Чтобы успешно решать тригонометрические уравнения удобно пользоваться методом сведения к ранее решенным задачам. Давайте разберемся, в чем суть этого метода?
В любой предлагаемой задаче вам необходимо увидеть уже решенную ранее задачу, а затем с помощью последовательных равносильных преобразований попытаться свести данную вам задачу к более простой.
Так, при решении тригонометрических уравнений обычно составляют некоторую конечную последовательность равносильных уравнений, последним звеном которой является уравнение с очевидным решением. Только важно помнить, что если навыки решения простейших тригонометрических уравнений не сформированы, то решение более сложных уравнений будет затруднено и малоэффективно.
Кроме того, решая тригонометрические уравнения, никогда не стоит забывать о возможности существования нескольких способов решения.
Пример 1. Найти количество корней уравнения cos x = -1/2 на промежутке [0; 2π].
Решение:
I способ. Изобразим графики функций y = cos x и y = -1/2 и найдем количество их общих точек на промежутке [0; 2π] (рис. 1).
Так как графики функций имеют две общие точки на промежутке [0; 2π], то уравнение содержит два корня на данном промежутке.
II способ. С помощью тригонометрического круга (рис. 2) выясним количество точек, принадлежащих промежутку [0; 2π], в которых cos x = -1/2. По рисунку видно, что уравнение имеет два корня.
III способ. Воспользовавшись формулой корней тригонометрического уравнения, решим уравнение cos x = -1/2.
cos x = -1/2;
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – целое число (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – целое число (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k – целое число (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку [0; 2π] принадлежат корни 2π/3 и -2π/3 + 2π, k – целое число. Таким образом, уравнение имеет два корня на заданном промежутке.
Ответ: 2.
В дальнейшем тригонометрические уравнения будут решаться одним из предложенных способов, что во многих случаях не исключает применения и остальных способов.
Пример 2. Найти количество решений уравнения tg (x + π/4) = 1 на промежутке [-2π; 2π].
Решение:
Воспользовавшись формулой корней тригонометрического уравнения, получим:
x + π/4 = arctg 1 + πk, k – целое число (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k – целое число (k € Z);
x = πk, k – целое число (k € Z);
Промежутку [-2π; 2π] принадлежат числа -2π; -π; 0; π; 2π. Итак, уравнение имеет пять корней на заданном промежутке.
Ответ: 5.
Пример 3. Найти количество корней уравнения cos2 x + sin x · cos x = 1 на промежутке [-π; π].
Решение:
Так как 1 = sin2 x + cos2 x (основное тригонометрическое тождество), то исходное уравнение принимает вид:
cos2 x + sin x · cos x = sin2 x + cos2 x;
sin2 x – sin x · cos x = 0;
sin x(sin x – cos x) = 0. Произведение равно нулю, а значит хотя бы один из множителей должен быть равен нулю, поэтому:
sin x = 0 или sin x – cos x = 0.
Так как значение переменной, при которых cos x = 0, не являются корнями второго уравнения (синус и косинус одного и того же числа не могут одновременно быть равными нулю), то разделим обе части второго уравнения на cos x:
sin x = 0 или sin x / cos x — 1 = 0.
Во втором уравнении воспользуемся тем, что tg x = sin x / cos x, тогда:
sin x = 0 или tg x = 1. С помощью формул имеем:
x = πk или x = π/4 + πk, k – целое число (k € Z).
Из первой серии корней промежутку [-π; π] принадлежат числа -π; 0; π. Из второй серии: (π/4 – π) и π/4.
Таким образом, пять корней исходного уравнения принадлежат промежутку [-π; π].
Ответ: 5.
Пример 4. Найти сумму корней уравнения tg2 x + сtg2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на промежутке [-π; 1,1π].
Решение:
Перепишем уравнение в следующем виде:
tg2 x + сtg2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 и сделаем замену.
Пусть tg x + сtgx = a. Обе части равенства возведем в квадрат:
(tg x + сtg x)2 = a2. Раскроем скобки:
tg2 x + 2tg x · сtgx + сtg2 x = a2.
Так как tg x · сtgx = 1, то tg2 x + 2 + сtg2 x = a2, а значит
tg2 x + сtg2 x = a2 – 2.
Теперь исходное уравнение имеет вид:
a2 – 2 + 3a + 4 = 0;
a2 + 3a + 2 = 0. С помощью теоремы Виета получаем, что a = -1 или a = -2.
Сделаем обратную замену, имеем:
tg x + сtgx = -1 или tg x + сtgx = -2. Решим полученные уравнения.
tg x + 1/tgx = -1 или tg x + 1/tgx = -2.
По свойству двух взаимно обратных чисел определяем, что первое уравнение не имеет корней, а из второго уравнения имеем:
tg x = -1, т.е. x = -π/4 + πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку [-π; 1,1π] принадлежат корни: -π/4; -π/4 + π. Их сумма:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Ответ: π/2.
Пример 5. Найти среднее арифметическое корней уравнения sin 3x + sin x = sin 2x на промежутке [-π; 0,5π].
Решение:
Воспользуемся формулой sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) · cos ((α – β)/2), тогда
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) · cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x · cos x и уравнение принимает вид
2sin 2x · cos x = sin 2x;
2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Вынесем общий множитель sin 2x за скобки
sin 2x(2cos x – 1) = 0. Решим полученное уравнение:
sin 2x = 0 или 2cos x – 1 = 0;
sin 2x = 0 или cos x = 1/2;
2x = πk или x = ±π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).
