Как найти корни тангенса по графику

Отбор корней в тригонометрическом уравнение

В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x — cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx — 1) = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

sqrt(2)cosx — 1 = 0

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 — 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 — 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 — 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 — 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 — 4Pi = -7Pi/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Как же быть с тангенсом и котангенсом ? Об этом и поговорим сегодня.

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Почему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что и

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что

Ответ:

Пример 2.

Вычислить

Находим на круге . Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

не существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить

Находим на круге точку (это та же точка, что и ) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем (). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение .

Так значит,

Ответ:

Пример 4.

Вычислить

Поэтому от точки (именно там будет ) откладываем против часовой стрелки .

Выходим на ось котангенсов, получаем, что

Ответ:

Пример 5.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что

Ответ:

Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.

Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .

И синус, и косинус принимают значения от до .

Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

ПРИМЕР:

Решить графически уравнение:

sin x = x.

РЕШЕНИЕ:

Решением данного уравнения
является точка пересечения двух функций

у = sin x,

у = x.

где

у = sin x – синусоида, а  

у = х – биссектриса  1  и 
3  координатных углов.

На рисунке видна точка
пересечения двух функций  х = 0, что
является решением данного уравнения.

ОТВЕТ:  х = 0

ПРИМЕР:

Сколько корней имеет уравнение ?

sin x = log x.

РЕШЕНИЕ:

у = sin x – синусоида,

у = log x – возрастающая
логарифмическая функция.

На рисунке получены три точки
пересечения двух функций, которые и являются решением данного уравнения.

ОТВЕТ:  число корней 
3

ПРИМЕР:

Решить графически уравнение:

tg ^x/₂ = 2
– x.

РЕШЕНИЕ:

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + pi n, n in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=pm arccos a + 2pi n, n in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + pi n, n in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + pi n, n in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+frac pi 6)-3sin(frac pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+frac pi 6)-3cos(x+frac pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+frac pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+frac pi 6)=1`, `x+frac pi 6=2pi n`, `x_1=-frac pi 6+2pi n`.

2. `cos(x+frac pi 6)=1/2`, `x+frac pi 6=pm arccos 1/2+2pi n`, `x_2=pm frac pi 3-frac pi 6+2pi n`.

Ответ: `x_1=-frac pi 6+2pi n`, `x_2=pm frac pi 3-frac pi 6+2pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2  x/2=0`,

`2sin  x/2 cos  x/2-2sin^2  x/2=0`,

`2sin  x/2 (cos  x/2-sin  x/2)=0`,

1. `sin  x/2 =0`,  `x/2 =pi n`,  `x_1=2pi n`.
2. `cos  x/2-sin  x/2=0`, `tg  x/2=1`, `x/2=arctg 1+ pi n`, `x/2=pi/4+ pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Ответ: `x_1=2pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg  x`:  `a  tg  x+b=0` и `a  tg^2 x + b  tg  x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x ne 0`, получим:

`frac {sin^2 x}{cos^2 x}+frac{sin x cos x}{cos^2 x} — frac{2 cos^2 x}{cos^2 x}=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+pi n`, `n in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+pi n`, `x_2=pi/4+pi n`, ` n in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+pi n`, `n in Z`, `x_2=pi/4+pi n`, `n in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2pi n`, `n in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2pi n, n in Z`, `x_2=arctg 3/4+2pi n`, `n in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt {a^2+b^2}`:

`frac a{sqrt {a^2+b^2}} sin x +` `frac b{sqrt {a^2+b^2}} cos x =` `frac c{sqrt {a^2+b^2}}`.

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `frac a{sqrt {a^2+b^2}}=cos varphi`, ` frac b{sqrt {a^2+b^2}} =sin varphi`, `frac c{sqrt {a^2+b^2}}=C`, тогда:

`cos varphi sin x + sin varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt {3^2+4^2}`, получим:

`frac {3 sin x} {sqrt {3^2+4^2}}+` `frac{4 cos x}{sqrt {3^2+4^2}}=` `frac 2{sqrt {3^2+4^2}}`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos varphi` , `4/5=sin varphi`. Так как `sin varphi>0`, `cos varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `varphi=arcsin  4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos varphi sin x+sin varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`sin (x+varphi)=2/5`,

`x+varphi=(-1)^n arcsin  2/5+ pi n`, `n in Z`,

`x=(-1)^n  arcsin  2/5-` `arcsin  4/5+ pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin  2/5-` `arcsin  4/5+ pi n`, `n in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `frac {sin x}{1+cos x}=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

`frac {sin x}{1+cos x}=` `frac {(1-cos x)(1+cos x)}{1+cos x}`

`frac {sin x}{1+cos x}=` `frac {1-cos^2 x}{1+cos x}`

`frac {sin x}{1+cos x}=` `frac {sin^2 x}{1+cos x}`

`frac {sin x}{1+cos x}-` `frac {sin^2 x}{1+cos x}=0`

`frac {sin x-sin^2 x}{1+cos x}=0`

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x ne 0`, `cos x ne -1`, ` x ne pi+2pi n, n in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=pi n`, `n in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=pi /2+2pi n, n in Z`.

Учитывая, что ` x ne pi+2pi n, n in Z`, решениями будут `x=2pi n, n in Z` и `x=pi /2+2pi n`, `n in Z`.

Ответ. `x=2pi n`, `n in Z`, `x=pi /2+2pi n`, `n in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Материалы по теме:

• Формулы квадратного и кубического уравнения
• Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (конкретный пример)
• Решение уравнений
• Производная функции (конкретные примеры).

Содержание:

Тригонометрические функции

Изучая материал этого параграфа, вы расширите свои знания о тригонометрических функциях и их свойствах, узнаете, что такое радианная мера угла, какие функции называют периодическими.

Ознакомитесь с формулами, связывающими различные тригономет­рические функции, научитесь применять их для выполнения вычислений, упрощения выражений, доказательства тождеств.

Узнаете, какие уравнения называют простейшими тригонометричес­кими уравнениями; ознакомитесь с формулами корней простейших тригонометрических уравнений.

Радианная мера углов

До сих пор для измерения углов вы использовали градусы или части градуса — минуты и секунды.

Во многих случаях удобно пользоваться другой единицей измерения углов. Ее называют радианом.

Определение. Углом в один радиан называют централь­ный угол окружности, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

На рисунке 8.1 изображен центральный угол АОВ, опирающий­ся на дугу А В , длина которой равна радиусу окружности. Величина угла АОВ равна одному радиану. Записывают:

Также говорят, что радианная мера дуги АВ равна одному радиану. Записывают:

Радианная мера угла (дуги) не зависит от радиуса окружности. Это утверждение проиллюстрировано на рисунке 8.2.

На рисунке 8.3 изображены окружность радиуса R и дуга MN, длина которой равна Тогда радианная мера угла MON (дуги MN) равна рад. Вообще, если центральный угол окружности радиуса R опирается на дугу, длина которой равна то говорят, что радианная мера этого центрального угла равна рад. Длина полуокружности равна Следовательно, радианная мера полуокружности равна рад. Градусная мера полуокружности составляет 180°. Сказанное позволяет установить связь между ра­дианной и градусной мерами, а именно: (1) Отсюда

Разделив 180 на 3,14 (напомним, что ), можно установить: 1 рад Если обе части равенства (1) разделить на 180, то получим:

(2)

Из этого равенства легко установить, что, например, 15° = 15—— рад = — рад, 90° = Обычно при записи радианной меры угла обозначение «рад» опускают. Например, записывают: В таблице приведены градусные и радианные меры часто встречающихся углов:

Используя радианную меру угла, можно получить удобную формулу для вычисления длины дуги окружности. Поскольку центральный угол в 1 рад опирается на дугу, длина которой равна радиусу , то угол в рад опирается на дугу, длина которой равна . Если длину дуги, содержащей рад, обозначить через , то можно записать:

На координатной плоскости рассмотрим окружность единично­го радиуса с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной. Пусть точка , начиная движение от точки , перемещается по единичной окружности против часовой стрелки. В некоторый момент времени она займет положение, при котором (рис. 8.4). Будем говорить, что точка получена в результате поворота точки вокруг начала координат на угол (на угол 120⁰)

Пусть теперь точка переместилась по единичной окружности по часовой стрелке и заняла положение, при котором (рис. 8.5). Будем говорить, что точка получена в результате поворота точки вокруг начала координат на угол .

Вообще, когда рассматривают движение точки по окружности против часовой стрелки (рис. 8.4), то угол поворота считают положительным, а когда по часовой стрелке (рис. 8.5) — то отрицательным.

Рассмотрим еще несколько примеров. Обратимся к рисунку 8.6.

Можно сказать, что точка А получена в результате поворота точки вокруг начала координат на угол (на угол 90°) или на угол (на угол -270°). Точка В получена в результате поворота точки на угол (на угол 180°) или на угол (на угол -180°). Точка С получена в результате поворота точки . на угол (на угол 270°) или на угол (на угол -90°).

Если точка , двигаясь по единичной окружности, сделает один полный оборот, то можно сказать, что угол поворота равен (то есть 360°) или (то есть -360°).

Если точка сделает полтора оборота против часовой стрелки, то естественно считать, что угол поворота равен (то есть 540°), если по часовой стрелке — то (то есть -540°).

Величина угла поворота как в радианах, так и в градусах может выражаться любым действительным числом.

Угол поворота однозначно определяет положение точки на единичной окружности. Однако любому положению точки на окружности соответствует бесконечно много углов поворота. Например, точке (рис. 8.7) соответствуют такие углы поворота: и т.д., а также и т.д. Заметим, что все эти углы можно получить с помощью формулы

Тригонометрические функции числового аргумента

В 9 классе, вводя определения тригонометрических функций углов от 0° до 180°, мы пользовались единичной полуокружностью. Обобщим эти определения для произвольного угла поворота . Рассмотрим единичную окружность (рис. 9.1).

Определение. Косинусом и синусом угла поворота называют соответственно абсциссу и ординату у точки единичной окружности, полученной в результате поворота точки (1; 0) вокруг начала координат на угол (рис. 9.1).

Записывают: Точки , А, В и С (рис. 9.2) имеют соответственно координаты (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; -1). Эти точки получены в результате по­ворота точки . (1; 0) соответственно на углы Теперь, пользуясь данным определением, можно составить следующую таблицу¹:

Пример:

Найдите все углы поворота , при которых: 1) sin = 0; 2) cos = 0.

Решение:

1) Ординату, равную нулю, имеют только две точки единичной окружности: и В (рис. 9.2). Эти точки получены в результате поворотов точки на такие углы:

. Все эти углы можно записать с помощью формулы , где . Следовательно, sin = 0 при = , где

2) Абсциссу, равную нулю, имеют только две точки единичной окружности: А и С (рис. 9.2). Эти точки получены в результате поворотов точки на такие углы:

Все эти углы можно записать с помощью формулы , где . Следовательно, при

¹ На форзаце 3 приведена таблица значений тригонометрических функций некоторых углов.

Определение. Тангенсом угла поворота а называют отно­шение синуса этого угла к его косинусу:

Например,

Из определения тангенса следует, что тангенс определен для тех углов поворота , для которых cos , то есть при .

Вы знаете, что каждому углу поворота соответствует единственная точка единичной окружности. Следовательно, каждому значению угла соответствует единственное число, являющееся значением синуса (косинуса, тангенса для ) угла .

Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса) от величины угла поворота является функциональной.

Функции , соответствующие этим функциональным зависимостям, называют тригонометрическими функциями угла поворота .

Каждому действительному числу поставим в соответствие угол рад. Это позволяет рассматривать тригонометрические функции числового аргумента. Например, запись «sin 2» означает «синус угла в 2 радиана». Из определений синуса и косинуса следует, что областью определения функций у = sin X и у = cos х является множество R.

Поскольку абсциссы и ординаты точек единичной окружности принимают все значения от -1 до 1 включительно, то областью значений функций у = sin х и у = cos х является промежуток [-1; 1].

Углам поворота и , где , соответствует одна и та же точка единичной окружности, поэтому

Область определения функции состоит из всех действи­тельных чисел, кроме чисел вида . Областью значений функции является множество .

Можно доказать, что справедлива следующая формула:

Пример:

Найдите наибольшее и наименьшее значения вы­ражения .

Решение:

Поскольку , то . Следовательно, наименьшее значение данного выражения равно -3; выражение принимает его при . Наибольшее значение данного выражения равно 5; выражение принимает его при .

Знаки значений тригонометрических функций. Четность и нечетность тригонометрических функций

Пусть точка получена в результате поворота точки (1; 0) вокруг начала координат на угол . Если точка Р принадлежит I координатной четверти, то говорят, что является углом I четверти. Аналогично можно говорить об углах II, III и IV четвертей.

Например, и -300° — углы I четверти, и -185° — углы II четверти, и -96° — углы III четверти, 355° и — углы IV четверти. Углы вида , не относят ни к какой четверти.

Точки, расположенные в I четверти, имеют положительные абсциссу и ординату. Следовательно, если — угол I четверти, то .

• Если а — угол II четверти, то sin а > 0, cos а < 0.
• Если а — угол III четверти, то sin а < 0, cos а < 0.
• Если а — угол IV четверти, то sin а < 0, cos а > 0.

Знаки значений синуса и косинуса схематически показаны на рисунке 10.1.

Поскольку , то тангенсы углов I и III четвертей являются положительными, а углов II и IV четвертей — отрицательными (рис. 10.2). Пусть точки получены в результате поворота точки (1; 0) на углы и — соответственно (рис. 10.3).

Для любого угла точки имеют равные абсциссы и противоположные ординаты. Тогда из определений синуса и косинуса следует, что для любого действительного числа

Это означает, что функция косинус является четной, а функция синус — нечетной.

Область определения функции симметрична относительно начала координат (проверьте это самостоятельно). Кроме того:

Следовательно, функция тангенс является нечетной.

Пример:

Какой знак имеет: 1) sin 280°; 2)tg(-140°)?

Решение:

1) Поскольку угол 280° является углом IV четверти, то sin 280° < 0.

2) Поскольку угол -140° является углом III четверти, то tg(-140°) > 0.

Пример:

Сравните sin 200° и sin (-200°).

Решение:

Поскольку угол 200° — угол III четверти, угол -200° — угол II четверти, то sin 200° < 0, sin (-200°) > 0. Следова­тельно, sin 200° < sin (-200°).

Пример:

Исследуйте на четность функцию: 1) • 2).

Решение:

1) Область определения данной функции, D(f) = , симметрична относительно начала координат.

Имеем:

Следовательно, рассматриваемая функция является четной.

2) Область определения данной функции, , сим­метрична относительно начала координат. Запишем:

Поскольку ни одно из равенств и не выполняется для всех из области определения, то рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной.

Свойства и графики тригонометрических функций

Вы знаете, что для любого числа х выполняются равенства

Это указывает на то, что значения функций синус и косинус периодически повторяются при изменении аргумента на . Функ­ции являются примерами периодических функ­ций.

Определение. Функцию называют периодической, если существует такое число , что для любого из области определения функции выполняются равенства Число Т называют периодом функции .

Вы знаете, что для любого из области определения функции выполняются равенства

Тогда из определения периодической функции следует, что тангенс является периодической функцией с периодом .

Можно показать, что если функция имеет период , то любое из чисел …. а также любое из чисел … также является ее периодом. Из этого свойства следует, что каждая периодическая функция имеет бесконечно много периодов.

Например, любое число вида является периодом функций у = sin х и у = cos х; а любое число вида является периодом функции

Если среди всех периодов функции f существует наименьший положительный период, то его называют главным периодом функции f.

Теорем а 11.1. Главным периодом функций является число ; главным периодом функции — число .

Пример:

Найдите значение выражения:

1) 2) 3)

Решение:

1)

2)

3)

На рисунке 11.1 изображен график некоторой периодической функции с периодом

Фрагменты графика этой функции на промежутках [0; Т], [Т; 2Т], [2Т; ЗТ] и т. д., а также на промежутках [-Т ; 0], [-2Т; -Т ], [-ЗТ ; -2Т] и т. д. являются равными фигурами, причем любую из этих фигур можно получить из любой другой параллельным переносом на вектор с координатами , где — некоторое целое число.

Пример:

На рисунке 11.2 изображен фрагмент графика периодической функции, период которой равен Т. Постройте график этой функции на промежутке .

Решение:

Построим образы изображенной фигуры, полученные в результате параллельного переноса на векторы с координатами (Т; 0), (2Т; 0) и (-Т; 0). Объединение данной фигуры и полученных образов — искомый график (рис. 11.3).

При повороте точки вокруг начала координат на углы от 0 до большему углу поворота соответствует точка единичной окружности с большей ординатой (рис. 11.4). Это означает, что функция возрастает на промежутке . При повороте точки на углы от до большему углу поворота соответствует точка единичной окружности с меньшей ординатой (рис. 11.4). Следовательно, функция убывает на промежутке

При повороте точки на углы от до большему углу поворота соответ­ствует точка единичной окружности с большей ординатой (рис. 11.4). Следовательно, функция возрастает на промежутке . Функция на промежутке имеет три нуля:

Если то если то

Функция на промежутке достигает наибольшего значения, равного 1, при и наименьшего значения, равного -1 , при .

Функция на промежутке принимает все значения из промежутка [-1; 1].

Полученные свойства функции позволяют построить ее график на промежутке (рис. 11.5). График можно построить точнее, если воспользоваться данными таблицы значений тригонометрических функций некоторых углов, приведенной на форзаце 3.

На всей области определения график функции можно получить из построенного графика с помощью параллельных переносов на векторы с координатами (рис. 11.6).

График функции называют синусоидой.

График функции называют косинусоидой (рис. 11.8).

Рассмотрим функцию на промежутке , то есть на промежутке длиной в период этой функции (напомним, что функция в точках не определена).

Можно показать, что при изменении угла поворота от значения тангенса увеличиваются. Это означает, что функция возрастает на промежутке .

Функция на промежутке имеет один нуль: х = 0. Если , то ; если

Полученные свойства функции позволяют построить ее график на промежутке — (рис. 11.9). График можно построить точнее, если воспользоваться данными таблицы значений тригонометрических функций некоторых аргументов, приведенной на форзаце 3.

На всей области определения график функции можно получить из построенного графика с помощью параллельных переносов на векторы с координатами (рис. 11.10).

В таблице приведены основные свойства тригонометрических функций.

Пример:

Сравните: 1) и 2) и .

Решение:

1) Поскольку числа принадлежат промежутку на котором функция убывает, и , то

2) Поскольку углы 324° и 340° принадлежат промежутку [180°; 360°], на котором функция возрастает, и 324° < 340°, то cos 324° < cos 340°.

Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

В этом пункте установим тождества, связывающие значения тригонометрических функций одного и того же аргумента. Координаты любой точки единичной окружности удовлетворяют уравнению . Поскольку где — угол поворота, в результате которого из точки была получена точка , то

(1)

Обратим внимание на то, что точка Р на единичной окружности выбрана произвольно, поэтому тождество (1) справедливо для любого . Его называют основным тригонометрическим тождеством.

Используя основное тригонометрическое тождество, найдем зависимость между тангенсом и косинусом.

Пусть . Разделим обе части равенства (1) на . Получим:

Отсюда

Пример:

Упростите выражение:

1) 2 )

Решение:

1)

2)

Пример:

Известно, что Вычислите .

Решение:

Имеем:

Отсюда или 3 3 Рисунок 12.1 иллюстрирует эту задачу.

Пример:

Найдите , если

Решение:

Имеем:

Поскольку , то ; следовательно,

Формулы сложения

Формулами сложения называют формулы, выражающие через тригонометрические функции углов .

Докажем, что Пусть точки получены в результате поворота точки на углы соответственно.

Рассмотрим случай, когда . Тогда угол между векторами равен (рис. 13.1). Координаты точек и соответственно равны и . Тогда вектор имеет координаты , а вектор .

Выразим скалярное произведение векторов через их координаты:

В то же время по определению скалярного произведения векторов можно записать:

Отсюда получаем формулу, которую называют косинусом разности:

(1)

Формула (1) справедлива и в том случае, когда Докажем формулу косинуса суммы:

Имеем:

Формулы синуса суммы и синуса разности имеют вид:

Формулы тангенса суммы и тангенса разности имеют вид:

(2)

(3)

Тождество (2) справедливо для всех , при которых Тождество (3) справедливо для всех , при которых

Формулы, выражающие тригонометрические функции аргумента через тригонометрические функции аргумента а, называют формулами двойного аргумента.

В формулах сложения

положим Получим:

Эти формулы соответственно называют формулами косинуса, синуса и тангенса двойного аргумента.

Поскольку то из формулы получаем еще две формулы:

Иногда эти формулы удобно использовать в таком виде:

или в таком виде:

Две последние формулы называют формулами понижения степени.

