Как найти корни дробно рационального уравнения

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе. 

Например:

(frac{9x^2-1}{3x})(=0)
(frac{1}{2x}+frac{x}{x+1}=frac{1}{2})
(frac{6}{x+1}=frac{x^2-5x}{x+1})

Пример не дробно-рациональных уравнений:

(frac{9x^2-1}{3})(=0)
(frac{x}{2})(+8x^2=6)

Как решаются дробно-рациональные уравнения?

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ. И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

1. Выпишите и «решите» ОДЗ.

2. Найдите общий знаменатель дробей.

3. Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

4. Запишите уравнение, не раскрывая скобок.

5. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.

6. Решите полученное уравнение.

7. Проверьте найденные корни с ОДЗ.

8. Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.

Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.

Пример. Решите дробно-рациональное уравнение (frac{x}{x-2} — frac{7}{x+2}=frac{8}{x^2-4})

Решение:

(frac{x}{x-2} — frac{7}{x+2}=frac{8}{x^2-4}) ОДЗ:   (x-2≠0⇔x≠2) (x+2≠0 ⇔x≠-2) (x^2-4≠0⇔ x≠±2)		Сначала записываем и «решаем» ОДЗ.
(frac{x}{x-2} — frac{7}{x+2}=frac{8}{x^2-4})		По формуле сокращенного умножения: (x^2-4=(x-2)(x+2)). Значит, общий знаменатель дробей будет ((x-2)(x+2)). Умножаем каждый член уравнения на ((x-2)(x+2)).
(frac{x(x-2)(x+2)}{x-2} — frac{7(x-2)(x+2)}{x+2}=frac{8(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)})		Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение.
(x(x+2)-7(x-2)=8)		Раскрываем скобки
(x^2+2x-7x+14=8)		Приводим подобные слагаемые
(x^2-5x+6=0)		Решаем полученное квадратное уравнение.
(x_1=2;)            (x_2=3)		Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ (x≠2). Значит первый корень — посторонний. В ответ записываем только второй.

Ответ: (3).

Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения (frac{x}{x+2} + frac{x+1}{x+5}-frac{7-x}{x^2+7x+10})(=0)

Решение:

(frac{x}{x+2} + frac{x+1}{x+5}-frac{7-x}{x^2+7x+10})(=0) ОДЗ: (x+2≠0⇔x≠-2) (x+5≠0 ⇔x≠-5) (x^2+7x+10≠0) (D=49-4 cdot 10=9) (x_1≠frac{-7+3}{2}=-2) (x_2≠frac{-7-3}{2}=-5)		Записываем и «решаем» ОДЗ. Раскладываем   квадратный трехчлен (x^2+7x+10) на  множители по формуле: (ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)). Благо (x_1) и (x_2) мы уже нашли.
(frac{x}{x+2} + frac{x+1}{x+5}-frac{7-x}{(x+2)(x+5)})(=0)		Очевидно, общий знаменатель дробей: ((x+2)(x+5)). Умножаем на него всё уравнение.
(frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-) (-frac{(7-x)(x+2)(x+5)}{(x+2)(x+5)})(=0)		Сокращаем дроби
(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0)		Раскрываем скобки
(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0)		Приводим подобные слагаемые
(2x^2+9x-5=0)		Находим корни уравнения
(x_1=-5;)        (x_2=frac{1}{2}.)		Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

Ответ: (frac{1}{2}).

Смотрите также:
Дробно-рациональные  неравенства

Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения

Дробно-рациональные уравнения – уравнения, которые можно свести к виду (frac) (=0), где (P(x)) и (Q(x)) — выражения с иксом (или другой переменной).

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Пример не дробно-рациональных уравнений:

Как решаются дробно-рациональные уравнения?

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ . И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

Выпишите и «решите» ОДЗ.

Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Запишите уравнение, не раскрывая скобок.

Решите полученное уравнение.

Проверьте найденные корни с ОДЗ.

Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.

Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.

Пример. Решите дробно-рациональное уравнение (frac — frac<7>=frac<8>)

Сначала записываем и «решаем» ОДЗ.

По формуле сокращенного умножения : (x^2-4=(x-2)(x+2)). Значит, общий знаменатель дробей будет ((x-2)(x+2)). Умножаем каждый член уравнения на ((x-2)(x+2)).

Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение.

Приводим подобные слагаемые

Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ (x≠2). Значит первый корень — посторонний. В ответ записываем только второй.

Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения (frac + frac-frac<7-x>) (=0)

Записываем и «решаем» ОДЗ.

Раскладываем квадратный трехчлен (x^2+7x+10) на множители по формуле: (ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)).
Благо (x_1) и (x_2) мы уже нашли.

Очевидно, общий знаменатель дробей: ((x+2)(x+5)). Умножаем на него всё уравнение.

Приводим подобные слагаемые

Находим корни уравнения

Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

Дробно-рациональные уравнения

Что такое дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:

при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.

Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.

9 x 2 — 1 3 x = 0

1 2 x + x x + 1 = 1 2

6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1

Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:

Как решаются дробно-рациональные уравнения

В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.

Алгоритм действий при стандартном способе решения:

1. Выписать и определить ОДЗ.
2. Найти общий знаменатель для дробей.
3. Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
4. Записать уравнение со скобками.
5. Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
6. Найти корни полученного уравнения.
7. Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
8. Записать ответ.

Пример 1

Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

Начать следует с области допустимых значений:

x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2

Воспользуемся правилом сокращенного умножения:

x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )

В результате общим знаменателем дробей является:

Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )

После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8

x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8

Осталось решить квадратное уравнение:

Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:

Примеры задач с ответами для 9 класса

Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

Определим область допустимых значений:

О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ — 2

x 2 + 7 x + 10 ≠ 0

D = 49 — 4 · 10 = 9

x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2

x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5

Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:

a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 —

— ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0

x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Потребуется решить квадратное уравнение:

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.

Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:

4 x — 2 — 3 x + 4 = 1

В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

4 ( x + 4 ) x — 2 — 3 ( x — 2 ) x + 4 — 1 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 ( x + 4 ) — 3 ( x — 2 ) — ( x — 2 ) ( x + 4 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 x + 16 — 3 x + 6 — ( x 2 + 4 x — 2 x — 8 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

x + 22 — x 2 — 4 x + 2 x + 8 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:

— x 2 — x + 30 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ — x 2 — x + 30 = 0 ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:

( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:

— x 2 — x + 30 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:

Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.

Нужно решить дробно-рациональное уравнение:

x + 2 x 2 — 2 x — x x — 2 = 3 x

На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

x + 2 1 x ( x — 2 ) — x x x — 2 — 3 ( x — 2 ) x = 0

x + 2 — x 2 — 3 ( x — 2 ) x ( x — 2 ) = 0

x + 2 — x 2 — 3 x + 6 x ( x — 2 ) = 0

— x 2 — 2 x + 8 x ( x — 2 ) = 0 ⇔ — x 2 — 2 x + 8 = 0 x ( x — 2 ) ≠ 0

Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.

— x 2 — 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

Корни квадратного уравнения:

x 1 = — 4 ; x 2 = 2

Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.

Найти корни уравнения:

x 2 — x — 6 x — 3 = x + 2

Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:

x 2 — x — 6 1 x — 3 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) = 0

x 2 — x — 6 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) x — 3 = 0

x 2 — x — 6 — x 2 + 3 x — 2 x + 6 x — 3 = 0

0 x x — 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x — 3 ≠ 0

Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:

Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.

Ответ: х — любое число, за исключением 3.

Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:

5 x — 2 — 3 x + 2 = 20 x 2 — 4

На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:

5 ( x + 2 ) x — 2 — 3 ( x — 2 ) x + 2 — 20 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 ( x + 2 ) — 3 ( x — 2 ) — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 x + 10 — 3 x + 6 — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

2 x — 4 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x — 4 = 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.

Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют

Нужно найти корни уравнения:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

Начнем с определения ОДЗ:

— 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x — 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0

При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) · x ( x — 5 )

( x — 3 ) x ( x — 5 ) x — 5 + x ( x — 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x — 5 ) x ( x — 5 )

( x — 3 ) x + x = x + 5

Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:

x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 → x 2 — 2 x — 5 — x — 5 = 0 → x 2 — 3 x — 10 = 0

Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:

x 1 · x 2 = — 10 x 1 + x 2 = 3

В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.

Второе значение не соответствует области допустимых значений.

Дробно рациональные уравнения

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
2. Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Задания для самостоятельного решения

№1. Решите уравнение: 3 x − 19 = 19 x − 3 .

Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение:

3 x − 19 = 19 x − 3

[ x − 19 ≠ 0 x − 3 ≠ 0 ⇒ [ x ≠ 19 x ≠ 3

Приводим обе дроби к общему знаменателю, записываем дополнительные множители к числителям:

3 ( x − 3 ) x − 19 − 19 ( x − 19 ) x − 3 = 0

3 ( x − 3 ) − 19 ( x − 19 ) ( x − 19 ) ( x − 3 ) = 0

В соответствии с алгоритмом, приравниваем числитель к нулю:

3 x − 9 − 19 x + 361 = 0

x = − 352 − 16 = − 352 16 = 22

Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.

№2. Решите уравнение x − 4 x − 6 = 2.

Решение:

Можно решать эту задачу способом, который использовался при решении задачи №8. Но сейчас мы используем еще один способ решения таких уравнений.

Представим число 2 в виде дроби со знаменателем 1 .

Воспользуемся основным свойством пропорции :

произведение крайних членов равно произведению средних (правило «креста»):

a b = c d ⇒ a ⋅ d = b ⋅ c

x − 4 x − 6 = 2 1 ⇒ ( x − 4 ) ⋅ 1 = ( x − 6 ) ⋅ 2

Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.

Целые рациональные уравнения

Если в уравнении нет переменной (x) в знаменателе, то такое уравнение называется целым. Или, другими словами, нигде в уравнении нет деления на переменную.
Метод решения целых рациональных уравнений сильно зависит от того, какой степени перед вами уравнения.

Степень уравнения — это максимальная степень у переменной (x).

Например, уравнение (x^2+5x-1=0) будет второй степени, так как есть (x^2).
Пример уравнения первой степени: (5x-1=17);
Уравнение третьей степени: (5x^3-3x^2=0);
Уравнение четвертой степени: (7x^4-5x^2+x-5=0);
И т.д.

Основной алгоритм решения целых уравнений:

• Если есть скобки, раскрываем их;
• Перекидываем все слагаемые в левую часть так, чтобы в правой части остался только (0). Не забываем при этом менять знак этих слагаемых;
• Приводим подобные слагаемые;
• Если получилось уравнение первой степени (в уравнении есть только (x)), то решаем его так (линейные уравнения);
• Если получилось уравнение второй степени (в уравнении есть (x^2)), то оно решается вот так (квадратные уравнения).
• А вот если в преобразованном уравнении получились члены (x^3) или большей степени, то придется применять нестандартные методы решения. Например, замена переменной, группировка, схема Горнера и т.д.

Чаще всего уравнения после преобразований будут сводиться к уравнениям первой (линейные уравнения) и второй (квадратные уравнения) степени.

Разберем примеры целых рациональных уравнений:

Пример 1
$$-4(-7+6x)=-9x-5;$$
Первым делом раскрываем скобки:
$$28-24x=-9x-5;$$
Перекидываем все слагаемые из правой части в левую:
$$28-24x+9x+5=0;$$
Поменяем слагаемые местами, чтобы удобнее было приводить подобные слагаемые:
$$-24x+9x+5+28=0;$$
$$-15x+33=0;$$
Получили линейное уравнение. Чтобы его решить, перекидываем свободный член (тот, что без (x)) в правую часть:
$$-15x=-33;$$
И поделим уравнение слева и справа на (-15):
$$x=frac{-33}{-15};$$
$$x=frac{11}{5}=2,2;$$
Ответ: (x=2,2.)

Важно отметить, то, что уравнение линейное, стало видно сразу после раскрытия скобок: у нас же не было степени у (x)-ов. Поэтому разумно было сразу решать его как линейное: перенести все слагаемые с (x) в левую часть, а все числа в правую. Так бы получилось немного короче.

Пример 2
$$4*(x+1)^2-2(x+3)=(2x-5)^2;$$
Тут сразу и не скажешь, какой степени уравнение. На первый взгляд кажется, что квадратное, но давайте раскроем скобки, воспользовавшись формулами сокращенного умножения:
$$4*(x^2+2x+1)-2x-6=4x^2-20x+25;$$
$$4*x^2+8x+4-2x-6=4x^2-20x+25;$$
Перекинем все в левую часть, не забывая поменять знак:
$$4*x^2+8x+4-2x-6-4x^2+20x-25=0;$$
Поменяем местами слагаемые, чтобы было проще приводить подобные:
$$4x^2-4x^2+8x-2x+20x+4-6-25=0;$$
$$26x-27=0;$$
Как видите, все квадраты сократились, и уравнение превратилось в линейное:
$$26x=27;$$
$$x=frac{27}{26};$$
Ответ: (x=frac{27}{26}.)

Пример 3
$$frac{x}{6}+frac{x}{12}+x=-frac{35}{4};$$
Домножим уравнение слева и справа на (12). Почему именно на (12)? Потому что в уравнении есть дроби с знаменателями (6), (12) и (4), на все эти числа (12) можно разделить:
$$12*(frac{x}{6}+frac{x}{12}+x)=12*(-frac{35}{4});$$
$$12*frac{x}{6}+12*frac{x}{12}+12*x=12*(-frac{35}{4});$$
$$2x+x+12x=-3*35;$$
$$15x=-105;$$
$$x=frac{-105}{15}=-7;$$
Ответ: (x=-7.)

Подробнее про линейные уравнения можно почитать в отдельной статье.

Пример 4
$$(x-1)^2=2x^2-6x-31;$$
Раскроем скобки:
$$x^2-2x+1=2x^2-6x-31;$$
$$x^2-2x+1-2x^2+6x+31=0;$$
$$x^2-2x^2-2x+6x+1+31=0;$$
$$-x^2+4x+32=0;$$
После приведения подобных слагаемых в уравнении остался (x^2), а значит перед нами квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант:
$$a=-1; quad b=4; quad c=32;$$
$$D=b^2-4ac=4^2-4*(-1)*32=16+128=144=12^2;$$
$$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{-4+12}{2*(-1)}=frac{8}{-2}=-4;$$
$$x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{-4-12}{2*(-1)}=frac{-16}{-2}=8;$$
Ответ: (x=-4; qquad x=8.)

Подробнее про квадратные уравнения можно почитать здесь.

Методы решения уравнений третьей степени и старше

Не существует универсального удобного метода решения уравнений третьей степени или выше, как, например, квадратные уравнения, которые легко решаются через дискриминант, даже думать не надо.

Есть несколько методов, которые полезно знать: замена переменной, метод группировки, деление многочлена на многочлен, схема Горнера и т.д. Метод замены переменной заслуживает отдельного урока, поэтому про него мы подробно поговорим здесь. Сейчас мы обсудим метод группировки.

Метод группировки

Метод группировки слагаемых можно использовать и для решения квадратных уравнений, и, вообще говоря, для уравнений любой степени. Но проблема этого метода в том, что далеко не всегда удается его применить, и приходится использовать другие методы. Однако, если на экзамене вам не повезло, и попалось уравнение, которое сводится к уравнению 3й степени или старше, то в большинстве случаев оно будет решаться именно группировкой. Поэтому знать этот метод нужно обязательно.

