Решение уравнений с помощью графиков
Решение линейных уравнений
Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида.
Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую и вуаля! Мы нашли корень.
Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом.
Итак, у тебя есть уравнение: ( displaystyle 2{x} -10=2)
Как его решить?
Вариант 1, и самый распространенный – перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:
( displaystyle 2x=2+10)
( displaystyle 2x=12)
Обычно дальше мы делим правую часть на левую, и получаем искомый корень, но мы с тобой попробуем построить левую и правую части как две различные функции в одной системе координат.
Иными словами, у нас будет:
( displaystyle {{y}_{1}}=2x)
( displaystyle {{y}_{2}}=12)
А теперь строим. Что у тебя получилось?
Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата ( displaystyle x) точки пересечения графиков:
Наш ответ: ( displaystyle x=6)
Вот и вся премудрость графического решения. Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число ( displaystyle 6)!
Вариант 1. Напрямую
Просто строим параболу по данному уравнению: ( displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0)
Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:
( displaystyle x=-frac{b}{2a})
( displaystyle y=-frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a})
Ты скажешь «Стоп! Формула для ( displaystyle y) очень похожа на формулу нахождения дискриминанта» да, так оно и есть, и это является огромным минусом «прямого» построения параболы, чтобы найти ее корни.
Тем не менее, давай досчитаем до конца, а потом я покажу, как это сделать намного (намного!) проще!
Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:
( displaystyle x=frac{-2}{2}=-1)
( displaystyle y=-frac{{{2}^{2}}-4cdot left( -8 right)}{4}=-frac{4+32}{4}=-9)
Точно такой же ответ? Молодец!
И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, ( displaystyle 3).
Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:
Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:
Возвращаемся к нашей параболе.
Для нашего случая точка ( displaystyle Aleft( -1;-9 right)). Нам необходимо еще две точки, соответственно, ( displaystyle x) можно взять положительные, а можно взять отрицательные? Какие точки тебе удобней?
Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при ( displaystyle x=0) и ( displaystyle x=2).
При ( displaystyle x=0):
( displaystyle y={{0}^{2}}+0-8=-8)
При ( displaystyle x=2):
( displaystyle y={{2}^{2}}+2cdot 2-8=0)
Теперь у нас есть три точки, и мы спокойно можем построить нашу параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:
Как ты думаешь, что является решением уравнения?
Правильно, точки, в которых ( displaystyle y=0), то есть ( displaystyle x=2) и ( displaystyle x=-4). Потому что ( displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0).
И если мы говорим, что ( displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8), то значит, что ( displaystyle y) тоже должен быть равен ( displaystyle 0), или ( displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8=0).
Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!
Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант.
Что у тебя получилось? То же самое?
Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!
Решение смешанных неравенств
Теперь перейдем к более сложным неравенствам!
Как тебе такое:
( displaystyle 4x<{{x}^{3}})?
Жуть, правда? Честно говоря, я понятия не имею, как решить такое алгебраически… Но, оно и не надо. Графически ничего сложного в этом нет! Глаза боятся, а руки делают!
Первое, с чего мы начнем, – это с построения двух графиков:
( displaystyle {{y}_{1}}=4x)
( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}})
Я не буду расписывать для каждого таблицу – уверена, ты отлично справишься с этим самостоятельно (еще бы, столько прорешать примеров!).
Расписал? Теперь строй два графика.
Сравним наши рисунки?
У тебя так же? Отлично!
Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть ( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}).
Смотри, что получилось в итоге:
А теперь просто смотрим, в каком месте у нас выделенный график находится выше, чем график ( displaystyle {{y}_{1}}=4x)? Смело бери карандаш и закрашивай данную область! Она и будет решением нашего сложного неравенства!
На каких промежутках по оси ( displaystyle Ox) у нас ( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}) находится выше, чем ( displaystyle {{y}_{1}}=4x)? Верно, ( displaystyle xin left( -2;0 right)cup left( 2;+infty right)).
Это и есть ответ!
Ну вот, теперь тебе по плечу и любое уравнение, и любая система, и уж тем более любое неравенство!
Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007
Тип урока: Обобщение, закрепление пройденного материала и объяснение нового.
Цели и задачи урока:
- повторение изученных графиков функций;
- повторение и закрепление графического способа решения уравнений;
- закрепление навыков записи и копирования формул, построения графиков функций в электронных таблицах Excel 2007;
- формирование и первичное закрепление знаний о решении уравнений с использованием возможностей электронных таблиц Excel 2007;
- формирование мышления, направленного на выбор оптимального решения;
- формирование информационной культуры школьников.
Оборудование: персональные компьютеры, мультимедиапроектор, проекционный экран.
Материалы к уроку: презентация Power Point на компьютере учителя (Приложение 1).
Слайд 1 из Приложения1 ( далее ссылки на слайды идут без указания Приложения1).