Пример:

Упростите выражение:

Решение:

1) Применяя формулы синуса суммы и синуса разности, получаем:

2) Заменим данное выражение на синус разности аргументов и . Получаем:

Пример:

Докажите тождество

Решение:

Пример:

Найдите значение выражения .

Решение:

Используя формулу тангенса суммы углов 20° и 25°, получаем:

Пример:

Упростите выражение:

1) 2) .

Решение:

1)

2)

Формулы приведения

Периодичность тригонометрических функций дает возможность сводить вычисление значений синуса и косинуса к случаю, когда значение аргумента принадлежит промежутку . В этом пункте мы рассмотрим формулы, позволяющие в таких вычислениях I л п ограничиться лишь углами из промежутка

Каждый угол из промежутка можно представить в виде или , или где . Например, Вычисление синусов и косинусов углов вида можно свести к вычислению синуса или косинуса угла . Напри­мер:

Применяя формулы сложения, аналогично можно получить:

Эти формулы называют формулами приведения для синуса. Следующие формулы называют формулами приведения для косинуса:

Проанализировав записанные формулы приведения, можно заметить закономерности, благодаря которым не обязательно заучи­ вать эти формулы. Для того чтобы записать любую из них, можно руководствоваться следующими правилами.

1. В правой части равенства ставят тот знак, который имеет левая часть при условии, что
2. Если в левой части формулы аргумент имеет вид , или то синус заменяют на косинус и наоборот. Если аргумент имеет вид то замена функции не происходит.

Покажем, как действуют эти правила для выражения . Предположив, что приходим к выводу: является углом III координатной четверти. Тогда . По первому правилу в правой части равенства должен стоять знак « — ».

Поскольку аргумент имеет вид , то по второму правилу следует заменить синус на косинус. Следовательно, .

Пример:

Упростите выражение .

Решение:

Имеем:

Пример:

Замените значение тригонометрической функции значением функции острого угла: 1) 2) .

Решение:

1) . 2) .

Уравнение COS x=b

Уравнение

Поскольку областью значений функции является промежуток , то при уравнение не имеет реше­ний. Вместе с тем при любом таком, что , это уравнение имеет корни, причем их бесконечно много. Сказанное легко понять, обратившись к графической интерпретации: графики функций и , где , имеют бесконечно много общих точек (рис. 15.1).

Понять, как решать уравнение в общем случае, поможет рассмотрение частного случая. Например, решим уравнение . На рисунке 15.2 изображены графики функций .

Рассмотрим функцию на промежутке (красная часть кривой на рисунке 15.2), то есть на промежутке, длина которого равна периоду этой функции. Прямая пересекает график функции на промежутке в двух точках и , абсциссы которых являются противоположными числами.

Следовательно, уравнение на промежутке имеет два корня. Поскольку , то этими корнями являются числа . Функция у = cos х — периодическая с периодом . Поэтому каждый из остальных корней уравнения отличается от одного из найденных корней или на число вида .

Итак, корни рассматриваемого уравнения можно задать формулами . Как правило, эти две формулы заменяют одной записью:

Вернемся к уравнению , где . На рисунке 15.3 показано, что на промежутке это уравнение имеет два корня и , где а (при b = 1 эти корни совпадают и равны нулю).

Тогда все корни уравнения имеют вид

Эта формула показывает, что корень играет особую роль: зная его, можно найти все остальные корни уравнения . Корень имеет специальное название — арккосинус.

Определение. Арккосинусом числа , где , называ­ют такое число из промежутка , косинус которого равен . Для арккосинуса числа используют обозначение . Например,

Вообще, , если Теперь формулу корней уравнения , можно записать в следующем виде:

(1)

Заметим, что частные случаи уравнения (для ) были рассмотрены ранее (см. п. 9).

Напомним полученные результаты:

Такие же ответы можно получить, используя формулу (1). Имеет место равенство

Пример:

Решите уравнение:

1) 2 ) 3)

Решение:

1) Используя формулу (1), запишем:

Далее получаем:

Ответ: 2) Имеем:

Ответ:

3) Перепишем данное уравнение следующим образом:

Отсюда Тогда

Ответ:

Уравнения sin x=b и tg x=b

Уравнения

Поскольку областью значений функции является про­межуток [-1; 1], то при | b | > 1 уравнение не имеет решений. Вместе с тем при любом таком, что , это уравнение имеет корни, причем их бесконечно много. Отметим, что частные случаи уравнения (для ) были рассмотрены ранее (см. п. 9). Напомним полученные результаты:

Для того чтобы получить общую формулу корней уравнения , где , обратимся к графической интерпретации.

На рисунке 16.1 изображены графики функций и ,

Рассмотрим функцию на промежутке (красная часть кривой на рисунке 16.1), то есть на промежутке, длина которого равна периоду этой функции. На этом промежутке уравнение имеет два корня и , где (при эти корни совпадают и равны ).

Поскольку функция — периодическая с периодом , то каждый из остальных корней уравнения отличается от одного из найденных корней на число вида

Тогда корни уравнения можно задать формулами

Эти две формулы можно заменить одной записью:

(1)

Действительно, если — четное число, то есть то получаем если — нечетное число, то есть ,Z, то получаем

Формула (1) показывает, что корень играет особую роль: зная его, можно найти все остальные корни уравнения . Корень имеет специальное название — арксинус.

Определение. Арксинусом числа , где , называют такое число из промежутка, синус которого равен .

Для арксинуса числа используют обозначение .

Например,

Вообще, , если

Теперь формулу корней уравнения можно за­писать в следующем виде:

(2) Имеет место равенство

Пример:

Решите уравнение: 1) 2)

Решение:

1) Используя формулу (2), запишем:

Далее получаем:

Ответ :

2) Перепишем данное уравнение следующим образом:

Тогда

Ответ:

Поскольку областью значений функции является мно­жество , то уравнение имеет решения при любом значении.

Для того чтобы получить формулу корней уравнения , обратимся к графической интерпретации. На рисунке 16.2 изображены графики функций

Рассмотрим функцию на промежутке (красная кривая на рисунке 16.2), то есть на промежутке, длина которого равна периоду данной функции. На этом промежутке уравнение при любом имеет единственный корень .

Поскольку функция — периодическая с периодом , то каждый из остальных корней уравнения отличается от найденного корня на число вида

Тогда корни уравнения можно задать формулой

Полученная формула показывает, что корень играет особую роль: зная его, можно найти все остальные корни уравнения . Корень имеет специальное название — арктангенс.

Определение. Арктангенсом числа называют такое число из промежутка, тангенс которого равен .

Для арктангенса числа используют обозначение Например,

Вообще,

Теперь формулу корней уравнения можно записать в следующем виде:

Имеет место равенство

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Имеем:

Ответ :

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим

В пунктах 15, 16 мы получили формулы для решения уравнений вида Эти уравнения называют простейшими тригонометрическими уравнениями. С помощью различных приемов и методов многие тригонометрические уравнения можно свести к простейшим.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Выполним замену Тогда данное уравнение принимает вид Отсюда Поскольку то уравнение не имеет корней. Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению Окончательно получаем: Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Используя формулу преобразуем данное уравнение:

sin х — 3(1 — 2 sin2x) — 2 = 0; 6 sin2 х + sin x — 5 = 0.

Пусть . Получаем квадратное уравнение Отсюда .

Итак, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Имеем:

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Поскольку то данное уравнение можно записать следующим образом:

Отсюда Пусть . Имеем: Тогда Получаем, что данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Отсюда

Ответ :

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 2

Радианная мера угла

Углом в один радиан называют центральный угол окружности, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окруж­ности. Радианная и градусная меры угла связаны формулами

Косинус, синус и тангенс угла поворота

Косинусом и синусом угла поворота называют соответственно абсциссу и ординату точки единичной окружности, полученной в результате поворота точки вокруг начала координат на угол .

Тангенсом угла поворота называют отношение синуса этого sin о угла к его косинусу:

Знаки значений тригонометрических функций

Периодические функции

Функцию называют периодической, если существует такое число что для любого из области определения функции выполняются равенства Число Т на­зывают периодом функции

Если среди всех периодов функции существует наименьший положительный период, то его называют главным периодом функции

Связь тригонометрических функций одного и того же аргумента

Формулы сложения

Формулы приведения

Для того чтобы записать любую из формул приведения, можно руководствоваться следующими правилами:

1) в правой части равенства ставят тот знак, который имеет левая часть при условии, что

2) если в левой части формулы аргумент имеет вид или то синус меняют на косинус и наоборот. Если аргумент имеет вид то замена функции не происходит.

Формулы двойного аргумента

Арккосинус, арксинус и арктангенс

Арккосинусом числа , где называют такое число из промежутка косинус которого равен Арксинусом числа , где называют такое число из промежутка синус которого равен Арктангенсом числа называют такое число из промежутка , тангенс которого равен

Решение простейших тригонометрических уравнений

——

Тригонометрические функции

Прежде чем рассматривать тригонометрические функции, напомним, что такое радианная мера угла.

Радианной мерой центрального угла называется отношение длины дуги, на которую он опирается, к радиусу окружности. Если —длина радиуса, —длина дуги, то радианная мера дуги выразится так:

Так как и измеряются линейными единицами, то из (1) следует, что —число отвлеченное. Из геометрии известно, что

где —градусная мера центрального угла, опирающегося на дугу . Поэтому радианная мера угла будет

Находя из формулы (2), получим выражение градусной меры угла через радианную:

Пример:

Найти радианную меру угла 30°.

Решение:

Подставляя в формулу (2) вместо число 30, найдем

Пример:

Найти градусную меру угла, радианная мера которого равна 0,8.

Решение:

Подставляя в формулу (3), находим

или приближенно, полагая , найдем . Так как —постоянное число, то формула (2) устанавливает прямую пропорциональность между числами и .

В тригонометрии, помимо положительных углов, вводятся и отрицательные, поэтому радианная мера угла может быть и отрицательной. Например, угол —90° имеет радианную меру .

График функции y=sin x

График функции

При построении графиков тригонометрических функций можно обойтись без таблиц. Для этого надо поступить так (рис. 26):

1. Возьмем окружность единичного радиуса и от точки отложим на окружности в направлении, противоположном движению часовой стрелки, дугу , длину которой обозначим . Тогда радианная мера угла будет численно равна . Построим линию синуса этого угла; она изобразится отрезком . Так как , то синус угла, найденный как отношение , численно равен длине отрезка .

2. Возьмем оси координат (рис. 26). На оси отложим отрезок , длина которого равна длине дуги . Отрезок , перпендикулярный оси, возьмем равным длине отрезка . Тогда . Следовательно, точка имеет координаты и . Проделав это построение для различных дуг, получим ряд точек, лежащих на графике функции . На рис. 26 построены точки, соответствующие дугам:

Функция периодическая и имеет период . Это значит, что для любого значения выполняется равенство^

График функции y=sin wx

График функции

При изменении аргумента от 0 до синус принимает все значения от до . При дальнейшем увеличении аргумента значения синуса в силу периодичности повторяются.

Если рассмотрим функцию , то при изменении аргумента от 0 до функция примет все значения от до . При дальнейшем увеличении аргумента сох значения sin сох будут повторяться. Найдем период функции . Так как значения функции начнут повторяться с того момента, когда аргумент станет равным , то период найдется из равенства .

Отсюда получаем, что . Следовательно, есть период функции . В самом деле,

Поэтому функция имеет график, изображенный на рис. 27. Если , то график сжимается по сравнению с графиком . Если же , то график растягивается (на рис. 27 ).

График функции y=sin (x-φ)

График функции

Перейдем от старых осей координат к новым, начало которых находится в точке . Старые координаты выражаются через новые так (см. § 2 гл. III):

Подставляя эти выражения в уравнение , получим, т. е. график функции в новой системе координат выглядит так же, как график функции

в старой системе координат. Следовательно, график функции в старой системе координат можно получить, сдвигая график на вправо, если , и влево, если (на рис. 28 ).

График функции y=A sin x

График функции

Если , то каждая ордината на графике имеет то же направление, что и ордината точки, лежащей на графике , только ее длина умножается на число . При этом, если , то ордината увеличивается, если же

, то уменьшается. При ордината изменяет направление на противоположное. На рис. 29 изображены графики функций .

Таким образом, уравнение определяет на плоскости кривую линию, называемую синусоидой. Коэффициент , называемый частотой, влияет на растяжение синусоиды в направлении оси . При этом, если , то синусоида растягивается, если же , то сжимается. Коэффициент называется фазой, его величина влияет на сдвиг синусоиды, как целого, вдоль оси . Если положителен, то сдвиг производится вправо, если же отрицателен, то — влево. Коэффициент называется амплитудой, его величина влияет на растяжение синусоиды в направлении оси .

На рис. 30 показано последовательное построение графика функции. Сверху изображен график функции , ниже—график функции , еще ниже—график и в самом низу —график функции . На всех четырех графиках точки, имеющие одну и ту же абсциссу, лежат на одной вертикальной прямой.

Указанный метод построения синусоид может быть использован и для построения косинусоид. Приведем пример.

Пример:

Построим график функции .

Решение:

Применяя формулы приведения, известные из тригонометрии будем иметь

Этот график уже построен на рис. 30, 4.

————-

Тригонометрические функции

Периодические функции

Многие события, происходящие в природе — восход и закат солнца, появление комет, сезонные изменения температуры воздуха, всплеск и затухание волн в океане и т.п., являются циклически повторяющимися событиями. Процесс по производству оборудования, движение частей машины и т.д., так же могут быть заданы периодической функцией. Исследуем периодические переменные на примере. Работа станка по нарезке ленты. В фирме по производству измерительной ленты имеется станок, при помощи которого тонкая лента разрезается на кусочки по 3 м и сворачивается. График работы станка и описание принципа работы висит на стене.

1. 0,5 см-наибольшая высота, на которую поднимается нож.

2. Нож бездействует 3 секунды, с 0-3, 4 -7 секунды и т.д.

3. Нож опускается вниз в интервале с 3 до 3,5 сек., отрезает ленту, и с 3,5 до 4 сек. нож поднимается вверх.

4. На один полный цикл тратится 4 секунды. На какой, по вашему секунде, нож снова отрежет ленту?

Станок по изготовлению измерительной ленты циклически повторяет работу. Один цикл длится 4 секунды. График зависимости высоты ножа от времени, также соответствует одному циклу. В следующий раз нож разрежет ленту на 11,5 секунде. Такие функции называются циклическими (периодическими) функциями. Значения периодических функций повторяются на определённом интервале.

Пусть существует такое число , что для произвольного х из области определения функции , также принадлежит области определения и удовлетворяют условию . Тогда называется периодической функцией и, если период равен Т, то также является периодом . На самом деле, например,.

Наименьший положительный период функции называется его основным периодом.

Периодичность тригонометрических функций

Можно увидеть , что при совпадении конечных сторон угла поворота, значения тригонометрических функций совпадают. Например, для всех значений х. Значит, значения тригонометрических функций повторяются. Значение синуса и косинуса повторяются с периодом , а тангенса и котангенса с периодом . Тригонометрическими функциями числового аргумента х называются одноименные тригонометрические функции угла равного х радиан. Все свойства функций для угла (четность и нечетность, периодичность и тд.) одинаковы для тригонометрических функций от числового аргумента. Чтобы построить график этой функции, достаточно изобразить его на отрезке, длина которого равна периоду, а затем повторить его.

График функций y= sin x и y=cos x

График функций

График функции y=sin x

График функции .

Периодическая функция ири движении по окружности при повороте на угол показывает высоту (расстояние по вертикали) от оси х. На единичной окружности координата каждой точки равна и удовлетворяют уравнению . Здесь угол угол между единичным радиусом и положительным направлением оси х. Значит, координата у определяется .

Между дугой, которую описывает точка, и значениями функции , существует однозначное соответствие.

Разобьём дугу, принадлежащую I четверти на три равных дуги и в точках деления проведём прямые, параллельные оси абсцисс. Через точки пересечения прямых с соответствующими параллельными прямыми проведём сплошную линию. Получим график, как показано на рисунке.

Известно, что единичная окружность совершает полный оборот за 360⁰ или радиана. Построим, аналогичным образом, график функции на промежутке:

Так как синус является периодической функцией, то на промежутке длиной : график будет повторятся заново. Если обозначить функцию через у, а аргумент через х, то можно записать . График функции на промежутке можно начертить, как показано ниже:

График функции называется синусоидой (с амплитудой, равной 1, и периодом ).

График функции можно построить при помощи таблицы значений. Так как синус является периодической функцией, то достаточно построить этот график на отрезке [0; ] длиной . Отметим значение точек из таблицы на графике и проведём сплошную линию. Полученный график, является графиком функции.

Как из таблицы значений, так и по графику видно, что график функции, проходит через точку (0; 0) начало координат.

При возрастании х от 0 до значения у возрастают от 0 до 1;

По таблице значений и графику функции перечислим её свойства:

1. Область определения множество всех действительных чисел.
2. Область значений отрезок [-1; 1].
3. Функция нечётная: , т.е. график симметричен относительно начала координат.
4. Функция периодическая с периодом .
5. Синусоида пересекает ось абсцисс в точках …, —, …, и т.д., т.е. при функция обращается в нуль. Синусоида проходит через начало координат.
6. Наибольшее значение равное 1 функция принимает при х … , ;; ….., т.е. при .
7. Наименьшее значение равное -1 функция принимает при ;т.е. при .

График функции y=cos x

График функции .

График функции на отрезке [0; ] можно построить аналогично графику функции геометрическим способом, используя единичную окружность, а также при помощи таблицы значений. Так как , т.е. график можно построить переместив график функции на влево. Получаем график функции .

По графику перечислим свойства функции :

1. Область определения: множество всех действительных чисел.
2. Область значений отрезок [-1; 1].
3. Функция чётная функция (график симметричен относительно оси у)
4. Функция периодическая с периодом
5. График пересекает ось абсцисс в точках … , ,… , т.д., т.е. при функция обращается в нуль. График пересекает ось ординат в точке (0; 1).
6. Наибольшее значение равное 1 функция принимает при х …, ,… , т.е. при .
7. Наименьшее значение равное — 1 функция принимает при ,… , т.е. при .

Строить графики функций у = sin х и у = cos х удобно при помощи пяти основных точек (точек пересечения с осью абсцисс и точками экстремума). Последовательность пяти точек для функции у = sin х на промежутке [0;] может быть задана так:

Последовательность пяти точек для функции у = cos х на промежутке [0; ] может быть задана так:

Преобразование графиков функций у = sin х и у = cos х.

Растяжение и сжатие.

Пример 1. Если на графики функции у = sinx абсциссы оставить без изменения, а ординаты увеличить в 2 раза, то получим точки, принадлежащие графику функции у = 2 sinх. Это говорит о том, что график функции у = 2 sinх может быть построен из графика функции у = sinх растяжением от оси абсцисс в 2 раза. График функции у = 0,5 sinх можно построить сжатием к оси абсцисс графика функции у = sinх в 2 раза.

Графики функций у = a sin х и у = a cos х получаются соответственно из графиков функций у = sin х и у = cos х растяжением от оси абсцисс при и сжатием, при . При а < 0 график функции отображается симметрично относительно оси х.

Пример 2. График функции у = sin 2х в 2 раза «обгоняет» график функции у = sin х. Если функция у = sin х принимает значения от 0 до 1 на промежутке то функция у = sin 2х эти же значения принимает на интервале в этом промежутке . Точки графика функции у = sin 2х можно получить, умножив абсциссы точек графика функции у = sin х на , при этом не меняя значения ординат. График функции у = sin 2х получается из графика у = sin х сжатием в 2 раза и целый период умещается в отрезке . График функции получается растяжением графика функции у = sin х в 2 раза и целый период умещается в отрезок .

Графики функций у = sin bx и у = cos bx соответственно получаются из графиков функций у = sin х и у = cos х сжатием к оси ординат, при b > 1 и растяжением при 0 < b < 1. В случае b < 0 с учётом того, что синус является нечётной функцией, а косинус чётной приводит к случаям, указанным выше.

Графики функций полученные растя-жснием(сжатием) вдоль координатных осей графиков также являются синусоидами (косинусоидами).

При увеличении значения амплитуда увеличивается, при уменьшении — уменьшается. При увеличении значения период уменьшается, при уменьшении — увеличивается.

Пример. Постройте график функции .

1.График функции строится растяжением в 2 раза графика функции от оси ординат.

2.Полученный график растягивается от оси абсцисс в 2 раза.

Исследование. Пусть материальная точка движется по окружности радиуса из начальной точки А (а; 0) с угловой скоростью .

1)Для этой точки запишите зависимость координаты от времени .

2)Найдите наибольшее и наименьшее значение абсцисс и ординат точки.

