Как найти корни по теореме виета быстро

После того, как вы внимательно изучите, как решать квадратные уравнения обычным образом с помощью
формулы для корней
можно рассмотреть другой способ решения квадратных уравнений — с помощью теоремы Виета.

Перед тем, как изучить теорему Виета, хорошо потренируйтесь в
определении коэффициентов
«a», «b» и «с» в квадратных уравнениях.
Без этого вам будет трудно применить теорему Виета.

Когда можно применить теорему Виета

Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему.
Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Обратите внимание, что разница с обычным общим видом
квадратного уравнения «ax² + bx + c = 0» в том, что в
приведённом уравнении «x² + px + q = 0» коэффициент
«а = 1».

Если сравнить приведенное квадратное уравнение «x² + px + q = 0» с обычным общим видом квадратного
уравнения «ax² + bx + c = 0», то становится видно,
что
«p = b», а «q = c».

Теперь давайте на примерах разберем, к каким уравнениям можно применять теорему Виета, а где это не целесообразно.

Уравнение	Коэффициенты	Вывод
x2 − 7x + 1 = 0	a = 1 p = −7 q = 1	Так как «a = 1» можно использовать теорему Виета.
3x2 − 1 + x = 0 Приведем уравнение к общему виду: 3x2 + x − 1 = 0	a = 3 p = 1 q = −1	Так как «a = 3» не следует использовать теорему Виета.
−x2 = −3 + 2x Приведем уравнение к общему виду: −x2 + 3 − 2x = 0 −x2 − 2x + 3 = 0	a = −1 p = −2 q = 3	Так как «a = −1» не следует использовать теорему Виета.

Как использовать теорему Виета

Теперь мы готовы перейти к самому методу Виета для решения квадратных уравнений.

Чтобы было проще запомнить формулу Виета, следует запомнить:
«Коэффициент «p» —
значит плохой, поэтому он берется со знаком минус».

---

Рассмотрим пример.

x² + 4x − 5 = 0

Так как в этом уравнении «a = 1», квадратное уравнение
считается приведённым, значит, можно
использовать метод Виета.
Выпишем коэффициенты «p» и «q».

• p = 4
• q = −5

Запишем теорему Виета для квадратного уравнения.

	x1 + x2 = −4
x1 · x2 = −5

Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения
«x₁ = −5» и «x₂ = 1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −5; x₂ = 1

---

Рассмотрим другой пример.

x² + x − 6 = 0

Старший коэффициент «a = 1» поэтому можно применять теорему Виета.

	x1 + x2 = −1
x1 · x2 = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

---

Деление уравнение на первый коэффициент

Рассмотрим уравнение, которое по заданию требуется решить, используя теорему Виета.

2x² − 16x − 18 = 0

Сейчас в уравнении «a = 2»,
поэтому перед тем, как использовать теорему Виета нужно сделать так, чтобы «a = 1».

Для этого достаточно разделить все уравнение на «2».
Таким образом, мы сделаем квадратное уравнение приведённым.

2x² − 16x − 18 = 0            | (:2)
2x²(:2) − 16x(:2) − 18(:2) = 0
x² − 8x − 9 = 0

Теперь «a = 1» и можно смело записывать формулу Виета и находить корни методом подбора.

	x1 + x2 = −(−8)
x1 · x2 = −9

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = 9» и «x₂ = −1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = 9; x₂ = −1

---

Бывают задачи, где требуется найти не только корни уравнения, но и коэффициенты самого уравнения. Например, как в такой задаче.

Корни «x₁» и
«x₂» квадратного уравнения
«x² + px + 3 = 0» удовлетворяют
условию «x₂ = 3x₁».
Найти «p», «x₁»,
«x₂».

Запишем теорему Виета для этого уравнения.

По условию дано, что
«x₂ = 3x₁».
Подставим это выражение в систему вместо «x₂».

	x1 + 3x1 = −p
x1 · 3x1 = 3

Решим полученное квадратное уравнение «x₁² = 1»
методом подбора и найдем «x₁».

   x₁² = 1

• (Первый корень) x₁ = 1
• (Второй корень) x₁ = −1

Мы получили два значения «x₁».
Для каждого из полученных значений найдем «p» и запишем все полученные результаты в ответ.

(Первый корень) x₁ = 1

Найдем
«x₂»

x₁ · x₂ = 3
1 · x₂ = 3
x₂ = 3

Найдем «p»

x₁ + x₂ = −p
1 + 3 = −p
4 = −p
p = −4;
(Второй корень) x₁ = −1

Найдем «x₂»

x₁ · x₂ = 3
−1 · x₂ = 3
                 −x₂ = 3         | ·(−1)
x₂ = −3

Найдем «p»

x₁ + x₂ = −p
−1 + −3 = −p
−4 = −p
p = 4

Ответ: (x₁ = 1; x₂ = 3; p = −4)     и    
(x₁ = −1; x₂ = −3; p = 4)

---

Теорема Виета в общем виде

В школьном курсе математики теорему Виета используют только для приведённых уравнений,
где старший коэффициент «a = 1», но, на самом деле, теорему Виета можно применить к любому квадратному уравнению.

