Как найти корень в физике

Интегрированный урок (математика + физика) по темам «Квадратные уравнения» и «Реактивное движение»

Презентация к уроку

Посвящается году космонавтики

Урок посвящён году космонавтики и совмещает обобщение темы «Квадратные уравнения» с темой «Реактивное движение». Эти две темы близки прежде всего тем, что графиком квадратичной функции является парабола, а ракета же при своём полёте описывает путь, напоминающий параболу.

Цели урока:

1. обобщение и систематизация изученного материала;
2. формирование умений применять знания в комплексе с решением различной сложности задач, требующих привлечения сведений из различных разделов школьного курса физики;
3. воспитание чувства коллективизма, патриотизма учащихся.

Оформление: портреты русского учёного К.Э.Циолковского, главного конструктора ракетно-космических систем академика С.П.Королёва и космонавтов (Ю.А. Гагарина, А.Н. Николаева и др.) (Приложение 3).

Оборудование: «бортовые журналы» полёта (т.е. тетради и дневники).

Использованная литература:

1. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений /Макарычев Ю.Н. и др., – М.: Просвещение, 2010. – 288с.
2. Физика: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / С.В. Громов, Н.А. Родина. – 3-е изд. –2001. – С. 31-37.
3. Енохович А.С. Справочник по физике и технике: учеб. Пособие для учащихся. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1989.– С. 69-85.
4. Первопроходцы космоса. Андриян Николаев / Сост.: В.А. Иванова, А.А. Парпара, П.Р. Попович. – Чебоксары: Чуваш. книжн. изд-во, 1989. – 302с.

Ход урока

I. Постановка перед учащимися учебной проблемы

– Ребята, в жизни чувашского народа произошло знаменательное событие. Какое? Сейчас узнаем. В помощь я прочту вам строчки из стихотворения Петра Градова (Слайд 1):

Здесь тебя глубоко уважают,
Здесь земляк ни один не забыт.
Как Василий Иваныч Чапаев,
Ты в родной стороне знаменит.
Андриян!
Так тебя называют в Чувашии,
И улыбкою светится взгляд.
Андриян!
И фамилию можно не спрашивать
И понятно о ком говорят.

Сегодняшний урок мы посвятим году космонавтики. Используя наши знания по теме «Квадратные уравнения», узнаем некоторые интересные факты из космической биографии Андрияна Николаева (Слайд 2). Для проведения урока класс разделим на группы:

а) центр подготовки космонавтов (первый ряд);
б) экипаж космического корабля «Восток-3» (второй ряд);
в) центр управления полётом (третий ряд).

(Каждый ряд получает свой бортовой журнал, где будет отмечаться, кто как отвечал).

Итак, «Поехали!» (Слайд 3).

II. Устные упражнения

Но прежде чем отправиться в космос, экипажу нужно много и упорно тренироваться, чем мы сейчас и займемся. (Слайд 7).

В начале 1959 года под председательством академика М.В. Келдыша состоялось совещание, на котором вопрос о полете человека обсуждался уже вполне конкретно, вплоть до того: «А кому лететь?» [4, с. 86]. А кому, мы узнаем из следующей задачи.

Задача. (Слайды 8, 9).«Для такого дела, – сказал тогда Королев, – лучше всего подготовлены летчики: возраст не более лет, рост не более см, вес – до * кг». Комиссии было предложено более кандидатур, но пройти удалось лишь кандидатам. В ходе тренировок была сформирована группа в составе ()2 человек: Варламов, Гагарин, Карташов, Николаев, Попович, Титов. Скоро в этом составе произошли изменения. Вместо отчисленного по болезни Карташова в шестерку был введен Нелюбов. Вместо Варламова – Быковский.

(Так как данную задачу выдвинул центр управления полетом, то он и следит за правильностью ответа).

III. Устные вопросы

(Слайд 10). «После организации группы подготовки к полетам Королев стал больше уделять внимания обучению космонавтов, приезжал в Звездный городок, осматривал тренажеры, беседовал с космонавтами» [4, с. 87]. Мы тоже сейчас побеседуем с экипажем.

Вопросы (Слайд 11). (Проверяют задание первый и третий ряды).

IV. Решение задач

(Слайд 12). «Неплохо, – подвел итог Сергей Павлович, – на первых порах неплохо, но надо думать, что делать дальше. Без «заделов» нужного хода вперед не получится. Нам с вами предстоит большая работа. И чем дальше, тем работы будет больше» [4, с. 92].

– Ребята, нам тоже предстоит большая работа.

