Как найти корень в ручную


Загрузить PDF


Загрузить PDF

До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

  1. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 1

    1

    Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число.[1]
    Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

    • Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
    • Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).
  2. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 2

    2

    Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b.[2]
    Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

    • В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
      • √(25 х 16)
      • √25 х √16
      • 5 х 4 = 20
  3. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 3

    3

    Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

    • Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
      • √147
      • = √(49 х 3)
      • = √49 х √3
      • = 7√3
  4. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 4

    4

    Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

    • Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
      • Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.
  5. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 5

    5

    Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители. Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

    • Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
    • Рассмотрим другой пример: √88.
      • √88
      • = √(2 х 44)
      • = √ (2 х 4 х 11)
      • = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
      • = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.

    Реклама

При помощи деления в столбик

  1. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 6

    1

    Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как «7 95 20 78 91 82, 47 89 70».

    • Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде «7 80, 14». Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.
  2. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 7

    2

    Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.

    • В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4 < 7, то есть 22 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа — это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
  3. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 8

    3

    Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).

    • В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.
  4. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 9

    4

    Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

    • В нашем примере второй парой чисел является «80». Запишите «80» после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите «4_×_=» снизу справа.
  5. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 10

    5

    Заполните прочерки справа. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.

    • В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 — слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа — это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.
  6. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 11

    6

    Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.

    • В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.
  7. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 12

    7

    Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

    • В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите «54_×_=» снизу справа.
  8. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 13

    8

    Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.

    • В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 — 4941 = 173.
  9. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 14

    9

    Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).

    Реклама

Понимание процесса

  1. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 15

    1

    Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.

  2. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 16

    2

    Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C — третьей и так далее.

  3. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 17

    3

    Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через Sa первую пару цифр в значении S, через Sb — вторую пару цифр и так далее.

  4. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 18

    4

    Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).

  5. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 19

    5

    Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен Sa (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa < (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

    • Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
  6. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 20

    6

    Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C — цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.

    • Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Запомните, что 10A+B — это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A — десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² — это площадь всего квадрата, 100A² — площадь большого внутреннего квадрата, — площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B — площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.
  7. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 21

    7

    Вычтите A² из Sa. Для учета множителя 100 снесите одну пару цифр (Sb) из S: вам нужно, чтобы «SaSb» было равным общей площади квадрата, и из нее вычтите 100A² (площадь большого квадрата). В результате получите число N1, стоящее слева в шаге 4 (N = 380 в нашем примере). N1 = 2×10A×B + B² (площадь двух прямоугольников плюс площадь малого квадрата).

  8. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 22

    8

    Выражение N1 = 2×10A×B + B² можно записать как N1 = (2×10A + B) × B. В нашем примере вам известно значение N1 (=380) и A(=2) и необходимо вычислить B. Скорее всего, B не является целым числом, поэтому необходимо найти наибольшее целое B, удовлетворяющее условию: (2×10A + B) × B ≤ N1. При этом B+1 будет слишком большим, поэтому N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).

  9. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 23

    9

    Решите уравнение. Для решения умножьте A на 2, переведите результат в десятки (что эквивалентно умножению на 10), поместите B в положение единиц, и умножьте это число на B. Это число (2×10A + B) × B и это выражение абсолютно идентичны записи «N_×_=» (где N=2×A) сверху справа в шаге 4. А в шаге 5 вы находите наибольшее целое B, которое ставится на место прочерков и соответствует неравенству: (2×10A + B) × B ≤ N1.

  10. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 24

    10

    Вычтите площадь (2×10A + B) × B из общей площади (слева в шаге 6). Так вы получите площадь S-(10A+B)², которая еще не учитывалась (и которая поможет вычислить следующие цифры).

  11. Изображение с названием Calculate a Square Root by Hand Step 25

    11

    Для вычисления следующей цифры C повторите процесс. Слева снесите следующую пару цифр (Sc) из S для получения N2 и найдите наибольшее C, удовлетворяющее условию (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (что эквивалентно двукратному написанию числа из пары цифр «A B» с соответствующим «_×_=», и нахождению наибольшего числа, которое можно подставить вместо прочерков).

