Как найти корень уравнения в кубе

Была ли эта статья полезной?

Кубическое уравнение – уравнение вида [{large{ax^3+bx^2+cx+d=0}},]

где (ane 0, b, c, d) – некоторые числа.

Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень (x_1).
Значит, всегда выполнено: (ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)), где (m, n) – некоторые числа.

({color{red}{I.}}) Кубические уравнения вида [x^3=a]

для любого числа (a) имеют единственный корень

[x=sqrt[3]a]

Пример.

Решением уравнения (x^3=-8) является (x=sqrt[3]{-8}=-2).

({color{red}{II.}}) Кубические уравнения вида (ax^3+bx^2+cx+d=0) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.

Пример.

Решить уравнение (5x^3-x^2-20x+4=0).

Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: [(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 quad Leftrightarrow quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 quad
Leftrightarrow quad (x^2-4)(5x-1)=0]

Тогда корнями данного уравнения являются (x_1=-2, x_2=2,
x_3=frac15).

В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:

[begin{aligned}
&(xpm y)^3=x^3pm3x^2y+3xy^2pm y^3\
&x^3pm y^3=(xpm y)(x^2mp xy+y^2) end{aligned}]

({color{red}{III.}}) Кубические уравнения вида (ax^3+bx^2+cx+d=0), в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.

Для этого можно использовать следующие утверждения:

(blacktriangleright) Если сумма (a+b+c+d=0), то корнем уравнения является число (1).

(blacktriangleright) Если (b+d=a+c), то корнем уравнения является число (-1).

(blacktriangleright) Пусть (a,b,c,d) – ({color{blue}{text{целые}}}) числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень (large{dfrac{p}{q}}), то для него будет выполнено:

(d) делится нацело на (p);  (a) делится нацело на (q).

Пример.

1. У уравнения (7x^3+3x^2-x-9=0) сумма коэффициентов равна (7+3-1-9=0), значит, (x=1) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.

2. У уравнения (4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0) выполнено: (4,5-0,5=-3+7), значит, (x=-1) является корнем этого уравнения.

3. У уравнения (2x^3+5x^2+3x-3=0) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена (-3) : (pm 1, pm 3); делители старшего коэффициента (2): (pm1, pm2). Значит, возможные комбинации рациональных корней: [pm 1, pmdfrac12, pm 3, pm dfrac32]

Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что (x=frac12) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):

[2cdot left(frac12right)^3+5cdot left(frac12right)^2+3cdot
frac12-3=0 quad Leftrightarrow quad 0=0]

Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение (frac12x^3+frac16x+2=0) после умножения на (6) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: (3x^3+x+12=0).

В уравнении такого типа a не равно 0, вместо b,c,d могут быть любые однозначные числа.

Данный вид уравнения имеет как минимум один корень – y₁.

Решение таких равнений может осуществляться разными способами. Оно может преобразовываться в стандартное квадратное уравнение. В таком случае предстоит выбрать один из трех вариантов решения квадратного уравнения:

• разложение на множители;
• применение формул для квадратных уравнений;
• метод дополнения.

Решение кубических уравнений может осуществляться посредством формулы Кардано, а также теоремы Виета. Теорема Виета применяется для решения последней, четвертой степени.

Решение кубических уравнений с двумя членами

Деление на a предполагает вместо нее любую цифру, кроме 0. После преобразования можно применить формулы для решения кубических уравнений, например, сокращенного умножения суммы кубов:

y3=b/a=0

(y+³√b/a)(y²—³√b/a*y+³√(b/a)²)=0

В результате из первой скобки выводим:

y=-³√b/a

во второй скобке получаем выражение – трехчлен:

y2-3√b/a*y+3√(b/a)2

Методы решения кубических уравнений возвратного вида

Первым делом при решении таких уравнений в математике выполняется группировка:

ay3+by2+by+a=a(y³+1)+b(y²+y)=a(y+1)(y²-y+1)+by(y+1)=(y+1)(ay²+y(b-a)+a)

В полученном выражении корень равен y=-1. Исходя из этого, чтобы получить корень квадратного трехчлена ay²+y(b-a)+a, потребуется найти дискриминант.

Решение кубических уравнений в составе которых рациональные корни

Предположим, что y=0. В этом случае он будет корнем уравнения, которое выглядит следующим образом:

ay³+by²+cy+d=0

При условии, что в уравнении свободные члены, d=0. Преобразуем уравнение и получим:

ay3+by2+cy=0

Решение кубических уравнений такого вида предполагает вынесение y за скобку. В итоге получается уравнение вида:

y(ay²+by+c)=0

Рассмотрим на конкретном примере, как решить кубическое уравнение с подробным решением:

5y³+2y²+4y=0

Решение:

Первым делом стоит упростить уравнение.