Таким образом, имеем корни
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку [-π; 0,5π] принадлежат корни -π; -π/2; 0; π/2 (из первой серии корней); π/3 (из второй серии); -π/3 (из третьей серии). Их среднее арифметическое равно:
(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.
Ответ: -π/6.
Пример 6. Найти количество корней уравнения sin x + cos x = 0 на промежутке [-1,25π; 2π].
Решение:
Данное уравнение является однородным уравнением первой степени. Разделим обе его части на cosx (значение переменной, при которых cos x = 0, не являются корнями данного уравнения, так как синус и косинус одного и того же числа не могут одновременно быть равными нулю). Исходное уравнение имеет вид:
tg x + 1 = 0;
tg x = -1;
x = -π/4 + πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку [-1,25π; 2π] принадлежат корни -π/4; (-π/4 + π); и (-π/4 + 2π).
Таким образом, заданному промежутку принадлежат три корня уравнения.
Ответ: 3.
Научитесь делать самое главное – четко представлять план решения задачи, и тогда любое тригонометрическое уравнение будет вам по плечу.
Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.
19.1. Уравнение cos x = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравненияcosx=a.
При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)
2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.
Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).
Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда
Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,
Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,
Примеры решения задач
Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:
19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a
Объяснение и обоснование
1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a
Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке 
функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.
Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:
При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).
Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctg a.
Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:
таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни
Примеры решения задач
Вопросы для контроля
- Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
- Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
- Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
- Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.
Упражнения
Решите уравнение (1-11)
Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)
Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях
Класс: 10
Автор проекта:
Шелкова Полина,
Класс: 10
Руководитель:
Злобова Людмила Викторовна,
учитель математики
ВВЕДЕНИЕ
Слово «тригонометрия» греческое, оно переводится как «измерение треугольников» (τρίγονον — «тригон» — треугольник и μετρειν — «метрео» — измеряю).
Тригонометрия, как и всякая другая наука, выросла из практической деятельности человека. Потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил, оказали большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрией. Предполагают, что основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения, имели работы древнегреческого астронома Гиппарха Никейского (180-125 лет до н. э.) (прил. №3). Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд (прил. №2). Т.е. таблицы, которые выражают длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса, что является аналогом современных таблиц тригонометрических функций. Впрочем, до нас не дошли оригинальные таблицы Гиппарха, как и почти все, что им написано. И мы, можем составить себе о них представление главным образом по сочинению «Великое построение» или «Альмагесту» знаменитого астронома Клавдия Птолемея, жившего в середине II века н.э.
Несмотря на то, что в работах ученых древности нет «тригонометрии» в строгом смысле этого слова, но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. Например, задачи на решение треугольников (определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам), теоремы Евклида и Архимеда представленные в геометрическом виде, эквивалентны специфическим тригонометрическим формулам. Главным достижением средневековой Индии стала замена хорд синусами. Это позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии, как учению о тригонометрических величинах.
Учёные стран Ближнего и Среднего Востока с VIII века развили тригонометрию своих предшественников. Уже в середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того, как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки. В дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела, способствовали развитию тригонометрии. Особенно усиленно шло ее развитие в средневековое время. Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насир ад-Дину ат-Туси (1201-1274), написавшему «Трактат о полном четырехстороннике». Творения ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела науки. Однако в их трудах еще не была введена необходимая символика. Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера (1707-1783). На основании трудов Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности (прил. №4). Тригонометрические вычисления применяются во многих областях человеческой деятельности: в геометрии, в физике, в астрономии, в архитектуре, в геодезии, инженерном деле, в акустике, в электронике и т.д.
I РАЗДЕЛ (теоретический)
Тема проекта и её актуальность: почему я выбрала тему «Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях»?
- Расширить и углубить свои знания, полученные в курсе геометрии 8-9 класса.
- Тригонометрические уравнения рассматриваются в курсе алгебры и начал математического анализа 10-11 класса.
- Тригонометрические уравнения включены в КИМы ЕГЭ по математике.
Решение тригонометрических уравнений и отбор корней, принадлежащих заданному промежутку — это одна из сложнейших тем математики, которая выносится на Единый Государственный Экзамен. По результатам анкетирования многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать тригонометрические уравнения и особенно затрудняются в отборе корней, принадлежащих промежутку. Немаловажно также знать, тригонометрические формулы, табличные значения тригонометрических функций для решения целого ряда заданий Единого Государственного Экзамена по математике.
Цель проекта: изучить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и выбрать для себя наиболее рациональные подходы для качественной подготовки к ЕГЭ.
Задачи:
- познакомиться с историческими сведениями о возникновении тригонометрии, как науки;
- изучить соответствующую литературу;
- научиться решать тригонометрические уравнения;
- найти теоретический материал и изучить методы отбора корней в тригонометрических уравнениях;
- научиться отбирать корни в тригонометрических уравнениях, принадлежащим заданному промежутку;
- подготовиться к ЕГЭ по математике.
Приёмы отбора корней тригонометрического уравнения на заданном промежутке.
При решении тригонометрических уравнений предлагается провести отбор корней из множества значений неизвестного. В тригонометрическом уравнении отбор корней можно осуществлять следующими способами: арифметическим, алгебраическим, геометрическим и функционально-графическим.
Арифметический способ отбора корней состоит в непосредственной подстановке полученных корней в уравнение, учитывая имеющиеся ограничения, при переборе значений целочисленного параметра.
Алгебраический способ предполагает составление неравенств, соответствующих дополнительным условиям, и их решение относительно целочисленного параметра.