Разберем метод группировки на примере кубического уравнения:

Пример 5
$$2x^3+4x^2-8x-16=0;$$
Посмотрите внимательно на уравнение, в нем 4 слагаемых, сгруппируем их попарно: первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
$$(2x^3+4x^2)+(-8x-16)=0;$$

И вынесем общий множитель (2x^2) из первой пары, и (-8) из второй:

$$2x^2(x+2)-8(x+2)=0;$$
Теперь вместо 4-х слагаемых у нас всего два, но и у них есть общий множитель ((x+2)), который можно вынести за скобки:
$$(x+2)(2x^2-8)=0;$$
Произведение двух множителей (в нашем случае двух скобок) равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен (0):
$$x+2-0 qquad Rightarrow qquad x_1=-2;$$
$$2x^2-8=0 qquad Rightarrow qquad 2x^2=8 qquad Rightarrow qquad x^2=frac{8}{2} qquadRightarrow $$
$$Rightarrow qquad x^2=4 qquad Rightarrow qquad x_{2,3}=pm 2;$$
Получилось три значения (x), но корень (x=-2) дублируется, поэтому исходное кубическое уравнение будет иметь 2 решения:
Ответ: (x=-2, quad x=2.)

Общий алгоритм разложения на множители:

1. Объединяем слагаемые в группы, как правило, в пары, но иногда это могут быть и тройки;
2. В каждой группе (паре) выносим общий множитель за скобки;
3. Если в скобках в каждой паре получилось одинаковое выражение, то опять выносим общий множитель в виде одинакового выражения внутри этих скобок за «большие» скобки.
4. Если в результате шагов (1) и (2) в каждой паре получились разные выражения в скобках, то нужно вернуться на шаг (1), поменять местами слагаемые и сгруппировать их в группы другим способом.

Попробуем решить уравнение четвертой степени:

Пример 6
$$4x^4+12x^3+6x^2+18x=0;$$
Опять сгруппируем слагаемые по парам: первое со вторым, а третье с четвертым:
$$(4x^4+12x^3)+(6x^2+18x)=0;$$
Вынесем общий множитель в каждой паре:
$$4x^3(x+3)+6x(x+3)=0;$$
Ура, в скобках получились одинаковые выражения ((x+3)), вынесем их за скобки:
$$(x+3)(4x^3+6x)=0;$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$$x+3=0 qquad qquad 4x^3+6x=0;$$
Первое уравнение имеет корень (x_1=-3), а второе выпишем отдельно и решим:
$$4x^3+6x=0;$$
Здесь тоже есть общий множитель (x), но это уже не группировка, а обычное вынесение общего множителя за скобки:
$$x(4x^2+6)=0;$$
$$x_2=0 qquad 4x^2+6=0;$$
Из уравнения (4x^2+6=0) выразим (x^2:)
$$4x^2=-6;$$
$$x^2=frac{-6}{4}=frac{-3}{2};$$
Но (x^2) никогда не может равняться отрицательному числу! Что бы вы не возвели в квадрат, всегда получите неотрицательное число. Поэтому последнее уравнение не будет иметь корней.
Осталось опять всего лишь два корня:
Ответ: (x_1=-3; qquad x_2=0.)

Дробно-рациональные уравнения

Если в уравнении есть деление на выражение, зависящее от переменной (x), то такое уравнение будет называться дробно-рациональным. Например, уравнения:
$$frac{1}{x}+3=x;$$
$$x+frac{20}{x+6}=6;$$
$$frac{x^2-3x-2}{x^2-3x+2}+frac{x^2-3x+16}{x^2-3x}=0;$$
все будут дробно-рациональными.

А уравнение
$$frac{x^2-3x}{5}+frac{x-7}{2}=1;$$
уже не будет дробно-рациональным, несмотря на то, что есть деление, но в знаменателе стоят обыкновенные числа, там нет переменной (x).

С тем, что такое дробно-рациональные уравнения, надеюсь, разобрались, теперь поговорим про алгоритм решения таких уравнений.

В общем виде дробно-рациональное уравнение выглядит так:
$$frac{P(x)}{Q(x)}=0;$$
где (P(x)) и (Q(x)) — целые рациональные выражения;

Схему решения можно записать в виде:
$$ begin{cases}
P(x)=0, \
Q(x) neq 0.
end{cases}$$

Простыми словами, решение дробно-рационального уравнения сводится к нахождению корней целого рационального уравнения (P(x)=0). И проверке того, чтобы найденные корни удовлетворяли неравенству (Q(x)neq0).

Пример 7
$$frac{x^2-5x+6}{x-3}=0;$$
Согласно приведенной выше схеме (P(x)=x^2-5x+6=0), а (Q(x)=x-3neq 0).
Или можно запомнить, что дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю. А делить на ноль в математике запрещено, поэтому еще и знаменатель не должен равняться нулю.
Приравниваем числитель к нулю:
$$x^2-5x+6=0;$$
$$D=(-5)^2-4*1*6=25-24=1;$$
$$x_1=frac{-(-5)+sqrt{1}}{2}=frac{5+1}{2}=3;$$
$$x_2=frac{-(-5)-sqrt{1}}{2}=frac{5-1}{2}=2;$$
И не забываем проверить, чтобы при найденных корнях знаменатель не был равен нулю:
$$x-3 neq 0;$$
При (x_1=3) знаменатель обращается в нуль, поэтому этот корень нам не подходит.
Ответ: (x_1=2.)

Рассмотрим более сложное уравнение:

Пример 8
$$frac{10}{x+6}=-frac{5}{3};$$
Чтобы решить такое уравнение, необходимо привести его к стандартному виду:
$$frac{P(x)}{Q(x)}=0;$$
Для этого переносим (-frac{5}{3}) в левую часть уравнения, не забываем, что (-frac{5}{3}) превращается в (+frac{5}{3}):
$$frac{10}{x+6}+frac{5}{3}=0;$$

Приводим дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем здесь будет: (3*(x+6)). Поэтому домножаем числитель и знаменатель первой дроби на (3), а вторую дробь на ((x+6)):
$$frac{3*10}{3*(x+6)}+frac{5*(x+6)}{3*(x+6)}=0;$$
$$frac{30}{3*(x+6)}+frac{5*x+30}{3*(x+6)}=0;$$
Так как теперь знаменатели у дробей одинаковые, то можно сложить их числители и представить в виде одной большой дроби:
$$frac{30+5x+30}{3(x+6)}=0;$$
$$frac{60+5x}{3(x+6)}=0;$$
Получили стандартный вид дробно-рационального уравнения.

Дробь может быть равна нулю только в одном случае: если ее числитель равен нулю!

Иногда нулю еще пытаются приравнять знаменатель, но знаменатель не может быть равен нулю. Знак дроби — это то же самое, что и знак деления, а делить на ноль в математике категорически запрещено. Именно поэтому знаменатель дроби никак не может быть равен нулю.

Возвращаемся к нашему уравнению и приравниваем числитель к нулю:
$$60+5x=0;$$
$$5x=-60;$$
$$x=-12;$$
В качестве проверки подставим найденный корень в исходное уравнение:
$$frac{10}{x+6}=-frac{5}{3} quad Rightarrow quad frac{10}{-12+6}=-frac{5}{3} quad Rightarrow $$
$$Rightarrow quad frac{10}{-6}=-frac{5}{3} quad Rightarrow quad -frac{5}{3}=-frac{5}{3};$$
Получилось верное равенство, значит (x=-12) действительно будет корнем нашего уравнения.
Ответ: (x=-12.)