В общем виде теорема Виета для квадратного уравнения выглядит так:

Убедимся в правильности этой теоремы на примере. Рассмотрим неприведённое квадратное уравнение.

3x² + 3x − 18 = 0

Используем для него теорему Виета в общем виде.

	x1 + x2 = −1
x1 · x2 = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

В заданиях школьной математики мы не рекомендуем использовать теорему Виета в общем виде.

Другими словами, реальную пользу теорема Виета приносит только для приведённых квадратных уравнений, в
которых «a = 1».
Именно в таких случаях она не усложняет жизнь, а позволят без дополнительных расчетов быстро найти корни.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Квадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета.

теория по математике 📈 уравнения

Уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где a,b,c – любые числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением. Числа a,b,c принято называть коэффициентами, при этом a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Квадратное уравнение может иметь не более двух корней. Решить такое уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Дискриминант

Количество корней квадратного уравнения зависит от такого элемента, как дискриминант (обозначают его буквой D).

Нахождение корней квадратного уравнения

Дискриминант – это такой математический инструмент, который позволяет нам определять количество корней. Он выражается определенной формулой:

D=b 2 –4ac

Если D>0, то уравнение имеет два различных

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Пример №1. Решить уравнение х 2 –2х–3=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–2, c=–3. Находим дискриминант: D=b 2 –4ac=(–2) 2 –41(–3)=4+12=16. Видим, что дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных корня, находим их:

Пример №2. Решить уравнение 5х 2 +2х+1=0. Определяем коэффициенты: а=5, b=2, c=1. D=b 2 –4ac=2 2 –4=4–20=–16, D 2 –6х+9=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–6, c=9.

D=b 2 –4ac=(–6) 2 –4=36–36=0, D=0, 1

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Теорема Виета

Среди квадратных уравнений встречаются такие, у которых первый коэффициент равен 1 (обратим внимание на пример 1 и 3), такие уравнения называются приведенными.

Приведенные квадратные уравнения можно решать не только с помощью дискриминанта, но и с помощью теоремы Виета.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; произведение корней равно третьему коэффициенту.

Корни с помощью данной теоремы находятся устно способом подбора. Рассмотрим это на примерах.

Пример №4. Решить уравнение х 2 –10х+21=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=–10, c=21. Применим теорему Виета:

Начинаем с произведения корней, которое является положительным числом, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Предполагаем, что это могут быть либо 3 и 7, либо противоположные им числа. Теперь смотрим на сумму, она является положительным числом, поэтому нам подходит пара чисел 3 и 7. Проверяем: 3+7=10, 37=21. Значит, корнями данного уравнения являются числа 3 и 7.

Пример №5. Решить уравнение: х 2 +5х+4=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=5, c=4. По теореме Виета:

Видим, что произведение корней равно 4, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Видим, что сумма отрицательная, значит, будем брать два отрицательных числа, нам подходят –1 и –4. Проверим:

Данное уравнение является квадратным. Но в его условии присутствует квадратный

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Записываем обязательно в начале решения, что подкоренное выражение может быть только равным нулю или положительным числом (правило извлечения квадратного

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Решаем полученное неравенство: − х ≥ − 5 , отсюда х ≤ 5 . Следовательно, для ответа мы будем выбирать значения, которые меньше или равны 5.

Решаем наше квадратное уравнение, перенося все слагаемые из правой части в левую, изменяя при этом знаки на противоположные и приводя подобные слагаемые (выражения с квадратным корнем взаимоуничтожаются):

х 2 − 2 х + √ 5 − х − √ 5 − х − 24 = 0

Получим приведенное квадратное уравнение, корни которого можно найти подбором по теореме Виета:

х 2 − 2 х − 24 = 0

Итак, корнями уравнения х 2 − 2 х − 24 = 0 будут числа -4 и 6.

Теперь выбираем корень, обращая внимание на наше ограничение на х, т.е. корень должен быть меньше или равен 5. Таким образом, запишем, что 6 – это посторонний корень, так как 6 н е ≤ 5 , а число минус 4 записываем в ответ нашего уравнения, так как − 4 ≤ 5 .

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Теорема Виета для квадратного уравнения

О чем эта статья:

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:

• если D 0, есть два различных корня.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

• x₁ + x₂ = −b,
• x₁ * x₂ = c.

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

Объединим числитель и знаменатель в правой части.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

Перемножаем числители и знаменатели между собой:

Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:

Далее произведем трансформации в числителе:

Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим:

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

1. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.

   При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>

Неприведенное квадратное уравнение

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

1. Получилось следующее приведенное уравнение:

Получается, второй коэффициент при x равен, свободный член —. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.

Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен, а свободный член.

Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:

Метод подбора помогает найти корни: −1 и

Теорема Виета

Теорема Виета:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

Если приведённое квадратное уравнение имеет вид

то его корни равны:

,

где D = p 2 — 4q. Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

,

а теперь найдём их произведение:

Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

называются формулами Виета.

Примечание: если дискриминант равен нулю (D = 0), то подразумевается, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня.

Обратная теорема

Теорема:

Если сумма двух чисел равна -p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения:

Это доказывает, что число x₁ является корнем уравнения x 2 + px + q = 0. Точно так же можно доказать, что и число x₂ является корнем для этого уравнения.