Геометрический способ предполагает использование при отборе корней двух вариантов: тригонометрической окружности или числовой прямой. Тригонометрическая окружность более удобна, когда речь идет об отборе корней на промежутке или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в решения, не являются табличными. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой. Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2 или требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения.
Функционально-графический способ предполагает отбор корней осуществлять с использование графиков тригонометрических функций. Чтобы использовать данный способ отбора корней, требуется умение схематичного построения графиков тригонометрических функций.
II РАЗДЕЛ (практический)
Покажу практически три наиболее эффективных и рациональных, с моей точки зрения, метода отбора корней на примере решения следующего тригонометрического уравнения:
sinx−cos2x=0; [применили формулу двойного угла: cos2x = cos 2 x−sin 2 x]
sinx−(cos 2 x−sin 2 x)=0;
sinx−(1−sin 2 x−sin 2 x)=0;
Введем новую переменную: sinx = t, -1 ≤ t ≤1, получим
Вернемся к замене:
б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок 
.
1 способ: обратимся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному отрезку, т.е. выполним отбор корней арифметическим способом и с помощью тригонометрической окружности:
2 способ: указанный отрезок соответствует неравенству: Подставим в него полученные корни: 
3 способ: разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо n, и нуль (0), а потом добавим к каждому корню периоды.
Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При работе над моим проектом я изучила методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней тригонометрических уравнений. Выяснила для себя положительные и отрицательные моменты. При апробации этих подходов в отборе корней тригонометрического уравнения, понимаешь, что каждый из этих способов удобен по-своему в том или ином случае. Например, алгебраический способ (решение неравенством) наиболее эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой, в тоже время он дает практически стопроцентное нахождение целочисленного параметра для вычисления корней, а применение арифметического способа приводит к громоздким вычислениям. При отборе корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям, т.е. когда корни уравнения принадлежат заданному промежутку, мне проще и нагляднее получить корни с помощью тригонометрической окружности, а проверить себя можно арифметическим способом. Замечу, что при решении тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, возрастают, если в уравнении приходится учитывать ОДЗ. Как показывает практика и анкетирование моих одноклассников, из четырёх возможных методов отбора корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наиболее предпочтительным является отбор корней по окружности. Анкетирование проходили 12 респондентов, изучающих тригонометрию (прил. №5). Большинство из них отвечали, что этот раздел математики достаточно сложный: большой объем информации, очень много формул, табличных значений, которые нужно знать и уметь применять на практике. Еще как одна из проблем — небольшое количество времени, отведенное на изучение этого сложного раздела математики. И я разделяю их мнение. При такой сложности, многие считают, что тригонометрия важный раздел математики, который находит применение в других науках и практической деятельности человека.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни/ [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников и др.]-3 -е изд.- М.: Просвещение, 2016.
- Алгебра и начала математического анализа: Учеб для 10-11 кл.общеобразоват. организаций / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др. под редакцией А.Н.Колмогорова — М. Просвещение, 2017.
- С.В Кравцев и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных — М: Издательство: «Экзамен», 2005.
- Корянов А.Г., Прокофьев А.А. — Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. — М.: Математика ЕГЭ, 2012.
Отбор корней в тригонометрическом уравнение
В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.
а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]
Решим пункт а.
Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)
sqrt(2)cos^2x — cosx = 0
cosx(sqrt(2)cosx — 1) = 0
x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z
sqrt(2)cosx — 1 = 0
x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
Решим пункт б.
1) Отбор корней с помощью неравенств
Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.
