Как найти корреляционную функцию случайного процесса

При исследовании вопросов зависимости
или независимости
двух или более
сечений случайных процессов знание
лишь математического ожидания и дисперсии
с.п. не достаточно.

Для определения связи между различными
случайными процессами используется
понятие корреляционной функции – аналог
понятия ковариации случайных величин
(см. Т.8)

Корреляционной (ковариационной,
автоковариационной, автокорреляционной)
функцией случайного процесса
называется неслучайная функция
двух аргументов,
которая при каждой паре значенийравна
корреляционному моменту соответствующих
сеченийи:

или (с
учётом обозначения центрированной
случайной функции
)
имеем

.

Приведём
основные свойства корреляционной
функции
случайного
процесса.

1. Корреляционная функция при одинаковых
значениях аргументов равна дисперсии
с.п.

.

Действительно,

.

Доказанное свойство позволяет вычислить
м.о. и корреляционную функцию являющимися
основными характеристиками случайного
процесса, необходимость в подсчёте
дисперсии отпадает.

2. Корреляционная функция не меняется
относительно замены аргументов, т.е.
является симметрической функцией
относительно своих аргументов:
.

Это свойство непосредственно выводится
из определения корреляционной функции.

3. Если к случайному процессу прибавить
неслучайную функцию, то корреляционная
функция не меняется, т.е. если
,
то.
Другими словами

является
периодической функцией относительно
любой неслучайной функции.

Действительно, из цепочки рассуждений

,

следует,
что
.
Отсюда получим требуемое свойство 3.

4. Модуль корреляционной функции не
превосходит произведения с.к.о., т.е.

.

Доказательство свойства 4. проводится
аналогично как в пункте 12.2. (теорема
12..2), с учётом первого свойства
корреляционной функции с.п.
.

5. При умножении с.п.на
неслучайный множительеё корреляционная функция умножится
на произведение,
т.е., если,
то

.

5.1. Нормированная корреляционная функция

Наряду с корреляционной функцией с.п.
рассматривается также нормированная
корреляционная функция
(или
автокорреляционная
функция)определяемая
равенством

.

Следствие. На основании свойства
1 имеет место равенство

.

По своему смыслу
аналогичен коэффициенту корреляции
для с.в., но не является постоянной
величиной, а зависит от аргументови.

Перечислим свойства нормированной
корреляционной функции
:

1.

2.

3.
.

Пример 4. Пусть с.п. определяется
формулой,
т.е.с.в.,

распределена
по нормальному закону с

Найти корреляционную и нормированную
функции случайного процесса

Решение. По определению имеем

,

т.е.
Отсюда с учётом определения нормированной
корреляционной функции и результатов
решения предыдущих примеров получим=1,
т.е..

5.2. Взаимная корреляционная функция случайного процесса

Для определения степени зависимости
сеченийдвух случайных процессов
используют корреляционную функцию
связи или взаимную корреляционную
функцию.

Взаимной корреляционной функцией двух
случайных процессов
иназывается неслучайная функциядвух независимых аргументови,
которая при каждой паре значенийиравна корреляционному моменту двух
сеченийи

.

Два с.п.
иназываютсянекоррелированными, если
их взаимная корреляционная функция
тождественно равна нулю, т.е. если для
любыхиимеет местоЕсли же для любыхиокажется,
то случайные процессыиназываютсякоррелированными(илисвязанными).

Рассмотрим свойства взаимной корреляционной
функции, которые непосредственно
выводятся из её определения и свойств
корреляционного момента (см. 12.2):

1.При одновременной перестановке индексов
и аргументов взаимная корреляционная
функция не меняется, то есть

2. Модуль взаимной корреляционной функции
двух случайных процессов не превышает
произведения их средних квадратичных
отклонений, то есть

3. Корреляционная функция не изменится,
если к случайным процессамиприбавить неслучайные функцииисоответственно, то есть,
где соответственнои

4. Неслучайные множители
можно
вынести за знак корреляции, то есть,
еслии, то

5. Если
,
то.

6. Если случайные процессы
инекоррелированные, то корреляционная
функция их суммы равна сумме их
корреляционных функций, то есть.

Для оценки степени зависимости сечений
двух с.п. используют также нормированную
взаимную корреляционную функцию
,
определяемую равенством:

.

Функция
обладает теми же свойствами, что и
функция
,
но свойство 2

заменяется
на следующее двойное неравенство
,
т.е. модуль нормированной взаимной
корреляционной функции не превышает
единицы.

Пример 5. Найти взаимную корреляционную
функцию двух с.п.и,
гдеслучайная
величина, при этом

Решение. Так как,.

То

т.е.

Содержание:

Случайные процессы:

Пусть T – некоторое множество действительных чисел. Случайной функцией называется совокупность случайных величин Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Что такое случайный процесс

При наблюдении случайной функции мы получаем одну из возможных ее реализаций – неслучайную функцию. Поэтому случайную функцию можно рассматривать как совокупность всех ее возможных реализаций (см. рис. 4.1, на котором жирной линией выделена одна из возможных реализаций, а точками отмечены возможные значения случайной величины Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если роль параметра t играет время, то случайную функцию называют случайным процессом. Если параметр дискретный, то соответствующие ему случайные величины образуют случайную последовательность.

С изменением параметра t изменяется и закон распределения случайной величины Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Этот закон распределения можно задать в виде функции распределения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если функция распределения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения дифференцируема, то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

называется функцией плотности вероятности.

Для дискретной случайной величины одномерный закон распределения задается перечислением возможных значений и соответствующих им вероятностей

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Конечномерным законом распределения случайной функции Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения называется закон распределения n сечений случайной функции Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Проследить за изменениями всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, как правило, практически невозможно. Поэтому обычно ограничиваются анализом числовых характеристик случайной величины Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. В первую очередь интересуются математическим ожиданием (начальным моментом первого порядка), дисперсией (центральным моментом второго порядка) и для анализа взаимосвязи между значениями процесса при разных значениях параметра t рассматривают коэффициент ковариации (ковариационный момент).

Математическим ожиданием случайного процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения называют неслучайную функцию Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения значение которой при каждом фиксированном значении параметра t равно математическому ожиданию сечения процесса при этом значении параметра, т.е

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Дисперсией случайного процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения называют неслучайную функцию Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения значение которой при каждом фиксированном значении параметра t равно дисперсии сечения процесса при этом значении параметра, т.е.Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

На рис. 4.2 и рис. 4.3 изображены несколько реализаций соответственно случайных процессов Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, которые имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии. Однако характер протекания этих процессов существенно различен. У процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения реализации плавные. Это свидетельствует о зависимости значений процесса, отделенных небольшими промежутками времени. Процесс же Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения меняется быстро и влияние предыдущих значений процесса быстро иссякает. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Для описания этих особенностей процесса существует специальная характеристика, которая называется корреляционной функцией (иногда говорят об автокорреляционной функции).

Корреляционной функцией случайного процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения называют неслучайную функцию Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения значение которой при каждых фиксированных значениях параметра t1 и t2 равно коэффициенту ковариации величин Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, т.е.Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При равных между собой аргументах Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Свойства корреляционной функции

Отметим некоторые свойства корреляционной функции:

1. При перестановке аргументов корреляционная функция не меняется: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

2. Прибавление к случайной функции Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения неслучайной функцииСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения не меняет ее корреляционной функции. Если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

3. При умножении случайной функции Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения на неслучайную функцию Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения корреляционная функция умножается на произведение Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При решении некоторых научно-технических задач приходится иметь дело со случайными процессами, которые удается описать комбинацией простых (элементарных) функций, в которые в качестве параметров входят случайные величины. Такие случайные функции называют элементарными случайными функциями.

Например, Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения где случайными величинами являются амплитуда X, частота Y и фаза Z гармонических колебаний.

Пример №1

Элементарная случайная функция имеет вид Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения где X и Y независимы, причем X имеет плотность вероятности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (показательный закон распределения с параметром Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения), а случайная величина Y равномерно распределена в отрезке Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Требуется найти для Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения математическое ожидание, дисперсию и автокорреляционную функцию.

Решение. Обозначим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Учитывая, что случайная величина Y равномерно распределена на Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения с постоянной плотностью Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения имеемСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

так как для показательного закона распределения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения ВычислимСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Для показательного закона распределения двукратное интегрирование по частям дает

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

а Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому и при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Для вычисления дисперсии возьмем в полученном выражении Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример №2

Пусть Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – последовательность независимых случайных величин с функцией плотности вероятности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Говорят, что последовательность Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения превышает уровень Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (выходит за уровень Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения) в момент Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Рассмотрим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – момент первого выхода последовательности (случайного процесса с дискретным временем) за уровень Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Требуется найти распределение случайной величины Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и ее математическое ожидание.

Решение. Вычислим

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

– это геометрический закон распределения.

Но для геометрического закона распределения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В нашем случае роль p играет величина Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ.  Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример №3

Пусть Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – последовательность независимых случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и равными дисперсиями Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Требуется найти корреляционную функцию для случайной последовательности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Так как математические ожидания случайных величин равны нулю, то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому

 Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При  Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При остальных s = 2,3,… величина Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ.  Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при остальных s = 2,3,… величина Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример №4

Все положения случайной точки (X,Y) равновозможны в области Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Для случайного процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения постоянная w > 0, требуется найти математическое ожидание Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения дисперсию Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и корреляционную функцию Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Решение. По свойствам математического ожидания Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Так как площадь области D равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, а все положения случайной точки (X,Y) в этой области равновозможны, то плотность вероятности случайной точки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при остальных Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Маргинальная плотность вероятности случайной величины X равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично, Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Вычислим дисперсию X. Так как Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Аналогично находим, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения 

Вычислим теперь корреляционную функцию процесса: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Вычислим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Но Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

С учетом этого получаем 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

             Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X(t) и Y(t) называют неслучайную функцию Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения двух независимых аргументов t1 и t2, значения которой равны корреляционному моменту случайных величин X(t1) и Y(t2):

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Коррелированными называют две случайные функции, если их взаимная корреляционная функция не равна тождественно нулю. В противном случае говорят о некоррелированных случайных функциях.

Если рассматривать многомерный случайный процесс Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то он имеет характеристики Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Эти характеристики описывают поведение отдельно взятых координат случайного процесса, но не учитывают взаимодействие между ними. В качестве характеристики взаимозависимости координат случайного процесса используют взаимную корреляционную функцию Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В общем случае взаимная корреляционная функция Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения не равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения так как ковариация между сечениями Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (на рис. 4.4 точки 3 и 4).

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В терминах характеристик второго порядка, например, двумерный случайный процесс Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения описывают вектором средних значений Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и матрицей корреляционных функций

 Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Наглядным примером двумерного случайного процесса (или случайного поля) может служить поверхность моря.

Пример №5

Даны два случайных процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

где случайные величины U и V независимы и имеют равные дисперсии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Требуется найти взаимную корреляционную функцию этих процессов.

Решение. Так как Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично, Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Величины U и V независимы, а значит и некоррелированы. Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения С учетом того, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения а Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияполучаем

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример №6

Даны два случайных процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения где U и V независимы, имеют Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Требуется найти взаимную корреляционную функцию этих процессов.

Решение. Так как Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пусть X(t) и Y(t) – две случайные функции, а случайная функция Z(t) равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Выразим характеристики Z(t) через характеристики X(t) и Y(t).

Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожиданий этих функций: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Легко видеть, что для процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения корреляционная функция имеет вид:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример №7

Случайный процесс Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения а Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – случайная величина с равномерным законом распределения на Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Необходимо найти корреляционную функцию случайного процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Прежде всего вычислим математические ожидания случайных процессов. Случайная величина Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равномерно распределена на Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения с плотностью вероятности равной Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения ПоэтомуСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Вычислим величины необходимые для использования формулы (4.1):Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично, Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения По формуле (4.1)

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

ОтветСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Стационарные случайные процессы

Случайный процесс называется стационарным, если все его характеристики не зависят от времени.

Определение. Случайная функция X(t) называется строго стационарной (стационарной в узком смысле), если все ее конечномерные законы распределения не изменяются от сдвига параметра (времени) на произвольную величину t0. Это в частности означает, что ее математическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляционная функции зависит только от разности аргументов.

Определение. Случайная функция X(t) называется стационарной в широком смысле, если ее математическое ожидание постоянно, а корреляционная функции зависит только от разности аргументов т.е.Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Так как Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то условие (4.1.1) означает и постоянство дисперсии.

Пример 4.8.

Дан случайный процесс Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – случайная величина, равномерно распределенная в отрезке Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Требуется доказать, что этот случайный процесс стационарен в широком смысле.

Решение. Для доказательства необходимо проверить выполнение условий (4.1.1). Найдем математическое ожиданиеСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

так как 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – плотность вероятности случайной величины Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Заметим, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

так как Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Итак, Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения т.е. зависит только от разности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияКорреляционная функция оказалась независящей от величины Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, которую в приложениях обычно трактуют как «фазу».

Ответ. Процесс стационарен в широком смысле.

Пример 4.9.

Значения случайного процесса X(t) изменяются скачками в случайные моменты времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Моменты скачков образуют простейший (пуассоновский) поток событий интенсивности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения т.е. вероятность того, что за время t произойдет k скачков равнаСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В интервале , Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения между двумя скачками X(t) может принимать лишь два значения 0 или 1 с вероятностями соответственно Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Значения X(t) в различных интервалах независимы. (Такой процесс называют фототелеграфным сигналом.)

Необходимо найти Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и выяснить, является ли этот процесс X(t) стационарным в широком смысле.

Решение. В произвольный момент времени t значения процесса имеют распределение

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что если между моментами t1 и t2 не было скачков процесса (вероятность чего по формуле (4.1.2) равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то значения процесса X(t1) и X(t2) совпадают и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если же между моментами t1 и t2 скачки были, то величины X(t1) и X(t2независимы и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Итак, математическое ожидание и дисперсия процесса постоянны, а корреляционная функция зависит только от разности значений аргументов. Это означает, что процесс стационарен в широком смысле.

