Как найти корни многочлена 10 класс

Разложение  многочлена на множители.  Теорема Безу и схема Горнера

При решении уравнений и неравенств нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна трем или выше. В этой статье мы рассмотрим,  каким образом это сделать проще всего.

Как обычно, обратимся за помощью к теории.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена    на  двучлен равен .

Но для нас важна не сама теорема, а следствие из нее:

Если число является корнем многочлена , то многочлен   делится без остатка на двучлен .

Перед нами стоит задача каким-то способом найти хотя бы один корень многочлена, потом разделить многочлен на , где — корень многочлена. В результате мы  получаем многочлен,    степень которого на единицу меньше, чем степень исходного. А потом при необходимости можно повторить процесс.

Эта задача распадается на две: как найти корень многочлена , и как разделить многочлен на двучлен.

Остановимся подробнее на этих моментах.

1. Как найти корень многочлена.

Сначала проверяем, являются ли числа 1 и -1 корнями многочлена.

Здесь нам помогут такие факты:

Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число является корнем многочлена.

Например, в многочлене сумма коэффициентов равна нулю: . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если сумма коэффициентов многочлена  при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число является корнем многочлена. Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку , а — четное число.

Например, в многочлене  сумма коэффициентов при четных степенях :  , и сумма коэффициентов при нечетных степенях :   . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то двигаемся дальше.

Для приведенного многочлена степени (то есть многочлена, в котором старший коэффициент — коэффициент при — равен единице) справедлива формула Виета:

, где — корни многочлена .

Если многочлен не является приведенным, то его можно сделать таковым, разделив на старший коэффициент.

Есть ещё формул Виета, касающихся остальных коэффициентов многочлена, но нас интересует именно эта.

Из этой формулы Виета следует, что если корни приведенного многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.

Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена.

Рассмотрим, например, многочлен .

Для этого многочлена произведение корней равно

Делители числа : ; ;

Сумма всех коэффициентов многочлена равна , следовательно, число 1 не является корнем многочлена.

Сумма коэффициентов при четных степенях :  

Сумма коэффициентов при нечетных степенях :

, следовательно, число -1 также не является корнем многочлена.

Проверим, является ли число 2 корнем  многочлена: , следовательно, число 2  является корнем многочлена. Значит, по теореме Безу, многочлен делится без остатка на двучлен .

2. Как разделить многочлен на двучлен.

Многочлен можно разделить на двучлен столбиком.

Разделим многочлен  на двучлен столбиком:

Есть и другой способ деления многочлена на двучлен — схема Горнера.

Посмотрите это видео, чтобы понять, как делить многочлен на двучлен столбиком, и с помощью схемы Горнера.

Замечу, что если при делении столбиком какая-то степень неизвестного в исходном многочлене отсутствует, на её месте пишем 0 — так же, как при составлении таблицы для схемы Горнера.

Итак, если нам нужно разделить многочлен на двучлен и в результате деления мы получаем многочлен , то коэффициенты многочлена   мы можем найти по схеме Горнера:

Мы также можем использовать схему Горнера для того, чтобы проверить, является ли данное число корнем многочлена: если число является корнем многочлена , то остаток от деления многочлена на равен нулю, то есть в последнем столбце второй строки схемы Горнера мы получаем 0.

Используя схему Горнера, мы «убиваем двух зайцев»: одновременно проверяем, является ли число корнем многочлена и делим этот многочлен на двучлен .

Пример. Решить уравнение:

1. Выпишем делители свободного члена, и будем искать корни многочлена среди делителей свободного члена.

Делители числа 24:

2. Проверим, является ли число 1  корнем многочлена.

Сумма коэффициентов многочлена , следовательно, число 1 является корнем многочлена.

3. Разделим исходный многочлен на двучлен с помощью схемы Горнера.

А) Выпишем в первую строку таблицы коэффициенты исходного многочлена.

Так как член, содержащий отсутствует, в том столбце таблицы, в котором должен стоять коэффициент при пишем 0. Слева пишем найденный корень: число 1.

Б) Заполняем первую строку таблицы.

В последнем столбце, как и ожидалось, мы получили ноль, мы разделили исходный многочлен на двучлен без остатка. Коэффициенты многочлена, получившегося в результате деления изображены синим цветом во второй строке таблицы:

Будем делить дальше. Нам нужно найти корни многочлена . Корни также ищем среди делителей свободного члена, то есть теперь уже  числа -24.

Легко проверить, что числа 1 и -1 не являются корнями многочлена

В) Продолжим таблицу. Проверим, является ли число 2 корнем многочлена :

Так степень многочлена, который получается в результате деления на единицу меньше степени исходного многочлена, следовательно и количество коэффициентов и количество столбцов на единицу меньше.

В последнем столбце мы получили -40 — число, не равное нулю, следовательно, многочлен делится на двучлен  с остатком, и число 2 не является корнем многочлена.

Идем дальше.

В) Проверим, является ли число -2 корнем многочлена . Так как предыдущая попытка оказалась неудачной, чтобы не было путаницы с коэффициентами, я сотру строку, соответствующую этой попытке:

Отлично! В остатке мы получили ноль, следовательно, многочлен разделился на двучлен  без остатка, следовательно, число -2 является корнем многочлена. Коэффициенты многочлена, который получается в результате деления многочлена  на двучлен в таблице изображены зеленым цветом.

В результате деления мы получили квадратный трехчлен , корни которого легко находятся по теореме Виета:

Итак, корни исходного уравнения :

{}

Ответ: {}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №11. Многочлен P(x) и его корень. Алгебраическое уравнение.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) обобщенное понятие многочлена;

2) основные действия над многочленами;

3) определение алгебраического уравнения;

4) теорема Безу.

Глоссарий по теме

Многочлен P_n (x) = a _n x ⁿ + a _{n – 1} x ^{n – 1} + a _{n – 2} x ^{n – 2} + … + a ₁ x + a ₀ , где a≠0, aₖ, k=0,1,2,3,…, aₖ,k=0,1,2,3,…,n — числа, x — переменная, называется многочленом n -ной степени . 
Традиционно aₙ называется старшим коэффициентом, a₀ — свободным членом многочлена.

Стоит отметить, что каждый многочлен степени больше 2 можно разложить на множители.

Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-а равен Р(а).

Следствие. Если число а является корнем многочлена Р(х), то многочлен

Рₙ(х)= a₀ x ⁿ + a ₁ x ^{n – 1} + … + a _{n – 1} x + a _n делится без остатка на двучлен х-а.

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0,

где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнением над множеством  F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса.

Мы рассмотрим многочлены одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

Многочлен ax + b, где a≠0, a, b — числа, x — переменная, называется многочленом первой степени. 
Многочлен ax²+bx+c, где a≠0, a, b, c — числа, x — переменная, называется многочленом второй степени (квадратным трёхчленом, квадратичной функцией). 
Многочлен ax³+bx²+cx+d, где a≠0, a, b, c, d — числа, x — переменная, называется многочленом третьей степени.

Вообще, многочлен P_n (x) = a _n x ⁿ + a _{n – 1} x ^{n – 1} + a _{n – 2} x ^{n – 2} + … + a ₁ x + a ₀, где a≠0, aₖ, k=0,1,2,3,…, aₖ,k=0,1,2,3,…,n — числа, x — переменная, называется многочленом n -ной степени. 
Традиционно aₙ называется старшим коэффициентом, а a₀ — свободным членом многочлена.

Стоит отметить, что каждый многочлен степени больше 2 можно разложить на множители.

Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль.

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида

P(x₁, x₂, …, x_n)=0,

где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнением над множеством  F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Например, уравнение

является алгебраическим уравнением четвертой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над множеством вещественных чисел.

Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Теорема Безу, невзирая на кажущуюся простоту и очевидность, является одной из базовых теорем теории многочленов. В данной теореме алгебраические характеристики многочленов (они позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными характеристиками (которые позволяют рассматривать многочлены как функции).

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-а равен Р(а).

Доказательство. Разделим Р(х) c остатком на (x — а).

Получим Р(х)= (x — а)·Q(х) + R; по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени (x — a), т.е. меньшую 1. Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и поэтому в обоих случаях R на самом деле является числом – нулем или отличным от нуля.

Подставив теперь в равенство Р(х)= (x — а)·Q(х) + R значение x = a, мы получим Р(a)= (a — а)Q(х) + R, P(a) = R, так что действительно R = P(a).

Эту закономерность отметил и математик Безу.

Следствие. Если число а является корнем многочлена Р(х), то многочлен

Рₙ(х)= a₀ x ⁿ + a ₁ x ^{n – 1} + … + a _{n – 1} x + a _n делится без остатка на двучлен х-а.

Историческая справка

Этьенн Безу — французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьенна Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений.

В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках.

Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный «Курс математики», написанный им в 1764-69 годах.

Безу развил метод неопределённых множителей. В элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе.

Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.

Именем ученого названа одна из основных теорем алгебры.

Примеры алгебраических уравнений

1. алгебраическое уравнение с одним неизвестным -уравнение вида , где n- натуральное число.
2. Линейное уравнение от одной переменной ax+b=0, a
3. Квадратное уравнение ax²+bx+c=0, a.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Разложим на множители многочлен:

Решение: )

Ответ: ))

Пример 2.

Решить уравнение: х⁴ — x³ — 6x² — x + 3 = 0.

Решение: Целые корни многочлена Р(х) = х⁴ — x³ — 6x² — x + 3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть числа -1, 1, 3, -3.

Подберем корень по схеме Горнера:

	1	-1	-6	-1	3
-1	1	-2	-4	3	0

х⁴ — x³ — 6x² — x + 3= (х + 1)(х³ -2х² – 4х +3) =0

	1	-2	-4	3
-1	1	-3	-1	4
1	1	-1	-5	-2
-3	1	-5	11	-30
3	1	1	-1	0

 Q(x) = х³ -2х² – 4х +3=(x- 3)(x² + x -1)=0

x² + x -1 =0

D=5

Ответ: -1; 3;

Цели:

• научить находить значение многочлена, его
  корни, используя теорему Безу, схему Горнера;
• формировать умения и навыки в нахождении корней
  многочленов;
• научить обобщать и систематизировать материал;
• развивать вычислительные навыки, концентрацию
  внимания, функции самоконтроля;
• воспитывать требовательность к себе, усердие.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

1. Проверка домашнего задания.

а) Найти НОД ((x ⁶ – 1);(x ⁸ – 1))
по алгоритму Евклида (ученик готовит на доске).

Решение:

НОД ((x ⁶ – 1);(x ⁸ – 1))
= x ² – 1.

Ответ: x ² – 1.