5y³+2y²+4y=0

Получим уравнение вида:

y(5y²+2y+4)=0

y=0, так как является корнем выражения.

Следующий шаг – поиск корней квадратного трехчлена 5y²+2y+4, который мы получили после упрощения. Для поиска приравняем к нулю и будем использовать дискриминант.

В ходе решения кубического уравнения с дискриминантом получим:

D=2²-2*5*4=-38

Так как в ответе мы получили отрицательное значение, корней у данного трехчлена нет, значит x=0.

Если в уравнениях вида ay³+by²+cy+d=0 коэффициентами являются целые числовые значения, то при решении таких уравнений и нахождении его значения мы может получить иррациональные корни.

В случае, когда a не равно 0, при умножении на a² каждой составляющей уравнения происходит замещение переменных, и получается: x=ay

ay³+by²+cy+d=0

Каждую составляющую выражения умножаем на a²:

a³*y³+b*a²*y²+c*a*a*y+d*a²=0

Учитывая, что решение кубических уравнений с подробным решением предполагает замещение переменных x=ay, то:

x²+b*x²+c*a*x+d*a²

Полученное уравнение является кубическим. В таких уравнениях корни могут быть разными – и целыми, и рациональными. Чтобы привести такое уравнение к тождественному равенству, потребуется подставить делители в полученное равенство. В этом случае полученный x₁ будет корнем, и в то же время корнем начального уравнения:

x₁=y₁/a

Чтобы найти значение корней квадратного трехчлена, потребуется многочлен ay3+by2+cy+d разделить на y-y_1.

Рассмотрим решение кубических уравнений такого вида на примере.

Пример:

Решить уравнение [x 3-3 x 2-13 x+15=0].

Решение:

Ищем первый корень перебором чисел: [0, pm1, pm2, pm3, pm5, pm15] и подстановкой в уравнение. В результате находим, что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого уравнения на двухчлен x-1 и получаем:

Теперь, решая квадратное уравнение: [x 2-2 x-15=0], находим оставшиеся два корня: x1=-3 и x2=5.

Ответ: 1; -3; 5.

Такой способ решения кубических уравнений используется для преобразования и решения возвратных уравнений. Из приведенного примера видно, что корнем является -1, значит, левую часть можно разделить на x+1. После того, как эти действия выполнены, можно находить корни квадратного трехчлена. Если рациональные корни отсутствуют, необходимо находить иные методы решения и разложения многочлена на множители.

Решение кубического уравнения с помощью формулы Кардано

Есть еще один способ — формула Кардано для решения кубических уравнений.

Если взять уравнение вида B₀y³+B₁y²+B₂y+B₃=0, то A₁=B₁/B₀, A₂=B₂/B₀, A₃=B₃/B₀.

Z=-A²₁/3+A₂

P=2A³₁/27-A₁A₂/3+A₃.

Выведенные значение Z и P подставим в формулу Кардано.

X=³√-P/2+√P²/4+Z³/27+³√-P/2-+√P2/4+Z3/27

В итоге подбор кубических корней должен соответствовать значению –Z/3. В этом случае корни исходного уравнения будут выглядеть следующим образом:

y=x-A₁/3

Применить формулу Кордано можно на примере для наглядности.

В данном случае для корней начального уравнения мы получим:

x₁=y₁-2=3-2=1;

x₂=y₂-2=-3-2=-5;

x₃=y₃-2=0-2=-2.

Получаем ответы: 1, -5, -2.

Общее решение кубического уравнения, если известен один из корней

За исходное уравнение возьмем следующее:

y³+ay²+by+c=0

Предположим, что a,b,c являются действительными цифровыми значениями. Известный корень пометим, как y₁. В таком случае, если произвести деление начального уравнения y³+ay²+by+c=0 на y-y₁ получим квадратное уравнение. При решении такого уравнения удастся найти еще два корня – y₂ и y₃.

Чтобы доказать это, преобразуем кубический многочлен следующим образом:

y₃+ay₂+by+c=(y-y₁)(y-y₂)(y-y₃)

При решении таких уравнений часто допускаются ошибки. Их решение – это сложное, многократное преобразование, которое требует точного знания формул и математических законов. Чтобы избежать ошибок и погрешностей, потребуется применить не только практические навыки, но и теоретические знания. Для решения кубических уравнений можно использовать специальный онлайн калькулятор. Принцип его действия основан на формуле Кардано. В том случае, если один или несколько коэффициентов такого уравнения равны нулю, или между ними присутствует определенная зависимость, решение будет более простым.

