Как найти корни уравнения третьей степени

Была ли эта статья полезной?

Кубическое уравнение – уравнение вида [{large{ax^3+bx^2+cx+d=0}},]

где (ane 0, b, c, d) – некоторые числа.

Кубическое уравнение всегда имеет как минимум один корень (x_1).
Значит, всегда выполнено: (ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)), где (m, n) – некоторые числа.

({color{red}{I.}}) Кубические уравнения вида [x^3=a]

для любого числа (a) имеют единственный корень

[x=sqrt[3]a]

Пример.

Решением уравнения (x^3=-8) является (x=sqrt[3]{-8}=-2).

({color{red}{II.}}) Кубические уравнения вида (ax^3+bx^2+cx+d=0) в некоторых случаях можно решить, разложив на множители левую часть.

Пример.

Решить уравнение (5x^3-x^2-20x+4=0).

Сгруппируем слагаемые в левой части и разложим ее на множители: [(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 quad Leftrightarrow quad 5x(x^2-4)-(x^2-4)=0 quad
Leftrightarrow quad (x^2-4)(5x-1)=0]

Тогда корнями данного уравнения являются (x_1=-2, x_2=2,
x_3=frac15).

В некоторых задачах полезными могут оказаться формулы сокращенного умножения:

[begin{aligned}
&(xpm y)^3=x^3pm3x^2y+3xy^2pm y^3\
&x^3pm y^3=(xpm y)(x^2mp xy+y^2) end{aligned}]

({color{red}{III.}}) Кубические уравнения вида (ax^3+bx^2+cx+d=0), в которых не удается разложить левую часть на множители, можно решить другим способом: подобрать рациональный корень, если таковой имеется.

Для этого можно использовать следующие утверждения:

(blacktriangleright) Если сумма (a+b+c+d=0), то корнем уравнения является число (1).

(blacktriangleright) Если (b+d=a+c), то корнем уравнения является число (-1).

(blacktriangleright) Пусть (a,b,c,d) – ({color{blue}{text{целые}}}) числа. Тогда если уравнение имеет рациональный корень (large{dfrac{p}{q}}), то для него будет выполнено:

(d) делится нацело на (p);  (a) делится нацело на (q).

Пример.

1. У уравнения (7x^3+3x^2-x-9=0) сумма коэффициентов равна (7+3-1-9=0), значит, (x=1) является корнем (не обязательно единственным) этого уравнения.

2. У уравнения (4,5x^3-3x^2-0,5x+7=0) выполнено: (4,5-0,5=-3+7), значит, (x=-1) является корнем этого уравнения.

3. У уравнения (2x^3+5x^2+3x-3=0) коэффициенты — целые числа, поэтому можно подбирать корень: делители свободного члена (-3) : (pm 1, pm 3); делители старшего коэффициента (2): (pm1, pm2). Значит, возможные комбинации рациональных корней: [pm 1, pmdfrac12, pm 3, pm dfrac32]

Подставляя по очереди каждое число в уравнение, убеждаемся, что (x=frac12) является корнем (т.к. после подстановки этого числа в уравнение оно превращается в верное равенство):

[2cdot left(frac12right)^3+5cdot left(frac12right)^2+3cdot
frac12-3=0 quad Leftrightarrow quad 0=0]

Заметим, что если у уравнения коэффициенты — рациональные числа, то домножением уравнения на их общих знаменатель можно получить равносильное ему уравнение с целыми коэффициентами. Например, уравнение (frac12x^3+frac16x+2=0) после умножения на (6) сводится к уравнению с целыми коэффициентами: (3x^3+x+12=0).

This article is about cubic equations in one variable. For cubic equations in two variables, see cubic plane curve.

In algebra, a cubic equation in one variable is an equation of the form

in which a is nonzero.

The solutions of this equation are called roots of the cubic function defined by the left-hand side of the equation. If all of the coefficients a, b, c, and d of the cubic equation are real numbers, then it has at least one real root (this is true for all odd-degree polynomial functions). All of the roots of the cubic equation can be found by the following means:

• algebraically: more precisely, they can be expressed by a cubic formula involving the four coefficients, the four basic arithmetic operations, square roots and cube roots. (This is also true of quadratic (second-degree) and quartic (fourth-degree) equations, but not for higher-degree equations, by the Abel–Ruffini theorem.)
• trigonometrically
• numerical approximations of the roots can be found using root-finding algorithms such as Newton’s method.

The coefficients do not need to be real numbers. Much of what is covered below is valid for coefficients in any field with characteristic other than 2 and 3. The solutions of the cubic equation do not necessarily belong to the same field as the coefficients. For example, some cubic equations with rational coefficients have roots that are irrational (and even non-real) complex numbers.

History[edit]

Cubic equations were known to the ancient Babylonians, Greeks, Chinese, Indians, and Egyptians.^[1][2][3] Babylonian (20th to 16th centuries BC) cuneiform tablets have been found with tables for calculating cubes and cube roots.^[4][5] The Babylonians could have used the tables to solve cubic equations, but no evidence exists to confirm that they did.^[6] The problem of doubling the cube involves the simplest and oldest studied cubic equation, and one for which the ancient Egyptians did not believe a solution existed.^[7] In the 5th century BC, Hippocrates reduced this problem to that of finding two mean proportionals between one line and another of twice its length, but could not solve this with a compass and straightedge construction,^[8] a task which is now known to be impossible. Methods for solving cubic equations appear in The Nine Chapters on the Mathematical Art, a Chinese mathematical text compiled around the 2nd century BC and commented on by Liu Hui in the 3rd century.^[2] In the 3rd century AD, the Greek mathematician Diophantus found integer or rational solutions for some bivariate cubic equations (Diophantine equations).^[3][9] Hippocrates, Menaechmus and Archimedes are believed to have come close to solving the problem of doubling the cube using intersecting conic sections,^[8] though historians such as Reviel Netz dispute whether the Greeks were thinking about cubic equations or just problems that can lead to cubic equations. Some others like T. L. Heath, who translated all of Archimedes’ works, disagree, putting forward evidence that Archimedes really solved cubic equations using intersections of two conics, but also discussed the conditions where the roots are 0, 1 or 2.^[10]

In the 7th century, the Tang dynasty astronomer mathematician Wang Xiaotong in his mathematical treatise titled Jigu Suanjing systematically established and solved numerically 25 cubic equations of the form x³ + px² + qx = N, 23 of them with p, q ≠ 0, and two of them with q = 0.^[11]

In the 11th century, the Persian poet-mathematician, Omar Khayyam (1048–1131), made significant progress in the theory of cubic equations. In an early paper, he discovered that a cubic equation can have more than one solution and stated that it cannot be solved using compass and straightedge constructions. He also found a geometric solution.^[12][a] In his later work, the Treatise on Demonstration of Problems of Algebra, he wrote a complete classification of cubic equations with general geometric solutions found by means of intersecting conic sections.^[13][14] Khayyam made an attempt to come up with an algebraic formula for extracting cubic roots. He wrote:

“We have tried to express these roots by algebra but have failed. It may be, however, that men who come after us will succeed.”^[15]