3)Обоснуйте, что положение точки не меняется при изменении

времени на .

Период и амплитуда функций у = a sin bx и у = a cos bx

Теорема. Если основной период функции равен Т, то основной период функции равен (здесь а и b числа, отличные от нуля).

Отсюда получаем, что является основным периодом для функций . На самом деле,

Число является амплитудой. Амплитуда равна половине разности наибольшего и наименьшего значения.

Пример. Для функции амплитуда равна |-3| или 3, основной 2л л период .

Сдвиг по горизонтали — фаза.

В функциях член с показывает смещение графика по горизонтали, которое называется фазой. Пример. Постройте график функции

Построим график функции растяжением графика

функции у = cos х в 2 раза от оси ординат. График функции

можно получить смещением графика

функции вправо на единиц, т.е. получаем

график функции

Смещение по вертикали

В функциях член d показывает смещение но вертикали: если d > 0 график функции сдвигается вверх, d < 0 график сдвигается вниз.

Пример. Постройте график функции у = 2 sin х — 1.

Решение: ниже показаны этапы преобразования графика функции

у = sin x в график функции у = 2 sin х — 1 по шагам.

1.Увеличиваем амплитуду в 2 раза получаем график у = 2 sinx.

2.Сдвигаем график вниз на одну единицу и получаем график функции у = 2 sinx — 1.

Множество значений функции .

График функции у= 2 sin х-1 изменяется относительно прямой у = -1 на 2 единицы вверх и вниз. Эта линия называется средней линией.

максимум = средняя линия + амплитуда

минимум = средняя линия — амплитуда

Пример. Постройте график функции .

1)График функции получается из графика функции

у = cos х сжатием к оси ординат в 2 раза.

2) Смещая график функции у = cos 2х влево на единицы получаем график функции , т.е. .

3) Растянем график функции вдоль оси ординат в 3 раза и получим график функции.

4) Сместим график функции по вертикали на 1 единицу вверх и получим график функции .

Построение синусоиды по пяти основным точкам

Преобразование при помощи движения и подобия сохраняет «форму» кривой. Поэтому не только график синуса, но в тоже время и кривая, полученная растяжением (сжатием) и последовательными смещениями, называется синусоидой. Свойства функций, заданных в виде и аналогичны свойствам функций синуса и косинуса, что помогает при их исследовании. В начале необходимо найти их период и точки, в которых значения функции равны 0 или ± а. График функции иможно легко построить по значениям пяти важных точек в промежутке по следующему алгоритму.

1. Определяем амплитуду графика.
2. Определяем основной период графика
3. Разбиваем отрезок [0; Т] на 4 равных части: .
4. Пять важных точек — точки пересечения с осью х, точки максимума и минимума. Для вышеупомянутых точек х находятся значения у.
5. Координаты 5-ти точек (х; у) отмечаются на координатной плоскости.
6. Эти точки соединяются. Полученная синусоидальная кривая является графиком для одного периода. Повторяя построенный график, можно получить график заданной функции на любом отрезке.

Пример 1. Постройте график функции по пяти основным точками.

Решение: амплитуда:

Основной период:

Отрезок, соответствующий одному периоду по оси х разделим на четыре равных части. Для целого периода равна . Начиная от точки , через каждые отметим справа последовательно точки через периода, через периода, через периода и, наконец,

через целый период.

Вычислим значения функции в указанных точках.

Отметим координаты этих точек на координатной плоскости, и соединим сплошной линией. Данный график является графиком функции на отрезке . Если параллельно перенести данный график вдоль оси абсцисс на то получим график функции на всей числовой оси (показано пунктиром).

Пример 2. Постройте график функции .

Решение. Амплитуда: . Значения у меняются от -2 до 2.

Основной период: .

Разделим отрезок (один период ) на 4 равные части. Найдём значения х и соответствующие значения функции. Построим график.

Пример 3. Для нахождения начальной и конечной точек периода функции надо решить неравенство

Здесь начальная точка — показывает и фазу тоже.

Разделив отрезок на 4 равные части необходимо определить пять основных точек. Значения х в этих пяти точках будут .

В этих точках х для функции получаем точки и строим график. Для функции имеем: амплитуда:

Тригонометрические функции и периодические события

В природе и в жизни мы достаточно часто сталкиваемся с периодическими процессами — вращение Земли, изменение времен года, дыхание, сердечный ритм сердца человека и т.д.. Также периодическими являются очень многие физические явления. Например, при исследовании колебания электрических и оптических волн используют периодические функции. Самые простые колебания называются гармоническими колебаниями и записываются в виде .

Пример 1. Биология. В биологии прогнозирование численности зверей и птиц моделируют с помощью периодических функций. Учёные исследуют численность сов и мышей в одном регионе. В результате моделируется функция численности особей (по месяцам).

Для сов эта функция записывается так: ,

для мышей так: .

По информации, представленной на графике, можно сделать выводы

о численности сов и мышей, которые являются нищей для сов.

а)Постройте графики каждой функции.

б)Какой вывод можно сделать об изменении численности сов и мышей?

в)Исследуйте отношение численности сов и мышей в зависимости от времени.

Решение:

а)

Для сов имеем: максимум функции 1100, минимум 900.

Амплитуда: 100. Сдвиг по вертикали: d = 1000 (начальное значение). Средняя линия = 1000. Период:, тогда

Т.е., основной период функции 24 месяца.

Для мышей имеем: максимум функции 24 000, минимум 16 000.

Амплитуда : 4000. Сдвиг по вертикали: d = 20000 (начальное значение). Средняя линия = 20000. Период:, , тогда .

То есть, основной период данной функции, также 24 месяца.

б) Если графики построены в одном масштабе, то их можно сравнить. Так как мыши являются пищей для сов, то при увеличении сов, численность мышей уменьшается и стремиться к минимальному значению. При уменьшении сов численность мышеи увеличивается и достигает наибольшего значения в то время, когда количество сов достигает минимума

в) В таблице показано отношение количества сов и мышей за каждые 6 месяцев.

Это отношение должно изменяться в определённой закономерности. Для того, чтобы увидеть эту закономерность, построим функцию соответствующую отношению при помощи граф калькулятора. Функцию введём в граф калькулятор как , а функцию как и построим график функции . Увидим, что в этом случае отношение двух периодических функций является

периодической функцией.

Графики функций y=tg x и y=ctg x

Графики функций .

Исследование. Изменение тангенса угла.

1) На листе в клетку изобразите координатную плоскость и единичную окружность, с центром в начале координат. К окружности проведите касательную в точке (1;0).

2)Обозначим через К точку пересечения конечной стороны угла поворота с касательной. Из . Значение , для острого угла поворота равно длине отрезка АК.

3)В какой точке пересекает конечная сторона угла 45° касательную?

4)При помощи транспортира изобразите ещё несколько разных углов и и найдите ординаты точек пересечения с касательной.

5)Как изменяется ордината точки К, при стремлении угла к 90″? Пересекается ли касательная с конечной стороной угла поворота при = 90°?

6)Известно, что для периодической функции с периодом Т достаточно изучить функцию на одном интервале длиной Т.

На каком интервале для целесообразно изучение функции?

7) не определён для = 90° и = -90°. В интервале (-90°; 90°) функция определена.

Заполните таблицу и постройте график функции тангенса.

Постройте график функции при помощи граф калькулятора.

Функция y = tg х

Функция х.

Значения тангенса для угла равно угловому коэффициенту прямой, проходящей через начало координат и точки с координатами (cos ; sin ), расположенной на единичной окружности. Как видно по рисунку, длина отрезка касательной AQ равна ординате точки Q. Координаты точки Q равны . Прямая AQ называется прямой тангенсов.

При график функции проходит через начало координат.

Если х, оставаясь меньше , стремит к нему, то значения увеличиваются и приближаются к . Прямые , так же как и

являются вертикальными асимптотами графика .

Разобьём I четверть единичной окружности и отрезок на 4 равные части. На линии тангенсов построим отрезки, равные значению соответствующих углов. На оси Ох отметим точки, соответствующие данным углам, и восстановим к каждой из них перпендикуляр. Через эти точки, параллельно оси Ох, проведём параллельные прямые. Полученную последовательность точек соединим сплошной линией.Получим график функции в промежутке . Учитывая, что , преобразуем полученный график симметрично относительно начала координат, получим график функции на интервале

Зная, что период функции равен , построенный график продолжим на вправо и влево. Получим график, который называется тангенсоида.

Основные свойства

График функции не является непрерывным, прерывается при х равных и кратных в нечетное количество раз

Функция не имеет максимумов и минимумов.

Область значений функции множество всех действительных чисел.

Основной период функции равен .

График функции пересекает ось х в точках

Функция не определена в точках . Пунктирные линии, проходящие через эти точки являются вертикальными асимптотами.

Область определения функций .

Функция возрастает между двумя соседними асимптотами.

Функция нечетная:

Функция y=ctg x

Функция :

Для построения графика функции — воспользуемся

тождеством

1)Переместим график функции влево вдоль оси абсцисс на

2)Отобразим полученную кривую симметрично относительно оси абсцисс.

При значения тангенса равны нулю, функция котангенса при данных значениях х не определена:

Как видно по графику, точки пересечения с осью х (нули) и асимптоты функций тангенса и котангенса меняются местами.

Основные свойства

График функции y= a tg bx

График функции .

Для построения графика функции , где а и b отличные от нуля различные числа, нужно определить следующее:

1.Период:Например, период функции равен:

2.Вертикальные асимптоты:

Асимптотами функции являются прямые:

3. Определяется средняя точка отрезка между точкой пересечения оси х с асимптотой. Соответствующие значения у равны или а, или -а.

Пример 1. Построим график функции .

Решение. период:

Точка пересечения с осью абсцисс: (0; 0) Самая близкая асимптота от начала координат: то есть и то есть

Средние точки: и на графике им соответствуют точки .

Пример 2.

Постройте график функции на одном периоде

Решение: Для функции значения х на одном периоде меняется в интервале. Соответствующий промежуток для функции для одного периода можно найти решив неравенство:

Асимптоты проходят через точки. Учитывая точки и построим схематично график функции.

Обратные тригонометрические функции

Точек, в которых синусоида пересекает прямую, параллельную оси абсцисс, бесконечно много. Значит, на всей числовой оси для

функции нет обратной функции.

Однако, на отрезке возрастает и от -1 до 1 принимает все значения, а также каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Значит, на отрезке функция sin х обратима и при уравнение на отрезке имеет единственный корень.

Угол, из промежутка синус которого равен а, называется арксинусом числа а и записывается как arcsin а. Равенство х = arcsin а эквивалентно двум условиям: 1) 2)

Примеры: так как и

так как и

Из определения имеем: .

Можно показать, что

При помощи арксинуса можно задать функцию , с областью определения [-1; 1] и множеством значений .

Функция также записывается как

График функции получается симметричным преобразованием графика функции на промежутке относительно прямой . Областью определения функции [- 1; 1], область значений .

Аналогично получаем, что на всей числовой оси не существует функции, обратной для . Однако на отрезке функция убывает и принимает все значения из отрезка [-1; 1]. То есть, на отрезке функция обратима и при уравнение имеет единственный корень на .

Угол, из промежутка косинус которого равен а, называется арккосинусом числа а и записывается как arccos а.

Равенство эквивалентно двум условиям: 1)

2)

Примеры. , так как и

так как и

По определению:

Можно показать, что . Функция , определённая на отрезке [-1; 1] является обратной для функции , определённой на отрезке.

может быть записана как . График функции получается симметричным преобразованием графика функции на промежутке относительно прямой у = х. Область определения функции промежуток [- 1; 1], множество значений промежуток .

Функция возрастает на промежутке и на промежутке принимает все значения. Поэтому для любого числа а уравнение на промежутке имеет один корень.

Угол, из промежутка , тангенс которого равен а, называется арктангенсом числа а и записывается как arctg а.

Равенство эквивалентно двум условиям:

1) 2)

Примеры: , так как и .

так как . По определению: Можно показать, что

Функция является обратной для функции на промежутке .

График функции получается симметричным преобразованием графика функции на промежутке относительно прямой у = х.

Прямые и являются горизонтальными асимптотами функции .

По такому же правилу, вводится понятие арккотангенса.

Угол, из промежутка , котангенс которого равен а, называется арккотангенсом числа а и записывается как arcctg а.

Равенство эквивалентно двум условиям:

1) 2)

Примеры: так как и ,так как .

По определению:

Можно показать, что .

Функция является обратной для на промежутке

График функции получается симметричным преобразованием графика функции на промежутке относительно прямой у = х. Ось абсцисс и прямая являются горизонтальными асимптотами функции .

Функция может быть записана как , а функция может быть записана как .

На калькуляторе не предусмотрены кнопки , так как эти функции можно выразить через функции. Например, означает, и эту функцию можно выразить через косинус

Отсюда:

Значит, для вычисления надо вычислить . Внимание!

Пример. Найдите значение выражения .

Пусть . Тогда, .

В прямоугольном треугольнике, найдём катет, прилежащий к углу а, если синус острого угла равен .

Отсюда . Учитывая обозначение, имеем:

————в матемтике

Тригонометрические функции

Повторение и расширение сведений о функции

1) Понятие числовой функции

Числовой функцией с областью определения D называется зависи­мость, при которой каждому числу х из множества D (области определения) ставится в соответствие един­ственное число у. Записывают это соответствие так

Обозначения и термины

2) График функции

Графиком функции называется множество всех точек координат ной плоскости с координатами где первая координата х «пробегает» всю область определения функции, а вторая координата равна соответствующему значению функции в точке х.

3) Возрастающие и убывающие функции

Функция f(х) возрастающая: (при увеличении аргумента соответствующие точки графика поднимаются).

Функция f(х) убывающая: (при увеличении аргумента соответствующие точки графика опускаются).

4) Четные и нечетные функции

Функция f(х) четная: для всех х из области определения. График четной функции симметричен относительно оси

Функция f(х) нечетная: для всех х из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки О).

Понятие функции

С понятием функции вы ознакомились в курсе алгеб­ры. Напомним, что зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение у. В курсе алгебры и начал анализа мы будем пользоваться таким определением числовой функции.

Числовой функцией с областью определения D называется зависимость, при которой каждому числу х из множества D ставится в соответствие единственное число у.

Функции обозначают латинскими (иногда греческими) буквами. Рассмотрим произвольную функцию f. Число у, соответствующее числу х (на рисунке 1 это показано стрелкой), называют значением функции f в точке х и обозначают f(х).

Область определения функции f — это множество тех значений, которые может принимать аргумент х. Она обозначается D (f).

Область значений функции f — это множество, состоящее из всех чисел f (х), где х принадлежит области определения. Ее обозначают Е (f).

Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. Если нет дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считается множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Например, если функция задана формулой то ее область определения: а область значений:

Иногда функция может задаваться разными формулами на разных множествах значений аргумента. Например,

Функция может задаваться не только с помощью формулы, а и с помощью таблицы, графика или словесного описания. Например, на рисунке 2 графически задана функция у = f(х) с областью определения D(f) = [-1; 3] и множеством значений Е(f) = [1; 4].

График функции

Напомним, что графиком функции у — f(x) называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (х; f(х)), где первая координата х «пробегает» всю область определения функции, а вторая координата — это соответствующее значение функции f в точке х.

На рисунках к пункту 4 таблицы 1 приведены графики функций и а на рисунке 3 — график функции

Приведем также график функции у = [х], где [х] — обозначение целой части числа х, то есть наибольшего целого числа, не превосходящего х (рис. 4). Об­ласть определения этой функции D(у) = R — множество всех действительных чисел, а область значений Е(y) = Z — множество всех целых чисел.

На рисунке 5 приведен график еще одной числовой функции у = {х}, где {х} — обозначение дробной части числа х (по определению {х} = х — [х]).

Возрастающие и убывающие функции

Важными характеристиками функций являются их возрастание и убывание. Функция f(х) называется возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.

То есть для любых двух значений и из множества Р, если Например, функция f(х) = 2х воз­растающая (на всей области опреде­ления — на множестве R), поскольку при , имеем то есть . У возрастающей функции при увеличении аргумента соответствующие точки графика поднимаются (рис. 6).

На рисунке 7 приведен график еще одной возрастающей функции Действительно, при

Функция f(x) называется убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции. То есть для любых двух значений из множества Р, если то

Например, функция f(х) =-2х убывающая (на всей области определения — на множестве R), поскольку при , имеем то есть У убывающей функции при увеличении аргумента соответствующие точки графика опускаются (рис. 8).

Рассматривая график функции (рис. 9), видим, что на всей области определения эта функция не является ни возрастающей, ни убывающей. Од­нако можно выделить промежутки области определения, где эта функция возрастает и где убывает. Так, на промежутке функция возрастает, а на промежутке — убывает.

Отметим, что для возрастающих и убывающих функций выполняются свойства, обратные утверждениям, содержащимся в определениях.

Если функция возрастает, то большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

Если функция убывает, то большему значению функции соответ­ствует меньшее значение аргумента.

Обоснуем первое из этих свойств методом от противного. Пусть функция f(х) возрастает и Допустим, что аргумент не больше аргу­ментато есть Из этого предположения получаем: если и f(х) возрастает, то что противоречит условию Таким образом, наше предположение неверно, и если что и требовалось доказать. Аналогично обосновывается и второе свойство.

Например, если то, учитывая возрастание функции

Чётные и нечётные функции

Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, то есть содержат вме­сте с каждым числом х и число (-х). Для таких функций вводятся понятия четности и нечетности.

Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f (-х) = f(x).

Например, функция — четная, поскольку • Если функция f(х)четная, то ее графику вместе с каждой точкой М с ко­ординатами (х; у) = (x; f(х)) принадлежит также и точка с координатами (-х; у) = (-х; f(-х)) = (-х; f(х)). Точки М и , расположены симметрично относительно оси (рис. 10), поэтому и весь график четной функции расположен симметрично относительно оси .

Например, график четной функции (рис. 9) симметричен относительно оси .

Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(-х) = —f(х).

Например, функция — нечетная, поскольку

Если функция f(х) нечетная, то ее графику вместе с каждой точкой М с координатами (х; у) = (х; f(х)) принадлежит также и точка с координатами (-х; у) = (-х; f (-х)) = (-х ;- f(х)). Точки М и расположены симметрично относительно начала координат (рис. 11), поэтому и весь гра­фик нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат.

Например, график нечетной функции (см. пункт 4 табл. 1) симметричен относительно начала координат, то есть точки О.

Пример №1

Найдите область определения функции:

Решение:

1. Ограничений для нахождения значений выражения нет, таким образом, D(у) = R;
2. Область определения функции задается ограничением поскольку знаменатель дроби не может быть равным нулю. Выясним, когда Имеем х(х + 1) = 0, х = 0 или х = -1 . Тогда область определения можно задать ограничениям и или записать так:
3. Область определения функции задается ограничением поскольку под знаком квадратного корня должно стоят неотрицательное. Таким образом,

Комментарий:

Поскольку все функции заданы формулами, то их области определения — это множество всех значений переменной х, при которых формула имеет смысл, то есть имеет смысл выражение, которое стоит в правой части формулы у= f(х). В курсе алгебры встречались толь­ко два ограничения, которые необходимо учитывать при нахождении об­ласти определения:

1. если выражение записано в виде дроби то знаменатель
2. если запись выражения содержит квадратный корень то под­коренное выражение

В других случаях, которые вам приходилось рассматривать, облас­тью определения выражения были все действительные числа.

Пример №2

Найдите область значений функции

Решение:

Составим уравнение Оно равносильно уравнению которое имеет решения, если то есть при Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом, область значений заданной функции

Комментарий:

Обозначим значение заданной функции f(х) через а и выясним, для каких а можно найти соответствующее значение х (при этом значении х значение f(х) = а).

Тогда все числа а, для которых существует хотя бы один корень уравнения f(х) = а, войдут в область значений функции f (х). Множество всех таких а и составит область значений функции.

Область значений функции у = f(x) совпадает с множеством тех значений а, при которых уравнение f(x) = a имеет решения.

Пример №3

Докажите, что при областью значений линейной функции y= kx+b является множество всех действительных чисел.

Доказательство:

Если kx+b= а (где ), то решение этого уравнения существует для любого по условию). Таким образом, значением заданной функции может быть любое действительное число. Итак, ее об­ласть значений Е(f) = R.

Комментарий:

Обозначим значение заданной функции f(х), то есть kx + b через а и выясним, для каких а можно най­ти соответствующее значение х, та­кое, что f(х) = а. Множество всех таких значений а и будет составлять область значений функции f (х).

Пример №4

Докажите, что линейная функция при явля­ется возрастающей, а при — убывающей.

Доказательство:

Пусть Рассмотрим разность Поскольку то при k > 0 имеем таким обра­зом, и значит, функция возрастает. При имеемтаким образом, значит, функция убывает.

