Как найти косинус альфа деленное на два - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Уравнения разложения тригонометрических функций:квадрат синус альфа, косинус альфа, тангенс альфа, котангенс альфа.

Формулы преобразования функций двойного угла (2α) в выражение через одинарный угол (α)

sin(2α)- через sin и cos:

sin(2α)- через tg и ctg:

cos(2α)- через sin и cos:

cos(2α)- через tg и ctg:

tg(2α) и сtg(2α):

Формулы преобразования функций (синус, косинус, тангенс, котангенс), тройного угла (3α) в выражение через одинарный угол (α):

Тригонометрические формулы преобразования разности аргументов

sin(α)=OA

cos(α)=OC

tg(α)=DE

ctg(α)=MK

R=OB=1

Значения функций для некоторых углов, α

В таблице показаны формулы приведения для тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg).

Источник

(1) Основное тригонометрическое тождество sin²(α) + cos²(α) = 1

(2) Основное тождество через тангенс и косинус (3) Основное тождество через котангенс и синус

(4) Соотношение между тангенсом и котангенсом tg(α)ctg(α) = 1 (5) Синус двойного угла sin(2α) = 2sin(α)cos(α) (6) Косинус двойного угла cos(2α) = cos²(α) – sin²(α) = 2cos²(α) – 1 = 1 – 2sin²(α) (7) Тангенс двойного угла

tg(2α) =

2tg(α)

1 – tg²(α)

(8) Котангенс двойного угла

ctg(2α) =

ctg²(α) – 1

2ctg(α)

(9) Синус тройного угла sin(3α) = 3sin(α)cos²(α) – sin³(α) (10) Косинус тройного угла cos(3α) = cos³(α) – 3cos(α)sin²(α) (11) Косинус суммы/разности cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) Синус суммы/разности sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)

(13) Тангенс суммы/разности (14) Котангенс суммы/разности (15) Произведение синусов sin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β)) (16) Произведение косинусов cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β)) (17) Произведение синуса на косинус sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β)) (18) Сумма/разность синусов sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) Сумма косинусов cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β)) (20) Разность косинусов cos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))

(21) Сумма/разность тангенсов

(22) Формула понижения степени синуса sin²(α) = ½(1 – cos(2α)) (23) Формула понижения степени косинуса cos²(α) = ½(1 + cos(2α))

(24)

Сумма/разность синуса и косинуса (25) Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами (26) Основное соотношение арксинуса и арккосинуса arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27) Основное соотношение арктангенса и арккотангенса arctg(x) + arcctg(x) = π/2

Источник

Тригонометрия — один из разделов математики, в центре изучения которого находятся углы и взаимосвязи между ними. Основы науки закладываются в школьные годы, когда вводятся определения функций угла. В дальнейшем полученная база используется при освоении астрономии, приборостроения, архитектуры и других областей знаний. Как и любая точная наука, тригонометрия не обходится без формул. Практическое применение нашли выражения для определения двойного аргумента. Например, прибегая к соответствующему уравнению, легко можно узнать двойной угол синуса.

Тригонометрическое выражение для расчёта

Выражение просто записывается и запоминается: синус двойного угла вычисляется как двукратное произведение синуса и косинуса одинарного аргумента.

Эта формула выводится на основе выражения синуса суммы углов (Q
1 + Q
2 )
:

sin(Q
1 + Q
2) = sin Q
1 * cos Q
1 + sin Q
2 * cos Q
2 .

Полагая, что заданные углы равны друг другу, формула записывается в привычной форме.

Использовать выражение можно при любых значениях аргумента функции. Вычислить двойной угол синуса по ней достаточно просто, убедиться в этом помогут примеры ниже.

Пример использования

Вот несколько иллюстраций применения полученной формулы. Пусть требуется рассчитать значение тригонометрической функции синуса угла равного 60 градусам. Соответствующий одинарный угол составит 30 градусов. Поскольку величины синуса и косинуса угла в 30 градусов известны, двойной угол синуса составит sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.