In the 12th century, the Indian mathematician Bhaskara II attempted the solution of cubic equations without general success. However, he gave one example of a cubic equation: x³ + 12x = 6x² + 35.^[16] In the 12th century, another Persian mathematician, Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135–1213), wrote the Al-Muʿādalāt (Treatise on Equations), which dealt with eight types of cubic equations with positive solutions and five types of cubic equations which may not have positive solutions. He used what would later be known as the «Ruffini-Horner method» to numerically approximate the root of a cubic equation. He also used the concepts of maxima and minima of curves in order to solve cubic equations which may not have positive solutions.^[17] He understood the importance of the discriminant of the cubic equation to find algebraic solutions to certain types of cubic equations.^[18]

In his book Flos, Leonardo de Pisa, also known as Fibonacci (1170–1250), was able to closely approximate the positive solution to the cubic equation x³ + 2x² + 10x = 20. Writing in Babylonian numerals he gave the result as 1,22,7,42,33,4,40 (equivalent to 1 + 22/60 + 7/60² + 42/60³ + 33/60⁴ + 4/60⁵ + 40/60⁶), which has a relative error of about 10⁻⁹.^[19]

In the early 16th century, the Italian mathematician Scipione del Ferro (1465–1526) found a method for solving a class of cubic equations, namely those of the form x³ + mx = n. In fact, all cubic equations can be reduced to this form if one allows m and n to be negative, but negative numbers were not known to him at that time. Del Ferro kept his achievement secret until just before his death, when he told his student Antonio Fior about it.

In 1535, Niccolò Tartaglia (1500–1557) received two problems in cubic equations from Zuanne da Coi and announced that he could solve them. He was soon challenged by Fior, which led to a famous contest between the two. Each contestant had to put up a certain amount of money and to propose a number of problems for his rival to solve. Whoever solved more problems within 30 days would get all the money. Tartaglia received questions in the form x³ + mx = n, for which he had worked out a general method. Fior received questions in the form x³ + mx² = n, which proved to be too difficult for him to solve, and Tartaglia won the contest.

Later, Tartaglia was persuaded by Gerolamo Cardano (1501–1576) to reveal his secret for solving cubic equations. In 1539, Tartaglia did so only on the condition that Cardano would never reveal it and that if he did write a book about cubics, he would give Tartaglia time to publish. Some years later, Cardano learned about del Ferro’s prior work and published del Ferro’s method in his book Ars Magna in 1545, meaning Cardano gave Tartaglia six years to publish his results (with credit given to Tartaglia for an independent solution). Cardano’s promise to Tartaglia said that he would not publish Tartaglia’s work, and Cardano felt he was publishing del Ferro’s, so as to get around the promise. Nevertheless, this led to a challenge to Cardano from Tartaglia, which Cardano denied. The challenge was eventually accepted by Cardano’s student Lodovico Ferrari (1522–1565). Ferrari did better than Tartaglia in the competition, and Tartaglia lost both his prestige and his income.^[20]

Cardano noticed that Tartaglia’s method sometimes required him to extract the square root of a negative number. He even included a calculation with these complex numbers in Ars Magna, but he did not really understand it. Rafael Bombelli studied this issue in detail^[21] and is therefore often considered as the discoverer of complex numbers.

François Viète (1540–1603) independently derived the trigonometric solution for the cubic with three real roots, and René Descartes (1596–1650) extended the work of Viète.^[22]

Factorization[edit]

If the coefficients of a cubic equation are rational numbers, one can obtain an equivalent equation with integer coefficients, by multiplying all coefficients by a common multiple of their denominators. Such an equation

with integer coefficients, is said to be reducible if the polynomial on the left-hand side is the product of polynomials of lower degrees. By Gauss’s lemma, if the equation is reducible, one can suppose that the factors have integer coefficients.

Finding the roots of a reducible cubic equation is easier than solving the general case. In fact, if the equation is reducible, one of the factors must have degree one, and thus have the form

with q and p being coprime integers. The rational root test allows finding q and p by examining a finite number of cases (because q must be a divisor of a, and p must be a divisor of d).

Thus, one root is and the other roots are the roots of the other factor, which can be found by polynomial long division. This other factor is

(The coefficients seem not to be integers, but must be integers if p / q is a root.)

Then, the other roots are the roots of this quadratic polynomial and can be found by using the quadratic formula.

Depressed cubic[edit]

Cubics of the form

are said to be depressed. They are much simpler than general cubics, but are fundamental, because the study of any cubic may be reduced by a simple change of variable to that of a depressed cubic.

Let

be a cubic equation. The change of variable

gives a cubic (in t) that has no term in t².

After dividing by a one gets the depressed cubic equation

with

The roots of the original equation are related to the roots of the depressed equation by the relations

for .

Discriminant and nature of the roots[edit]

The nature (real or not, distinct or not) of the roots of a cubic can be determined without computing them explicitly, by using the discriminant.

Discriminant[edit]

The discriminant of a polynomial is a function of its coefficients that is zero if and only if the polynomial has a multiple root, or, if it is divisible by the square of a non-constant polynomial. In other words, the discriminant is nonzero if and only if the polynomial is square-free.

If r₁, r₂, r₃ are the three roots (not necessarily distinct nor real) of the cubic then the discriminant is

The discriminant of the depressed cubic is

The discriminant of the general cubic is

It is the product of and the discriminant of the corresponding depressed cubic. Using the formula relating the general cubic and the associated depressed cubic, this implies that the discriminant of the general cubic can be written as

It follows that one of these two discriminants is zero if and only if the other is also zero, and, if the coefficients are real, the two discriminants have the same sign. In summary, the same information can be deduced from either one of these two discriminants.

To prove the preceding formulas, one can use Vieta’s formulas to express everything as polynomials in r₁, r₂, r₃, and a. The proof then results in the verification of the equality of two polynomials.

Nature of the roots[edit]

If the coefficients of a polynomial are real numbers, and its discriminant is not zero, there are two cases:

This can be proved as follows. First, if r is a root of a polynomial with real coefficients, then its complex conjugate is also a root. So the non-real roots, if any, occur as pairs of complex conjugate roots. As a cubic polynomial has three roots (not necessarily distinct) by the fundamental theorem of algebra, at least one root must be real.

As stated above, if r₁, r₂, r₃ are the three roots of the cubic , then the discriminant is

If the three roots are real and distinct, the discriminant is a product of positive reals, that is

If only one root, say r₁, is real, then r₂ and r₃ are complex conjugates, which implies that r₂ – r₃ is a purely imaginary number, and thus that (r₂ – r₃)² is real and negative. On the other hand, r₁ – r₂ and r₁ – r₃ are complex conjugates, and their product is real and positive.^[23] Thus the discriminant is the product of a single negative number and several positive ones. That is

Multiple root[edit]

If the discriminant of a cubic is zero, the cubic has a multiple root. If furthermore its coefficients are real, then all of its roots are real.

The discriminant of the depressed cubic is zero if If p is also zero, then p = q = 0 , and 0 is a triple root of the cubic. If and p ≠ 0 , then the cubic has a simple root

and a double root

In other words,

This result can be proved by expanding the latter product or retrieved by solving the rather simple system of equations resulting from Vieta’s formulas.