Решение примеров

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример 1. Найти корни уравнения:

Решение: Так как

очевидно, что корни равны 1 и 2:

Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

1 2 — 3 · 1 + 2 = 0

2 2 — 3 · 2 + 2 = 0.

Пример 2. Найти корни уравнения:

Методом подбора находим, что корни равны -3 и -5:

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

Решение: Так как x₁ = -3, x₂ = 6 корни уравнения x 2 + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

Следовательно, искомое уравнение:

Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:

Теорема Виета помогает решать квадратные уравнения путём подбора. В этой статье даны определения, доказательства, формулы и примеры решений квадратных уравнений для чайников.

         Теорема Виета в квадратных уравнениях — штука простая и очень-очень важная. Позволяет делать массу полезных вещей буквально в уме. Имеет смысл познакомиться и освоить, правда? Тем более это совсем просто. Сомневаетесь? Напрасно.) Сами увидите. Читаем дальше.

Что такое приведённое квадратное уравнение? Складываем и перемножаем корни…

        Знакомство наше начнём с безобидного уравнения:

        

        Обычное квадратное уравнение, ничего выдающегося. Коэффициенты a, b и c здесь следующие:

        a = 1; b = -4; c = 3

        Решаем тоже как обычно, безо всяких фокусов, через дискриминант и получаем два корня:

        

        Уравнение как уравнение — и что с того? Ничего, сейчас интересно будет!)

        Первым делом я возьму корни нашего уравнения и… сложу их.) Зачем? Так надо!

        Итак:

        

        Теперь проделаю ещё одну бесполезную (казалось бы!) штуку. Перемножу корни:

        

        Ну сложил, ну перемножил — и что? Спокойствие и терпение!

        Выпишем ещё разок само уравнение, а прямо под ним напишем сумму и произведение корней:

        

        И посмотрим на нашу запись. Внимательно посмотрим… Ничего не бросается в глаза? Ведь многие важные открытия в математике совершались на основе хорошей наблюдательности, между прочим! Не видите…

        А вот так?)

        

        Да! Сумма корней нашего квадратного уравнения равна коэффициенту b. Но, обратите внимание, не просто b, а с противоположным знаком! В уравнении коэффициент при икс (а это и есть буковка b) равен минус четыре. Сумма же корней даёт плюс четыре. То есть, –b.

        А произведение корней даёт нам свободный член! Т.е. буковку c. Даёт со своим знаком! Как была в уравнении тройка (с=3), так в произведении корней тройкой же и осталась.)

        Теперь я немного изменю уравнение. Поменяю в нём свободный член с тройки на четвёрку. Вот такое уравнение теперь решим:

        

        Решаем точно так же, через дискриминант (здесь он равен нулю), и получаем единственное решение x=2.

        Но мы с вами люди уже достаточно взрослые и понимаем, что это не один корень, а два одинаковых:

        x_1,2 = 2

        Поэтому снова сосчитаем сумму и произведение корней:

        

        И опять в сумме мы получили –b (-b=+4), а в произведении с (c=+4)!

        А вот это уже крайне важно! Оказывается, такая забавная штука будет получаться всегда для любого квадратного уравнения! Если оно имеет корни, разумеется.) Правда, уравнения не какого попало, а такого, где квадрат икса чистый (т.е. коэффициент a=1). В математике такие квадратные уравнения имеют своё особое название — приведённые квадратные уравнения.

        Запоминаем:

        Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х² равен единице (а=1), называется приведённым квадратным уравнением. Весьма важная штука!    

        Как оно выглядит в общем виде? Очень просто. Подставим в общий вид квадратного уравнения

        

        единичку вместо а и получим общий вид приведённого квадратного уравнения:

        

        В некоторых учебниках коэффициенты b и с переобозначают другими буквами (чаще всего p и q) и получают вот такой общий вид

        

        Но суть та же самая. Как говорится, хоть горшком назови… Лично я предпочитаю использовать традиционные буквы b и с. Для универсальности.)

        Ну и что из этого? — спросите вы. Чем приведённые квадратные уравнения так выделяются на фоне остальных квадратных, неприведённых? А дело вот в чём.

Что такое теорема Виета?

        Итак, мы выяснили, что в приведённом квадратном уравнении (любом!) сумма коэффициентов равна –b, а произведение равно с. Всегда. Ясное дело, если дискриминант неотрицательный и корни у уравнения имеются.

        Математически эта фишка записывается вот так:

        

        Этот любопытный факт — и есть теорема Виета! Собственной персоной.

        А словами она звучит вот как:

        Теорема Виета:

        Если ПРИВЕДЁННОЕ квадратное уравнение имеет корни, то их сумма равна коэффициенту при икс, взятому с противоположным знаком (—b), а их произведение равно свободному члену (c).

        Вот и всё, никаких премудростей.)

        Хотите строгое доказательство? Пожалуйста! Флаг вам в руки!) Распишите общую формулу корней квадратного уравнения для a=1, составьте сумму и произведение корней в общем виде. Т.е. через буквы. И упростите. Попробуйте! Весьма полезно и познавательно, между прочим.)

        Верна также и обратная теорема:

        Если числа х₁ и х₂ таковы, что их сумма равна –b, а произведение равно c, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения x² + bx + c = 0.