Формула используется не только для вычисления «вручную», найти значения по ней можно и с помощью математических пакетов или таблиц MS Excel.

Несмотря на простоту тригонометрического тождества, оно вызывает затруднения у выпускников школы. Именно на это рассчитывают разработчики заданий ЕГЭ, предлагая тесты на проверку основных формул. Вывод — формулу, чтобы подсчитать двойной угол синуса, нужно знать наизусть!

– уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. На сайте уже когда-то давались советы, как вспомнить забытую формулу, на примере формул Эйлера и Пиля .

А в этой статье мы постараемся показать, что достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.

Будем опираться на следующие формулы:

Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей:

Синус разности
: sin
(a-b)
= sin
a
cos
(-b)
+cos
a
sin
(-b)
= sin
a
cos
b
—cos
a
sin
b
Косинус разности
: cos
(a-b)
= cos
a
cos
(-b)
—sin
a
sin
(-b)
= cos
a
cos
b
+sin
a
sin
b

Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:

Синус двойного угла
: sin
2a
= sin
(a+a)
= sin
a
cos
a
+cos
a
sin
a
= 2sin
a
cos
a
Косинус двойного угла
: cos
2a
= cos
(a+a)
= cos
a
cos
a
—sin
a
sin
a
= cos
2 a
—sin
2 a

Аналогично получаются и формулы других кратных углов:

Синус тройного угла
: sin
3a
= sin
(2a+a) = sin
2a
cos
a
+cos
2a
sin
a
= (2sin
a
cos
a
)cos
a
+(cos
2 a
—sin
2 a
)sin
a
= 2sin
a
cos
2 a
+sin
a
cos
2 a
—sin
3 a = 3sin
a
cos
2 a
—sin
3 a = 3sin
a
(1-sin
2 a
)-sin
3 a = 3sin
a
-4sin
3 a
Косинус тройного угла
: cos
3a
= cos
(2a+a) = cos
2a
cos
a
—sin
2a
sin
a
= (cos
2 a
—sin
2 a
)cos
a
-(2sin
a
cos
a
)sin
a
= cos
3 a-sin
2 a
cos
a
-2sin
2 a
cos
a
= cos
3 a-3sin
2 a
cos
a
= cos
3 a-3(1-cos
2 a
)cos
a
= 4cos
3 a-3cos
a

Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим одну задачу.
Дано: угол — острый.
Найти его косинус, если
Решение, данное одним учеником:
Т.к. , то sin
a
= 3,а cos
a
= 4.
(Из математического юмора)

Итак, определение тангенса связывает эту функцию и с синусом, и с косинусом. Но можно получить формулу, дающую связь тангенса только с косинусом. Для её вывода возьмём основное тригонометрическое тождество: sin
2
a
+cos
2
a
= 1 и разделим его на cos
2
a
. Получим:

Так что решением этой задачи будет:

(Т.к. угол острый, при извлечении корня берётся знак +)

Формула тангенса суммы – ещё одна, тяжело поддающаяся запоминанию. Выведем её так:

Сразу выводится и

Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса для половинного. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла:
cos
2
a
= cos
2
a
—sin
2
a

прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму квадратов синуса и косинуса.
cos
2a
+1 = cos
2 a
—sin
2 a
+cos
2 a
+sin
2 a

2cos
2
a
= cos
2
a
+1
Выражая cos
a
через cos
2
a
и выполняя замену переменных, получаем:

Знак берётся в зависимости от квадранта.

Аналогично, отняв от левой части равенства единицу, а от правой — сумму квадратов синуса и косинуса, получим:
cos
2a
-1 = cos
2 a
—sin
2 a
—cos
2 a
—sin
2 a

2sin
2
a
= 1-cos
2
a

И, наконец, чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, используем следующий приём. Допустим, нам нужно представить в виде произведения сумму синусов sin
a
+sin
b
. Введём переменные x и y такие, что a = x+y, b+x-y. Тогда
sin
a
+sin
b
= sin
(x+y)+sin
(x-y) = sin
xcos
y+cos
xsin
y+sin
xcos
y-cos
xsin
y = 2sin
xcos
y. Выразим теперь x и y через a и b.