Объявление темы урока.
1. Устная работа (актуализация знаний).
Слайд 2 — Соотнесите перечисленные ниже функции с графиками на чертеже (Рис. 1):
у = 6 — х; у = 2х + 3; у = (х + 3) 2 ; у = -(х — 4) 2 ; .
Слайд 3 Графический способ решения уравнений вида f(x)=0.
Корнями уравнения f(x)=0 являются значения х1, х2, … точек пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс (Рис. 2).
Найдите корни уравнения х 2 -2х-3=0, используя графический способ решения уравнений (Рис.3).
Слайд 5 Графический способ решения уравнений вида f (x)=g (x).
Корнями уравнения f(x)=g(x) являются значения х1, х2, … точек пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x). (Рис. 4):
Слайд 6 Найдите корни уравнения , используя графический способ решения уравнений (Рис. 5).
2. Объяснение нового материала. Практическая работа.
Решение уравнений графическим способом требует больших временных затрат на построение графиков функций и в большинстве случаев дает грубо приближенные решения. При использовании электронных таблиц, в данном случае – Microsoft Excel 2007, существенно экономится время на построение графиков функций, и появляются дополнительные возможности нахождения корней уравнения с заданной точностью (метод Подбор параметра).
I. Графический способ решения уравнений вида f(x)=0 в Excel.
Дальнейшая работа выполняется учителем в Excel одновременно с учениками с подробными (при необходимости) инструкциями и выводом результатов на проекционный экран. Слайды Приложения 1 используются для формулировки задач и подведения промежуточных итогов.
Пример1: Используя средства построения диаграмм в Excel, решить графическим способом уравнение —х 2 +5х-4=0.
Для этого: построить график функции у=-х 2 +5х-4 на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25; найти значения х точек пересечения графика функции с осью абсцисс.
Выполнение задания можно разбить на этапы:
1 этап: Представление функции в табличной форме (рис. 6):
- в ячейку А1 ввести текст Х, в ячейку A2 — Y;
- в ячейку В1 ввести число 0, в ячейку С1 – число 0,25;
- выделить ячейки В1:С1, подвести указатель мыши к маркеру выделения, и в тот момент, когда указатель мыши примет форму черного крестика, протянуть маркер выделения вправо до ячейки V1 (Рис. 7).
При вводе формулы можно вводить адрес ячейки с клавиатуры (не забыть переключиться на латиницу), а можно просто щелкнуть мышью на ячейке с нужным адресом.
После ввода формулы в ячейке окажется результат вычисления по формуле, а в поле ввода строки формул — сама формула (Рис. 8):
- скопировать содержимое ячейки B2 в ячейки C2:V2 за маркер выделения. Весь ряд выделенных ячеек заполнится содержимым первой ячейки. При этом ссылки на ячейки в формулах изменятся относительно смещения самой формулы.
2 этап: Построение диаграммы типа График.
- выделить диапазон ячеек B2:V2;
- на вкладке Вставка|Диаграммы|График выбрать вид График;
- на вкладке Конструктор|Выбрать данные (Рис. 9) в открывшемся окне «Выбор источника данных» щелкнуть по кнопке Изменить в поле Подписи горизонтальной оси — откроется окно «Подписи оси». Выделить в таблице диапазон ячеек B1:V1 (значения переменной х). В обоих окнах щелкнуть по кнопкам ОК;
- на вкладке Макет|Оси|Основная горизонтальная ось|Дополнительные параметры основной горизонтальной оси выбрать:
Интервал между делениями: 4;
Интервал между подписями: Единица измерения интервала: 4;
Положение оси: по делениям;
Выбрать ширину и цвет линии (Вкладки Тип линии и Цвет линии);
- самостоятельно изменить ширину и цвет линии для вертикальной оси;
- на вкладке Макет|Сетка|Вертикальные линии сетки по основной оси выбрать Основные линии сетки.
Примерный результат работы приведен на рис. 10:
3 этап: Определение корней уравнения.
График функции у=-х 2 +5х-4 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня: х1=1; х2=4.
II. Графический способ решения уравнений вида f(x)=g(x) в Excel.
Пример 2: Решить графическим способом уравнение .
Для этого: в одной системе координат построить графики функций у1= и у2=1-х на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; найти значение х точки пересечения графиков функций.
1 этап: Представление функций в табличной форме (рис. 1):
2 этап: Построение диаграммы типа График.
Примерный результат работы приведен на Рис. 12:
3 этап: Определение корней уравнения.
Графики функций у1= и у2=1-х пересекаются в одной точке (0;1) и, следовательно, уравнение имеет один корень – абсцисса этой точки: х=0.
III. Метод Подбор параметра.
Графический способ решения уравнений красив, но далеко не всегда точки пересечения могут быть такими «хорошими», как в специально подобранных примерах 1 и 2.