    Реклама

Советы

  • Перемещение десятичного разделителя при увеличении числа на 2 цифры (множитель 100), перемещает десятичный разделить на одну цифру в значении квадратного корня этого числа (множитель 10).
  • В нашем примере, 1,73 может считаться остатком: 780,14 = 27,9² + 1,73.
  • Данный метод верен для любых чисел.
  • Записывайте процесс вычисления в том виде, который вам наиболее удобен. Например, некоторые записывают результат над исходным числом.
  • Альтернативный метод с использованием непрерывных дробей включает формулу: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Например, для вычисления квадратного корня из 780,14, целым числом, квадрат которого близок к 780,14 будет число 28, поэтому z=780,14, x=28, y=-3,86. Подставляя эти значения в уравнение и решая его в упрощении до х+у/(2x), уже в младших членах получаем результат 78207/2800 или около 27,931(1), а в следующих членах 4374188/156607 или около 27,930986(5). Решение каждого последующего члена добавляет около 3 цифр к дробной доли по сравнению с предыдущем членом.

Реклама

Предупреждения

  • Не забудьте разделить число на пары, начиная с дробной части числа. Например, разделяя 79520789182,47897 как «79 52 07 89 18 2,4 78 97″, вы получите бессмысленное число.

Реклама

Похожие статьи

Источники

Об этой статье

Эту страницу просматривали 929 161 раз.

Была ли эта статья полезной?


Download Article


Download Article

In the days before calculators, students and professors alike had to calculate square roots by hand. Several different methods have evolved for tackling this daunting process, some giving a rough approximation, others giving an exact value. To learn how to find a number’s square root using only simple operations, please see Step 1 below to get started.

  1. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 1

    1

    Divide your number into perfect square factors. This method uses a number’s factors to find a number’s square root (depending on the number, this can be an exact numerical answer or a close estimate). A number’s factors are any set of other numbers that multiply together to make it.[1]
    For instance, you could say that the factors of 8 are 2 and 4 because 2 × 4 = 8. Perfect squares, on the other hand, are whole numbers that are the product of other whole numbers. For instance, 25, 36, and 49 are perfect squares because they are 52, 62, and 72, respectively. Perfect square factors are, as you may have guessed, factors that are also perfect squares. To start finding a square root via prime factorization, first, try to reduce your number into its perfect square factors.[2]

    • Let’s use an example. We want to find the square root of 400 by hand. To begin, we divide the number into perfect square factors. Since 400 is a multiple of 100, we know that it’s evenly divisible by 25 — a perfect square. Quick mental division lets us know that 25 goes into 400 16 times. 16, coincidentally, is also a perfect square. Thus, the perfect square factors of 400 are 25 and 16 because 25 × 16 = 400.
    • We would write this as: Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)
    • You can also try multiplying different numbers by themselves and see if they give you the correct answer. Let’s say you were trying to find the square root of 81—you could multiply 7 by 7 to get 49, which is too low. You could go a little higher and multiply 10 by 10 to get 100, which is too high. You could then go a little lower and multiply 9 by 9. This would give you 81, making 9 your square root.
  2. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 2

    2

    Take the square roots of your perfect square factors. The product property of square roots states that for any given numbers a and b, Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b). Because of this property, we can now take the square roots of our perfect square factors and multiply them together to get our answer.[3]

    • In our example, we would take the square roots of 25 and 16. See below:
      • Sqrt(25 × 16)
      • Sqrt(25) × Sqrt(16)
      • 5 × 4 = 20

    Advertisement

  3. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 3

    3

    Reduce your answer to simplest terms, if your number doesn’t factor perfectly. In real life, more often than not, the numbers you’ll need to find square roots for won’t be nice round numbers with obvious perfect square factors like 400. In these cases, it may not be possible to find the exact answer as an integer. Instead, by finding any perfect square factors that you can, you can find the answer in terms of a smaller, simpler, easier-to-manage square root. To do this, reduce your number to a combination of perfect square factors and non-perfect square factors, then simplify.[4]