-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi
Сразу делим все на Pi
-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2
-7/2 — 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 — 1/2
-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2
Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2
Аналогично делаем еще два неравенства
-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8
Целых n в этом промежутке нет
-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8
Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.
Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4
2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности
Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.
Обойдем раз против часовой стрелки
Обойдем 2 раза против часовой стрелки
Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)
Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]
Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.
Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 — 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 — 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 — 4Pi = -7Pi/2, также подходит.
Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.
Сравнение двух методов.
Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.
http://urok.1sept.ru/articles/687140
http://reshimvse.com/article.php?id=100
Слайд 1
Методы отбора корней в тригонометрических уравнениях на заданном промежутке
Слайд 2
Баллы за задание №12 (С-1) 2015 2018 2020 2021 1 балл 90,7% 73, 7% 92,2% 100% 2 балла 69,4% 51,1% 83,5% 100%
Слайд 5
Обязательный минимум знаний sin x = a , -1 a 1 ( a 1) x = arcsin a + 2 n, n Z x = — arcsin a + 2 n, n Z sin x = 1 x = /2 + 2 k, k Z sin x = — 1 x = — /2 + 2 k, k Z sin x = 0 x = k, k Z y x y x x y
Слайд 6
Обязательный минимум знаний cos x = a , -1 a 1 ( a 1) x = arccos a + 2 n, n Z arccos (- a) = — arccos a cos x = 1 x = 2 k, k Z cos x = — 1 x = + 2 k, k Z cos x = 0 x = /2 + k, k Z y x y x y x
Слайд 7
Обязательный минимум знаний tg x = a , a R x = arctg a + n, n Z arctg (- a) = — arctg a ctg x = a , a R x = arcctg a + n, n Z arctg (- a) = — arctg a
Слайд 8
Рекомендации по решению тригонометрических уравнений Свести уравнение к простейшему Некоторые методы решения тригонометрических уравнений Применение тригонометрических формул Использование формул сокращённого умножения Разложение на множители Сведение к квадратному уравнению относительно sin x, cos x, tg x Введением вспомогательного аргумента Делением обеих частей однородного уравнения первой степени ( asin x +bcosx = 0 ) на cos x Делением обеих частей однородного уравнения второй степени (a sin 2 x +bsin x cos x+ c cos 2 x =0) на cos 2 x
Слайд 9
Различные способы отбора корней cos 2x = ½, x [- /2; 3 /2] 2x = ± arccos ½ + 2 n, n Z 2x = ± /3 + 2 n, n Z x = ± /6 + n, n Z Отберём корни с помощью тригонометрической окружности Ответ : — /6; /6; 5 /6; 7 /6 Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку (с помощью тригонометрической окружности)
Слайд 10
Различные способы отбора корней Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку (арифметический, метод перебора) sin 3x = √3/2, x [- /2; /2] 3x = ( – 1) k /3 + k, k Z x = ( – 1) k /9 + k/3, k Z Отберём корни с помощью перебора значений k: k = 0, x = /9 – принадлежит промежутку k = 1, x = – /9 + /3 = 2 /9 – принадлежит промежутку k = 2, x = /9 + 2 /3 = 7 /9 – не принадлежит промежутку k = – 1, x = – /9 – /3 = – 4 /9 – принадлежит промежутку k = – 2, x = /9 – 2 /3 = – 5 /9 – не принадлежит промежутку Ответ: -4 /9; /9; 2 /9
Слайд 11
Различные способы отбора корней tg 3x = – 1 , x (- /2; ) 3x = – /4 + n, n Z x = – /12 + n/3, n Z Отберём корни с помощью неравенства: Ответ: – 5 /12; – /12; /4; 7 /12; 11 /12 – /2 < – /12 + n/3 < , – 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1, – 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12, – 5/12 < n/3 < 13/12, – 5/4 < n < 13/4, n Z, n = – 1; 0; 1; 2; 3 Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку ( с помощью неравенства) n = – 1, x = – /12 – /3 = – 5 /12 n = 0, x = – /12 n = 1, x = – /12 + /3 = /4 n = 2, x = – /12 + 2 /3 = 7 /12 n = 3, x = – /12 + = 11 /12
Слайд 12
Различные способы отбора корней Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку ( с помощью графика) cos x = – √2/2, x [ – 4; 5 /4] x = arccos (– √2/2) + 2 n, n Z x = 3 /4 + 2 n, n Z Отберём корни с помощью графика: Ответ: 5 /4; 3 /4 x = – /2 – /4 = – 3 /4; x = – – /4 = – 5 /4
Слайд 13