1. (Слайд 13). «Первая группа проходила положенные испытания на различных стендах. В декабре эти космонавты провели на тренажере зачетные тренировки… Наконец на 17-18 января 1960 года были назначены экзамены «шестерке». Первый день сдавали «практику» – в тренажере проверялось умение управлять кораблем» [4, с. 92].

А мы же сейчас, ребята, проверим ваше умение решать квадратные уравнения. Пусть это было экзаменом не только для космонавтов, а также будет экзаменом для наших центров подготовки и управления.

(Ученикам раздаются карточки с приведенными квадратными уравнениями и с кодами к ним: х1 – наименьший корень, х2 – наибольший корень. При решении уравнений применяется теорема Виета. Из ответов квадратных уравнений можно нарисовать космическую ракету).

Карточки с уравнениями (Приложение 1 или Слайды 14-17).

р 2 — 11р + 10 = 0

По этим расчетам конструкторы из центра подготовки строят на доске ракету (Приложение 2). В это время другие ученики изучают Слайд 18 и отвечают на вопрос: Какую температуру должна выдержать вся эта конструкция? (Ответ: Высокую.В термосфере (от 80 до 600 км от Земли) температура возрастает с увеличением высоты и достигает очень больших размеров (свыше 1000 °С).

2. (Слайд 19)Всё интенсивнее становились тренировки… Нагрузки возрастали. Космонавты тихо роптали. «Будущему космонавту-3 предстояло пройти исследование в термокамере» [4, с. 180].

Задача. (Слайд 20) Один из корней данного уравнения равен Т=-90. Найдите коэффициент t и второй коэффициент уравнения T 2 +20T-70t=0, где t – продолжительность пребывания Андрияна Николаева в термокамере перед стартом (в минутах), Т – температура в термокамере (в °С).

Ответ: (слайд 20).1,5 часа пробыл при температуре +70 °С (сверяется по тексту [4, с. 180]).

3. «На следующий день был экзамен по теории» (слайды 22, 23) [4, с.92].Давайте и мы обратимся к теории. Вспомним тему из курса физики тему «Реактивное движение».

4. Физкультминутка (Музыка песни «Пора в путь дорогу»)

Мы немножко подустали,
И поэтому все встали,
Высоко так подтянулись,
Раз нагнулись, два нагнулись.
Все тетрадки, ручки взяли
И к компьютерам пошли.
Сейчас у нас предстоит небольшое тестирование.

5. Тестирование на компьютере.

6. Подготовка к полету подходит к концу. Космический корабль построен и смотрит в небо (Чертёж, построенный по координатам на доске и слайд 24). (После чего учитель знакомит учащихся с некоторыми техническими характеристиками ракеты-носителя космического корабля «Восток-3») (слайд24):

Полёты ракет основаны на принципе реактивного движения. Реактивное движение − это движение тела, возникающее при отделении от него некоторой его части. Как известно из химии, горение топлива представляет собой бурно протекающий процесс окисления. Поэтому для горения необходим кислород (окислитель). В авиационных реактивных двигателях этот кислород берется из окружающего воздуха. Ракетные же двигатели должны работать и в верхних слоях атмосферы, где кислорода очень мало, и в космическом пространстве, где его вообще нет. По этой причине, помимо баков с горючим (например, с керосином), на ракетах размещают и значительные запасы окислителя. С помощью специальных насосов или под давлением сжатого газа горючее и окислитель подаются в камеру сгорания. Вступая в химическую реакцию между собой, компоненты топлива воспламеняются и сгорают. Истечение продуктов сгорания происходит через сопло специальной формы. Львиную долю от всей массы ракеты на старте должна составлять именно масса топлива. Полезная же нагрузка по сравнению с ней должна иметь очень малую массу.

По мере истечения рабочего тела освободившиеся баки, лишние части оболочки и т.д. начинают обременять ракету ненужным грузом, затрудняя ее разгон. Поэтому для достижения космических скоростей применяют многоступенчатые ракеты. Сначала в таких ракетах работают лишь блоки первой ступени. Когда запасы топлива в них кончаются, они отделяются, и включается вторая ступень; после исчерпания в ней топлива она также отделяется, и включается третья ступень. Находящийся в головной части спутник или какой-либо другой космический аппарат укрыт головным обтекателем, обтекаемая форма которого способствует уменьшению сопротивления воздуха при полете ракеты в атмосфере земли.

7. Далее дело берет в свои руки центр управления. Взревели двигатели, и корабль «Восток-3», преодолев земное притяжение, 11 августа 1962 г. вышел в открытый космос.

Задача. (слайд 25)Сколько времени пробыл Николаев первый раз в космосе и сколько оборотов он совершил вокруг Земли? Ответить на эти вопросы и поможет следующее уравнение: х 2 -95х+64=0, где t=-(х₁+х₂) – время (в часах), n=х₁*х₂ – число оборотов. (Используется теорема Виета).