Возможности электронных таблиц позволяют находить приближенные значения коней уравнения с заданной точностью. Для этого используется метод Подбор параметра.
Пример 3: Разберем метод Подбор параметра на примере решения уравнения —х 2 +5х-3=0.
1 этап: Построение диаграммы типа График для приближенного определения корней уравнения.
Построить график функции у=—х 2 +5х-3, отредактировав полученные в Примере 1 формулы.
- выполнить двойной щелчок по ячейке B2, внести необходимые изменения;
- с помощью маркера выделения скопировать формулу во все ячейки диапазона C2:V2.
Все изменения сразу отобразятся на графике.
Примерный результат работы приведен на Рис. 13:
2 этап: Определение приближенных значений корней уравнения.
График функции у=-х 2 +5х-3 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня.
По графику приближенно можно определить, что х1≈0,7; х2≈4,3.
3 этап: Поиск приближенного решения уравнения с заданной точностью методом Подбор параметра.
1) Начать с поиска более точного значения меньшего корня.
По графику видно, что ближайший аргумент к точке пересечения графика с осью абсцисс равен 0,75. В таблице значений функции этот аргумент размещается в ячейке E1.
- Выделить ячейку Е2;
- перейти на вкладку Данные|Анализ «что-если»|Подбор параметра…;
В открывшемся диалоговом окне Подбор параметра (Рис. 14) в поле Значение ввести требуемое значение функции: 0.
В поле Изменяя значение ячейки: ввести $E$1 (щелкнув по ячейке E1).
Щелкнуть по кнопке ОК.
- В окне Результат подбора (Рис. 15) выводится информация о величине подбираемого и подобранного значения функции:
- В ячейке E1 выводится подобранное значение аргумента 0,6972 с требуемой точностью (0,0001).
Установить точность можно путем установки в ячейках таблицы точности представления чисел – числа знаков после запятой (Формат ячеек|Число|Числовой).
Итак, первый корень уравнения определен с заданной точностью: х1≈0,6972.
2) Самостоятельно найти значение большего корня с той же точностью. (х2≈4,3029).
IV. Метод Подбор параметра для решения уравнений вида f(x)=g(x).
При использовании метода Подбор параметров для решения уравнений вида f(x)=g(x) вводят вспомогательную функцию y(x)=f(x)-g(x) и находят с требуемой точностью значения х точек пересечения графика функции y(x) с осью абсцисс.
3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа.
Задание: Используя метода Подбор параметров, найти корни уравнения с точностью до 0,001.
- ввести функцию у=и построить ее график на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25 (Рис. 16):
- найти приближенное значение х точки пересечения графика функции с осью абсцисс (х≈1,4);
- найти приближенное решение уравнения с точностью до 0,001 методом Подбор параметра (х≈1,438).
4. Итог урока.
Слайд 12 Проверка результатов самостоятельной работы.
Слайд 13 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=0.
Слайд 14 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=g(x).
5. Домашнее задание.
Используя средства построения диаграмм в Excel и метод Подбор параметра, определите корни уравнения х 2 -5х+2=0 с точностью до 0,01.
Алгебра. 8 класс
Тема: Решение уравнений графическим способом
Содержание модуля (краткое изложение модуля):
Решим графическим способом уравнение:
Решить уравнение – значит найти такие значения x, при которых выполняется равенство x 2 = −3x
Построим в одной системе координат два графика:
график функции y = x 2 и график функции y = −3x.
Для каждого графика составим таблицы значений
y = x 2 – на рисунке синий график
x | 0 | 1 | 2 | 3 | −1 | −2 | −3 |
y | 0 | 1 | 4 | 9 | 1 | 4 | 9 |
y = −3x – на рисунке красный график
x | 0 | 1 | 2 | 3 | −1 | −2 | −3 |
y | 0 | −3 | −6 | −9 | 3 | 6 | 9 |
Заметим, что графики пересекаются в двух точках: точке с координатами (0 ; 0) и в точке с координатами (–3 ; 9). Это значит, что при x = 0 и при x = –3 функции y = x 2 и y = −3x имеют одинаковые значения.
Таким образом получаем, что при x = 0 и при x = –3 выполняется равенство x 2 = −3x.
Значит значения x = 0 и x = –3 являются корнями уравнения x 2 = −3x.
Корни, найденные графическим способом – приближённые. Чтобы доказать точность значений корней, надо каждый из них подставить в решаемое уравнение и проверить: выполняется ли полученное равенство.
Подставим в уравнение x 2 = −3x значение x = 0.
0 = 0 – верное равенство, значит x = 0 – точный корень уравнения x 2 = −3x.
Подставим в уравнение x 2 = −3x значение x = –3.