б) Узнайте, делится ли многочлен f(x) = x ⁵
– 5 x ⁴ + 8 x ³ – 5 x ² + x + 2
на (x – 1), (x + 1), (x – 2) (проверяется
фронтально). [1]

Решение. По теореме Безу, если f(1) = 0,
то f(x) делится на (x – 1). Проверим это.

f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0, f(x) не делится
на (x – 1);
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не
делится на (x + 1);
f(2) = 32 – 80 + 64 – 20 + 4 = 0, f(x) делится на (x – 2).

Ответ: делится на (x – 2).

в) Многочлен P(x) при делении на (x – 1)
дает остаток 3, а при делении на (x – 2) дает
остаток 5. Найти остаток от деления
многочлена P(x) на (x ² – 3 x + 2).

(Решение проектируется на экран или заранее
написать на доску).

Решение.

P(x) = (x – 1) Q ₁(x) + 3                                        (1)
P(x) = (x – 2) Q ₂(x) + 5      
                                 (2)
Из (1) и (2) следует, что P(1) = 3, P(2) = 5.
Пусть P(x) = (x ² – 3 x + 2)
Q (x) + a x + b или
P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) +
a x + b
                   (3)

Подставив в (3) последовательно x = 1 и x = 2,
получим систему уравнений, из которой a = 2,
b = 1.

Ответ: 2 x + 1.

г) При каких m и n многочлен x ³ + m x + n
при любых x делится на x ² + 3 x + 10
без остатка.

(Решение проектируется на экран или заранее
написать на доску).

Решение. При делении “уголком” получим x ³ + m x + n = (x ² + 3 x + 10) (x – 3) + ((m – 1) x
+ (n + 30)).

Т.к. деление выполняется без остатка, то (m – 1) x
+ (n + 30) = 0, а это возможно (при любом x)
только в случае, когда m = 1, n = –30.

Ответ: m = 1, n = –30.

2. Теоретический опрос.

а) Как читается теорема Безу?
б) Привести пример, где используется теорема
Безу.
в) Из правила перемножения двух многочленов как
найти старший коэффициент произведения?
г) Имеет ли степень нулевой многочлен?
д) Найти степень многочлена (3 x ⁴⁹⁹ – 5 x
⁴⁰⁰ + 7 x ³⁷² – 11) ⁴ + (x – 1) ²⁰⁰⁶ .
(Ответ: десятая)
е) Приведите многочлен (x ² – 1) (x ²⁰⁰⁵ + x ²⁰⁰³ + x ²⁰⁰¹ + … + x)
к стандартному виду. (Ответ: x ²⁰⁰⁷ – 1).

III. Подготовка к изучению нового материала

В многочлен, как и в любое буквенное выражение,
можно вместо переменной подставлять числа, и в
результате он превращается в числовое выражение,
то есть, в конечном счете, в число. Сделаем два
важных для решения задач замечания:

1. Значение f(0) равно свободному члену
   многочлена.
2. Значение f(1) равно сумме коэффициентов
   многочлена.

Нахождение значений многочлена не
представляет никаких принципиальных трудностей,
однако вычисления при этом могут оказаться
достаточно громоздкими. Для упрощения
вычислений существует прием, называемый схемой
Горнера – по имени английского математика XVI
века. Эта схема состоит в заполнении некоторой
таблицы из двух строк.

Например, чтобы вычислить значение многочлена
f(x) = 2 x ⁴ – 9 x ³ – 32 x ² – 57
при x = 7 (то есть узнать делится ли он на (x – 7)
по теореме Безу), надо подставить вместо x
число 7. Если f(7) = 0, то f(x) делится
без остатка. Если f(7) не равно 0, то f(x) делится
на (x – 7) с остатком. Чтобы облегчить
нахождение значения f(7) применим схему
Горнера. Заполним таблицу из двух строк по
следующему алгоритму:

1. Строка коэффициентов записывается первой.
2. Старший коэффициент дублируется во второй
строке, а перед ним ставится значение переменной (в
нашем случае число 7), при котором вычисляем
значение многочлена.

Получается таблица, пустые клетки которой надо
заполнить.

Таблица 1

3. Это делается по единому правилу: для пустой
клетки, стоящей справа, число 2 умножается на 7 и
складывается с числом, стоящим над пустой
клеткой. Ответ записывается в первую пустую
клетку. Так делают для заполнения остальных
пустых клеток. Поэтому, в первой пустой клетке
ставится число 2 • 7 – 9 = 5, во второй пустой
клетке ставится число 5 • 7 – 32 = 3, в третьей
ставится число 3 • 7 + 0 = 21, а в последней 21 • 7
– 57 = 90. Полностью эта таблица выглядит так:

Таблица 2

Последнее число второй строки является
ответом.

Замечание: программа для вычисления
значений многочлена в ЭВМ составляется по схеме
Горнера.

IV. Закрепление изученного материала

Рассмотрим решение домашнего задания
№ 1 (б) по схеме Горнера. Итак, применяя схему
Горнера, узнайте, делится многочлен (x) = x ⁵
– 5 x ⁴ + 8 x ³ – 5 x ² + x + 2
на (x – 1), (x + 1), (x – 2). Если
требуется проверить несколько значений, то для
экономии выкладок строят одну объединенную
схему.

Таблица 3

В последнем столбце в третьей, четвертой и
пятой строках – остатки от деления. Тогда f(x)
делится без остатка на (x – 2), т.к. r = 0. [2]

V. Нахождение корней многочлена

Теорема Безу дает возможность, найдя один
корень многочлена, искать далее корни
многочлена, степень которого на единицу меньше.
Иногда этим приемом – он называется “понижением
степени” – можно найти все корни многочлена.

В частности, подобрав один корень кубического
уравнения, тем самым понизив степень, можно его
полностью решить, решив полученное квадратное
уравнение.

При решении таких задач большую пользу
приносит та же схема Горнера. Однако, на самом
деле схема Горнера дает гораздо больше: числа,
стоящие во второй строке (не считая
последнего) – это коэффициенты частного
отделения на (x – a).

В таблице 3:

f(1) = 3, f(–1) = – 3, f(2) = 0,

f(x) = (3 x 4 – 2 x 3 – 2 x 2 – 9 x – 9) (x – 1) + 3; f(x) = (3 x 4 – 8 x 3 + 8 x 2 – 15 x + 15) (x + 1) – 3; f(x) = (3 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 3 x – 6) (x – 2).

Пример 1. Найти корни
многочлена f(x) = (x ⁴ – x ³ – 6 x ² – x + 3).

Решение. Делители свободного члена: – 1, 1, – 3, 3
могут быть корнями многочлена. При x = 1
очевидно сумма коэффициентов равна нулю. Значит, x₁ = 1
– корень. Проверим по схеме Горнера на корень
число – 1 и другие делители свободного
члена.

Таблица 4

	1	– 1	– 6	– 1	3
– 1	1	– 2	– 4	3	0
– 1	1	– 3	– 1	4
3	1	1	– 1	0

x = –1 — корень
второй раз x = –1 — не корень
проверим x = 3
x = 3 – корень.
f(x) = (x + 1) (x – 3) (x ² + x – 1),
x ² + x – 1 = 0,

Замечание. При нахождении корней
многочлена не следует проводить лишних точных
вычислений в тех случаях, когда очевидные грубые
оценки приводят к нужному результату.
Например, схема Горнера для проверки значений 31
и – 31 как “кандидатов в корни” многочлена
x ⁵ – 41 x ⁴ + 32 x ²  – 4 x + 31
может выглядеть следующим образом:

Таблица 5

31 и – 31 не являются корнями
многочлена x ⁵ – 41 x ⁴ + 32 x ²  – 4 x + 31.

Пример 2. Найти корни
многочлена f (x) = x ⁴ + 2 x ³ – 6 x ² – 22 x + 55.

Решение. Делители 55: – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11,
– 55, 55. Заметим, что – 1 и 1
не являются корнями многочлена. Следует
проверить остальные делители.

Замечание. Очень важно учащимся овладеть
“длинной” схемой Горнера. В данном примере как
раз удобна “длинная” схема.

Таблица 6

x ² + 57 x + 3 129 = 0,
корней нет.

Ответ: корней нет. [2]

VI. Самостоятельная работа

На доске три человека решают для последующей
проверки.

Найти корни многочлена по схеме Горнера:

а) f (x) =  x ³ + 2 x ² – 5 x – 6;

Ответ: – 1; 2; – 3.

б) f (x) =  x ⁵ – 5 x ⁴ + 6 x ³ – x ² + 5 x – 6;

Ответ: 1; 2; 3.

в) f (x) =  x ⁴ + 12 x ³ + 32 x ² – 8 x – 4.

Ответ:

(Проверка осуществляется в парах,
выставляются оценки).

VII. Исследовательская работа учащихся

– Ребята, вы не заметили, какие многочлены в
основном мы разбирали на уроках?

(Ответы учащихся).

– Да, это многочлены с целыми коэффициентами и
со старшим членом k = 1.

– В каких числах получались ответы?

(Ответы учащихся).

– Правильно, корни многочлена с целыми
коэффициентами и со старшим членом k = 1
либо целое, либо иррациональное, либо целые и
иррациональные, либо не имеют корней. Запишите
вывод в своих тетрадях.

VIII. Задание на дом

1. № 129 (1, 3, 5, 6) – Н. Я. Виленкин –
10, стр. 78. [3]
2. Выучить теорию данного урока.

IX. Подведение итогов урока и выставление
отметок

Литература

1. М.Л. Галицкий. Углубленное изучение
   алгебры и математического анализа. //
   Просвещение, 1997 г.
2. Г.В. Дорофеев. Многочлены с одной
   переменной. // Санкт-Петербург. Специальная
   литература, 1997 г.
3. Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический
   анализ. 10 класс // Просвещение, 1998 г.

Содержание:

Многочлен – это сумма одночленов, причем сам одночлен — это частный случай многочлена.

История многочелена:

Живший в 1050-1122 гг Омар Хаям известен в мире как мастер рубай. Однако имя Омара Хаяма также упоминается наряду с именами гениальных математиков. Именно Омар Хаям впервые представил общую формулу корней уравнения кубического многочлена

Многочлены от одной переменной и действия над ними

Определение многочленов от одной переменной и их тождественное равенство

Рассмотрим одночлен и многочлен, которые зависят только от одной переменной, например, от переменной

По определению одночлена числа и буквы (в нашем случае одна буква — ) в нем связаны только двумя действиями — умножением и возведением в натуральную степень. Если в этом одночлене произведение всех чисел записать перед буквой, а произведение всех степеней буквы записать как целую неотрицательную степень этой буквы (то есть записать одночлен в стандартном виде), то получим выражение вида , где — некоторое число. Поэтому одночлен от одной переменной — это выражение вида где — некоторое число, — целое неотрицательное число. Если то показатель степени переменной называется степенью одночлена. Например, — одночлен шестой степени, — одночлен второй степени. Если одночлен является числом, не равным нулю, то его степень считается равной нулю. Для одночлена, заданного числом 0, понятие степени не определяется (поскольку ).