Ответ: 95 часов, 64 оборота.

8. Задача. (слайд 26) На какой средней высоте прошел полет А. Николаева? Один из корней данного уравнения поможет ответить на этот вопрос: h 2 -251h+250=0. (Выполнить устно, используя свойства корней квадратного уравнения).

9. Задача. (слайд 27) Какой путь прошел корабль «Восток-3»? Используются формула , где , и результат предыдущей задачи. (При вычислении применяется калькулятор – пульт управления).

Ответ: 2 672 768 км.

Ответы можно сверить по отрывку из речи Андрияна Николаева на митинге на Красной площади » [4, с.109]: (слайд 28) «Космический корабль «Восток-3» находился в полете почти четверо суток и совершил более 64 оборотов вокруг земного шара. Корабль прошел путь свыше 2 млн. 600 тыс. километров, превысив почти в 7 раз расстояние от Земли до Луны». Здесь также можно вспомнить темы «Стандартный вид числа», «Относительная погрешность», вычислить расстояние от Земли до Луны и после его сверить по справочнику.

10. (слайд 29) «Готовился новый старт. По замыслу руководителей он должен был стать самым продолжительным по времени и самым результативным в исследовательской деятельности. Утвержден экипаж: командир космического корабля «Союз-9» А.Г. Николаев, бортинженер В.И. Севастьянов. Всё уже готово к многодневному полёту. Всё проверено, всё отлажено» [4, с. 106].

Но тут случилось непредвиденное, из-за чего второй полёт А. Николаева чуть не сорвался. Что же могло произойти?

Задание.Из учебника [1] подбираются дробно-рациональные уравнения – это №№592 (ж), 593 (е), 595 (а): (слайд 30)

x+2=;

;

.

По ответам уравнений, используя следующую таблицу, можно прочитать слово «щука» (слайд 31).

Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям

Вы будете перенаправлены на Автор24

Общая теория решения задач при помощи уравнений

Перед тем, как перейти к конкретным видам задач приведем сначала общую теорию для разрешения различных задач с помощью уравнений. Прежде всего к уравнениям сводят задачи в таких дисциплинах как экономика, геометрия, физика и многих других. Общий порядок для решения задач при помощи уравнений заключается в следующем:

• Все искомые нами величины из условия задачи, а также какие либо вспомогательные обозначаются удобными для нас переменными. Чаще всего этими переменными выступают последние буквы латинского алфавита.
• Используя данные в задачи числовые значения, а также словесные соотношения составляется одно или несколько уравнений (в зависимости от условия задачи).
• Разрешают полученное уравнение или их систему и выкидывают «не логичные» решения. К примеру, если надо найти площадь, то отрицательное число, очевидно, будет посторонним корнем.
• Получаем окончательный ответ.

Далее будем рассматривать конкретные задачи, уравнения для которых получаются квадратными.

Пример задачи в алгебре

Здесь мы приведем пример задачи, сводящейся к квадратному уравнению без опоры на какую-либо конкретную область.

Найдите два таких иррациональных числа при сложении квадратов которых будет получаться пятерка, а при их обычном сложении друг с другом тройка.

Обозначим эти числа буквами $x$ и $y$. По условию задачи довольно легко составить два уравнения $x^2+y^2=5$ и $x+y=3$. Видим, что одно из них является квадратным. Для нахождения решения нужно решить систему:

Вначале выражаем из второго $x$

Подставляя в первое и производим элементарные преобразования

Мы перешли к решению квадратного уравнения. Сделаем это с помощью формул. Найдем дискриминант:

Найдем вторую переменную.

Для первого корня:

Для второго корня:

Так как последовательность чисел нам не важна получаем одну пару чисел.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример задачи в физике

Рассмотрим пример задачи, приводящейся к решению квадратного уравнения в физике.

Вертолет, летящий равномерно в безветренную погоду имеет скорость $250$ км/ч. Ему необходимо со своей базы долететь до места пожара, которое находится в $70$ км от нее и вернуться обратно. В это время ветер дул в сторону базы, замедляя движение вертолета к лесу. Из-за чего обратно до базы он добирался на 1 час раньше. Найдите скорость ветра.

Обозначим скорость ветра через $v$. Тогда мы получим, что в сторону леса вертолет будет лететь с реальной скоростью, равной $250-v$, а обратно его реальная скорость будет составлять $250+v$. Посчитаем время на путь туда и на путь обратно.

Так как обратно до базы вертолет добирался на $1$ час раньше, будем иметь

Приведем левую часть к общему знаменателю, применим правило пропорции и произведем элементарные преобразования:

Получили квадратное уравнение, для решения данной задачи. Решим его.