By using the reduction of a depressed cubic, these results can be extended to the general cubic. This gives: If the discriminant of the cubic is zero, then

• either, if the cubic has a triple root

and

• or, if the cubic has a double root

and a simple root,

and thus

Characteristic 2 and 3[edit]

The above results are valid when the coefficients belong to a field of characteristic other than 2 or 3, but must be modified for characteristic 2 or 3, because of the involved divisions by 2 and 3.

The reduction to a depressed cubic works for characteristic 2, but not for characteristic 3. However, in both cases, it is simpler to establish and state the results for the general cubic. The main tool for that is the fact that a multiple root is a common root of the polynomial and its formal derivative. In these characteristics, if the derivative is not a constant, it is a linear polynomial in characteristic 3, and is the square of a linear polynomial in characteristic 2. Therefore, for either characteristic 2 or 3, the derivative has only one root. This allows computing the multiple root, and the third root can be deduced from the sum of the roots, which is provided by Vieta’s formulas.

A difference with other characteristics is that, in characteristic 2, the formula for a double root involves a square root, and, in characteristic 3, the formula for a triple root involves a cube root.

Cardano’s formula[edit]

Gerolamo Cardano is credited with publishing the first formula for solving cubic equations, attributing it to Scipione del Ferro and Niccolo Fontana Tartaglia. The formula applies to depressed cubics, but, as shown in § Depressed cubic, it allows solving all cubic equations.

Cardano’s result is that, if

is a cubic equation such that p and q are real numbers such that is positive,^[b] then the equation has the real root

where and are the two numbers and

See § Derivation of the roots, below, for several methods for getting this result.

As shown in § Nature of the roots, the two other roots are non-real complex conjugate numbers, in this case. It was later shown (Cardano did not know complex numbers) that the two other roots are obtained by multiplying one of the cube roots by the primitive cube root of unity and the other cube root by the other primitive cube root of the unity That is, the other roots of the equation are and ^[24]

If there are three real roots, but Galois theory allows proving that, if there is no rational root, the roots cannot be expressed by an algebraic expression involving only real numbers. Therefore, the equation cannot be solved in this case with the knowledge of Cardano’s time. This case has thus been called casus irreducibilis, meaning irreducible case in Latin.

In casus irreducibilis, Cardano’s formula can still be used, but some care is needed in the use of cube roots. A first method is to define the symbols and as representing the principal values of the root function (that is the root that has the largest real part). With this convention Cardano’s formula for the three roots remains valid, but is not purely algebraic, as the definition of a principal part is not purely algebraic, since it involves inequalities for comparing real parts. Also, the use of principal cube root may give a wrong result if the coefficients are non-real complex numbers. Moreover, if the coefficients belong to another field, the principal cube root is not defined in general.

The second way for making Cardano’s formula always correct, is to remark that the product of the two cube roots must be –p / 3. It results that a root of the equation is

In this formula, the symbols and denote any square root and any cube root. The other roots of the equation are obtained either by changing of cube root or, equivalently, by multiplying the cube root by a primitive cube root of unity, that is

This formula for the roots is always correct except when p = q = 0, with the proviso that if p = 0, the square root is chosen so that C ≠ 0. However, the formula is useless in these cases as the roots can be expressed without any cube root. Similarly, the formula is also useless in the other cases where no cube root is needed, that is when and when the cubic polynomial is not irreducible.

This formula is also correct when p and q belong to any field of characteristic other than 2 or 3.

General cubic formula[edit]

A cubic formula for the roots of the general cubic equation (with a ≠ 0)

can be deduced from every variant of Cardano’s formula by reduction to a depressed cubic. The variant that is presented here is valid not only for real coefficients, but also for coefficients a, b, c, d belonging to any field of characteristic different of 2 and 3.

The formula being rather complicated, it is worth splitting it in smaller formulas.

Let

(Both and can be expressed as resultants of the cubic and its derivatives: is −1/8a times the resultant of the cubic and its second derivative, and is −1/12a times the resultant of the first and second derivatives of the cubic polynomial.)

Then let

where the symbols and are interpreted as any square root and any cube root, respectively (every nonzero complex number has two square roots and three cubic roots). The sign «±» before the square root is either «+» or «–«; the choice is almost arbitrary, and changing it amounts to choosing a different square root. However, if a choice yields C = 0 (this occurs if ), then the other sign must be selected instead. If both choices yield C = 0, that is, if a fraction 0/0 occurs in following formulas; this fraction must be interpreted as equal to zero (see the end of this section).
With these conventions, one of the roots is

The other two roots can be obtained by changing the choice of the cube root in the definition of C, or, equivalently by multiplying C by a primitive cube root of unity, that is –1 ± √–3/2. In other words, the three roots are

where ξ = –1 + √–3/2.

As for the special case of a depressed cubic, this formula applies but is useless when the roots can be expressed without cube roots. In particular, if the formula gives that the three roots equal which means that the cubic polynomial can be factored as A straightforward computation allows verifying that the existence of this factorization is equivalent with

Trigonometric and hyperbolic solutions[edit]

Trigonometric solution for three real roots[edit]

When a cubic equation with real coefficients has three real roots, the formulas expressing these roots in terms of radicals involve complex numbers. Galois theory allows proving that when the three roots are real, and none is rational (casus irreducibilis), one cannot express the roots in terms of real radicals. Nevertheless, purely real expressions of the solutions may be obtained using trigonometric functions, specifically in terms of cosines and arccosines.^[25] More precisely, the roots of the depressed cubic

are^[26]

This formula is due to François Viète.^[22] It is purely real when the equation has three real roots (that is ). Otherwise, it is still correct but involves complex cosines and arccosines when there is only one real root, and it is nonsensical (division by zero) when p = 0.

This formula can be straightforwardly transformed into a formula for the roots of a general cubic equation, using the back-substitution described in § Depressed cubic.

The formula can be proved as follows: Starting from the equation t³ + pt + q = 0, let us set  t = u cos θ. The idea is to choose u to make the equation coincide with the identity

For this, choose and divide the equation by This gives

Combining with the above identity, one gets

and the roots are thus

Hyperbolic solution for one real root[edit]

When there is only one real root (and p ≠ 0), this root can be similarly represented using hyperbolic functions, as^[27][28]

If p ≠ 0 and the inequalities on the right are not satisfied (the case of three real roots), the formulas remain valid but involve complex quantities.

When p = ±3, the above values of t₀ are sometimes called the Chebyshev cube root.^[29] More precisely, the values involving cosines and hyperbolic cosines define, when p = −3, the same analytic function denoted C_1/3(q), which is the proper Chebyshev cube root. The value involving hyperbolic sines is similarly denoted S_1/3(q), when p = 3.

Geometric solutions[edit]

Omar Khayyám’s solution[edit]

For solving the cubic equation x³ + m²x = n where n > 0, Omar Khayyám constructed the parabola y = x²/m, the circle that has as a diameter the line segment [0, n/m²] on the positive x-axis, and a vertical line through the point where the circle and the parabola intersect above the x-axis. The solution is given by the length of the horizontal line segment from the origin to the intersection of the vertical line and the x-axis (see the figure).