Алгоритм решения

• Переносим все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части уравнения был 0, не забывая при этом менять знак;
• Приводим к общему знаменателю;
• Упрощаем получившееся выражение в числителе дроби: раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые;
• Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю. Поэтому избавляемся от знаменателя и приравниваем числитель к нулю;
• В результате вышеперечисленных действий дробно-рациональное уравнение сводится к целому рациональному уравнению;
• Решаем целое рациональное уравнение и проверяем найденные корни, чтобы при подстановке их в знаменатель, не получался ноль.

Посмотрим, как работает алгоритм на примерах:

Пример 9
$$frac{9}{x-11}+frac{11}{x-9}=2;$$
Перекидываем двойку в левую часть уравнения и приводим дроби к общему знаменателю ((x-11)(x-9)). Для этого в первой дроби домножаем числитель и знаменатель на ((x-9)), вторую дробь на ((x-11)), а (2-ку) мы всегда можем представить в виде дроби: (frac{2}{1}), и тоже приводим к знаменателю ((x-11)(x-9)):
$$frac{9*(x-9)}{(x-11)(x-9)}+frac{11*(x-11)}{(x-9)(x-11)}-frac{2(x-11)(x-9)}{(x-11)(x-9)}=0;$$
Получилось немного страшновато, но ничего: складываем дроби, раскрываем в числителе все скобки и приводим подобные слагаемые. Знаменатель при этом не трогаем.
$$frac{9(x-9)+11(x-11)-2(x-11)(x-9)}{(x-9)(x-11)}=0;$$
$$frac{9x-81+11x-121-2(x^2-9x-11x+99)}{(x-9)(x-11)}=0;$$
$$frac{9x-81+11x-121-2x^2+18x+22x-198}{(x-9)(x-11)}=0;$$
$$frac{-2x^2+60x-400}{(x-9)(x-11)}=0;$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$$-2x^2+60x-400=0;$$
$$D=60^2-4*(-2)*(-400)=3600-3200=400;$$
$$x_1=frac{-60+sqrt{400}}{2*(-2)}=frac{-60+20}{-4}=10;$$
$$x_2=frac{-60-sqrt{400}}{2*(-2)}=frac{-60-20}{-4}=20;$$
Подставив оба корня в исходное уравнение, аналогично тому, как мы это делали в примере №7, можно убедиться в правильности найденных корней.
Ответ: (x_1=10 quad x_2=20.)

Пример 10
$$frac{x}{3x+2}+frac{5}{3x-2}=frac{3x^2+6x}{4-9x^2};$$
Когда вы видите в знаменателе формулы сокращенного умножения, общий множитель или группировку, то нужно обязательно ими воспользоваться, чтобы разложить многочлен в знаменателе на множители перед тем, как приводить к общему знаменателю.

Замечаем у дроби справа в знаменателе формулу разности квадратов (a^2-b^2=(a-b)(a+b):)
$$frac{x}{3x+2}+frac{5}{3x-2}=frac{3x^2+6x}{(2-3x)(2+3x)};$$
Перекидываем в левую часть уравнения:
$$frac{x}{3x+2}+frac{5}{3x-2}-frac{3x^2+6x}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$
Приведем все дроби к общему знаменателю ((2-3x)(2+3x)):

• У первой дроби в знаменателе поменяем слагаемые местами (от перемены мест слагаемых сумма не меняется ((3x+2=2+3x)) и домножим ее числитель и знаменатель на ((2-3x)).
• У второй дроби в знаменателе стоит ((3x-2)), а нам надо ((2-3x)). Поэтому домножим числитель и знаменатель на (-1) и на ((2+3x)).
• С третьей дробью делать ничего не нужно. У нее и так нужный нам знаменатель.

$$frac{x(2-3x)}{(2+3x)(2-3x)}+frac{5*(-1)*(2+3x)}{(3x-2)*(-1)*(2+3x)}-frac{3x^2+6x}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$
$$frac{x(2-3x)}{(2-3x)(2+3x)}+frac{-5*(2+3x)}{(2-3x)(2+3x)}-frac{3x^2+6x}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$
Складываем дроби и раскрываем скобки:
$$frac{x(2-3x)-5*(2+3x)-(3x^2+6x)}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$
Обратите внимание, что я всегда беру числитель в скобки, когда складываю дроби. Тем самым я показываю, что минус перед дробью действует на каждое слагаемое в числителе.

Это одна из самых распространенных ошибок. Будьте внимательны.
$$frac{2x-3x^2—10-15x—3x^2-6x}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$
$$frac{-6x^2—19x-10}{(2-3x)(2+3x)}=0;$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$$-6x^2-19x-10=0;$$
Для удобства умножим все уравнение на (-1):
$$6x^2+19x+10=0;$$
$$D=19^2-4*6*10=361-240=121;$$
$$x_1=frac{-19+sqrt{121}}{2*6}=frac{-19+11}{12}=frac{-8}{12}=-frac{2}{3};$$
$$x_2=frac{-19-sqrt{121}}{2*6}=frac{-19-11}{12}=frac{-30}{12}=-frac{5}{2};$$

Подставим корень (x_1=-frac{2}{3}) в исходное уравнение:
$$frac{x}{3x+2}+frac{5}{3x-2}=frac{3x^2+6x}{4-9x^2};$$
$$frac{-frac{2}{3}}{3*left(-frac{2}{3}right)+2}+frac{5}{3*left(-frac{2}{3}right)-2}=frac{3left(-frac{2}{3}right)^2+6left(-frac{2}{3}right)}{4-9left(-frac{2}{3}right)^2};$$

Оказывается, что мы не cможем это посчитать, так как в знаменателе получается ноль, а делить на ноль нельзя. В таком случае говорят, что найденный корень не подходит, и в ответ мы его не записываем. А если подставить (-frac{5}{2}), то все будет нормально.

Ответ:(x=-frac{5}{2}.)

Область допустимых значений. ОДЗ

Примеры выше показали нам, что не всегда найденные значения (x) будут корнями исходного уравнения.

Почему так происходит?

Когда мы решаем уравнение, мы преобразовываем его: переносим слагаемые из одной части уравнения в другую, приводим к общему знаменателю, считаем подобные слагаемые, избавляемся от знаменателя и т.д. Эти преобразования меняют вид нашего уравнения. В новом измененном уравнении «исчезает» информация, например, о том, что в нем раньше был знаменатель.

Поэтому мы подставляли найденные (x) в ИСХОДНОЕ уравнение, чтобы проверить, действительно ли они являются корнями, и не нарушаются ли правила математики, такие, как деление на ноль.

Но решений в уравнении может быть много, да и само уравнение может быть большим и сложным. Подставлять туда каждый найденный корень и проверять, действительно ли он является корнем исходного уравнения, может быть проблематично.

Чтобы не заниматься трудоемкой подстановкой, лучше всего находить область значений (x) (еще ее называют область определения), при которых не нарушаются правила математики для исходного уравнения. И уже на этой области (x) искать корни: если найденный корень лежит в разрешенной области, значит он может быть корнем, а если нет, то выкидываем его.

Разрешенная область значений (x) называется «областью допустимых значений», сокращенно ОДЗ. Чтобы найти ОДЗ в дробно-рациональных уравнениях, нужно приравнять к нулю все знаменатели исходного уравнения и решить получившееся уравнения. Другими словами, ищем такие (x), при которых возникает запрещенное деление на ноль в исходном уравнении. Все (x), не являющиеся корнями этих уравнений, и будут нашей областью допустимых значений.