По определению многочлен от одной переменной — это сумма одночленов от одной переменной . Поэтому

многочленом от одной переменной : называется выражение вида

(1)

где коэффициенты — некоторые числа.

Если , то этот многочлен называют многочленом степени от переменной . При этом член называют старшим членом многочлена , число — коэффициентом при старшем члене, а член — свободным членом. Например, — многочлен третьей степени, у которого свободный член равен 1, а коэффициент при старшем члене равен 5.

Заметим, что иногда нумерацию коэффициентов многочлена начинают с начала записи выражения (1), и тогда общий вид многочлена записывают так:

где — некоторые числа.

Теорема 1. Одночлены где и где , тождественно равны тогда и только тогда, когда и Одночлен тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда

Поскольку равенство одночленов

(2)

выполняется при всех значениях (по условию эти одночлены тождественно равны), то, подставляя в это равенство , получаем, что Сокращая обе части равенства (2) на (где по условию), получаем При из этого равенства имеем: Поскольку 2 то равенство возможно только тогда, когда Таким образом, из тождественного равенства получаем, что и Если известно, что для всех то при получаем Поэтому одночлен тождественно равен нулю при (тогда ).

Далее любой одночлен вида будем заменять на 0.

Теорема 2. Если многочлен тождественно равен нулю (то есть принимает нулевые значения при всех значениях ), то все его коэффициенты равны нулю.

Значком обозначено тождественное равенство многочленов.

Для доказательства используем метод математической индукции. Пусть

При имеем поэтому То есть в этом случае утверждение теоремы выполняется.

Предположим, что при это утверждение также выполняется: если многочлен то

Докажем, что данное утверждение выполняется и при Пусть (3)

Поскольку равенство (3) выполняется при всех значениях , то, подставляя в это равенство получаем, что Тогда равенство (3) обращается в следующее равенство: Вынесем в левой части этого равенства за скобки и получим

(4)

Равенство (4) должно выполняться при всех значениях . Для того чтобы оно выполнялось при должно выполняться тождество

В левой части этого тождества стоит многочлен со степенями переменной от до Тогда по предположению индукции все его коэффициенты равны нулю: Но мы также доказали, что поэтому наше утверждение выполняется и при Таким образом, утверждение теоремы справедливо для любого целого неотрицательного то есть для всех многочленов.

Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, обычно называют нулевым многочленом, или нуль-многочленом, и обозначают или просто (поскольку ).

Теорема 3. Если два многочлена и тождественно равны, то они совпадают (то есть их степени одинаковы и коэффициенты при одинаковых степенях равны).

Пусть многочлен , а многочлен Рассмотрим многочлен Поскольку многочлены и по условию тождественно равны, то многочлен тождественно равен 0. Таким образом, все его коэффициенты равны нулю.

Но Тогда Отсюда Как видим, если допустить, что у какого-то из двух данных многочленов степень выше, чем у второго многочлена (например, больше ), то коэффициенты разности будут равны нулю. Поэтому начиная с (-го номера все коэффициенты также будут равны нулю. То есть действительно многочлены и

имеют одинаковую степень и соответственно равные коэффициенты при одинаковых степенях.

Теорема 3 является основанием так называемого метода неопределенных коэффициентов. Покажем его применение на следующем примере.

Пример:

Докажите, что выражение

является полным квадратом.

Решение:

► Данное выражение может быть записано в виде многочлена четвертой степени, поэтому оно может быть полным квадратом только многочлена второй степени вида Получаем тождество:

(5)

Раскрывая скобки в левой и правой частях этого тождества и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему равенств. Этот этап решения удобно оформлять в следующем виде:

Из первого равенства получаем или

При из второго равенства имеем а из третьего — Как видим, при этих значениях и последние два равенства также выполняются. Следовательно, тождество (5) выполняется при (аналогично можно также получить ). Таким образом,

Действия над многочленами. Деление многочлена на многочлен с остатком

Сложение и умножение многочленов от одной переменной выполняется с помощью известных правил сложения и умножения многочленов. В результате выполнения действий сложения или умножения над многочленами от одной переменной всегда получаем многочлен от той же переменной.

Из определения произведения двух многочленов вытекает, что старший член произведения двух многочленов равен произведению старших членов множителей, а свободный член произведения равен произведению свободных членов множителей. Отсюда получаем, что степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.

При сложении многочленов одной степени получаем многочлен этой же степени, хотя иногда можно получить многочлен меньшей степени. Например, При сложении многочленов разных степеней всегда получаем многочлен, степень которого равна большей степени слагаемого.

Например, Деление многочлена на многочлен определяется аналогично делению целых чисел. Напомним, что целое число делится на целое число если существует такое целое число что

Определение: Многочлен делится на многочлен (где — не нулевой многочлен), если существует такой многочлен что

Как и для целых чисел, операция деления многочлена на многочлен выполняется не всегда, поэтому во множестве многочленов вводится операция деления с остатком. Говорят, что

многочлен делится на многочлен (где — не нулевой многочлен) с остатком, если существует такая пара многочленов и что причем степень остатка меньше степени делителя (в этом случае многочлен называют неполным частным.)

Например, поскольку то при делении многочлена на многочлен получаем неполное частное : и остаток 2.

Иногда деление многочлена на многочлен удобно выполнять «уголком», как и деление многозначных чисел, пользуясь следующим алгоритмом.

Пример №1

Разделим многочлен на многочлен

Решение:

Докажем, что полученный результат действительно является результатом деления на с остатком.

Если обозначить результат выполнения первого шага алгоритма через второго шага — через третьего — через то операцию деления, выполненную выше, можно записать в виде системы равенств:

(1)

(2)

(3)

Сложим почленно равенства (1), (2), (3) и получим

(4)

Учитывая, что степень многочлена меньше степени делителя обозначим (остаток), а (неполное частное). Тогда из равенства (4) имеем: то есть

а это и означает, что мы разделили на с остатком.

Очевидно, что приведенное обоснование можно провести для любой пары многочленов и в случае их деления столбиком. Поэтому описанный выше алгоритм позволяет для любых делимого и делителя (где — не нулевой многочлен) найти неполное частное и остаток

Отметим, что в случае, когда степень делимого меньше степени делителя , считают, что неполное частное а остаток

Теорема Безу. Корни многочлена. Формулы Виета

Рассмотрим деление многочлена на двучлен Поскольку степень делителя равна 1, то степень остатка, который мы получим, должна быть меньше 1, то есть в этом случае остатком будет некоторое число R. Таким образом, если разделить многочлен на двучлен , то получим

Это равенство выполняется тождественно, то есть при любом значении При имеем Полученный результат называют теоремой Безу.

Теорема 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена на двучлен равен (то есть значению многочлена при ).

Пример №2

Докажите, что делится на без остатка.

Решение:

► Подставив в вместо значение 1, получаем: . Таким образом, остаток от деления на равен 0, то есть делится на без остатка. <]

Определение: Число называют корнем многочлена если

Если многочлен делится на то — корень этого многочлена.

Безу Этьен (1730-1783) — французский математик, внесший значительный вклад в развитие теории алгебраических уравнений.

Действительно, если делится на то и поэтому Таким образом, — корень многочлена

Справедливо и обратное утверждение. Оно является следствием теоремы Безу.

Теорема 2. Если число является корнем многочлена то этот многочлен делится на двучлен без остатка.

По теореме Безу остаток от деления на равен Но по условию — корень таким образом,

Обобщением теоремы 2 является следующее утверждение.

Теорема 3. Если многочлен имеет попарно разные корни то он делится без остатка на произведение

Для доказательства используем метод математической индукции.

При утверждение доказано в теореме 2.

Допустим, что утверждение справедливо при То есть если попарно разные корни многочлена то он делится на произведение Тогда

(1)

Докажем, что утверждение теоремы справедливо и при Пусть — попарно разные корни многочлена Поскольку — корень то . Принимая во внимание равенство (1), которое выполняется согласно допущению индукции, получаем:

По условию все корни разные, поэтому ни одно из чисел не равно нулю. Тогда Таким образом, — корень многочлена Тогда по теореме 2 многочлен делится на то есть и из равенства (1) имеем

Это означает, что делится на произведение

то есть теорема доказана и при

Таким образом, теорема справедлива для любого натурального

Следствие. Многочлен степени имеет не больше разных корней.

Допустим, что многочлен степени имеет разных корней: Тогда делится на произведение многочлен степени но это невозможно. Поэтому многочлен степени не может иметь больше чем корней.

Пусть теперь многочлен степени имеет разных корней Тогда этот многочлен делится без остатка на произведение Это произведение является многочленом той же

степени. Таким образом, в результате деления можно получить только многочлен нулевой степени, то есть число. Таким образом,

(2)

Если раскрыть скобки в правой части равенства (2) и приравнять коэффициенты при старших степенях, то получим, что то есть

(3)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождества (3), получаем соотношения между коэффициентами уравнения и его корнями, которые называют формулами Виета:

(4)

Например, при имеем:

а при

(5)

Выполнение таких равенств является необходимым и достаточным

условием того, чтобы числа были корнями многочлена

Формулы (3) и (4) справедливы не только для случая, когда все корни многочлена разные. Введем понятие кратного корня многочлена.

Если многочлен делится без остатка на но не делится без остатка на то говорят, что число является корнем кратности многочлена

Например, если произведение записать в виде многочлена, то для этого многочлена число является корнем кратности 3, число 1 — корнем кратности 2, а число — корнем кратности 1.

При использовании формул Виета в случае кратных корней необходимо каждый корень записать такое количество раз, которое равно его кратности.

Пример №3

Проверьте справедливость формул Виета для многочлена

Решение:

►

Поэтому имеет корни: (поскольку — корень кратности 2).

Проверим справедливость формулы (5). В нашем случае: Тогда

Как видим, все равенства выполняются, поэтому формулы Виета справедливы для данного многочлена.

Пример №4

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения

Решение:

► Обозначим корни уравнения через и Тогда корнями искомого уравнения должны быть числа и Поэтому искомое уравнение имеет вид где

По формулам Виета имеем Отсюда находим, что а Таким образом, искомое уравнение имеет вид

Схема Горнера

Делить многочлен на двучлен иногда удобно с помощью

специальной схемы, которую называют схемой Горнера.