    • Let’s use the square root of 147 as an example. 147 isn’t the product of two perfect squares, so we can’t get an exact integer value as above. However, it is the product of one perfect square and another number — 49 and 3. We can use this information to write our answer in simplest terms as follows:
      • Sqrt(147)
      • = Sqrt(49 × 3)
      • = Sqrt(49) × Sqrt(3)
      • = 7 × Sqrt(3)
  4. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 4

    4

    Estimate, if necessary. With your square root in simplest terms, it’s usually fairly easy to get a rough estimate of a numerical answer by guessing the value of any remaining square roots and multiplying through. One way to guide your estimates is to find the perfect squares on either side of the number in your square root. You’ll know that the decimal value of the number in your square root is somewhere between these two numbers, so you’ll be able to guess in between them.

    • Let’s return to our example. Since 22 = 4 and 12 = 1, we know that Sqrt(3) is between 1 and 2 — probably closer to 2 than to 1. We’ll estimate 1.7. 7 × 1.7 = 11.9 If we check our work in a calculator, we can see that we’re fairly close to the actual answer of 12.13.
      • This works for larger numbers as well. For example, Sqrt(35) can be estimated to be between 5 and 6 (probably very close to 6). 52 = 25 and 62 = 36. 35 is between 25 and 36, so its square root must be between 5 and 6. Since 35 is just one away from 36, we can say with confidence that its square root is just lower than 6. Checking with a calculator gives us an answer of about 5.92 — we were right.
  5. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 5

    5

    Reduce your number to its lowest common factors as a first step. Finding perfect square factors isn’t necessary if you can easily determine a number’s prime factors (factors that are also prime numbers). Write your number out in terms of its lowest common factors. Then, look for matching pairs of prime numbers among your factors. When you find two prime factors that match, remove both these numbers from the square root and place one of these numbers outside the square root.[5]

    • As an example, let’s find the square root of 45 using this method. We know that 45 = 9 × 5 and we know that 9 = 3 × 3. Thus, we can write our square root in terms of its factors like this: Sqrt(3 × 3 × 5). Simply remove the 3’s and put one 3 outside the square root to get your square root in simplest terms: (3)Sqrt(5). From here, it’s simple to estimate.
    • As one final example problem, let’s try to find the square root of 88:
      • Sqrt(88)
      • = Sqrt(2 × 44)
      • = Sqrt(2 × 4 × 11)
      • = Sqrt(2 × 2 × 2 × 11). We have several 2’s in our square root. Since 2 is a prime number, we can remove a pair and put one outside the square root.
      • = Our square root in simplest terms is (2) Sqrt(2 × 11) or (2) Sqrt(2) Sqrt(11). From here, we can estimate Sqrt(2) and Sqrt(11) and find an approximate answer if we wish.
  6. Advertisement

Using a Long Division Algorithm

  1. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 6

    1

    Separate your number’s digits into pairs. This method uses a process similar to long division to find an exact square root digit-by-digit. Though it’s not essential, you may find that it’s easiest to perform this process if you visually organize your workspace and your number into workable chunks. First, draw a vertical line separating your work area into two sections, then draw a shorter horizontal line near the top of the right section to divide the right section into a small upper section and a larger lower section. Next, separate your number’s digits into pairs, starting from the decimal point. For instance, following this rule, 79,520,789,182.47897 becomes «7 95 20 78 91 82. 47 89 70». Write your number at the top of the left space.[6]

    • As an example, let’s try calculating the square root of 780.14. Draw two lines to divide your workspace as above and write «7 80. 14» at the top of the left space. It’s O.K. that the leftmost chunk is a lone number, rather than a pair of numbers. You will write your answer (the square root of 780.14.) in the top right space.
  2. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 7

    2

    Find the largest integer n whose square is lesser than or equal to the leftmost number (or pair). Start with the leftmost «chunk» of your number, whether this is a pair or a single number. Find the largest perfect square that’s less than or equal to this chunk, then take the square root of this perfect square. This number is n. Write n in the top right space and write the square of n in the bottom right quadrant.