9 = 9 – верное равенство, значит x = −3 – точный корень уравнения x 2 = −3x.
Подведём итог.
Чтобы решить уравнение f1(x) = f2(x) графическим способом, необходимо:
1) Построить в одной системе координат графики функций y = f1(x) и y = f2(x). Абсциссы точек пересечения – это приближённые корни уравнения f1(x) = f2(x).
2) Необходимо подставить каждый приближённый корень в уравнение f1(x) = f2(x). Те корни, при которых получается верное равенство будут являться точными корнями уравнения f1(x) = f2(x).
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств
п.1. Количество корней кубического уравнения
Кубическое уравнение $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ на множестве действительных чисел может иметь один, два или три корня.
С помощью производной можно быстро ответить на вопрос, сколько корней имеет данное уравнение. begin f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ f'(x)=3ax^2+bx+c end Если в уравнении (f'(x)=0) дискриминант (D=4b^2-12ac=4(b^2-3ac)gt 0), кубическая парабола имеет две точки экстремума: (x_<1,2>=frac<-2bpmsqrt><6a>). Если при этом значения функции в точках экстремума (f(x_1)cdot f(x_2)lt 0), т.е. расположены по разные стороны от оси OX, парабола имеет три точки пересечения с этой осью. Исходное уравнение имеет три корня.
Если две точки экстремума найдены, но (f(x_1)cdot f(x_2)=0), уравнение имеет два корня.
Во всех остальных случаях – у исходного уравнения 1 корень.
Пример 1. Сколько корней имеют уравнения:
п.2. Количество корней произвольного уравнения
Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.
Пример 2. а) Найдите число корней уравнения (frac 1x+frac<1>+frac<1>)
б) Найдите число корней уравнения (frac 1x+frac<1>+frac<1>=k)
Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью (y=1). Это и будет ответом на вопрос задачи (а).
Исследуем функцию: $$ f(x)=frac1x+frac<1>+frac<1> $$ Алгоритм исследования и построения графика – см. §49 данного справочника.
1) ОДЗ: (xneleft<0;1;3right>)
Все три точки – точки разрыва 2-го рода. begin lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=-infty-1-frac13=-infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=+infty-1-frac13=+infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=1-infty-frac12=-infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=1+infty-frac12=+infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=frac13+frac12-infty=-infty\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=frac13+frac12+infty=+infty end 2) Функция ни четная, ни нечетная.
Функция непериодическая.
3) Асимптоты
1. Вертикальные (x=0, x=1, x=3) – точки разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные: begin lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=-0-0-0=-0\ lim_left(frac1x+frac<1>+frac<1>right)=+0+0+0=+0\ end Горизонтальная асимптота (y=0)
На минус бесконечности функция стремится к 0 снизу, на плюс бесконечности – сверху.
3. Наклонные: (k=0), нет.
4) Первая производная $$ f'(x)=-frac<1>-frac<1><(x-1)^2>-frac<1><(x-3)^2>lt 0 $$ Производная отрицательная на всей ОДЗ.
Функция убывает.
5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.
6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. (x=0) – асимптота
Точки пересечения с OX – две, (0lt x_1lt 1,1lt x_2lt 3)
7) График
Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.
Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь (y=k) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем:
При (klt 0) — три корня
При (k=0) — два корня
При (kgt 0) — три корня
Ответ: а) 3 корня; б) при (k=0) два корня, при (kne 0) три корня.
Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ sqrt+sqrt<10-2x>=a $$ имеет по крайней мере одно решение.
Исследуем функцию (f(x)=sqrt+sqrt<10-2x>)
ОДЗ: ( begin x-1geq 0\ 10-2xgeq 0 end Rightarrow begin xgeq 1\ xleq 5 end Rightarrow 1leq xleq 5 )
Функция определена на конечном интервале.
Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика.
Значения функции на концах интервала: (f(1)=0+sqrt<8>=2sqrt<2>, f(5)=sqrt<4>+0=2)
Первая производная: begin f'(x)=frac<1><2sqrt>+frac<-2><2sqrt<10-2x>>=frac<1><2sqrt>-frac<1><sqrt<10-2x>>\ f'(x)=0 text<при> 2sqrt=sqrt<10-2x>Rightarrow 4(x-1)=10-2xRightarrow 6x=14Rightarrow x=frac73\ fleft(frac73right)=sqrt<frac73-1>+sqrt<10-2cdot frac73>=sqrt<frac43>+sqrt<frac<16><3>>=frac<6><sqrt<3>>=2sqrt <3>end Промежутки монотонности:
(x) | 1 | (1; 7/3) | 7/3 | (7/3; 5) | 5 |
(f'(x)) | ∅ | + | 0 | — | ∅ |
(f(x)) | (2sqrt<2>) | (nearrow ) | max (2sqrt<3>) |
(searrow ) | 2 |
Можем строить график:
(y=a) — горизонтальная прямая.