Пусть многочлен необходимо разделить на двучлен В результате деления многочлена степени на многочлен первой степени получим некоторый многочлен степени (то есть , где ) и остаток Тогда то есть

Левая и правая части полученного равенства тождественно равны, поэтому, перемножив многочлены, стоящие в правой части, можем приравнять коэффициенты при соответствующих степенях

Найдем из этих равенств коэффициенты и остаток

Как видим, первый коэффициент неполного частного равен первому коэффициенту делимого. Остальные коэффициенты неполного частного и остаток находятся одинаково: для того чтобы найти коэффициент неполного частного, достаточно предыдущий найденный коэффициент умножить на и добавить коэффициент делимого. Эту процедуру целесообразно оформлять в виде специальной схемы-таблицы, которую называют схемой Горнера.

Пример №5

Разделите по схеме Горнера многочлен на двучлен

Решение:

► Запишем сначала все коэффициенты многочлена (если в данном многочлене пропущена степень 2, то соответствующий коэффициент считаем равным 0), а потом найдем коэффициенты неполного частного и остаток по указанной схеме:

Таким образом,

Пример №6

Проверьте, является ли корнем многочлена

Решение:

► По теореме Безу остаток от деления многочлена на равен поэтому найдем с помощью схемы Горнера остаток от деления на

Поскольку то — корень многочлена

Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами

Теорема 4. Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень , то является делителем свободного члена a — делителем коэффициента при старшем члене

Если является корнем многочлена то Подставляем

вместо в и из последнего равенства имеем

(1)

Умножим обе части равенства (1) на Получаем

(2)

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на Поэтому делится на

Но когда мы записываем рациональное число в виде то эта дробь считается несократимой, то есть и не имеют общих делителей. Произведение может делиться на (если и — взаимно простые числа) только тогда, когда делится на Таким образом, — делитель свободного члена

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на Тогда делится на Поскольку и взаимно простые числа, то делится на , следовательно, — делитель коэффициента при старшем члене.

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять то корнем многочлена будет целое число — делитель Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене коэффициент то делителями могут быть только числа то есть и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Пример №7

Найдите рациональные корни многочлена

Решение:

► Пусть несократимая дробь является корнем многочлена. Тогда необходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел a — среди делителей старшего коэффициента:

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать среди чисел Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера.

При имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера можно записать, что

Многочлен не имеет действительных корней (а тем более рациональных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональный корень

Пример №8

Разложите многочлен на множители.

Решение:

► Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена:

Подходит 1. Делим на с помощью схемы Горнера.

Тогда

Ищем целые корни кубического многочлена среди делителей его свободного члена: Подходит Делим на

Имеем

Квадратный трехчлен не имеет действительных корней и на линейные множители не раскладывается.

Ответ:

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен степени не всегда можно разложить на произведение линейных множителей. Но многочлен нечетной степени всегда можно разложить на произведение линейных и квадратных множителей, а многочлен четной степени — на произведение квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается на произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого разложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Пример №9

Разложите на множители многочлен

Решение:

► Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен на произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

(3)

где и — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях у них равны. Раскроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

Получаем систему

(4)

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравнению 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что и могут быть только делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты и в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рассматриваем случаи и или и и т. д.

Для каждой пары значений и из третьего равенства системы (4) найдем а из второго равенства имеем Зная и по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения подставим в четвертое равенство системы (4) чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел Тогда равенство (3) имеет вид

(5)

Поскольку квадратные трехчлены и не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Деление многочлена на многочлен

Задача. Объём подарочных коробок, размеры которых даны в сантиметрах, можно смоделировать функцией — положительное целое число и . Если высоты коробок можно определить при помощи линейной функции , то как можно выразить другие размеры коробки в виде многочлена? Вы сможете решить эту задачу, изучив правило деления многочлена на многочлен.

Исследование. Изучите, как правило деления многозначных чисел столбиком можно применить при делении многочлена.

a) Для каждого из двух случаев укажите, какие числа и какие многочлены соответствуют понятиям делимое, делитель и частное.

b) Как был найден первый член при делении многочлена? Каковы сходные и отличительные черты данного деления и деления многозначных чисел?

c) Как вы убедились,что каждое из двух делений выполнено правильно?

Выражение вида называется многочленом степени от одной переменной. Здесь — переменная, — определенные числа и — старший член, — коэффициент при старшем члене, -свободный член. Многочлен можно разделить на многочлен аналогично правилу деления целых чисел столбиком.

Деление целого числа па целое число можно проверить равенством

Аналогичное правило справедливо и при делении многочлена на многочлен. Если многочлен -делимое, — делитель, — неполное частное, — остаток, то справедливо равенство

или .

Здесь, степень многочлена ниже степени многочлена Если делителем является двучлен , то остатком может являться определенное число

В этом случае:

Пример №10

а) Разделите многочлен на двучлен .

Ответ запишите в виде

b) Определите множество допустимых значений переменной.

c) Выполните проверку.

Решение:

b) При этом или , иначе возникает деление на нуль.

c) Должно выполняться тождество

Пример №11

Разделите на многочлен .

Решение:

запишем делимое в порядке убывания степеней. Введем в запись отсутствующие члены с коэффициентом равным 0.

Пример №12

1) Исследуйте деление столбиком многочлена на двучлен .

2) На каждом шаге деления делимое делится на старший член делителя, на и результат записывается в частное. Установите, как можно найти первый член при делении на каждом из следующих шагов.

Правило синтетического деления многочлена на двучлен (схема Горнера)

При делении многочлена на двучлен вида можно использовать метод, альтернативный делению столбиком — метод синтетического деления. При синтетическом делении, используя только коэффициенты, выполняется меньшее количество вычислений.

Пример №13

Разделите многочлен на двучлен методом синтетического деления.

Решение:

коэффициенты делимого записываются в порядке убывания степеней (отсутствующий член записывается с коэффициентом равным нулю). Если двучлен имеет вид , то его записывают в виде .

Запишем двучлен в виде .

Таким образом, для делимого и делителя частным будет , а остатком .

Деление можно записать в виде: В общем случае, правило синтетического деления (или схема Горнера) многочлена и-ой степени на двучлен х -т приведено в таблице ниже.

Теорема об остатке

Теорема об остатке (Теорема Безу)

Остаток от деления многочлена на двучлен равен значению многочлена в точке

Доказательство: В равенстве запишем . , тогда .

Пример №14

Найдите остаток от деления многочлена на двучлен , применив теорему об остатке.

Решение: запишем делитель в виде , тогда . По теореме об остатке получим, что остаток равен

.

Проверим решение.

Теорема о разложении многочлена на множители

Значения переменной , которые обращают многочлен в нуль (т.е. корни уравнения ), называются корнями (или нулями) многочлена.

Теорема. Если число является корнем многочлена , то двучлен является множителем многочлена .

Действительно, если , то из равенства имеем . Верно и обратное утверждение, т.е. если двучлен является множителем многочлена .

Пример №15

При помощи теоремы о разложении многочлена на множители определите, являются ли двучлены множителями многочлена .

Решение: вычислим значение многочлена при .

Значит, не является множителем, а является одним из множителей данного многочлена.

Пример №16

Зная, что , разложите многочлен на множители.

Решение: так как , то двучлен один из множителей многочлена . Другой множитель найдем, используя метод синтетического деления.

Учитывая, что получим: .

Отсюда получаем, что являются нулями многочлена.

Примечание: Если многочлен задан в виде (здесь ), то число является кратным корнем многочлена (повторяется раз). Например, если разложение многочлена на множители имеет вид , то число является корнем кратности 3.

Нахождение рациональных корней

Теорема о рациональных корнях

Если для многочлена с целыми коэффициентами существует рациональный корень, то этот корень имеет вид

Доказательство. Пусть несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами:

Умножим обе части равенства на

Так как в последнем равенстве каждый член, кроме члена , содержит множитель и каждый член, кроме члена , содержит множитель .то коэффициент должен делится на , а коэффициент должен делится на .

Пример №17

Найдите рациональные корни многочлена .

Решение: свободный член 6, старший коэффициент 2.

Для , запишем все возможные числа вида

, т.е. одним из множителей является двучлен . Другие множители найдем, используя синтетическое деление:

Так как, , получим, что являются корнями многочлена.

Следствие 1. Если старший коэффициент и многочлен имеет рациональный корень, то он является целым числом.

Следствие 2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами (если они имеются) являются делителями свободного члена.

Пример №18

Найдите корни многочлена

Решение: по теореме о рациональных корнях многочлена, целый корень данного многочлена (если он существует) надо искать среди делителей числа 5. Это числа ±5; ±1.

Запишем это короче при помощи синтетического деления и проверим, являются ли эти числа корнями многочлена.

Так как то, решив квадратное уравнение получим другие корни: Значит данный многочлен третьей степени имеет три корня:

Внимание! Если коэффициенты многочлена являются рациональными числами, то для нахождения рациональных корней уравнения сначала обе части уравнения надо умножить на такое число (отличное от нуля), чтобы коэффициенты стали целыми. Например, для нахождения корней многочлена

надо умножить все члены уравнения на 12, а затем решить полученное

уравнение

Для нахождения рациональных корней выполните следующие действия.

1. Записывается множество всех возможных дробей, числителями которых являются делители свободного члена, а знаменателями являются делители старшего коэффициента.

2. Из этих чисел выбирается число (обращающее значение многочлена в нуль), которое является корнем многочлена, т. е. определяется двучлен на который многочлен делится без остатка.

3. Для данного многочлена при помощи синтетического деления на двучлен определяется другой множитель.

4. Если другой множитель является квадратным трехчленом или его можно разложить при помощи формул сокращенного умножения, находятся другие корни. Иначе все линейные множители находятся синтетическим делением.

5. Возможно, что ни одно число из списка не будет нулем многочлена. В этом случае многочлен не имеет рациональных корней. Например, рациональными корнями многочлена могут являться числа ±1.

Проверим: Значит, многочлен не имеет рациональных корней.

Основная теорема алгебры

Покажем на примере, что многочлен ой степени имеет корней.

Пример №19

Найдите все корни многочлена

Решение: рациональными корнями данного многочлена (если они существуют), согласно правилу, могут являться числа ±1, ±5. Проверим:

Значит, является корнем данного многочлена Другие корни найдем синтетическим делением.

В выражении для множителя вновь применим теорему о рациональных корнях и синтетическое деление. Тогда Решим уравнение

( корень кратности 2);

Корни:

Во всех рассмотренных нами примерах уравнение ой степени всегда имеет корней, включая кратные корни (действительных или комплексных).

Теорема. Любой многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один корень на множестве комплексных чисел.