Найдем ОДЗ уравнения из примера №9:
$$frac{x}{3x+2}+frac{5}{3x-2}=frac{3x^2+6x}{4-9x^2};$$
Выписываем все знаменатели и находим (x), при которых они не равны нулю:
$$ begin{cases}
3x+2 neq 0, \
3x-2 neq 0, \
(2-3x)(2+3x) neq 0.
end{cases}$$

Третье неравенство в системе сводится к первым двум, поэтому его можно исключить из рассмотрения.
$$ begin{cases}
x neq -frac{2}{3}, \
x neq frac{2}{3}.
end{cases}$$

Решив неравенства, мы получили, что (x) может принимать любые значения, кроме (frac{2}{3}) и (-frac{2}{3}). Это и есть ОДЗ.

Напомню, что в примере №9 у нас получились корни (x_1=-frac{2}{3}) и (x_2=-frac{5}{2}). Соотносим их с найденным ОДЗ и видим, что корень (x_1=-frac{2}{3}) не подходит. Для этого нам не понадобилось подставлять его в исходное уравнение, как мы делали при решении.

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений с использованием ОДЗ

• Находим ОДЗ. Для этого выписываем все знаменатели и приравниваем их к нулю;
• Решаем дробно-рациональное уравнение: перекидываем все в левую часть, приводим к общему знаменателю, приводим подобные слагаемые, избавляемся от знаменателя и решаем получившееся целое рациональное уравнение;
• Проверяем, чтобы найденные корни удовлетворяли ОДЗ. Если не удовлетворяют, то отбрасываем их.

Пример 11
$$frac{2x^2+7x+3}{x^2-9}=1;$$
Начинаем решение с ОДЗ:
$$x^2-9 neq 0;$$
Разность квадратов:
$$(x-3)(x+3) neq 0;$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$$x-3 neq 0 Rightarrow x neq 3;$$
$$x+3 neq 0 Rightarrow x neq -3;$$
ОДЗ нашли, приступаем к решению самого уравнения:
$$frac{2x^2+7x+3}{x^2-9}-1=0;$$
Приводим к общему знаменателю (x^2-9), для этого единицу представим в виде дроби ((1=frac{1}{1})) и домножим ее на (x^2-9):
$$frac{2x^2+7x+3}{x^2-9}-frac{1*(x^2-9)}{1*(x^2-9)}=0;$$
$$frac{2x^2+7x+3-(x^2-9)}{x^2-9}=0;$$
$$frac{2x^2+7x+3-x^2+9}{x^2-9}=0;$$
$$frac{x^2+7x+12}{x^2-9}=0;$$
$$x^2+7x+12=0;$$
$$D=7^2-4*1*12=49-48=1;$$
$$x_1=frac{-7+1}{2}=frac{-6}{2}=-3;$$
$$x_2=frac{-7-1}{2}=frac{-8}{2}=-4;$$

Сверяем найденные корни с ОДЗ ((x neq pm 3)) и видим, что корень (x_1=-3) не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: (x=-4.)

Пример 12
$$frac{x^2-6x+8}{x-1}-frac{x-4}{x^2-3x+2}=0;$$
Всегда начинаем решать с ОДЗ:
$$ begin{cases}
x-1 neq 0, \
x^2-3x+2 neq 0.
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x neq 1, \
x neq 2.
end{cases}$$

Чтобы привести к общему знаменателю, разложим квадратный многочлен в знаменателе второй дроби на множители:
$$frac{x^2-6x+8}{x-1}-frac{x-4}{(x-1)(x-2)}=0;$$
Теперь видно, что общий знаменатель: ((x-1)(x-2)). Домножим первую дробь на ((x-2)):
$$frac{(x^2-6x+8)*(x-2)}{(x-1)*(x-2)}-frac{x-4}{(x-1)(x-2)}=0;$$
Если перемножить скобки в числителе, то получится многочлен третьей степени. Решать уравнение третьей степени не хочется, поэтому попробуем упростить нашу задачу: разложим на множители многочлен (x^2-6x+8=(x-2)(x-4)):
$$frac{(x-2)(x-4)*(x-2)}{(x-1)*(x-2)}-frac{x-4}{(x-1)(x-2)}=0;$$
$$frac{(x-2)^2(x-4)-(x-4)}{(x-1)(x-2)}=0;$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$$(x-2)^2(x-4)-(x-4)=0;$$
Вынесем общий множитель: скобку ((x-4)):
$$(x-4)((x-2)^2-1)=0;$$
$$(x-4)(x^2-4x+4-1)=0;$$
$$(x-4)(x^2-4x+3)=0;$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$$x-4=0 Rightarrow x_1=4;$$
$$x^2-4x+3=0;$$
$$D=(-4)^2-4*1*3=16-12=4;$$
$$x_2=frac{-(-4)+sqrt{4}}{2}=frac{4+2}{2}=3;$$
$$x_3=frac{-(-4)-sqrt{4}}{2} =frac{4-2}{2}=1;$$
Проверяем, чтобы найденные корни удовлетворяли ОДЗ ((x neq 1; quad x neq 2)) и видим, что корень (x_3=1) не подходит.
Ответ: (x_1=4, qquad x_2=3.)

Чтобы научиться решать большинство уравнений из школьной программы необходимо также знать метод замены переменной. Это очень важный метод, который используется для решения некоторых рациональных и дробно-рациональных уравнений, и не только, поэтому он заслуживает того, чтобы поговорить о нем в отдельной статье, очень рекомендую.

Целые рациональные уравнения

Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают.

Если в дроби нет деления на переменную (то есть на ( displaystyle x), ( displaystyle y) и т.д.), тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением, вот примеры:

Ну, рассмотрим первый из примеров на всякий случай и по порядочку. Все неизвестные переносим влево, все известные вправо:

( displaystyle frac{2x}{3}+frac{3x}{2}=13);

Какой наименьший общий знаменатель будет?

Правильно ( displaystyle 6)!

Чтоб к нему привести домножаем и числитель и знаменатель первого слагаемое на ( displaystyle 2), а второго на ( displaystyle 3), этого делать не запрещено, если и числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же значение, то дробь от этого не изменится, т.к. ее можно будет сократить на то же число.

А ( displaystyle 13) не трогаем, оно нам не мешает, имеем:

А теперь делим обе части на ( displaystyle 13):

Поскольку уравнение целое, что мы уже определили, то и ограничений никаких нет, ( displaystyle 6), так ( displaystyle 6), ну можно для верности подставить этот ответ в исходное уравнение, получим ( displaystyle 0=0), значит все верно и ответ подходит (ты можешь пересчитать, а вообще должно сойтись).

Дробно-рациональные уравнения

А вот еще одно уравнение ( displaystyle frac{5}{x+1}+frac{4{x}-6}{(x+1)cdot (x+3)}=3).

Это уравнение целое? НЕТ!!! Тут есть деление на переменную ( displaystyle x), а это говорит о том, что уравнение не целое. Тогда какое же оно? Это дробно рациональное уравнение.

Дробно-рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно, ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.

Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет ( displaystyle (x+1)cdot (x+3)).

Важный момент!

В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член ( displaystyle 13) приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных, но тут-то наименьший общий знаменатель ( displaystyle (x+1)cdot (x+3)).

А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!

Решая дробно-рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель!

Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:

( displaystyle frac{5(x+1)cdot (x+3)}{x+1}+frac{(4{x}-6)cdot (x+1)cdot (x+3)}{(x+1)cdot (x+3)}=3cdot (x+1)cdot (x+3)).

Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:

( displaystyle 5(x+3)+(4{x}-6)=3cdot (x+1)cdot (x+3)).

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Выносим за скобку общий множитель: ( displaystyle 3xcdot (x+1)=0)

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при ( displaystyle x=0) и ( displaystyle x=-1). 

Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни ( displaystyle x=0) и ( displaystyle x=-1) в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок. Сначала подставим ( displaystyle 0), получается ( displaystyle 3=3) –нет претензий?

С ним все нормально. А теперь ( displaystyle -1), и тут же видим в знаменателе первого члена ( displaystyle -1+1)!

Но ведь это же будет ноль!

На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело???

Дело в ОДЗ — Области Допустимых Значений!

(если забыл что это, повтори тему «ОДЗ — область допустимых значений»!)

Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть переменные (( displaystyle x,y) и т.д.) в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ, найти какие значения может принимать икс.

Хотя удобнее в ОДЗ написать, чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.

Просто запомни, что на ноль делить нельзя! И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

ОДЗ: ( displaystyle x+1ne 0) и ( displaystyle x+3ne 0) ( displaystyle Rightarrow xne -1) и ( displaystyle xne -3).

Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить и так, из полученных нами ( displaystyle x=0) и ( displaystyle x=-1) мы смело исключаем ( displaystyle x=-1), т.к. он противоречит ОДЗ.

Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?

В ответ стоит написать только один корень, ( displaystyle x=0).

Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе, возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.

Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,

ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

Рациональные выражения, уравнения и дробно-рациональные уравнения

Повторим еще раз то, что прошил в предыдущих разделах, больше используя язык математики.

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной ( displaystyle x) с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно-рациональные уравнения – рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

Например:

( displaystyle frac{{{x}^{2}}-2{x}-3}{{x}-1}-frac{x+1}{{x}-3}={{x}^{2}}-1) (чаще всего мы встречаем именно дробно рациональные уравнения).

В общем случае при решении рациональных уравнений мы стремимся преобразовать его к виду: Произведение = «( displaystyle 0)» или Дробь = «( displaystyle 0)«, например:

( displaystyle frac{left( {x}-2 right)left( x+3 right)left( {{x}^{2}}+1 right)}{xcdot left( {x}-3 right)}=0).

Тогда мы сможем сказать, что любой из множителей числителя может быть равен нулю, но знаменатель при этом нулю не равен.

Для этого нам нужно сначала всё перенести в левую часть уравнения (не забываем при этом поменять знаки между слагаемыми: «( displaystyle +)» на «( displaystyle —)» и наоборот).

Затем мы обычно приводим все к общему знаменателю, и пишем систему:

( displaystyle left{ begin{array}{l}Числитель=0,\Знаменательne 0.end{array} right.)

Например:

( displaystyle begin{array}{l}frac{{x}-2}{{{x}^{2}}+2{x}-3}-frac{x+1}{{{x}^{2}}+5x+6}=frac{3}{x+3}Leftrightarrow \Leftrightarrow frac{{x}-2}{left( {x}-1 right)left( x+3 right)}-frac{x+1}{left( x+2 right)left( x+3 right)}-frac{3}{x+3}=0Leftrightarrow end{array})

( displaystyle Leftrightarrow frac{{{x}^{2}}-4-left( {{x}^{2}}-1 right)-3left( {{x}^{2}}+{x}-2 right)}{left( {x}-1 right)left( x+2 right)left( x+3 right)}=0Leftrightarrow frac{-3{{x}^{2}}-3x+3}{left( {x}-1 right)left( x+2 right)left( x+3 right)}=0Leftrightarrow )

( displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}+{x}-1=0\left( {x}-1 right)left( x+2 right)left( x+3 right)ne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}x=frac{-1+sqrt{5}}{2}\x=frac{-1-sqrt{5}}{2}end{array} right.\xne 1\xne -2\xne -3end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=frac{-1+sqrt{5}}{2}\x=frac{-1-sqrt{5}}{2}.end{array} right.)

Если знаменателя нет, или он является числом, – тем лучше, не придется решать неравенство.

Как бы то ни было, в ЕГЭ все рациональные выражения степени больше ( displaystyle 2) легко преобразуются в произведение более простых выражений при помощи либо перегруппировки, либо замены переменных (см. раздел «Разложение многочлена на множители»).

Дробно-рациональные уравнения — это уравнения c одной переменной.

Содержание:

Определение дробно-рационального уравнения

Определение дробно-рационального уравнения:

Например, уравнения

являются дробно-рациональными.

Рассмотрим дробно-рациональное уравнение Это уравнение можно решить, используя условие равенства рациональной дроби нулю.

Рациональная дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Таким образом, получим:

Ответ: 1.

Вернемся к уравнению Выполним тождественные преобразования уравнения.

1) Перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую:

2) Преобразуем левую часть уравнения к рациональной дроби:

3) Применим условие равенства дроби нулю:

Ответ: 5.

Что нужно для решения дробно-рационального уравнения

Чтобы решить дробно-рациональное уравнение, нужно:

1. Перенести все слагаемые из правой части уравнения в левую.
2. Преобразовать левую часть уравнения к рациональной дроби.
3. Применить условие равенства дроби нулю.
4. Записать ответ.

Рассмотрим задачу: В дроби числитель на 2 больше знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 3, а знаменатель увеличить на 3, то новая дробь будет равна Найдите знаменатель первоначальной дроби.

Решение:

Обозначим знаменатель первоначальной дроби через х, тогда ее числитель равен

Если числитель дроби уменьшить на 3, то получится числитель новой дроби: Знаменатель новой дроби после увеличения на 3 будет равен а новая дробь будет иметь вид Так как по условию задачи она равна , то получим уравнение . В левой части этого уравнения записано дробное рациональное выражение.

Решение многих задач приводит к уравнениям, у которых в левой или правой (или в той и другой) частях записаны дробные рациональные выражения. Такие уравнения называют дробно-рациональными уравнениями.

Пример №1

Решите уравнение

Решение:

(1)

(2)

(3)

(4) Ответ:

Пример №2

Решите уравнение

Решение:

(1)

(2)

(3)

(4) Ответ:

Пример №3

Решите уравнение

Решение:

(1)

(2)

(3)

(4) Ответ: -2; 6.

Пример №4

Решите уравнение

Решение:

Выполним замену переменной и получим уравнение которое является дробно-рациональным. Решим его, применив алгоритм:

Подставим найденные значения в равенство и получим:

Ответ:

Дробно-рациональные уравнения используются как математические модели для решения задач, описывающих реальные ситуации.

Например, рассмотрим задачу. На тушение лесных пожаров площадью 200 га отправлено несколько вертолетов с водосливными устройствами. По информации метеорологов предполагается усиление ветра, поэтому было выделено еще 5 вертолетов, в связи с чем площадь для сброса воды каждым вертолетом уменьшилась на 20 га. Сколько вертолетов участвовало в тушении пожаров первоначально?

Решение:

(1) Выясним, о каких величинах и зависимостях между ними в задаче идет речь. В задаче речь идет о площади лесных пожаров и количестве вертолетов для тушения пожаров.

(2) Выясним, какие значения, величин и зависимости между ними, известны. Известна зависимость между количеством вертолетов и площадью для сброса воды.

(3) Выясним, какие значения величин и зависимости между ними не известны. Неизвестно, сколько потребовалось вертолетов.

(4) Обозначим неизвестное значение одной величины через х, а остальные выразим через х и зависимости между величинами. Обозначим через первоначальное количество вертолетов и получим, что вертолетов направлено на тушение пожаров после сообщения метеорологов. Составим таблицу зависимостей между величинами.

(5) Используя зависимости между известными и неизвестными значениями величин, составим уравнение (математическую модель задачи) и решим его.

По условию задачи га на 20 га меньше, чем га. Значит, разность между большим и меньшим числом равна 20, т. е.

(6) Запишем ответ в соответствии со смыслом задачи. Поскольку — число вертолетов, то выбираем число 5.

Ответ: 5 вертолетов.