A simple modern proof is as follows. Multiplying the equation by x/m² and regrouping the terms gives

The left-hand side is the value of y² on the parabola. The equation of the circle being y² + x(x − n/m²) = 0, the right hand side is the value of y² on the circle.

Solution with angle trisector[edit]

A cubic equation with real coefficients can be solved geometrically using compass, straightedge, and an angle trisector if and only if it has three real roots.^{[30]: Thm. 1}

A cubic equation can be solved by compass-and-straightedge construction (without trisector) if and only if it has a rational root. This implies that the old problems of angle trisection and doubling the cube, set by ancient Greek mathematicians, cannot be solved by compass-and-straightedge construction.

Geometric interpretation of the roots[edit]

Three real roots[edit]

Viète’s trigonometric expression of the roots in the three-real-roots case lends itself to a geometric interpretation in terms of a circle.^[22][31] When the cubic is written in depressed form (2), t³ + pt + q = 0, as shown above, the solution can be expressed as

Here is an angle in the unit circle; taking 1/3 of that angle corresponds to taking a cube root of a complex number; adding −k2π/3 for k = 1, 2 finds the other cube roots; and multiplying the cosines of these resulting angles by corrects for scale.

For the non-depressed case (1) (shown in the accompanying graph), the depressed case as indicated previously is obtained by defining t such that x = t − b/3a so t = x + b/3a. Graphically this corresponds to simply shifting the graph horizontally when changing between the variables t and x, without changing the angle relationships. This shift moves the point of inflection and the centre of the circle onto the y-axis. Consequently, the roots of the equation in t sum to zero.

One real root[edit]

In the Cartesian plane[edit]

When the graph of a cubic function is plotted in the Cartesian plane, if there is only one real root, it is the abscissa (x-coordinate) of the horizontal intercept of the curve (point R on the figure). Further,^[32][33][34] if the complex conjugate roots are written as g ± hi, then the real part g is the abscissa of the tangency point H of the tangent line to cubic that passes through x-intercept R of the cubic (that is the signed length OM, negative on the figure). The imaginary parts ±h are the square roots of the tangent of the angle between this tangent line and the horizontal axis.^{[clarification needed]}

In the complex plane[edit]

With one real and two complex roots, the three roots can be represented as points in the complex plane, as can the two roots of the cubic’s derivative. There is an interesting geometrical relationship among all these roots.

The points in the complex plane representing the three roots serve as the vertices of an isosceles triangle. (The triangle is isosceles because one root is on the horizontal (real) axis and the other two roots, being complex conjugates, appear symmetrically above and below the real axis.) Marden’s theorem says that the points representing the roots of the derivative of the cubic are the foci of the Steiner inellipse of the triangle—the unique ellipse that is tangent to the triangle at the midpoints of its sides. If the angle at the vertex on the real axis is less than π/3 then the major axis of the ellipse lies on the real axis, as do its foci and hence the roots of the derivative. If that angle is greater than π/3, the major axis is vertical and its foci, the roots of the derivative, are complex conjugates. And if that angle is π/3, the triangle is equilateral, the Steiner inellipse is simply the triangle’s incircle, its foci coincide with each other at the incenter, which lies on the real axis, and hence the derivative has duplicate real roots.

Galois group[edit]

Given a cubic irreducible polynomial over a field K of characteristic different from 2 and 3, the Galois group over K is the group of the field automorphisms that fix K of the smallest extension of K (splitting field). As these automorphisms must permute the roots of the polynomials, this group is either the group S₃ of all six permutations of the three roots, or the group A₃ of the three circular permutations.

The discriminant Δ of the cubic is the square of

where a is the leading coefficient of the cubic, and r₁, r₂ and r₃ are the three roots of the cubic. As changes of sign if two roots are exchanged, is fixed by the Galois group only if the Galois group is
A₃. In other words, the Galois group is A₃ if and only if the discriminant is the square of an element of k.

As most integers are not squares, when working over the field Q of the rational numbers, the Galois group of most irreducible cubic polynomials is the group S₃ with six elements. An example of a Galois group A₃ with three elements is given by p(x) = x³ − 3x − 1, whose discriminant is 81 = 9².

Derivation of the roots[edit]

This section regroups several methods for deriving Cardano’s formula.

Cardano’s method[edit]

This method is due to Scipione del Ferro and Tartaglia, but is named after Gerolamo Cardano who first published it in his book Ars Magna (1545).

This method applies to a depressed cubic t³ + pt + q = 0. The idea is to introduce two variables u and v such that u + v = t and to substitute this in the depressed cubic, giving

At this point Cardano imposed the condition 3uv + p = 0. This removes the third term in previous equality, leading to the system of equations

Knowing the sum and the product of u³ and v³, one deduces that they are the two solutions of the quadratic equation

so

The discriminant of this equation is , and assuming it is positive, real solutions to this equation are (after folding division by 4 under the square root):

So (without loss of generality in choosing u or v):

As u + v = t, the sum of the cube roots of these solutions is a root of the equation. That is

is a root of the equation; this is Cardano’s formula.

This works well when but, if the square root appearing in the formula is not real. As a complex number has three cube roots, using Cardano’s formula without care would provide nine roots, while a cubic equation cannot have more than three roots. This was clarified first by Rafael Bombelli in his book L’Algebra (1572). The solution is to use the fact that uv = –p/3, that is v = –p/3u. This means that only one cube root needs to be computed, and leads to the second formula given in § Cardano’s formula.

The other roots of the equation can be obtained by changing of cube root, or, equivalently, by multiplying the cube root by each of the two primitive cube roots of unity, which are

Vieta’s substitution[edit]

Vieta’s substitution is a method introduced by François Viète (Vieta is his Latin name) in a text published posthumously in 1615, which provides directly the second formula of § Cardano’s method, and avoids the problem of computing two different cube roots.^[35]

Starting from the depressed cubic t³ + pt + q = 0, Vieta’s substitution is t = w – p/3w.^[c]

The substitution t = w – p/3w transforms the depressed cubic into

Multiplying by w³, one gets a quadratic equation in w³:

Let

be any nonzero root of this quadratic equation. If w₁, w₂ and w₃ are the three cube roots of W, then the roots of the original depressed cubic are w₁ − p/3w₁, w₂ − p/3w₂, and w₃ − p/3w₃. The other root of the quadratic equation is This implies that changing the sign of the square root exchanges w_i and − p/3w_i for i = 1, 2, 3, and therefore does not change the roots. This method only fails when both roots of the quadratic equation are zero, that is when p = q = 0, in which case the only root of the depressed cubic is 0.

Lagrange’s method[edit]

In his paper Réflexions sur la résolution algébrique des équations («Thoughts on the algebraic solving of equations»),^[36] Joseph Louis Lagrange introduced a new method to solve equations of low degree in a uniform way, with the hope that he could generalize it for higher degrees. This method works well for cubic and quartic equations, but Lagrange did not succeed in applying it to a quintic equation, because it requires solving a resolvent polynomial of degree at least six.^[37][38][39]
Apart from the fact that nobody had previously succeeded, this was the first indication of the non-existence of an algebraic formula for degrees 5 and higher; as was later proved by the Abel–Ruffini theorem. Nevertheless, modern methods for solving solvable quintic equations are mainly based on Lagrange’s method.^[39]

In the case of cubic equations, Lagrange’s method gives the same solution as Cardano’s. Lagrange’s method can be applied directly to the general cubic equation ax³ + bx² + cx + d = 0, but the computation is simpler with the depressed cubic equation, t³ + pt + q = 0.