Поскольку a = x+y, b = x-y, то . Поэтому

Сразу же можно вывести

Формулу для разбиения произведения синуса и косинуса
в сумму
: sin
a
cos
b
= 0.5(sin
(a+b)
+sin
(a-b))

Рекомендуем потренироваться и вывести самостоятельно формулы для преобразования в произведение разности синусов и суммы и разности косинусов, а также для разбиения в сумму произведений синусов и косинусов. Проделав эти упражнения, вы досконально освоите мастерство вывода тригонометрических формул и не потеряетесь даже на самой сложной контрольной, олимпиаде или тестировании.

Самые часто задаваемые вопросы

Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу?

Ответ

Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.

Какие виды оплаты вы принимаете?

Ответ

Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.

Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами?

Ответ

В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.

Могу я заказать диплом любого ВУЗа?

Ответ

В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.

Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок?

Ответ

Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.

Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании?

Ответ

Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.

Последние отзывы

Алексей:

Мне нужно было приобрести диплом для устройства на работу по профессии менеджер. И самое главное, что и опыт, и навыки у меня есть, но без документа я не могу, никуда устроится. Попав на ваш сайт, все-таки решился на покупку диплома. Диплом был выполнен за 2 дня!! Теперь у меня есть работа, о которой я раньше и не мечтал!! Спасибо!

Очень часто в задачах C1 из ЕГЭ по математике ученикам предлагают решить тригонометрическое уравнение, содержащее формулу двойного угла.

Сегодня мы вновь будем разбирать задачу С1 и, в частности, разберем довольно нестандартный пример, который одновременно вместил в себе и формулу двойного угла, и даже однородное уравнение. Итак:

Решите уравнение. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:

sinx+sin

2

x
2

−cos

2

x
2

,x∈[
−2 π ;− π

2

]

sin x+frac{{{sin }^{2}}x}{2}-frac{{{cos }^{2}}x}{2},xin left[ -2text{ }!!pi!!text{ };-frac{text{ }!!pi!!text{ }}{2} right]

Полезные формулы для решения

Прежде всего, хотел бы напомнить, что все задания С1 решаются по одной и той же схеме. В первую очередь, исходную конструкцию нужно преобразовать в выражении, в котором содержится синус, косинус или тангенс:

sinx=a

cosx=a

tgx=a

Именно в этом состоит основная сложность задания С1. Дело в том, что для каждого конкретного выражения требуются свои выкладки, с помощью которых можно перейти от исходника к таким простейшим конструкциям. В нашем случае это формула двойного угла. Давайте я запишу ее:

cos2x=cos

2

x−sin

2

x

cos 2x={{cos }^{2}}x-{{sin }^{2}}x

Однако в нашем задании нет cos

2

x
{{cos }^{2}}x или sin

2

x
{{sin }^{2}}x, зато естьsin

2

x
2

frac{{{sin }^{2}}x}{2} и cos

2

x
2

frac{{{cos }^{2}}x}{2}.

Решаем задачу

Что же делать с этими выкладками? Давайте мы немножко схитрим, и в наши формулы синуса и косинуса двойного угла введем новую переменную:

x=t
2

Мы запишем такую конструкцию с синусом и косинусом:

cos2⋅t
2

=cos

2

t
2

−sin

2

t
2

cos 2cdot frac{t}{2}=frac{{{cos }^{2}}t}{2}-frac{{{sin }^{2}}t}{2}

Или другими словами:

cost=cos

2

t
2

−sin

2

t
2

cos t=frac{{{cos }^{2}}t}{2}-frac{{{sin }^{2}}t}{2}

Возвращаемся к нашему исходному заданию. Давайте sin

2

x
2

frac{{{sin }^{2}}x}{2} перенесем вправо:

sinx=cos

2

x
2

−sin

2

x
2

sin x=frac{{{cos }^{2}}x}{2}-frac{{{sin }^{2}}x}{2}

Справа стоит именно те самые выкладки, которые мы только что записали. Давайте мы преобразуем их:

sinx=cosx

А теперь внимание: перед нами однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Смотрите, у нас нет никаких слагаемых, состоящих просто из чисел и просто из x

x, у нас есть только синус и косинус. Также у нас нет квадратных тригонометрических функций, все функции идут в первой степени. Как решаются такие конструкции? В первую очередь, давайте предположим, что cosx=0

cos x=0.

Подставим это значение в основное тригонометрическое тождество:

sin

2

x+cos

2

x=1

{{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x=1

sin

2

x+0=1

{{sin }^{2}}x+0=1

sinx=±1

Если эти числа, 0 и ±1, мы подставим в исходную конструкцию, то получим следующее:

±1 = 0

pm 1text{ }=text{ }0

Мы получили полный бред. Следовательно, наше предположение, что cosx=0

cos x=0 неверно, cosx

cos x не может быть равен 0 в данном выражении. А если cosx

cos x не равен 0, то давайте разделим обе стороны на cosx

cos x:

sinx

cosx

=1

frac{sin x}{cos x}=1

sinx

cosx

=tgx

frac{sin x}{cos x}=tgx

tgx=1

И вот мы получили долгожданное простейшее выражение вида tgx=a

tgx=a. Прекрасно, решаем его. Это табличное значение:

x= π

4

+ π n,n˜

∈Z

x=frac{text{ }!!pi!!text{ }}{text{4}}+text{ }!!pi!!text{ }n,n˜in Z

Мы нашли корень, мы решили первую часть задачи, т. е. честно заработали один первичный балл из двух.

Переходим ко второй части: найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку, а, точнее, отрезку

[left[ -2text{ }!!pi!!text{ };-frac{text{ }!!pi!!text{ }}{2} right]]. Предлагаю, как и в прошлый раз решать это выражение графически, т. е. нарисовать окружность, отметить в ней начало, т. е. 0, а также концы отрезка:

На отрезке

−2 π ;−π
2

2text{ }!!pi!!text{ };-frac{pi }{2} нужно найти все значения, которые принадлежат

+ π n

frac{text{ }!!pi!!text{ }}{text{4}}+text{ }!!pi!!text{ }n. А теперь самое веселое: дело в том, что сама точка π

frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4} не принадлежит отрезку

[
−2 π ;− π

]

left[ -2text{ }!!pi!!text{ };-frac{text{ }!!pi!!text{ }}{2} right], это очевидно:

∉˜

[
−2 π ;− π

]

frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4}notin ˜left[ -2text{ }!!pi!!text{ };-text{ }frac{text{ }!!pi!!text{ }}{2} right]

Уже хотя бы потому, что оба конца этого отрезка отрицательные, а число π

frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4} положительное, но с другой стороны, какие-то значения вида

+ π n

frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4}+text{ }!!pi!!text{ }n все-таки принадлежат нашему отрезку. Так как же их выделить? Очень просто: берем конец отрезка

−2 π

2text{ }!!pi!!text{ } и прибавляем π

frac{text{ }!!pi!!text{ }}{text{4}} , т. е. все происходит то же самое, как если бы мы начали отчет не от 0, а от −2 π

-2text{ }!!pi!!text{ }, и у нас найдется первая точка:

x=−2 π + π

=−7 π

x=-2text{ }!!pi!!text{ }+frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4}=-frac{7text{ }!!pi!!text{ }}{4}

Теперь второе число:

x=−2 π + π

+ π =−3 π

x=-2text{ }!!pi!!text{ }+frac{text{ }!!pi!!text{ }}{text{4}}+text{ }!!pi!!text{ }=-frac{3text{ }!!pi!!text{ }}{4}