        А по секрету скажу вам, что, на самом деле, именно обратной теоремой вы и пользуетесь, так умело подбирая в уме корни уравнения по сумме и произведению! Об этом подборе как раз дальше будет.)

Зачем нужна теорема Виета?

        Полезная вещь первая — подбираем корни в уме!

        Теорема Виета (обратная форма) позволяет искать корни многих квадратных уравнений гораздо быстрее и проще, чем традиционным путём через дискриминант. В буквальном смысле устно!

        Вернёмся к нашему уравнению:

        

        Теперь, вооружившись глубокими познаниями, прямо по теореме Виета, записываем системку для наших искомых корней:

        

        Вопрос на сообразительность: какие же такие два числа в сумме дают четвёрку, а в произведении — тройку? Немного подумав головой, можно довольно быстро догадаться, что это чиселки 1 и 3.

        Значит, можно смело записать:

        x₁ = 1

        x₂ = 3

        Вот и всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят.) Здорово, правда? И не нужно считать никаких дискриминантов, возиться с общей формулой корней. В которой, между прочим, можно и ошибок наляпать… Сразу, в уме, получен верный ответ!

        Возможно, кто-то уже приготовил мне вопрос. Очень грамотный вопрос, кстати. А всегда ли в случае приведённого квадратного уравнения можно вот так красиво и легко подобрать корни?

        К сожалению, нет. Далеко не всегда. Например, я снова изменю в исходном уравнении свободный член, только вместо четвёрки напишу двойку. Вот такое уравнение пусть будет:

        

        Уравнение приведённое, коэффициент а равен единичке, вроде бы, всё нормально. Пишем теорему Виета:

        

        И снова пробуем подобрать иксы так, чтобы оба равенства сработали!

        Гм… Что-то не подбирается, правда? Какие бы целые числа вы бы ни подбирали, ничего не выйдет.

        Тут выход только один — решать через дискриминант. Ибо дискриминант — штука универсальная. Спасает всегда — и в приведённых уравнениях, и в обычных. Попробуйте. И вы убедитесь, что корни этого уравнения получаются иррациональными. Естественно, такие корни подобрать в уме несколько затруднительно, да…

        Догадываюсь, что вы сейчас спросите: Зачем же нам тогда городить огород, пробовать подобрать корни, если дискриминант всё равно надёжнее и с ним-то уж точно всё решится?

        Да, надёжнее, но… Не всё так просто, как кажется!

        Дело всё в том, что квадратные уравнения изучаются в 8-м классе, где народ тренируется на простых (иногда — совсем примитивных) задачках. И… привыкает к простоте.) Затем, в старших классах и особенно в институте, при изучении высшей математики, квадратные уравнения представляются как нечто само собой разумеющееся. Но при этом в коэффициентах зачастую возникают такие большие числа, что работать с ними большинство учеников… просто не готовы!

        Попадётся вам, к примеру, такая задачка:

        Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 82 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 3 часа 25 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

        Это не моя разыгравшаяся фантазия, а вполне реальная задачка из ЕГЭ, между прочим.)

        Кто в курсе, как решать текстовые задачи на движение, тот без труда составит вот такое уравнение:

        

        Классическое дробно-рациональное уравнение. Здесь х — скорость велосипедиста. Немного повозившись с ним (избавившись от дробей и упростив всё до упора), получим вот такое квадратное уравнение:

        

        Если начать решать это уравнение по-рабочекрестьянски, то получим, что дискриминант у него равен аж 13924! И… что? Как нам из такого здоровенного числа корень извлекать? Без калькулятора! Слабо? То-то…

        Зато через теорему Виета это злое уравнение решается практически устно! Не верите? Что ж, смотрите сами…

        Записываем сумму и произведение корней:

        

        Осталось лишь догадаться, какие же числа дают в сумме минус 82, а в произведении минус 1800. Совсем чуточку подумав, довольно быстро получим, что:

        

        Минус сто, ясное дело, нас не интересует (скорость не бывает отрицательной), а вот 18 км/ч — вполне себе правдоподобная велосипедная скорость.)

        Вот и все дела.) И без долгих и утомительных вычислений, связанных с извлечением корня из пятизначного числа! Здорово, правда?

        Посему, первые практические советы:    

        1. Если перед вами квадратное уравнение приведённого вида, то первым делом пробуем найти корни подбором. По теореме, ОБРАТНОЙ теореме Виета. В подавляющем большинстве заданий это срабатывает.

        2. Не боимся уравнений с большими коэффициентами! Самое главное — не бросаемся считать дискриминант! Как правило, корни таких уравнений также довольно легко ищутся подбором.

        Может, конечно, и не повезти, но зачем же такой шанс упускать, правда?)

        Но есть у меня для вас хорошая новость.) Составители большинства заданий — люди гуманные.) И стараются составить уравнение так, чтобы корни являлись целыми числами и их легко можно было бы подобрать. Пробуем делать это!

        Переходим к следующей полезной вещи.

        Полезная вещь вторая — проверяем корни!

        Теорему Виета можно применять не только для подбора корней, но и для проверки корней, найденных другим способом (через дискриминант, например). Решили уравнение — проверьте сумму и произведение корней! Всё срослось — значит, верно. Нет — значит, где-то накосячили. Ищите ошибку.)