1. Решить уравнение 7 2cosx = 49 sin2x и указать его корни на отрезке [ ; 5 /2] 7 2cosx = 49 sin2x, 7 2cosx = 7 2sin2x, 2cos x = 2sin 2x, cos x – 2 sinx cosx = 0, cos x (1 – 2sinx) = 0, cos x = 0 , x = /2 + k, k Z или 1 – 2sinx = 0, sin x = ½, x = /6 + 2 k, k Z x = 5 /6 + 2 k, k Z Решим уравнение: Проведём отбор корней с помощью тригонометрической окружности: Ответ: а) /2 + k, k Z, x1 = /6 + 2 k, k Z; x2 = 5 /6 + 2 k, k Z б) 3 /2; 5 /2; 13 /6 x = 2 + /6 = 13 /6
Слайд 14
4cos 2 x + 8 cos (x – 3 /2) +1 = 0 4cos 2 x + 8 cos (3 /2 – x) +1 = 0, 4cos 2 x – 8 sin x +1 = 0, 4 – 4sin 2 x – 8 sin x +1 = 0, 4sin 2 x + 8sin x – 5 = 0, D/4 = 16 + 20 = 36, sin x = – 2,5 или sin x = ½ x1= /6 + 2 k, k Z x2 = 5 /6 + 2 k, k Z 2. Решить уравнение 4cos 2 x + 8 cos (x – 3 /2) +1 = 0 Найти его корни на отрезке [3 ; 9 2]
Слайд 15
Проведем отбор корней на отрезке [3 ; 9 2] (с помощью графиков) x = 4 + /6 = 25 /6 Ответ: а) x1 = /6 + 2 k, k Z x2 = 5 /6 + 2 k, k Z б) 25 /6 sin x = ½ Построим графики функций y = sin x и y = ½
Слайд 16
3. Решить уравнение 4 – cos 2 2x = 3 sin 2 2x + 2 sin 4x Найти его корни на отрезке [0; 1] 4 – cos 2 2x = 3 sin 2 2x + 2 sin 4x 4 (sin 2 2x + cos 2 2x ) – cos 2 2x = 3 sin 2 2x + 4 sin 2x cos 2x, sin 2 2x + 3 cos 2 2x – 4 sin 2x cos 2x = 0 Если cos 2 2x = 0, то sin 2 2x = 0, что невозможно, поэтому cos 2 2x 0 и обе части уравнения можно разделить на cos 2 2x. tg 2 2x + 3 – 4 tg 2x = 0, tg 2 2x – 4 tg 2x + 3= 0, tg 2x = 1, 2x = /4 + n, n Z x = /8 + n/2, n Z или tg 2x = 3, 2x = arctg 3 + k, k Z x = ½ arctg 3 + k/2, k Z
Слайд 17
Проведём отбор корней на отрезке [0; 1] 4 – cos 2 2x = 3 sin 2 2x + 2 sin 4x x = /8 + n/2, n Z или x = ½ arctg 3 + k/2, k Z Так как 0 < arctg 3< /2, 0 < ½ arctg 3< /4, то ½ arctg 3 является решением Так как 0 < /8 < /4 < 1,значит /8 также является решением Другие решения не попадут в промежуток [0; 1], так как они получаются из чисел ½ arctg 3 и /8 прибавлением чисел, кратных /2. Ответ: а) /8 + n/2, n Z ; ½ arctg 3 + k/2, k Z б) /8; ½ arctg 3
Слайд 18
4. Решить уравнение log 5 (cos x – sin 2x + 25) = 2 Найти его корни на отрезке [2 ; 7 /2] log 5 (cos x – sin 2x + 25) = 2 cos x – sin 2x + 25 > 0, cos x – sin 2x + 25 = 25, 25 > 0, cos x – 2sin x cos x = 0, cos x (1 – 2sin x) = 0, cos x = 0, x = /2 + n, n Z или 1 – 2sinx = 0, sin x = 1/2 x = /6 + 2 k, k Z x = 5 /6 + 2 k, k Z Решим уравнение:
Слайд 19
1) x = /2 + n, n Z 2 /2 + n 7 /2, n Z 2 1/2 + n 7/2, n Z 2 – ½ n 7/2 – ½, n Z 1,5 n 3, n Z n = 2; 3 x = /2 + 2 = 5 /2 x = /2 + 3 = 7 /2 x = 2 + /6 = 13 /6 x = 3 – /6 = 17 /6 Проведём отбор корней на отрезке [2 ; 7 /2]: Проведём отбор корней на отрезке 2) sin x = 1/2 Ответ: а) /2 + n, n Z; x1 = /6 + 2 k, k Z x2 = 5 /6 + 2 k, k Z б) 13 /6 ; 5 /2; 7 /2; 17 /6
Слайд 20
5. Решить уравнение 1/sin 2 x + 1/sin x = 2 Найти его корни на отрезке [-5 /2; -3 /2] 1/sin 2 x + 1/sin x = 2 x k Замена 1/sin x = t, t 2 + t = 2, t 2 + t – 2 = 0, t 1 = – 2, t 2 = 1 Решим уравнение: 1/sin x = – 2, sin x = – ½, x = – /6 + 2 n, n Z или x = – 5 /6 + 2 n, n Z 1/sin x = 1, sin x = 1, x = /2 + 2 n, n Z
Слайд 21
1) x = — /6 + 2 n, n Z -5 /2 — /6 + 2 n -3 /2, n Z -5/2 -1/6 + 2n -3/2, n Z -5/2 +1/6 2n -3/2 + 1/6, n Z – 7/3 2n -4/3, n Z -7/6 n -2/3, n Z n = -1 x = — /6 — 2 = -13 /6 Рассмотрим остальные серии корней и проведём отбор корней на отрезке алгебраическим методом [-5 /2; -3 /2] Продолжим отбор корней на отрезке Ответ: а) /2 + 2 n, n Z ; x1 = — /6 + 2 k, k Z x2 = — 5 /6 + 2 k, k Z б) -13 /6 ; -3 /2 2) x = /2 + 2 n, n Z -5 /2 /2 + 2 n -3 /2, n Z -5/2 1/2 + 2n -3/2, n Z -5/2 — 1/2 2n -3/2 — 1/2, n Z – 3 2n -2, n Z -1,5 n -1, n Z n = -1 x = /2 — 2 = -3 /2
Слайд 22
6. Решить уравнение |sin x|/sin x + 2 = 2cos x Найти его корни на отрезке [-1; 8] Решим уравнение |sin x|/sin x + 2 = 2cos x 1)Если sin x >0, то |sin x| =sin x Уравнение примет вид: 2 cos x=3, cos x =1,5 – не имеет корней 2) Если sin x <0, то |sin x| =-sin x и уравнение примет вид 2cos x=1, cos x = 1/2, x = ±π/3 +2πk, k Z Учитывая, что sin x < 0, то остаётся одна серия ответа x = — π/3 +2πk, k Z Произведём отбор корней на отрезке [-1; 8] k=0, x= — π/3 , — π < -3, — π/3 < -1, -π/3 не принадлежит данному отрезку k=1, x = — π/3 +2π = 5 π/3<8, 5 π/3 [-1; 8] k=2, x= — π/3 + 4π = 11 π/3 > 8, 11 π/3 не принадлежит данному отрезку. Ответ: а) — π/3 +2πk, k Z б) 5 π/3
Слайд 23
7. Решить уравнение 4sin 3 x=3cos(x- π/2) Найти его корни на промежутке [7 /2; 9 /2) Решим уравнение 4sin 3 x = 3cos(x- π/2) 4sin 3 x = 3cos(π/2-х), 4sin 3 x — 3cos(π/2-х) = 0, 4sin 3 x – 3sin x = 0, sin x (4sin 2 x – 3) = 0, sin x= 0 x= n, n Z или 4sin 2 x – 3=0, sin x=√3/2; sin x =-√3/2 sin x=√3/2, x1= /3 + 2 k, k Z, x2=4 /3 + 2 k, k Z. sin x =-√3/2, x1=- /3 + 2 k, k Z, x2= -4 /3 + 2 k, k Z.