Многие задачи, описывающие реальные процессы, имеют одну и ту же математическую модель. К таким относятся, например, задачи на движение, работу и т. п.

Рассмотрим две задачи:

Задача 1. Два велосипедиста выехали одновременно из поселка в поселок Скорость первого велосипедиста на больше скорости второго, поэтому он прибыл в поселок на 0,5 ч раньше. С какими скоростями двигались велосипедисты, если расстояние между поселками равно 30 км?

Задача 2. Для заполнения водой резервуара объемом используют два крана: первый кран заполняет резервуар на 0,5 ч быстрее второго, так как в час через него наливается на больше, чем через второй. Найдите скорость заполнения резервуара водой через каждый кран.

В обеих задачах речь идет о процессах: в первой — о процессе движения, во второй — о процессе заполнения резервуара водой.

Составим таблицу зависимостей между величинами.

Поскольку первый велосипедист прибыл в поселок на 0,5 ч раньше второго, а один кран заполняет резервуар на 0,5 ч быстрее другого, то уравнение является математической моделью каждой из предложенных задач.

Решим полученное уравнение:

По условию каждой задачи подходит число 12.

Ответ задачи 1: скорость первого велосипедиста скорость второго велосипедиста Ответ задачи 2: скорость заполнения резервуара водой через первый кран через второй кран —

Пример №5

Является ли дробно-рациональным уравнение:

а)

б)

в)

г)

Решение:

Уравнение а) не является дробно-рациональным, так как его левая и правая части — целые рациональные выражения. Уравнения б)—г) являются дробно-рациональными, так как левые части этих уравнений — дробно-рациональные выражения.

Пример №6

Решите уравнение, используя условие равенства дроби нулю:

а)

б)

в)

г)

Решение:

а)

Ответ: 6.

б)

Ответ: -6.

в)

Ответ: 0; 6.

г)

Ответ: нет корней.

Пример №7

Какие из уравнений:

а)

б)

в)

г) равносильны?

Решение:

а)

б)

в)

г)

Ответ: уравнения а), в), г) имеют один и тот же корень (уравнения равносильны).

Пример №8

Решите уравнение:

а)

б)

Решение:

а) (1)

(2)

(3)

(4) Ответ: 1; 2.

б)

Разложим на множители квадратный трехчлен в знаменателе первой дроби и получим:

Ответ: 2,5.

Пример №9

Найдите нули функции

Решение:

Так как нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, то для решения задачи нужно решить уравнение

Используем условие равенства дроби нулю:

Ответ: 0; 3.

Пример №10

Найдите корни уравнения

Решение:

Выполним замену переменной в данном уравнении: Получим уравнение которое является дробно-рациональным.

Решим его:

Выполним подстановку найденных значений переменной и получим:

Ответ:

Моделирование реальных процессов с помощью дробно-рациональных уравнении

Задача:

Катер прошел 15 км по течению реки и 4 км по озеру, затратив на весь путь 1 ч. Чему равна скорость катера при движении по озеру, если скорость течения реки ?

Решение:

В задаче идет речь о процессах движения катера по реке и по озеру. Составим таблицу зависимостей между величинами.

Так как по условию задачи на весь путь затрачен 1 ч, то составим уравнение: Решим его:

По условию подходит число 16.

Ответ: 16

Системы нелинейных уравнений для решения дробно-рациональных уравнений

Рассмотрим задачу. Из листа картона прямоугольной формы нужно изготовить коробку без крышки, сделав надрезы в углах длиной 4 см (рис. 67). Найдите длину и ширину листа, зная, что его периметр равен 60 см, а объем коробки должен быть равен

Решение:

Обозначим длину и ширину листа соответственно см и см. Так как в углах листа сделаны надрезы длиной 4 см, то высота коробки равна 4 см, а длина и ширина коробки равны см и см соответственно.

По условию задачи периметр листа прямоугольной формы равен 60 см, а объем коробки равен 160 значит, и Оба полученных условия должны быть выполнены, поэтому объединим их в систему уравнений

Полученная система уравнений содержит нелинейное рациональное уравнение Такие системы называют системами нелинейных уравнений. Рассмотрим способы решения систем нелинейных уравнений.

Способ подстановки

Решим полученную в задаче систему уравнений способом подстановки:

Из первого уравнения системы выразим переменную и получим

Заменим во втором уравнении переменную на и получим уравнение Решим это уравнение:

Найденные значения подставим в выражение Тогда если то а если то

Решениями системы уравнений являются пары чисел и Таким образом, размер прямоугольного листа картона

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно:

1. Из одного уравнения системы выразить одну из переменных.
2. Заменить в другом уравнении эту переменную на ее выражение.
3. Решить полученное уравнение.
4. Найденные значения одной переменной подставить в выражение для другой переменной и найти значение другой переменной.
5. В виде упорядоченных пар чисел записать ответ.

Решите систему уравнений

Решение:

(1) Из второго уравнения системы выразим переменную

(2) Заменим в первом уравнении переменную на

(3) Решим уравнение и получим:

(4) Найденные значения подставим в выражение

Если то

Если то

(5) Ответ: (4; 1), (-4; -1).

Способ сложения

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно:

1. Одно из уравнений системы оставить без изменения, а другое заменить суммой уравнений системы.
2. Из полученного уравнения (суммы) найти значения одной из переменных.
3. Подставить эти значения переменной в оставленное без изменения уравнение системы и найти значения другой переменной.
4. Записать ответ.

Решите систему уравнений

Решение:

(1)

(2)

(3) При получим:

При получим:

(4) Ответ: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2;-1).

• Заказать решение задач по высшей математике

Графический метод решения систем нелинейных уравнений

Решим систему уравнений графическим методом. Для этого построим в одной системе координат графики каждого из уравнений системы.

Первое уравнение системы равносильно уравнению графиком которого является гипербола, проходящая через точки (1; 1), (0,5; 2) (рис. 68).

Графиком второго уравнения системы является парабола с вершиной в точке (1; 1), пересекающая ось ординат в точке (0; 2).

Единственная точка пересечения гиперболы и параболы имеет координаты (1; 1).

Рис. 68

Поскольку графический метод решения систем уравнений не является точным, то полученный результат необходимо проверить.

Подставим пару чисел (1; 1) в каждое из уравнений системы , и получим верные равенства. Таким образом, данная система имеет единственное решение (1; 1).

В рассмотренной системе решением оказалась пара целых чисел, которую легко было найти с помощью построенных графиков. В других случаях найти точные значения переменных по графику может оказаться затруднительно. Но, как правило, с помощью графического метода можно определить число решений системы уравнений.

Например, определим число решений системы уравнений Построим в одной системе координат графики каждого из уравнений системы (рис. 69). Графиком первого уравнения системы является гипербола, проходящая через точки (1; 5), (5; 1). Графиком второго уравнения — парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0; 6). Графики пересекаются в трех точках, значит, система уравнений имеет три решения.

Рис. 69

Моделирование реальных процессов с помощью систем нелинейных уравнений

Системы нелинейных уравнений также являются математическими моделями при решении задач.

Задача:

Лечебными травами было решено засеять прямоугольный участок площадью При вспашке участка одну его сторону уменьшили на 3 м, а другую — на 2 м. Его площадь стала равна Какими были первоначальные размеры участка?

Решение:

В задаче речь идет о длине и ширине прямоугольного участка и его площади.

Если одну сторону участка обозначить через а другую — через то планируемая площадь участка равна По условию она равна значит, получится уравнение

После уменьшения размеров участка площадь станет равной По условию задачи составим уравнение

Объединим оба уравнения в систему

Получили математическую модель задачи в виде системы нелинейных уравнений. Решим ее, используя способ подстановки.