        Например, такое уравнение:

        

        Дело нехитрое. Решаем себе через дискриминант, всё чин-чином, получаем корни:

        x₁ = -7

        x₂ = -3

        Не бросаемся сразу же радостно писать ответ! Знаете поговорку доверяй, но проверяй?) Вот и не ленимся. Первым делом сложим наши корни:

        

        Получили -10. Обратите внимание, не десять, а минус десять! Коэффициент b с противоположным знаком. Так уж теорема Виета устроена.)

        Последняя (и окончательная) проверка — перемножим корни. Должен получиться свободный член:

        

        Вот теперь всё хорошо.)

        Более того, с этой благородной целью (проверка корней) теорему Виета можно применять и для неприведённых квадратных уравнений. Для любых. Да-да, я не шучу! Но эту фишку я оставлю на конец урока. На десерт.)

        И что, думаете, только для подбора и проверки корней теорема Виета и нужна? Вовсе нет!

        Полезная вещь третья — когда корни считать… не надо!

        Вы спросите, а разве можно обойтись и вовсе без вычисления корней? Можно! Ещё как!)

        Дискриминант — штука, безусловно, удобная, простая и понятная. С ним, как правило, всё легко и предсказуемо. Но… Может получиться какой-нибудь дурацкий дискриминант: 17 там, скажем, или 20. Что неизбежно приводит к появлению иррациональных корней, да…) А уж если в задании надо ещё что-то делать с корнями, то выражения с радикалами, даже для опытного ученика, могут перерасти в большую проблему. А для неопытного — вообще превратиться в полный ахтунг.

        Но теорема Виета иногда способна на настоящие чудеса!

        Например, такое задание:

        Дано квадратное уравнение:

        

        Найдите сумму квадратов корней, не находя самих корней.

        Если сейчас начать решать это задание «в лоб» — считать дискриминант и искать корни уравнения по общей формуле, то получим вот таких двух красавцев:

        

        Нам нужна сумма их квадратов. И что нам теперь с такими лохматыми числами делать?! Возводить в квадрат, складывать… Нет, возвести и сложить можно, конечно, но… не каждый ученик дорешает до конца это задание без ошибок!

        Не отчаиваемся и читаем ещё раз условие. Обратите внимание, нам вообще НЕ сказано «решать уравнение», НЕ сказано «находить корни». Более того, нам прямым текстом говорится: «Найти сумму квадратов корней, не находя самих корней«.

        Что делать? Как выкручиваться без поиска корней?

        Посмотрим ещё раз на уравнение. Приведённое, между прочим.) Раз так, то, стало быть, для него справедлива теорема Виета!

        Можно смело записать:

        

        Вот так. Сумма корней — тройка, а произведение — единичка. Мы не знаем, чему равны сами эти корни, но у нас это и не спрашивают. Нас просят найти только сумму их квадратов.)

        А вот теперь ключевой вопрос: А можно ли как-то расписать нужную нам сумму квадратов корней через сумму и произведение корней?

        Да, можно! Кто на «ты» с формулами сокращённого умножения (а именно — с формулой квадрата суммы), тот, скорее всего, даже не заметит проблем.

        Пишем:

        

        Как я додумался до этого равенства? Очень просто. Вспомнил, что в формуле квадрата суммы сидят сумма квадратов и удвоенное произведение:

        

        И выразил нужную величину (сумму квадратов) через остальные — сумму (т.е. квадрат суммы) и произведение (удвоенное).

        Вот и всё, практически. Осталось лишь подставить тройку вместо суммы и единицу вместо произведения корней, да и посчитать, что получится:

        

        Ответ: 7  

        И все дела.) И корни не понадобились! Вообще.) Мощная штука — теорема Виета! Ну и формулы сокращённого умножения, само собой.)

        Этот приём — выражение какой-то сложной конструкции через сумму и произведение корней — очень популярен в заданиях на теорему Виета! Я уж молчу про более серьёзные задания. Например, задачи с параметрами, там этот финт ушами используется на полную катушку.)

        Запоминаем:

        В серьёзных заданиях на сумму и произведение корней пользуемся формулами сокращённого умножения и алгеброй 7-го класса! Здорово помогает.)

        Как работать с неприведёнными уравнениями?

        Как известно, самое сладкое — в конце трапезы. Обещанный десерт.)

        Во всех примерах этого урока мы работали лишь с приведёнными квадратными уравнениями. Такими, у которых коэффициент при квадрате икса — единичка. А если уравнение не является приведённым? Т.е. а≠1? Что тогда? Про теорему Виета можно забыть?

        Нет, забывать мы не будем. Мы поступим мудро и красиво. Раз уравнение не является приведённым, то мы его… сделаем! Как? Очень просто! Берём квадратное уравнение в общем виде:

        

        и… делим обе части на «а»! Очищаем квадрат икса от коэффициента. Можно ли так делать? Конечно! Мы ведь с вами уже в курсе, что a никогда не бывает равно нулю (а≠0). Иначе уравнение будет не квадратным, а линейным. Вот и делим смело. Это совершенно безопасно. Естественно, все остальные слагаемые тоже придётся поделить на а, от этого никак не отвертишься.