Слайд 24
Объединим решения ( см. рисунок) Уравнение можно решить короче, зная формулу sin 3x = 3sinx – 4sin 3 x : 4sin 3 x – 3sin x =0, 3sin x – 4sin 3 x =0, s in 3x = 0, х = m/3, m Z или х = m/3, m Z
Слайд 25
Проведём отбор корней на промежутке [7 /2; 9 /2) х= m/3, m Z. 7 /2 ≤ m/3 < 9 /2, 21/2 ≤ m<27/2, m Z, 10,5 ≤ m < 13,5, m Z, m =10; 11; 12, x= 10 /3, x= 11 /3, x= 12 /3 Ответ : а) m/3, m Z; б) 10 /3; 11 /3; 12 /3
Слайд 26
8. Решить уравнение √1-sin 2 x= sin x Найти его корни на промежутке [5 /2; 4 ] Решим уравнение √1-sin 2 x= sin x. sin x ≥ 0, 1- sin 2 x = sin 2 x; sin x ≥ 0, sin x≥0, 2sin 2 x = 1; sin x =√2/2; sin x = — √2/2; sin x =√2/2 sin x =√2/2 x=(-1) k /4 + k, k Z
Слайд 27
Проведём отбор корней на отрезке [5 /2; 4 ] x=(-1) k /4 + k, k Z sin x =√2/2 у =sin x и у=√2/2 5 /2 + /4 = 11 /4 Ответ: а) (-1) k /4 + k, k Z ; б) 11 /4
Слайд 28
9. Решить уравнение (sin2x + 2 sin 2 x)/√-cos x =0 Найти его корни на промежутке [-5 ; -7 /2] Решим уравнение (sin2x + 2 sin 2 x)/√-cos x =0. 1) cos x <0 , /2 +2 n
Слайд 29
Отберём корни на заданном отрезке Отберём корни на заданном отрезке [-5 ; -7 /2] x= +2 n, n Z ; -5 ≤ +2 n ≤ -7 /2, -5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1, -3≤ n ≤ -9/4, n Z n = -3, x= -6 = -5 x= 3 /4 + 2 n, n Z -5 ≤ 3 /4 + 2 n ≤ -7 /2 -23/8 ≤ n ≤ -17/8, нет такого целого n. Ответ: а) +2 n, n Z ; 3 /4 + 2 n, n Z ; б) -5 .
Слайд 30
10. Решить уравнение 2sin2x =4cos x –sinx+1 Найти его корни на промежутке [ /2; 3 /2 ] Решим уравнение 2sin2x = 4cos x – sinx+1 2sin2x = 4cos x – sinx+1, 4 sinx∙cos x – 4cos x + sin x -1 = 0, 4cos x(sin x – 1) + (sin x – 1) = 0, (sin x – 1)(4cos x +1)=0, sin x – 1= 0, sin x = 1, x = /2+2 n, n Z или 4cos x +1= 0, cos x = -0,25 x = ± ( -arccos (0,25)) + 2 n, n Z Запишем корни этого уравнения иначе x = — arccos(0,25) + 2 n, x = -( — arccos(0,25)) + 2 n, n Z
Слайд 31
Отберём корни с помощью окружности x = /2+2 n, n Z, х = /2; x = -arccos(0,25)+2 n, х=-( -arccos(0,25)) +2 n, n Z, x = — arccos(0,25), x = + arccos(0,25) Ответ: а) /2+2 n, -arccos(0,25)+2 n, -( -arccos(0,25)) +2 n, n Z; б) /2; -arccos(0,25); +arccos(0,25)
Всероссийский конкурс для школьных педагогов на лучшую образовательную статью «Просто о сложном»
Автор Лисицына Елена Федоровна.
учитель математики
МБОУ «Гимназия№11»
г. Бийска Алтайского кр.
Методы отбора корней в тригонометрических уравнениях
или
Ох уж эта тригонометрия!
Решение тригонометрических уравнений и отбор корней, принадлежащих заданному промежутку — это одна из сложнейших тем математики, которая выносится на Единый Государственный Экзамен в течение уже более 10лет. По результатам анкетирования многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать тригонометрические уравнения и особенно затрудняются в отборе корней, принадлежащих промежутку. Необходимо также знать тригонометрические формулы, табличные значения тригонометрических функций для решения еще целого ряда заданий Единого Государственного Экзамена по математике. Постоянно работая в 10-11 классах, я регулярно сталкивалась с определенными проблемами при работе с вышеуказанным разделом тригонометрии: долго не могла установить баланс между доступностью изложения материала и достаточностью обоснований развернутого решения этой категории заданий. В моей практике были случаи, когда вполне успевающие по математике учащиеся начинали испытывать неуверенность и просто страх при решении тригонометрических уравнений с отбором корней, будь то принадлежность корней области допустимых значений переменной или указанному в задании промежутку. В результате целенаправленной многолетней работы в этом направлении у меня сложилась определенная методика работы с данным разделом, которая оказалась довольно успешной, что подтверждает следующая таблица результатов выполнения учащимися задания №13 профильного ЕГЭ по математике с 2015 по 2021 г.г. ( в % от общего количества учеников 11-х классов гимназии, сдающих профильный ЕГЭ по математике)
|
Баллы за задание №13(С-1) |
2015 |
2016 |
2017 |
2018 |
2019 |
2020 |
2021 |
|
1 балл |
52,5% |
55,1% |
59,0% |
68,8% |
76,4% |
85.8% |
92,2% |
|
2 балла |
43,6% |
47.2№ |
51,1% |
57,2% |
63,3% |
77,0% |
83,5% |
В тригонометрическом уравнении отбор корней можно осуществлять следующими способами: арифметическим, алгебраическим, геометрическим и функционально-графическим.
Арифметический способ отбора корней состоит в непосредственной подстановке полученных корней в уравнение, учитывая имеющиеся ограничения, при переборе значений целочисленного параметра.
Алгебраический способ предполагает составление неравенств, соответствующих дополнительным условиям, и их решение относительно целочисленного параметра.
Геометрический способ предполагает использование при отборе корней двух вариантов: тригонометрического круга или числовой прямой. Тригонометрический круг более удобен, когда речь идет об отборе корней на промежутке или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в решения, не являются табличными. Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого превосходит полный оборот или требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения.