Это и есть второе значение. Других корней нет, потому что мы сами при их разметке и при отметке нашего отрезка ограничения обнаружили, что внутри этого отрезка лежат лишь два вида — π

frac{text{ }!!pi!!text{ }}{text{4}} и π

+ π
frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4}+text{ }!!pi!!text{ }. Эти точки мы и наши. Выписываем ответ:

−7 π

;−3 π

-frac{7text{ }!!pi!!text{ }}{4};-frac{3text{ }!!pi!!text{ }}{4}

За такое решение вы получите два первичных балла из двух возможных.

Что нужно помнить для правильного решения

Еще раз ключевые шаги, которые необходимо выполнить. В первую очередь, нужно знать выкладки двойного угла синуса или косинуса, в частности, именно в нашей задаче, косинус двойного угла. Кроме того, после его применения необходимо решить простейшее тригонометрическое уравнение. Решается оно довольно просто, однако необходимо написать и проверить, что cosx

cos x в нашей конструкции не равен 0. После тригонометрического уравнения мы получаем элементарное выражение, в нашем случае это tgx=1

tgx=1, которое легко решается по стандартным формулам, известным еще с 9-10 класса. Таким образом, мы решим пример и получим ответ на первую часть задания — множество всех корней. В нашем случае это

+ π n,n∈Z

frac{text{ }!!pi!!text{ }}{text{4}}+text{ }!!pi!!text{ }n,nin ˜Z. Затем остается лишь отобрать корни, принадлежащие отрезку

[
−2 π ;− π

]

left[ -2text{ }!!pi!!text{ };-frac{text{ }!!pi!!text{ }}{2} right]. Для этого мы снова чертим тригонометрический круг, отмечаем на нем наши корни и наш отрезок, а затем отсчитываем от конца то самое π

frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4} и π

+ π
frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4}+text{ }!!pi!!text{ }, которые получились во время отметки всех корней вида π

+ π n
frac{text{ }!!pi!!text{ }}{text{4}}+text{ }!!pi!!text{ }n. После несложного счета мы получили два конкретных корня, а, именно,

−7 π

-frac{7text{ }!!pi!!text{ }}{4} и

−3 π

-frac{3text{ }!!pi!!text{ }}{4}, которые являются ответом ко второй части задачи, т. е. корнями, принадлежащими отрезку

[
−2 π ;− π

]

left[ -2text{ }!!pi!!text{ };-frac{text{ }!!pi!!text{ }}{2} right].

Ключевые моменты

Чтобы без проблем справиться с задачами C1 такого типа, запомните две основные формулы:

Синус двойного угла:
sin2 α =2sin α cos α

sin 2text{ }!!alpha!!text{ }=2sin text{ }!!alpha!!text{ }cos text{ }!!alpha!!text{ } — эта формула для синусов всегда работает именно в таком виде;
Косинус двойного угла: cos2 α =cos
2

α −sin

2

α
cos 2text{ }!!alpha!!text{ =}co{{s}^{2}}text{ }!!alpha!!text{ }-si{{n}^{2}}text{ }!!alpha!!text{ } — а вот тут возможны варианты.

С первой все понятно. Но что за варианты возможны во втором случае? Дело в том, что косинус двойного угла можно записать по-разному:

cos2 α =cos2 α −sin2 α =2cos2 α −1=1−2sin2 α

cos 2text{ }!!alpha!!text{ }=cos 2text{ }!!alpha!!text{ }-sin 2text{ }!!alpha!!text{ }=2cos 2text{ }!!alpha!!text{ }-1=1-2sin 2text{ }!!alpha!!text{ }

Эти равенства следуют из основного тригонометрического тождества. Ну и какое равенство выбрать при решении конкретного примера C1? Все просто: если вы планируете свести конструкцию к синусам, то выбирайте последнее разложение, в котором присутствует только

sin2 α

sin 2text{ }!!alpha!!text{ }. И наоборот, если хотите свести все выражение к работе с косинусами, выбирайте второй вариант — тот, где косинус является единственной тригонометрической функцией.

