видео, вспомнить компоненты арифметических действий, а также можешь обратиться к дополнительным источникам информации в сети интернет, или к учителю математику.

Источник

Давайте разберем как проще решать уравнения с десятичными дробями и покажем это на примере. Алгоритм решения десятичных уравнений не отличается от решения обычных уравнений, то есть надо найти неизвестное. Напомним правило, как решать уравнения:

Решение уравнений

Пример 1. Решите уравнение (2,5+1,2x=1,7+1,6x)

Решение: 1 способ

(2,5+1,2x=1,7+1,6x)

(2,5-1,7=1,6x-1,2x)

(0,8=0,4x)

(x = 2)

Решение: 2 способ

(2,5+1,2x=1,7+1,6x)

Домножим обе части уравнения на 10:

(25+12x=17+16x)

(25-17=16x-12x)

(8=4x)

(x=2)

Ответ: (x=2)

Пример 2. Решите уравнение (2,5(6+2x)+4,2=1,2-5,5x)

Решение:

(2,5(6-2x)+4,2=1,2-8x)

(15-5x+4,2=1,2-8x)

(19,2-1,2=5x-8x)

(18=-3x)

(x =-6)

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Источник

В сегодняшней статье команда WoM предлагает вместе решить уравнения с десятичными дробями.

У нас есть уравнение:

25,1x — 5,2x + 7,3 = 47,1

Вместо простых чисел, с которыми мы привыкли решать уравнения, — десятичные дроби. Меняет ли это что-то? Нет! Поэтому приступаем к вычислению:

х * (25,1 — 5,2) + 7,3 = 47,1;
х * 19,9 + 7,3 = 47,1;
х * 19,9 = 47,1 — 7,3;
х * 19,9 = 39,8;
х = 39,8 : 19,9;
х = 2.

х найден! Но не забываем выполнить проверку. Подставляем значение переменной в уравнение.

25,1 * 2 — 5,2 * 2 + 7,3 = 47,1;
50,2 — 10,4 + 7,3 = 47,1;
47,1 = 47,1.

Уравнение решено верно!

Ответ: х = 2.

Теперь найдём значение выражения:

30,2n + 12,5n — 31 =
для n = 5.

Подставим значение переменной и вычислим:

30,2 * 5 + 12,5 * 5 — 31 = 5 * (30,2 + 12,5) — 31 = 5 * 42,7 — 31 = 213,5 — 31 = 182,5

Ответ: значение выражения при n = 5 равно 182,5.

Мы уверены, что Вы разобрались с нашими примерами, и теперь без труда

выполните решение уравнений с десятичными дробями.

1) 13,4х + 7,6х — 8 = 55;

2) Найдите значение выражения 5,6y — 3,2y + 12 =
При y = 7.

Решить уравнения с десятичными дробями Ваш ребёнок может и на первом бесплатном уроке в онлайн-школе математики World of Math. Наш педагог объяснит тему, подскажет и направит, если возникнут вопросы.

Занятия в WoM проходят на интерактивной платформе. Каждый урок ученик отправляется в сказочное приключение вместе с персонажами школы. Процесс обучения приносит удовольствие и пролетает незаметно!

Математика может быть простой, понятной и очень интересной. Убедитесь в этом, записавшись на бесплатный урок в World of Math!

Источник

Скачать материал

Сейчас обучается 171 человек из 49 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

«Решение уравнений с десятичными дробями»
5 класс

Подготовила учитель математики
Горбацевич Ольга Викторовна
КГУ школа – детский сад №26
2 слайд

Реши уравнение:
К. 4х = 0,22+0,26;
Т. 5х = 8,17+2,48;
З. 6х = 3,9*8;
Х. 7х-4х = 0,96;
А. х+2х = 21,42;
С. 2х+5х = 42,7;
Н. 12х-3х = 41,4.
3 слайд

Прогулка в лес
Вы бывали летом в лесу?
Прогулка по лесу – это так приятно,
а наблюдательному человеку ещё и
интересно!
5 слайд

Сформулируйте правила нахождения неизвестных компонентов в уравнении.
6 слайд

Как найти неизвестное слагаемое?
7 слайд

Как умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001?
8 слайд

Сформулируйте правило умножения десятичных дробей.
9 слайд

Что надо сделать при умножении на десятичную дробь, если в произведении меньше цифр, чем надо отделить запятой?
10 слайд

1 вариант:
№ 1439 (а, в), № 1440 (а);

2 вариант:
№ 1439 (б, г), № 1440 (б).

Ответы
1 вариант:
№ 1439 а) 10а; в) 6,1с +6,2.
№ 1440 а) 199,1.
2 вариант:
№ 1439 б) 1,2b; г) 5,1 – 12,2d.
№ 1440 б) 230,11.
проверить
11 слайд

«Собери грибы в лукошко»
Лес – это кладовая, щедро отдающая свои дары.
12 слайд

Поставьте запятые в произведении
2,31 ∙ 5,4 = 12474;
2,31 ∙ 0,54 = 12474;
23,1 ∙ 5,4 = 12474;
0,231 ∙ 54 = 12474;
0,231 ∙ 0,54 = 12474.