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Процесс стационарен в широком смысле.

Пример 4.10.

Случайный процесс X(t) строится следующим образом. В некоторый случайный момент времени T появляется прямоугольный импульс длительности t0 и случайной амплитудой A1. В момент времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения этот импульс сменяется новым импульсом той же длительности и случайной амплитуды A2, и т. д. Величины A1, A2,… независимы, и каждая с равными вероятностями принимает одно из двух значений «+1» или «–1». Одна из возможных реализаций процесса X(t) показана на рис. 4.1.1.Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Требуется найти Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и выяснить, является ли этот процесс X(t) стационарным в широком смысле.

Решение. Для любого момента времени t: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Обозначим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Так как равновозможны все положения точки t в Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то t имеет равномерное распределение в Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения с функцией плотности вероятности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайный процесс центрирован Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если вместе Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения принадлежит промежутку Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность этого

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если же Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

в силу независимости случайных величин Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 4.1.2).

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Постоянное значение математического ожидания процесса и зависимость корреляционной функции Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения только от разности аргументов Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения свидетельствуют о том, что процесс стационарен в широком смысле.

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и  Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Процесс стационарен в широком смысле.

Пример 4.11.

Случайный процесс X(t) строится следующим образом. На числовой оси Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения реализуется простейший поток событий интенсивности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайный процесс X(t) принимает попеременно случайные значения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и –Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. При наступлении события простейшего потока X(t) скачком меняет свое значение с Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения на –Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения или наоборот. Одна из реализаций процесса показана на рис. 4.1.4, где точками на оси отмечены события простейшего потока. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Требуется найти математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию этого случайного процесса.

Решение. Так как моменты изменения знака никак не связаны со значениями процесса X(t), нет оснований считать, что какое либо из значений (Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения или –Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения) более вероятно, чем другое. Следовательно, 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим значения процесса в произвольные моменты времени t1 и t2. Так как Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Произведение Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения если в интервале Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения происходит нечетное число событий (тогда значения процесса X(t1) и X(t2) будут разных знаков). Если же в интервале Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения происходит четное число событий, то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность появления за время Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения четного числа событий простейшего потока равна

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Тогда

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично, при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения т.е. при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Полученные выражения для Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения можно объединить в одну запись: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

График этой функции изображен на рис. 4.1.5.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Дисперсия процесса равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Процесс стационарен в широком смысле.

Пример 4.12.

Случайный процесс X(t) устроен следующим образом. На оси времени реализуется простейший поток событий интенсивности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения При появлении события этого потока процесс X(t) скачком возрастает на единицу. Между скачками он убывает линейно под углом минус 45°. Одна из реализаций процесса приведена на рис. 4.1.7, где точками на оси отмечены моменты появления событий простейшего потока.Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Требуется найти математическое ожидание Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения дисперсию Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и корреляционную функцию Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения этого случайного процесса и его нормированную корреляционную функцию.

Решение. Каждый скачок процесса равен единице. Поэтому значение процесса в момент времени t можно записать в виде

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

где N(t) – число скачков за время t.

Случайная величина N(t) имеет пуассоновский закон распределения, причем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Так как Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В свою очередь

 Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Так как случайные величины Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения независимы, а для распределения Пуассона Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения если параметр распределения равенСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В итоге имеем

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично, при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получаем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Нормированная корреляционная функция:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения если же Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Величины X(t1) и X(t2) коррелированы положительно.

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.13.

Случайный процесс X(t) изменяет свое состояние в моменты времени, которые образуют простейший поток интенсивности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В каждой точке скачка процесс X(t) возрастает на единицу, а затем убывает по экспоненте с показателем –1 до точки следующего скачка. Одна из реализаций такого процесса приведена на рис. 4.1.10. Требуется найти математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию этого случайного процесса.Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Описанный процесс может служить простейшей математической моделью воздействия потока электронов на анод. Поток электронов от катода к аноду близок к простейшему потоку некоторой интенсивности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения При попадании электрона на анод напряжение на нем X(t) возрастает на некоторую единицу, а затем убывает по экспоненте, показатель которой зависит от характеристик электронной схемы.

Решение. Результат воздействия Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения-го скачка, происшедшего в момент времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения имеет вид: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения илиСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Так как поток скачков простейший, то за время t произойдет случайное число скачков N, распределенных по закону Пуассона с параметром Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому X(t) является суммой случайного числа N случайных слагаемых Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Воспользуемся следующим фактом: Простейший поток событий на (0, )t можно представить как совокупность случайного числа точек, каждая из которых равномерно распределена на Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения независимо от других точек. Поэтому (4.1.3) можно переписать в виде Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

где все Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равномерно распределены на Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения а N не зависит от Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения . Из (4.1.4) следует, что

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

(Здесь мы воспользовались тем, что математическое ожидание суммы случайного числа одинаково распределенных случайных величин равно произведению математического ожидания числа этих величин на математическое ожидание одной из них.)

Так как число слагаемых N распределено по закону Пуассона, тоСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Каждая из величин равномерно распределена в Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В итоге

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Кроме того,

 Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим два момента времени t1 и t2 Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Значение X(t2) равно значению 1 X(t1), умноженному на Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения , плюс вклад Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения от скачков процесса на интервале Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Величины X(t1), и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения независимы, так как они связаны со скачками процесса в непересекающихся интервалах времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично, при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получим

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Остается вычислить:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

С учетом (4.1.5), (4.1.6) и того, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получаемСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В итоге, Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Стационарная в широком смысле функция X(t), представимая во всей области определения в виде Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

где Uk и Vk – центрированные случайные величины, удовлетворяющие условиям Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при всех i и j, называется случайной функцией с дискретным спектром.

Такая случайная функция имеет автокорреляционную функциюСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Равенство (4.1.7) называют спектральным разложением случайного процесса, а равенство (4.1.8) спектральным разложением корреляционной функции.  Представление (4.1.8) показывает, что дисперсия процесса является суммой дисперсий отдельных гармоник на частотах Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Говорят, что стационарная случайная функция X(t) является случайной функцией с непрерывным спектром, если существует такая действительная неотрицательная функция Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения определенная при всех Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Функцию Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения называют спектральной плотностью, а формулы (4.1.9) и (4.1.10) называют формулами Винера–Хинчина. Из этих формул и свойств корреляционной функции следует, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – функция четная, т.е. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения изображают обычно только для неотрицательных Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Случайные функции, обладающие конечной дисперсией, имеют спектральные плотности, которые стремятся к нулю на бесконечности быстрее, чем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В силу четности корреляционной функции стационарного процесса и
его спектральной плотности формулы (4.1.9) и (4.1.10) можно записать в
виде:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Формулы (4.1.11) и (4.1.12) означают, что корреляционная функция и спектральная плотность связаны взаимно обратными преобразованиями Фурье. Выражения вида (4.1.11) называют интегралом Фурье. Интеграл Фурье является обобщением разложения в ряд Фурье для случая непериодической функции на бесконечном интервале. Это разложение функции на сумму простых гармонических колебаний с непрерывным спектром.

Заметим, что дисперсию стационарного случайного процесса с непрерывным спектром можно выразить в виде интеграла от спектральной плотности:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.14.

Корреляционная функция стационарного случайного процесса X(t) имеет вид

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Требуется найти спектральную плотность процесса.

Решение. В соответствии с формулой (4.1.12)

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Вычислим сначала первый интеграл

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Спектральная плотность производной от случайной функции X(t) связана со спектральной плотностью этой функции Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения соотношением

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.15.

Спектральная плотность случайной функции X(t) имеет вид Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Требуется найти дисперсию производной этой случайной функции.

Решение. Согласно (4.1.13) спектральная плотность производной X'(t) имеет вид  Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

ОтветСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

ПустьСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – автокорреляционная функция стационарного случайного процесса X(t). Найдем взаимную корреляционную функцию процессов X'(t) и X(t). Так как процесс X(t) стационарен, то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Так как Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.16.

Спектральная плотность случайного стационарного процесса X(t) имеет вид: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при остальных х. Требуется найти автокорреляционную функцию этого процесса. 

Решение. Так как функция Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения четная, то по формуле (4.1.11) получаем

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.17.

Задана спектральная плотность стационарного случайного процесса 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Требуется найти корреляционную функцию этого процесса.

Решение. По формуле (4.1.11) получим:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Непосредственно вычислять такой интеграл трудно. Поэтому воспользуемся следующим приемом. Продифференцируем обе части равенства: 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Проинтегрируем по частям: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
Тогда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияПервое слагаемое в скобке равно нулю, так как Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Интеграл во втором слагаемом совпадает с Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В итоге обнаружилась возможность найти Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, как решение дифференциального уравнения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Для определения произвольной постоянной зададим начальное условие Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

(Напомним, что интеграл Пуассона Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения)

При таком начальном условии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Искомая корреляционная функция имеет вид:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что и спектральная плотность, и корреляционная функция этого процесса относятся к типу гауссовских кривых. 

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Преобразование случайных процессов динамическими системами

Для случайных процессов оказалось целесообразным расширить трактовку некоторых понятий математического анализа. 

Говорят, что случайная последовательность Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения сходится к числу b в среднеквадратическом смысле, если
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
(этот факт записывают кратко Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения).

Случайный процесс X(t) называется стохастически непрерывным в точке Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения если

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайная величина X'(t) называется среднеквадратической производной случайной функции X(t) в точке Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения если

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пусть имеется некоторая динамическая система. Под динамической системой понимается любое радиотехническое устройство, прибор, прицел, система автоматического управления, автопилот, вычислительное устройство и т.д. 

На вход системы непрерывно подаются некоторые данные, система их перерабатывает и выдает результат этой переработки. Иногда входящие в систему данные называют «воздействием» или «сигналом», данные на выходе называют «реакцией» или «откликом» на воздействие. Обычно вместе с полезным сигналом поступают и случайные помехи, которые тоже перерабатываются динамической системой и влияют на отклик. Поэтому в общем виде ставится формальная задача о переработке динамической системой некоторого случайного процесса X(t). На выходе тоже получается случайный процесс Y(t). Схема описанной системы приведена на рисунке 4.2.1.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Естественно возникает вопрос: как по характеристикам X(t), с учетом особенностей динамической системы, найти характеристики сигнала на выходе?

С формальной точки зрения, каждая динамическая система задает некоторое соответствие между сигналами на входе и откликами на выходе.

Правило, по которому функция X(t) на входе преобразуется в функцию Y(t) на выходе, называется оператором. Символически это записывают в виде: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Оператор L называется линейным однородным оператором, если он обладает следующими свойствами:

1. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
2. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения где C – постоянная величина.

Примерами линейных операторов могут служить операторыСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – некоторая функция.

Оператор называют линейным неоднородным, если он состоит из линейной части с прибавлением некоторой определенной функции:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если случайная функция X(t) с математическим ожиданием Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и корреляционной функцией Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияпреобразуется линейным однородным оператором L в случайную функцию Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

то для нахождения математического ожидания Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениянужно применить этот оператор к Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения т.е.Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

А для нахождения корреляционной функции Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения необходимо применить этот оператор к корреляционной функции Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениясначала по одному аргументу, а затем по другому:
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Например, если линейный оператор дифференцирования Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения применяется к случайному процессу X(t) с математическим ожиданием Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и корреляционной функцией Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, то для Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения математическое ожидание Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияа корреляционная функция Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.18.

Задана Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – корреляционная функция стационарного случайного процесса X(t). Требуется найти корреляционную функцию процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Воспользуемся формулой (4.1) для корреляционной функции суммы случайных процессов. Вычислим необходимые для этого величины.

Так как процесс X(t) стационарен, то его математическое ожидание и математическое ожидание его производной равны нулю. Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Но так как Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично,

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Так как Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения а Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому по формуле (4.2.1) Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В итоге по формуле (4.2)

 Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Стационарной линейной динамической системой называется устройство, которое можно описать линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – постоянные коэффициенты, X(t) – входящий стационарный процесс (воздействие), а Y(t) – случайный процесс на выходе из системы (отклик). Если динамическая система устойчива, то по окончании переходного периода процесс Y(t)  тоже стационарен.

Найдем характеристики Y(t) по характеристикам X(t). Возьмем математическое ожидание от правой и левой частей равенства (4.2.3).Так как X(t) и Y(t) стационарные процессы, то их математические ожидания mx и my постоянны, а производные математических ожиданий равны нулю. Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Обозначим оператор дифференцирования Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения через p, оператор Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения через p2 и т.д. Тогда уравнение (4.2.3) можно записать в виде 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

или

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Выражение

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

называют передаточной функцией.

Уравнение (4.2.3) в операторной форме кратко записывается в видеСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Частотной характеристикой линейной динамической системы называют функцию, которая получается заменой p на Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в передаточной функции: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Доказано, что спектральные плотности процессов X(t) и Y(t) связаны соотношением

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Это означает, что для получения спектральной плотности выходного случайного процесса необходимо умножить спектральную плотность входного процесса на квадрат модуля частотной характеристики динамической системы.

Пример 4.19.

Динамическая система задана уравнением Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

На вход системы подается стационарный случайный процесс X(t) с корреляционной функцией Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Требуется найти дисперсию процесса на выходе в установившемся режиме.

Решение. Вычислим спектральную плотность случайного процесса X(t) по формуле (4.1.12)

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В операторной форме уравнение (4.2.8) имеет вид Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому частотная характеристика Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения По формуле Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.20.

На вход линейной динамической системы, описываемой уравнением

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

подается стационарный случайный процесс X(t) с математическим ожиданием Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и корреляционной функцией Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Требуется найти математическое ожидание и дисперсию процесса на выходе.