Количество точек пересечения (f(x)) и (y) равно количеству решений.
Получаем:
$$ alt 2 $$ | нет решений |
$$ 2leq alt 2sqrt <2>$$ | 1 решение |
$$ 2sqrt<2>leq alt 2sqrt <3>$$ | 2 решения |
$$ a=2sqrt <3>$$ | 1 решение |
$$ agt 2sqrt <3>$$ | нет решений |
По крайней мере одно решение будет в интервале (2leq aleq 2sqrt<3>).
п.3. Решение неравенств с построением графиков
Пример 4. Решите неравенство (frac<2+log_3 x>gt frac<6><2x-1>)
Разобьем неравенство на совокупность двух систем.
Если (xgt 1), то (x-1gt 0), на него можно умножить слева и справа и не менять знак.
Если (xlt 1), то (x-1lt 0), умножить также можно, только знак нужно поменять.
Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: (xgt 0)
Получаем совокупность: begin left[ begin begin xgt 1\ 2+log_3 xgtfrac<6(x-1)> <2x-1>end \ begin 0lt xlt 1\ 2+log_3 xltfrac<6(x-1)> <2x-1>end end right. \ 2+log_3 xgt frac<6(x-1)><2x-1>Rightarrow log_3 xgt frac<6(x-1)-2(2x-1)><2x-1>Rightarrow log_3 xgt frac<2x-4><2x-1>\ left[ begin begin xgt 1\ log_3 xgtfrac<2x-4> <2x-1>end \ begin 0lt xlt 1\ log_3 xltfrac<2x-4> <2x-1>end end right. end Исследуем функцию (f(x)=frac<2x-4><2x-1>=frac<2x-1-3><2x-1>=1-frac<3><2x-1>)
Точка разрыва: (x=frac12) – вертикальная асимптота
Односторонние пределы: begin lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><-0>=+infty\ lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><+0>=-infty end Второе слагаемое стремится к 0 на бесконечности, и это дает горизонтальную асимптоту: (y=1) begin lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><-infty>=1+0\ lim_left(1-frac<3><2x-1>right)=1-frac<3><+infty>=1-0 end На минус бесконечности кривая стремится к (y=1) сверху, а на плюс бесконечности – снизу.
Первая производная: $$ f'(x)=left(1-frac<3><2x-1>right)’=frac<3><(2x-1)^2>gt 0 $$ Производная положительная на всей ОДЗ, функция возрастает.
Вторая производная: $$ f»(x)=-frac<6> <(2x-1)^3>$$ Одна критическая точка 2-го порядка (x=frac12)
http://resh.edu.ru/subject/lesson/1548/main/
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/primenenie-proizvodnoj-dlya-resheniya-nelinejnyh-uravnenij-i-neravenstv/
Тип урока: Обобщение, закрепление
пройденного материала и объяснение нового.
Цели и задачи урока:
- повторение изученных графиков функций;
- повторение и закрепление графического
способа решения уравнений; - закрепление навыков записи и
копирования формул, построения графиков
функций в электронных таблицах Excel 2007; - формирование и первичное закрепление
знаний о решении уравнений с
использованием возможностей электронных
таблиц Excel 2007; - формирование мышления, направленного на
выбор оптимального решения; - формирование информационной культуры
школьников.
Оборудование: персональные
компьютеры, мультимедиапроектор,
проекционный экран.
Материалы к уроку: презентация Power Point
на компьютере учителя (Приложение 1).
Ход урока
Организационный момент.
Слайд 1 из Приложения1 ( далее
ссылки на слайды идут без указания
Приложения1).
Объявление темы урока.
1. Устная работа (актуализация
знаний).
Слайд 2 — Соотнесите перечисленные
ниже функции с графиками на чертеже (Рис. 1):
у = 6 — х; у = 2х + 3; у = (х + 3)2; у = -(х — 4)2;
.
Рис. 1.
Слайд 3 Графический способ решения
уравнений вида f(x)=0.
Корнями уравнения f(x)=0 являются
значения х1, х2, … точек
пересечения графика функции y=f(x) с осью
абсцисс (Рис. 2).
Рис. 2.
Слайд 4
Найдите корни уравнения х2-2х-3=0,
используя графический способ решения
уравнений (Рис.3).
Ответ: -1; 3.
Рис. 3.
Слайд 5 Графический способ решения
уравнений вида f (x)=g (x).
Корнями уравнения f(x)=g(x) являются
значения х1, х2, … точек
пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x).
(Рис. 4):
Рис. 4.
Слайд 6 Найдите корни уравнения ,
используя графический способ решения
уравнений (Рис. 5).
Ответ: 4.
Рис. 5.
2. Объяснение нового материала.
Практическая работа.