Функционально-графический способ предполагает отбор корней осуществлять с использование графиков тригонометрических функций. Чтобы использовать данный способ отбора корней, требуется умение схематичного построения графиков тригонометрических функций.
Моя практика показала, что чаще всего можно обойтись применением тригонометрического круга при отборе корней , а в случае, если промежуток превышает по длине полный оборот- алгебраическим способом. При этом, безусловно, следует познакомить учащихся и с остальными способами. Таким образом, работа над данным разделом разделилась у меня на следующие этапы:
1)Знакомство с устройством тригонометрического круга и отработка умений находить числа и промежутки на нем в ходе выполнения следующих упражнений:
2)Отработка навыков работы с тригонометрическим кругом при решении простейших тригонометрических уравнений с отбором корней , которая предполагает выполнение большого количества упражнений по типу приведенных ниже:
3)Отбор корней в одном и том же уравнении разными способами, чтобы учащиеся имели возможность выбора в соответствии со своими предпочтениями, например
Например,
а) Решить уравнение 
cos2x=sin(π/2+x).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–7π/2; –2π].
Решим пункт а)Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(π/2+x) = cos(x);cos2x = cosx ; cos2x – cosx = 0; cosx(cosx – 1) = 0, т.е.
|
cosx = 0 |
cosx = 1/ x = arccos( x = –arccos( x = π/4 + 2πk, k ∈ Z x = —π/4 + 2πm, m ∈ Z |
Решим пункт б).
I . Отбор корней с помощью неравенств
Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [–7π/2; –2π], находим целые значения для n.
–7π/2 ≤ π/2 + πn ≤ –2π;
Сразу делим все на π или умножаем на 1/ π
–7/2 ≤ 1/2 + n ≤ –2;
–7/2 – 1/2 ≤ n ≤ –2 – 1/2 ;
–4 ≤ n ≤ –5/2.
Целые n в этом промежутке это: n=–4 n= –3.
Значит, корни, принадлежащие этому промежутку, будут следующие:
х= π/2 + π(–4) = –7π/2; х=π/2 + π(–3) = –5π/2.
Аналогично решаем еще два неравенства:
–7π/2 ≤ π/4 + 2πk ≤ –2π;
–15/8 ≤ k ≤ –9/8.
Получили, что целых k в этом промежутке нет.
–7π/2 ≤ –π/4 + 2πm ≤ –2π;
–13/8 ≤ m ≤ –7/8.
Получили одно целое n в этом промежутке, m =–1. Значит, отобранный корень на этом промежутке имеет вид: х= –π/4 + 2π·(–1) = –9π/4.
Ответ: –7π/2, –5π/2, –9π/4.
II. Отбор корней с помощью тригонометрической окружности.
Чтобы использовать этот способ надо понимать, как работать с окружностью. Так как функции синус, косинус, тангенс и котангенс периодичны, то окружность, можно обходить бесконечное число раз.
«Обойдем» окружность один раз против часовой стрелки (положительное направление, т.е. значения будут положительные)
«Обойдем» окружность два раза против часовой стрелки (положительное направление т.е. значения будут положительные)
«Обойдем» 1 раз по часовой стрелки (отрицательное направление, т.е. значения будут отрицательные)
Вернемся к вопросу об отборе корней на промежутке
[–7π/2; –2π].
Чтобы попасть к числам –7π/2 и –2π надо «обойти» окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.
Рассмотри x = π/2 + πn. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где–то в этом промежутке? Предположим n= –2, получаем х=π/2 – 2π = –3π/2, очевидно, это не входит в наш промежуток. Значит, берем меньше n=–3, то х= π/2 – 3π = –5π/2, это подходит. Попробуем еще n=–4, то х=π/2 – 4π = –7π/2, также подходит.
Рассуждая аналогично для х=π/4 + 2πk, k ∈ Z и х=–π/4 + 2πm, m ∈ Z находим еще один корень x=–9π/4.
После того, как отбор корней произвели разными способами, прошу проанализировать преимущества каждого из них, получились, в частности такие итоги: первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для понимания, но нужно уметь решать простейшие неравенства. Если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью, то отбор корней по второму методу будет гораздо быстрее. Плюс экономия времени на экзамене.
4)Проведение смотра знаний по данной теме в форме математической игры «Своя игра»
(идея заимствована здесь https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/okh-uzh-eta-trighonomietriia )
5)Рассмотрение реальных работ участников ЕГЭ прошлых лет, оцененных экспертами, с целью нахождения ошибок при выполнении отбора корней в тригонометрических уравнениях, например оценка эксперта-1 балл. Почему не засчитано решение п.б)?
Вывод: отбор корней нельзя назвать обоснованным, так как перебор остановлен на корне принадлежащем отрезку.
Вывод: при отборе корней отсутствует решение и ошибочно указано число, которое не является корнем тригонометрического уравнения.
В заключение отмечу, что поскольку задание № 13 (или №12 в модели профильного ЕГЭ 2022 года) является самым простым из заданий с развернутым решением, то целенаправленная работа над ним дает возможность большему числу выпускников успешно справиться с ним и получить высокий результат на экзамене.
Список используемых ресурсов:
1. Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 10 класс. Учебник для углубленного изучения математики в общеобразовательных учреждениях, Издательство Мнемозина, 13-е изд. стереотипное, 2006. — 336с.
2. Гельфанд И.М., Львовский С.М., Тоом А.Л. Тригонометрия, М. : МЦНМО, 2003.-7-16 с.