        Получим:

        

        Вот и всё. Уравнение стало приведённым. Коэффициенты, правда, дробными стали, но тут уж ничего не поделать, да…) В этом новом уравнении в роли нового «b« выступает дробь b/a, а в роли нового свободного члена — дробь c/a. Можно записывать теорему Виета:

        

        Вот так. Такая модифицированная запись теоремы Виета — более общая. Для любых квадратных уравнений годится — как приведённых (а=1), так и обычных (а≠1). С той лишь разницей, что при а=1 знаменатели исчезают — и теорема обретает свой привычный вид.

        Имеет смысл запомнить эту общую форму записи: и для банальной проверки корней пригодится, и, опять же, для более солидных заданий на квадратные уравнения.

        Например, надо решить уравнение:

        

        Решаем, получаем корни:

        

        Предположим, вам захотелось проверить, правильно ли вы нашли ваши иксы. Для этого, знамо дело, их надо подставить в исходное уравнение и посчитать результат. Но корни — дробные. Подставлять да считать долго и муторно…

        Как проверить корни быстро и с минимумом вычислений? Не проблема! Записываем обобщённую теорему Виета для а=6:

        

        И работаем. Складываем корни:

        

        Так, по сумме всё проходит. Осталось перемножить:

        

        И тут полный порядок! Значит, всё правильно.)

        Очередной практический совет:

        Найденные корни стараемся проверять! По сумме и произведению. Это здорово уменьшает количество ошибок при решении квадратных уравнений. Если уравнение не является приведённым, то для проверки пользуемся соответствующей модифицированной теоремой Виета.

        Итак, мы с вами выяснили, что теорема Виета — штука простая. И очень полезная. И это не только трафаретное решение квадратных уравнений! В ВУЗе, при работе со всякими там пределами, интегралами, дифференциальными уравнениями и прочими прелестями высшей математики, вы ещё не раз вспомните добрым словом знаменитого французского математика с его теоремой.)

        Ну что, порешаем?

        1. Найдите подбором корни уравнений:

        

        Ответы (в беспорядке):

        

        2. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 23 см, а гипотенуза равна 17 см. Найдите больший катет треугольника.

        3. Разность корней уравнения 2х² — 5х + с = 0  равна 1,5. Найдите с.

        4. Дано уравнение: x² — 6x + 4 = 0. Не решая уравнения, найдите сумму кубов его корней.

        5. Известно, что х₁ и х₂ — корни уравнения х²-18х+11 = 0.

        Найдите значение выражения:

        

        Ответы (в беспорядке):

        144; 15; -1; 1

        Всё сошлось? Рад за вас! Значит, отныне теорема Виета — не ваша очередная головная боль, а новый надёжный друг и помощник при решении уравнений (и не только квадратных, между прочим!).

        Задания 4 и 5 не идут? Корни иррациональные получаются? Это специально.) Да и не нужны они вам… Да, есть там одна загвоздочка. Но алгебра седьмого класса и действия с дробями вам помогут! И этот урок, само собой. И всё получится.)

Общие сведения

Для применения формул теоремы Виета для квадратного уравнения следует разобрать некоторые термины и математические определения. Квадратным уравнением вида Am² + Bm + C = 0 называется многочлен второй степени, состоящий из коэффициента А при некоторой неизвестной в квадрате и суммы произведения второго коэффициента на неизвестную величину и константы С. Этот многочлен преобразовывается в уравнение только при равенстве нулевому значению. Константу С еще называют свободным членом.

Корнями называются такие значения неизвестных, при подстановке которых тождество считается верным. Следует отметить, что в результате отдельных математических преобразований появляются дополнительные корни. Особенно это касается различных замен в тригонометрических функциях. Однако при подстановке корней равенство не соблюдается. Математики называют их ложными. После решения уравнения специалисты рекомендуют произвести подстановку этих значений в исходное уравнение. Этот прием помогает избавиться от нежелательных решений.

Поиск корней при помощи теоремы Виета принадлежит к быстрым методикам, поскольку избавляет человека от ненужных расчетов по формулам с применением дискриминанта.

Виды квадратных уравнений

Квадратные уравнения бывают нескольких видов, поскольку не во всех случаях коэффициенты получаются отличными от нуля. Математики классифицировали их на 2 типа:

• полные;
• неполные.

Первыми называются выражения со всеми коэффициентами (A, B и C), отличными от нуля. Если число перед неизвестной не указано, то считается, что оно эквивалентно 1. Неполными считаются любые уравнения, в которых отсутствует B или C. Однако бывают случаи, когда оба последних коэффициента соответствуют нулю, тогда тождество имеет следующий вид: Am² = 0. Кроме того, существует еще один критерий распределения на виды, основанный на степени приведенности. По этому признаку выражения делятся на приведенные и неприведенные классы.

К первым следует отнести любые равенства, у которых коэффициент равен 1. Во всех остальных случаях (А > 1) тождества являются неприведенными.

Условие использования закона

Закон Виета применим не ко всем уравнениям. Математики сформулировали важные условия, при соблюдении которых возможно воспользоваться этим правилом: уравнение должно быть приведенным и иметь значение дискриминанта больше 0. Из этого условия можно сделать вывод: когда равенство невозможно преобразовать к приведенному, следует применять другие методики нахождения корней, а не правило Виета.