Решение уравнений графическим способом
требует больших временных затрат на
построение графиков функций и в
большинстве случаев дает грубо
приближенные решения. При использовании
электронных таблиц, в данном случае – Microsoft
Excel 2007, существенно экономится время на
построение графиков функций, и появляются
дополнительные возможности нахождения
корней уравнения с заданной точностью (метод
Подбор параметра).
I. Графический способ решения
уравнений вида f(x)=0 в Excel.
Дальнейшая работа выполняется учителем в
Excel одновременно с учениками с подробными (при
необходимости) инструкциями и выводом
результатов на проекционный экран. Слайды
Приложения 1 используются для формулировки
задач и подведения промежуточных итогов.
Слайд 7
Пример1: Используя средства построения
диаграмм в Excel, решить графическим способом
уравнение —х2+5х-4=0.
Для этого: построить график функции у=-х2+5х-4
на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25; найти значения х точек пересечения
графика функции с осью абсцисс.
Выполнение задания можно разбить на этапы:
1 этап: Представление функции в
табличной форме (рис. 6):
Рис. 6.
Для этого:
- в ячейку А1 ввести текст Х, в
ячейку A2 — Y; - в ячейку В1 ввести число 0, в ячейку С1
– число 0,25; - выделить ячейки В1:С1, подвести
указатель мыши к маркеру выделения, и в
тот момент, когда указатель мыши примет
форму черного крестика, протянуть маркер
выделения вправо до ячейки V1 (Рис. 7).
Рис. 7.
- в ячейку B2 ввести формулу =-(B1^2)+5*B1-4;
При вводе формулы можно
вводить адрес ячейки с клавиатуры (не
забыть переключиться на латиницу), а
можно просто щелкнуть мышью на ячейке с
нужным адресом.
После ввода формулы в ячейке
окажется результат вычисления по
формуле, а в поле ввода строки формул —
сама формула (Рис. 8):
Рис. 8.
- скопировать содержимое ячейки B2 в
ячейки C2:V2 за маркер выделения. Весь
ряд выделенных ячеек заполнится
содержимым первой ячейки. При этом ссылки
на ячейки в формулах изменятся
относительно смещения самой формулы.
2 этап: Построение диаграммы типа График.
Для этого:
- выделить диапазон ячеек B2:V2;
- на вкладке Вставка|Диаграммы|График
выбрать вид График; - на вкладке Конструктор|Выбрать данные
(Рис. 9) в открывшемся окне «Выбор
источника данных» щелкнуть по кнопке Изменить
в поле Подписи горизонтальной оси —
откроется окно «Подписи оси». Выделить в
таблице диапазон ячеек B1:V1 (значения
переменной х). В обоих окнах щелкнуть
по кнопкам ОК;
Рис. 9.
- на вкладке Макет|Оси|Основная
горизонтальная ось|Дополнительные
параметры основной горизонтальной оси
выбрать:
Интервал между делениями: 4;
Интервал между подписями: Единица
измерения интервала: 4;
Положение оси: по делениям;
Выбрать ширину и цвет линии (Вкладки
Тип
линии и Цвет линии);
- самостоятельно изменить ширину и цвет
линии для вертикальной оси; - на вкладке Макет|Сетка|Вертикальные
линии сетки по основной оси выбрать Основные
линии сетки.
Примерный результат работы приведен на
рис. 10:
Рис. 10.
3 этап: Определение корней уравнения.
График функции у=-х2+5х-4
пересекает ось абсцисс в двух точках и,
следовательно, уравнение -х2+5х-4=0 имеет
два корня: х1=1; х2=4.
II. Графический способ решения уравнений
вида f(x)=g(x) в Excel.
Слайд 8
Пример 2: Решить графическим способом
уравнение .
Для этого: в одной системе координат
построить графики функций у1=
и у2=1-х
на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; найти значение х точки
пересечения графиков функций.
1 этап: Представление функций в
табличной форме (рис. 1):
- Перейти на Лист2.
- Аналогично Примеру 1, применив
приемы копирования, заполнить таблицу.
При табулировании функции у1=
воспользоваться встроенной функцией Корень
(Рис. 11).
Рис. 11.
2 этап: Построение диаграммы типа График.
- Выделить диапазон ячеек (А2:V3);
- Аналогично Примеру 1 вставить и
отформатировать диаграмму типа График,
выбрав дополнительно в настройках
горизонтальной оси: вертикальная ось
пересекает в категории с номером 5.
Примерный результат работы приведен на
Рис. 12:
Рис. 12.
3 этап: Определение корней уравнения.
Графики функций у1=
и у2=1-х пересекаются в одной
точке (0;1) и, следовательно, уравнение
имеет один корень – абсцисса этой точки: х=0.