Решение. Вычислим спектральную плотность случайного процесса X(t). По формуле (4.1.12)

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Обозначим оператор дифференцирования Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения через p, а оператор Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения через p2 . Тогда уравнение (4.2.9) можно записать в видеСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

или

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Передаточная функция динамической системы имеет вид Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

а ее частотная характеристика 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Спектральная плотность процесса на выходе системы равна, согласно (4.2.7), Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Дисперсия процесса на выходе равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если динамическая система устойчива, то при достаточно больших значениях t (после переходного периода) функцию Y(t) можно считать стационарной. Так как X(t) и Y(t) стационарны, то математические ожидания их производных равны нулю. Поэтому переход к математическим ожиданиям в равенстве (4.2.9) дает Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ.  Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.21.

Пусть X – случайная величина с Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайный процесс Y(t) определяется уравнением Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – постоянные коэффициенты. Требуется найти дисперсию процесса Y(t).

Решение. Решим линейное дифференциальное уравнение (4.2.10) методом Бернулли. Будем искать решение в виде Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда уравнение (4.2.10) можно переписать:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Подберем u(t) так, чтобы Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения т. е. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения При таком u(t) получаем уравнение Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Откуда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияили Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В итоге получаем общее решение уравнения (4.3.2):Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При начальных условиях Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения имеем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Частное решение уравнения (4.2.10) имеет вид Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения ПоэтомуСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.22.

На RC – цепь, схема которой изображена на рис. 4.2.3, подается случайное напряжение X(t) с математическим ожиданием Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и ковариационной функцией Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Требуется найти математическое ожидание и дисперсию с напряжения Y(t) на выходе.

Решение. Дифференциальное уравнение, связывающее сигнал на выходе Y(t) с сигналом X(t) на входе имеет вид Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Решение этого уравнения можно получить, например, методом вариации произвольной постоянной. Однородному уравнению Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениясоответствует характеристическое уравнение Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому решение соответствующего однородного уравнения имеет вид Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Вместо произвольной постоянной C подберем такую функцию C(t), чтобы Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения стало решением уравнения (4.2.11). Тогда при подстановке этого Y(t) в уравнение (4.2.11) получаемСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Откуда следует, что

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому решение уравнения (4.2.11) имеет вид

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Запись (4.2.12) означает, что Y(t) является результатом действия на X(t) линейного оператора: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В соответствии с (4.2.1)

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

По формуле (4.2.2) при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому дисперсия

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

ОтветСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Процессы «гибели и рождения»

Пусть некоторый объект может в каждый момент времени может находиться в одном из состояний: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения множество которых конечно или счетно. (Счетным называют множество, все элементы которого могут быть занумерованы с помощью натуральных чисел.) В случайные моменты времени возможны переходы из состояния в состояние. Особенность этих переходов состоит в том, что за бесконечно малый промежуток времени возможны переходы только в соседние состояния.

Формально это означает следующее. Если в момент времени t объект находится в состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то за малый промежуток времени h объект из состояния Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения может перейти в состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения с вероятностью Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения а вероятность перехода в состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Напомним, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения означает величину бесконечно малую более высокого порядка малости по сравнению с h. Вероятность перехода из Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в другие состояния за бесконечно малый промежуток времени h пренебрежимо мала Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Отсюда следует, что вероятность за время h сохранить состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равна

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пусть постоянные Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения не зависят от времени t и от способа прихода объекта в состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Эти предположения позволяют нарисовать следующую схему возможных переходов (см. рис. 4.3.1). Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Процесс изменения состояний объекта по приведенной схеме называется процессом гибели и рождения.

Эти процессы могут служить математической моделью для популяции живых организмов. В этом случае под состоянием Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения понимается наличие в популяции n особей, переход из Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения означает рождение нового члена популяции, а переход из Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения соответствует гибели одного из ее членов.

В терминах процессов гибели и размножения можно обсуждать многие технические задачи. Например, для математической модели транспортного предприятия под состоянием можно понимать число автомобилей, которые пригодны для эксплуатации. Тогда выход из стоя автомобиля означает переход в состояние с номером на единицу меньше (т.е. «гибель»), а восстановление машины после ремонта – переход в состояние с номером на единицу больше («рождение»).

Обозначим через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения вероятность того, что в момент времени t объект находится в состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и выведем уравнения для этих вероятностей. Сначала выведем уравнение при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Для этого рассмотрим отрезок времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и учтем возможные изменения состояния объекта за малый промежуток времени h. Объект в момент времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения будет находиться в состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения если в момент t он находился в состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и за время h произошел переход в состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения или в момент t он находился в состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и за время h переходов не было, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения или в момент t он находился в состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и за время h произошел переход в состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Символическая запись этой фразы имеет вид 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Перенесем из правой части в левую Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения  и разделим каждое слагаемое в равенстве на h:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получаем дифференциальное уравнение

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Уравнение для k=0 получается из следующих рассуждений. Объект в момент времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения будет находиться в состоянии Е0, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения если в момент t он находился в состоянии Е0, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и за время h переходов не было, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения или в момент t он находился в состоянии Е1, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и за время h произошел переход в состояние Е0, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Символически эта фраза может быть записана в виде

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Перенос слагаемого Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в левую часть, деление правой и левой частей равенства на h, предельный переход приСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения приводят к дифференциальному уравнению

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Уравнения (4.3.2) и (4.3.3) называют системой уравнений гибели и рождения. В общем виде решение этой системы получить сложно, но в отдельных частных случаях это вполне обозримая работа.

Обычно с течением времени влияние начального состояния иссякает и процесс входит в стационарный режим, при котором переходы из состояния в состояние продолжаются, но сами вероятности состояний стабилизируются и перестают зависеть от времени (от начального состояния), т.е. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Но при этом Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В результате система дифференциальных уравнений (4.3.2) и (4.3.3) превращается в систему однородных линейных алгебраических уравнений

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Выбрать единственное решение системы позволяет условие нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Для этого выразим все вероятности, например, через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Из первого уравнения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения С учетом этого, из второго уравнения получаем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Третье уравнение дает равенство Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Продолжая подобные действия, найдем, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда по условию нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения.

В итоге получаем, что

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Если ряд в знаменателе (4.3.4) расходится, то все Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Это означает «взрыв» численности, т.е. за конечное время произойдем бесконечно много рождений. Сходимость ряда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения является достаточным условием существования ненулевых вероятностей Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Для сходимости ряда по признаку Даламбера требуется, чтобы

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

т.е. начиная с некоторого номера n интенсивность гибели должна превосходить интенсивность рождений.

Пример 4.23.

Система состоит из основного блока, одного блока в «горячем» резерве (т.е. работающего одновременно с основным) и одного блока в «холодном» резерве (т.е. этот резервный блок не работает). Длительность безотказной работы работающего блока распределена по показательному закону с параметром Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Вышедший из строя блок практически мгновенно заменяется блоком из холодного резерва, а вышедший из строя блок незамедлительно начинают ремонтировать. Время ремонта распределено по показательному закону с параметром n. Система прекращает свою работу, как только остается всего один работоспособный элемент. Требуется найти вероятность того, что система выйдет из строя до момента времени t.

Решение. 1. Состояния системы будем различать по числу вышедших из строя блоков. Обозначим через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – состояние, в котором Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения блоков вышли из строя. Тогда граф состояний системы имеет вид, изображенный на рис. 4.3.2. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Происходит переход Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения если один из двух работающих блоков выходит из строя. Интенсивность таких переходов равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения При окончании ремонта происходит переход Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения с интенсивностью n. Состояние E2 является «поглощающим» – если система попала в него, то она это состояние не покинет.

2. Обозначим через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Нас интересует  – вероятность того, что в момент времени t система уже вышла из строя. Выход из строя можно считать «рождением» неполадки, а ее устранение – «гибелью». Система уравнений гибели и размножения (4.3.2) и (4.3.3) в нашем случае имеет вид:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Любое из уравнений системы можно заменить условием нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пусть система начинает свою работу из состояния E1, т.е. имеет начальные условия:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

3. Перейдем в системе (4.3.5) к преобразованиям Лапласа:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

или

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Решение системы (4.3.6), например, по формулам Крамера дает:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Остается найти обратное преобразование от Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Например, при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения выражение (4.3.7) принимает вид

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

(Здесь мы пользуемся методом неопределенных коэффициентов для разложения на простые дроби). Имея две равные дроби с равными знаменателями, приравниваем числители этих дробей

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Приравнивая в правой и левой частях равенства коэффициенты при равных степенях Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В итоге имеемСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Обращение преобразования Лапласа дает искомую вероятность

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

ОтветСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.24.

На контактном многоканальном телефоне фирмы работает четыре оператора. Каждый свободный оператор независимо от других на интервале времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения может с вероятностью Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения начать отвечать на звонок. Оператор, отвечающий на звонок, с вероятностью Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения на интервале времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения может завершить ответ и освободиться. Требуется найти предельные вероятности того, что будут заняты k операторов.

Решение. Состояния контактного телефона будем различать по числу занятых операторов. Пусть Ek – означает, что заняты k из них. Тогда граф состояний имеет вид, изображенный на рис. 4.3.3.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Составим уравнения для вероятностей Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Сопоставим значения этих вероятностей в моменты времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Перенос слагаемого Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в левую часть, деление правой и левой частей равенства на Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, предельный переход при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения приводят к дифференциальному уравнению

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

На контактном телефоне в момент времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения будет занят один оператор, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения если в момент t все операторы были свободны, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и за время Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения один из операторов включился в работу, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения или в момент t был занят только один оператор, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и за время Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения переходов не было, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения или в момент t были заняты два оператора, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и за время Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения один из операторов освободился Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Символическая запись этой фразы имеет вид

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Перенесем из правой части в левую Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и разделим каждое слагаемое в равенстве на Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получаем дифференциальное уравнениеСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично выводятся уравнения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

С течением времени вероятности состояний стабилизируются и перестают зависеть от времени (от начального состояния), т.е. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Но при этом Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В результате система дифференциальных уравнений превращается в систему однородных линейных алгебраических уравнений Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Выбрать единственное решение системы позволяет условие нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Для этого выразим все вероятности, например, через Р0. Из первого уравнения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения С учетом этого, из второго уравнения получаем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Третье уравнение дает равенство Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Продолжая подобные действия, найдем, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда по условию нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Обозначим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Откуда

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.25.

Система массового обслуживания состоит из двух обслуживающих устройств. В систему поступает простейший поток требований на обслуживание интенсивности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Времена обслуживания требований независимы и имеют показательный закон распределения с параметром Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – интенсивность обслуживания). Требование, заставшее все устройства занятыми, может встать в очередь или покинуть систему. Вероятность присоединения к очереди пропорциональна числу обслуживающих устройств и обратно пропорциональна числу требований в системе плюс один. Это означает, что интенсивность перехода Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Требуется найти стационарные вероятности числа требований в системе.

Решение. Обозначим через Ek – состояние системы, когда в ней находятся k требований. Если в системе находится Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения требований (два требования обслуживаются и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения ожидают в очереди), то вероятность присоединения к очереди по условию задачи равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Это означает, что интенсивность перехода Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Граф состояний системы изображен на рис. 4.3.4

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Составим систему уравнений гибели и размножения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Для стационарного режима Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получаем систему однородных линейных алгебраических уравненийСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Эту систему естественно дополнить условием нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Из первого уравнения получаем, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Подставляя этот результат во второе уравнение, находим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Из третьего уравнения, с учетом полученных для P1 и Р2 выражений, имеем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Продолжая действовать подобным образом, получим   Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Обозначим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Воспользуемся условием нормировки:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

откуда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения или Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В итоге

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения т.е. стационарное распределение оказалось распределением Пуассона. Используя найденные стационарные вероятности можно вычислить разные характеристики системы. Например, при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения вычислим среднее число занятых обслуживающих устройств. Поскольку Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то математическое ожидание числа занятых приборов равноСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность того, что требование поступит на обслуживание без ожидания в очереди, равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Вероятность наличия очереди в системе равна

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.26.

Система массового обслуживания состоит из одного обслуживающего прибора и одного прибора в холодном резерве. Интенсивность выхода из строя работающего прибора равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения При выходе из строя работающего прибора его практически мгновенно заменяют резервным, а вышедший из строя прибор начинают ремонтировать. Вышедшие из строя приборы ремонтируются с интенсивностью n в порядке очереди. После отказа устройства ремонт продолжается с прежней интенсивностью. При наличии в системе годного к работе прибора система возобновляет свою работу.

Требуется найти долю времени простоя системы из-за выхода из строя приборов. Найти наработку на отказ, т.е. среднее время работы системы между пребываниями в отказных состояниях.

Решение. Состояния системы будем различать по числу вышедших из строя приборов. Обозначим через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения состояние системы, в котором Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения элементов системы находятся в нерабочем состоянии. Тогда состояние E2 можно назвать отказным состоянием, поскольку оба элемента вышли из строя. Граф состояний системы изображен на рис. 4.3.5.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если считать выход из строя прибора рождением неполадки, а завершение ремонта ее гибелью, то система уравнений гибели и размножения по формулам (4.3.2), (4.3.3) для нашего случая принимает вид

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Это система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Любое уравнение системы можно заменить условием нормировки:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

С учетом того, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и при этом Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения для стационарных вероятностей состояний получаем систему однородных линейных алгебраических уравнений

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Эта система имеет бесконечно много решений. Для выбора приемлемого для нас решения одно из уравнений, например, второе заменим условием нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Из первого уравнения имеем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения а из третьего уравнения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда по условию нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения откуда

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Стационарную вероятность P2 можно понимать как долю времени, в течение которой система находится в нерабочем состоянии (оба прибора вышли из строя).

Для вычисления наработки на отказ сделаем состояние E2 поглощающим, т.е. исключим переход Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда граф состояний будет иметь вид, изображенный на рис. 4.3.6.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Этому графу состояний соответствует система уравнений

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Зададим начальное состояние. Пусть, например, Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Обозначим через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения преобразование Лапласа от Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и запишем систему (4.3.9) в преобразованиях Лапласа:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

или

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Найдем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения например, по правилу Крамера. Вычислим определитель системы (4.3.10):

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Обозначим через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – вероятность безотказной работы системы до момента t, а через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – ее преобразование Лапласа. Тогда

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения где T – время достижения отказного состояния, т.е. время безотказной работы системы.