Самые часто задаваемые вопросы

Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу?

Ответ

Какие виды оплаты вы принимаете?

Ответ

Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами?

Ответ

Могу я заказать диплом любого ВУЗа?

Ответ

Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок?

Ответ

Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании?

Ответ

Последние отзывы

Алексей:

Источник

Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств.
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем α/2 .

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.
Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:

Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.
В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.

Формулы приведения тригонометрических функций

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце — угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90) = cos α .

См. также Полный список формул приведения тригонометрических функций.

Угол	α + 90 α + π/2	α + 180 α + π	α + 270 α + 3π/2	90 — α π/2- α	180 — α π- α	270 — α 3π/2- α	360 — α 2π- α
sin	cos α	-sin α	-cos α	cos α	sin α	-cos α	-sin α
cos	-sin α	-cos α	sin α	sin α	-cos α	-sin α	cos α
tg	-ctg α	tg α	-ctg α	ctg α	-tg α	ctg α	-tg α
ctg	-tg α	ctg α	-tg α	tg α	-ctg α	tg α	-ctg α

Начать курс обучения

Источник

Все формулы по тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

$$sin^2x+cos^2x=1$$

$$tgx= frac{sinx}{cosx}$$

$$ctgx= frac{cosx}{sinx}$$

$$tgxctgx=1$$

$$tg^2x+1= frac{1}{cos^2x}$$

$$ctg^2x+1= frac{1}{sin^2x}$$

Формулы двойного аргумента (угла)

$$sin2x=2cosxsinx$$

begin{align}
sin2x &=frac{2tgx}{1+tg^2x}\
&= frac{2ctgx}{1+ctg^2x}\
&= frac{2}{tgx+ctgx}
end{align}

begin{align}
cos2x & = cos^2x-sin^2x\
&= 2cos^2x-1\
&= 1-2sin^2x
end{align}

begin{align}
cos2x & = frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}\
&= frac{ctg^2x-1}{ctg^2x+1}\
&= frac{ctgx-tgx}{ctgx+tgx}
end{align}

begin{align}
tg2x & = frac{2tgx}{1-tg^2x}\
&= frac{2ctgx}{ctg^2x-1}\
&= frac{2}{ctgx-tgx}
end{align}

begin{align}
ctg2x & = frac{ctg^2x-1}{2ctgx}\
&= frac{2ctgx}{ctg^2x-1}\
&= frac{ctgx-tgx}{2}
end{align}

Формулы тройного аргумента (угла)

$$sin3x=3sinx-4sin^3x$$

$$cos3x=4cos^3x-3cosx$$

$$tg3x= frac{3tgx-tg^3x}{1-3tg^2x}$$

$$ctg3x= frac{ctg^3x-3ctgx}{3ctg^2x-1}$$

Формулы половинного аргумента (угла)

$$sin^2 frac{x}{2}= frac{1-cosx}{2}$$

$$cos^2 frac{x}{2}= frac{1+cosx}{2}$$

$$tg^2 frac{x}{2}= frac{1-cosx}{1+cosx}$$

$$ctg^2 frac{x}{2}= frac{1+cosx}{1-cosx}$$

begin{align}
tg frac{x}{2} & = frac{1-cosx}{sinx}\
&= frac{sinx}{1+cosx}
end{align}

begin{align}
ctg frac{x}{2} & = frac{1+cosx}{sinx}\
&= frac{sinx}{1-cosx}
end{align}