Комментарий:

Для обоснования возрастания или убывания функции полезно помнить, что для доказательства неравенства достаточ­но найти знак разности

Функция а(х ) = kx + b будет воз­растающей, если из неравенства , будет следовать неравенство а для доказательства последнего неравенства достаточно найти знак разности (ана­логично рассуждаем и для доказа­тельства убывания функции).

Пример №5

Докажите, что: 1) сумма двух возрастающих на множестве Р функций все­гда является возрастающей функцией на этом множестве; 2) сумма двух убывающих на множестве Р функций всегда является убывающей функцией на этом множестве.

Доказательство:

1. Пусть функции f(х) и g(x) яв­ляются возрастающими на одном и том же множестве Р. Если Складывая почленно эти неравен­ства, получаемЭто и означает, что сумма функций f (х) и g (х) является возрастаю­щей функцией на множестве Р .
2. Пусть функции f(х) и g(x) явля­ются убывающими на множестве Р. Тогда из неравенства имеем После почленного сложения этих неравенств получаем: а это и означает, что сумма функ­ций f (х) и g (х) является убывающей функцией на множестве Р .

Комментарий:

Для доказательства того, что сумма двух возрастающих функций f(х) и g (х) является возрастающей функ­цией, достаточно доказать, что на множестве Р из неравенства следует неравенство Аналогично для доказательства того, что сумма двух убывающих функций является убывающей функцией, достаточно доказать, что если , то

Пример №6

Докажите, что возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее обла­сти определения.

Доказательство:

Пусть функция f(x) является возрастающей и (1) Допустим, что

Если Учитывая возрастание f(х), в случае имеем что противоречит равенству (1). В случае имеем что также противоречит равенству (1).

Таким образом, наше предположение неверно, и равенство возможно только при То есть возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения. Аналогично доказывается утверждение и для убывающей функции.

Комментарий:

Докажем это утверждение мето­дом от противного. Для этого достаточно допустить, что выполняется противоположное утверждение (фун­кция может принимать одно и то же значение хотя бы в двух точках), и получить противоречие. Это будет означать, что наше предположение неверно, а верно данное утверждение.

Пример №7

Исследуйте, какие из данных функций являются четными, какие нечетными, а какие — ни четными, ни нечетными:

Решение:

Область определения функции то есть она не симметрична относительно точки О (точка х = 1 принадлежит облас­ти определения, а х = -1 — нет). Таким образом, заданная функ­ция не является ни четной, ни нечетной.

Область определения функции D (у) = R, то есть она сим­метрична относительно точки О. следова­тельно, функция четная.

Область определения функции D (у) = R, то есть она сим­метрична относительно точки О. значит, функ­ция нечетная.

Комментарий:

Для исследования функции у = f(х) на четность или нечетность достаточно, во-первых, убедиться, что область определения этой функ­ции симметрична относительно точки О (вместе с каждой точкой х содер­жит и точку —х), и, во-вторых, сравнить значения f (-х) и f (х).

Построение графиков функций с помощью геоафики основных видов функций

Линейная функция у = kx + b

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, где k и b — некоторые числа.

Обоснуем основные характеристики этой функции: область определения, область значений, четность или нечетность, возрастание и убывание.

Область определения — множество всех действительных чисел: D (y) = R, поскольку формула kx + b имеет смысл при всех действительных значениях х (то есть для любого действительного х мы можем вычислить значение kx + b). Область значений линейной функции будет разной в зависимости от значения коэффициента k.

Если k = 0, то функция имеет вид у = b, то есть ее область значений состоит из одного числа b. В таком случае графиком линейной функции у = b является прямая, параллельная оси которая пересекает ось в точке b (рис. 13). Если то Е (у) = R (обоснование приведено в примере 3 нас. 13).

Четность и нечетность линейной функции существенно зависит от значений коэффициентов b и k.

При b = 0 и функция у = kx + b превращается в функцию у = kx, которая является нечетной, поскольку для всех х из ее области определения

Таким образом, график функции у = kx (рис. 14) симметричен относитель­но точки О.

При k = 0 получаем функцию у = b, которая является четной, поскольку для всех х из ее области определения f (-x) = b = f (х). То есть график функции у = b симметричен относительно оси (см. рис. 13).

В общем случае при функция у = kx + b не является ни четной, ни нечетной, поскольку f(-х) = k(-x) + b = -kx + b и также f(-х) = -kx + b = -(kx — b)

Возрастание и убывание линейной функции зависит от значения коэффициента k.

При k = 0 получаем функцию у = b — постоянную.

При k > 0 функция y = kx + b возрастает, а при — убывает (обоснова­ние приведено в примере 4 на с. 13).

В курсах алгебры и геометрии было обосновано, что графиком линейной функции у=kx + b всегда является прямая линия.

Поскольку при х=0 функция принимает значение у=b, то эта прямая всегда пересекает ось в точке b. Графики линейных функций приведены в таблице 2.

Функция y=k/x(k≠0)

Эта функция выражает обратно пропорциональ­ную зависимость. Область определения: Это можно записать также так:

Область значений: Это можно записать также так:

Для обоснования области значений функции обозначим Тогда из этого равенства получим для всех То есть для всех существует значение при котором Таким образом, у принимает все действительные значения, не равные нулю.

Функция нечетная, поскольку ее областью определения является множе­ство, симметричное относительно точки О , и Таким образом, ее график симметричен относительно начала координат (рис. 15).

Возрастание и убывание функции зависит от знака коэффициента k.

Если то для сравнения значений рассмотрим их разность: (1) На промежутке значение следовательно, На промежутке значение значит, Учитывая, что на каждом из промежутков при k > 0 из равенства (1) получаем а при k 0 получаем При k > 0 на каждом из промежутков если таким образом, функция убывает на каждом из этих проме­жутков. При на каждом из промежутков если то следовательно, функция возрастает на каждом из этих промежутков.

Из курса алгебры известно, что график функции называется гиперболой (она состоит из двух ветвей). При k > 0 ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях, а при — во II и IV четвертях (рис. 15).

Замечание. Характеризуя возрастание или убывание функции следует помнить, что, например, функция (рис. 16) убывает на каждом из промежутков но на всей области определения эта функция не является убывающей (и не является возрастающей). Действительно, если взять а то есть большему значению аргумента не соответствует меньшее значение функции, и на всей ее области определения функция не является убывающей.

Поэтому же нельзя сказать, что функция убывает при

Функция y=ax²(a≠0)

Как известно из курса алгебры, графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх при (рис. 17, а) и вниз при (рис. 17, б). Поскольку при х=0 значение у=0, то график всегда проходит через начало координат.

Область определения: поскольку значение можно вычис­лить при любых значениях х.

Функция четная, поскольку Таким образом, ее график симметричен относительно оси

Для описания других свойств воспользуемся графиком функции (рис. 17). Эти свойства можно обосновать, опираясь на свойства функции и на геометрические преобразования ее графика, которые будут рассмот­рены далее в п. 1.3.

Область значений. При а>0 график проходит через начало координат, а все остальные его точки находятся выше оси Если значение х увеличи­вается до бесконечности, то и значение у также увеличивается до бесконечности таким образом, то есть

Аналогично при график также проходит через начало координат, но все остальные его точки находятся ниже оси Если значение х увеличивается до бесконечности, то значение у уменьшается до минус бесконечности таким образом, то есть

Возрастание и убывание. При а > 0 на промежутке функция убывает, а на промежутке — возрастает.

При на промежутке функция возрастает, а на промежутке — убывает.

Соответствующие графики приведены также в таблице 2.

Квадратичная функция y=ax²+bx+c(a≠0)

Из курса алгебры 9 класса известно, что функция вида где а, b, с — действительные числа, причем называется квадратичной. Ее графиком является пара­бола, ветви которой направлены вверх при и вниз при .

Абсцисса вершины этой параболы Для обоснования этого достаточно в заданном квадратном трехчлене выделить полный квадрат: то есть где ( — дискриминант квадратного трехчлена ). Напомним, что в зависимости от знака дискриминанта D парабола или пересекает  ось функция принимает все значения, или не пересекает , или касается ее (D = 0). Основные варианты расположения графика функции представлены в таблице 3.

Охарактеризуем свойства функции , опираясь на эти известные нам графики.

Область определения: D(у) = R, поскольку значение можно вычислить при любых значениях х.

Область значений: При функция принимает все значения то есть При функция принимает все значения то есть

Четность и нечетность. При b = 0 получаем четную квадратичную функцию Действительно, В общем случае (если ) функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку (и не равно -f(х)).

Возрастание и убывание. При на промежутке функция убы­вает, а на промежутке — возрастает.

При на промежутке функция возрастает, а на промежутке — убывает.

Поскольку при х = 0 значение у = с, то график всегда пересекает ось в точке с. Соответствующие графики при D > 0 приведены также в таблице 2.

Пример №8

Постройте график функции: 1)у = 2х + 1 ; 2)у = -3х-1 ; 3)у = 4.

Решение:

1) График функции у = 2х + 1 — прямая

2) График функции у =-Зх-1 — прямая

3) График функции у = 4 — прямая, параллельная оси которая проходит через точку 4 на оси

Комментарий:

Все данные функции линейные, поэтому их графиками являются прямые. Чтобы построить прямые в заданиях 1 и 2, достаточно построить две точки этих прямых. Например, можно взять х=0 и х=1 и найти соответствующие значения у. Оформлять эти вычисления удобно в виде таблички:

В задании 3 рассматривается частный случай линейной функции (у=b). Для построения этого графи­ка полезно помнить, что прямая у=4 — это прямая, параллельная оси (при любом значении х значе­ние у равно 4).

Пример №9

По приведенному графику функции у = kx + b укажите знаки k и b

Решение:

При х=0 значение у = b. Посколь­ку изображен график убывающей ли­нейной функции, то .

Ответ: , .

Комментарий:

График функции у = kx+b — прямая, пересекающая ось в точке b. На рисунке эта точка лежит выше нуля, таким образом, b > 0. Линейная функция у = kx+b при возрастающая, а при — убывающая. На рисунке изображен график убывающей функции, следовательно, .

Пример №10

Постройте график функции

Решение:

График заданной функции — парабола (вида ), ветви которой на­правлены вверх.

Абсцисса вершины: Тогда и график имеет вид:

Комментарий:

Функция — квадратичная (имеет вид где Таким образом, ее графиком будет парабола (вида ветви которой направлены вверх (а=1>0). Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле а ордината — это соответствующее зна­чение заданной функции при то есть Если необходимо уточнить, как проходит график, то можно найти координаты нескольких дополни­тельных точек, например, при х=0 получаем у=с=3.

Построение графиков функций с помощью геометри­ческих преобразований известных графиков функций

Построение графика функции y=-f(х)

Сравним графики функций и (см. первую строку табл. 4). Очевидно, что график функции можно получить из графика функции симметричным отображением его относительно оси Покажем, что всегда график функции y=-f(х) можно получить из графика функции у=f(х) симметричным отображением относительно оси

Действительно, по определению график функции у=f(х) состоит из всех точек координатной плоскости, которые имеют координаты (х; у) = (х; f(х)). Тогда график функции y=-f(х) состоит из всех точек координатной плоскости, имеющих координаты (х; у) = (х; -f(х)).

Точки (х; f(x)) и (х; -f(х)) расположены на координатной плоскости симметрично относительно оси (рис. 20). Таким образом, каждая точка графика функции у=-f(х) получается симметричным отображением относительно оси некоторой точки графика у = f (х). Поэтому график функции у = —f(x) можно получить из графика функции y = f(х) его симметричным отображением относительно оси

Это свойство позволяет легко обосновать построение графика функции Имеем:

Следовательно, график функции может быть построен так: часть графи­ка функции у=f(х), лежащая выше оси (и на самой оси), остает­ся без изменений, а часть, лежащая ниже оси , отображается сим метрично относительно этой оси.

Например, на рисунке 21 и в таблице 4 с использованием этого правила изображен график функции у = |2х — 1|.

Построение графика функции y = f (—х)

Для построения графика функции у = f (-х) учтем, что в определении графика функции первая координата для точек графика выбирается произ­вольно из области определения функции. Если выбрать как первую координату значение (-х), то график функции у= f(-х) будет состоять из всех точек координатной плоскости с координатами (-х; у) = (-х; f (х)). Напомним, что график функции у=f(х) состоит из всех точек (х; f (х)).

Точки (х; f (х))и (-х; f (х)) расположены на координатной плоскости симметрично относительно оси (рис. 22). Таким образом, каждая точка графика функции у=f(-х) получается симметричным отображением относительно оси некоторой точки графика функции у=f(х). Поэтому график функции у = f (-х) можно получить из графика функции у — f(x) его симметричным отображением относительно оси

Эта свойство позволяет легко обосновать построение графика функции у = f (|х|). Имеем:

Следовательно, для того чтобы получить график функции у = f(|х|) при (то есть слева от оси ), необходимо отобразить симметрично относительно оси ту часть графика функции у = f (х), которая лежит справа от оси . То есть часть графика функции y = f (х), лежащая слева от оси , вообще не ис­пользуется в построении графика функции у = f (|х|)). Таким образом, график функции у = f (|х|) строится так: часть графика функции у=f(х), лежащая справа от оси (и на самой оси), остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси . Например, на рисунке 23 и в таблице 4 с использованием этого правила изображен график функции у = 2|х| — 1.

Построение графика функции у = f (х-а)

Для построения графика функции у = f(x — а) выберем как первую координату точки этого графика значение х + а. Тогда график функции у = f (х — а) будет состоять из всех точек координатной плоскости с координатами в то время как график функции у = f (х) состоит из всех точек с координатами (х; f(х)).

Если точка имеет координаты (х; у), а точка — координаты (х + а; у), то преобразование точек — это параллельный перенос точки вдоль оси на а единиц (то есть на вектор ).

Поскольку каждая точка графика функции у = f (х-а) получается параллельным переносом некоторой точки графика у = f (х) вдоль оси на а единиц (рис. 24), то график функции у = f (х — а) можно получить параллельным пере­носом графика функции y — f (х) вдоль оси на а единиц.

Например, в третьей строке таблицы 4 изображен график функции (выполнен параллельный перенос графика на +2 единицы вдоль оси ) и график функции (выполнен параллельный перенос графика на (-3) единицы вдоль оси Ох).

Построение графика функции y = f (х) + b

График функции у = f (х) + b состоит из всех точек координатной плоско­сти с координатами (х; у) = (х; f(х) + b), а график функции у=f(х) состоит из всех точек (х; f(х)). Но если точка имеет координаты (х; у), а точка — координаты (х; у + b), то преобразование точек — это параллельный перенос точки вдоль оси на b единиц (то есть на вектор ). Поскольку каждая точка графика функции y=f(х) + b получается параллельным переносом некоторой точки графика у = f (х) вдоль оси на b единиц (рис. 25), то график функции y= f(x) + b можно получить параллельным переносом графика функции у = f (х) вдоль оси на b единиц. Например, в четвертой строке таблицы 4 изображен график функции (выполнен параллельный перенос графика на +2 единицы вдоль оси ) и график функции (выполнен параллельный перенос графика на (-1) вдоль оси ).

Построение графика функции у = kf(x)

График функции у=kf (х) (k > 0) состоит из всех точек В (х; kf (х)), а гра­фик функции у=f(х) состоит из всех точек М (х; f (х)) (рис. 26).

Назовем преобразованием растяжения вдоль оси с коэффициентом k (где k > 0) такое преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка (х; у) переходит в точку (х; ky).

Преобразование растяжения вдоль оси задается формулами: х’ = х; у’ = ky. Эти формулы выражают координаты (х’; у’) точки М’, в которую переходит точка М (х; у) при преобразовании растяжения вдоль оси (рис. 27). При этом преобразовании происходит растяжение отрезка AM в k раз, и в результате точка М переходит в точку М’. (Заметим, что иногда указанное преобразование называют растяжением только при , а при его называют сжатием вдоль оси в раз.) Как видим, каждая точка В графика функции у = kf (х) получается из точки М преобразованием растяжения вдоль оси . При этом общая фор­ма графика не изменяется: он растягивается или сжимается вдоль оси .

Например, если графиком функции у = f (х) была парабола, то после рас­тяжения или сжатия график остается параболой. Поэтому график функции у = k f(x) (k>0) получается из графика функции у = f(x) его растяжением (при k> 1 растяжение в k раз) или сжа­тием (при сжатие в раз) вдоль оси .

Построение графика функции y=f(ax)

Для построения графика функции выберем как первую координату точки С этого графика значение Тогда график функции будет состоять из всех точек С с координатами а график функции у = f(х) — из всех точек М (х; f(х)) (рис. 28).

Назовем преобразованием растяжения вдоль оси с коэффициентом (где > 0) такое преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка (х; у) переходит в точку

Преобразование растяжения вдоль оси задается формулами: у’ = у. Эти формулы выражают координаты (х’; у’) точки М’, в которую переходит точка М (х; у) при преобразовании растяжения вдоль оси (рис. 29).

При этом преобразовании происходит растягивание отрезка ВМ в раз, и в результате точка М переходит в точку М’. (Заметим, что иногда указанное преобразование называют растяжением только при а при его называют сжатием вдоль оси Как видим, каждая точка С графика функции получается из точки М графика функции у = f (х) преобразованием растяжения вдоль оси (при этом общая форма графика не изменяется). Поэтому график функции получается из графика функции его растяжением растяжение в раз) или сжатием (при > 1 сжатие в раз) вдоль оси

Пример №11

Постройте график функции

Решение:

Комментарий:

Мы можем построить график функции Тогда график функции можно получить параллельным переносом графика функции у= f (х) вдоль оси на (-3) единицы (то есть влево).

Пример №12

Постройте график функции

Решение:

Последовательно строим графики:

1.

2.

3.

Комментарий:

Составим план последовательного построения графика заданной функции.

1. Мы можем построить график функции y = f (х) = 2х — 2 (прямая).
2. Затем можно построить график функции (выше оси график у = 2х — 2 остается без изменений, а часть графика ниже оси отобража-­ ется симметрично относительно оси ).
3. После этого можно построить график функции (симметрия графика функции относительно оси ).

Пример №13

Постройте график функции

Решение:

Запишем уравнение заданной функции так:

Последовательно строим графики:

1.

Комментарий:

Составим план последовательного построения графика заданной функции. Для этого ее подкоренное выражение запишем так, чтобы можно было использовать преобразования графиков, представленные в таблице 4:

1. Мы можем построить график фун­кции
2. Затем можно построить график функции (симметрия графика функции f (х) относительно оси
3. После этого можно построить гра­фик функции (параллельный перенос графика функции вдоль оси на 4 единицы).
4. Затем уже можно построить график заданной функции(справа от оси соответствующая часть графика функции остается без изменений, и эта же часть отображается симметрично относительно оси).

Радианная мера углов

Понятие угла:

В геометрии:

Угол — геометрическая фигура, об­разованная двумя лучами, которые выходят из одной точки.

В тригонометрии:

Угол — фигура, образованная при повороте луча на плоскости около начальной точки.

Измерение углов:

В геометрии:

Каждому углу ставится в соответствие градусная мера

В тригонометрии:

Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол.Угол поворота

Радианная мера угла:

1 радиан — центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности.

Понятие угла

В курсе геометрии угол определяется как геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки. На­- пример, угол АОВ, изображенный в первом пункте таблицы 5, — это угол, образованный лучами ОА и ОВ.

Угол можно рассматривать также как результат поворота луча на плоскости около начальной точки. Например, поворачивая луч ОА около точки О от начального положения ОА до конечного положения ОВ, также получим угол АОВ. Заметим, что достичь конечного положения ОВ можно при повороте луча ОА как по часовой стрелке, так и против нее.

Измерение углов

Данные выше различные определения угла приводят к различному пониманию измерения углов. В курсе геометрии каждом углу соответствует его градусная мера, которая может находиться только в пределах от до и поэтому, например, для прямого угла АОВ (см. пункт 2 табл. 5) его мера записывается однозначно: При измерении углов поворота договорились, что направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.

Поэтому при измерении углов, образованных при повороте луча около начальной точки, мы можем получить как положительные, так и отрицательные значения углов поворота. Например, если угол АОВ, в котором лучи ОА и ОВ являются взаимно перпендикулярными, получен при повороте луча ОА на угол против часовой стрелки, то значение угла поворота (см. соответствующий рисунок в пункте 2 табл. 5) равно + (или просто ). Если тот же угол АОВ получен при повороте луча ОА на угол по часовой стрелке (понятно, что полный оборот — это то значение угла поворота равно Этот же угол АОВ можно получить также при повороте луча ОА против часовой стрелки на и еще на полный оборот; в этом случае значение угла поворота равно + то есть и т. д.