Если является многочленом ненулевой степени с комплексными коэффициентами, то согласно основной теореме алгебры, у него есть хотя бы один корень По теореме о разложении многочлена на множители получим При этом многочлен имеет степень Если то если то согласно той же теореме, многочлен имеет хотя бы один корень. Обозначим его через тогда справедливо разложение где — многочлен степени Значит, можно записать Аналогично, если то при на основании той же теоремы, многочлен имеет хотя бы один корень. Обозначим его через получим т. е. можно записать

Продолжая процесс раз, получаем Тогда для многочлена можно записать следующее разложение:

здесь числа являются нулями многочлена Эти нули могут и не быть различными.

Следствие. Многочлен ой степени на множестве комплексных чисел имеет ровно корней, включая кратные корни.

Отметим, что если комплексное число является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число гак же является корнем данного многочлена.

Любой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде произведения двучленов вида соответствующих действительным корням, и трехчленов вида соответствующих сопряженным комплексным корням.

Отсюда можно сделать вывод, что многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами всегда имеет действительные корни.

Пример №20

Запишите в виде произведения множителей многочлен наименьшей степени, если коэффициент при старшем члене равен 2, а корни равны 3 и

Решение: так как число является корнем многочлена, то сопряженное комплексное число также является корнем этого многочлена. Тогда искомый многочлен можно записать в виде

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №21

При движении скоростной карусели в Лунапарке изменение высоты (в метрах) кабины от нулевого уровня за первые 5 секунд можно смоделировать функцией В какие моменты в течении 5 секунд после начала движения кабина карусели находилась на нулевом уровне?

Решение: во всех случаях, кроме значений равных нулю, кабина карусели находится либо ниже, либо выше нулевого уровня. Значит, мы должны найти корни заданного многочлена. Применим правило нахождения рациональных корней.

1. Проверим, является ли число корнем.

2. Число является корнем, значит одним из множителей данного многочлена является Другие корни найдем при помощи синтетического деления.

Учитывая, что запишем многочлен в виде т. е. являются корнями уравнения. Значения принадлежат временному интервалу в 5 секунд, и в этих моментах кабина карусели находилась на нулевом уровне. То, что корни найдены верно показывает график многочлена, построенный при помощи графкалькулягора.

Функция-многочлен

График функции-многочлен

В стандартном виде функция — многочлен записывается как В частном случае, при получаем линейную функцию (график — прямая линия), при получаем квадратичную функцию (график- парабола). Любой многочлен определен на множестве действительных чисел и его графиком является непрерывная (сплошная) линия.

При возрастании значений аргумента по абсолютному значению многочлен ведет себя как функция старшего члена Ниже показаны примеры графиков функции — многочлен и их свойства.

Пример №22

Определите характер поведения функции — многочлен в зависимости от степени и коэффициента при старшем члене при возрастании аргумента по абсолютному значению.

a) б)

Решение: а) степень многочлена нечетная (равна 3). Коэффициент старшего члена равен По таблице видно, что в данном случае при а при

b) степень многочлена четная (равна 4). Коэффициент старшего члена равен 1. В данном случае при при

Пример №23

По графику определите как ведет себя функция — многочлен при неограниченном возрастании аргументов но абсолютному значению, четность или нечетность степени многочлена, знак коэффициента старшего члена.

Решение:

при

при

Многочлен нечетной степени

Решение:

при

при

Многочлен четной степени

Отметим, что если нечетно, то функция — многочлен имеет хотя бы один действительный нуль, если четно, то их вообще может и не быть.

Алгоритм построения эскиза графика функции — многочлен.

1. Находятся точки пересечения графика с осями координат (если они есть). Эти точки отмечаются на координатной плоскости.

2. Вычисляются значения функции в некоторых точках между действительными нулями. Соответствующие точки отмечаются на координатной плоскости.

3. Определяется поведение графика при больших значениях аргумента по абсолютному значению.

4. На основе полученных данных строят схематически график.

Пример №24

Постройте график функции

Решение:

1. Применим теорему о рациональных корнях. Разложим многочлен на множители и найдем нули функции.

По теореме возможные рациональные нули надо искать среди чисел, которые являются делителями числа

Проверим

Значит, двучлен является одним из множителей. Остальные множители найдем синтетическим делением.

Зная, что запишем все линейные множители многочлена:

Отсюда находим нули Т. е. график пересекает ось абсцисс в точках и Так как то точка является точкой пересечения с осью Отметим эти точки на координатной плоскости.

2. Найдем еще несколько значений функции в точках, не требующих сложных вычислений. Например, в точках и

Отметим точки

3. Определим, как меняется график при уменьшении или увеличении значений Степень при старшем члене равна 3, а коэффициент положителен, функция нечетная. Значит, при при

4. Соединим отмеченные точки и получим схематический график функции

Рациональная функция

Рациональной функцией называется функция, которою можно представить в виде отношения двух многочленов:

Самым простым примером рациональной функции является функция

График функции называется гиперболой.

При стремлении значений к нулю точки гиперболы стремятся к оси ординат, т е. к прямой при неограниченном увеличении но абсолютному значению точки гиперболы неограниченно приближаются к оси абсцисс, т. е. к прямой Прямая называется вертикальной асимптотой, а прямая называется горизонтальной асимптотой гиперболы При параллельном переносе гиперболы на вектор получается график функции . В этом случае начало координат преобразуется в точку и вертикальной асимптотой становится прямая а горизонтальной- прямая

Пример №25

Постройте график функции

Решение: точки пересечения с осью найдем из уравнения

При получим и график пересекает ось в точке Разделим почленно числитель функции на знаменатель и запишем ее в виде Прямая является вертикальной асимптотой, а прямая — горизонтальной асимптотой. Зададим таблицу значений для нескольких точек справа и слева от вертикальной асимптоты

Отметим на координатной плоскости точки, соответствующие парам значений из таблицы и, учитывая горизонтальную и вертикальную асимптоту, изобразим ветви гиперболы, которые пересекают координатные оси в точках и

В общем случае, для построения графика рациональной функции надо найти точки пересечения с осями координат (если они есть) и ее асимптоты. Если выражение, которое задает рациональную функцию, имеет вид дроби, знаменатель которой обращается в нуль в точке а числитель отличен от нуля, то данная функция имеет вертикальную асимптоту. Горизонтальные асимптоты для рациональной функции определяются в соответствии со степенью и данных многочленов и

Для т. е. если степень многочлена в числителе на 1 единицу больше степени многочлена в знаменателе, частное, полученное при делении, имеет вид и является линейной функцией. При возрастании по абсолютному значению график функции приближается к данной прямой. В этом случае говорят, что прямая является наклонной асимптотой.

Пример №26

Найдите асимптоты и схематично изобразите график функции

Решение: Точки пересечения с осью найдем из уравнения При получим и график пересекает ось в точке При знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Значит, прямая является вертикальной асимптотой. Горизонтальной асимптоты у данной функции нет Разделив числитель на знаменатель, запишем функцию в виде:

Для больших, но модулю, значений дробь по абсолютному значению уменьшается и график заданной функции бесконечно приближается к прямой т. е. прямая является наклонной асимптотой данной функции. Составим таблицу значений для некоторых точек слева и справа от вертикальной оси.

Отметим точки, координаты которых соответствуют парам из таблицы. Учитывая вертикальную и наклонную асимптоту, схематично изобразим график функции.

Многочлены в линейной алгебре

Многочленом от переменной х степени n называется выражение вида:

, где — действительные или комплексные числа, называемые коэффициентами, n — натуральное число, х — переменная величина, принимающая произвольные числовые значения.

Если коэффициент примногочлена отличен от нуля, а коэффициенты при более высоких степенях равны нулю, то число n называется степенью многочлена, — старшим коэффициентом, а — старшим членом многочлена. Коэффициент называется свободным членом. Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то многочлен называется нулевым и обозначается 0. Степень нулевого многочлена не определена.

Два многочлена называются равными, если они имеют одинаковую степень и коэффициенты при одинаковых степенях равны.

Суммой многочленов и называется многочлен

Произведением многочленов и называется многочлен:

Легко проверить, что сложение и умножение многочленов ассоциативно, коммутативно и связаны между собой законом дистрибутивности.

Многочлен называется делителем многочлена , если существует многочлен такой, что

Теорема о делении с остатком

Для любых многочленов существуют многочлены такие, что причем степень меньше степени g(x) или. Многочлены g(x) и r(x) определены однозначно.

Многочлены g(x) и r(x) называются соответственно частным и остатком. Если g(x) делит , то остаток .

Число с называется корнем многочлена , если .

Теорема Безу

Число с является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на x — с.

Пусть с — корень многочлена , т.е.. Разделим на

где степень r(х) меньше степени (x-с) которая равна 1. Значит, степень г(х) равна 0, т.е. r(х) = const. Значит, . Так как , то из последнего равенства следует, что r=0, т.е.

Обратно, пусть (х-с) делит , т.е. . Тогда

Следствие. Остаток от деления многочлена на (x-с) равен .

Многочлены первой степени называются линейными многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена равносильно разысканию его линейных делителей со старшим коэффициентом 1.

Многочлен можно разделить на линейный многочлен х-с с помощью алгоритма деления с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием схемы Горнера.

Пусть и пусть где Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной с левой и правой частях последнего равенства, имеем:

Число с-называется корнем кратности к многочлена , если делит , но уже не делит .

Чтобы поверить, будет ли число с корнем многочлена и какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала делится на х-с, затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится на х-с, и т.д. до получения не нулевого остатка.

Число различных корней многочлена не превосходит его степени.

Большое значение имеет следующая основная теорема.

Основная теорема. Всякий многочлен с числовыми коэффициентами ненулевой степени имеет хотя бы один корень (может быть комплексный).

Следствие. Всякий многочлен степени имеет в С (множестве комплексный чисел) столько корней, какова его степень, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

где — корни , т.е. во множестве С всякий многочлен разлагается в произведение линейных множителей. Если одинаковые множители собрать вместе, то: где уже различные корни , — кратность корня

Если многочлен , с действительными коэффициентами имеет корень с, то число с также корень

Значит, у многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни входят парами.

Следствие. Многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет нечетное число действительных корней.

Пусть корни Тогда делится на х-с и , но так как у и х-с, нет общих делителей, то делится на произведение

Утверждение 2. Многочлен с действительными коэффициентами степени всегда разлагается на множестве действительных чисел в произведение линейных многочленов, отвечающих его вещественным корням, и многочленов 2-ой степени, отвечающих паре сопряженных комплексных корней.

При вычислении интегралов от рациональных функций нам понадобится представление рациональной дроби в виде суммы простейших.

Рациональной дробью называется дробь где многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде некоторые многочлены, а правильная рациональная дробь.