    • In our example, the leftmost «chunk» is the number 7. Since we know that 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, we can say that n = 2 because it’s the largest integer whose square is less than or equal to 7. Write 2 in the top right quadrant. This is the first digit of our answer. Write 4 (the square of 2) in the bottom right quadrant. This number will be important in the next step.
  3. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 8

    3

    Subtract the number you just calculated from the leftmost pair. As with long division, the next step is to subtract the square we just found from the chunk we just analyzed. Write this number underneath the first chunk and subtract, writing your answer underneath.[7]

    • In our example, we would write 4 below 7, then subtract. This gives us an answer of 3.
  4. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 9

    4

    Drop down the next pair. Move the next «chunk» in the number whose square root you’re solving for down next to the subtracted value you just found. Next multiply the number in the top right quadrant by two and write it in the bottom right quadrant. Next to the number you just wrote down, set aside space for a multiplication problem you’ll do in the next step by writing ‘»_×_=»‘.

    • In our example, the next pair in our number is «80». Write «80» next to the 3 in the left quadrant. Next, multiply the number in the top right by two. This number is 2, so 2 × 2 = 4. Write «‘4″‘ in the bottom right quadrant, followed by _×_=.
  5. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 10

    5

    Fill in the blank spaces in the right quadrant. You must fill each blank space you’ve just written in the right quadrant with the same integer. This integer must be the largest integer that allows the result of the multiplication problem in the right quadrant to be lower than or equal to the current number on the left.[8]

    • In our example, filling in the blank spaces with 8, gives us 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. This is greater than 380. Therefore, 8 is too big, but 7 will probably work. Write 7 in the blank spaces and solve: 4(7) × 7 = 329. 7 checks out because 329 is less than 380. Write 7 in the top right quadrant. This is the second digit in the square root of 780.14.
  6. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 11

    6

    Subtract the number you just calculated from the current number on the left. Continue with the long-division style chain of subtraction. Take the result of the multiplication problem in the right quadrant and subtract it from the current number on the left, writing your answer below.

    • In our example, we would subtract 329 from 380, which gives us 51.
  7. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 12

    7

    Repeat step 4. Drop the next chunk of the number you’re finding the square root of down. When you reach the decimal point in your number, write a decimal point in your answer in the top right quadrant. Then, multiply the number in the top right by 2 and write it next to the blank multiplication problem («_ × _») as above.

    • In our example, since we are now encountering the decimal point in 780.14, write a decimal point after our current answer the top right. Next, drop the next pair (14) down in the left quadrant. Two times the number on the top right (27) is 54, so write «54 _×_=» in the bottom right quadrant.
  8. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 13

    8

    Repeat step 5 and 6. Find the biggest digit to fill in the blanks on the right that gives an answer lesser than or equal to the current number on the left. Then, solve the problem.[9]

    • In our example, 549 × 9 = 4941, which is lower than or equal to the number on the left (5114). 549 × 10 = 5490, which is too high, so 9 is our answer. Write 9 as the next digit in the top right quadrant and subtract the result of the multiplication from the number on the left: 5114 minus 4941 is 173.
  9. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 14

    9

    Continue to calculate digits. Drop a pair of zeros on the left, and repeat steps 4, 5 and 6. For added accuracy, continue repeating this process to find the hundredth, thousandth, etc. places in your answer. Proceed through this cycle until you find your answer to the desired decimal place.

  10. Advertisement

Understanding the Process

  1. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 15

    1

    Consider the number you are calculating the square root of as the area S of a square. Because a square’s area is L2 where L is the length of one of its sides, therefore, by trying to find the square root of your number, you are trying to calculate the length L of the side of that square.

  2. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 16

    2

    Specify letter variables for each digit of your answer. Assign the variable A as the first digit of L (the square root we are trying to calculate). B will be its second digit, C its third, and so on.

  3. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 17

    3

    Specify letter variables for each «chunk» of your starting number. Assign the variable Sato the first pair of digits in S (your starting value), Sb the second pair of digits, etc.

  4. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 18

    4

    Understand this method’s connection to long division. This method of finding a square root is essentially a long division problem that divides your starting number by its square root, thus giving its square root as an answer. Just like in a long division problem, in which you are only interested by the next one digit at a time, here, you are interested by the next two digits at a time (which correspond to the next digit at a time for the square root).