Выбрав как значение угла поворота произвольное отрицательное или положи-­тельное число (градусов), мы всегда можем повернуть луч ОА (по часовой стрелке или против нее) и получить соответствующий угол АОВ. Таким образом, величина угла поворота (в градусах) может принимать все действи­тельные значения от

Для измерения углов принимают определенный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют другие углы. За единицу измерения можно принять любой угол, например, один градус

В технике за единицу измерения уг­лов принимают полный оборот (заметим, что 1 градус — это часть полного оборота).

В мореходстве за единицу измерения углов принимают румб, равный части полного оборота.

В математике и физике, кроме гра­дусной меры углов, используется так­же радианная мера углов.

Если рассмотреть некоторую окружность, то 1 радиан — это центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности.

Таким образом, если угол АОВ равен одном радиану (рис. 31), то это озна­чает, что AB = OA=R.

Установим связь между радианной и градусной мерами углов. Центральному развернутому углу АОС (рис. 31), равному соответ­ствует полуокружность, то есть дуга, длина которой равна а углу в один радиан — дуга длиной R. Итак, радианная мера угла 180° равна Та­ким образом, Из этого равенства получаем:

Пример №14

Выразите в радианах величины углов: 30°; 45°; 60°; 90°; 270° ; 360°.

Решение:

Поскольку 30° — это часть угла 180°, то из равенства 180° = (рад) получаем, что 30° = (рад). Аналогично можно вычислить и величины других углов. В общем случае учитываем, что 1° = радиан, тогда: 45 ° = ( рад ); 60 ° = (рад); 90°= (рад); 270°= (рад); 360° = (рад).

Поскольку радианными мерами рассмотренных углов приходится пользоваться достаточно часто, запишем полученные результаты в виде справочной таблицы:

Замечание:

Чаще всего при записи радианной меры углов наименование единицы измерения «радиан» (или сокращенно рад) не пишут. Например, вместо равенства 90° = радиан пишут

Пример №15

Выразите в градусах величины углов:

Решение:

Поскольку это часть угла то из равенства получаем, что Аналогично можно вычислить и величины углов В общем случае учитываем, что 1 радиан = тогда:

Тригонометрические функции угла и числового аргумента

Определение тригонометрических функций:

Через единичную окружность (R = 1)

Через произвольную окружность (R — радиус окружности)

Через прямоугольный треугольник (для острых углов)

Тригонометрические функции числового аргумента:

Линии тангенсов и котангесов:

— линия тангенсов ; — ордината соответствующей точки линии тангенсов

СВ — линия котангенсов ; — абсцисса соответствующей точки линии котангенсов

Определение тригонометрических функций

Из курса геометрии вам известно определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике. Напомним их. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отно­шение противолежащего катета к гипотенузе: (рис. 33).

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется от­ошение противолежащего катета к прилежащему:

Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

В курсе геометрии было обосновано, что синус и косинус острого угла зависят только от величины угла и не зависят от длин сторон треугольника и его расположения, то есть синус и косинус (а таким образом, и тангенс, и котангенс) являются функциями угла, которые называются тригонометриче­скими функциями.

Также в курсе геометрии с использованием окружности с центром в начале координат было введено определение тригонометрических функций для углов от 0° до 180°. Эти определения можно применить для нахождения триго­нометрических функций любых углов. Напомним их (но теперь будем рас- сматривать любые углы

Возьмем окружность радиуса R c центром в начале координат. Обозначим точку окружности на положительной полуоси абсцисс через (рис. 34).

Необходимые нам углы будем образовывать поворотом радиуса около точки

Пусть в результате поворота на угол около точки радиус займет положение (говорят, что при повороте на угол радиус переходит в радиус , а точка переходит в точку Напомним, что при >0 радиус поворачивается против часовой стрелки, а при 0 — по часовой стрелке. Пусть точка имеет координаты (х; у). Тогда:

Как и для тригонометрических функций острых углов, значения sin , cos , tg , ctg зависят только от величины угла и не зависят от радиуса R.

Удобно взять R = 1, что позволит несколько упростить приведенные определе­ния тригонометрических функций.

Окружность радиуса 1 с центром в начале координат будем называть еди­ничной окружностью.

Пусть при повороте на угол точка (1; 0) переходит в точку (х; у) (то есть при повороте на угол радиус переходит в радиус (рис. 35).

Синусом угла называется ордината точки (х; у) единичной окружности:

Косинусом угла называется абсцисса точки (х; у) единичной окружности:

Тангенсом угла называется отношение ординаты точки (х; у) единичной окружности к ее абсциссе, то есть отношение Таким образом,

Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки (х; у) единичной окружности к ее ординате, то есть отношение Таким образом,

Пример №16

Пользуясь этими определениями, найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла радиан.

Рассмотрим единичную окружность (рис. 36).

Решение:

При повороте на угол радиус переходит в радиус (а точка переходит в точку ). Координаты точки можно найти, используя свойства прямоугольного треугольника (с углами 60° и 30° и гипотенузой 1): х =-ОА = у=

Тогда: Аналогично находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, указанных в верхней строке таблицы 8.

Укажем, что таким образом можно найти тригонометрические функции только некоторых углов. Тригонометрические функции произвольного угла обычно находят с помощью калькуля­тора или таблиц.

Тригонометрические функции числового аргумента

Введенные определения позволяют рассматривать не толь­ко тригонометрические функции углов, а и тригонометрические функции числовых аргументов, если рассматривать тригонометрические функции числа а как соответствующие тригонометрические функции угла в а радиан.

То есть:

Например: (см. также пункт 2 табл. 7).

Линии тангенсов и котангенсов

Для решения некоторых задач полезно иметь представление о линиях тангенсов и котангенсов.

Проведем через точку единичной окружности прямую параллельную оси (рис. 37).

Эта прямая называется линией тангенсов.

Пусть — произвольное число (или угол), для которого Тогда точка не лежит на оси и прямая пересекает линию тангенсов в точке А. Поскольку прямая проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид у = kx. Но эта прямая проходит через точку с коор­динатами значит, координаты точки удовлетворяют уравнению прямой у = kx, то есть Отсюда Следовательно, прямая имеет уравнение Прямая имеет уравнение х=1. Чтобы найти ординату точки А, достаточно в уравнение прямой подставить х=1.

Получаем Таким образом, тангенс угла (числа) — это ордината соответствующей точки на линии тангенсов.

Аналогично вводится и понятие ли­нии котангенсов: это прямая СВ (рис. 38), которая проходит через точку С (О; 1) единичной окружности параллельно оси

Если — произвольное число (или угол), для которого (то есть точка не лежит на оси ), то прямая пересекает линию котангенсов в некоторой точке В

Аналогично вышеизложенному обосновывается, что таким образом, котангенс угла (числа) — ото абсцисса соответствующей точки на линии котангенсов.

Свойства тригонометрических функций

Знаки тригонометрических функций

Четность и нечетность

Косинус — четная функция

Синус, тангенс и котангенс — нечетные функции

Периодичность

Функция f(х) называется периодической с периодом если для любых х из области определения функции числа (х+Т) и (х-Т) также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x+T) = f (x-T) = f(x).

у = — дробная часть числа х

Через промежутки длиной Т (на оси вид графика периодической функции повторяется. Если Т — период функции, то ± Т,± 2Т, ± ЗТ, …, ± kT — также периоды этой функции

Функции sin х и cos х имеют период Т =

Функции tg х и ctg x имеют период Т =

Т= — общий период для всех функций: sin х, cos х, tg х, ctg x

Знаки тригонометрических функций

Знаки тригонометрических функций легко определить, исходя из определения этих функций.

Например, sin — это ордината соответствующей точки единичной окружности. Поэтому значение sin будет положительным, если точка имеет положительную ординату, а это будет тогда, когда точка находится в I или II четверти (рис. 39).

Если точка находится в III или IV четвер­ти, то ее ордината отрицательна, и поэтому sin тоже отрицателен.

Аналогично, учитывая, что cos — это абсцисса соответствующей точки , получаем, что cos >0 в I и IV четвертях (абсцисса точки положительна) и cos во II и III четвертях (абсцисса точки отрицательна) (рис. 40).

Поскольку и там, где sin и cos имеют одинаковые знаки, то есть в I и III четвертях, tg и ctg 0 там, где sin и cos имеют разные знаки, то есть во II и IV четвертях (рис. 41).

Четность и нечетность тригонометрических функций

Чтобы исследовать тригонометрические функции на четность и нечетность, заметим, что на единичной окружности точки расположены симметрично относительно оси (рис. 42).

Следовательно, эти точки имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты.

Тогда

Таким образом, cos х — четная функция, a sin х — нечетная.

Тогда Поэтому tg x и ctg x — нечетные функции.

Четность и нечетность тригонометрических функций можно применять для вычисления значений тригонометрических функций отрицательных углов (чисел).

Например,

Периодичность тригонометрических функций

Множество процессов и явлений, которые происходят в природе и технике, имеют повторяющийся характер (например, движение Земли вокруг Солнца, движение маховика). Для описания процессов такого рода используют так называемые периодические функции.

Функция у = f (х) называется периодической с периодом если для любого х из области определения функции числа (х + Т) и (х — Т) также принадлежат области определения и выполняется равенство f ( x + T) = f ( x — T ) = f(x).

Учитывая, что на единичной окружности числам (углам) где соответствует одна и та же точка (рис. 43), получаем Тогда является периодом функций sin x и cos x.

При получаем, что — это период функций sin х и cos х. Докажем, что эти функции не могут иметь меньший положительный период. Чтобы доказать, что — наименьший положительный период косинуса, допустим, что Т > 0 — период функции cos х. Тогда для любого значениях выполняется равенство cos (х + Т) = cos х. Взяв х = 0, получаем cos Т = 1. Но это означает, что на единичной окружности при повороте на угол Т точка снова попадает в точку , то есть Таким образом, любой период косинуса должен быть кратным , а значит, — наименьший положительный период косинуса.

Чтобы обосновать, что— наименьший положительный период функции sin х, достаточно в равенстве sin (х + Т) = sin х, которое выполняется для любых значений х, взять Получаем Но это означает, что при повороте на угол точка попадает в точку (рис. 43), то есть таким образом, Следовательно, любой период синуса должен быть кратным а значит, — наименьший положительный период синуса.

Если учесть, что на единичной окружности точки и являются диаметрально противоположными, то этим точкам соответствует одна и та же точка на линии тангенсов (рис. 44) или на линии котангенсов (рис. 45).  также То есть периодом функций и является Наименьшим положительным периодом для функций к является

Тогда

Чтобы доказать это, достаточно в равенстве взять Тогда получим Таким образом, Итак, любой период тангенса должен быть кратным , а значит , — наименьший положительный период тангенса. Аналогично в соответствующем равенстве для достаточно взять

Чтобы иметь представление поведении графика периодической функции напомним, что по определению график функции состоит из всех точек М координатной плоскости, которые имеют координаты Первая координата для точек графика выбирается произвольно из области определения функции. Выберем как первую координату значение х + Т (или в обобщенном виде — значение при целом значении ) и учтем, что для периодической функции (в общем случае Тогда графику функции будет принадлежать также точка , координатной плоскости с координатами:

Точку можно получить из точки параллельным переносом вдоль оси на Т единиц (рис. 46). В общем случае точку можно получить из точки параллельным переносом вдоль оси на единиц. Таким образом, через промежуток Твид графика периодической функции будет повторяться. Поэтому для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно построить график на любом промежутке длиной Т (например, на промежутке а потом полученную линию параллельно перенести вправо и вле­во вдоль оси на расстояние где — любое натуральное число.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №17

Пользуясь периодичностью, четностью и нечетностью тригонометрических функций, найдите:

Решение:

1.

2.

3.

4.

Комментарий:

1. Учитывая, что значение функции sin х повторяется через период выделим в заданном аргументе число, кратное периоду (то есть а потом воспользуемся равенством
2. Сначала учитываем четность косинуса: а потом его периодичность с периодом
3. Функция тангенс периодическая c периодом поэтому выделяем в заданном аргументе число, кратное периоду (то есть а потом исполь­зуем равенство
4. Сначала учитываем нечетность котангенса: а потом его периодичность с периодом

Пример №18

Докажите утверждение: если функция периодическая с периодом Т, то функция также периодическая с периодом некоторые числа и

Доказательство:

Пусть Тогда

а это и означает, что функция имеет период

Комментарий:

По определению функция будет периодической с пе­риодом

если для любого значения из области определения значения этой функции в точках и равны, то есть В ходе обоснования учитывается, что при равно а при равно

Также учтено, что функция по условию периодическая с периодом Т, и поэтому

Используем утверждение, доказанное в задаче 2, для нахождения периодов функций.

Например,

1. если функция имеет период то функция имеет период
2. если функция имеет период то функция имеет период

Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

График функции y=sin x (синусоида)

Свойства функции у=sin х

1. Область определения: (x — любое действительное число)
2. Область значений:
3. Функция нечетная: sin(-х)=-sin х (график симметричен относительно начала координат).
4. Функция периодическая с периодом
5. Точки пересечения с осями координат:
6. Промежутки знакопостоянства: sin х > 0 при sin при
7. Промежутки возрастания и убывания: функция sin х возрастает на каждом из промежутков и убывает на каждом из промежутков
8. Наибольшее значение функции равно 1 при
9. Наименьшее значение функции равно -1 при

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3)четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6) промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания; наибольшее и наименьшее значения функции.

Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 51).

Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности, то область определения функции у = sin х — все действительные числа. Это можно записать так:

Для точек единичной окружности ординаты принимают все значения от -1 до 1, таким образом, для функции у = sin х область значений: Это можно записать так:

Как видим, наибольшее значение функции sin х равно единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка А, то есть при

Наименьшее значение функции sin х равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка В, то есть при

Как было сказано, синус — нечетная функция: sin (-х) = -sin х, поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом таким образом, через промежутки длиной вид графика функции sin х повторяется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной , а потом полученную линию параллельно перенести вправо и влево вдоль оси на расстояние где — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение х = 0. Тогда соответствующее значение то есть график функции у = sin х проходит через начало координат.

На оси значение Поэтому необходимо найти такие значения при которых sin х, то есть ордината соответствующей точки единичной окружности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки С и то есть при (см. рис. 51).

Промежутки знакопостоянства:

Значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 52). Таким образом, sin х>0 при а также, учитывая период, при всех

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую­щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто­му sin при

Промежутки возрастания и убывания:

Учитывая периодичность функции sin х с периодом достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной например на промежутке

Если (рис. 53,а),то при увеличении аргумента х ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть следовательно, на этом промежутке функция sin х возрастает. Учитывая периодичность функции sin х, делаем вывод, что она так­же возрастает на каждом из промежутков

Если (рис. 53,6), то при увеличении аргумента х орди­ната соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть таким образом, на этом промежутке функция sin х убывает. Учитывая периодичность функции sin х, делаем вывод, что она также убы­вает на каждом из промежутков

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график фун­кции у = sin х. Учитывая периодичность этой функции (с периодом достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной напри­мер на промежутке Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 54 показано построение графика функции у = sin х на промежутке

Учитывая нечетность функции sin х (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке отображаем полученную кривую симметрично относительно начала координат (рис. 55).

Поскольку мы построили график на промежутке длиной , то, учитывая периодичность синуса (с периодом повторяем вид графика на каждом промежутке длиной (то есть переносим параллельно график вдоль оси на где k — целое число).

Получаем график, который называется синусоидой (рис. 56).

Замечание. Тригонометрические функции широко применяются в ма­тематике, физике и технике. Например, множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описываются функцией, которая задается формулой Такие процессы называют гармоническими колебаниями.

График функции можно получить из синусоиды у = sin х сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным переносом вдоль оси Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой где А — амплитуда колебания, — частота, — начальная фаза, период колебания.

Свойства функции у = cos х и её график

График функции у = cos х (косинусоида):

Свойства функции у = cos х:

1. Область определения: (х — любое действительное число).
2. Область значений:
3. Функция четная: cos (-x) = cos x (график симметричен относительно оси
4. Функция периодическая с периодом
5. Точки пересечения с осями координат:
6. Промежутки знакопостоянства: cos х>0 при

Промежутки возрастания и убывания:

функция cos х возрастает на каждом из промежутков и убывает на каждом из промежутков

Наибольшее значение функции равно 1 при Наименьшее значение функции равно -1 при cos при

Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точ­ки единичной окружности (рис. 57). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности, то область определения функции у = соs х — все действительные числа. Это можно записать так:

Для точек единичной окружности абсциссы принимают все значения от -1 до 1, следовательно, область значений функции у = cos х: Это можно записать так:

Как видим, наибольшее значение функции cos х равно единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка А, то есть при

Наименьшее значение функции cos х равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка В, то есть при Косинус — четная функция: cos (-х) = cos х, поэтому ее график симметричен относительно оси

Было обосновано также, что косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом Таким образом, через промежутки длиной вид графика функции соs х повторяется. Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение х = 0. Тогда соответствующее значение у = соs 0 = 1. На оси значение у = 0. Поэтому необходимо найти такие значения х, при которых cos х, то есть абсцисса соответствующей точки еди­ничной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки С или D, то есть при

Промежутки знакопостоянства:

Как было обосновано ранее, значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точ­ки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 58). Следовательно, cos х>0 при а также, учитывая период, при всех

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответствую щей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэто­му cos при

Промежутки возрастания и убывания:

Учитывая периодичность функции cos x достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной например на промежутке

Если (рис. 59, а), то при увеличении аргумента х абсцисса соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть следовательно, на этом промежутке функция cos х убывает. Учитывая периодичность функции cos х, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков

Если (рис. 59, б), то при увеличении аргументах абсцис­са соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть таким образом, на этом промежутке функция cos х возрастает. Учитывая периодичность функции cos х, делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков

Проведенное исследование позволяет построить график функции у = cos х аналогично тому, как был построен график функции у = sin х. Но график функции у = cos х можно также получить с помощью геометрических преобразований графика функции у = sin х, используя формулу

Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 60), отмстим ни ней точки а также абсциссы и ординаты этих точек.

Так как то при повороте пря­моугольника около точки О на угол против часовой стрелки он перейдет в прямоугольник Но тогда и Сле­довательно, Укажем также формулы, которые нам понадобятся далее:

Тогда, Таким образом,

Учитывая, что график функции у = cos х можно получить из графика функции у = sin х его параллельным переносом вдоль оси на (рис. 61).

Полученный график называется косинусоидой (рис. 62).

Свойства функции y=tg x и её график

График функции у=tg х (тангенсоида):

Свойства функции у = tg х:

1. Область определения:
2. Область значений:
3. Функция нечетная: tg (-x) = — tg x (график симметричен относительно начала координат).
4. Функция периодическая с периодом
5. Точки пересечения с осями координат:
6. Промежутки знакопостоянства: tg х>0 при и tg при
7. Промежутки возрастания и убывания: функция tg х возрастает на каждом из промежутков своей области оп­ределения, то есть на каждом из промежутков
8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Напомним, что Таким образом, областью определения функции у = tg х будут все значения аргумента, при которых то есть Получаем Этот результат можно получить и геометрически. Значение тангенса — это ордината соответствующей точки на линии тангенсов (рис. 63).

Поскольку точки А и В единичной окружности лежат на прямых ОА и ОВ, параллельных линии тангенсов, мы не сможем найти значение тангенса для Для всех других значений аргумента мы можем найти соответствующую точку на линии тангенсов и ее ординату — тангенс. Следовательно, все значения входят в область определения функции y = tg x .

Для точек единичной окружности (которые не совпадают с точками А и В) ординаты соответствующих точек на линии тангенсов принимают все значения от Поэтому область значений функции у = tg x — все действительные числа, то есть Это можно записать так: Е (tg х) = R. Отсюда следует, что наибольшего и наименьшего значений функция tg x не имеет.