Будем решать его с помощью дискриминанта:

Уравнение имеет два корня:

Так как мы искали скорость (которая не может быть отрицательна), очевидно, что первый корень лишний.

Пример задачи в геометрии

Рассмотрим пример задачи, приводящейся к решению квадратного уравнения в геометрии.

Найдите площадь прямоугольного треугольника, который удовлетворяет следующим условиям: его гипотенуза равняется $25$, а катеты по длине относятся как $4$ к $3$.

Для того, чтобы найти искомую площадь нам нужно найти катеты. Отметим одну часть катета через $x$. Тогда выражая через эту переменную катеты получим что их длины равняются $4x$ и $3x$. Таким образом, из теоремы Пифагора мы можем составить следующее квадратное уравнение:

(корень $x=-5$ можно не рассматривать, так как катет не может быть отрицателен)

Получили, что катеты равны $20$ и $15$ соответственно, то ест площадь

$S=frac<1><2>cdot 20cdot 15=150$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 24 06 2021

План-конспект урока математики и физики «Применение квадратных уравнений при решении физических задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ – ЛИЦЕЙ № 2

Г. АЛЬМЕТЬЕВСКА РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

РЕГИОНАЛЬНОЕ СОВЕЩАНИЕ РУКОВОДИТЕЛЕЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ ПО ТЕМЕ «ОПЫТ РАБОТЫ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ С ОДАРЕННЫМИ ДЕТЬМИ. ПРОФОРИЕНТАЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ»

План-конспект урока математики и физики

Тема: Применение квадратных уравнений при решении физических задач

Класс: 8Е
учитель математики

Горбунова Нина Вячеславовна;

учитель математики и физики

Домнина Марина Николаевна

Интегрированный урок по математике и физике по теме:

Применение квадратных уравнений при решении физических задач

способствовать приобретению умений решать физические задачи с помощью квадратных уравнений.

способствовать нахождению приемов решения физических задач;

проверить усвоение учащимися физических формул для расчета силы тока, напряжения, сопротивления при различном соединении проводников.

способствовать нахождению применения свойств квадратичной функции в других сферах науки и их взаимосвязь с математикой и физикой.

способствовать развитию монологической речи с использованием физических и математических терминов;

способствовать формированию и развитию самостоятельности учащихся.

пробудить интерес к истории математики и физическим явлениям;

способствовать расширению кругозора через информационный материал;

способствовать развитию аккуратности при решении задач в тетради, оформлении классной доски, доброжелательности.

Геометрический материал, наглядный методический материал.

Компьютер, проектор, интерактивная доска.

Мяч, катушка индуктивности.

Методы: 1. Словесный.

3. Индивидуальный и групповой.

Организационный этап (ознакомление с планом урока) – 1 мин.

1 этап — актуализация знаний по математике (работа с карточками) — 3мин.

2 этап – демонстрация полета мяча — 1 мин.

3 этап — индивидуальная самостоятельная работа по решению задачи — 8 мин.

4 этап – физкультминутка (демонстрация катушки индуктивности) — 2 мин.

5 этап — актуализация знаний по физике (заполнение карточек) – 3 мин.

6 этап – совместное решение задачи – 5мин.

7 этап – презентация – 2 мин.

8 этап – демонстрация решения задачи повышенной сложности – 3 мин.

Подведение итогов урока. Домашнее задание – 2 мин.

«В каждой естественной науке

заключено столько истины,

сколько в ней есть математики»

Организационный момент урока — 1 мин.

Актуализация знаний по математике (работа с карточками) — 3мин.

Учащиеся по группам получают задания на карточках. Отвечают устно по выбору учителя.

Что такое квадратное уравнение?

От чего зависит наличие корней квадратного уравнения?

Назовите 2 формулы корней квадратного уравнения.

(Ответ : х_1,2= , если b -нечетное число х_1,2=)

Задана функция: y =-2х 2 +4х-16

Ука жите направление ветвей параболы.

Вычислите координаты вершины параболы.

Как найти точки пересечения графика данной функции:

а) с осью ординат;

б) с осью абсцисс?

Кто впервые ввел понятие квадратного уравнения?

(Ответ: Впервые ввел и исследовал термин квадратного уравнения в 1313 году советск ий ученый Квадрат Олег Лаврентьевич . Однако, как ни старался, Квадрат О. Л . не смог стать свидетелем всеобщего признания его работы. По обидному совпадению, уравнение было признанно в день рождения автора 13 января 1414 года — всего лишь через год после смерти знаменитого в настоящее время человека. В дальнейшем теория квадратного уравнения развивалась последователями Квадрата О.Л.)