Последний вывод основан на следующих соображениях. Пусть X – неотрицательная случайная величина с функцией распределения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Интегрируя по частям, вычислим

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В нашем случае Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Первое слагаемое равно наработке на отказ за счет холодного резервирования, второе слагаемое возникло за счет ремонта.

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим систему массового обслуживания, в которую поступает простейший поток требований интенсивности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Время обслуживания распределено показательно с параметром Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Каждое требование при поступлении в систему начинает обслуживаться немедленно, если есть хотя бы один свободный прибор. Если требование застает все n приборов обслуживания занятыми, то оно получает отказ и теряется. Такую систему называют системой с потерями. Примером такой системы может служить телефонный узел.

Замечание. Пусть время обслуживания имеет показательное распределение с функцией распределения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и пусть обслуживание уже продолжалось время Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Из характеристического свойства показательного распределения следует, что оставшаяся часть времени обслуживания имеет то же самое распределение. Поэтому вероятность того, что обслуживание завершится за последующее время Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равна 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Под состоянием Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения можно полагать то состояние системы, при котором в ней находится (обслуживается) k требований. Тогда система может находиться только в состояниях Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Вероятность перехода из состояния Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Если в системе находится k требований, то интенсивность обслуживания равна kn и вероятность перехода из Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения за малое время Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Мы имеем дело с процессом гибели и размножения, для которого Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Если ввести обозначение Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то формула (4.3.4) дает вероятности состояний системы при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Формулы (4.3.11) называют формулами Эрланга, который их впервые вывел в 1917 г. В последующем оказалось, что для систем с потерями формулы Эрланга сохраняют свою структуру при любом распределении длительности обслуживания, лишь бы среднее время обслуживания равнялось Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения формула (4.3.11) дает вероятность того, что все приборы заняты обслуживанием и, следовательно, поступившее в такой момент требование получит отказ. Поэтому вероятность потери требования равна

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.27.

В систему массового обслуживания, состоящую из четырех каналов обслуживания, поступает простейший поток требований интенсивности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Времена обслуживания требований независимы и каждое имеет распределение с функцией плотности вероятности

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Требование, заставшее все каналы обслуживания занятыми, теряется. Необходимо найти вероятность потери требования и среднее число занятых обслуживанием каналов.

Решение. Пусть V – время обслуживания требования. Вычислим среднее время обслуживания

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В формулах Эрланга Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Заменяя Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения на Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получаем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения По формуле (4.3.11) имеем:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Вероятность застать все каналы занятыми равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Это и есть вероятность потери требования.

Среднее число занятых каналов равно

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

ОтветСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.28.

На многоканальный контактный телефон фирмы поступает простейший поток звонков интенсивности пять звонков в час. Время разговора с каждым клиентом в среднем занимает 10 минут. Звонки, заставшие все каналы занятыми, теряются. Сколько должно быть каналов для того, чтобы терялось не более 10% звонков?

Решение. Формулы Эрланга сохраняют свою структуру при любом распределении времени обслуживания и зависят только от среднего значения длительности обслуживания. В нашем случае Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения среднее время обслуживания равно 1/6 ч. Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Явно решить неравенство Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

даже при известном значении Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, едва ли возможно. Поэтому естественно найти n простым перебором его значений. Начнем с n=2. По формуле (4.3.12) при n=2

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

По той же формуле при n=3

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Вычисления показали, что при двух каналах теряется около 16% звонков, а уже при трех каналах потери составят около 5% звонков.

Ответ. Достаточно трех каналов.

Метод фаз Эрланга

Случайная величина X имеет распределение Эрланга порядка k с параметром Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, если ее функция плотности вероятности имеет вид Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

На рис. 4.4.1 приведены графики распределения Эрланга при значении параметра Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и разных значениях k.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При k=1 получается плотность показательного распределения.

Метод фаз Эрланга применяется тогда, когда наряду с показательными распределениями в стохастической системе встречаются распределения Эрланга.

Математическое описание такой системы возможно с помощью Марковского процесса. Эта возможность основана на том, что случайную величину, имеющую распределение Эрланга порядка k с параметром Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, можно представить в виде суммы k независимых показательно распределенных случайных величин с параметром Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Например, длительность обслуживания, имеющую распределение Эрланга порядка k, можно считать состоящей из k независимых «фаз», каждая из которых имеет одно и то же показательное распределение.

Оказывается, что многие функции распределения допускают хорошую аппроксимацию с помощью линейной комбинации функций распределения Эрланга.

Пример 4.29 (система Энгсета с потерями)

Система обслуживания состоит из одного прибора. Из n независимых источников поступают требования. Время обслуживания любого требования имеет распределение Эрланга 3-го порядка с параметром Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Из каждого источника поступает на обслуживание простейший поток заявок, интенсивности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Интервалы между приходами требований из данного источника назовем паузами. Если требование застает прибор свободным, то начинает сразу обслуживаться. Пока происходит это обслуживание, из данного источника новых требований не поступает. После завершения обслуживания начинается отсчет новой паузы на данном источнике. Требуется найти долю времени, в течение которой прибор будет занят.

Решение. Выделим состояния системы: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – прибор свободен; Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – прибор занят Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения-й фазой обслуживания. Граф состояний системы изображен на рис. 4.4.2.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Для вероятностей состояний системы в момент времени t можно составить систему уравнений:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Тогда для стационарных вероятностей Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получаем систему

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

из которой Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Из условия нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Вероятность того, что система занята равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

ОтветСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Марковские процессы с дискретным множеством состояний

Цепи Маркова:

Случайным процессом Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения называется семейство случайных величин X(t), зависящих от параметра t, который пробегает некоторое множество значений T. Предполагается, что все эти случайные величины определены на одном и том же вероятностном пространстве Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и принимают действительные значения. Множество значений будем называть пространством состояний, а под параметром t будем понимать время. Так что величина X(t) указывает состояние системы в момент времени t. Множество значений t может быть дискретным Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения или непрерывным Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Иногда вместо X(t) будем использовать обозначение Xt .

Определение. Случайный процесс Xt называется марковским, если для любого момента времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения развитие процесса в последующие моменты времени (при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения) зависит только от состояния процесса в момент времени t0 и не зависит от того, когда и как процесс пришел в это состояние.

Пусть некоторый физический объект в каждый момент времени может находиться в одном из своих возможных состояний, число которых конечно или счетное. В этом случае иногда говорят о дискретном множестве состояний. Состояния могут быть качественными и описываться словами, или количественными и характеризоваться некоторыми числами. Представление о множестве состояний и о структуре переходов из состояния в состояние дает схема, которая называется графом состояний. Будем стрелками обозначать возможные переходы, а через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – возможные состояния.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Например, в графе состояний (рис. 4.5.1) E0 означает, что устройство новое и не включено в работу, E1 – устройство работает, E2 – устройство неисправно, E3 – происходит поиск причин неисправности, E4 – производится ремонт, E5 – устройство признано не подлежащим ремонту и утилизировано. Если ремонт удался, то происходит переход в состояние E1.

Взаимное расположение состояний в графе позволяет их классифицировать следующим образом:

  1. Состояние называется источником, если объект может выйти их него, но попасть вновь в него не может (в приведенном примере состояние E0).
  2. Состояние называется поглощающим (или концевым), если в него можно войти, но из него выйти нельзя (в приведенном примере состояние E5).
  3. Состояние Ei называется соседним к состоянию Ej , если возможен непосредственный переход из состояния Ej в состояние Ei . В приведенном примере E3 соседнее состояние по отношению к E2, но E2 не соседнее состояние по отношению к E3.
  4. Подмножество состояний называется эргодическим (или связным), если из каждого состояния этого подмножества можно попасть в любое другое состояние этого подмножества.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Например, в графе (см. рис. 4.5.2)два эргодических подмножества состояний: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайный процесс изменения состояний объекта можно понимать как процесс блуждания по множеству состояний графа.

С точки зрения описания объекта первостепенный интерес представляют вероятности состояний этого объекта. Обозначим через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – вероятность того, что в момент времени t объект находится в состоянии Ei . Очевидно, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Часто интерес представляет лишь установившийся режим работы (или стационарный режим), в который объект входит после достаточно долгого времени работы. При стационарном режиме процесс перехода из состояния в состояние продолжается, но вероятности состояний не изменяются. Обозначим эти вероятности через Pi . Так что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Величину Pi можно понимать как среднюю долю времени, в течение которой объект находится в состоянии Ei. В общем случае Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения зависят от всей предыстории переходов из состояния в состояние до момента времени t. Это чрезвычайно усложняет математическую модель такого процесса. В математическом плане наиболее просты марковские процессы, не обладающие «памятью» о прошлом.

Еще раз повторим, что случайный процесс с дискретным множеством состояний называется марковским, если для любого момента времени t0 вероятность каждого из его состояний в будущем (при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения) зависит только от его состояния в настоящий момент и не зависит от того, когда и как процесс пришел в это состояние.

Если переходы из состояния в состояние могут происходить только в определенные моменты времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то процесс называют цепью Маркова. Моменты переходов из состояния в состояние называют шагами процесса. Наглядным примером марковской цепи могут служить детские игры, в которых продвижение фишки зависит от выпадения той или иной грани игрального кубика.

Важными характеристиками марковской цепи являются условные вероятности перехода системы на k-м шаге в состояние Ej, если на предыдущем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения-м шаге она была в состоянии Ei. Обозначим эти вероятности через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и назовем их переходными вероятностями. Вероятность Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения можно понимать, как вероятность сохранить свое состояние Ei на k-м шаге. Переходные вероятности удобно записывать в виде прямоугольной таблицы (квадратной матрицы):

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Эту матрицу называют матрицей переходных вероятностей или просто переходной матрицей. Так как на каждом шаге система находиться в одном из своих возможных состояний, то для любой строки матрицы сумма ее элементов равна единице. Матрицы, обладающие этим свойством, называют стохастическими.

Для однозначного в вероятностном смысле описания процесса переходов из состояния в состояние нужно, помимо переходных матриц, указать начальное распределение состояний, т.е. вероятности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Обычно процесс начинается из определенного состояния Ei . Тогда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения а Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Цепь Маркова называется однородной, если переходные вероятности не меняются от шага к шагу, т.е. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и мы имеем одну и ту же матрицу перехода Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения на каждом шаге.

Заметим, что каждому графу состояний для однородной цепи соответствует определенная переходная матрица.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Графу состояний (рис. 4.5.3) соответствует переходная матрица

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (это вероятности сохранить свое состояние на очередном шаге).

Пусть задано распределение состояний в начальный момент времени: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения По формуле полной вероятности получаем распределение состояний после первого шага:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Используя полученные вероятности, можно по формуле полной вероятности вычислить вероятности состояний на втором шаге: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Продолжение этих рассуждений приводит к рекуррентному соотношению Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При определенных условиях цепи Маркова входят в стационарный режим, при котором переходы из состояния в состояние продолжаются, но вероятности переходов не изменяются и не зависят от номера шага. Эти вероятности называют финальными или предельными. Будем обозначать финальные вероятности через

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Условия существования финальных вероятностей:

  1. множество всех состояний должно быть эргодическим;
  2. цепь должна быть однородной (во всяком случае переходные вероятности должны удовлетворять условию: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
  3. должно быть хорошее перемешивание состояний (не должно быть периодических циклов). 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Например, для цепи с графом состояний условие 3) не выполняется, так как при начале из состояния Е1 на нечетном шаге цепь будет находиться в состоянии Е2, а на четном — в состоянии Е1.

Если для однородной цепи финальное распределение существует, тоСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

и равенства (4.5.1) имеют вид

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Иногда в этой записи выделяют слагаемые в правой части с Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

или

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Для определения финальных вероятностей нужно решить систему линейных однородных уравнений (4.5.2). Такая система всегда совместна, (имеет тривиальное решение Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при всех i). Если же есть нетривиальные решения, то их бесконечно много. Для выбора необходимого единственного решения следует добавить условие нормировки

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Это равенство можно добавить вместо одного из уравнений системы (4.5.2). Итак, для нахождения финальных вероятностей состояний марковской цепи нужно решить систему уравнений

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.30.

Граф состояний марковской цепи изображен на рис. 4.5.4. При начальном распределении Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения найти наименее вероятное состояние на третьем шаге. Найти финальные вероятности состояний цепи.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Переходная матрица этой цепи имеет вид

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Найдем вероятности состояний цепи на первом шаге. Воспользуемся формулой (4.5.1), но учтем, что переходные вероятности нам каждом шаге одинаковы (цепь однородная) и поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

На втором шаге имеем вероятности состояний:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Для третьего шага получаем вероятности:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Можно, повторяя вывод уравнений (4.5.1), для определения финальных вероятностей записать систему равенств

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Но проще составить систему (4.5.3):

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Решая систему, например, по правилу Крамера, получим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Эти результаты означают, что примерно 20% времени цепь проведет в состоянии Е1, 10% времени – состоянии Е2, 70% времени – в состоянии Е3.

Ответ. Е2 – наименее вероятное состояние на третьем шаге;Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.31.

В городе N каждый житель имел одну из профессий A, B или C. Дети в следующем поколении сохраняли профессию отцов с вероятностями соответственно 0,6, 0,2 и 0,4 и с равными вероятностями выбирали любую из двух других профессий. Если в данный момент профессию A имеет 20% жителей города, профессию B – 30%, а профессию C – 50% жителей, то

1) каково распределение по профессиям будет в следующем поколении;

2) каким будет распределение по профессиям через много поколений (финальное распределение)?