Как было показано тангенс — нечетная функция: tg (-х) = -tg х, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

Тангенс — периодическая функция с наименьшим положительным периодом . Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной а по­том полученную линию перенести параллельно вправо и влево вдоль оси на расстояния где k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение х = 0. Тогда соответствующее значение у = tg 0 = 0, то есть график функции у=tg x проходит через начало координат. На оси значение у = 0. Поэтому необходимо найти такие значения х, при которых tg х, то есть ордината соответствующей точки линии тангенсов, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки С или D, то есть при

Промежутки знакопостоянства:

Значения функции тангенс положительны (то есть ордината соответствующей точки линии тангенсов положительна) в I и III четвертях. Следовательно, tg х>0 при а также, учитывая период, при всех Значения функции тангенс отрица­тельны (то есть ордината соответствую­щей точки линии тангенсов отрицательна) во II и IV четвертях. Таким образом, tg при

Промежутки возрастания и убывания:

Учитывая периодичность функции tg х (период достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной например на промежутке Если (рис. 64), то при увеличении аргумента ордината соответствующей точки линии тангенсов увеличивается (то есть Таким образом, на этом промежутке функция tg х возрастает. Учитывая периодичность функции tg х, де­лаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков

Проведенное исследования позволяет обоснованно построить график функции у = tg х. Учитывая периодичность этой функции (с периодом сначала построим график на любом промежутке длиной например на промежутке Для более точного построения точек графика воспользуемся также тем, что значение тангенса — это ордината соответствующей точки линии тангенсов. На рисунке 65 показано построение графика функции у = tg х на промежутке

Далее, учитывая периодичность тангенса (с периодом повторяем вид графика на каждом промежутке длиной (то есть параллельно переносим график вдоль оси на где — целое число). Получаем график, приведенный на рисунке 66, который называется тангенсоидой.

Свойства функции у = ctg х и ее график

График функции у = ctg х (котангенсоида)

Свойства функции у = ctg х:

1. Область определения:
2. Область значений:
3. Функция четная: ctg (-х) = -ctg х (график симметричен относительно начала координат).
4. Функция периодическая с периодом
5. Точки пересечения с осями координат:
6. Промежутки знакопостоянства: ctg х>0 при и ctg х0 при
7. Промежутки возрастания и убывания: функция ctg х убывает на каждом из промежутков своей области определения, то есть на каждом из промежутков
8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Так как то областью определения котангенса будут все значения аргумента, при которых то есть Таким образом,

Тот же результат можно получить, используя геометрическую иллюстрацию. Значение котангенса — это абсцисса соответствующей точки на линии котангенсов (рис. 67). Поскольку точки А и В единичной окружности лежат на прямых ОА и ОВ, параллельных линии котангенсов, мы не можем найти значение котангенса для Для других значений аргумента мы можем найти соответствующую точку на линии котангенсов и ее абсциссу — котангенс. Поэтому все значения входят в область определения функции у = ctg х.

Для точек единичной окружности (которые не совпадают с точками А и В) абсциссы соответствующих точек на линии котангенсов принимают все значения от до , таким образом, область значений функции — все действительные числа, то есть Это можно записать так: Из приведенных рассуждений также вытекает, что наибольшего и наименьшего значений функция ctg х не имеет.

Котангенс — нечетная функция: ctg (-х) = -ctg х, поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Там же было обосновано, что котангенс — периодическая функция с наименьшим положительным периодом поэтому через промежутки длиной вид графика функции ctg х повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение х = О. Но ctg 0 не существует, значит, график функции у = ctg х не пересекает ось .

На оси значение у = О. Поэтому необходимо найти такие значения х, при которых ctg х, то есть абсцисса соответствующей точки линии котангенсов, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки С или D, то есть при

Промежутки знакопостоянства:

Значения функции котангенс положительны (то есть абсцисса соответствующей точки линии котангенсов положительна) в I и III четвертях (рис. 68). Тогда при Учитывая период, получаем, что при всех

Значения функции котангенс отрицательны (то есть абсцисса соответствующей точки линии котангенсов отрицательна) во II и IV четвертях, таким образом, при

Промежутки возрастания и убывания:

Учитывая периодичность функции ctg х (наименьший положительный период достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной например на промежутке Если ( рис. 69), то при увеличении аргумента абсцисса соответствующей точки линии котангенсов уменьшается (то есть следовательно, на этом промежутке функция убывает.

Учитывая периодичность функции делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков

Проведенное исследование позволяет построить график функции аналогично тому, как был построен график функции Но график функции можно получить также с помощью геометрических преобразований графика функции По формуле, приведенной на с. 63, то есть Поэтому график функции можно получить из графика функции параллельным переносом вдоль оси на и симметричным отображением полученного графика относительно оси . Получаем график, который называется котангенсоидой (рис. 70).

Пример №19

Постройте график функции и укажите нули функции и про­межутки знакопостоянства: 1) у = 2sin х; 2) у = sin 2х.

Комментарий:

Графики всех данных функций можно получить с помощью геометриче­ских преобразований графика функции f(x) = sin х (табл. 4). Таким образом, графиком каждой из этих функций будет синусоида, полученная для:

1. у = 2sin х = 2f (х) растяжением графика у = sin х вдвое вдоль оси
2. у = sin 2х = f (2х) сжатием графика у = sin х вдвое вдоль оси Нули функции — это абсциссы точек пересечения графика с осью Чтобы записать промежутки знакопостоянства функции, заметим, что функция у = 2sin х периодическая с периодом а функция у = sin 2х периодическая с периодом Поэтому для каждой функции достаточ­но выяснить на одном периоде, где значения функции положительны (гра­фик находится выше оси и где отрицательны (график находится ниже оси , а потом полученные промежутки повторить через период.

Решение:

График функции у= 2sin х получаем из графика функции у= sin х растяжением его вдвое вдоль оси

Нули функции:

Промежутки знакопостоянства: 2sin х>0 при 2sin х0 при

График функции у = sin 2х получаем из графика функции у = sin х сжатием его вдвое вдоль оси

Нули функции:

Промежутки знакопостоянства: sin 2х>0 при

sin 2  при

Пример №20

Расположите в порядке возрастания числа: sin 1,9; sin 3; sin (- l) ; sin (-1 ,5).

Комментарий:

Для расположения данных чисел в порядке их возрастания выясним, ка­кие из них положительны, а какие отрицательны, а затем сравним между собой отдельно положительные числа и отдельно отрицательные, учитывая известные промежутки возрастания и убывания функции sin х.

Решение:

Числа sin 1,9 и sin 3 положительны, так как точки находятся во II четверти. Числа sin (-1) и sin (-1,5) отрицательны ,так как точки и находятся в IV четверти. Учитывая, что и что функция sin х на промежутке убывает, из неравенства 1,9 3 получаем sin 1,9 > sin 3. Также Функция sin х на промежутке возрастает. Учитывая, что -1 > -1 ,5 , получаем sin (-1) > sin (-1,5). Таким образом, в порядке возрастания эти числа располагаются так: sin (-1 ,5), sin (-1), sin 3, sin 1,9.

Пример №21

Постройте график функции: 1) у = | sin x |; 2) y = sin | х |.

Комментарий:

Графики данных функций можно получить с помощью геометрических преобразований графика функции f (х) = sin х. Напомним соответствующие преобразования:

1. у = | sin х | = | f (х) | — выше оси (и на самой оси) график функции у = sin х остается без изменений, часть графика, расположенная ниже оси , отображается симметрично относительно оси ;
2. у = sin | х | = f (| х |) — справа от оси (и на самой оси) график функции у = sin х остается без изменений, и эта же часть графика отображается сим­метрично относительно оси .

Решение:

Построим сначала график функции у = f (х) = sin х:

1) у = | sin х | = | f (х) |

2) у = sin | х | = f (| х |)

Пример №22

Постройте график функции и укажите промежутки ее убывания и возрастания:

1) 2) y= -tg x

Комментарий:

Графики данных функций можно получить с помощью геометрических преобразований графиков функций:

1. f (х) = cos х;
2. 

Тогда получаем графики функций:

1. — параллельным переносом графика функции f (х) вдоль оси единиц;
2. у = -tg х = — симметрией графика функции относительно оси Чтобы записать промежутки убывания и возрастания функций, отметим, что функция периодическая с периодом а функция у = — tg х периодическая с периодом Поэтому для каждой из функций достаточно выяснить на одном периоде, где она убывает и где возрастает, а затем полученные промежутки повторить через период.

Решение:

1) График функции получаем из графика функции у = cos х параллельным переносом вдоль оси единиц.

Функция убывает на каждом из промежутков  и возрастает на каждом из промежутков

2) График функции у = -tg х получаем симметричным отображением графика функции у = tg х относительно оси

Функция убывает на каждом из промежутков

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Основное тригонометрическое тождество

На рисунке изображена единичная окружность, то есть окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Уравнение этой окружно­сти имеет вид Пусть при повороте на угол точка (1; 0) единичной окружности переходит в точку (х; у) (то есть при повороте на угол радиус переходит в радиус Напомним, что синусом называется ордината точки (х; у) единичной окружности, то есть sin = у, а косинусом называется абсцисса этой точки, то есть cos = х. Координаты точки удовлетворяют уравнению окружности, тогда следовательно, Это соотношение называют основным тригонометрическим тождеством. Напомним также, что: Тогда то есть С помощью этих соотношений и основного тригонометрического тождества получаем: то есть

Аналогично получаем: то есть

Пример №23

Зная значение одной из тригонометрических функций и интервал, в котором находится а, найдите значение трех осталь­ных тригонометрических функций: 1) 2)

Решение:

1. Из равенства получаем: Отсю­да Поскольку а значит, Тогда
2. Из равенства получаем Подставляем в равенство значение и получаем: Отсюда Поскольку тогда

Комментарий:

1. Равенство связывает и позволяет выразить одну из этих функций через другую. Например, Тогда Учитывая, в какой четверти находится мы мо­жем определить знак, который необходимо взять в правой части формулы (это знак косинуса во II четверти). Зная находим Укажем, что после нахождения tg значение ctg можно также найти из соотношения
2. Равенство связы­вает tg и ctg и позволяет выразить одну из этих функций через другую как обратную величину. Равенство связывает tg и cos и позволяет выразить одну из этих функций через другую. Например, Тогда Зная, в какой четверти находится мы можем определить знак, который необходимо взять в правой части формулы (это знак ко­синуса в III четверти). Для нахождения sin можно вос­пользоваться соотношением

Пример №24

Упростите выражение

Решение:

Комментарий:

Для преобразования числителя данной дроби из основного тригонометрического тождества находим: Затем, используя определение тангенса: упрощаем полученную дробь.

Пример №25

Упростите выражение

Комментарий:

Для преобразования тригонометрических выражений наряду с тригонометрическими формулами используют также алгебраические формулы, в час­тности, формулы сокращенного умножения. Так, выражение можно рассматривать как разность квадратов: Тогда его можно разложить на множители (на произведение суммы и разности и а затем применить основное тригонометрическое тождество

Решение:

Пример №26

Упростите выражение

Комментарий:

Сначала используем определение тангенса и котангенса: а после преобразования знаменателя дроби — основное тригонометрическое тождество далее упрощаем полученную дробь. В конце учитываем, что Для раскрытия знака модуля находим знак косинуса в заданном промежутке и учитываем, что при значение |а| = -а.

Решение:

поскольку во II четверти cos .

Пример №27

Докажите тождество

Комментарий:

Докажем, что левая часть равенства равна правой. Для этого в знаменате­ле используем формулу а в числителе возведем выражение в скобках в квадрат и используем формулу Напомним, что тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях букв, входящих в него. Поэтому данное равенство является тождеством только при условии

Решение:

2 = 2. Таким образом, данное равенство является тождеством.

Замечание. При доказательстве тождеств чаще всего используют такие приемы: 1) с помощью тождественных преобразований доказывают, что одна часть равенства равна другой;

2) рассматривают разность левой и правой частей тождества и доказывают, что эта разность равна нулю (этот прием используют в тех случаях, когда планируется преобразовывать обе части тождества).

Формулы сложения и их следствия

Формулы сложения

1. Косинус разности и суммы
2. Синус суммы и разности
3. Тангенс суммы и разности

Косинус разности и суммы

Чтобы получить формулу для сначала рассмотрим случай, ког­да находятся в промежутке На единичной окружности обозначим точки и изобразим векторы (рис. 71).

Эти векторы имеют те же координаты, что и точки то есть: Длины (модули) этих векторов рав ны единице: а угол между ними равен (то есть Найдем скалярное произведение векторов двумя способами:

1. как сумму произведений одноименных координат:
2. как произведение длин (модулей) векторов на косинус угла между ними:

Таким образом,

Полученное равенство называют формулой косинуса разности. Словесно ее можно сформулировать так: косинус разности двух углов ( чисел) равен произведению косинуса первого угла ( числа) на косинус второго плюс произведение синуса первого на синус второго.

Чтобы обосновать эту формулу в общем случае, напомним, что по определению угол между векторами может быть только в пределах от 0 до Поэтому при угол между векторами и может равняться (рис. 71), или (рис. 72), или принимать значения, отличные от этих значений на целое число оборотов (то есть на

Учитывая периодичность (с периодом и четность функции косинус, получаем, что в любом случае таким образом, приведенное обоснование остается верным для любых значений

С помощью формулы (1) легко вывести формулу косинуса суммы: Таким образом,

Косинус суммы двух углов (чисел) равен произведению косинуса пер­вого угла (числа) на косинус второго минус произведение синуса пер­вого на синус второго.

Синус суммы и разности

Выведем теперь формулы синуса суммы и синуса разности. Сначала по формуле (1) получим два полезных соотношения. А именно: Перепишем полученную формулу справа налево: Если подставить в формулу (3) то получим: Применяя формулы (3), (1) и (4), имеем: Таким образом,

Синус суммы двух углов (чисел) равен произведению синуса первого угла (числа) на косинус второго плюс произведение косинуса пер­вого на синус второго.

Для синуса разности имеем: Таким образом,

Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла (числа) на косинус второго минус произведение косинуса первого на синус второго.

Тангенс суммы и разности

С помощью формул сложения для синуса (5) и косинуса (2) легко получить формулы сложения для тангенса или котангенса. Например, Разделим числитель и знаменатель последней дроби на произведение (при условии, что и получим:

Таким образом, Для тангенса разности имеем: Таким образом,

Пример №28

Вычислите: 1) sin 15°; 2) cos l5°; 3) tg 15°.

Решение:

1. sin 15° = sin (45°-30°) = sin 45°cos 30° — cos 45°sin 30°
2. cos 15° = cos (45°-30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
3. tg 15° = tg (45°-30°) = =

Комментарий:

Представим 15° как разность: 15° = 45°- 30°, а значения тригонометрических функций углов 45° и 30° мы знаем. Поэто­му, записав синус 15° как синус разности, получим значение sin 15°. Ана­логично найдем cos 15° и tg 15°. Заметим, что для нахождения tg 15° можно применить также фор­мулу В задании 3 после подстановки тангенса в данное выражение удобно избавиться от иррационально­сти в знаменателе дроби, что значительно упрощает ответ.

Пример №29

Упростите выражение

Комментарий:

Для преобразования числителя и знаменателя дроби применим формулы косинуса суммы и косинуса разности и приведем подобные члены.

Решение:

Пример №30

Найдите значение выражения cos 37°cos 23° — sin 37°sin 23°.

Решение:

cos 37°cos 23° — sin 37°cos 23° = cos (37° + 23°) = cos 60° =

Комментарий:

Используем формулу косинуса суммы справа налево:

Пример №31

Докажите тождество:

Комментарий:

Для обоснования этих тождеств докажем, что их правые части равны ле­вым, применяя формулы синуса суммы и синуса разности:

Доказательства:

1. 
2. 

Формулы двойного аргумента

Чтобы получить формулы двойного аргумента, достаточно в формулах сложения

взять

Получим тождества :

Из формулы используя основное тригонометричное тождество можно получить формулы, которые позволяют выразить только через или только через

Действительно, из основного тригонометрического тождества получаем

Из формул (1) и (2) можно получить следствия, которые полезно запомнить:

Эти формулы называют формулами понижения степени.

Если в последних формулах обозначить то есть то можно записать такие формулы : (3)

Заметим, что формулы синуса и косинуса двойного аргумента справедливы для любых значений аргумента, тогда как формула тангенса двойного аргумента справедлива только для тех значений аргумента для которых определены tg и tg 2 то есть только при и где

Необходимо отметить, что, полученные формулы можно применить как слева направо, так и справа налево. Например, вместо выражения можно записать а вместо выражения записать

Пример №32

Вычислите:

Решение:

1. 
2. 

Комментарий:

В первом задании достаточно «узнать» правую часть формулы косинуса двойного аргумента и записать результат. Во втором задании следует обратить внимание на то, что заданное выражение отличается от правой части формулы синуса двойного аргумента только отсутствием двойки.

Поэтому, если это выражение умно­жить и разделить на 2, то оно не изме­нится, и тогда по формуле получим: 2sin 15°cos 15° = sin(2*15°) = sin 30°

Пример №33

Докажите тождество

Комментарий:

Докажем, что левая часть тождества равна правой. Заметим, что в числи­теле дроби находится выражение, которое можно непосредственно преобразовать по формуле (3). Но применение этой формулы уменьшает аргумент вдвое: Желательно и в знаменателе дроби перейти к то­му же аргументу Для этого рассмотрим как синус двойного аргумен­та (относительно аргумента

Доказательство:

Пример №34

Сократите дробь

Комментарий:

Преобразовывая тригонометрические выражения, следует помнить не толь­ко тригонометрические, но и алгебраические формулы. В частности, если в знаменателе дроби применить формулу косинуса двойного аргумента: то получим выражение, которое является разностью квадратов cos и sin . Его можно разложить на множители как произведение суммы и разности cos и sin . Учитывая вид выражения, полученного в знаменателе, в числителе представим выражение как удвоенное произведение sin на cos . Тогда для получения квадрата суммы этих выражений нам необходима еще сумма которую по основному тригонометрическому тождеству дает единица, стоящая в числителе.

Решение:

Пример №35

Зная, что вычислите:

Решение:

то есть Таким образом, Учитывая, что получаем Тогда:

1) 2)

3) 4)

Комментарий:

Чтобы найти значение sin по формуле синуса двойного аргумента необходимо, кро­ме данного значения cos иметь еще и значение sin которое легко находится с использованием основного тригонометрического тождества:

Напомним, что для нахождения sin следует также учесть знак синуса в заданном промежутке (по условию находится в IV четверти, где синус отрицателен).

Заметим, что cos можно найти также по формуле не вычисляя sin , a ctg — по формуле ctg = подставив найденное значение tg .

Формулы приведения

Формулами приведения называют формулы, с помощью которых тригонометрические функции от аргументов вида приводят к тригонометрическим функциям от аргумента

1. Алгоритм

1. Если к числу прибавляется число (то есть число, которое изображается на горизонтальном диаметре единичной окружности), то название заданной функции не меняется, а если прибавляется число (то есть число, которое изображается на вертикальном диа­метре единичной окружно­сти), то название заданной функции меняется на соот­ветствующее (синус на коси­нус, косинус на синус, тангенс на котангенс и котангенс на тангенс).
2. Знак полученного выра­жения определяется знаком исходного выражения, если условно считать угол ост­рым.

2. Примеры

1) Упростите по формулам приведения

Комментарий:

Название заданной функции не меняется, поскольку число изображается на горизонтальном диаметре (слева) единичной окружности. Если угол острый, то угол находится во II четверти, где тан­генс отрицателен, поэтому в правой части формулы ставится знак «-» .

2) Упростите

Комментарий:

Название заданной функции меняется, по­скольку число изображается на верти­кальном диаметре (внизу) единичной ок­ружности. Если угол острый, то угол находится в IV четверти, где косинус положителен, поэтому в правой части формулы ставится знак « + ».

Формулы сложения позволяют обосновать формулы приведения, по которым тригонометрические функции от аргументов вида приводят к тригонометрическим функциям от аргумента

Рассмотрим несколько примеров.

(конечно, в последнем случае тот же результат можно получить, используя периодичность и нечетность функции котангенс);

Для анализа полученных результатов составим такую таблицу:

Аналогично можно обосновать, что во всех случаях тригонометрические функции от аргументов вида можно привести к тригонометрическим функциям от аргумента по такому алгоритму: если к числу прибавляется число (то есть число, которое изображается на горизонтальном диаметре единичной окружно­сти), то название заданной функции не меняется, а если прибавля­ется число (то есть число, которое изображается на вер­тикальном диаметре единичной окружности), то название задан­ной функции меняется на соответствующее (синус на косинус, коси­нус на синус, тангенс на котангенс и котангенс на тангенс).

Знак полученного выражения определяется знаком исходного вы­ражения, если условно считать угол острым.

В таблице 19 приведены основные формулы приведения. Все другие случаи могут быть приведены к ним с помощью использования периодичности соответствующих тригонометрических функций.

Укажем, что по формулам приведения Если последние формулы записать справа налево, то получим полезные соотношения, которые часто называют формулами дополнительных аргументов (аргументы дополняют друг друга до

Например, sin 60° = cos (90°-60°) = cos 30°; cos 89° = sin (90°-89°) = sin 1°.

Пример №36

Вычислите с помощью формул приведения: 1) cos 210°; 2)

Решение:

1. 
2. 

Комментарий:

Представим заданные аргументы так, чтобы можно было применить формулы приведения (то есть выделим в аргументе такие части, которые изоб­ражаются на горизонтальном или вер­тикальном диаметре единичной окружности). Например, 210° = 180° + 30°. Конечно, можно представить аргумент и так: 210° = 270°- 60° и также применить формулы приведения.