Существует простой алгоритм преобразования уравнения к необходимому виду. Для этого нужно выполнить несложную операцию деления каждого коэффициента на А. Например, следует преобразовать уравнение 4p² + 8p + 16 = 0 в приведенное. Следуя описанному алгоритму, получается такое соотношение: [(4p²) / 4] + [8p / 4] + [16 / 4] = 4p² + 2p + 4 = 0.

Специалисты рекомендуют избегать ситуаций получения обыкновенных дробей в результате преобразования. Примером является тождество 3p² + 2p — 4 = 0. Его можно свести к приведенному, но применить теорему будет весьма сложно, поскольку равенство будет иметь такой вид: p² + (2p / 3) — (4 / 3) = 0. Рекомендуется решать такие уравнения, используя другие методики (построение графика функции, при помощи программ или по формуле дискриминанта).

Применение теоремы

Формулировка закона Виета для квадратного уравнения Am² + Bm + C = 0 следующая: сумма корней соответствует коэффициенту А, взятому с противоположным знаком, а результат произведения эквивалентен свободному члену С. Решение осуществляется методом подбора соответствующих числовых значений. Однако каждая теорема должна доказываться.

Чтобы осуществить эту операцию, нужно воспользоваться специальными формулами корней, используя дискриминант. Нужно предположить, что для уравнения Am² + Bm + C = 0 справедливы два равенства: m1 + m2 = -B и m1 * m2 = C. Выражая значения корней через дискриминант в обобщенном виде, можно получить такие тождества:

1. m1 = [-B — D^(½)] / (2 * A).
2. m2 = [-B + D^(½)] / (2 * A).

Далее нужно найти сумму m1 и m2: [-B — D^(½)] / (2 * A) + [-B + D^(½)] / (2 * A). Чтобы упростить полученное выражение, следует воспользоваться таким алгоритмом:

1. Привести дроби к общему знаменателю: [(-B — D^(½)) + (-B + D^(½))]/(2 * А).
2. Упростить выражение (разложение на множители): [-B — D^(½) — B + D^(½)]/(2 * А) = (-2B) / (2 * A) = — B / A = -B / 1 (А = 1).

После этого нужно доказать, что произведение корней эквивалентно С. Для этого необходимо перемножить m1 = [-B — D^(½)] / (2 * A) и m2 = [-B + D^(½)] / (2 * A), воспользовавшись правилом умножения дробей обыкновенного типа по такой методике:

1. Перемножить числители и знаменатели: [-B — D^(½)] / (2 * A) * [-B + D^(½)] / (2 * A) = [(-B + D^(½)) * (-B — D^(½))] / (4 * A²).
2. Упростить: [B² — D] / 4A² = [B ² — (-B² — 4 * A * C)] / 4A² = (B² — B² + 4 * C) / 4 = C (при А = 1).

Вторая формула доказана. Однако перед решением обязательно следует вычислить значение дискриминанта, поскольку при D = 0 уравнение имеет только один корень. Существует обратная теорема Виета. У нее такая формулировка: если сумма чисел m1 и m2 соответствует некоторому значению В, взятому с противоположным знаком, а также их произведение эквивалентно свободному члену многочлена второй степени, значит, они являются корнями Аm ² + Bm + C = 0. Это утверждение имеет доказательство, для которого следует выполнить следующие шаги:

1. Подставить m1 и m2 в исходное уравнение: m² — (m1 + m2) * m + m1 * m2 = 0.
2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: m² — (m1 * m — m2 * m + m1 * m2 = (m — m1) * (m — m2) = 0.
3. Найти корни тождества в пункте 2: m = m1 и m = m2.

Следовательно, теорема доказана, поскольку числа m1 и m2 являются корнями уравнения. Далее нужно рассмотреть приведенные кубические уравнения и порядок применения утверждения Виета.

Кубические равенства с неизвестным

Можно также применять теорему Виета для кубического уравнения вида А * m³ + B * m² + C * m + D = 0. Коэффициент А должен быть равен 1. Находятся корни при помощи перебора значений, но сделать это сложно, поскольку необходимо решить систему, состоящую из трех равенств:

1. m1 + m2 + m3 = -B.
2. m1 * m2 + m1 * m3 + m2 * m3 = C.
3. m1 * m2 * m3 = -D.

Числа m1, m2 и m3 являются корнями. Кроме того, следует обратить внимание на образование ложных результатов, поскольку уравнение является кубическим. Ученые пришли к выводу о том, что чем выше степень, тем больше образовывается ложных ответов. Они рекомендуют применять специальное программное обеспечение для поиска решения. Если его нет под рукой, то можно построить график функции, а затем найти точки пересечения с осью абсцисс. Существуют также специализированные веб-сервисы. Они называются онлайн-калькуляторами.

Примеры решения

Несмотря на простоту теоремы, существует несколько типов упражнений на эту тему. Они делятся на следующие классы:

• простые;
• средние;
• продвинутые;
• сложные.

К первым следует отнести задачи на простой подбор корней. Средними считаются задания на преобразование квадратного уравнения к приведенному.