Lagrange’s main idea was to work with the discrete Fourier transform of the roots instead of with the roots themselves. More precisely, let ξ be a primitive third root of unity, that is a number such that ξ³ = 1 and ξ² + ξ + 1 = 0 (when working in the space of complex numbers, one has but this complex interpretation is not used here). Denoting x₀, x₁ and x₂ the three roots of the cubic equation to be solved, let

be the discrete Fourier transform of the roots. If s₀, s₁ and s₂ are known, the roots may be recovered from them with the inverse Fourier transform consisting of inverting this linear transformation; that is,

By Vieta’s formulas, s₀ is known to be zero in the case of a depressed cubic, and −b/a for the general cubic. So, only s₁ and s₂ need to be computed. They are not symmetric functions of the roots (exchanging x₁ and x₂ exchanges also s₁ and s₂), but some simple symmetric functions of s₁ and s₂ are also symmetric in the roots of the cubic equation to be solved. Thus these symmetric functions can be expressed in terms of the (known) coefficients of the original cubic, and this allows eventually expressing the s_i as roots of a polynomial with known coefficients. This works well for every degree, but, in degrees higher than four, the resulting polynomial that has the s_i as roots has a degree higher than that of the initial polynomial, and is therefore unhelpful for solving. This is the reason for which Lagrange’s method fails in degrees five and higher.

In the case of a cubic equation, and are such symmetric polynomials (see below). It follows that and are the two roots of the quadratic equation Thus the resolution of the equation may be finished exactly as with Cardano’s method, with and in place of u and v.

In the case of the depressed cubic, one has and while in Cardano’s method we have set and Thus, up to the exchange of u and v, we have and In other words, in this case, Cardano’s method and Lagrange’s method compute exactly the same things, up to a factor of three in the auxiliary variables, the main difference being that Lagrange’s method explains why these auxiliary variables appear in the problem.

Computation of S and P[edit]

A straightforward computation using the relations ξ³ = 1 and ξ² + ξ + 1 = 0 gives

This shows that P and S are symmetric functions of the roots. Using Newton’s identities, it is straightforward to express them in terms of the elementary symmetric functions of the roots, giving

with e₁ = 0, e₂ = p and e₃ = −q in the case of a depressed cubic, and e₁ = −b/a, e₂ = c/a and e₃ = −d/a, in the general case.

Applications[edit]

Cubic equations arise in various other contexts.

In mathematics[edit]

• Angle trisection and doubling the cube are two ancient problems of geometry that have been proved to not be solvable by straightedge and compass construction, because they are equivalent to solving a cubic equation.
• Marden’s theorem states that the foci of the Steiner inellipse of any triangle can be found by using the cubic function whose roots are the coordinates in the complex plane of the triangle’s three vertices. The roots of the first derivative of this cubic are the complex coordinates of those foci.
• The area of a regular heptagon can be expressed in terms of the roots of a cubic. Further, the ratios of the long diagonal to the side, the side to the short diagonal, and the negative of the short diagonal to the long diagonal all satisfy a particular cubic equation. In addition, the ratio of the inradius to the circumradius of a heptagonal triangle is one of the solutions of a cubic equation. The values of trigonometric functions of angles related to satisfy cubic equations.
• Given the cosine (or other trigonometric function) of an arbitrary angle, the cosine of one-third of that angle is one of the roots of a cubic.
• The solution of the general quartic equation relies on the solution of its resolvent cubic.
• The eigenvalues of a 3×3 matrix are the roots of a cubic polynomial which is the characteristic polynomial of the matrix.
• The characteristic equation of a third-order constant coefficients or Cauchy–Euler (equidimensional variable coefficients) linear differential equation or difference equation is a cubic equation.
• Intersection points of cubic Bézier curve and straight line can be computed using direct cubic equation representing Bézier curve.
• Critical points of a quartic function are found by solving a cubic equation (the derivative set equal to zero).
• Inflection points of a quintic function are the solution of a cubic equation (the second derivative set equal to zero).

In other sciences[edit]

• In analytical chemistry, the Charlot equation, which can be used to find the pH of buffer solutions, can be solved using a cubic equation.
• In thermodynamics, equations of state (which relate pressure, volume, and temperature of a substances), e.g. the Van der Waals equation of state, are cubic in the volume.
• Kinematic equations involving linear rates of acceleration are cubic.
• The speed of seismic Rayleigh waves is a solution of the Rayleigh wave cubic equation.
• The steady state speed of a vehicle moving on a slope with air friction for a given input power is solved by a depressed cubic equation.

Notes[edit]

References[edit]

References[edit]

• Guilbeau, Lucye (1930), «The History of the Solution of the Cubic Equation», Mathematics News Letter, 5 (4): 8–12, doi:10.2307/3027812, JSTOR 3027812

Further reading[edit]

• Anglin, W. S.; Lambek, Joachim (1995), «Mathematics in the Renaissance», The Heritage of Thales, Springers, pp. 125–131, ISBN 978-0-387-94544-6 Ch. 24.
• Dence, T. (November 1997), «Cubics, chaos and Newton’s method», Mathematical Gazette, Mathematical Association, 81 (492): 403–408, doi:10.2307/3619617, ISSN 0025-5572, JSTOR 3619617, S2CID 125196796
• Dunnett, R. (November 1994), «Newton–Raphson and the cubic», Mathematical Gazette, Mathematical Association, 78 (483): 347–348, doi:10.2307/3620218, ISSN 0025-5572, JSTOR 3620218, S2CID 125643035
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, vol. 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
• Mitchell, D. W. (November 2007), «Solving cubics by solving triangles», Mathematical Gazette, Mathematical Association, 91: 514–516, doi:10.1017/S0025557200182178, ISSN 0025-5572, S2CID 124710259
• Mitchell, D. W. (November 2009), «Powers of φ as roots of cubics», Mathematical Gazette, Mathematical Association, 93, doi:10.1017/S0025557200185237, ISSN 0025-5572, S2CID 126286653
• Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007), «Section 5.6 Quadratic and Cubic Equations», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Rechtschaffen, Edgar (July 2008), «Real roots of cubics: Explicit formula for quasi-solutions», Mathematical Gazette, Mathematical Association, 92: 268–276, doi:10.1017/S0025557200183147, ISSN 0025-5572, S2CID 125870578
• Zucker, I. J. (July 2008), «The cubic equation – a new look at the irreducible case», Mathematical Gazette, Mathematical Association, 92: 264–268, doi:10.1017/S0025557200183135, ISSN 0025-5572, S2CID 125986006

External links[edit]

• «Cardano formula», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• History of quadratic, cubic and quartic equations on MacTutor archive.
• 500 years of NOT teaching THE CUBIC FORMULA. What is it they think you can’t handle? – YouTube video by Mathologer about the history of cubic equations and Cardano’s solution, as well as Ferrari’s solution to quartic equations

Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.