III . Демонстрация полета мяча — 1 мин.

Учитель: Скажите по какой траектории (с математической точки зрения) движется мяч?

Ответ: по параболе

Индивидуальная самостоятельная работа по решению задачи — 8 мин.

Учащимся предлагается физическая задача, которая решается с помощью квадратного уравнения. Учащиеся делятся на два варианта, каждый вариант должен решить задачу своим способом: алгебраическим и графическим.

Задача: Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд он окажется на высоте 60 м.

Решение: Из курса физики известно, что высота, на которой окажется мяч через t секун д определяется по формуле: h = V ₀ t — gt 2 /2

Дано : V ₀=40 м/с Найти: h

I способ: 60=40 t -5 t 2

=400-300=100 t ₁ ==6 (c)

t ₂= =2 ( c )

Ответ: на высоте 60 м от земли мяч окажется через 2с и через 6с.

II способ: -5 t 2 +40 t =60

h ( t )=-5 t 2 +40 t O ( m ; n ) m = =4, n = -80+160=80

Ответ: на высоте 60 м от земли мяч окажется через 2с и через 6с.

Физкультминутка (демонстрация катушки индуктивности) — 2 мин.

Двое учащихся показывают «Фокус»: загорание лампы, поднесенной к катушке, искра.

Учащиеся: Данная установка собрана из двух резисторов, трех конденсаторов, двух самодельных катушек и транзистора и носит название катушка Тесла. Как вы убедились с ее помощью можно передавать энергию на расстояние без проводов. А также может такие установки помогут в будущем «заделать» озоновую дыру, так как при ее работе выделяется озон.

Актуализация знаний для решения задачи по физике с помощью квадратного уравнения

А) На интерактивной доске выведены две схемы. Прочтите их.

Б) Ниже – описание этих схем. Необходимо совместить стрелками законы последовательного и параллельного соединений.

В) Запишите формулу закона Ома и формулу мощности электрического тока.

Решение физической задачи с помощью квадратного уравнения

Один учащийся выходит решать задачу у доски, остальные в тетрадях.

Задача: Два резистора соединяют сначала последовательно, затем параллельно и дважды подключают к источнику постоянного напряжения. В первом случае в цепи рассеивается мощность Р₁ =4 Вт, во втором – Р₂=18 Вт. Найдите мощность электрического тока в каждом резисторе в случае поочередного подключения резисторов к тому же источнику.

Решение: В первом случае сопротивление цепи равно R ₁ + R ₂ (соединение последовательное). Мощность, рассеиваемая в цепи, U 2

Р₁ =

Во втором случае сопротивление цепи равно (соединение параллельное). Мощность, рассеиваемая в цепи,

Р₂=

Разделив второе равенство на первое, получим квадратное уравнение для отношения z = сопротивлений

Z 2 – ( — 2) z + 1 = 0,

корни которого находим по формуле

z _1,2 = ( — 2) ±= ,

z ₁ = 2, z ₂ = 0.5. Оба корня имеют физический смысл – одно из сопротивлений вдвое больше другого. Для определенности будем считать R ₁ = 2 R ₂. Тогда из равенства

Р₁ = = =

Находим мощности, рассеиваемые на резисторах, в случае их поочередного подключения к источнику постоянного напряжения,

Р₁ * = = = Р₁ = ·4 = 6 Вт, Р₂ * = = 3 Р₁ = 3·4 = 12 Вт

Ответ: 6Вт, 12 Вт

Презентация «Применение параболы в физике, технике, баллистике»

Учащиеся готовят доклад «Применение параболы в физике, технике, баллистике»

I Х. Задача повышенной сложности

Наиболее сильные учащиеся на предыдущем уроке получили индивидуальное задание. Решение, которого демонстрирует один из них.

Задача: Сколько корней имеет уравнение

Решение: Раскроем скобки

Х 2 -201х+10100+х 2 -203х+101*102+х 2 -202х+101200=0

3х 2 -606х+С=0, С  0

Так как а=3, то ветви параболы направлены вверх.

Чтобы уравнение имело 2 корня необязательно считать D , важно определить, где находится вершина параболы относительно оси (ОХ).

Вершина параболы О ( m ; n ) m =

( x -100)*( x -101)+( x -101)*( x -102)+( x -102)*( x -100)=0

Значит парабола пересекает ось х в двух точках, т.е. данное уравнение имеет 2 корня.

Подведение итогов урока.