Чтобы научиться решать подобные уравнения, необходимо рассматривать примеры и тренироваться на их решении разными способами.

Решение кубических уравнений

Здесь мы рассматриваем решение кубических уравнений вида
(1) .
Далее считаем, что – это действительные числа.

Если исходное уравнение имеет вид:
(2) ,
то разделив его на , получаем уравнение вида (1) с коэффициентами
.

Уравнение (1) имеет три корня: , и . Один из корней всегда действительный. Действительный корень мы обозначаем как . Корни и могут быть либо действительными, либо комплексно сопряженными. Действительные корни могут быть кратными. Например, если , то и – это двукратные корни (или корни кратности 2), а – простой корень.

Если известен один корень

Пусть нам известен один корень кубического уравнения (1). Обозначим известный корень как . Тогда разделив уравнение (1) на , получим квадратное уравнение. Решая квадратное уравнение, найдем еще два корня и .

Для доказательства воспользуемся тем, что кубический многочлен можно представить в виде:
.
Тогда, разделив (1) на , получаем квадратное уравнение.

Примеры деления многочленов представлены на странице
“Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком”.
Решение квадратных уравнений рассмотрено на странице
“Корни квадратного уравнения”.

Если один из корней – целый

Если исходное уравнение имеет вид:
(2) ,
и его коэффициенты , , , – целые числа, то можно попытаться найти целый корень. Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем коэффициента . Метод поиска целых корней заключается в том, что мы находим все делители числа и проверяем, выполняется ли для них уравнение (2). Если уравнение (2) выполняется, то мы нашли его корень. Обозначим его как . Далее делим уравнение (2) на . Получаем квадратное уравнение. Решая его, находим еще два корня.

Поиск рациональных корней

Если в уравнении (2) , , , – целые числа, причем , и целых корней нет, то можно попытаться найти рациональные корни, то есть корни вида , где и – целые.

Для этого умножим уравнение (2) на и сделаем подстановку :
;
(3) .
Далее ищем целые корни уравнения (3) среди делителей свободного члена .

Если мы нашли целый корень уравнения (3), то, возвращаясь к переменной , получаем рациональный корень уравнения (2):
.

Формулы Кардано и Виета для решения кубического уравнения

Если нам не известен ни один корень, и целых корней нет, то найти корни кубического уравнения можно по формулам Кардано.

Рассмотрим кубическое уравнение:
(1) .
Сделаем подстановку:
.
После этого уравнение приводится к неполному или приведенному виду:
(4) ,
где
(5) ; .

Формула Кардано для неполного (приведенного) кубического уравнения имеет вид:
;
;
;
;
.
По формуле Кардано, мы находим три корня величины . Затем, используя формулу , находим значения величины .

После разделения кубических корней величины , формула Кардано принимает следующий вид:
(6) , ,
где
(7) ; ; ;
(8) .

При , для и нужно выбирать действительные корни, которые автоматически связаны соотношением . При этом мы получим одно действительное решение и два комплексно сопряженных и .

При имеем:
; ; .
В этом случае мы имеем два кратных действительных корня. Если , то мы имеем три кратных корня.

При мы имеем три действительных корня. При этом и – комплексные. Поэтому решение приводится к тригонометрической форме, которая имеет название формулы Виета:
(9) ;
(10) ,
где
(11) ; .

Примеры решений по формулам Кардано и Виета

Решить кубические уравнения:
;
.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-04-2016 Изменено: 02-10-2016

Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

x i	Коэффициенты многочлена
2	— 11	12	9
— 0 . 5	2	— 11 + 2 · ( — 0 . 5 ) = — 12	12 — 12 · ( — 0 . 5 ) = 18	9 + 18 · ( — 0 . 5 ) = 0

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Кубическое уравнение

Кубическое уравнение имеет вид ax 3 +bx 2 +cx+d=0 , где переменная обязательно должна присутствовать в третьей степени. Если переменная x отсутствует для второй или первой степени, то эти коэффициенты приравниваются к нулю.

Для решения кубического уравнения существует теорема Виета-Кардана, которая предлагает ряд формул, через которые вычисляется количество и значения корней уравнения не только на множестве действительных чисел, но и включая комплексные числа. По теореме Виета-Кардана, нужно рассчитать следующие параметры.

Если параметр S>0 , то данное кубическое уравнение имеет три корня:

Если S , то тригонометрические функции заменяются гиперболическими и корни кубического уравнения вычисляются по гораздо более внушительным формулам.