В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, разложение на множители, группировка, использование симметрии, однородности, деление многочлена на многочлен. Они вполне могут встретиться на ЕГЭ и олимпиадах в уравнениях, неравенствах и задачах с параметрами.
Также мы рассматриваем применение свойств функций, метод оценки, выделение полного квадрата, графический способ.

Вспомним основные понятия.

Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.

Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.

Например, уравнения  и  равносильны. Их корни совпадают:  или 

В этой статье мы рассмотрим рациональные уравнения. В них переменная х входит в целой степени. Стандартный вид такого уравнения: слева многочлен, справа ноль.
Например, уравнение первой степени имеет вид , где По-другому оно называется линейным уравнением, и вы с ним хорошо знакомы.

Уравнение второй степени приводится к виду , где Это квадратное уравнение, и с ним тоже все просто.

Уравнение третьей степени имеет вид , где

В общем виде такие уравнения n-й степени можно записать так:
, где х — переменная, — некоторые числа, причём

Теорема. Уравнение n-й степени имеет не более n действительных корней.

Это значит, что у квадратного уравнения не более двух корней. У уравнения третьей степени не более трех корней.
Как же найти эти корни?

к оглавлению ▴

Метод замены переменной

Замена переменной – ключ к решению многих задач.

Самый простой пример – биквадратное уравнение.

Так называется уравнение вида . Оно решается с помощью замены , где

1. Решим уравнение .

Решение:

Сделаем замену , тогда

или

Значение переменной не удовлетворяет условию замены, так как

Значит,

Ответ:

2.Решим уравнение

Решение:

Пусть Это уравнение имеет два корня: или . Оба корня отрицательны и не удовлетворяют условию . Значит, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ:

Такой символ означает, что корней нет, множество корней исходного уравнения является пустым.

3. Решим уравнение:

Решение:

Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.

Сделаем замену  Тогда 

С новой переменной уравнение стало проще:

Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:

Корни этого уравнения:  или 

Вернемся к переменной 

Если , то 

Отсюда 

Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.

Если , то  Получим квадратное уравнение для :

У этого уравнения два корня:  или  Это ответ.

4. Решим уравнение

Решение:
Мы видим, что выражение в уравнении встречается дважды. Хорошо бы обозначить его новой переменной, сделать замену.

Введем новую переменную

Уравнение примет вид: или

Возвращаемся к переменной х:

У нас появилось новое обозначение: — знак совокупности.
Такой знак означает «или».

Мы получили совокупность из двух квадратных уравнений.

Решим эти уравнения по очереди.

2) Уравнение не имеет корней. Его дискриминант отрицателен.

Ответ: 1; 0,25

5. Решим уравнение

Решение:

Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.

Посмотрим на уравнение внимательно.

На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки 

Сделаем замену , тогда .

Тогда:

Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:

И еще одна замена: .

Обычное квадратное уравнение. Замечательно!

Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что

;  отсюда  ,  .

Если , то нет решений.

Если , то Тогда или

Если , то .

Если , то .

Ответ: 4; –8.

Дальше – еще интереснее.

6. Решите уравнение

Решение:

Сделаем замену . То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.

.

Получили квадратное уравнение:

Если , то

Если , то

Ответ:

к оглавлению ▴

Метод разложения на множители

Этот метод удобен, когда в правой части уравнения стоит ноль, а в левой – выражение, зависящее от переменной.

Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла.

7. Решим уравнение .

Конечно, не нужно перемножать все «скобки». Левая часть уравнения равна нулю, если х=0 или х=2 или х=3 или х=5. Все эти значения переменной – корни уравнения.

Ответ: 0; 2; 3; 5.

8. Решим уравнение

Решение:

Вынесем за скобки ,то есть разложим левую часть на множители.

Ответ:

Мы записали корни уравнения в виде множества из двух значений переменной, -2 и 0. Это одна из возможных форм записи ответа.
Метод разложения на множители часто применяется вместе с методом группировки.

к оглавлению ▴

Метод группировки слагаемых

9. Решите уравнение

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:

Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: . Получим:

.

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Записывается это так:

Ответ: -2; 1; 4.

Здесь мы тоже использовали знак совокупности.

Запись читается как « или или ».

Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.

10. Решите уравнение

Решение:

Разложим левую часть уравнения множители методом группировки.

Ответ:

11. Решите уравнение

Решение:

Сгруппируем слагаемые:

А если сделать замену ?

Тогда .

Получаем квадратное уравнение: . Удачная замена!

Если , то , нет решений.

Если , то

, .

Ответ: .

к оглавлению ▴

Подбор целого корня и деление многочлена на многочлен уголком

Рассмотрим еще один метод решения уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней.

12. Решите уравнение

Решение:

Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.

Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.

Выпишем целые делители числа 24:

1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24

Подставляя их по очереди в уравнение, при получаем верное равенство:

Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:

, где .

Чтобы найти , поделим выражение на . В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.

Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!

Ответ: 2; 3; 4.

13. Решите уравнение

Решение:

Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: 1, — 5, 4, — 5, 1.

Такое уравнение называется симметрическим, или возвратным.

Разделим обе его части на . Мы можем это сделать, поскольку не является корнем нашего уравнения.

Теперь группируем слагаемые:

Сделаем замену .

Тогда

Получили уравнение . Легко!

Ответ:

14. Решите уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на , получим:

Группируем слагаемые:

Сделаем замену , тогда

Наше уравнение примет вид:

Обратная замена:

Ответ:

к оглавлению ▴

Однородные уравнения

В школьном курсе математики проходят однородные показательные и однородные тригонометрические уравнения. Однородные алгебраические уравнения решаются тем же методом: делением на старшую степень.

15. Решите уравнение

Решение:

Это однородное уравнение. Разделим каждое слагаемое на при условии .

Получим:

Выполним замену:

Получим уравнение:

Обратная замена приведет нас к совокупности квадратных уравнений:

Решим эти квадратные уравнения.

Мы сказали, что поделить обе части уравнения на можно, только если Проверим, что будет, если . Тогда . Такое значение переменной не является корнем уравнения.

Ответ:

Рассмотрим еще одно однородное уравнение.

16. Решите уравнение

Решение:

не является корнем уравнения, поэтому разделим уравнение на и получим

Замена приводит к квадратному уравнению:

Его корни и

Обратная замена дает совокупность квадратных уравнений:

Решив эти квадратные уравнения, получаем корни:

Ответ:

Покажем еще несколько методов решения алгебраических уравнений. Они встречаются также в задачах с параметрами.

к оглавлению ▴

Выделение полного квадрата

17. Решите уравнение

Решение:

В правой части уравнения сумма двух квадратов. Добавим и вычтем удвоенное произведение двух выражений:

Свернем полный квадрат по формуле сокращенного умножения.

Замена приведет уравнение к виду:

или

Обратная замена дает совокупность двух квадратных уравнений:

Корни первого из этих уравнений:

Второе уравнение не имеет корней, его дискриминант отрицателен.

Ответ:

к оглавлению ▴

Метод оценки

18. Решим уравнение

Решение:

Преобразуем правую часть уравнения:

Уравнение примет вид:

Оценим левую и правую части уравнения.