Решение. Смену поколений будем считать шагом Марковской цепи. Имеем начальное распределение (на нулевом шаге): Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияПереходная матрица имеет вид:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В соответствии с формулами (4.5.1) получаем распределение вероятностей на первом шаге (в первом поколении): Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Для вычисления финальных вероятностей составляем систему уравнений (4.5.2)Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Эта система уравнений при условии нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения имеет решениеСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.32.

Устройство состоит из двух блоков (например, двигатель и ходовая часть). Пусть A означает безотказную работу первого блока, B – безотказную работу второго блока. По истечении каждой единицы времени проверяется состояние этих блоков, и в случае неисправности производится их ремонт. Вероятность безотказной работы блоков в течение единицы времени равны соответственно 0,9 и 0,8. Если неисправность блока обнаружена, то вероятность отремонтировать блок в течение единицы времени равна соответственно 0,3 и 0,4. Найти предельные вероятности для состояний устройства: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. В сформулированном примере по умолчанию предполагается, что распределение времени безотказной работы и распределение времени ремонта каждого блока не имеют «памяти» о прошлом. Единственным распределением такого сорта является показательное распределение. Если, например, время ремонта распределено по показательному закону и ремонт уже продолжается некоторое время, то оставшаяся часть времени ремонта имеет то же самое распределение, что и в начале ремонта.

Решение. Поскольку состояния блоков наблюдаются в конце каждой единицы времени, то моменты наблюдения можно считать шагами однородной марковской цепи. Учитывая независимость времени безотказной работы и времени ремонта узлов, определим переходные вероятности:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В итоге переходная матрица имеет видСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Составим систему уравнений для определения финальных вероятностей:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Это система линейных однородных уравнений, она имеет бесконечно много решений. Для получения единственного нужного нам решения вместо любого из уравнений запишем условие нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Решая систему, например, по формулам Крамера получим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.33.

В зоне обслуживания бригады ремонтников находится три прибора, работающих в автоматическом режиме. В конце каждого месяца ремонтники проводят профилактический осмотр приборов и, в случае обнаружения неисправных, забирают их для ремонта или замены на новые. Отремонтированный (или новый) прибор возвращают на место при очередном профилактическом осмотре, т.е. через месяц. Вероятность выхода из строя в течение месяца работающего прибора равна 1/3. Требуется найти стационарное распределение вероятностей числа исправных приборов в начале каждого месяца.

Решение. Рассмотрим марковскую цепь, состояния которой будем различать по числу работоспособных приборов. Пусть Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – означает, что работоспособны Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения приборы. Всего имеется четыре возможных состояния: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Составим переходную матрицу этой цепи. Если на данном шаге цепь находится в состоянии E0, то на очередном шаге будут доставлены три работоспособных прибора и цепь с вероятностью 1 перейдет в состояние E3. Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если на данном шаге цепи имеется только один работоспособный прибор, то следующем шаге будет поставлено два новых прибора и вероятность перехода Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равна вероятности того, что имеющийся в наличии прибор сохранит свою работоспособность, т.е. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Вероятность же перехода Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равна вероятности выхода из строя имеющегося прибора, т.е. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При наличии на данном шаге двух годных приборов в соответствии с формулой Бернулли, имеем переходные вероятности:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Наконец, при трех годных приборах на данном шагеСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Запишем переходную матрицу:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Этой переходной матрице соответствует система уравнений (4.5.2) для вычисления стационарных вероятностей: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Решая эту систему уравнений, с учетом условия нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получаем

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным множеством состояний

Пусть переходы процесса из состояния в состояние происходят под воздействием каких-то потоков событий (поток отказов, восстановлений и т.д.). Будем считать, что переход процесса из состояния Еi в состояние Ej происходит под воздействием пуассоновского потока событий интенсивности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, т.е. как только первое событие потока произошло, тотчас произошел и переход Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В этих условиях вероятность перехода из состояния Еi в состояние Ej за малый промежуток времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Если все потоки событий, переводящих процесс из состояния в состояние, пуассоновские, то процесс переходов будет марковским.

Суммарный поток событий, выводящих процесс из состояния Еi, тоже будет пуассоновским с интенсивностью Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда вероятность покинуть состояние Еi за малый промежуток времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

а вероятность сохранить состояние Еi за малый промежуток времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Выведем уравнения для вероятностей состояний процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В момент Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения процесс будет находиться в состоянии Еi (вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения), если в момент t он находился в состоянии Еi (вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения) и в течении времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения оставался в этом состоянии (вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения  Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения), или процесс в момент времени t находился в любом другом состоянии (с вероятностью Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения) и за время Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения перешел в состояние Еi (вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения). Символическая запись этой длинной фразы имеет видСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если перегруппировать слагаемые, разделить равенство на Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, то при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получим систему уравнений

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Это система уравнений Колмогорова А.Н. Для решения системы нужно задать начальные условия, а вместо одного из уравнений можно использовать условие нормировки

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.34.

На рис. 4.6.1 дан граф состояний некоторого объекта. Интенсивности переходов из состояния в состояние указаны на этом же рисунке. Записать систему уравнений для вероятностей состояний объекта. При постоянных Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения найти предельные (финитные) вероятности его состояний.Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Система уравнений Колмогорова (4.6.1) в рассматриваемом случае имеет видСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Вместо одного из уравнений (например, вместо второго) можно воспользоваться условием нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то существуют стационарные вероятности, для которых все Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и система уравнений принимает видСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Эта система имеет решение

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.35.

В некотором механизме могут происходить отказы двух типов. Пусть вероятность отказа первого типа в интервале времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения а вероятность отказа второго типа в том же интервале равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В состоянии отказа производится ремонт, длительность которого имеет экспоненциальное распределение с параметром, зависящим от типа отказа. Пусть Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – значения этих параметров. Требуется найти долю времени, в течение которой механизм будет работать безотказно.

Решение. Обозначим через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – рабочее состояние механизма, через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияго отказа. Тогда граф состояний механизма имеет вид, изображенный на рис. 4.6.3.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Система уравнений (4.6.1) для этого случая имеет видСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Условия существования стационарных вероятностей марковского процесса выполнены. Поэтому при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения вероятности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – постоянные величины, а Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Для стационарных вероятностей получаем систему

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Из второго и третьего уравнений находим соответственно Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Вместо первого уравнения используем условие нормировки:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Откуда

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ.  Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Модели управления запасами

В этом разделе мы рассмотрим простейшие математические модели функционирования систем, которые можно назвать хранилищем или складом. На рис. 4.7.1 изображена общая схема такой системы.Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

И поступление продукции и ее расход могут быть случайными и во времени и по объему.

Простым примером может служить водохранилище, уровень воды в котором зависит от притока (определяемого случайно выпадающими осадками) и расхода воды на разные нужды.

Представляют, например, интерес:

  • 1) стационарное распределение запаса и условия его существования;
  • 2) оптимальная политика пополнения и расхода запаса;
  • 3) распределение периода нулевого уровня и т.д.

Для определенности будем говорить о модели водохранилища. Рассмотрим простейшую модель с дискретным временем, в которой уровень рассматривается в моменты Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (например, каждый день утром в определенный час).

1. Приток. Пусть Xk – количество воды, поступившее в водохранилище за единицу времени (год, сутки, час и т.д.) от k до (k +1) моментов. Величины Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения полагаем независимыми и одинаково распределенными.

2. Сток. Пусть объем водохранилища равен K. Обозначим через Zn размер запаса в момент Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения т.е. количество воды перед поступлением в хранилище Xn. Если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения , то водохранилище переполняется и избыток Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения теряется. Поэтому в водохранилище запас будет равен Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

3. Правило расхода воды. В момент времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения из водохранилища выпускают количество воды, равное Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения если  Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Если же Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то расходуют весь имеющийся запас Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Так что величина расхода равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Из этих допущений можно сделать вывод, что размер запаса удовлетворяет рекуррентному соотношению:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Последовательность Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения образует однородную цепь Маркова.

Упростим задачу еще, полагая приток дискретным. Пусть Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В этом случае цепь Маркова имеет конечное число состояний Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Обозначим вероятности переходов из начального состояния за n шагов черезСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Найдем стационарное распределение размера запаса. Для простоты будем считать, что количество воды, расходуемой в момент Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равно Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Обозначим производящую функцию распределения вероятностей Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения через

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Тогда средний приток в единицу времени равен

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Матрица переходных вероятностей для цепи Маркова Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения имеет вид:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если все Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то цепь неприводимая и непериодическая. Поэтому существует стационарное распределение вероятностей Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

которые являются единственным решением уравненийСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

при условии, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Для этих вероятностей имеет место следующая теорема.

Теорема Морана (Moran P.). 1. Если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – стационарное распределение запаса воды в хранилище емкости K, то отношения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

не зависят от K.

2. Значения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения можно найти как коэффициенты при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в разложении по степеням функции

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. Для доказательства первой части теоремы достаточно записать уравнения для финальных вероятностейСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Решая последовательно эти уравнения, получим из первого уравнения:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Из второго уравнения получим:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Продолжение этого процесса завершает доказательство первой части. Для доказательства второй части рассмотрим функцию Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и покажем, что при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения она разлагается в ряд по степеням z, коэффициенты которого совпадают с (4.7.4). Для этого преобразуем функцию Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Можно показать, что

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В самом деле,

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Здесь величина Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равна среднему притоку.

Итак, Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения представляет из себя сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения который тоже разложим по степеням z. Разложим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в степенной ряд:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Коэффициенты Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения определяются из равенстваСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

если приравнять коэффициенты при одинаковых степенях z в его правой и левой частях. Величины этих коэффициентов совпадают с их значениями по формулам (4.7.4). Этим и завершается доказательство теоремы.

Пример 4.36.

Пусть в хранилище объема K поступление запаса имеет распределение

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При переполнении хранилища излишки теряются. Каждую единицу времени из хранилища потребляют единицу запаса. Требуется найти вероятность того, что к моменту очередного расхода запаса хранилище окажется пустым.

Решение. Воспользуемся теоремой Морана. Для этого сначала найдем производящую функцию для распределения случайной величины X.

Имеем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения можно считать суммой бесконечной убывающей прогрессии. Поэтому

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Из этой записи следует, что

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Эти коэффициенты можно преобразовать к виду: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Тогда в соответствии с формулами (4.7.2) имеем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если объем хранилища неограничен, то из условия нормировки:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если же объем хранилища равен К, то согласно теореме Морана соотношения (4.7.6) остаются в силе, но условие нормировки имеет вид Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – вероятность того, что к моменту очередного расхода запаса хранилище окажется пустым, Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.37.

Хранилище имеет емкость шести единиц хранения (например, шесть контейнеров, шесть вагонов и т.д.). В течение каждого дня в хранилище поступает случайное количество продукции X. Величины X независимы и одинаково распределены:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При заполнении хранилища избыток поступившей продукции теряется. В конце каждого дня из хранилища отпускается потребителю две единицы продукции (или весь запас, если он меньше двух).

Для стационарного режима требуется найти: вероятность того, что поставляемая продукция будет полностью (без потерь) принята на хранение; вероятность того, что отпуск продукции будет производиться в полном объеме.

Решение. Будем рассматривать состояния хранилища мгновение спустя после очередной отгрузки. Тогда возможных состояний будет пять: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения где номер состояния соответствует числу находящихся на хранении единиц продукции.

В нашем примере Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Составим переходную матрицу:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В соответствии с переходной матрицей запишем систему уравнений (4.7.1) для вычисления стационарных вероятностей:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Вместо любого из уравнений можно взять условие нормировкиСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Итак, имеем систему уравненийСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Структура уравнений системы такова, что позволяет легко выразить все неизвестные величины через одну из них. Например, из последнего уравнения имеем

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Подставляя найденное выражение для u3 в предыдущее уравнение, получаем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

С учетом (4.7.7) и (4.7.8) из третьего уравнения находим, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Из первого уравнения и соотношений (4.7.7) – (4.7.9) следует, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Воспользуемся теперь условием нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

откуда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Подставляя найденное значение u4 в равенства (4.7.7) – (4.7.10), получаем

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поставляемая продукция будет полностью (без потерь) принята на хранение, если в хранилище, после очередной отгрузки, останется не более трех единиц продукции (вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения), или в хранилище останется четыре единицы продукции, но до очередной отгрузки поступит не более двух единиц продукции (вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения). Поэтому вероятность полного приема продукции равнаСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Математическое ожидание количества теряемой продукции при каждом ее поступлении равно

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения ед. прод.

Вероятность того, что отпуск продукции будет производиться в полном объеме (в количестве двух единиц), равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В среднем поступает столько, сколько должно тратиться за день. Но за счет неравномерности поступления продукции в хранилище возникают и неполные поставки и потери продукции из-за переполнения склада.

Ответ. 0, 906; 0,962.

Пример 4.38.

Хранилище имеет емкость пять единиц хранения. В течение каждого дня в хранилище поступает случайное количество X единиц продукции. Величины X независимы и имеют одинаковое распределениеСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При заполнении хранилища избыток поступившей продукции теряется. В конце каждого дня из хранилища отпускается потребителю случайное число Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения единиц продукции (или весь запас, если он не превосходит Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения). Известно, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения а Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Для стационарного режима найдите: вероятность того, что поставляемая продукция будет полностью (без потерь) принята на хранение; вероятность того, что отпуск продукции будет производиться в полном объеме.

Решение. Если рассматривать состояние хранилища в моменты сразу после очередной отгрузки продукции, то имеется пять возможных состояний: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения где номер состояния соответствует числу находящихся на хранении единиц продукции. Состояния хранилища в моменты после очередной отгрузки образуют цепь Маркова. Найдем ее переходные вероятности.