,
,
,
,
0,
проверить
13 слайд

«Молчанка»
6,7 ∙ 8,4 + 6,7 ∙ 1,6
12,37 ∙ 4,185 – 12,37 ∙ 3,185
6,1 ∙ 3,4 + 6,1 ∙ 2,6
9,1 ∙ 0,387 – 9,1 ∙ 0,287
0,5 ∙ 43,2 ∙ 2
1,25 ∙ 3,27 ∙ 8
62,711 : 10
451,6 ∙ 0,01

43,2
67
36,6
12,37
6,2711
4,516
0,91
32,7
14 слайд

«В гостях у Старичка – лесовичка»
-А у меня для вас задание припасено. Если выполните его, то смело заходите в глубь леса!
15 слайд

«Привал»
0,3 · 2,25
1,05 ∙ 5,27
4,2 ∙ 6,3
7,3 ∙ 4
0,0003 ∙ 1,2
10,5 ∙ 4,2
3,03 ∙ 0,01
2,8 ∙ 6,28
17,3 · 12,25
20,3 · 0,2
3 · 2,2
1,103 · 2,65
16 слайд

«На лесной полянке»
Лес – это источник радости и здоровья.
Вы можете
17 слайд

Узнай, какое растение леса — клад витаминов.
Для этого найди корень уравнения:
(х + 2,4) : 0,8 = 5,6
18 слайд

Узнай, какое растение леса — клад витаминов.
Для этого найди корень уравнения:
(х + 2,4) : 0,8 = 5,6
Плоды растения издревле употребляются человеком в пищу. Водный настой листьев земляники лесной применяются в качестве мочегонного средства при мочекаменной и желчнокаменной болезнях. Их употребление также назначается при диабете и малокровии. Плоды применяют как витаминное средство.
19 слайд

О каком растении говорится в загадке? Это зелье ты не тронь:
Жжется больно, как огонь.
Ответь на вопрос, решив уравнение.
(3,5 — х) : 2,3 = 1,2
20 слайд

О каком растении говорится в загадке? Это зелье ты не тронь:
Жжется больно, как огонь.
Ответь на вопрос, решив уравнение.
Крапива используется в народной медицине для лечения многих болезней, применяется при различных кровотечениях, почечнокаменной, желчекаменной болезни, удушье, болезнях печени и желчных путей, отеках, заболеваниях сердца, туберкулезе, бронхиальной астме, бронхитах, аллергиях. Наружно крапиву используют при открытых ранах, кровотечениях, кожных заболеваниях, для укрепления и роста волос.
(3,5 — х) : 2,3 = 1,2
21 слайд

Если ты порезал ногу, не рыдай и не реви.
Вот растенье на подмогу. Ты скорей его зови!
Что это за растение? Правильное решение уравнения поможет ответить на этот вопрос.
х : 4,8 + 3,6 = 3,9
22 слайд

Если ты порезал ногу, не рыдай и не реви.
Вот растенье на подмогу. Ты скорей его зови!
Что это за растение? Правильное решение уравнения поможет ответить на этот вопрос.
Настой из листьев подорожника обладает отхаркивающим свойством, благодаря чему и используется при лечении бронхитов, бронхиальной астмы, туберкулеза легких. Сок свежих листьев подорожника эффективен в лечении язвенной болезни желудка и двенадцатиперстной кишки, хронических гастритов. А водный настой свежих листьев способствует быстрому очищению и лечению ран, порезов, кожных язв, нарывов и фурункулов.
х : 4,8 + 3,6 = 3,9
23 слайд

Назови растение, имеющее репутацию лекарства от 100 болезней.
Реши уравнение и узнай ответ.
х : 2,7 — 5,16 = 0,9
24 слайд

Назови растение, имеющее репутацию лекарства от 100 болезней.
Реши уравнение и узнай ответ.
Зверобой применяют для лечения многих недугов: в качестве антисептического средства, для смазывания десен и полосканий, при заболеваниях дыхательных путей, гипертонии, анемии, при лечении пролежней, аллергии, ран, язв, сыпи, при болезнях мочевого пузыря, желудочно-кишечного тракта, болезнях почек, гриппе, слабости сердца, простудных заболеваниях, туберкулезе, для лечения мастита, желтухи, кашля, желудочных и легочных заболеваний, мигрени, при язве желудка, головной боли, нервных болезнях, повышенной кислотности желудочного сока.
х : 2,7 — 5,16 = 0,9
25 слайд

«Заветная тропинка»
Чтобы выйти из леса и вернуться домой, вы должны проявить самостоятельность, показать волю и упорство.
26 слайд

Итог урока
Домашнее задание:
1 уровень: № 1476, № 1482,
2 уровень: № 1475, № 1513;

Краткое описание документа:

Презентация к уроку по математике на тему: «Решение уравнений с десятичными дробями» предназначена для проведения урока в 5 классе. В ней ярко и красочно в форме урока-путешествия учащимся рассказывается просто и понятно как именно следует решать уравнения с десятичными дробями. Используемая форма проведения урока даёт возможность ученикам понять достаточно сложную тему, а элементы игры позволяют освоить материал и получить новые навыки и умения необходимые для освоения школьного курса по математике.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 267 097 материалов в базе

Выберите категорию:
Выберите учебник и тему

Выберите класс:
Тип материала:
- Все материалы
- Статьи
- Научные работы
- Видеоуроки
- Презентации
- Конспекты
- Тесты
- Рабочие программы
- Другие методич. материалы

Найти материалы

Другие материалы

Презентация по математике: Параллелепипед.

Учебник: «Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Тема: § 22. Прямоугольный параллелепипед. Пирамида

Рейтинг:
5 из 5

31.12.2020
1112
184

31.12.2020
370
0

31.12.2020
379
0

31.12.2020
361
0

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Источник