  5. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 19

    5

    Find the biggest number whose square is less than or equal to Sa. The first digit A in our answer is then the biggest integer where the square does not exceed Sa (meaning A so that A² ≤ Sa < (A+1)²). In our example, Sa = 7, and 2² ≤ 7 < 3², so A = 2.

    • Note that, for instance, if you wanted to divide 88962 by 7 via long division, the first step would be similar: you would be looking at the first digit of 88962 (8) and you would want the biggest digit that, when multiplied by 7, is lower than or equal to 8. Essentially, you’re finding d so that 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). In this case, d would be equal to 1.
  6. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 20

    6

    Visualize the square whose area you are beginning to solve. Your answer, the square root of your starting number, is L, which describes the length of a square with area S (your starting number). Your values for A,B,C, represent the digits in the value L. Another way of saying this is that, for a two-digit answer, 10A + B = L, while for a three-digit answer, 100A +10B + C = L, and so on.

    • In our example, (10A+B)² = L2 = S = 100A² + 2×10A×B + B². Remember that 10A+B represents our answer L with B in the units position and A in the tens position. For instance, with A=1 and B=2, 10A+B is simply the number 12. (10A+B)² is the area of the whole square, while 100A² the area of the biggest square inside, is the area of the smallest square, and 10A×B is the area of each of the two remaining rectangles. By performing this long, convoluted process, we find the area of the entire square by adding up the areas of the squares and rectangles inside it.
  7. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 21

    7

    Subtract A² from Sa. Drop one pair (Sb) of digits from S. Sa Sb is nearly the total area of the square, which you just subtracted the area of the bigger internal square from. The remainder is can be though of as the number N1, which we obtained in step 4 (N1 =380 in our example). N1 is equal to 2×10A×B + B² (area of the two rectangles plus area of the small square).

  8. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 22

    8

    Look for N1 = 2×10A×B + B², also written as N1 = (2×10A + B) × B. In our example, you already know N1 (380) and A (2), so you need to find B. B is most likely not going to be an integer, so you must actually find the biggest integer B so that (2×10A + B) × B ≤ N1. So, you have: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)

  9. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 23

    9

    Solve. To solve this equation, multiply A by 2, shift it in the position of the tens (which is equivalent to multiplying by 10), place B in the position of the units, and multiply the resulting number by B. In other words, solve (2×10A + B) × B. This is exactly what you do when you write «N_×_=» (with N=2×A) in the bottom right quadrant in step 4. In step 5, you find the biggest integer B that fits on the underscore so that (2×10A + B) × B ≤ N1.

  10. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 24

    10

    Subtract the area (2×10A + B) × B from the total area. This gives you the area S-(10A+B)² not yet accounted for (and which will be used to calculate the next digits in a similar fashion).

  11. Image titled Calculate a Square Root by Hand Step 25

    11

    To calculate the next digit C, repeat the process. Drop the next pair (Sc) from S to obtain N2 on the left, and look for the biggest C so you have (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (equivalent to writing two times the two-digit number «A B» followed by «_×_=» . Look for the biggest digit that fits in the blanks that gives an answer that is less than or equal to N2, as before.

  12. Advertisement

Add New Question

  • Question

    Is 28 a perfect number?

    Donagan

    Yes. A «perfect» number is a positive integer which is the sum of all of its positive divisors (except itself). Thus, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

  • Question

    What is the square root of 0.000121?

    Community Answer

    .011. If you are calculating it by hand, here’s what to do: 121’s sqrt is 11. To get .000121, you simply find an amount of 0’s after the decimal point and the number 11 afterwards. Then multiply by itself. .011*.011= .000121.

  • Question

    Can I write the cube root of x as (1/x)^1/3?

    Donagan

    No, it’s (x)^1/3.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

  • This method works for any base, not just in base 10 (decimal).

  • In the example, 1.73 can be considered to be a «remainder» : 780.14 = 27.9² + 1.73.

  • Moving the decimal point by an increment of two digits in a number (factor of 100), moves the decimal point by increments of one digit in its square root (factor of 10).