Пример №37

Докажите тождество

Комментарий:

Докажем, что левая часть тождества равна правой. Сначала используем формулы приведения, а потом упростим полученные выражения, применяя формулы: При упрощении выражений cos и tg можно использовать как непосредственно формулы приведения, так и периодичность соответствующих функций. Например, учитывая, что периодом функции cos х является получаем:

Решение:

Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

1. Формулы суммы и разности тригонометрических функций

2. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

По формулам сложения

Складывая почленно эти равенства, получаем (1)

Если обозначить (2); (3), то, складывая и вычитая равенства (2) и (3), имеем: Тогда из равенства (1) получаем формулу преобразования суммы синусов в произведение: (4)

Словесно ее можно сформулировать так:

Сумма синусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих аргументов на косинус их полуразности.

Если заменить в формуле (4) на и учесть нечетность синуса: то получим формулу:

Разность синусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих аргументов на косинус их полусуммы.

Аналогично, складывая почленно равенств (5); (6), получаем (7), и, выполняя замены (2) и (3), имеем:

Сумма косинусов двух аргументов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих аргументов на косинус их полуразности.

Если вычесть почленно из равенства (5) равенство (6), то получим (8); Тогда

Разность косинусов двух аргументов равна: минус двойное произведе­ние синуса полусуммы этих аргументов на синус их полуразности.

Для обоснования формулы преобразования суммы (разности) тангенсов достаточно применить определение тангенса и формулы сложения:

Таким образом, (9)

Если в формуле (9) заменить на и учесть нечетность тангенса и четность косинуса то получим (10)

Отметим, что формулы (9) и (10) справедливы только тогда, когда и

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Укажем, что в процессе обоснования формул преобразования суммы и разности синусов и косинусов в произведение мы фактически получили и фор­мулы преобразования произведений тригонометрических функций в сум­му. Действительно, если разделить обе части равенства (1) на 2 и записать полученное равенство справа налево, то получим:

(11)

Аналогично из формулы (7) получим (12)

а из формулы (8) (после деления на -2 ) формулу (13); Заменяя в формулах (11-13) значение получаем запись этих формул, приведенную в таблице 20.

Пример №38

Преобразуйте заданную сумму или разность в произведение и, если возможно, упростите: l) sin 75° + sin 15°; 2)

Комментарий:

1. В первом задании можно непосредственно применить формулу а потом использовать табличные значения sin 45° и cos 30°.
2. Во втором задании выражение можно рассмотреть как разность квадратов и разложить его на множители, а затем к каждому из полученных выражений применить формулы преобразования разности или суммы косинусов в произведение. Для дальнейшего упрощения получен­ного выражения используем формулу синуса двойного аргумента:

Решение:

1) sin 75° + sin 15°=

2)

Пример №39

Преобразуйте в произведение

Комментарий:

Мы умеем преобразовывать в произведение сумму синусов или косинусов. Для перехода к таким выражениям достаточно вспомнить, что

Решение:

Пример №40

Упростите выражение

Комментарий:

Для упрощения заданной дроби можно попытаться сократить ее: для этого представим числитель и знаменатель в виде произведений, которые содержат одинаковые выражения. В числителе используем формулы преобразования разности синусов и косинусов в произведение (а также нечетность синуса: а в знаменателе воспользуемся формулой

Решение:

Пример №41

Докажите тождество

Комментарий:

Докажем, что левая часть тождества равна правой. После приведения к общему знаменателю преобразуем произведение синусов в разность косинусов, а потом учтем, что cos 60° = a cos 80° = sin 10° (поскольку 80°+10° = 90°).

Решение:

Пример №42

Докажите, что если А, В, С — углы треугольника, то sin А + sin В + sin C =

Комментарий:

Если А, В, С — углы треугольника, то А + В + С = Тогда С = — (А + В), и по формулам приведения sin ( — (А + В)) = sin (А + В). После преобразования суммы синусов sin А + sin В в произведение замечаем, что аргумент (А + В) вдвое больше, чем аргумент Это позволяет записать sin (А + В) по формуле синуса двойного аргумента и в полученной сумме вынести за скобки 2 sin а затем в скобках преобразовать сумму косинусов в произведение. Далее следует учесть, что и применить формулы приведения.

Решение:

Учитывая, что для углов треугольника С = — (А + В), получаем sin А + sin В + sin С = sin А + sin В + sin ( — (А + В)) =

Графики уравнений и неравенств с двумя переменными

Построение графиков функции вида y = f(x) + g(x)

Если нам известны графики функций у = f (x) и у = g(x), то эскиз графика функции y = f (х) + g (х) можно построить так: изобразить в од­ной системе координат графики функций f (x) и g (х), а потом построить искомый график по точкам, выполняя для каждого значения х (из области определения функции f (х) — g(x)) необходимые операции с от­резками, изображающими соответствующие ординаты f (х) и g (х).

Аналогично можно построить и схематические графики функций

Пример:

Постройте график функции

Комментарий:

Построим водной системе коор­динат графики функций-слагаемых: (на рисунке они показаны штриховыми линиями).

Для каждого значения х (кроме х = 0, которое не принадлежит об­ласти определения заданной функции) справа от оси прибавляем соответствующие отрезки — значения функций f (х) и g (х) (обе функции имеют одинаковые знаки), слева от оси — вычитаем (функ­ции имеют противоположные зна­ки). На рисунке синей линией изоб­ражен график функции

Определение. Графиком уравнения (неравенства) с двумя переменными х и у называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (х; у), где пара чисел (х; у) является решением соответ­ствующего уравнения.

Графики некоторых уравнений и неравенств

Геометрические преобразования графика уравнения F (х; у) = 0

Преобразование:

Параллельный перенос графика уравнения F (х; у) = на вектор

Пример:

Преобразование:

Часть графика уравнения F (х; у) = 0 справа от оси (и на самой оси) остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относи­тельно оси .

Пример:

Преобразование:

Часть графика уравнения F (х; у) = 0 выше оси (и на самой оси) остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относитель­но оси . Пример

Пример:

Построение графиков функций вида y = f (х) + g (х)

Если известны графики функций у = f (х) и у = g (х), то можно построить ориентировочный вид графика функции у = f (х) + g (х), или у = f (х) • g (х), или Для этого достаточно изобразить в одной системе координат графики функций f (х) и g (х), а потом построить искомый график по точкам, выполняя для каждого значения х (из области определения заданной функции) необходимые опера­ции над отрезками (или над длинами этих отрезков), которые изображают соответствующие ординаты функций f (х) и g (х).

Пример построения графика функции вида y = f (х) + g (х) приведен в таблице 21, а графика функции вида (в последнем случае удобно строить графики функций у = f (х) и не в одной системе коор­динат, а в разных, расположенных так, чтобы их оси ординат находились на одной прямой). Заметим, что такой способ построения графика функции не всегда дает возможность определить все характерные особенности поведения графика (часто это можно сделать только в результате специального исследования функции, которое будет рассмотрено в учебнике для 11 класса), но во многих случаях приведенный способ позволяет получить определенное представление о виде графика заданной функции.

Графики уравнений и неравенств с двумя переменными:

С понятием графика уравнения с двумя переменными вы ознакомились в курсе алгебры. Ана­логично вводится и понятие графика неравенства с двумя переменными. По­этому можно дать общее определение этих графиков: Графиком уравнения (неравенства) с двумя переменными x и у назы­вается множество всех точек координатной плоскости с координатами (х; у), где пара чисел (x; у) является решением соответствующего уравнения (неравенства).

Для построения графика неравенства достаточно иметь график функции у = f (х). Действительно, по определению график функции у = f (х) состоит из всех точек М координатной плоскости с координатами (х; у) = (х; f(х)). Тогда для каждого значения х точки, координаты которых удовлетворяют неравенству будут находиться выше точ­ки М (рис. 73, а), а точки, координаты которых удовлетворяют неравенству будут находиться ниже точки М (рис. 73, б).

Таким образом, график неравенства состоит из всех точек координатной плоско­сти, находящихся выше графика функции у =-f (х), а график неравенства состоит из всех точек координатной плоскости, находящихся ниже графика функции у = f (х).

Например, на рисунке 74 изображен график неравенства а на рисун­ке 75 — график неравенства Поскольку точки графика не принадлежит графику неравенства то на первом графике парабола изображена штриховой линией; а так как точки графика принадлежат графику неравенства то на втором графике парабола изображена сплошной линией.

Аналогично, если на координатной плоскости есть прямая x=а, то графиком неравенства будут все точки координатной плоскости, находящиеся справа от этой прямой, а графиком неравенства будут все точки координатной плоскости, находящиеся слева от этой прямой.

Например, на рисунке 76 изображен график неравенства х>2, а на рисун­ке 77 — график неравенства

Отметим, что в том случае, когда на координатной плоскости есть изобра­жение окружности то графиком неравенства будут все точки координатной плоско­сти, находящиеся внутри окружности, а графиком неравенства будут все точки координатной плоскости, находящиеся вне окружности.

Действительно, если на координатной плоскости рассмотреть точку М (х, у), то (О — начало координат). Если (где R>0), то таким образом, ОМ = R — точка М лежит на окружности радиуса с центром в начале координат (рис. 78, а)

Если таким образом, ОМR. То есть неравенству удовлетворяют координаты всех точек (и только этих точек), которые находятся внутри круга, ограниченного окружностью радиуса R с центром в начале координат (рис. 78, б).

Если таким образом, ОМу>f (х) или уf(х)R . То есть неравенству удовлетворяют координаты всех точек (и только этих точек), которые находятся вне круга, ограниченного окружностью радиуса R (рис. 78, в).

Аналогично, если на плоскости есть изображение окружности то графиком неравенства будут все точки координатной плоскости, находящиеся внутри этой окружности, а графиком неравенства будут все точки координатной плоскости, находящиеся вне окружности. Например, на рисунке 79 изображен график неравенства а на рисунке 80 — график неравенства

Геометрические преобразования графика уравнения F (х; у) =0

По определению график уравнения F (x; y) = 0 (1) состоит из всех точек М координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. Это означает, что при под­становке пары чисел в данное уравнение оно обращается в верное числовое равенство, таким образом, F = 0 — верное равенство.

Рассмотрим точку Если координаты этой точки подста­вить в уравнение F (х-а; y-b) = 0, (2) то получим верное равенство F = 0. Поэтому координаты точки являются решениями уравнения (2), значит, точка принадлежит графику уравнения F (х-а; у-b) = 0.

Точку можно полу­чить из точки М параллельным переносом ее на вектор Поскольку каждая точка (графика уравнения F (x-а; у-b) = 0 получается из точки М графика уравнения F (х; у)= 0 параллельным переносом ее на вектор (рис. 81), то и весь график уравнения F (х-а; у-b)=0 можно получить из графика уравнения F (х; у) = 0 параллельным переносом его на вектор

Для обоснования связи между графиками F (х; у) = 0 и F (|х|; у) = 0 достаточно заметить, что при уравнение F (|x|; у) = 0 совпадает с уравнением F (x; у) = 0, таким образом, совпадают и их графики справа от оси и на самой оси. Пусть точка М — одна из общих точек этих графиков. Тог­да F = 0 — верное равенство.

Рассмотрим точку Если ко­ординаты этой точки подставить в уравнение F (|х|; у) = 0 и учесть, что то получим равенство F ) = 0. Поэтому координаты точки являются решениями уравнения F (|х|; у) = 0, значит, точка принадлежит графику этого уравнения. Учитывая, что точки М и симметричны относительно оси (рис. 82): график у равнения F (|х|; у)=0 можно получить из графика уравнения F (х; у)=0 следующим образом: часть графика уравнения F (х; у) = 0 справа от оси (и на самой оси) остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси .

Аналогично обосновывается, что для построения графика уравнения F (х;|у|)=0 часть графика уравнения F (х; у)=0 выше оси (и на самой оси) остается без измене­ний, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси .

В таблице 21 приведены простейшие примеры использования геометри­ческих преобразований графиков уравнений. Указанные соотношения приходится применять в заданиях типа: построить график уравнения или нера­венства или изобразить на координатной плоскости множество точек, коор­динаты которых удовлетворяют заданному уравнению (неравенству).

Пример №43

Постройте график функции

Решение:

Поэтому область определения заданной фун­кции:

Комментарий:

Построим две системы координат так, чтобы оси ординат были у них на одной прямой. В тех точках, где функция f (х) = равна нулю (х = ± 3), не существует графика функции Поэтому проведем через эти точки вертикальные прямые, которые не пересекают график функции Затем для каждого значения х разделим 1 на соответствующее значение ординаты f (х) (используя то, что ординаты f (х) отмечены на верхнем графике). На рисунке синей линией изображен результат — график функции (Для построения этого гра­фика масштаб по осям выбран разный.)

Пример №44

Покажите штриховкой на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе

Решение:

Заданная система равносильна системе Изобразим штриховкой графики неравенств системы (первого — вер­тикальной штриховкой, второго — горизонтальной):

Тогда множество точек, координаты которых удовлетворяют системе, будет таким:

Комментарий:

Перепишем заданную систему так, чтобы было удобно изображать графики данных неравенств (то есть за­пишем неравенства в виде у>f (х) или уf(х)). Множество точек, координа­ты которых удовлетворяют неравен­ству является объединением точек параболы и точек координатной плоскости, находящихся ниже параболы (на рисунке это множество обозначено вертикальной штриховкой). Множество точек, координа­ты которых удовлетворяют неравен­ству у > х-2, состоит из точек координатной плоскости, находящихся выше прямой у = х-2 (на рисунке это мно­жество обозначено горизонтальной штриховкой).

Системе неравенств удовлетворя­ют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат пересечению множеств точек, заданных каждым из неравенств данной системы (на рисунке пересечению множеств соот­ветствует та область, где штриховки наложились одна на другую).

Заметим, что в подобных задани­ях можно не выполнять промежуточ­ных рисунков, а сразу штриховать ис­комое множество точек координатной плоскости (выше прямой у = х-2 и ниже параболы вместе с той частью параболы, которая лежит выше прямой).

Пример №45

Постройте график уравнения

Ориентир: Для упрощения выражения с несколькими модулями с двумя переменны­ми можно найти нули под модульных выражений (то есть приравнять их к нулю ) и разбить область определения рассматриваемого выражения на несколько частей, в каждой из которых знак каждого модуля раскрывается однозначно.

Используя этот ориентир, получаем план решения примера. Приравняем к нулю подмодульные выражения х-у = 0 (отсюда у = х) и х + у = О (отсюда у = -х). Прямые у = х и у =-х разбивают координатную плоскость на четыре области. В каждой из этих областей знак каждого модуля раскрывается однозначно, после преобразования полученного равенства строим соответствующую часть графика заданного уравнения.

Решение:

1. Область определения:
2. x-у = 0 при у = х; х+у = 0 при у = -х .
3. Прямые у = х и у =-х разбивают координатную плоскость на четыре части, в каждой из которых обозначены знаки первого и второго подмодульных выражений (рис. 83, а). (Будем считать, что каждая область берется вмес­те с лучами, которые ее ограничивают.)

Действительно, если точки нахо­дятся в области I или на ее границе, то их координаты удовлетворяют системе неравенств которую можно записать так: Тогда в области I первое подмодульное выражение отрицательно, а второе — по­ложительно, поэтому данное уравнение имеет вид -(х-у) + 2(х + у) = х + 6. Отсюда у = 2. Строим ту часть графика этой функции, которая находится в области I (рис. 83, б).

Аналогично для точек области II: то есть Таким образом, в области II данное уравнение имеет вид -(х-у) — 2(х+у) = х + 6. Отсюда у = -4х-6. Строим ту часть графика этой функции, кото­рая находится в области II. Если точки находятся в области III, то то есть из данного уравнения получаем (х-у) — 2(х+у) = х+6. Отсюда Если точки находятся в области IV, то то есть из данного уравнения имеем (х-у) + 2(х+у) = х+6. Отсюда у = -2х+6. Окончательный вид графика уравнения приведен на рисунке 83, б.

Метод математической индукции

При решении математических задач иногда возникает потребность обосно­вать, что определенное свойство выполняется для произвольного натураль­ного числа

Проверить данное свойство для каждого натурального числа мы не мо­жем — их количество бесконечно. Приходится рассуждать так: 1) я могу про­верить, что это свойство выполняется при 2) я могу показать, что для каждого следующего значения оно тоже выполняется, таким образом, свойство будет выполняться для каждого следующего числа, начиная с единицы, то есть для всех натуральных чисел.

Такой способ рассуждений при доказательстве математических утвержде­ний называется методом математической индукции. Он является одним из универсальных методов доказательства математических утверждений, в которых содержатся слова «для любого натурального » (возможно, не сформулированные явно). Доказательство с помощью этого метода всегда состоит из двух этапов:

1. начало индукции: проверяется, выполняется ли рассматриваемое утверждение при = 1;
2. индуктивный переход: доказывается, что если данное утверждение выполняется для k, то оно выполняется и для k + 1.

Таким образом, начав с = 1, мы на основании доказанного индуктивного перехода получаем, что сформулированное утверждение справедливо и для = 2, 3, …, то есть для любого натурального .

Схема доказательства утверждений с помощью метода математической индукции

На практике этот метод удобно применять по схеме.

Схема доказательства утверждений с помощью метода математической индукции:

1. Проверяем, выполняет­ся ли данное утверждение при = 1 (иногда начина­ют с
2. Предполагаем , что заданное утверждение справедливо при где (другой вариант при
3. Доказываем (опираясь на предположение) справедливость нашего утверждения и при
4. Делаем вывод, что данное утверждение справедливо для любого натурального числа (для любого

Пример:

Докажите, что для любого натурального Для удобства записи обозначим

1. При = 1 равенство выполняется: то есть 2 = 2.
2. Предполагаем, что заданное равенство верно при то есть
3. (1) Докажем, что равенство выполняется и при то есть докажем, что Учитывая, что и подставляя из равенства (1), получаем что и требовалось доказать.
4. Итак, заданное равенство верно для любого натурального

Пример №46

Докажите, что делится на 81 при любом нату­ральном

Комментарий:

Поскольку утверждение необходимо доказать для любого натурального то используем метод математической индукции по схеме, приведенной в табли­це 22. При выполнении индуктивного перехода представим выражение, полученное при как сумму двух выражений: того, что получили при и еще одного выражения, которое делится на 81.

Доказательство:

1. Проверяем, выполняется ли данное утверждение при . Если , данное выражение равно 0, то есть делится на 81. Таким образом, данное свойство выполняется при .
2. Предполагаем, что данное утверждение выполняется при то есть что делится на 81.
3. Докажем, что данное утверждение выполняется и при то есть что делится на 81. Выражение в скобках — это значение заданного выражения при которое по предположению индукции делится на 81. Следовательно, каждое слагаемое последней суммы делится на 81, тогда и вся сумма, то есть делится на 81. Таким образом, данное утверждение выполняется и при
4. Следовательно, делится на 81 при любом натуральном

Пример №47

Докажите, что если

Комментарий:

Поскольку утверждение должно выполняться, начиная с то провер­ку проводим именно для этого числа. Записывая предположение индукции, удобно воспользоваться тем, что по определению понятия «больше» а>b тогда и только тогда, когда а-b> 0. Доказывая неравенство при снова используем то же определение и доказываем, что разность между его левой и правой частями положительна.

Доказательство:

1. При получаем то есть 8 > 7 — верное неравенство. Таким образом, при данное неравенство выполняется.
2. Предполагаем, что данное неравенство выполняется при то есть
3. Докажем, что данное неравенство выполняется и при то есть докажем, что Рассмотрим разность: (поскольку выражение в скобках по неравенству (1) положительно и при выражение 2k — 1 также положительно). Следовательно, то есть данное неравенство выполняется и при
4. Итак, данное неравенство выполняется при всех натуральных

Многочлены от одной переменной и действия над ними

Определение многочленов от одной переменной
и их тождественное равенство

Рассмотрим одночлен и многочлен, которые зависят только от одной переменной, например, от переменной х.

По определению одночлена числа и буквы (в нашем случае одна буква — х) в нем связаны только двумя действиями — умножением и возведением в натуральную степень. Если в этом одночлене произведение всех чисел записать перед буквой, а произведение всех степеней буквы записать как целую неотрицательную степень этой буквы (то есть записать одночлен в стандартном виде), то получим выражение вида где а — некоторое число. Поэтому одночлен от одной переменной х — это выражение вида где а — некото­рое число, — целое неотрицательное число. Если то показатель сте­пени переменной х называется степенью одночлена. Например, — одночлен шестой степени, — одночлен второй степени. Если одночлен является числом, не равным нулю, то его степень считается равной нулю. Для одночлена, заданного числом 0, понятие степени не определяется (поскольку

По определению многочлен от одной переменной х — это сумма одночле­нов от одной переменной х. Поэтому многочленом от одной переменной х называется выражение вида (1) где коэффициенты — некоторые числа.