3. Захарова, И. Г. Информационные технологии в образовании: учебное пособие для студ. пед. учеб. заведений/ И. Г. Захарова,– М.: Издательский центр «Академия», 2003. – 192 с.
4. Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения (решение уравнений + варианты самостоятельных работ)//Математика в школе.№3, С.18-27.
5. А.Н. Колмагорова Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, 17-е изд. – М. : Просвещение, 2008. — 384 с.
6. Королев С.В. Тригонометрия на экзамене по математике, изд. Экзамен, 2006. – 254 с.
7. Марасанов А.Н. О методологическом подходе в обучении тригонометрии/ Н.И. Попов, А.Н. Марасанов// Знание и понимание. Умение. -2008. — №4. — 139-141 с.
8. Марасанов А.Н. Тригонометрия: учебное пособие, 2-е изд., испр и доп. (Н.И. Попов, А.Н. Марасанов.-Йошкар-Ола; Мар. гос. Ун-т, 2009.-114с.)
9. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Тригонометрия. 10 класс, М. : Просвещение, 2008. – 61 с.
10. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 классы. Часть 1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений(базовый уровень). – 10-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 399 с.:ил.
11. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 классы. Часть 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений(базовый уровень), – 10-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 399 с.:ил. 69
12. Мирошин В. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.//Математика. Приложение к газете «Первое сентября» №17, 2006г.
13. Просветов Г.И. Тригонометрия. Задачи и решения, Альфа-Пресс, 2010. – 72 с.
14. Решетников Н.Н. Тригонометрия в школе: М. Педагогический университет «Первое сентября», 2006, лк 1.
15. Смоляков А.Н., Севрюков П.Ф. Приемы решения тригонометрических уравнений//Математика в школе. 2004. №1. С.24-26.
16. Шабашова О.В. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях//Математика в школе. 2004. №1. С.20-24.
17. https://ppt-online.org/491236
18. Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации по проверке выполнения заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2022 года. МАТЕМАТИКА. Федеральный институт педагогических измерений, 2022
19. https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/okh-uzh-eta-trighonomietriia
Пример:
а) реши уравнение
sinx=cos2x
.
б) Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
2π;7π2
.
a) Уравнение прежде всего иррациональное, поэтому решается возведением обеих частей в квадрат. С учётом области определения получаем:
sinx=cos2x;sinx≥0,cos2x≥0.
Стоит заметить, что рассматривать оба неравенства в системе нам не нужно, так как мы будем решать уравнение. Поэтому можно оставить только одно — более простое неравенство:
sinx=cos2x;(1)sinx≥0.
Решим уравнение системы ((1)). Прежде всего избавимся от двойного угла в уравнении:
sinx=cos2x;sinx−cos2x=0;sinx−(cos2x−sin2x)=0;sinx−(1−sin2x−sin2x)=0;sinx−(1−2sin2x)=0;2sin2x+sinx−1=0;sinx=−1,sinx=12.
(sin x= -1) исключаем, так как это значение не входит в область определения, а решения второго уравнения обозначим на тригонометрической окружности.
Рис. (1). Решения уравнения на единичной окружности
Эти решения можно записать в виде:
x=π6+2πn,n∈ℤ,x=5π6+2πm,m∈ℤ.
б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок
2π;7π2
.
(1) способ:
вернёмся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному промежутку, подпишем начало и конец, отметим точки окружности, представляющие серии решений и принадлежащие дуге, укажем их значения, принадлежащие промежутку.
2π+π6=13π6,2π+5π6=17π6.
Рис. (2). Отбор корней с помощью единичной окружности
Обрати внимание!
Нельзя отмечать и подписывать посторонние точки на окружности!
(2) способ:
указанный отрезок соответствует неравенству
2π≤x≤7π2
. Подставим в него полученные корни:
| 2π≤π6+2πn≤7π2,n∈ℤ:π;2≤16+2n≤72,n∈ℤ−16;2−16≤2n≤72−16,n∈ℤ;116≤2n≤206,n∈ℤ:2;1112≤n≤2012,n∈ℤ;1112≤n≤1812,n∈ℤ;n=1;π6+2π⋅1=13π6 | 2π≤5π6+2πm≤7π2,m∈ℤ:π;2≤56+2m≤72,m∈ℤ−56;2−56≤2m≤72−56,m∈ℤ;76≤2m≤166,m∈ℤ:2;712≤m≤1612,m∈ℤ;712≤m≤1412,m∈ℤ;m=1;5π6+2π⋅1=17π6 |
Обрати внимание!
Обязательно выдели целые части дробей для оценки значений (n) и (m)!
(3) способ:
разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо (n) и (m) (0), а потом добавим к каждому корню периоды. На числовой прямой должен быть выделен заданный отрезок, обозначены его концы, отмечены все последовательные значения серий корней, начиная с точек, расположенных левее промежутка, и заканчивая точками, расположенными правее промежутка.
Рис. (3). Отбор корней с помощью координатной прямой
Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.
Ответ: а)
π6+2πn,n∈ℤ;5π6+2πm,m∈ℤ
; б)
13π6,17π6.
Рекомендуем при решении тригонометрических уравнений использовать несколько разных способов отбора. Это поможет тебе убедиться в правильности отбора корней и выработать навык выбора наиболее удобного способа.
Источники:
Рис. 1. Решения уравнения на единичной окружности. © ЯКласс.
Рис. 2. Отбор корней с помощью единичной окружности. © ЯКласс.
Рис. 3. Отбор корней с помощью координатной прямой. © ЯКласс.