Формулы квадратов тригонометрических функций

$$sin^2x= frac{1-cos2x}{2}$$

$$cos^2x= frac{1+cos2x}{2}$$

$$tg^2x= frac{1-cos2x}{1+cos2x}$$

$$ctg^2x= frac{1+cos2x}{1-cos2x}$$

$$sin^2 frac{x}{2}= frac{1-cosx}{2}$$

$$cos^2 frac{x}{2}= frac{1+cosx}{2}$$

$$tg^2 frac{x}{2}= frac{1-cosx}{1+cosx}$$

$$ctg^2 frac{x}{2}= frac{1+cosx}{1-cosx}$$

Формулы кубов тригонометрических функций

$$sin^3x= frac{3sinx-sin3x}{4}$$

$$cos^3x= frac{3cosx+cos3x}{4}$$

$$tg^3x= frac{3sinx-sin3x}{3cosx+cos3x}$$

$$ctg^3x= frac{3cosx+cos3x}{3sinx-sin3x}$$

Формулы тригонометрических функций в четвертой степени

$$sin^4x= frac{3-4cos2x+cos4x}{8}$$

$$cos^4x= frac{3+4cos2x+cos4x}{8}$$

Формулы сложения аргументов

$$sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta$$

$$cos(alpha + beta) = cos alpha cos beta — sin alpha sin beta$$

$$tg(alpha + beta)= frac{tg alpha + tg beta}{1 — tg alpha tg beta}$$

$$ctg(alpha + beta)= frac{ctg alpha ctg beta -1}{ctg alpha + ctg beta}$$

$$sin(alpha — beta) = sin alpha cos beta — cos alpha sin beta$$

$$cos(alpha — beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta$$

$$tg(alpha — beta)= frac{tg alpha — tg beta}{1 + tg alpha tg beta}$$

$$ctg(alpha — beta)= frac{ctg alpha ctg beta +1}{ctg alpha — ctg beta}$$

Формулы суммы тригонометрических функций

$$sinalpha + sinbeta = 2sin frac{alpha + beta }{2} cdot cos frac{alpha — beta }{2}$$

$$cosalpha + cosbeta = 2cos frac{alpha + beta }{2} cdot cos frac{alpha — beta }{2}$$

$$tgalpha + tgbeta = frac{sin(alpha + beta) }{cos alpha cos beta}$$

$$ctgalpha + ctgbeta = frac{sin(alpha + beta) }{cos alpha cos beta}$$

$$(sinalpha + cosalpha)^2= 1+sin2alpha$$

Формулы разности тригонометрических функций

$$sinalpha — sinbeta = 2sin frac{alpha — beta }{2} cdot cos frac{alpha + beta }{2}$$

$$cosalpha — cosbeta = -2sin frac{alpha + beta }{2} cdot sin frac{alpha — beta }{2}$$

$$tgalpha — tgbeta = frac{sin(alpha — beta) }{cos alpha cos beta}$$

$$ctgalpha — ctgbeta = — frac{sin(alpha — beta) }{sin alpha sin beta}$$

$$(sinalpha + cosalpha)^2= 1-sin2alpha$$

Формулы произведения тригонометрических функций

$$sinalpha cdot sinbeta = frac{cos(alpha — beta)-cos(alpha + beta)}{2}$$

$$sinalpha cdot cosbeta = frac{sin(alpha — beta)+sin(alpha + beta)}{2}$$

$$cosalpha cdot cosbeta = frac{cos(alpha — beta)+cos(alpha + beta)}{2}$$

begin{align}
tgalpha cdot tgbeta & = frac{cos(alpha — beta)-cos(alpha + beta)}{cos(alpha — beta)+cos(alpha + beta)}\
&= frac{tgalpha + tgbeta}{ctgalpha + ctgbeta}
end{align}

begin{align}
ctgalpha cdot ctgbeta & = frac{cos(alpha — beta)+cos(alpha + beta)}{cos(alpha — beta)-cos(alpha + beta)}\
&= frac{ctgalpha + ctgbeta}{tgalpha + tgbeta}
end{align}

$$tgalpha cdot ctgbeta = frac{sin(alpha — beta)+sin(alpha + beta)}{sin(alpha + beta)-sin(alpha — beta)}$$

Источник