Домашнее задание: задача № 11 из ЗФТШ

Факт 1.
(bullet) Возьмем некоторое неотрицательное число (a) (то есть (ageqslant 0)). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа (a) называется такое неотрицательное число (b), при возведении которого в квадрат мы получим число (a): [sqrt a=bquad text{то же самое, что }quad a=b^2] Из определения следует, что (ageqslant 0, bgeqslant 0). Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть (100^2=10000geqslant 0) и ((-100)^2=10000geqslant 0).
(bullet) Чему равен (sqrt{25})? Мы знаем, что (5^2=25) и ((-5)^2=25). Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то (-5) не подходит, следовательно, (sqrt{25}=5) (так как (25=5^2)).
Нахождение значения (sqrt a) называется извлечением квадратного корня из числа (a), а число (a) называется подкоренным выражением.
(bullet) Исходя из определения, выражения (sqrt{-25}), (sqrt{-4}) и т.п. не имеют смысла.
 

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от (1) до (20): [begin{array}{|ll|}
hline
1^2=1 & quad11^2=121 \
2^2=4 & quad12^2=144\
3^2=9 & quad13^2=169\
4^2=16 & quad14^2=196\
5^2=25 & quad15^2=225\
6^2=36 & quad16^2=256\
7^2=49 & quad17^2=289\
8^2=64 & quad18^2=324\
9^2=81 & quad19^2=361\
10^2=100& quad20^2=400\
hline end{array}]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
(bullet) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть [sqrt apmsqrt bne sqrt{apm b}] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, (sqrt{25}+sqrt{49}), то первоначально вы должны найти значения (sqrt{25}) и (sqrt{49}), а затем их сложить. Следовательно, [sqrt{25}+sqrt{49}=5+7=12] Если значения (sqrt a) или (sqrt b) при сложении (sqrt
a+sqrt b) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме (sqrt
2+ sqrt {49}) мы можем найти (sqrt{49}) – это (7), а вот (sqrt
2) никак преобразовать нельзя, поэтому (sqrt 2+sqrt{49}=sqrt
2+7). Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя
 
(bullet) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть [sqrt acdot sqrt b=sqrt{ab}quad text{и}quad
sqrt a:sqrt b=sqrt{a:b}] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: (sqrt{32}cdot sqrt 2=sqrt{32cdot
2}=sqrt{64}=8);
 
(sqrt{768}:sqrt3=sqrt{768:3}=sqrt{256}=16);
 
(sqrt{(-25)cdot (-64)}=sqrt{25cdot 64}=sqrt{25}cdot sqrt{64}=
5cdot 8=40).
 
(bullet) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем (sqrt{44100}). Так как (44100:100=441), то (44100=100cdot 441). По признаку делимости число (441) делится на (9) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, (441:9=49), то есть (441=9cdot 49).
Таким образом, мы получили: [sqrt{44100}=sqrt{9cdot 49cdot 100}=
sqrt9cdot sqrt{49}cdot sqrt{100}=3cdot 7cdot 10=210] Рассмотрим еще один пример: [sqrt{dfrac{32cdot 294}{27}}=
sqrt{dfrac{16cdot 2cdot 3cdot 49cdot 2}{9cdot 3}}= sqrt{
dfrac{16cdot4cdot49}{9}}=dfrac{sqrt{16}cdot sqrt4 cdot
sqrt{49}}{sqrt9}=dfrac{4cdot 2cdot 7}3=dfrac{56}3]
(bullet) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения (5sqrt2) (сокращенная запись от выражения (5cdot
sqrt2)). Так как (5=sqrt{25}), то [5sqrt2=sqrt{25}cdot sqrt2=sqrt{25cdot 2}=sqrt{50}] Заметим также, что, например,
1) (sqrt2+3sqrt2=4sqrt2),
2) (5sqrt3-sqrt3=4sqrt3)
3) (sqrt a+sqrt a=2sqrt a).

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число (sqrt2) мы не можем. Представим, что (sqrt2) – это некоторое число (a). Соответственно, выражение (sqrt2+3sqrt2) есть не что иное, как (a+3a) (одно число (a) плюс еще три таких же числа (a)). А мы знаем, что это равно четырем таким числам (a), то есть (4sqrt2).
 

Факт 4.
(bullet) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака (sqrt {} ) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа (16) можно, потому что (16=4^2), поэтому (sqrt{16}=4). А вот извлечь корень из числа (3), то есть найти (sqrt3), нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст (3).
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа (sqrt3, 1+sqrt2, sqrt{15}) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа (pi) (число “пи”, приблизительно равное (3,14)), (e) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно (2,7)) и т.д.
(bullet) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой (mathbb{R}).
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.
 