Продвинутыми являются любые тождества, которые необходимо упростить и привести к коэффициенту А = 1. Сложные — особый вид. Для них следует применить все знания в области математики. Кроме того, нужно осуществить объяснение хода решения. В некоторых случаях необходимо построить таблицу зависимостей и начертить график.

Интересный факт заключается в том, что именно этот класс выражений существенно развивает умственные способности человека на уроках. Встречаются также задачи на пересечения параболы и прямой, которая может проходить под определенным углом. Далее нужно разобрать практическое применение теоремы Виета на примерах с решением для различных классов задач.

Простой и средний

Пусть дано тождество m² — 5 * m + 6 = 0. Необходимо найти его корни. Для решения следует применить такой алгоритм:

1. Найти дискриминант: D = (-5)^2 — 4 * 1 * 6 = 1 (два корня, поскольку D > 0).
2. Методом перебора можно получить решения m1 = 2 и m2 = 3.
3. Проверка I корня: 2² — 5 * 2 + 6 = 4 — 10 + 6 = 0 (соответствует).
4. Подстановка для II: 3² — 5 * 3 + 6 = 9 — 15 + 6 = 0 (соответствует).

Следовательно, тождество решено верно. Далее можно рассмотреть средний тип упражнения. Для этого следует решить уравнение 3 * m² + 33 * m + 30 = 0. Найти корни можно по такому алгоритму:

1. Преобразование к приведенному (разделить на А = 3): 3 * m² + 33 * m + 30 = m² + 11 * m + 10 = 0.
2. Найти D: D = 121 — 4 * 10 = 81 > 0 (два).
3. Корни: m1 = -10 и m2 = -1.
4. Проверка: (-10)^2 + 11 * (-10) + 10 = 100 — 110 + 10 = 0 и (-1)^2 + 11 * (-1) + 10 = 1 — 11 + 10 = 0.

​Следовательно, корни m1 и m2 удовлетворяют этому уравнению. Если не получается делить все члены на А, то необходимо рассмотреть решение с помощью дискриминанта или графическим методом.

Продвинутый класс

Для иллюстрации этого вида нужно решить следующее тождество: (m — 4)^2 — 20 = -m (m — + 14. Следует воспользоваться инструкцией такого вида:

1. Раскрыть скобки: m² — 8 * m + 16 — 20 = -m² + 8 * m + 14.
2. Перенести все слагаемые в левую часть и упростить: 2 * m² — 16 * m — 18 = 0.
3. Сократить на 2: m² — 8 * m — 9 = 0.
4. Найти значение D: D = 64 + 36 = 100 > 0 (2).
5. Вычисление корней: m1 = -1 и m2 = 9.
6. Проверка: (-1)^2 — 8 * (-1) — 9 = 1 + 8 — 9 = 0 и 9² — 8 * 9 — 9 = 81 — 72 — 9 = 0.

На основании шестого пункта можно сделать вывод, что корни подобраны правильно. Этот пример показывает, что одной теоремы недостаточно, поскольку следует уметь выполнять математическое преобразование заданного выражения. В этом классе примеров возможен случай, когда величина дискриминанта эквивалентна 0. Следовательно, у тождества с неизвестным всего один корень. К последнему невозможно применить закон Виета.

Сложные упражнения

Примером сложной задачи, которую еще называют «со звездочкой», является следующая: необходимо найти сумму, произведение и сумму квадратов решений уравнения m ² — 7 * m + 12 = 0, не находя корней. По обычной методике нужно доказать, что у выражения с неизвестным существует два корня по формуле дискриминанта: D = 49 — 4 * 12 = 1 > 0. Следовательно, ориентируясь на последнее равенство, условие соблюдается. По теореме Виета получаются ответы на первые два вопроса:

1. m1 + m2 = 7.
2. m1 * m2 = 12.

Затем следует записать сумму квадратов, используя две описанные выше формулы: (m1)^2 + (m2)^2 = (m1)^2 + (m2)^2 — 2 * m1 * m2 — 2 * m1 * m2 = (m1 + m2)^2 — 2 * m1 * m2 = 7 ² — 2 * 12 = 25. Задача решена: 7; 12 и 25.

Следующий пример является довольно распространенным. Существует уравнение 5 * m ² — 15 * m + 30 = 0. Необходимо найти сумму кубов корней и квадрат разности. Многие ученики на протяжении всей истории существования алгебры делают однотипную ошибку. Она заключается в подготовке, то есть записываются соответствующие формулы сокращенного умножения. Если их не знают, то пользуются интернетом или другими источниками. На эту операцию тратится драгоценное время. Чтобы этого избежать, необходимо воспользоваться таким алгоритмом:

1. Сократить на общий множитель, равный 5: m² — 3 * m + 10 = 0.
2. Вычислить величину дискриминанта: D = 9 — 4 * 1 * 10 = -31 < 0.

Следовательно, у равенства с неизвестными корней нет вообще. В результате невозможно найти необходимые значения. Этот прием лишний раз показывает, что можно избежать множества ошибок и не тратить время, пользуясь соответствующим алгоритмом.

Решение квадратных и кубических приведенных уравнений осуществляется при помощи соотношения Виета. Однако важным аспектом при осуществлении этой операции является нахождение величины дискриминанта.