Как найти корни квадратного трехчлена уравнения

Квадратный трехчлен – это многочлен вида (ax^2+bx+c)   ((a≠0)).

Пример:

(x^2-2x+1)
(3x^2-5x+6)

Почему его называют именно так? Потому что, наибольшая степень у него – квадрат, а состоит он из трех слагаемых (одночленов). Вот и получается – квадратный трехчлен.

квадратный трехчлен.png

Примеры не квадратных трехчленов:

(x^3-3x^2-5x+6) — кубический четырёхчлен
(2x+1) — линейный двучлен

Корень квадратного трехчлена:

Значение переменной (x), при котором квадратный трехчлен обращается в ноль, называют его корнем.

Пример:
У трехчлена (x^2-2x+1) корень (1), потому что (1^2-2·1+1=0)
У трехчлена (x^2+2x-3) корни (1) и (-3), потому что (1^2+2-3=0) и ((-3)^2-6-3=9-9=0)

Например:  если нужно найти корни для квадратного трехчлена (x^2-2x+1), приравняем его к нулю и решим уравнение (x^2-2x+1=0).

(D=4-4cdot1=0)
(x=frac{2-0}{2}=frac{2}{2}=1)

Готово. Корень равен (1).

Разложение квадратного трёхчлена на множители:

Квадратный трехчлен (ax^2+bx+c) можно разложить как (a(x-x_1 )(x-x_2)), если дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) больше нуля (x_1) и (x_2) — корни того же уравнения).

Например, рассмотрим трехчлен (3x^2+13x-10).
У квадратного уравнения (3x^2+13x-10=0) дискриминант равен 289 (больше нуля), а корни равны (-5) и (frac{2}{3}). Поэтому (3x^2+13x-10=3(x+5)(x-frac{2}{3})). В верности этого утверждения легко убедится – если мы раскроем скобки, то получим исходный трехчлен.

Квадратный трехчлен (ax^2+bx+c) можно представить как (a(x-x_1)^2), если дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) равен нулю.

Например, рассмотрим трехчлен (x^2+6x+9).
У квадратного уравнения (x^2+6x+9=0) дискриминант равен (0), а единственный корень равен (-3). Значит, (x^2+6x+9=(x+3)^2) (здесь коэффициент (a=1), поэтому перед скобкой не пишется – незачем). Обратите внимание, что тоже самое преобразование можно сделать и по формулам сокращенного умножения.

Квадратный трехчлен (ax^2+bx+c) не раскладывается на множители, если дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) меньше нуля.

Например, у трехчленов (x^2+x+4) и (-5x^2+2x-1) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.

Пример. Разложите на множители (2x^2-11x+12).
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения (2x^2-11x+12=0)

(D=11^2-4 cdot 2 cdot 12=121-96=25>0)
(x_1=frac{11-5}{4}=1,5;) (x_2=frac{11+5}{4}=4.)

Значит, (2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4))
Ответ: (2(x-1,5)(x-4))

Полученный ответ, может быть, записать по-другому: ((2x-3)(x-4)).

Пример. (Задание из ОГЭ) Квадратный трехчлен разложен на множители (5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)). Найдите (a).
Решение:
(5x^2+33x+40=0)
(D=33^2-4 cdot 5 cdot 40=1089-800=289=17^2)
(x_1=frac{-33-17}{10}=-5)
(x_2=frac{-33+17}{10}=-1,6)
(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6))
Ответ: (-1,6)

Смотрите также:
Квадратный трехчлен (шпаргалка)

Источник

Тема 3.

Квадратный трёхчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax2 + bx + c, где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0.

Если x = 2, то 2x2 — 5x — 3 = 2 ∙ 22 — 5 ∙ 2 — 3 = -5

Если x = -5, то 2x2 — 5x — 3 = 2 ∙ (-5)2 — 5 ∙ (-5) — 3 = 72

Если x = 3, то 2x2 — 5x — 3 = 2 ∙ 32 — 5 ∙ 3 — 3 = 0

Корень квадратного трёхчлена – это значение переменной, при котором значение квадратного трёхчлена равно 0.