Факт 5.
(bullet) Модуль вещественного числа (a) – это неотрицательное число (|a|), равное расстоянию от точки (a) до (0) на вещественной прямой. Например, (|3|) и (|-3|) равны 3, так как расстояния от точек (3) и (-3) до (0) одинаковы и равны (3).
(bullet) Если (a) – неотрицательное число, то (|a|=a).
Пример: (|5|=5); (qquad |sqrt2|=sqrt2).
 
(bullet) Если (a) – отрицательное число, то (|a|=-a).
Пример: (|-5|=-(-5)=5); (qquad |-sqrt3|=-(-sqrt3)=sqrt3).
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число (0), модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная (x) (или какая-то другая неизвестная), например, (|x|), про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: (|x|).
 
(bullet) Имеют место следующие формулы: [{large{sqrt{a^2}=|a|}}] [{large{(sqrt{a})^2=a}},
text{ при условии } ageqslant 0] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что (sqrt{a^2}) и ((sqrt a)^2) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда (a) – положительное число или ноль. А вот если (a) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо (a) число (-1). Тогда (sqrt{(-1)^2}=sqrt{1}=1), а вот выражение ((sqrt {-1})^2) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что (sqrt{a^2}) не равен ((sqrt a)^2)!
 
Пример: 1) (sqrt{left(-sqrt2right)^2}=|-sqrt2|=sqrt2), т.к. (-sqrt2<0);

(phantom{00000}) 2) ((sqrt{2})^2=2).
 
(bullet) Так как (sqrt{a^2}=|a|), то [sqrt{a^{2n}}=|a^n|] (выражение (2n) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) (sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64)
2) (sqrt{(-25)^2}=|-25|=25) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен (-25); но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) (sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
(bullet) Для квадратных корней верно: если (sqrt a<sqrt b), то (a<b); если (sqrt a=sqrt b), то (a=b).
Пример:
1) сравним (sqrt{50}) и (6sqrt2). Для начала преобразуем второе выражение в (sqrt{36}cdot sqrt2=sqrt{36cdot 2}=sqrt{72}). Таким образом, так как (50<72), то и (sqrt{50}<sqrt{72}). Следовательно, (sqrt{50}<6sqrt2).
2) Между какими целыми числами находится (sqrt{50})?
Так как (sqrt{49}=7), (sqrt{64}=8), а (49<50<64), то (7<sqrt{50}<8), то есть число (sqrt{50}) находится между числами (7) и (8).
3) Сравним (sqrt 2-1) и (0,5). Предположим, что (sqrt2-1>0,5): [begin{aligned}
&sqrt 2-1>0,5 big| +1quad text{(прибавим единицу к обеим
частям)}\[1ex]
&sqrt2>0,5+1 big| ^2 quadtext{(возведем обе части в
квадрат)}\[1ex]
&2>1,5^2\
&2>2,25 end{aligned}] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и (sqrt 2-1<0,5).
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве (-3<sqrt2) нельзя (убедитесь в этом сами)!
 
(bullet) Следует запомнить, что [begin{aligned}
&sqrt 2approx 1,4\[1ex]
&sqrt 3approx 1,7 end{aligned}] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел!
 
(bullet) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем (sqrt{28224}). Мы знаем, что (100^2=10,000), (200^2=40,000) и т.д. Заметим, что (28224) находится между (10,000) и (40,000). Следовательно, (sqrt{28224}) находится между (100) и (200).
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между (120) и (130)). Также из таблицы квадратов знаем, что (11^2=121), (12^2=144) и т.д., тогда (110^2=12100), (120^2=14400), (130^2=16900), (140^2=19600), (150^2=22500), (160^2=25600), (170^2=28900). Таким образом, мы видим, что (28224) находится между (160^2) и (170^2). Следовательно, число (sqrt{28224}) находится между (160) и (170).
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце (4)? Это (2^2) и (8^2). Следовательно, (sqrt{28224}) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем (162^2) и (168^2):
(162^2=162cdot 162=26224)
(168^2=168cdot 168=28224).
Следовательно, (sqrt{28224}=168). Вуаля!

При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.

К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.

Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов

Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы. Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?

При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.

Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.

Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.

Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.

Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.

Разложение на простые множители

Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители. Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.

Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.

Метод Герона

Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона. Его суть заключается в использовании приближённой формулы:

√R = √a + (R — a) / 2√a,

где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.

Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:

√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.

Теперь проверим точность метода:

10,55² = 111,3025.

Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:

√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Проверим точность расчёта:

10,536² = 111,0073.

После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.

Вычисление корня делением в столбик

Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора.

Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.

1. Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
2. Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
3. Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
4. Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
5. Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
6. Повторим шаги 3—6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
7. Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.

В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.

Поразрядное вычисление значения квадратного корня

Метод обладает высокой точностью. Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.

Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.