Лемма 1, Если правильная рациональная дробь, а число является вещественным корнем кратности многочлена , т.е., то существует вещественное число A и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь является правильной.

При этом несложно показать, что полученное выражение является рациональной дробью с вещественными коэффициентами.

Лемма 2. Если правильная рациональная дробь, а числоявляется корнем кратности многочлена g(x), т.е. и если , то существуют вещественные числа M и N многочлен с вещественными коэффициентами, такие, где дробь , также является правильной.

Рациональные дроби вида — трехчлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называются простейшими (или элементарными) дробями.

Всякая правильная рациональная дробь представима единственным образом в виде суммы простейших дробей.

При практическом получении такого разложения оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов.

Он состоит в следующем:

При этом если степень многочлена равна n, то в числителе после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени n-1, т.е. многочлен коэффициентами.

Число неизвестных ‘ также равняется n:

Таким образом, получается система n уравнений с n неизвестными. Существование решения у этой системы следует из приведенной выше теоремы.

Теорема Безу и следствия из неё

19 июля 2022

Теорема Безу позволяет решать уравнения высших степеней, которые на первый взгляд не решаются, и раскладывать на множители многочлены, которые не раскладываются.:)

Формулировка теоремы довольно проста:

Терема Безу. Остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

на двучлен $x- color{red}{a}$ равен значению этого многочлена в точке $x= color{red}{a}$:

[r=Pleft( color{red}{a} right)]

На практике нас интересует не сама теорема Безу, а некоторые следствия из неё — именно они помогают решать уравнения и раскладывать многочлены на множители. В этом уроке мы рассмотрим все такие следствия и станем настоящими мастерами в работе с многочленами.

Содержание

1. Деление с остатком
2. Разложение на множители
3. Целые корни многочленов
4. Рациональные корни многочленов
5. Доказательства

В разных учебниках теорему Безу проходят то в 9-м классе, то в 10-м. Этот урок построен так, что вы поймёте его вне зависимости от школы, класса и учебника.

1. Деление с остатком

Итак, есть многочлен $Pleft( x right)$ и двучлен $x- color{red}{a}$. Разделим $Pleft( x right)$ на $x- color{red}{a}$ с остатком:

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x- color{red}{a} right)+r]

Теперь найдём значение многочлена $Pleft( x right)$ в точке $x= color{red}{a}$:

[Pleft( color{red}{a} right)=Qleft( color{red}{a} right)cdot left( color{red}{a}- color{red}{a} right)+r=r]

Собственно, мы только что доказали теорему Безу. А заодно подготовили основу для первого важного следствия.

Следствие 1. Деление на произвольный двучлен

Теорема Безу прекрасно работает не только для двучлена $x-color{red}{a}$, но и для любого линейного выражения вида $color{blue}{k}x+color{red}{b}$.

Следствие 1. Остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

на двучлен $color{blue}{k}x+color{red}{b}$ равен значению этого многочлена в точке $x=-color{red}{b}/ color{blue}{k};$:

[r=Pleft( -frac{color{red}{b}}{color{blue}{k}} right)]

На практике для большей надёжности рекомендуется приравнять двучлен $color{blue}{k}x+color{red}{b}$ к нулю:

[begin{align} color{blue}{k}x+color{red}{b} &=0 \ x &=-frac{color{red}{b}}{color{blue}{k}} \ end{align}]

Затем подставить найденное значение $x=-{color{red}{b}}/{color{blue}{k}};$ в многочлен $Pleft( x right)$ и таким образом найти $Pleft( -{color{red}{b}}/{color{blue}{k}}; right)$:

[r=Pleft( -frac{color{red}{b}}{color{blue}{k}} right)]

Пример 1. Стандартный многочлен

Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)=4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5x-6]

на двучлен $Tleft( x right)=x-2$.

Решение. Это стандартный двучлен вида $x-color{red}{a}$, поэтому решаем по стандартной теореме Безу, согласно которой остаток от деления многочлена $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{2}$ равен $Pleft( color{red}{2} right)$:

[begin{align}r &=Pleft( color{red}{2} right)= \ &=4cdot {color{red}{2}^{3}}-3cdot {color{red}{2}^{2}}+5cdotcolor{red}{2}-6 \ &=32-12+10-6=24 end{align}]

Ответ: 24.

Пример 2. Более сложный многочлен

Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)={{left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+5 right)}^{3}}{{left( 2x+1 right)}^{5}}]

на двучлен $Tleft( x right)=x+1$.

Решение. Многочлен $Pleft( x right)$ представлен в виде произведения двух других многочленов, которые ещё и возведены в степени. Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, получится обычный многочлен вида

[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

По свойствам степеней найдём степень такого многочлена:

[deg Pleft( x right)=3cdot 3+1cdot 5=14]

Раскрывать скобки и приводить подобные в многочлене 14-й степени долго и трудно, а главное — в этом нет никакой необходимости. Ведь по теореме Безу остаток от деления $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{a}$ всегда равен $Pleft( color{red}{a} right)$ — и не важно, как записан исходный многочлен $Pleft( x right)$.

Для надёжности, чтобы найти $color{red}{a}$, приравняем к нулю двучлен $Tleft( x right)=x+1$:

[begin{align}x+1 &=0 \ x &=color{red}{-1} \ end{align}]

Теперь подставим $x=color{red}{-1}$ в многочлен $Pleft( x right)$ и найдём остаток:

[begin{align}r &=Pleft( color{red}{-1} right)= \ &={{left( {{left( color{red}{-1} right)}^{3}}-2cdot {{left( color{red}{-1} right)}^{2}}+5 right)}^{3}}cdot {{left( 2cdot left( color{red}{-1} right)+1 right)}^{5}}= \ &={{left( -1-2+5 right)}^{3}}cdot {{left( -2+1 right)}^{5}}=-8 end{align}]

Ответ: −8.

Пример 3. Рациональные коэффициенты

Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)=3{{x}^{20}}+{{x}^{19}}-7x+1]

на двучлен $Tleft( x right)=3x+1$.

Решение. Воспользуемся Следствием 1 из теоремы Безу. Для надёжности приравняем к нулю двучлен $Tleft( x right)$ и найдём $color{red}{a}$:

[begin{align}3x+1 &=0 \ x &=color{red}{-{1}/{3};} end{align}]

Подставим найденное $x=color{red}{-{1}/{3};}$ в многочлен $Pleft( x right)$ и найдём остаток:

[begin{align} Pleft( color{red}{-frac{1}{3}} right) &=3cdot {{left( color{red}{-frac{1}{3}} right)}^{20}}+{{left( color{red}{-frac{1}{3}} right)}^{19}}-7cdot left( color{red}{-frac{1}{3}} right)+1= \ &=frac{1}{{{3}^{19}}}-frac{1}{{{3}^{19}}}+frac{7}{3}+1=frac{10}{3} end{align}]

Ответ: ${10}/{3};$.

Пример 4. Иррациональные коэффициенты

Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)={{x}^{6}}-12{{x}^{4}}+48{{x}^{2}}+64]

на двучлен $Tleft( x right)=left( 1-sqrt{3} right)x+2$.

Решение. Вновь воспользуемся Следствием 1 из теоремы Безу. Приравняем двучлен $Tleft( x right)$ к нулю и найдём $color{red}{a}$:

[left( 1-sqrt{3} right)x+2=0]

Это линейное уравнение с иррациональными коэффициентами. Такое уравнение решается стандартно (см. урок «Линейные уравнения»):

[x=-frac{2}{1-sqrt{3}}=frac{2}{sqrt{3}-1}]

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряжённое:

[x=frac{2color{blue}{left( sqrt{3}+1 right)}}{left( sqrt{3}-1 right) color{blue}{left( sqrt{3}+1 right)}}=frac{2left( sqrt{3}+1 right)}{2}= color{red}{sqrt{3}+1}]

Степень исходного многочлена: $deg Pleft( x right)=6$. Если подставить в такой многочлен иррациональное число, то это число придётся возводить в шестую степень. Это слишком долго и трудно, поэтому перепишем многочлен $Pleft( x right)$ так:

[begin{align} Pleft( x right) &=left( {{x}^{6}}-12{{x}^{4}}+48{{x}^{2}}-64 right)+128= \ &={{left( {{x}^{2}}-4 right)}^{3}}+128 end{align}]

Мы выделили точный куб разности — классическую формулу сокращённого умножения. Как это работает — см. уроки «Формулы сокращённого умножения» и «Куб суммы и разности».

В такую формулу намного проще подставить $x=color{red}{sqrt{3}+1}$:

[begin{align}Pleft( color{red}{sqrt{3}+1} right) &={{left( {{left( color{red}{sqrt{3}+1} right)}^{2}}-4 right)}^{3}}+128= \ &={{left( {{left( sqrt{3} right)}^{2}}+2sqrt{3}+{{1}^{2}}-4 right)}^{3}}+128= \ &={{left( 2sqrt{3} right)}^{3}}+128= \ &=24sqrt{3}+128 end{align}]

Ответ получился некрасивым, но это и есть искомый остаток от деления.

Ответ: $24sqrt{3}+128$.

2. Разложение на множители

Сейчас будет немного теории, которая может показаться непонятной, но далее на примерах всё встанет на свои места.

Рассмотрим ещё раз деление многочлена $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{a}$ с остатком:

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)+r]

По теореме Безу мы легко найдём остаток $r=Pleft( color{red}{a} right)$. В частности, при $Pleft( color{red}{a} right)=0$ многочлен примет вид

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)]

А это значит, что многочлен $Pleft( x right)$ разделился на двучлен $x-color{red}{a}$ без остатка, и мы получили разложение на множители.

Кроме того, равенство $Pleft( color{red}{a} right)=0$ означает, что число $x=color{red}{a}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$. И это ещё одно замечательное следствие теоремы Безу.

Следствие 2. Корни многочлена и деление

Следствие 2. Число $x=color{red}{a}$ является корнем многочлена $Pleft( x right)$ тогда и только тогда, когда $Pleft( x right)$ делится без остатка на $left( x-color{red}{a} right)$.

На практике это означает, что для разложения многочлена на множители мы просто перебираем разные числа $x=color{red}{a}$ до тех пор, пока не окажется, что $Pleft( color{red}{a} right)=0$. В этот момент многочлен перепишется в виде

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)]

Такой перебор особенно эффективен в сочетании со схемой Горнера (см. урок «Схема Горнера»). Потому что параллельно с вычислением $Pleft( color{red}{a} right)$ мы получаем ещё и коэффициенты нового многочлена $Qleft( x right)$.