Так как то равенство выполняется, только если и левая, и правая его части равны нулю.

Уравнение равносильно системе:

;

Система решений не имеет.

Ответ: корней нет.

При решении мы пользовались следующей теоремой:
Теорема. Если в уравнении функция ограничена сверху и , а функция ограничена снизу, причем , то уравнение равносильно системе:

Если система решений не имеет, то у данного уравнения корней нет.

Читайте о том, как метод оценки применяется в задачах с параметрами.

к оглавлению ▴

Использование свойств функций

Еще один нетривиальный метод решения уравнений – подобрать корень и доказать, что других корней нет.

Здесь нам поможет следующая теорема:
Теорема. Если в уравнении функция является монотонно возрастающей, а функция монотонно убывающей или постоянной, то уравнение не может иметь более одного корня.

19. Решите уравнение

Решение:

Левая часть уравнения представляет собой функцию, монотонно возрастающую при любом значении переменной х, т.к. является суммой монотонно возрастающих функций, а правая часть постоянна. Поэтому, если уравнения имеет корень, то он единственный.

Подбором находим, что т.к.

Ответ: -1.

20. Решите уравнение

Решение:

Функция является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), а правая часть постоянна. Уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что — корень, так как

Других корней быть не может.
Ответ: 1.

к оглавлению ▴

Графический метод решения уравнений

Чтобы решить графически уравнение , строим в одной системе координат графики функций и и находим точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения графиков — это корни уравнения .

21. Решите графически уравнение

Решение:

Запишем уравнение в виде . Построим в одной системе координат графики функций и

Графики функций пересекаются в единственной точке — корень уравнения, поскольку Других корней нет.
Ответ: 2.

Список литературы:

1. О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. Домашний репетитор. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену.

2. А. Г. Мордкович. Решаем уравнения.

Из школы известно, что уравнение второй степени a0x2+a1x+a2=0a_0x^2+a_1x+a_2=0 можно решить с помощью выделения полного квадрата. Есть и универсальная формула для корней, действительных или комплексных
x1,2=a1±a12−4a0a22a0x_{1,2}=frac{a_1pmsqrt{a_1^2-4a_0a_2}}{2a_0}.

В таком же стиле можно решить и уравнения, у которых в левой части многочлен не 2-й, а 3-й или 4-й степени — методы изложены ниже.
Надежды математиков, что и уравнения более высоких степеней могут быть решены с помощью 4 арифметических операций и извлечения корня, не оправдались. Абель в 1823 г. доказал, что уравнение 5-й степени x5+3x+1=0x^5+3x+1=0 неразрешимо в радикалах.

Здесь не ставятся целью готовые формулы, они будут довольно сильно «ветвящимися», напротив, подставьте вместо букв свои числа и все это проделайте, будет готовое полное решение уравнения 3-й или 4-й степени.

Метод Кардано

Пусть надо решить уравнение 3-й степени z3+a1z2+a2z+a3=0z^{3}+a_{1}z^{2}+a_{2}z+a_{3}=0.

Обнулим первый коэффициент заменой x=z+13a1x=z+frac{1}{3}a_{1}, получим уравнение относительно xx:

x3+px+q=0(1)x^{3}+px+q=0quadquad(1)

Будем искать в виде

x=y+zx=y+z

(y+z)3+p(y+z)+q=0(y+z)^{3}+p(y+z)+q=0
y3+z3+(3yz+p)(y+z)+q=0y^{3}+z^{3}+(3yz+p)(y+z)+q=0

Достаточно, чтобы выполнялась система

{3yz=−py3+z3=−q,{y3z3=(−p3)3y3+z3=−qbegin{cases}
begin{array}{cc}
3yz & =-p\
y^{3}+z^{3} & =-q
end{array}end{cases},begin{cases}
begin{array}{cc}
y^{3}z^{3} & =left(frac{-p}{3}right)^{3}\
y^{3}+z^{3} & =-q
end{array}end{cases}

По теореме Виета, y3y^{3} и z3z^{3} являются двумя корнями квадратного уравнения

t2+qt+(−p3)3=0t^{2}+qt+left(frac{-p}{3}right)^{3}=0
(y3,z3)=−q2±(q2)2+(p3)3(y^{3},z^{3})=-frac{q}{2}pmsqrt{left(frac{q}{2}right)^{2}+left(frac{p}{3}right)^{3}}

x=y+z=−q2+(q2)2+(p3)33+−q2−(q2)2+(p3)33x=y+z=sqrt[3]{-frac{q}{2}+sqrt{left(frac{q}{2}right)^{2}+left(frac{p}{3}right)^{3}}}+sqrt[3]{-frac{q}{2}-sqrt{left(frac{q}{2}right)^{2}+left(frac{p}{3}right)^{3}}}

Получили формулу Кардано для одного из корней. Однако если дискриминант использованного квадратного уравнения

D=(q2)2+(p3)3<0D=left(frac{q}{2}right)^{2}+left(frac{p}{3}right)^{3}<0,

то под кубическими корнями будут стоять комплексные числа. Если коэффициенты исходного кубического уравнения были действительны, мнимые части двух кубических корней будут взаимно противоположны, и корни получатся действительными, какие бы комплексные решения y,z исходной системы мы ни взяли. Но извлечение кубических корней из комплексных чисел — это еще большее искусство, чем решение исходного уравнения, поэтому сразу, как только у уравнения (1) оказалось D<0D<0, мы поступим иначе.

x3+px=−qx^{3}+px=-q

Чтобы уравнение стало еще больше похоже на формулу косинуса тройного угла, заменим

x=u−4p3x=usqrt{-frac{4p}{3}}
−4p3−4p3u3+pu−4p3=−qu3−34u=33/2q8(−p)3/2-frac{4p}{3}sqrt{-frac{4p}{3}}u^{3}+pusqrt{-frac{4p}{3}}=-qu^{3}-frac{3}{4}u=frac{3^{3/2}q}{8(-p)^{3/2}}
4u3−3u=q2(−p3)3/2=cos⁡3φ4u^{3}-3u=frac{q}{2(-frac{p}{3})^{3/2}}=cos3varphi

Благодаря условию D<0D<0 дробь меньше 11 по модулю, и найдется такое значение φ,  0<3φ<πvarphi,;0<3varphi<pi. Причем значения 3φ+2π3varphi+2pi, 3φ+4π3varphi+4pi приведут к другим значениям cos⁡φcosvarphi. Так по формуле косинуса тройного аргумента

u=cos⁡φ=cos⁡(13arccos⁡q2(−p3)3/2+2πk3),k=0,1,2u=cosvarphi=cosleft(frac{1}{3}arccosfrac{q}{2(-frac{p}{3})^{3/2}}+frac{2pi k}{3}right),quad k=0,1,2

найдется три решения u1,u2,u3u_{1},u_{2},u_{3}, и соответственно три решения x1,x2,x3x_{1},x_{2},x_{3} уравнения (1).

Метод Феррари

Решаем уравнение 4-й степени

z4+a1z3+a2z2+a3z+a4=0z^{4}+a_{1}z^{3}+a_{2}z^{2}+a_{3}z+a_{4}=0.