1. Выясним, какой разряд значения квадратного корня будет являться старшим. Для этого возведём в квадрат 0, 10, 100, 1000 и т. д. и выясним, между какими из них находится подкоренное число. Мы получим, что 10² < 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Подберём значение десятков. Для этого будем по очереди возводить в степень 10, 20, …, 90, пока не получим число, превышающее 781. Для нашего случая получим 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Значение результата n будет находиться в пределах 20 < n <30.
3. Аналогично предыдущему шагу подбирается значение разряда единиц. Поочерёдно возведём в квадрат 21,22, …, 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Получаем, что 27 < n < 28.
4. Каждый последующий разряд (десятые, сотые и т. д. ) вычисляется так же, как было показано выше. Расчёты проводятся до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.

Видео

Из видео вы узнаете, как извлекать квадратные корни без использования калькулятора.

Квадратный корень – что это?

В школьной программе арифметический квадратный корень изучается в 7-8 классе на уроках алгебры. От того, насколько хорошо ученик усвоил материал, в будущем зависит понимание более сложных тем.
В повседневной жизни без квадратного корня не обойтись при нахождении площадей, решении квадратных уравнений, записи иррациональных чисел, в теории вероятностей и статистике, небесной механике, физике и т.д. Умение извлекать корень и знание его свойств потребуется при решении многих заданий ЕГЭ и ОГЭ.

Итак, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа (a) – это математическая операция, позволяющая получить некоторое действительное число (b geqslant 0), которое при умножении на само себя дает (a). Наглядно проиллюстрировать это позволяет пример:
$$ sqrt{16}=sqrt{4^2}=4, $$

Число 16 стоит под знаком корня. Нужно найти значение, при возведении которого в квадрат (умножении на себя) получится 16. Это число – 4. Корень квадратный из 16 равен 4.

Аналогичным образом можно вычислить:
$$ sqrt{9}=sqrt{3^2}=3, $$
$$ sqrt{25}=sqrt{5^2}=5, $$
$$ sqrt{1,44}=sqrt{1,2^2}=1,2, $$
$$ sqrt{0,04}=sqrt{0,2^2}=0,2, $$
$$ sqrt{frac{1}{36}}=sqrt{left(frac{1}{6}right)^2}=frac{1}{6}. $$

Важно, что квадратный корень существует только от неотрицательных чисел. Если под корнем стоит отрицательное число, то корень не существует. Например, не имеет смысла выражение (sqrt{-25}).

Так же, для любого (a geq 0) из определения квадратного корня следует:

$$(sqrt{a})^2=a;$$

Пример 1
$$(sqrt{7})^2=7;$$

Разберем несколько полезных примеров на вычисление корней:

Пример 2
$$sqrt{0}=0;$$
$$sqrt{1}=1;$$
$$sqrt{0,09}+sqrt{0,25}=0,3+0,5=0,8;$$
$$-0,6*sqrt{25}=-0,6*5=-3;$$
$$0,49+2*(sqrt{0,4})^2=0,49+2*0,4=0,49+0,8=1,29;$$

На экзаменах часто встречаются упражнения на преобразования выражений с квадратными корнями при помощи формул сокращенного умножения. Рассмотрим примеры.

Пример 3
$$(2-sqrt{5})^2+4sqrt{5}=?$$
Воспользуемся формулой квадрата разности ((a-b)^2=a^2-2ab+b^2).
$$(2-sqrt{5})^2+4sqrt{5}=2^2-2*2*sqrt{5}+5+4sqrt{5}=4-4sqrt{5}+5+4sqrt{5}=9.$$

И воспользуемся формулой разности квадратов (a^2-b^2=(a-b)(a+b).)

Пример 4
$$ sqrt{13^2-12^2}=sqrt{(13-12)(13+12)}=sqrt{1*25}=sqrt{25}=5;$$

Уравнение (x^2=a)

Одна из самых популярных ошибок при решении уравнений у школьников старших классов — неправильное решение уравнения (x^2=a), где (a) — произвольное число.

Возможно три варианта решения данного уравнения:

При (a<0) уравнение не будет иметь корней:

$$x^2=-4, ; корней ; нет.$$

Так как любое число при возведении в квадрат всегда будет давать положительное число.

При (a=0) уравнение будет иметь единственное решение:

$$x^2=0;$$
$$x=0.$$

При (a>0) решений будет два:

$$x^2=a;$$
$$x=pm sqrt{a}.$$
Пример 5
$$x^2=25;$$
$$x_{1}=5;$$
$$x_{2}=-5;$$

Пример 6
$$(x-3)^2=25;$$
$$x-3=pm5;$$
$$x_{1}=8;$$
$$x_{2}=-2;$$