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена ax2 + bx + c, необходимо решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0.

2x2 — 5x — 3 = 0

D = 25 — 4 ∙ 2 ∙ -3 = 49

x1=5+74=3

x1=5-74=-0,5

Ответ: -0,5; 3

Количество корней зависит от дискриминанта.

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет 2 корня;

Если D = 0, то квадратный трехчлен имеет 1 корень;

Если же D < 0, то квадратный трехчлен не имеет корней.

При решении задач иногда удобно выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена.

Например, выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена x2 – 6x – 2.

Вспомним формулы сокращенного умножения:

  1. a+b2=a2+2ab+b2
  2. a-b2=a2-2ab+b2

x2-6x-2=x2-6x+9-9-2=x-32-11

При решении уравнений, неравенств удобно, когда квадратный трёхчлен представлен в виде произведения множителей, например

-2×2+14x-20=-2×2-7x+10=-2×2-2x-5x+10=-2xx-2-5x-2=-2x-2x-5

х = 2 и х = 5 – корни квадратного трехчлена.

Таким образом, ax2+bx+c=ax-x1x-x2,

где x1, x2— корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c.

Разложить на множители 3×2+5x-2

3×2+5x-2=0

D=52-4∙3∙-2=49

x1=-5+76=26=13

x2=-5-76=-126=-2

3×2+5x-2=3x-13x—2

3×2+5x-2=3x-1x+2

Источник

Как разложить на множители квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax2 + bx + c.

В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:

ax2 + bx + c = 0

Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.

Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.

Полученные корни x1 и x2 следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:

a(x − x1)(x − x2)

Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)

Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

x2 − 8x + 12

Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:

x2 − 8x + 12 = 0

В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 2

Итак, x1 = 6, x2 = 2. Теперь воспользуемся формулой ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2). В левой части вместо выражения ax2 + bx + c напишем свой квадратный трёхчлен x2 − 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае a = 1, x1 = 6, x2 = 2

x2 − 8x + 12 = 1(x − 6)(x − 2) = (x − 6)(x − 2)

Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:

x2 − 8x + 12 = (x − 6)(x − 2)

Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.

Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2). Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен x2 − 8x + 12

(x − 6)(x − 2) = x2 − 6x − 2x + 12 = x2 − 8x + 12

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

2x2 − 14x + 24

Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:

2x2 − 14x + 24 = 0

Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 1

Итак, x1 = 4, x2 = 3. Приравняем квадратный трехчлен 2x2 − 14x + 24 к выражению a(x − x1)(x − x2), где вместо переменных a, x1 и x2 подстáвим соответствующие значения. В данном случае a = 2

2x2 − 14x + 24 = 2(x − 4)(x − 3)

Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x2 − 14x + 24

2(x − 4)(x − 3) = 2(x2 − 4x −3x + 12) = 2(x2 − 7x + 12) = 2x2 − 14x + 24

Как это работает

Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.

Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:

x2 + bx + c

Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:

Тогда приведённый квадратный трехчлен x2 + bx + c можно разложить на множители следующим образом. Сначала выразим b из уравнения x1 + x2 = −b. Для этого можно умножить обе его части на −1

разложение квадратного трехчлена на множители рис 12

Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 13

Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x2 + bx + c

разложение квадратного трехчлена на множители рис 14

Раскроем скобки там где это можно:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 15

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 16

Из первых скобок вынесем общий множитель x, из вторых скобок — общий множитель −x2

разложение квадратного трехчлена на множители рис 17

Далее замечаем, что выражение (x − x1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 18

Мы пришли к тому, что выражение x2 + bx + c стало равно (x − x1)(x − x2)

x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2)

Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)

Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид ax2 + bx + c = 0, то теорема Виета принимает следующий вид:

Теорема Виета рисунок 66

Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax2 + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a

квадратное уравнение рисунок 122

Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax2 + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства разложение квадратного трехчлена на множители рис 19 и разложение квадратного трехчлена на множители рис 20

Для начала выразим b и c. В первом равенстве умножим обе части на a. Затем обе части получившегося равенства умножим на −1

разложение квадратного трехчлена на множители рис 3

Теперь из второго равенства выразим c. Для этого умножим обе его части на a

разложение квадратного трехчлена на множители рис 4

Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен ax2 + bx + c. Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 5

Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax1 − ax2 и ax1x2, которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 6

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 7

Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax, а из вторых — общий множитель −ax2

разложение квадратного трехчлена на множители рис 9

Далее замечаем, что выражение x − x1 тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 10

Вторые скобки содержат общий множитель a. Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 11

Мы пришли к тому, что выражение ax2 + bx + c стало равно a(x − x1)(x − x2)

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)

Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(x − x1)(x − x2) вместо переменных x1 и x2.

Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то этот корень одновременно подставляется в x1 и x2. Например, квадратный трёхчлен x2 + 4x + 4 имеет только один корень −2

разложение квадратного трехчлена на множители рис 12

Тогда значение −2 в процессе разложения на множители будет подставлено вместо x1 и x2. А значение a в данном случае равно единице. Её можно не записывать, поскольку это ничего не даст:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 13

Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 14

При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (x + 2)2 поскольку выражение (x + 2)(x + 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x + 2)

разложение квадратного трехчлена на множители рис 15

Примеры разложений

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x2 − 2x − 1

Найдём корни квадратного трёхчлена:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 21

Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x2 − 2x − 1, а в правой части — его разложение в виде a(x − x1)(x − x2), где вместо a, x1 и x2 подстáвим соответствующие значения:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 23

разложение квадратного трехчлена на множители рис 22

Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 24

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3 − 11x + 6x2

Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:

6x2 − 11x + 3

Найдём корни квадратного трёхчлена:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 25

Воспользуемся формулой разложения:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 26

Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3

разложение квадратного трехчлена на множители рис 27

Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 28

Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x2 + 7x − 6

Найдём корни квадратного трёхчлена:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 29

Воспользуемся формулой разложения:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 30

Пример 4. Найдите значение k, при котором разложение на множители трёхчлена 3x2 − 8x + k содержит множитель (x − 2)

Если разложение содержит множитель (x − 2), то один из корней квадратного трёхчлена равен 2. Пусть корень 2 это значение переменной x1

разложение квадратного трехчлена на множители рис 31

Чтобы найти значение k, нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.

В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби 8 na 3, а произведение корней — дроби k na 3

разложение квадратного трехчлена на множители рис 32

Выразим из первого равенства переменную x2 и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x2

разложение квадратного трехчлена на множители рис 33

Теперь из второго равенства выразим k. Так мы найдём его значение.

разложение квадратного трехчлена на множители рис 34

Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 35

Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим разложение квадратного трехчлена на множители рис 36. Если поменять местами сомножители, то получится 1 na 2 x v 2. То есть коэффициент a станет равным одна вторая

Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 37

Найдём корни квадратного трёхчлена:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 38

Воспользуемся формулой разложения:

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 2. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 3. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 4. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 5. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 6. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 7. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 8. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 9. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 10. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 11. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 12. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже


Источник

Квадратным трехчленом называется многочлен вида (ax^2 + bx + c), где (x) – переменная, (a, b, c) – некоторые числа, причем (a ≠ 0).

Числа (a,b,c) называются коэффициентами. Число (a) называется старшим коэффициентом, число (b) – коэффициентом при (x), а число (c) называют свободным членом.

Корнем квадратного трехчлена (ax^2 +bx+c) называют любое значение переменной (x), такое, что квадратный трехчлен (ax^2 +bx+c) обращается в нуль.

Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена, необходимо решить квадратное уравнение вида (ax^2 +bx+c =0).

Нахождение корней квадратного трехчлена

1 способ. Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.

  1. Найти значение дискриминанта по формуле (D =b^2-4ac).
  2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

a) если (D>0), то квадратный трехчлен имеет два корня: (x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a}; x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a};) 

b) если (D=0), то квадратный трехчлен имеет один корень: (x=-frac{b}{2a};) 

c) если (D<0), то квадратный трехчлен не имеет корней.

2 способ. Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата.

Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение – уравнение, у которого на старший коэффициент равен единице.

Найдем корни квадратного трехчлена (x^2-4x-60). Для этого решим следующее квадратное уравнение: (x^2-4x-60=0).

Выделим полный квадрат из трехчлена, стоящего в левой части уравнения:

((x^2-2cdot xcdot2+2^2)-2^2-60=0 \(x-2)^2-64=0 \(x-2)^2-8^2=0.)

Левую часть уравнения разложим на множители по формуле разности квадратов:

((x-2-8)(x-2+8)=0 \(x-10)(x+6)=0.)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

(x-10=0; x+6=0 \x=10; x=-6)

Ответ: –6; 10.

Источник

Wiki-учебник

Поиск по сайту

Реклама от партнёров:

Квадратный трехчлен и его корни

Квадратным трехчленом называют трехчлен вида a*x2 +b*x+c, где a,b,c некоторые произвольные вещественные (действительные)  числа, а x – переменная. Причем число а  не должно равняться нулю.

Числа a,b,c называются коэффициентами. Число а – называется старшим коэффициентом, число b коэффициентом при х, а число с  называют свободным членом.

Корнем квадратного трехчлена a*x2 +b*x+c называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен a*x2 +b*x+c обращается в нуль.

Для того, чтобы найти корни квадратного трехчлена необходимо решить квадратное уравнение вида a*x2 +b*x+c=0.

Как найти корни квадратного трехчлена

Для решения можно использовать один из известных способов.

  • 1 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена по формуле.

1. Найти значение дискриминанта по формуле D =b2-4*a*c.

2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня. 

x = -b±√D / 2*a 

Если D < 0, то квадратный трехчлен имеет один корень. 

x= -b / 2*a

Если дискриминант отрицателен, то квадратный трехчлен не имеет корней.

  • 2 способ.

Нахождение корней квадратного трехчлена выделением полного квадрата. Рассмотрим на примере приведенного квадратного трехчлена. Приведенное квадратное уравнение, уравнение у которого на старший коэффициент равен единице.

Найдем корни квадратного трехчлена x2+2*x-3. Для этого решим  следующее квадратное уравнение: x2+2*x-3=0; 

Преобразуем это уравнение:

x2+2*x=3;

В левой части уравнения стоит многочлен x2+2*x, для того чтобы представить его в виде квадрата суммы нам необходимо чтобы там был еще один коэффицент равный 1. Добавим и вычтем из этого выражения 1, получим:

(x2+2*x+1) -1=3

То, что в скобках можно представить в виде квадрата двучлена

(x+1)2 -1=3;

(x+1)2 = 4;

Данное уравнение распадается на два случая либо x+1=2 , либо х+1=-2.

В первом случае получаем ответ х=1, а во втором, х=-3.

Ответ: х=1, х=-3.

В результате преобразований нам необходимо получить в левой части квадрат двучлена, а в правой части некоторое число. В правой части не должна содержаться переменная.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Свойства функции: разбираем на примере
Следующая тема:   Разложение квадратного трехчлена на множители: теорема и формулы

Нравится

 Нравится

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • 0x80300113 windows 7 как исправить
  • Как найти компьютер в открытой сети
  • Как найти радиус внутренней окружности кольца
  • Как составить бюджет пфр
  • Как найти рефералку в танках