Пример 10. Обычный многочлен

Разложите на множители многочлен

[Pleft( x right)={{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-11x-6]

Решение. Для наглядности отметим синим цветом коэффициенты многочлена $Pleft( x right)$:

[Pleft( x right)= color{blue}{1}cdot {{x}^{4}}+color{blue}{3}cdot {{x}^{3}}+left( color{blue}{-3} right)cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{-11} right)cdot x+left( color{blue}{-6} right)]

Составим из них таблицу для схемы Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r} {} & color{blue}{1} & color{blue}{3} & color{blue}{-3} & color{blue}{-11} & color{blue}{-6}\ hline{} & {} & {} & {} & {} & {}\ end{array}]

Все коэффициенты целые, поэтому логично проверять целые $x=color{red}{a}$, начиная с самых простых и маленьких чисел:

[x=pm 1; pm 2; pm 3; ldots ]

Проверим $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-1}$:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{3} & color{blue}{-3} & color{blue}{-11} & color{blue}{-6}\ hline color{red}{1} & 1 & 4 & 1 & -10 & color{red}{-16}\ hline color{red}{-1} & 1 & 2 & -5 & -6 & color{green}{0}\ end{array}]

Проверка числа $x=color{red}{1}$ окончилась неудачей: остаток $r=color{red}{-16}$. Зато проверка $x=color{red}{-1}$ дала остаток $r=color{green}{0}$. Следовательно, $x=color{red}{-1}$ является корнем многочлена $Pleft( x right)$, и сам многочлен можно переписать так:

[begin{align}Pleft( x right) &=Qleft( x right)cdot left( x-left( color{red}{-1} right) right) \ &=left( {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-5x-6 right)left( x+1 right) end{align}]

Теперь разложим многочлен $Qleft( x right)$ по схеме Горнера. Проверим ещё раз число $x=color{red}{-1}$:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r}{} & 1 & 3 & -3 & -11 & -6\ hline color{red}{-1} & color{blue}{1} & color{blue}{2} & color{blue}{-5} & color{blue}{-6} & color{green}{0}\ hline color{red}{-1} & 1 & 1 & -6 & color{green}{0} & {}\ end{array}]

И вновь получили $r=color{green}{0}$. Исходный многочлен примет вид

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}+x-6 right){{left( x-1 right)}^{2}}]

В первой скобке стоит квадратный трёхчлен. Разложим его на множители по теореме Виета:

[{{x}^{2}}+x-6=left( x+3 right)left( x-2 right)]

Итого окончательное разложение многочлена $Pleft( x right)$:

[left( x+3 right)left( x-2 right){{left( x-1 right)}^{2}}]

Однако это было довольно простое задание: теорема Безу использовалась лишь в качестве обоснования, почему вместо $Pleft( x right)$ мы пишем $Qleft( x right)left( x-color{red}{a} right)$.

Следующее задание будет намного интереснее.:)

Пример 11. Многочлен с двумя переменными

Разложите на множители многочлен

[Pleft( x,y right)=y{{x}^{2}}+3yx+x-4y-1]

Решение. Это многочлен от двух переменных. Он квадратный относительно переменной $x$ и линейный относительно $y$. Чтобы разложить такой многочлен на множители, сгруппируем его слагаемые относительно переменной $x$:

[Pleft( x,y right)= color{blue}{y}cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{3y+1} right)cdot x+left( color{blue}{-4y-1} right)]

Составляем таблицу:

[begin{array}{c|c|c|c}{} & color{blue}{y} & color{blue}{3y+1} & color{blue}{-4y-1}\ hline {} & {} & {} & {}\ end{array}]

Чтобы воспользоваться теоремой Безу, нужно найти такое $x=color{red}{a}$, чтобы $r=Pleft( color{red}{a} right)= color{green}{0}$. Поскольку в роли коэффициентов выступают выражения, содержащие переменную $y$, вновь рассмотрим самые простые варианты, которые приходят в голову:

[x=pm 1; pm y]

Проверим, например, $x=color{red}{1}$:

[begin{array}{c|c|c|c}{} & color{blue}{y} & color{blue}{3y+1} & color{blue}{-4y-1}\ hline color{red}{1} & y & 4y+1 & color{green}{0}\ end{array}]

Первая же попытка привела к успеху: $r=color{green}{0}$, поэтому $x=color{red}{1}$ — крень многочлена $Pleft( x,y right)$. Разложим этот многочлен на множители согласно Следствию 2 теоремы Безу:

[Pleft( x,y right)=left( ycdot x+4y+1 right)cdot left( x-color{red}{1} right)]

В первой скобке стоит новый многочлен, линейный по $x$ и по $y$. Его уже нельзя разложить на множители, поэтому ответ окончательный:

[Pleft( x,y right)=left( xy+4y+1 right)left( x-1 right)]

Важное замечание. Строго говоря, линейность многочлена по каждой переменной ещё не означает, что его нельзя разложить на множители. Простой контрпример:

[xy-x+y-1=left( x+1 right)left( y-1 right)]

Однако в нашем случае дальнейшее применение теоремы Безу и проверки по схеме Горнера не даст никаких новых множителей.

3. Целые корни многочленов

До сих пор мы подставляли числа наугад. И если удавалось найти число $x=color{red}{a}$ такое, что $Pleft( color{red}{a} right)=0$, мы объявляли его корнем, а многочлен $Pleft( x right)$ переписывали в виде

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)]

Однако с помощью теоремы Безу можно значительно ускорить отыскание корней, отбросив заведомо неподходящие варианты. В этом нам поможет следующее утверждение.

Следствие 3. Целочисленные корни

Пусть $Pleft( x right)$ — приведённый многочлен с целыми коэффициентами:

[Pleft( x right)={{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

Тогда свободный член ${{a}_{0}}$ делится на любой целый корень многочлена $Pleft( x right)$.

Обратите внимание: старший коэффициент при ${{x}^{n}}$ равен единице. Именно поэтому многочлен $Pleft( x right)$ называется приведённым. Кроме того, все коэффициенты ${{a}_{n-1}},ldots ,{{a}_{0}}$ должны быть целыми числами.

И вот тогда целые корни следует искать среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}$.

Пример 5. Простое уравнение

Решите уравнение

[{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2=0]

Решение. Это приведённое кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Рассмотрим многочлен

[Pleft( x right)= color{blue}{1}cdot {{x}^{3}}+left( color{blue}{-2} right)cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{-1} right)cdot x+color{blue}{2}]

Если у него есть целые корни, то по Следствию 3 теоремы Безу все они находятся среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}=2$. Таких делителей всего четыре:

[x=pm 1; pm 2]

Подставим эти числа в схему Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{-2} & color{blue}{-1} & color{blue}{2}\ hline color{red}{1} & 1 & -1 & -2 & color{green}{0}\ hline color{red}{-1} & 1 & -2 & color{green}{0} & {}\ end{array}]

Уже на первом шаге мы получили $r=color{green}{0}$. Следовательно, $x=color{red}{1}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$, и сам многочлен можно переписать так:

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}-x-2 right)left( x-color{red}{1} right)]

Впрочем, если учесть третью строку таблицы, то можно вообще записать

[Pleft( x right)=left( x-2 right)left( x-left( color{red}{-1} right) right)left( x-color{red}{1} right)]

В любом случае, корни многочлена, как и корни уравнения — это числа 2, 1 и −1.

Ответ: $x=1$, $x=-1$, $x=2$.

Формула понижения степени

Итак, с помощью теоремы Безу мы можем:

1. Найти целый корень многочлена;
2. Разложить исходный многочлен на множители;
3. Далее искать корни многочлена степени на единицу меньше.

В самом деле, если $Pleft( color{red}{a} right)=0$, тогда по Следствию 2 теоремы Безу мы переписываем многочлен $Pleft( x right)$ в виде

[Pleft( x right)=Qleft( x right)left( x-color{red}{a} right)]

Далее мы ищем корни многочлена $Qleft( x right)$, степень которого на единицу меньше $Pleft( x right)$.

Этот приём называется понижением степени. Он помогает свести исходный многочлен к квадратному, корни которого легко считаются, например, через дискриминант.

Пример 6. Среднее уравнение

Решите уравнение

[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12=0]

Решение. Это уравнение третьей степени. Достаточно найти один корень — далее останется решить квадратное уравнение. Заметим, что многочлен

[Pleft( x right)= color{blue}{1}cdot {{x}^{3}}+left( color{blue}{-3} right)cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{-4} right)cdot x+color{blue}{12}]

является приведённым с целочисленными коэффициентами. По Следствию 3 теоремы Безу все целые корни этого многочлена содержатся среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}=12$. Таких делителей довольно много:

[x=pm 1; pm 2; pm 3; pm 4; pm 6; pm 12]

Впрочем, нам достаточно найти всего один корень. Воспользуемся схемой Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{-3} & color{blue}{-4} & color{blue}{12}\ hlinecolor{red}{1} & 1 & -2 & -7 & color{red}{5}\ hlinecolor{red}{-1} & 1 & -4 & 0 & color{red}{12}\ hlinecolor{red}{2} & 1 & -1 & -6 & color{green}{0}\ end{array}]

Проверка закончилась неудачей для $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-1}$. Но для $x=color{red}{2}$ мы нашли то, что искали: остаток $r=color{green}{0}$. Следовательно, $x=color{red}{2}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$.

Разложим многочлен на множители согласно теореме Безу:

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}-x-6 right)left( x-color{red}{2} right)]

В первой скобке стоит квадратный трёхчлен. Его корни легко найти по теореме Виета:

[Pleft( x right)=left( x-3 right)left( x+2 right)left( x-2 right)]

Приравниваем полученное произведение к нулю и решаем уравнение: $x=3$, $x=-2$, $x=2$.

Ответ: $x=2$, $x=-2$, $x=3$.

Пример 7. Сложное уравнение

Решите уравнение

[{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+3x+2=0]

Решение. Слева приведённый многочлен с целочисленными коэффициентами, поэтому все целые корни находятся среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}=2$:

[x=pm 1; pm 2]

Достаточно подобрать два корня — далее уравнение сведётся к квадратному. Воспользуемся схемой Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{-1} & color{blue}{-5} & color{blue}{3} & color{blue}{2}\ hlinecolor{red}{-1} & 1 & -2 & -3 & 6 & color{red}{-4}\ hlinecolor{red}{1} & 1 & 0 & -5 & -2 & color{green}{0}\ hlinecolor{red}{-2} & 1 & -2 & -1 & color{green}{0} & {}\ end{array}]

Получили корни $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-2}$. Разложим многочлен на множители:

[left( {{x}^{2}}-2x-1 right)left( x-color{red}{1} right)left( x-left( color{red}{-2} right) right)=0]

Решим квадратного уравнение из первой скобки:

[{{x}^{2}}-2x-1=0]

Дискриминант положителен:

[begin{align} D &={{left( -2 right)}^{2}}-4cdot 1cdot left( -1 right)= \ &=4+4=8 end{align}]

Следовательно, уравнение имеет два корня:

[x=frac{2pm 2sqrt{2}}{2}=1pm sqrt{2}]

Ответ: $x=1$, $x=-2$, $x=1pm sqrt{2}$.