Если то этот многочлен называют многочленом степени от переменной х. При этом член называют старшим членом многочлена f(x), число — коэффициентом при старшем члене, а член — свободным чле­ном. Например, — многочлен третьей степени, у которого свобод­ный член равен 1, а коэффициент при старшем члене равен 5.

Заметим, что иногда нумерацию коэффициентов многочлена начинают с начала записи выражения (1), и тогда общий вид многочлена f (х) записывают так: где — некоторые числа.

Теорема 1. Одночлены тождественно равны тогда и только тогда, когда а = b и Одночлен тождественно равен нулю тогда и только тогда, ког­да а = 0.

Поскольку равенство одночленов (2) выполняется при всех значениях х (по условию эти одночлены тождественно равны), то, подставляя в это равенство х = 1, получаем, что а = b. Сокращая обе части равенства (2) на а (где по условию), получаем При х = 2 из этого равенства имеем: . Поскольку то равенство возможно только тогда, когда Таким образом, из тождественного равенства получаем, что а = b и

Если известно, что для всех х, то при х = 1 получаем а = 0. Поэтому одночлен тождественно равен нулю при а = 0 (тогда ).

() Далее любой одночлен вида будем заменять на 0.

Теорема 2. Если многочлен f (х) тождественно равен нулю (то есть принимает нулевые значения при всех значениях х), то все его коэф­фициенты равны нулю.

Для доказательства используем метод математической индукции. Пусть f (х) = При имеем поэтому То есть в этом случае утверждение теоремы выполняется.

Предположим, что при это утверждение также выполняется: если многочлен тождественно равен 0, то

Докажем, что данное утверждение выполняется и при Пусть (3) Поскольку равенство (3) выполняется при всех значениях х, то, подставляя в это равенство х = 0, получаем, что Тогда равенство (3) обраща­ется в следующее равенство: Вынесем х в левой части этого равенства за скобки и получим (4) Равенство(4) должно выполняться при всех значениях х. Для того чтобы оно выполнялось при должно выполняться тождество

В левой части этого тождества стоит многочлен со степенями переменной от Тогда по предположению индукции все его коэффициенты равны нулю: Но мы также доказали, что поэтому наше утверждение выполняется и при Таким образом, утвержде­ние теоремы справедливо для любого целого неотрицательного то есть для всех многочленов.

Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, обычно называют нулевым многочленом, или нуль-многочленом, и обозначают 0(х) или прос­то 0 (поскольку 0 (х) = 0).

Теорема 3. Если два многочлена f (х) и g (х) тождественно равны, то они совпадают (то есть их степени одинаковы и коэффициенты при одинаковых степенях равны)

Пусть многочлен а многочлен Рассмотрим многочлен f(х)-g(х). Поскольку многочлены f (х) и g (х) по условию тождественно равны, то многочлен f (x) — g (х) тождественно равен 0. Таким образом, все его коэффициенты равны нулю. Ho Тогда Отсюда

Как видим, если допустить, что у какого-то из двух данных многочленов степень выше, чем у второго многочлена (например, больше ), то коэффициенты разности будут равны нулю. Поэтому, начиная с номера, все коэффициенты также будут равны нулю. То есть действитель­но, многочлены f (х) и g (х) имеют одинаковую степень и соответственно равные коэффициенты при одинаковых степенях.

Теорема 3 является основанием так называемого метода неопределенных коэффициентов. Покажем его применение на следующем примере.

Пример №48

Докажите, что выражение (х+2)(х+4)(х+6)(х+8) +16 является полным квадратом.

Данное выражение может быть записано в виде многочлена четвертой сте­пени, поэтому оно может быть полным квадратом только многочлена второй степени вида

Получаем тождество: (х+2)(х+4)(х+6)(х+8) + 16 = (5) Раскрывая скобки в левой и правой частях этого тождества и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему равенств. Этот этап решения удобно оформлять в следующем виде:

Из первого равенства получаем а = 1 или а = -1 . При а = 1 из второго равенства имеем b = 10, а из третьего — с = 20. Как видим, при этих значениях а, b к с последние два равенства также выполня­ются.

Следовательно, тождество (5) выполняется при а = 1, и = 10, с = 20 (аналогично можно также получить а=-1, b=-10, с=-20). Таким образом, (х+2)(х+4)(х+6)(х+8) + 16 =

Действия над многочленами. Деление многочлена на многочлен с остатком

Сложение и умножение многочленов от одной переменной выполняется с помощью известных правил сложения и умножения многочленов. В результате выполнения действий сложения или умножения над многочленами от одной переменной всегда получаем многочлен от той же переменной.

Из определения произведения двух многочленов вытекает, что старший член произведения двух многочленов равен произведению старших членов множителей, а свободный член произведения равен произведению свободных членов множителей. Отсюда получаем, что степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.

При сложении многочленов одной степени получаем многочлен этой же степени, хотя иногда можно получить многочлен меньшей степени. Например,

При сложении многочленов разных степеней всегда получаем многочлен, степень которого равна большей степени слагаемого.

Например, Деление многочлена на многочлен определяется аналогично делению це­лых чисел. Напомним, что число a делится на число b если существует такое число q, что

Определение. Многочлен А (х) делится на многочлен В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен), если существует такой многочлен Q (х), что

Как и для целых чисел, операция деления многочлена на многочлен выполняется не всегда, поэтому во множестве многочленов вводится операция деления с остатком. Говорят, что многочлен А (х) делится на многочлен В (х) (где В (х) — не нулевой мно­гочлен) с остатком, если существует такая пара многочленов Q (х) и R (х), что А (х) = В (х) • Q (х) + R (х), причем степень остатка R (х) меньше сте­пени делителя В (х) (в этом случае многочлен Q (х) называется непол­ным частным.)

Например, поскольку то при делении многочлена на многочлен получаем неполное частное х и остаток 2. Иногда деление многочлена на многочлен удобно выполнять «уголком», как и деление многозначных чисел, пользуясь следующим алгоритмом:

При делении многочленов от одной переменной переменные в делимом и в делителе размещают по убыванию степеней и делят старший член делимого на старший член делителя. Потом полученный результат ум­ножается на делитель, и это произведение вычитается из делимого. С полученной разностью выполняют а нелогичную операцию: делят ее стар­ший член на старший член делителя и полученный результат снова умножают на делитель и т. д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получат еле остатке 0 ( если один многочлен делится на другой), или пока в остатке не получится многочлен, степень которого меньше сте­пени делителя.

Пример №49

Разделим многочлен А (х) = на многочлен В(х) =

Докажем, что полученный результат действительно является результа­том деления А (х) на В (х) с остатком.

Если обозначить результат выполнения первого шага алгоритма через(х), второго шага — через(х), третьего — через(х), то операцию деления, выполненную выше, можно записать в виде системы равенств:

(1)

(2)

(3)

Сложим почленно равенства (1), (2), (3) и получим

(4)

Учитывая, что степень многочлена (х) = х + 4 меньше степени делителя В (х) = обозначим (х) = R (х) (остаток), а — Зх — 8 = Q (х) (неполное частное). Тогда из равенства (4) имеем: А (х) = В (х) • Q (х) + R (х), то есть+ 8х — 20 = (— 2х + 3)( — Зх — + х + 4, а это и означает, что мы разделили А (х) на В (х) с остатком.

Очевидно, что приведенное обоснование можно провести для любой пары многочленов А (х) и В (х) в случае их деления столбиком. Поэтому описанный выше алгоритм позволяет для любых делимого А (х) и делителя В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) найти неполное частное Q (х) и остаток R (х). Отметим, что в случае, когда степень делимого А (х) меньше степени делителя В (х), считают, что неполное частное Q (х) = 0, а остаток R (х) = А (х).

Теорема Безу. Корни многочлена. Формулы Виета

Рассмотрим деление многочлена на двучлен Поскольку сте­пень делителя равна 1, то степень остатка, который мы получим, должна быть меньше 1, то есть в этом случае остатком будет некоторое число R. Та­ким образом, если разделить многочлен на двучлен то получим

Это равенство выполняется тождественно, то есть при любом значении х. При имеем Полученный результат называется теоремой Безу.

Теорема 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена на двучлен равен (то есть значению многочлена при

Пример №50

Докажите, что делится на без остатка.

Подставив в вместо значение 1, получаем: Таким образом, остаток от деления равен 0, то есть делится на без остатка. 

Определение. Число называется корнем многочлена если

Если многочлен делится на то — корень этого многочлена. Действительно, если делится на и поэтому Таким образом, — корень многочлена Справедливо и обратное утверждение. Оно является следствием теоремы Безу.

Теорема 2. Если число является корнем многочлена то этот многочлен делится на двучлен без остатка.

• По теореме Безу остаток от деления равен Но по условию — корень таким образом,

Обобщением теоремы 2 является следующее утверждение.

Теорема 3. Если многочлен имеет попарно разные корни то он делится без остатка на произведение

Для доказательства используем метод математической индукции.

При утверждение доказано в теореме 2.

Допустим, что утверждение справедливо при То есть если — попарно разные корни многочлена то он делится на произведение ( Тогда

Докажем, что утверждение теоремы справедливо и при Пусть — попарно разные корни многочлена Поскольку — корень Принимая во внимание равенство (1), которое выполняется согласно допущению индукции, получаем:

По условию все корни разные, поэтому ни одно из чисел не равно нулю. Тогда Таким

образом, — корень многочлена Тогда по теореме 2 делится на и из равенства (1) имеем

Это означает, что делится на произведение

то есть теорема доказана и при

Таким образом, теорема справедлива для любого натурального

Следствие. Многочлен степени имеет не больше разных корней.

Допустим, что многочлен степени имеет разных корней: Тогда делится на произведение — многочлен степени но это невозможно. Поэтому многочлен степени не может иметь больше, чем корней.

Пусть теперь многочлен степени имеет разных корней Тогда этот многочлен делится без остатка на произведение Это произведение является многочленом той же степени. Таким образом, в результате деления можно получить только многочлен нулевой степени, то есть число. Таким образом,

Если раскрыть скобки в правой части равенства (2) и приравнять коэффициенты при старших степенях, то получим, что то есть

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождества (3), получаем соотношение между коэффициентами уравнения и его корнями, которые называются формулами Виета:

Например, при имеем:

а при

Выполнение таких равенств является необходимым и достаточным условием того, чтобы числа были корнями многочлена

Формулы (3) и (4) справедливы не только для случая, когда все корни многочлена разные. Введем понятие кратного корня многочлена.

Если многочлен делится без остатка на но не делится без остатка на то говорят, что число является корнем кратности многочлена

Например, если произведение записать в виде многочлена, то для этого многочлена число (-2) является корнем кратности 3, число 1 — корнем кратности 2, а число (-3) — корнем кратности 1.

При использовании формул Виета в случае кратных корней необходимо каждый корень записать такое количество раз, которое равно его кратности.

Пример №51

Проверьте справедливость формул Виета для многочлена

Поэтому имеет корни: (поскольку (-2) — корень кратности 2).

Проверим справедливость формулы (5). В нашем случае: Тогда

Как видим, все равенства выполняются, поэтому формулы Виета справедливы для данного многочлена.

Пример №52

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения

Обозначим корни уравнения через Тогда корнями искомого уравнения должны быть числа Поэтому искомое уравнение имеет вид

где По формулам Виета имеем Отсюда находим, что

Таким образом, искомое уравнение имеет вид

Схема Горнера

Делить многочлен на двучлен иногда удобно с помощью специальной схемы, которую называют схемой Горнера.

Пусть многочлен необходимо разделить на двучлен В результате деления многочлена степени на многочлен первой степени получим некоторый многочлен степени (то есть где и остаток Тогда то есть

Левая и правая части полученного равенства тождественно равны, поэтому, перемножив многочлены, стоящие в правой части, можем приравнять коэффициенты при соответствующих степенях

Найдем из этих равенств коэффициенты и остаток

Как видим, первый коэффициент неполного частного равен первому коэффициенту делимого. Остальные коэффициенты неполного частного и остаток находятся одинаково: для того чтобы найти коэффициент неполного частного, достаточно предыдущий найденный коэффициент умножить на и добавить коэффициент делимого. Эту процедуру целесоб-разно оформлять в виде специальной схемы-таблицы, которая называется схемой Горнера.

Пример №53

Разделите по схеме Горнера многочлен на двучлен

Запишем сначала все коэффициенты многочлена (если в данном многочлене пропущена степень 2, то соответствующий коэффициент считаем равным 0), а потом найдем коэффициенты неполного частного и остаток по указанной схеме:

Таким образом,

Пример №54

Проверьте, является ли корнем многочлена

По теореме Безу остаток от деления многочлена на равен поэтому найдем с помощью схемы Горнера остаток от деления на

Поскольку корень многочлена

Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами

Теорема 4. Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень то является делителем свободного члена — делителем коэффициента при старшем члене

Если является корнем многочлена Подставляем вместо и из последнего равенства имеем

Умножим обе части равенства (1) на Получаем

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на Поэтому делится на

Но когда мы записываем рациональное число в виде то эта дробь считается несократимой, то есть не имеют общих делителей. Произведение может делится на (если — взаимно простые числа) только тогда, когда делится на Таким образом, — делитель свободного члена Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на Тогда делится на Поскольку взаимно простые числа, то делится на следовательно, — делитель коэффициента при старшем члене.

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять то корнем многочлена будет целое число — делитель Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене коэффициент то делителями могут быть только числа то есть и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1 ,то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Пример №55

Найдите рациональные корни многочлена

Пусть несократимая дробь является корнем многочлена. Тогда необходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел — среди делителей старшего коэффициента: Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать среди чисел Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесобразно с помощью схемы Горнера. При

Кроме того, по схеме Горнера можно записать, что

Многочлен не имеет действительных корней (а тем более рациональных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональный корень

Пример №56

Разложите многочлен на множители.

Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена: Подходит 1. Делим с помощью схемы Горнера.

Тогда Ищем целые корни кубического многочлена среди делителей его свободного члена: Подходит (-2). Делим на

Имеем

Квадратный трехчлен не имеет действительных корней и на линейные множители не раскладывается.

Ответ:

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен степени не всегда можно разложить на линейные множители. В курсах высшей алгебры доказывается, что многочлен нечетной степени всегда можно разложить на линейные и квадратные множители, а многочлен четной степени представить в виде произведения квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого разложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Пример №57

Разложите на множители многочлен

Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен в произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

где — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях у них равны. Раскроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

Получаем систему

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравнению 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что могут быть только делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рассматриваем случаи или и т. д.

Для каждой пары значений из третьего равенства системы (4) найдем а из второго равенства имеем

Зная по теореме, обратной теореме Виета, находим как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения подставим в четвертое равенство системы (4) чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел Тогда равенство (3) имеет вид

Поскольку квадратные трехчлены не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Дополнительные формулы тригонометрии

1. Формулы тройного аргумента:

2. Формулы понижения степени:

3. Формулы половинного аргумента:

(Знак перед корнем выбирается в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.)

4. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:

Объяснение и обоснование:

Формулы тройного аргумента

Используя формулы сложения, формулы двойного аргумента, основное тригонометрическое тождество и формулу получаем следующие формулы:

Таким образом,

Следовательно,

Следовательно,

Замечание:

Функции существуют при любых значениях а функция существует только тогда, когда Отсюда

то есть Аналогично функция существует только тогда, когда то есть при

Формулы понижения степени

Из формул и получаем формулы понижения степени:

Формулы половинного аргумента

Если в формулах (1) и (2) вместо взять аргумент то получим:

Из формул (3) и (4) получаем формулы половинного аргумента для синуса и косинуса:

В этих формулах знак перед корнем выбирается в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.

Если почленно разделить формулы (5) и (6) и учесть, что то получим: В формулах (7) и (8) знак перед корнем также выбирается в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.

Отметим, что формулы (5) и (6) можно применять при любых значениях а, а формулы (7) и (8) только тогда, когда существуют значения соответственно. Таким образом, формулу (7) можно применять, если

то есть если а формулу (8) — если то есть

Заметим, что для тангенса и котангенса половинного аргумента можно получить формулы, которые не содержат квадратных корней. Например,

Действительно, если учесть, что аргумент а вдвое больше аргумента то Естественно, формулу (9) можно применять

только при то есть при

Аналогично обосновывается формула

если то есть формулу (10) можно применять при

Учитывая, что получаем формулы:

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

Чтобы получить соответствующие формулы для запишем каждое из этих выражений по формулам двойного аргумента и разделим на Затем, чтобы перейти к тангенсам, разделим числитель и знаменатель полученной дроби на (разумеется, при условии, что то есть при

Таким образом, Поэтому

Если почленно разделить равенства (11) и (12), то получим формулы:

что формулу (13) можно получить и по формуле тангенса двойного аргумента, поскольку

Пример №58

Вычислите, не пользуясь таблицами и калькулятором:

Комментарий:

Поскольку аргумент равен половине аргумента , а косинус известен, то можно найти искомые значения по формулам половинного аргумента. Учитывая, что аргумент находится в I четверти (где значения всех тригонометрических функций положительны), в формулах (5) и (6) перед знаком квадратного корня ставится знак « + ». Для нахождения тангенса можно применить любую из формул (7), (9) или (10), но удобнее применить формулы (9) или (10), запись которых не содержит квадратных корней. После нахождения можно использовать также формулу

Решение:

Замечание. Записи ответов для можно несколько упростить, выделяя под знаком внешнего квадратного корня квадрат двучлена. Чтобы представить, например, в виде квадрата двучлена, умножим и разделим это выражение на 2 (и рассмотрим выражение как удвоенное произведение чисел и 1).

Получаем:

Тогда:

Выполняя аналогичные преобразования, получаем

Формула преобразования выражения a sin a+b cos a

где аргумент определяется из соотношений

Объяснение и обоснование:

Сначала докажем следующее утверждение: если для чисел тип выполняется соотношение то одно из этих чисел можно считать синусом, а другое косинусом некоторого аргумента

Рассмотрим точку координатной плоскости с координатами Координаты точки удовлетворяют уравнению единичной окружности (поскольку по условию Итак, точка находится на единичной окружности, и ее абсцисса является косинусом угла который радиус образует с положительным направлением оси а ордината — синусом этого угла То есть

Если взять Тогда для некоторого угла

Теперь мы можем доказать, что правая часть формулы

равна левой:

что и требовалось доказать. Таким образом,

где аргумент определяется из соотношений

Замечание. В полученной формуле аргумент ф определяется с точностью до но чаще всего выбирают значение, наименьшее по модулю.

Например, для выражения Тогда

Таким образом, аргумент находится в I четверти и как значение можно взять Тогда

Пример №59

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения

Решение:

По формуле:

получаем

Учитывая, что принимаем все значения из промежутка имеем что принимает все значения из промежутка. Таким образом наибольшее значение заданного выражения равно 2, а наименьшее

Комментарий:

Выражение можно преобразовать по формуле Здесь тогда

Таким образом:

Следовательно, аргумент находится в IV четверти и как значение можно взять, например, Используя метод оценки для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения, учитываем, что необходимо не только оценить значение выражения с помощью нестрогих неравенств но и убедиться, что знак равенства в этих неравенствах достигается.

Пример №60

Постройте график функции

Комментарий:

Выражение можно записать в виде Тогда график заданной функции можно построить с помощью геометрических преобразований графика функции

Решение:

График заданной функции получаем из графика функции растяжением в 2 раза вдоль оси и параллельным переносом полученного графика вдоль оси

Сведения из истории:

Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г.) в названии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое: «тригонон» — треугольник, «метрио» — мера. Иными словами, тригонометрия — наука об измерении треугольников. Множество понятий и фактов, которые теперь относят к тригонометрии, были известны еще две тысячи лет назад. Фактически, разные отношения отрезков треугольника и окружности (собственно говоря, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н. э. в работах великих математиков Древней Греции — Евклида и Архимеда.

Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии, то есть факты, которые мы теперь формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировали и доказывали с помощью геометрических понятий и утверждений. Вероятно, наибольшие стимулы для развития тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач по определению местонахождения судна, предсказания солнечных и лунных затмений и т. п.). Современный вид тригонометрии придал великий математик XVIII в. Л.Эйлер (1707—1783), швейцарец по происхождению, который долгое время работал в России и был членом Петербургской академии наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, начал рассматривать функции произвольного угла, вывел формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приняла формы исчисления: разные факты начали доказывать формальным применением тригонометрических формул, доказательства стали намного компактнее.