Переход Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения произойдет, если в пустое хранилище поступит одна единица продукции и она достоверно будет отгружена, или поступят две единицы продукции и обе будут отгружены. Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Переходы Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения происходят, если в хранилище поступает на единицу продукции больше, чем затем отгружается. Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Переходы Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения происходят, если поступает одна единица хранения, а отгружаются две. Вероятность этого Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Хранилище сохранит свое состояние E2 или E3, если поступит столько единиц хранения, сколько и будет отгружено. Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Переходы Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения происходят, если поступит три единицы хранения, а будет отгружена только одна. Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Для перехода Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения необходимо, чтобы поступила одна единица хранения и она была отгружена или поступили две или три единицы хранения и были отгружены две. Вероятность этого Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Переход Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения произойдет, если в хранилище поступит две или три единицы продукции, а будет отгружена только одна, вероятность чего равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если в хранилище четыре единицы продукции, то при любом поступлении новой продукции хранилище будет заполнено целиком. Тогда для перехода Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениянеобходима отгрузка двух единиц продукции. Вероятность этого Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Хранилище сохранит свое состояние E4, если при поступлении любого количества единиц хранения (хранилище тогда будет заполнено) будет отгружена одна единица хранения. Вероятность этого Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Итак, переходная матрица имеет вид:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В соответствии с переходной матрицей запишем систему уравнений (4.7.1) для вычисления стационарных вероятностей:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Это система линейных однородных уравнений. Вместо любого из уравнений можно взять условие нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда получится система линейных неоднородных уравнений. Решая эту систему любым способом (по формулам Крамера, по методу Гаусса и т.д.) получим, чтоСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность потери поступающей продукции из-за переполнения склада равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения т.е. потери составят около 7%. Вероятность полного приема на хранение равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность отгрузки в требуемом объеме равнаСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ.  0,9275; 0,9153.

Полумарковские процессы

Случайный процесс конечным числом состояний называется полумарковским процессом (ПМП), если время пребывания процесса в каждом из состояний случайно и зависит только от этого состояния и от того, в какое состояние затем перейдет процесс.

Пусть Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – возможные состояния процесса. Чтобы задать ПМП необходимо указать:

  1. матрицу вероятностей переходов Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
  2. матрицу функций распределения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – функция распределения времени пребывания процесса в состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при условии, что следующим состоянием будет Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
  3. начальное распределение Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (например, Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – это означает, что процесс начинается из состояния Е1).

Заметим, что марковский процесс с непрерывным временем и конечным числом состояний можно считать ПМП, у которого время пребывания в каждом состоянии распределено показательно. Марковскую цепь можно рассматривать в непрерывном времени как ПМП, у которого время пребывания в каждом состоянии равно 1.

Практический интерес представляют многие характеристики ПМП:

  1. среднее время достижения состояния Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения из начального состояния;
  2. среднее число попаданий в состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения за время t;
  3. стационарные вероятности того, что процесс находится в состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения.

Рассмотрим способы вычисления некоторых характеристик процесса. Если обозначить функцию распределения времени пребывания в состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениячерез Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – среднее время пребывания в состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, а Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – математическое ожидание, соответствующее распределению Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Обозначим через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – среднее время до первого попадания из состояния Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Легко видеть, что

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

или

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Откуда в силу (4.8.1) получаем систему уравнений для определения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично можно провести рассуждения о среднем времени пребывания процесса в множестве состояний M. Обозначим через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения среднее время пребывания процесса в множестве состояний M, если это пребывание началось из состояния Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Можно показать, чтоСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В заключение приведем частичную формулировку одной из важных теорем о ПМП.

Теорема Пайка (Pyke). Стационарные вероятности пребывания процесса в состояниях Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равны Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – финитные вероятности вложенной марковской цепи, Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – среднее время пребывания в состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, а Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – стационарные вероятности состояний.

Пример 4.39.

Пусть устройство состоит из трех однотипных приборов. В момент времени t=0 начинает работу прибор №1, который спустя случайное время Т1 выходит из строя. В этот момент начинает работу прибор №2, длительность безотказной работы которого равна Т2, и начинается ремонт прибора № 1, причем время ремонта равно Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то в момент времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения начинает работу прибор №1, а прибор №2 поступает на ремонт. Если же Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то начинает работать элемент №3, а вышедшие из стоя приборы продолжают ремонтироваться в порядке очереди с той же интенсивностью, и т.д. Устройство отказывает, если все три прибора выходят из строя. Предположим, что величины Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения независимы и имеют соответственно функции распределения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Вычислим среднюю длительность безотказной работы системы (или «наработку на отказ»).

Пусть Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – количество работоспособных приборов в момент времени t. Система начинает работу при трех работоспособных приборах, поэтому при t=0 имеем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения , а в момент, когда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, устройство выходит из строя. Одна из возможных реализаций процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения изображена на рис. 4.8.1Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Процесс Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения не марковский. Вложим в этот процесс марковскую цепь, а вместе с нею и полумарковский процесс Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения следующим образом: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения а далее Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равно состоянию процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения после последнего перед t выхода из строя прибора.

Для процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в моменты переходов из состояния в состояние имеем вероятности переходовСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Остается вычислить среднюю длительность пребывания системы в множестве состояний Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при условии, что функционирование системы начинается из состояния Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, т.е. наработка на отказ равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Последнюю величину можно найти из системы уравнений, которая согласно (4.8.2) имеет вид:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

С учетом значений вероятностей переходов Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и того, что математические ожидания Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получаем

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ.  Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пример 4.40.

В одноканальную систему с потерями поступает простейший поток требований интенсивности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Времена обслуживания независимы и каждое имеет некоторое распределение Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В любой момент времени обслуживающий прибор может отказать. Если прибор свободен, то время его безотказной работы в этом состоянии имеет показательное распределение с параметром Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Время безотказной работы прибора, занятого обслуживанием, тоже имеет показательное распределение, но с параметром Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Отказавший прибор тотчас начинают ремонтировать и время восстановления имеет распределение Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. При отказе прибора обсуживаемое требование теряется, а новые требования не принимаются до окончания ремонта. Все названные величины стохастически независимы. Необходимо найти среднее время пребывания системы в отказном состоянии.

Решение. Будем различать состояние E0, в котором обслуживающий прибор исправен и свободен, состояние E1, в котором прибор обслуживает требование, состояние E2, в котором прибор неисправен и ремонтируется. Пусть Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – состояние системы в момент времени t. Процесс q t( ) является полумарковским. Назовем его характеристики.

1. Переходные вероятности:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения(того, что требование поступит в свободную систему ранее, чем прибор выйдет из строя)Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения(того, что время обслуживания меньше времени безотказной 354 работы занятого прибора) Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Итак, переходная матрица имеет вид: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Запишем уравнения для финитных вероятностей вложенной цепи:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Из первого и второго уравнений следует, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому из условия нормировки Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получаем, чтоСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

2. Вычислим теперь среднее время пребывания в каждом из состояний. Время пребывания в состоянии E0 равно минимальному из времени паузы и времени безотказной работы свободного прибора. Пусть X – время пребывания в состоянии E0, X0 – время безотказной работы в ненагруженном состоянии, а X1 – время до прихода ближайшего требования. Тогда X имеет функцию распределения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Это показательный закон распределения с параметром Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому среднее время пребывания в состоянии E0 равно Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Время пребывания в состоянии E1 равно минимуму времени обслуживания и времени выхода из строя занятого прибора. Поэтому

 Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Это равенство получается из следующих соображений. Если X – неотрицательная случайная величина с функцией распределения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения тоСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

в этом можно убедиться, взяв по частям интеграл в правой части равенства.

Пусть T – время пребывания системы в состоянии E1, V – время обслуживания, W – время безотказной работы прибора в занятом состоянии. Тогда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Так как Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения а Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Время пребывания в состоянии E3 равно времени ремонта. Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Доля времени пребывания в отказном состоянии равна стационарной вероятности состояния E2. По формуле (4.8.4) эта стационарная вероятность равна

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Задачи с решением на случайные процессы

Поток требований называется простейшим, если интервалы времени между последовательными моментами прихода требований независимы и имеют показательный закон распределения.

Заметим, что в показательном законе распределения наиболее вероятны малые значения случайной величины. Это означает, что часто будут реализовываться малые интервалы между требованиями и редко – большие. Для наблюдателя это будет выглядеть как локальные сгущения требований и локальные разряжения. Тем самым подтверждается бытующее представление о «полосе везения» и «полосе невезения». Действительно, случайные события, даже будучи независимыми, имеют свойство группироваться во времени.

Задача 5.1 (о времени ожидания).

Отметим одну особенность простейшего потока, связанную с «парадоксом времени ожидания». Предположим сначала, что к остановке с равными интервалами подходят автобусы (поток автобусов детерминированный). Пассажир в случайный момент времени приходит на остановку и ожидает ближайшего по времени автобуса. Каково среднее время ожидания пассажира?

Решение. Пусть интервал между автобусами равен t. Так как равновозможно любое значение времени ожидания Х в пределах от 0 до Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, то среднее время ожидания равно

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пусть теперь моменты прибытия автобусов на остановку образуют простейший поток интенсивности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Так как интервалы между последовательно приходящими автобусами имеют показательный закон распределения, то средний интервал между прибытиями автобусов будет равен Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Интеграл можно взять по частям. Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Плотность вероятности того, что момент прихода пассажира придется на интервал между автобусами длины Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, имеет видСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Согласно (5.1) при интервале между автобусами длиной х среднее время ожидания равно Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому среднее время ожидания в случае простейшего потока равно

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

(последний интеграл дважды берется по частям). Итак, при регулярном потоке среднее время ожидания равно половине интервала между прибытиями автобусов. При чисто случайном потоке автобусов среднее время ожидания совпадает со средним интервалом между автобусами.

Заметим, что среднее время ожидания пассажира может быть значительно больше среднего интервала между автобусами. Например, пусть автобусы приходят по расписанию, но такому, что сначала подряд с интервалами в две минуты проходят пять автобусов, а шестой приходит через 50 минут. Тогда средний интервал будет равен Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения мин.

Пассажир может с вероятностью 1/5 попасть на череду коротких интервалов между автобусами и среднее время ожидания для него будет равно 1 мин. На большой интервал можно попасть с вероятностью 5/6 и тогда среднее время ожидания будет 25 мин. Поэтому среднее время ожидания равно Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения мин. Минимальным среднее время ожидания будет при регулярном потоке автобусов при равных интервалах между ними.

Проведем рассмотрение в общем случае. Момент, начиная с которого мы начинаем наблюдать поток событий, можно считать случайной точкой Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения на оси времени t. Пусть в потоке событий интервалы между соседними событиями независимы и имеют одинаковые функции плотности вероятности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (такие потоки называют потоками Пальма).

Найдем плотность вероятности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения длины того интервала Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, на который попала случайная точка t. Понятно, что шансы точкой попасть в длинный интервал больше, чем в короткий. Поэтому сам факт попадания случайной точки t на интервал меняет его распределение. Рассмотрим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Чтобы вычислить эту вероятность, предположим, что имеем дело с большой серией из n интервалов. Среднее число интервалов, имеющих длину в пределах от Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения до Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения равно Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения а средняя длина суммы таких интервалов равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Средняя же длина всех n интервалов равна Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

При Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получается точное равенство, из которого следует: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Средняя длина интервала, в который попала точка, равнаСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Так как Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Например, для показательного закона распределения интервалов (для простейшего потока событий интенсивности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

График этой функции плотности вероятности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения изображен на рис. 5.1. Если для показательного закона распределения наиболее вероятны малые значения, то для Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения вероятности смещены в сторону больших значений.Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения соответственно функция распределения и функция плотности вероятности интервала X между моментами появления соседних событий. Предположим, что с момента появления последнего события уже прошло время t. Найдем распределения оставшейся части интервала, которую обозначим через R:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

откуда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Задача 5.2 (о наилучшем выборе)

Имеется n однородных предметов различного качества, причем заранее о предметах ничего не известно. Предметы можно выбирать наугад по одному и обследовать. Если качество предмета нас не устраивает, то выбираем очередной предмет, но к отвергнутому предмету вернуться нельзя. Какой стратегии следовать, чтобы вероятность выбрать наилучший предмет была наибольшей? (Эту задачу называют еще задачей о разборчивой невесте. К невесте последовательно сватаются n женихов. Жених, получивший отказ, повторно не сватается.)

Решение. Поскольку качество этих предметов нам неизвестно, то для начала необходимо получить представление о том, чего следует ожидать. Рассмотрим следующий порядок действий: Просмотрим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения предметов и отвергнем их, не взирая на качество. Затем остановим свой выбор на первом предмете, который окажется лучше всех ранее просмотренных.

Вычислим вероятность выбрать наилучший предмет при таком образе действий, а затем определим оптимальное значение Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения.

Обозначим через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – событие, состоящее в том, что наилучшим является Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияй предмет и при этом наилучший из первых k предметов находится среди первых Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения предметов (последнее условие гарантирует нам, что дело дойдет до выбора Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияго предмета.). Тогда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Выберем число s между 0 и 1 и пусть Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – наибольшее целое число, меньшее, чем ns. Определим при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения наилучшее значение s (наилучшее в смысле максимизации исследуемой вероятности). Заметим:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Найдем максимальное значение функции Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения По необходимому условию экстремума Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – критическая точка. В этой точке функция имеет максимум так как в этой точке Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Итак, оптимальная стратегия рекомендует просмотреть примерно треть предметов (точнее, Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения) и затем остановить свой выбор на первом предмете лучшем, чем все ранее просмотренные. Не исключено, что лучший предмет уже был просмотрен в первой трети предметов, и отвергнут. Тогда придется остановиться на последнем из предметов. Еще раз подчеркнем, что предлагаемая стратегия не гарантирует выбор наилучшего предмета, но делает его выбор наиболее вероятным.

Задача 5.3.

Вы принимаете участие в телеигре, и Вам предлагают выбрать одну из трех шкатулок, в одной из которых лежат деньги. Вы выбрали некоторую шкатулку (например, шкатулку №1). Ведущий после этого открывает одну из двух других шкатулок (например, шкатулку №3), показывает, что она пуста, и спрашивает: не желаете ли Вы изменить свое решение и выбрать шкатулку №2? Следует ли Вам менять свое решение или нет?