III. Метод Подбор параметра.
Слайд 9
Графический способ решения уравнений
красив, но далеко не всегда точки
пересечения могут быть такими «хорошими»,
как в специально подобранных примерах 1 и 2.
Возможности электронных таблиц
позволяют находить приближенные значения
коней уравнения с заданной точностью. Для
этого используется метод Подбор
параметра.
Слайд 10
Пример 3: Разберем метод Подбор
параметра на примере решения уравнения —х2+5х-3=0.
1 этап: Построение диаграммы типа График
для приближенного определения корней
уравнения.
Построить график функции у=—х2+5х-3,
отредактировав полученные в Примере 1
формулы.
Для этого:
- выполнить двойной щелчок по ячейке B2,
внести необходимые изменения; - с помощью маркера выделения
скопировать формулу во все ячейки
диапазона C2:V2.
Все изменения сразу отобразятся на
графике.
Примерный результат работы приведен на
Рис. 13:
Рис. 13.
2 этап: Определение приближенных
значений корней уравнения.
График функции у=-х2+5х-3
пересекает ось абсцисс в двух точках и,
следовательно, уравнение -х2+5х-4=0 имеет
два корня.
По графику приближенно можно
определить, что х1≈0,7; х2≈4,3.
3 этап: Поиск приближенного решения
уравнения с заданной точностью методом Подбор
параметра.
1) Начать с поиска более точного
значения меньшего корня.
По графику видно, что ближайший
аргумент к точке пересечения графика с
осью абсцисс равен 0,75. В таблице
значений функции этот аргумент
размещается в ячейке E1.
- Выделить ячейку Е2;
- перейти на вкладку Данные|Анализ «что-если»|Подбор
параметра…;
В открывшемся диалоговом окне Подбор
параметра (Рис. 14) в поле Значение
ввести требуемое значение функции: 0.
В поле Изменяя значение ячейки:
ввести $E$1 (щелкнув по ячейке E1).
Щелкнуть по кнопке ОК.
Рис. 14.
Рис. 15.
- В окне Результат подбора (Рис. 15)
выводится информация о величине
подбираемого и подобранного значения
функции: - В ячейке E1 выводится подобранное
значение аргумента 0,6972 с требуемой
точностью (0,0001).
Установить точность можно путем
установки в ячейках таблицы точности
представления чисел – числа знаков
после запятой (Формат ячеек|Число|Числовой).
Итак, первый корень уравнения
определен с заданной точностью: х1≈0,6972.
2) Самостоятельно найти значение
большего корня с той же точностью. (х2≈4,3029).
IV. Метод Подбор параметра для
решения уравнений вида f(x)=g(x).
При использовании метода Подбор
параметров для решения уравнений вида f(x)=g(x)
вводят вспомогательную функцию y(x)=f(x)-g(x)
и находят с требуемой точностью значения х
точек пересечения графика функции y(x) с
осью абсцисс.
3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная
работа.
Слайд 11
Задание: Используя метода Подбор
параметров, найти корни уравнения
с точностью до 0,001.
Для этого:
- ввести функцию у=
и построить ее график на промежутке [ -1; 4 ] с
шагом 0,25 (Рис. 16):
Рис. 16.
- найти приближенное значение х
точки пересечения графика функции с
осью абсцисс (х≈1,4); - найти приближенное решение уравнения с
точностью до 0,001 методом Подбор
параметра (х≈1,438).
4. Итог урока.
Слайд 12 Проверка результатов самостоятельной
работы.
Слайд 13 Повторение графического
способа решения уравнения вида f(x)=0.
Слайд 14 Повторение графического
способа решения уравнения вида f(x)=g(x).
Выставление оценок.
5. Домашнее задание.
Слайд 15 .
Используя средства построения диаграмм
в Excel и метод Подбор параметра, определите
корни уравнения х2-5х+2=0 с
точностью до 0,01.
Подведём итоги наших знаний о графиках функций.
Нами были изучены методы построения таких функций, как:
(y =b) (график — прямая, параллельная оси (x));
(y = kx) (график — прямая, которая проходит через начало координат);
(y = kx + m) (график — прямая);
(график — парабола).
При необходимости мы сможем преобразовать аналитическую модель на графическую. Допустим, аналитическую модель
y=x2
трансформировать в графическую модель в виде параболы, расположенной в прямоугольной системе координат.
Этот приём полезен при решении уравнений. Продемонстрируем это на примерах.
Пример:
решить уравнение
x2=2x+8
.
Рассмотрим две функции:
y=x2
, (y = 2x + — выполним построение графиков этих функций в одной системе координат, чтобы найти их точки пересечения.
Парабола
y=x2
и прямая (y = 2x + пересекаются в точках (A (- 2; 4)) и (B (4; 16)).
Корни уравнения
x2=2x+8
— значения (x), при которых выражения
x2
и (2x + 16) принимают одинаковые значения. Это первые координаты точек (A) и (B) пересечения графиков:
x1=−2;x2=4
.