Show More Tips

Advertisement

  • Be sure to separate the digits into pairs from the decimal point. Separating 79,520,789,182.47897 as «79 52 07 89 18 2.4 78 97″ will yield a useless number.

Advertisement

Calculator

References

About This Article

Article SummaryX

To calculate a square root by hand, first estimate the answer by finding the 2 perfect square roots that the number is between. A perfect square root is any square root that’s a whole number. For example, if you’re trying to find the square root of 7, first you’d need to find the first perfect square below 7, which is 4, and the first perfect square above 7, which is 9. Then, find the square root of each perfect square. The square root of 4 is 2, and the square root of 9 is 3. Therefore, you know that the square root of 7 falls somewhere between 2 and 3. Now, divide your number by one of the perfect square roots you found. For example, you would divide 7 by either 2 or 3. If you were to choose 3, your answer would be 2.33. Next, find the average of that number and the perfect square root. To find the average in this example, add 2.33 and 2, then divide by 2 and get 2.16. Repeat the process using the average you got. First, divide the number you’re trying to find the square root of by the average. Then, find the average of that number and the original average by adding them together and dividing by 2. For example, first you would divide 7, the number you started with, by 2.16, the average you calculated, and get 3.24. Then, you’d add 3.24 to 2.16, the old average, and divide by 2 to find the new average, which is 2.7. Now, multiply your answer by itself to see how close it is to the square root of the number you started with. In this example, 2.7 multiplied by itself is equal to 7.29, which is 0.29 away from 7. To get closer to 7, you would just repeat the process. Keep dividing the number you started with by the average of that number and the perfect square, using that number and the old average to find the new average, and multiplying the new average by itself until it equals your starting number. If you want to learn how to use the long division algorithm to find the square root, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 2,549,060 times.

Reader Success Stories

  • Anonymous

    «I needed a refresher. This was great! I went to give a quick Google search on how to solve X-roots by hand, and it…» more

Did this article help you?

При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.

К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.

Содержание:

  • Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов
  • Разложение на простые множители
  • Метод Герона
  • Вычисление корня делением в столбик
  • Поразрядное вычисление значения квадратного корня
  • Видео

Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов

Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы. Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?

При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.

Приближенные методы извлечения квадратного корня

Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.

Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.

Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.

Корень из числа онлайн

Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.

Разложение на простые множители

Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители. Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.

Квадратный корень из числа

Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.

Метод Герона

Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона. Его суть заключается в использовании приближённой формулы:

√R = √a + (R — a) / 2√a,

где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.

Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:

√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.

Метод вычисления корня Герона

Теперь проверим точность метода:

10,55² = 111,3025.

Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:

√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Проверим точность расчёта:

10,536² = 111,0073.

После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.

Вычисление корня делением в столбик

Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора.

Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.

  1. Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
  2. Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
  3. Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
  4. Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
  5. Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
  6. Повторим шаги 3—6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
  7. Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.

В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.

Вычисление квадратного корня

Поразрядное вычисление значения квадратного корня

Метод обладает высокой точностью. Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.

Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.

  1. Выясним, какой разряд значения квадратного корня будет являться старшим. Для этого возведём в квадрат 0, 10, 100, 1000 и т. д. и выясним, между какими из них находится подкоренное число. Мы получим, что 10² < 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
  2. Подберём значение десятков. Для этого будем по очереди возводить в степень 10, 20, …, 90, пока не получим число, превышающее 781. Для нашего случая получим 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Значение результата n будет находиться в пределах 20 < n <30.
  3. Аналогично предыдущему шагу подбирается значение разряда единиц. Поочерёдно возведём в квадрат 21,22, …, 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Получаем, что 27 < n < 28.
  4. Каждый последующий разряд (десятые, сотые и т. д. ) вычисляется так же, как было показано выше. Расчёты проводятся до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.

Видео

Из видео вы узнаете, как извлекать квадратные корни без использования калькулятора.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Найти как скачать музыку на плеер
  • Как исправить аккаунт в телефоне редми
  • Найти разобрать как часть речи
  • Как найти число нуклеотидов в молекуле днк
  • Как найти хорошего лор врача взрослого