Решение. Будем полагать, что ведущий знает, где деньги лежат, и поэтому открывает именно пустую шкатулку. Насчет шкатулки с деньгами есть три одинаково вероятных предположения: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – деньги находятся в Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияй шкатулке, Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Событие A состоит в том, что Вы выбрали шкатулку №1, а ведущий открыл шкатулку №3. При пустой третьей шкатулке в силу симметрии Ваши шансы на выигрыш равны 1/2.

Если деньги действительно находятся в первой шкатулке, то ведущий с вероятностью 1/2 откроет именно шкатулку №3. Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если деньги находятся во второй шкатулке, то ведущий с вероятностью 1 откроет именно шкатулку №3 Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если деньги в третьей шкатулке, то вероятность выбора ведущим третьей шкатулки нулевая Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

По формулам Байеса 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если ведущий не знает где деньги лежат, то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и тогда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Итак, игроку предварительно следует осведомиться у ведущего, знает ли он где деньги лежат. При положительном ответе следует изменить свой выбор. Если ведущий не знает, в какой шкатулке деньги, то менять выбор смысла нет.

Задача 5.4.

Производитель некоторой продукции затеял рекламную акцию. Объявлено, что в каждый пакет продукта заложен один из n различных типов жетонов. Покупатель, собравший все n типов жетонов, получает дисконтную карту для длительных скидок на этот продукт. Сколько в среднем пакетов продукта придется купить, чтобы собрать полный комплект из n различных жетонов?

Решение. Понятно, что по мере накопления жетонов, шансы найти новый жетон в очередном пакете убывают. Обозначим через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – число пакетов, которые придется купить после обретения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения-го жетона, чтобы найтиСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияй жетон. Тогда общее число купленных пакетов

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

А математическое ожидание этого числа равно Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность того, что для поиска второго жетона придется вскрыть k пакетов, равна

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

(имеется в виду, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения раз попадутся пакеты с уже обретенным жетоном и k-й по счету жетон с вероятностью Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — будет содержать жетон нового типа). Соответственно

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Известно, что это геометрический закон распределения. Но для геометрического закона распределения: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения среднее значение равно

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В нашем случае для Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения вероятностьСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В итоге

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

или

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Например, при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения имеем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В заключение можно заметить, что при больших n можно воспользоваться асимптотической формулой

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Приложения

Таблица П.1

Таблица значений функции Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Таблица П.2

Таблица значений функции Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Таблица П.3

Значения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяющие равенству Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – плотность вероятности распределения Стьюдента с n–1 степенью свободы

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Таблица П.4

Значения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяющие равенству Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения – плотность распределения «хи-квадрат» с Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения степенями свободы

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Таблица П.5

Значения функции Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (распределение Пуассона)

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Определение случайных процессов

Элементы теории случайных процессов:

Пусть задано вероятностное пространство Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — пространст­во элементарных событий, F — Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения -алгебра событий, Р — вероятностная мера.
Рассмотрим функцию Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения двух аргументов, где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения элемент Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и t — свободный аргумент, обычно время.
 

Случайным процессом называется случайная величина Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, заданная на вероятностном пространстве Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Так как параметр t интерпретиру­ется как время, то если t = (0,1,2,…), то говорят что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — процесс с дис­кретным временем’, если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — процесс с непрерывным временем.
 

Пусть Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения приняло какое-то конкретное значение Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения будет функцией только аргумента t и называется реализацией случайного процесса. Другими словами, реализация — это тот вид, который принимает случайный процесс в результате какого-то конкретного опыта (рис. 13.1). В каждом опыте наблюдается своя реализация Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения случайного процесса (СП). Сово­купность реализаций Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения носит название ансамбля. Значение случайного процесса в некоторый момент времени t называется отсчетом.

Рассмотрим отсчет Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения случайного процесса x(t) в момент времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 13.1).

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если нас интересует только Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то это будет одномерная случайная величина, свойства которой полностью описываются одномерной плотностью рас­пределений Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Отметим, что в отличие от теории вероятностей Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения зависит не только от Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения но и от Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Одномерная плотность распределения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения дает некоторое представление о свойствах случайного процесса, но не полное.

Более подробное представление о случайном процессе получается, если рассматривать два отсчета Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, берущихся в моменты времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения И характеризовать их двумерной плотностью распределения: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениямерная плотность распределения запишется так:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                             (13.1)

Чем больше берется отсчетов и чем ближе они расположены друг к другу, тем подробнее описывается случайный процесс.

В пределе, когда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениямы получаем совершенно точное представление о свойствах случайного процесса, т. е. случайный процесс описывается полностью, если задать всеСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения для всех Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и всех Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Числовые характеристики случайного процесса

При экспериментальном получении случайного процесса можно сравнительно легко указать Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения трудно узнать Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения а измерить плотность распределения более высокого порядка практически невозможно. Поэтому на практике ограничиваются изучением некоторых характеристик случайного процесса, менее полных, но все же дающих представление об его основных свойствах.
 

Математическое ожидание случайного процесса (среднее по ансамблю) вводится следующим образом:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

В отличие от теории вероятностей Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения не число, а функция от времени.
Оно дает некоторую кривую, около которой группируются все реализации случайного процесса (рис. 13.2).

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Дисперсия случайного процесса (средняя по ансамблю):
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                       (13.3)

Дисперсия определяет, насколько сильно отдельные реализации могут отклоняться от математического ожидания. В отличие от теории вероятностей это также не число, а функция времени.

Функция корреляции случайного процесса (средняя по ансамблю)’.
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                    (13.4)

Эта функция является важнейшей характеристикой случайного процесса.
Функция корреляции характеризует степень зависимости между отсчетами случайного процесса, взятыми в разные моменты времени.

Наряду с Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения употребляется еще одна функция корреляции — это функ­ция корреляции флуктуаций’.
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (13.5)
 

И нормированная функция корреляцию.
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                           (13.6)

Последняя ничем по смыслу не отличается от коэффициента корреляции и определяет степень линейной зависимости отсчетов случайного процесса в моменты времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Стационарные случайные процессы

Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если для любых Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и любых целых Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения имеет место равенство
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                 (13.7)

Смысл определения в следующем.

В левой части равенства стоят отсчеты, берущиеся в моменты времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и плотность распределений Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения полностью описывает свойства случайного процесса в моменты времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В правой части равенства стоят отсчеты, берущиеся в моменты времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и соответствующая плотность распределений Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения описывает свойства случайного процесса в эти сдвинутые моменты времени. Равенство этих плотностей распределений означает, что свойства случайного процесса одинаковы как в моменты времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения , так и в моменты времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, стационарность в узком смысле означает, что все свойства, характеристики и т. п. случайного процесса не зависят от начала отсчета времени. Грубо говоря, какими свойствами обладает случайный процесс сегодня, такие же свойства он имел год тому назад и такие же свойства он будет иметь через 1000 лет. Но реально это несколько не так. Все меняется, но нас интересуют отрезки времени, малые по сравнению со временем существования самого процесса.
 

Следствия стационарности:

1. Предположим в (13.7) Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, получим

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения произвольно, то полагая Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получим:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
Поэтому

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

 Отметим, что у стационарных случайных процессов математическое ожидание, дисперсия и плотность распределения от времени не зависят Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияи D — числа, плотность распределения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — функция только от Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

 2. Полагая в (13.7) Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения = 2 и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения = получим

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
Тогда функция корреляции принимает вид

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Видим, что у стационарных случайных процессов функция корреляции зависит лишь от разности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения моментов времени, т. е. является функцией одного аргумента.
 

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия от времени не зависят, а функция корреляции зависит лишь от разности моментов времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

На рис. 13.3 показан вид стационарного случайного процесса.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Числовые характеристики случайного процесса — средние по времени

Ранее мы рассмотрели числовые характеристики случайного процесса, средние по ансамблю, общий вид которых
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (13.8)
Они называются средними по ансамблю потому, что фиксируются моменты времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и перебираются все возможные значения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, т. е. весь ансамбль реализаций случайного процесса, на рис. 13.4 жирной линией
изображены Кривые плотностей распределений Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в моменты времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Для стационарных случайных процессов кроме средних по ансамблю можно ввести еще так называемые средние по времени. В общем виде среднее по времени представляет собой:
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Характерным для средних по времени является то, что фиксируются реализации, а «перебираются» все моменты времени. В средних по времени характерно также отсутствие плотности распределения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решеният. к. для стационарных процессов все моменты времени равноправны.

Тогда числовые характеристики средние по времени определяются так:

1. Математическое ожидание случайного процесса среднее по времени:
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                         (13.10)

2. Дисперсия случайного процесса средняя по времени:
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                               (13.11)

3. Функция корреляции, средняя по времени (в ней фигурирует произведение значений случайного процесса в два различных момента времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения). Учитывая, что усредненная величина имеет вид Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, получим
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                        (13.12) 

Свойства функций корреляции случайного процесса

1. Функция корреляции является симметричной функцией:
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Для стационарного случайного процесса — четная функция:
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

2. Функция корреляции — ограниченная функция. Воспользуемся неравенством

Шварца (неравенство Коши-Буняковского):
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                      (13.13)
Обозначим отсчетыСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, как Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и подставим в (13.13):
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

 С учетом определения (13.4), получаем
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
Тогда
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

 Когда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения получаем:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

3. Для стационарного случайного процесса дисперсия и математическое ожидание могут быть получены через функцию корреляции: 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Откуда следует, что
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения.
Найдем дисперсию:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если рассматривать функцию корреляции флуктуаций (13.5), то Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

4. Функция корреляции является положительно определенной функцией.

Рассмотрим моменты времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, и произвольные величины Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения поскольку:
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

вычисляя математическое ожидание, получим
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
 

Следствие: для любой положительно определенной функции Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияможно построить такой случайный процесс, для которого Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения будет функцией корреляции.

5. Время корреляции для стационарного случайного процесса определяется как
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                       (13.14)

Время корреляции определяет, насколько далеко по времени наблюдается корреляционная связь между отсчетами в случайном процессе.

6. При изучении реальных случайных процессов для Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения используют следующие аппроксимации:
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Зависимость Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения приведена на рис. 13.5.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Зависимость Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения приведена на рис. 13.6.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Эргодические случайные процессы

Случайный прогресс называется эргодическим, если для него временные средние с вероятностью, равной 1, совпадают с соответствующими средними по ансамблю:
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Эргодическим может быть только стационарный случайный процесс, но не всякий стационарный случайный процесс может быть эргодичен. Эргодичность имеет большое значение: она позволяет заменить изучение ансамбля реализаций изучением одной длинной реализации, т. к. каждая реализация (у эрго­дического случайного процесса) с вероятностью 1 имеет те же характеристики, что и весь ансамбль.

Спектр мощности случайного процесса

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — амплитудный спектр и

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — фазовый спектр функции x(t) .
Для стационарного случайного процессаСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения поэтому преобра­зование Фурье можно ввести так: определим урезанный случайный процесс Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и для процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения можно написать  разложение в интеграл Фурье:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим величину Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения . В большинстве физических формул Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — величина пропорциональна энергии случайного процесса на интервалеСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения а величина W имеет смысл средней мощности случайного процесса.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

ее свойство: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                  (13.19)
Обозначим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения -эта функция называется спектром мощности случайного процесса.
 

Тогда запишем среднюю мощность так:
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                         (13.20)
где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — мощность, выделяемая случайным процессом в полосе частот Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Спектр мощности не является независимой характеристикой случайного процесса. Спектр мощности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения можно связать с функцией корреляции Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения эту связь определяет следующая теорема, изложенная в разделе 13.8.

Теорема Винера-Хинчина

Эта теорема устанавливает связь между спектром мощности и функцией корреляции. Запишем функцию корреляции (13.12) через урезанный случайный процесс:
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
комплексная величина, поэтому запишем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в виде комплексно сопряженных величин, используя (13.17): Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и учтем сопряженную вели­чину Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                (13.21)

Таким образом, видим, что функция корреляции является прямым преобразованием Фурье от спектра мощности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                 (13.22)

Тогда спектр мощности определится через обратное преобразование Фурье:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                          (13.23)
Запишем спектр мощности через тригонометрические функции, используя формулу Эйлера:Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                       (13.24)

Последний интеграл в (13.24) равен нулю, т. к. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения четная функция. Тогда
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения              (13.25)

Отсюда следует, что спектр мощности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения также четная функция. С учетом выше сказанного перепишем функцию корреляции (13.22):

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                    (13.26)

В формулы (13.25), (13.26) входит круговая частота Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения  линейная частота. Перепишем эти формулы через линейную частоту, вводя обо­значения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                    (13.27)
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                     (13.28)

В этих формулах фигурируют отрицательные частоты от Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения до 0, т. к. они ничем не отличаются от положительных, то часто рассматривают только частотный интервал Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и определяют Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения так:

В (13.29) мощность отрицательных частот прибавили к мощности поло­жительных, тогда
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                 (13.30)

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (13.31) 

Если вместо Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения взять функцию корреляции флуктуаций, то получится спектр мощности флуктуаций:
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                              (13.32)

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                                   (13.33)
 

Соотношение неопределенности для стационарных случайных процессов

Шириной спектра случайного процесса называется величина

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Время корреляции

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Умножая (13.34) на (13.35) получаем
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
Подставляя в Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениякруговую частоту, получим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и окончательно
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                       (13.36)

Разложение случайного процесса в ряд Котельникова

Пусть Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — функция корреляции случайного процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Учитывая, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения можно записать Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Здесь функция корреляции зависит от момента времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, поэтому запишем функцию корреляции как функцию двух аргументов Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Тогда на основании теоремы Винера- Хинчина можно записать

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Теорема: Если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения для всех Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, то имеет место разло­жение

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                         (13.38)

где Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — отсчет случайного процесса в момент времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
На рис. 13.7 показана заштрихованная область частот, для которой спектр мощности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Предположим, что спектр мощности является периодической функцией с периодом Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда спектр мощности можно представить в виде ряда Фурье:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                          (13.39)
Коэффициенты Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения определяются как

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Подставим Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в (13.39):

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Определим функцию корреляции, используя (13.37):

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку функция корреляции симметрична, то можно записать

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Докажем основное положение теоремы. Используем следующее опреде­ление сходимости: Последовательность случайных величин Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениясходится к случайной величине X в среднем квадратическом, если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Это определение заложено в основу метода наименьших квадратов.