Алгоритм графического решения уравнений
1. Преобразовать уравнение так, чтобы в левой и правой части стояли известные функции.
2. В одной системе координат начертить графики этих функций.
3. Определить точки пересечения полученных графиков.
4. Взять из них значения абсцисс.
Здравствуйте. В данной статье я попытаюсь показать вам возможные способы решения квадратных уравнений с помощью графиков.
Допустим, надо решить уравнение х2 ‒ 2х ‒ 3 = 0. На этом примере мы рассмотрим варианты решения квадратного уравнения графически.
1) Можно представить наше уравнение в виде х2 = 2х + 3. Далее построим в одной системе координат графики функций у = х2 и у = 2х + 3. График у = х2 представлен на рисунке 1, а оба графика на рисунке 2.
Рисунок 1 Рисунок 2
Графики пересекаются в двух точках, наше уравнение имеет решение х = – 1 и х = 3.
2) А ведь можно представить уравнение и по — другому, например х2 ‒ 2х = 3 и построить в одной системе координат графики функций у = х2 ‒ 2х и у =3. Вы их можете увидеть на рисунках 3 и 4. На рисунке 3 изображен график у = х2 ‒ 2х, а на рисунке 4 оба графика у = х2 ‒ 2х и у =3.
Рисунок 3 Рисунок 4
Как мы видим, эти два графика так же пересекаются в двух точках, где х = -1 и х = 3. Значит ответ: — 1; 3.
3) Есть и другой вариант представления этого уравнения х2 ‒ 3 = 2х. И снова строим графики функций у = х2 ‒ 3 и у = 2х в одной системе координат. Первый у = х2 ‒ 3 на рисунке 5 и оба графика на рисунке 6.
Рисунок 5 Рисунок 6
Они также пересекаются в двух точках, в которых х = -1 , х = 3.
Ответ: — 1; 3.
4) Можно построить параболу у = х2 ‒ 2х ‒ 3.
Вершина параболы х0 = — b/2а = 2/2=1, у0 = 12 ‒ 2·1 ‒ 3 = 1 – 2 – 3 = ‒ 4. Это точка (1; ‒ 4). Тогда наша парабола симметрична относительно прямой х =1. Если взять две точки симметричные относительно прямой х = 1 например: х = — 2 и х = 4, то мы получим две точки через которые проходят ветви графика.
Если х = -2, то у =(- 2)2 ‒ 2( -2) ‒ 3 = 4 + 4 – 3 = 5.
Аналогично х =4, у = 42 ‒ 2 · 4 ‒ 3= 16 – 8 – 3 = 5. Полученные точки ( -2; 5); (1; 4) и (4; 5) отмечаем в на плоскости и проводим параболу рисунок 7.
Рисунок 7
Парабола пересекает ось абсцисс в точках – 1 и 3. Это и есть корни уравнения х2 ‒ 2х ‒ 3 = 0.
Ответ: – 1 и 3.
5) А можно выделить квадрат двучлена:
х2 ‒ 2х ‒ 3= 0
(х2 ‒ 2х + 1) ‒1 ‒ 3= 0
(х -1)2 — 4 = 0
(х — 1)2 = 4
Затем построить в одной системе координат графики функций у = (х — 1)2 и у = 4. Первый график у = (х — 1)2 на рисунке 8, а оба графика у = (х — 1)2 и у = 4 на рисунке 9.
Рисунок 8 Рисунок 9
Они также пересекаются в двух точках, в которых х = -1 , х = 3.
Ответ: — 1; 3.
6) Так как х = 0 не является корнем уравнения х2 ‒ 2х ‒ 3 = 0 (иначе выполнялось бы равенство 02 – 2· 0 –3 = 0), то можно все члены уравнения разделить на х. В результате мы получим уравнение х – 2 – 3/х = 0. Перенесем 3/х вправо и получаем уравнение х – 2 = 3/х Тогда можно построить в одной системе координат графики функций у = 3/х и у = х – 2.
На рисунке 10 изображен график функции у = 3/х, а на рисунке 11 оба графика функций у = 3/х и у = х – 2.
Рисунок 10 Рисунок 11
Они также пересекаются в двух точках, в которых х = -1 , х = 3.
Ответ: — 1; 3.
Если вы были внимательны, то обратили внимание, что каким бы образом вы не представили бы уравнение в виде двух функций, у вас всегда будет один и тот же ответ (разуметься, что вы не допустите ошибок при переносе выражений из одной части уравнения в другую и при построении графиков). Поэтому, решая графически уравнение, выбирайте способ представления функций графики которых вам легче построить. И еще одно замечание если корни уравнения не целые числа, то ответ получится не точным.
Репетитор Валентина Галиневская.
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.