4. Рациональные корни

До сих пор мы работали лишь с приведёнными многочленами, где старший коэффициент равен единице. Однако теорема Безу прекрасно работает и для неприведённых многочленов — при условии что все коэффициенты остаются целыми.

Рассмотрим уравнение

[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]

где ${{a}_{n}},ldots ,{{a}_{0}}$ — целые числа, причём ${{a}_{n}}ne 0$.

Следствие 4. Если рациональное число $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$, где $color{red}{p}in mathbb{Z}$, $color{blue}{q}in mathbb{N}$ и дробь $color{red}{p}/color{blue}{q};$ несократима, является корнем уравнения

[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]

то свободный член ${{a}_{0}}$ делится на $color{red}{p}$, а старший коэффициент ${{a}_{n}}$ делится на $color{blue}{q}$.

Это утверждение будет доказано в конце урока. Сейчас важен практический смысл, который состоит в том, что все рациональные корни уравнения

[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]

имеют вид $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$, где $color{red}{p}$ следует искать среди делителей ${{a}_{0}}$, а $color{blue}{q}$ — среди положительных делителей ${{a}_{n}}$.

Пример 8. Простой многочлен

Найдите рациональные корни многочлена

[Pleft( x right)=2{{x}^{5}}-{{x}^{4}}+4x-2]

Решение. Делители свободного члена ${{a}_{0}}=-2$:

[p=pm 1; pm 2]

Положительные делители старшего коэффициента ${{a}_{4}}=2$:

[q=1; 2]

Возможные рациональные корни многочлена $Pleft( x right)$ по Следствию 4 теоремы Безу:

[x=pm 1; pm 2; pm {1}/{2};]

Проверять числа $x=color{red}{pm 1}$ нет смысла, поскольку все коэффициенты многочлена $Pleft( x right)$, за исключением одного, чётные. Следовательно, при подстановке нечётных чисел многочлен принимает нечётные значения, которые точно не равны нулю.

Остальные числа проверим по схеме Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}{} & color{blue}{2} & color{blue}{-1} & color{blue}{0} & color{blue}{0} & color{blue}{4} & color{blue}{-2}\ hlinecolor{red}{2} & 2 & 3 & 6 & 12 & 28 & color{red}{54}\ hlinecolor{red}{-2} & 2 & -5 & 10 & -20 & 44 & color{red}{-90}\ hline color{red}{{1}/{2};} & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & color{green}{0}\ hline color{red}{-{1}/{2};} & 2 & -2 & 1 & -{1}/{2}; & {17}/{4}; & color{red}{-{33}/{8};}\ end{array}]

Подошло лишь одно число: $x=color{red}{{1}/{2};}$. Следовательно, многочлен имеет лишь один рациональный корень.

Ответ: $x={1}/{2};$.

Обратите внимание: проверку дробных чисел можно прекращать, как только в строке таблицы появилась дробь. Потому что дальше это число будет лишь умножаться на новые дроби и складываться с другими целыми числами. При таких обстоятельствах получить $r=color{green}{0}$ уже невозможно.

Пример 9. Сложный многочлен

Найдите рациональные корни многочлена

[Pleft( x right)=3{{x}^{7}}+2{{x}^{6}}-5{{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-7x+5]

Решение. Это многочлен с целыми коэффициентами. Делители свободного члена ${{a}_{0}}=5$:

[p=pm 1; pm 5]

Положительные делители старшего коэффициента ${{a}_{7}}=3$:

[q=1; 3]

Кандидаты в корни согласно Следствию 4 теоремы Безу:

[x=pm 1; pm 5; pm {1}/{3};; pm {1}/{5};]

Всего восемь кандидатов. Проверим их все по схеме Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r|c|c|c|c}{} & color{blue}{3} & color{blue}{2} & color{blue}{-5} & color{blue}{0} & color{blue}{3} & color{blue}{-1} & color{blue}{-7} & color{blue}{5}\ hlinecolor{red}{1} & 3 & 5 & 0 & 0 & 3 & 2 & -5 & color{green}{0}\ hlinecolor{red}{-1} & 3 & 2 & -2 & 2 & 1 & 1 & color{red}{-6} & {}\ hlinecolor{red}{5} & 3 & 20 & 100 & color{red}{500} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{-5} & 3 & -10 & 50 & color{red}{-250} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{{1}/{3};} & 3 & 6 & 2 & color{red}{{2}/{3};} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{-{1}/{3};} & 3 & 4 & color{red}{-{4}/{3};} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{{5}/{3};} & 3 & 10 & color{red}{{50}/{3};} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{-{5}/{3};} & 3 & 0 & 0 & 0 & 3 & -3 & color{green}{0} & {}\ end{array}]

Обратите внимание: для чисел $x=color{red}{5}$ и $x=color{red}{-5}$ мы прекратили вычисления досрочно, поскольку получили явно неадекватные числа, которые дальше будут только расти.

При проверке $x=color{red}{{1}/{3};}$, $x=color{red}{-{1}/{3};}$ и $x=color{red}{{5}/{3};}$ мы в какой-то момент возникли дроби, после чего дальнейшие вычисления теряют смысл.

Итого найдены два рациональных корня: $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-{5}/{3};}$. Пожалуй, это одно из самых утомительных заданий на применение теоремы Безу, которые я когда-либо решал.:)

5. Доказательства

Рассмотрим доказательства всех ключевых утверждений сегодняшнего урока.

5.1. Теорема Безу

Мы сформулировали эту теорему в самом начале урока:

Терема Безу. Остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

на двучлен $x-color{red}{a}$ равен значению этого многочлена в точке $x=color{red}{a}$:

[r=Pleft( color{red}{a} right)]

Доказательство. Разделим многочлен $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{a}$ с остатком:

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)+r]

Такое представление всегда однозначно (см. урок «Деление многочленов с остатком»). Здесь многочлен $Qleft( x right)$ — неполное частное, $r$ — остаток, причём

[begin{align}deg r lt deg left( x-color{red}{a} right) &=1 \ deg r &=0 \ end{align}]

Другими словами, остаток $r$ — это просто число.

Теперь найдём значение $Pleft( x right)$ в точке $x=color{red}{a}$:

[Pleft( color{red}{a} right)=Qleft( color{red}{a} right)cdot left( color{red}{a}-color{red}{a} right)+r=r]

Теорема Безу доказана. Однако её доказательство опирается на единственность деления с остатком.

5.2. Целочисленные корни

Целочисленные корни приведённого многочлена с целыми коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена.

Следствие 3. Пусть $Pleft( x right)$ — приведённый многочлен с целыми коэффициентами:

[Pleft( x right)={{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

Тогда свободный член ${{a}_{0}}$ делится на любой целый корень многочлена $Pleft( x right)$.

Доказательство. Пусть $color{red}{b}in mathbb{Z}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$, т.е. $Pleft( color{red}{b} right)=0$. Подставим число $x=color{red}{b}$ в формулу многочлена и получим уравнение:

[{color{red}{b}^{n}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{b}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}color{red}{b}+{{a}_{0}}=0]

Перенесём последнее слагаемое вправо, а слева из оставшихся слагаемых вынесем множитель $color{red}{b}$ за скобку:

[color{red}{b}cdot left( {color{red}{b}^{n-1}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{b}^{n-2}}+ldots +{{a}_{1}} right)=-{{a}_{0}}]

Поскольку $-{{a}_{0}}in mathbb{Z}$, а слева стоят два целочисленных множителя, получаем, что число $-{{a}_{0}}$ делится на $color{red}{b}$. Следовательно, свободный член ${{a}_{0}}$ тоже делится на $color{red}{b}$, что и требовалось доказать.

5.3. Рациональные корни

Рассмотрим уравнение

[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]

где ${{a}_{n}},ldots ,{{a}_{0}}$ — целые числа, причём ${{a}_{n}}ne 0$.

Утверждение. Если рациональное число $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$, где $color{red}{p}in mathbb{Z}$, $color{blue}{q}in mathbb{N}$ и дробь $color{red}{p}/color{blue}{q};$ несократима, является корнем уравнения $Pleft( x right)=0$, то свободный член ${{a}_{0}}$ делится на $color{red}{p}$, а старший коэффициент ${{a}_{n}}$ делится на $color{blue}{q}$.

Доказательство. Подставим число $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$ в исходное уравнение. Поскольку $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$ — корень, уравнение обратится в верное числовое равенство:

[{{a}_{n}}cdot {{left( frac{color{red}{p}}{color{blue}{q}} right)}^{n}}+{{a}_{n-1}}cdot {{left( frac{color{red}{p}}{color{blue}{q}} right)}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}cdot frac{color{red}{p}}{color{blue}{q}}+{{a}_{0}}=0]

Домножим обе части на ${color{blue}{q}^{n}}$. Получим

[{{a}_{n}}{color{red}{p}^{n}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{p}^{n-1}}color{blue}{q}+ldots +{{a}_{1}}color{red}{p}{color{blue}{q}^{n-1}}+{{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}}=0]

Перенесём последнее слагаемое ${{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}}$ вправо, а в левой части из оставшихся слагаемых вынесем множитель $color{red}{p}$ за скобку:

[color{red}{p}left( {{a}_{n}}{color{red}{p}^{n-1}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{p}^{n-2}}color{blue}{q}+ldots +{{a}_{1}}{color{blue}{q}^{n-1}} right)=-{{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}}]

Слева и справа от знака равенства стоят целые числа, поскольку все слагаемые и множители являются целыми. Мы видим, что левая часть делится на $color{red}{p}$. Следовательно, правая часть тоже делится на $color{red}{p}$:

[-{{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}} vdots color{red}{p}]

По условию теоремы дробь $color{red}{p}/color{blue}{q};$ несократима. Следовательно, числа $color{blue}{q}$ и $color{red}{p}$ не имеют общих делителей, и единственный возможный вариант — это когда ${{a}_{0}}$ делится на $color{red}{p}$.

Аналогично доказывается, что старший коэффициент ${{a}_{n}}$ делится на $color{blue}{q}$. Теорема доказана.

Вот и всё.:)

Смотрите также:

1. Схема Горнера
2. Деление многочленов уголком
3. Теорема Виета
4. Задача B3 — работа с графиками
5. Метод коэффициентов, часть 2
6. Нестандартная задача B2: студенты, гонорары и налоги