Используя (13.38), можно записать

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

что и является доказательством нашей теоремы.

Классификация случайных процессов

Ранее, в разделе 13.1 мы отмечали, что все случайные процессы делятся на два основных класса: прогрессы с дискретным временем и процессы с непрерывным временем. После описания вероятностных характеристик случайного процесса, в частности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениямерной плотности распределения (раздел 13.1), мы да­лее ввели следующее разделение случайных процессов с учетом ограничений их вероятностных характеристик: стационарные в узком смысле и стационарные в широком смысле (раздел 13.3). Затем для стационарных случайных процессов в узком смысле мы ввели понятие эргодических случайных процессов (раздел 13.6). Далее мы рассмотрели энергетические характеристики случайных процессов, в частности спектр мощности случайного процесса (раздел 13.7).

Иногда стационарные случайные процессы классифицируют по спектральным
характеристикам: различают стационарные случайные процессы в широком смысле — узкополосные, когда спектр мощности сосредоточен в узкой полосе частот возле определенной фиксированной частоты Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения В разделе 13.9 мы вве­ли понятие ширины спектра Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то стационарный случайный процесс будет называться узкополосным. На рис. 13.8 изображен узкополосный спектр мощности Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения случайного процесса. На рис. 13.9 функция корреляции Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияузкополосного случайного процесса.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

 Из рис. 13.9 видим, что функция корреляции узкополосного случайного процесса — это быстро осциллирующая функция с частотой Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения но с медленно меняющейся огибающей. Ширина спектра Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и время корреляции определяются правыми частями формул (13.34) и (13.35).

Следующим классом будут стационарные в широком смысле случайные процессы — широкополосные. Здесь спектр мощности сохраняет постоянное значение Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения на всех частотах (рис. 13.10):
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (13.41)

Тогда стационарный в широком смысле случайный процесс с равномер­ным спектром мощности на всех частотах называется белым шумом. Функ­ция корреляции белого шума представляет собой 5-функцию, расположенную в начале координат, (рис. 13.11):

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Для белого шума характерно то, что два его отсчета, взятые в сколь угод­ но близкие моменты времени, некоррелированы. Однако на практике белый шум реализовать невозможно, т. к. полная мощность белого шума бесконечна, а реальные случайные процессы имеют конечную мощность. И для реального случайного процесса рядом стоящие отсчеты коррелированы. Поэтому белый шум используют в качестве математической модели случайного процесса, что позволяет упростить анализ прохождения через линейные радиотехнические устройства с конечной полосой пропускания. Отметим, что любой случайный процесс, у которого спектр мощности сохраняет постоянное значение в некоторой полосе частот, может рассматриваться как белый шум. Но таких случайных процессов в природе не существует. Тем не менее такая модель случайного процесса оказывается удобной для анализа различных радиотехнических систем.

Еще одной моделью случайных процессов, которая находит широкое применение в приложениях теории случайных процессов, являются марковские случайные процессы.

Марковские случайные процессы

Марковские случайные процессы делятся на четыре основных типа в зависимости от того, какое множество значений (дискретное или непрерывное) принимает случайный процесс Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и его параметр t в области задания процесса Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения .марковские цепи (дискретный процесс с дискретным временем), .марковские последовательности (непрерывный процесс с дискретным временем), дискретный .марковский процесс (дискретный процесс с непрерывным временем), непрерывнозначный .марковский процесс
(непрерывный процесс с непрерывным временем). Ниже в таблице приведены временные реализации для этих процессов.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Марковскими процессами называются такие, в которых будущее не зависит от прошлого, а определяется только настоящим.
 

Цепи Маркова

Пусть некоторая физическая система может находиться в состояниях Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и переходить случайным образом из состояния в состояние в фиксированные моменты времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияЭволюция системы образует дискретную цепь Маркова с дискретным временем, если выполняется следующее условие (13.43) (условная вероятность в состоянииСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияв момент времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения опре­деляется при условии, что в момент Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениясистема была в состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения ): 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Дискретной цепью Маркова называется такой случайный процесс, в котором вероятность того, что система окажется в некотором состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в момент времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, зависит лишь от того, в каком состоянии находилась система в предыдущий момент времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и не зависит от эволюции систе­мы до момента времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Можно отметить, что в цепях Маркова зависимость между состояниями простирается лишь на один шаг назад.

Введем понятие переходной вероятности — это вероятность перехода системы из одного состояния в другое:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения со временем не меняется, т. е. отСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения не зависит, то цепь Маркова называют однородной. Рассмотрим свойства таких цепей. Переходные вероятности однородной цепи Маркова образуют матрицу переходных вероятностей.

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                (13.45)

Свойства матрицы переходных вероятностей:

1. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

2. Сумма по строке — Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — количество состояний.

Матрицы, удовлетворяющие этим свойствам, называются стохастическими. Величины Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения дают вероятности перехода из состояния Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения за один шаг. Заметим, что здесь Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — вероятность того, что система, перешедшая к данному шагу в состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения , в нем же и задерживается на очередном шаге.
 

Вероятность перехода за Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения шагов. Рассмотрим вероятность перехода из состояния Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, которое реализовано в Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения испытании, в состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения за Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения шагов, т. е. в состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения испытании. Эта вероятность зависит только от Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения(и не зависит от Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения). Обозначим ее Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Тогда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — вероятность перехода за Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения шагов из состоянияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения в состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — вероятность перехода за Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения шагов из состояния Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения— (рис. 13.12). Используя формулу полной вероятности и учитывая, что промежуточные состояния Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения испытании образуют полную группу попарно несовместимых событий, получим
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения    (13.46)

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Формула Маркова для цепей

Обозначим через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, матрицу, составленную из вероятностей Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения таким образом Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — матрица перехода через Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения испытаний. Используя формулу для перемножения квадратных матриц (13.46),Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения можно записать в матричном виде:
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                               (13.47)
Применяя последовательно формулу (13.47), получим
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
Можно ожидать, что при переходах в п шагов влияние начального распределения с ростом Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения должно ослабевать в том смысле, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения независимо от Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. То есть если существует предел Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения то это свойство цепей Маркова называется эргодичностью.
Пусть Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — вероятность того, что в Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения испытании осуществится событие Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, назовем Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — абсолютной вероятностью.

Пусть существует предел
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                            (13.48)
 

Тогда говорят, что существует предельное, финальное, распределение веро­ятностей Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения состояний Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения , не зависящее от начального распределения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения. Финальные вероятности удовлетворяют следующей системе уравнений:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №8

Дана цепь Маркова, которая описывается матрицей переходных вероятностей

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения(сумма вероятностей по строке равна 1).

Необходимо определить вероятность Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения системы в 1-м состоянии.
 

Решение.
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Запишем вероятность перехода за Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения шагов, применяя формулу (13.46), получим для Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Обозначая Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения , запишем вероятность перехода за Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения шагов в новых переменных:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Учтем, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — сумма геометрической прогрессии, тогда
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
Найдем предел при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
Тогда искомая вероятность вычисляется так:
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Марковские процессы с непрерывным временем

Случайный процесс X(t) называется марковским, если для любого момента времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при известном значении Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения случайные величины Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения не зависят от случайных величин Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения т. е. марковские процессы характеризуются тем, что вероятностные свойства процесса в момент Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения определяются состоянием в момент Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и не зависят от состояний процесса до момента Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Среди марковских процессов с непрерывным множеством состояний наиболее важными являются процессы, которые имеют Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения-мерную плотность рас­пределения. Если Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — случайный процесс, Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, то пусть для каждого набора моментов времени Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениямерная случайная величина Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решенияСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения имеет  Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениямерную плотность распределения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Эта плотность обладает следующими свойствами:

1. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения симметрична относительно любых перестановок пар аргументов Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения т. к. Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениявыражает вероятность совместного осуществления событий Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и, значит, не зависит от порядка их перечисления.

2. Плотность любого Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениямерного распределения при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения определятся с помощью Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениямерного распределения:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                     (13.49)

Условная вероятность для марковского процесса 

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку вероятностные свойства процесса в момент Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения определяются состоянием в моментСлучайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и не зависят от протекания процессов в предшествующие моменты времени, тогда условная плотность распределения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                    (13.51)

Условную плотность распределения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения называют переходной плотностью распределения в состояние Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения при условии, что процесс находится в состоянии Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Зная, что Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения для условной плотности распределения

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                    (13.52)

Учитываем свойство марковских цепей:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                                (13.53)

Тогда Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и применяя эту формулу в правой части для Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения а затем для Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения, получим
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                            (13.54)

Отсюда видно, что для задания Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решениямерной плотности распределения марковского процесса достаточно знать лишь две функции: одномерную плотность Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и переходную плотность распределения Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения.

Рассмотрим 3 момента времени: Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения Согласно (13.54), имеем
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                             (13.55)

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                             (13.56)

Используя (13.49) для Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения , получим
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                        (13.57)

Подставляя в (13.57) уравнения (13.55) и (13.56), получим
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Это уравнение Смолуковского (или Колмогорова-Чепмена) является основным в теории непрерывных марковских процессов.

Уравнения Колмогорова

Введем следующие обозначения:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
Запишем переходные вероятности через уравнение Смолуковского в моменты Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                (13.59)

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                       (13.60)
Вычтем из формулы (13.60) формулу (13.59):

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                                    (13.61)
Разложим в ряд Тейлора функцию

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
Подставляя это разложение в интеграл (13.61), разделим левую и правую часть на Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения и перейдем к пределу при Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                            (13.62)

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                (13.63)

Это первое уравнение Колмогорова, где
Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения             (13.64)

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения              (13.65)

Аналогично выводится втрое уравнение Колмогорова:

Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения                  (13.66)

Здесь Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения— те же функции, что и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (13.64) и Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения (13.65), но взятые для Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения

Непрерывный марковский процесс, который описывается уравнениями (13.63) и (13.66) называется диффузионным. Коэффициент Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения называется коэффициентом сноса, а коэффициент Случайные процессы - определение и вычисление с примерами решения — коэффициентом диффузии.
Уравнение (13.66) называется прямым уравнением Колмогорова, а уравнение (13.63) называется обратным уравнением Колмогорова. Уравнения Колмогорова относятся к классу параболических дифференциальных уравнений в частных производных.

  • Выборочный метод
  • Статистическая проверка гипотез
  • Статистические оценки
  • Теория статистической проверки гипотез
  • Проверка статистических гипотез
  • Регрессионный анализ
  • Корреляционный анализ
  • Статистические решающие функции

Стационарные случайные процессы

Случайный процесс (или функция) называется станционарным, если его математическое ожидание постояенно, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов $t_2-t_1$:

$$K_x(t_1, t_2)=k_x(t_2-t_1)=k_x(tau).$$

Отсюда следует, что дисперсия станционарной случайной функции постоянна и равна $D_x=k_x(0).$

Для стационарной случайной функции вводят спектральную плотность $s_x(w)$, которая связана с корреляционной функцией $k_x(tau)$ взаимно-обратными преобразованиями Фурье:

$$
s_x(w)=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty} k_x(tau)e^{-iwtau} dtau, quad
k_x(tau)=int_{-infty}^{infty} s_x(w)e^{iwtau} dw.
$$

Эти формулы называют формулами Винера-Хинчина. В действительной форме они принимают вид:

$$
s_x(w)=frac{1}{pi}int_{0}^{infty} k_x(tau) cos{wtau} dtau, quad
k_x(tau)=2int_{0}^{infty} s_x(w) cos{wtau} dw.
$$

Ранее: Примеры решений для случайных процессов.

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Примеры решений

Задача 1. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции $X(t)$, если ее корреляционная функция имеет вид:

$$
k_x(tau)=
left{
begin{array}{l}
1-0,5|tau|,, |tau| le 2\
0,, |tau|gt 2. \
end{array}
right.
$$

Задача 2. Дана спектральная плотность
$$
S_q(w)=
left{
begin{array}{l}
a,, |w| le N\
0,, |w|gt N. \
end{array}
right.
$$
Определить корреляционную функцию $K_xi(tau)$ и дисперсию $D_xi$.

Задача 3. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции X(t), если ее корреляционная функция имеет вид: $k_x(tau) = e^{-0,3|tau|}$.

Задача 4. Найти одностороннюю $S(w)$ и двустороннюю $S^*(w)$ спектральную плотность стационарного случайного процесса с корреляционной функцией $k(tau) = e^{-6tau} cos 2tau$.

Задача 5. Случайная функция $X(t)$ имеет вид:
$$ X(t)=3+V_1 cos wt +V_2 sin wt,$$
где $V_1$ и $V_2$ – некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и с дисперсиями $D_1=D_2=3$. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию $X(t)$. Определить, является ли $X(t)$ стационарной случайной функцией?

Задача 6. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой данным дифференциальным уравнением, подаётся стационарная случайная функция $Х(t)$ с математическим ожиданием $m_x$ и корреляционной функцией $k_x(tau)$. Найти
1) математическое ожидание;
2) дисперсию случайной функции Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.

$$ Y'(t)+3Y(t)=3X'(t)+X(t), , m_x=12, k_x(tau)=e^{-2|tau|}. $$

Мы отлично умеем решать задачи по теории вероятностей

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти материнскую плату в aida64
  • Как найти эластичность функции по труду
  • Как найти синус 450 градусов
  • Как можно найти перевод текста
  • Как найти объем ванны в литрах