Условию задачи удовлетворяют найденные решения системы: стороны участка равны либо 15 м и 12 м, либо 18 м и 10 м.

Ответ: 15 м, 12 м или 18 м, 10 м.

Пример №11

Решите систему уравнений:

а)

б)

Решение:

а) Решим систему способом подстановки:

Ответ: (3; 0), (0; 3).

б) Применим способ сложения. Умножим первое уравнение на 2, сложим со вторым и получим:

Ответ:

Пример №12

Решите графически систему уравнений

Решение:

Построим графики уравнений системы

График первого уравнения — прямая, проходящая через точки (-2; 0), (1; 3). График второго уравнения — парабола с вершиной в точке (-1; -1), пересекающая ось абсцисс в точках (-2; 0) и (0; 0), проходящая через точку (1; 3).

Прямая пересекается с параболой в точках с координатами (-2; 0), (1; 3). С помощью проверки убеждаемся, что пары чисел (-2; 0) и (1; 3) являются решениями данной системы.

Ответ: (-2; 0), (1; 3).

Пример №13

Сколько решений имеет система уравнений

Решение:

Построим в одной системе координат графики уравнений системы. Графиком первого уравнения системы является гипербола, проходящая через точки (-1; 4), (-4; 1). График второго уравнения — парабола с вершиной в точке (-4; 0), пересекающая ось ординат в точке (0; 16).

На рисунке видны только две точки пересечения графиков. Но, учитывая то, что парабола пересекает ось ординат, а гипербола не пересекает, делаем вывод, что графики пересекаются еще в одной точке. Таким образом, графики пересекаются в трех точках, а, значит, система имеет три решения.

Пример №14

Решите систему уравнений

Решение:

Решим систему методом замены переменных. Введем новые переменные:

Тогда система примет вид

Решим ее способом подстановки:

Подставим и получим:

Решив каждую из двух систем совокупности способом подстановки, получим следующие решения исходной системы уравнений: (-5; 1); (1; -5); (4; 1); (1; 4).

Ответ: (-5; 1); (1; -5); (4; 1); (1; 4).

Задача:

Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если из этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите данное число.

Решение:

Обозначим цифру десятков данного числа через , а цифру единиц через , тогда данное число будет иметь вид . Числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, будет . По условию задачи: и Составим и решим систему уравнений:

По условию задачи подходит только

Ответ: 32.

Задача:

Из поселка в поселок вышел пешеход. Одновременно с ним из поселка в поселок выехал велосипедист. Через 50 мин они встретились. Сколько времени потребовалось бы пешеходу для того, чтобы пройти весь путь из в , если известно, что велосипедист проделал бы тот же путь на 4 ч быстрее пешехода?

Решение:

Составим таблицу зависимостей между величинами.

По условию задачи велосипедист проделал бы тот же путь на 4 ч быстрее пешехода, поэтому получим уравнение

При движении навстречу друг другу пешеход и велосипедист встретились через т. е.

Составим и решим систему уравнений:

откуда

Ответ: 5 ч.

Задача:

Две бригады, работая вместе, ремонтировали дорогу в течение б дней, а затем одна вторая бригада закончила ремонт за 10 дней. За сколько дней могла бы отремонтировать дорогу одна первая бригада, если она может выполнить эту работу на б дней быстрее, чем одна вторая?

Решение:

Составим таблицу зависимостей между величинами.

Обозначим объем всей работы через 1, тогда получим уравнение

Зная, что одна первая бригада может выполнить эту работу на б дней быстрее, чем одна вторая, составим уравнение

Составим и решим систему уравнений:

Ответ: 18 ч.

Формула длины отрезка с заданными координатами его концов. Уравнение окружности

Для применения графического метода решения систем необходимо знать графики различных уравнений. Многие из них вам уже знакомы. Это, например, прямая, гипербола, парабола.

Расширим возможности использования графического метода решения систем нелинейных уравнений и выведем уравнение окружности с центром в заданной точке с заданным радиусом. Для этого сначала выведем формулу для вычисления длины отрезка с заданными координатами его концов, т. е. для вычисления расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

Рассмотрим точки и (рис. 73). Найдем расстояние между этими точками (длину отрезка ). Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором По теореме Пифагора найдем гипотенузу треугольника

Получили формулу длины отрезка с заданными координатами его концов, или формулу расстояния между двумя точками с координатами

Пример №15

Найдите расстояние между точками А(-1; 3) и В(2; 5).

Решение:

Подставим координаты точек А(-1; 3) и В(2; 5) в формулу расстояния между двумя точками и получим, что

Рассмотрим окружность на координатной плоскости. Окружность — это множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до одной данной точки (центра окружности) является величиной постоянной, равной радиусу окружности

По формуле расстояния между двумя точками найдем расстояние от данной точки (центра окружности) до произвольной точки окружности (рис. 74):

Рис. 74

или

Таким образом, если точка принадлежит окружности с центром и радиусом то ее координаты удовлетворяют уравнению

Уравнение является уравнением окружности с центром в точке и радиусом

Если координаты точки удовлетворяют уравнению то эта точка принадлежит окружности с центром и радиусом

Покажем, что если точка не принадлежит окружности с центром и радиусом то ее координаты не удовлетворяют уравнению Действительно, если точка лежит вне окружности, то расстояние от нее до центра окружности больше радиуса, т. е. , а если точка лежит внутри окружности, то меньше,

т. е.

Чтобы составить уравнение окружности, нужно:

1. Определить координаты центра окружности
2. Определить радиус окружности
3. Подставить найденные значения и в уравнение окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке (-8; 2) и радиусом 5.

Решение:

(1)

(2)

(3)

Пример №16

Составьте уравнение окружности:

а) с центром в точке (4; -1) и радиусом

б) с центром в точке (0; 0) и радиусом 4.

Решение:

а) Подставим координаты центра окружности и значение радиуса в уравнение окружности и получим

б) Координаты центра окружности: радиус окружности Тогда уравнение данной окружности

Если центром окружности радиуса является начало координат, то ее уравнение имеет вид

Пример №17

Определите количество решений системы уравнений

Решение:

Рис. 75

Построим графики уравнений системы. Первое уравнение — это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 4. Графиком второго уравнения является парабола с вершиной в точке (1; 5), пересекающая ось ординат в точке (0; 4).

Построенные графики пересекаются в четырех точках (рис. 75). Значит, данная система уравнений имеет 4 решения.

Ответ: 4 решения.

Пример №18

Найдите длину отрезка , если

Решение:

По формуле длины отрезка получим:

Пример №19

Найдите длину диагонали прямоугольника, если заданы его вершина и точка пересечения его диагоналей

Решение:

Найдем длину отрезка

Длина отрезка равна половине диагонали прямоугольника, следовательно, длина диагонали равна 10.

Пример №20

Определите координаты центра и радиус окружности:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Пример №21

Какие из данных точек лежат на окружности

а)

б)

в)

г)

Решение:

Подставим координаты точек в уравнение окружности:

а) равенство верное, значит, точка лежит на окружности; б) значит, точка не лежит на окружности;

в) значит, точка не лежит на окружности;

г) равенство верное, значит, точка лежит на окружности.

Пример №22

Запишите уравнение окружности с центром в точке (-1; 1) и радиусом

Решение:

уравнение окружности.

Пример №23

Запишите уравнение окружности с центром в точке , для которой отрезок является радиусом, если А(2; 4), В(5; 7).

Решение:

радиус найдем по формуле расстояния между двумя точками:

Уравнение окружности

Пример №24

Решите систему уравнений используя графический метод.

Решение:

График первого уравнения — прямая, проходящая через точки (3; 0), (0; 3). График второго уравнения — окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 3.

Координаты точек пересечения (3; 0), (0; 3) — решения системы.