Обнулим первый коэффициент заменой x=z+14a1x=z+frac{1}{4}a_{1}, получим уравнение относительно xx:

x4+Ax2+Bx+C=0(2)x^{4}+Ax^{2}+Bx+C=0quadquad(2)

Это уравнение с действительными коэффициентами может иметь:

1. две пары комплексно-сопряженных корней,
2. пару комплексно-сопряженных корней и пару действительных корней,
3. четыре действительных корня, в том числе, может быть, совпадающие.

В любом случае левая часть разлагается в произведение двух квадратных трехчленов

x4+Ax2+Bx+C=(x2+ax+b)(x2−ax+c)=0x^{4}+Ax^{2}+Bx+C=(x^{2}+ax+b)(x^{2}-ax+c)=0

Например, x4+4=(x2+2x+2)(x2−2x+2)x^{4}+4=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)

Получаем систему условий:

{c+b−a2=Aa(c−b)=Bbc=C{c+b=A+a2c−b=Babc=Cbegin{cases}
begin{array}{cc}
c+b-a^{2} & =A\
a(c-b) & =B\
bc & =C
end{array}end{cases}begin{cases}
begin{array}{cc}
c+b & =A+a^{2}\
c-b & =frac{B}{a}\
bc & =C
end{array}end{cases}

Благодаря тождеству 4bc=(c+b)2−(c−b)24bc=(c+b)^{2}-(c-b)^{2} получаем уравнение на t=a2t=a^{2}

(A+a2)2=(Ba)2+4C(A+a^{2})^{2}=left(frac{B}{a}right)^{2} +4C
t3+2At2+(A2−4C)t−B2=0t^{3}+2At^{2}+({A^2}-4C)t-B^{2}=0

Это уравнение третьей степени, называемое резольвентным, и может быть решено методом Кардано, описанным выше. Находим любой один действительный положительный корень t1t_{1}. Он существует, так как левая часть отрицательна при t=0t=0, и стремится к бесконечности на +∞+infty. Из системы

{c+b=A+t1c−b=±Bt1=Babegin{cases}
begin{array}{cc}
c+b & =A+t_{1}\
c-b & =pmfrac{B}{sqrt{t_{1}}}=frac{B}{a}
end{array}end{cases}

находим однозначно, с точностью до замены (a,b)↔(−a,c)(a,b)leftrightarrow(-a,c)

{a=±t1c=12(A+t1±Bt1)b=12(A+t1∓Bt1)begin{cases}
begin{array}{cc}
a & =pmsqrt{t_{1}}\
c & =frac{1}{2}left(A+t_{1}pmfrac{B}{sqrt{t_{1}}}right)\
b & =frac{1}{2}left(A+t_{1}mpfrac{B}{sqrt{t_{1}}}right)
end{array}end{cases}

Значит, нашли разложение левой части уравнения (2) в произведение двух квадратных трехчленов. Остается решить два квадратных уравнения и найти 4 корня, действительных или комплексных.

Если резольвентное уравнение имеет один действительный корень t1t_{1}, то разложение в произведение двух квадратных трехчленов единственно, это происходит потому, что среди 4 корней есть два комплексно-сопряженных, и они обязательно должны быть объединены в пару. Если же все 4 корня уравнения (2), а значит и исходного, действительны, то их можно разбить на пары тремя различными способами, и возможны три разложения в произведение. Они соответствуют трем корням резольвентного уравнения. Но в итоге все 4 корня исходного уравнения получаются одни и те же, только по-разному упорядоченные.

Пример

Решить уравнение x4−x2+2x−1=0x^{4}-x^{2}+2x-1=0

A=−1,B=2,C=−1A=-1,B=2,C=-1.

По методу Феррари ищем разложение:

x4−x2+2x−1=(x2+ax+b)(x2−ax+c)x^{4}-x^{2}+2x-1=(x^{2}+ax+b)(x^{2}-ax+c)

{c+b=−1+a2c−b=2abc=−1begin{cases}
begin{array}{cc}
c+b & =-1+a^{2}\
c-b & =frac{2}{a}\
bc & =-1
end{array}end{cases}

Резольвентное уравнение на t=a2t=a^{2}

t3+2At2+(A2−4C)t−B2=t3−2t2+5t−4=0t^{3}+2At^{2}+(A^{2}-4C)t-B^{2}=t^{3}-2t^{2}+5t-4=0

Если не заниматься подбором его корня, а работать по методу Кардано:

X=t−23X=t-frac{2}{3}

(X+23)3−2(X+23)2+5(X+23)−4=0left(X+frac{2}{3}right)^{3}-2left(X+frac{2}{3}right)^{2}+5left(X+frac{2}{3}right)-4=0

X3+43X+827−83X−89+5X+103−4=0X^{3}+frac{4}{3}X+frac{8}{27}-frac{8}{3}X-frac{8}{9}+5X+frac{10}{3}-4=0

X3+113X−3427=0X^{3}+frac{11}{3}X-frac{34}{27}=0

p=113,  q=−3427p=frac{11}{3},;q=-frac{34}{27}

D=(119)3+(1727)3=1331729+289729=1620729=209D=left(frac{11}{9}right)^{3}+left(frac{17}{27}right)^{3}=frac{1331}{729}+frac{289}{729}=frac{1620}{729}=frac{20}{9}

По формуле Кардано

X=−q2+D3+−q2−D3=17+1853+17−18533=X=sqrt[3]{-frac{q}{2}+sqrt{D}}+sqrt[3]{-frac{q}{2}-sqrt{D}}=frac{sqrt[3]{17+18sqrt{5}}+sqrt[3]{17-18sqrt{5}}}{3}=

=1+95+135+13553+1−95+135−135536==frac{sqrt[3]{1+9sqrt{5}+135+135sqrt{5}}+sqrt[3]{1-9sqrt{5}+135-135sqrt{5}}}{6}=

=(1+35)33+(1−35)336=13=frac{sqrt[3]{left(1+3sqrt{5}right)^{3}}+sqrt[3]{left(1-3sqrt{5}right)^{3}}}{6}=frac{1}{3}

Это типичный исход применения формулы. При DD, не являющимся квадратом рационального числа, для рациональности ХХ не только достаточно, но и необходимо, чтобы выражения под кубическими корнями оказались точными кубами

(α±βD)3left(alphapmbetasqrt{D}right)^{3}
( α,βalpha ,beta рациональны), и тогда иррациональность Dsqrt{D} исчезнет в ответе. Но если X (и t) рациональны, их в резольвентном уравнении можно было найти и подбором.

Получили корень резольвентного уравнения

t=X+23=1t=X+frac{2}{3}=1
a=±t=±1,c=±1,b=∓1a=pmsqrt{t}=pm1,quad c=pm1,quad b=mp1

Получаем разложение

x4−x2+2x−1=(x2+x−1)(x2−x+1)=0x^{4}-x^{2}+2x-1=(x^{2}+x-1)(x^{2}-x+1)=0

Из этих квадратных уравнений

x1,2=−1±52,x3,4=1±i32x_{1,2}=frac{-1pmsqrt{5}}{2},quad x_{3,4}=frac{1pm isqrt{3}}{2}
-все корни данного уравнения.