Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.
Уравнения вида
sinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=a
называются простейшими тригонометрическими уравнениями.
Если
a>1
, то уравнение
cosx=a
не имеет корней.
Например, уравнение
cosx=−1,5
не имеет корней.
Если
a≤1
, то корни уравнения выражаются формулой
x=±arccosa+2πk,k∈ℤ
.
Что же такое
arccosa
? Арккосинус в переводе с латинского означает «дуга и косинус». Это обратная функция.
Если a≤1, то arccosa (арккосинус а) — это такое число из отрезка
0;π
, косинус которого равен
а
.
Говоря иначе:
.
Пример:
Выражение
arccos22
показывает, что косинус угла
x
равен
22
(
cosx=22
).
Далее просто находим точку этого косинуса на числовой окружности, что и является ответом:
число, являющееся значением оси
x
, соответствует точке
π4
на числовой окружности.
Обрати внимание!
Если
cosπ4=22
, то
arccos22=π4
.
В первом случае по точке на числовой окружности определяем значение косинуса, а во втором — наоборот, по значению косинуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арккосинус.
Теорема. Для любого
a∈−1;1
выполняется равенство
arccosa+arccos(−a)=π
.
Частные случаи:
Пример:
решить уравнение
cosx=25
.
Используем формулу
x=±arccosa+2πk,k∈ℤ
и получаем ответ
x=±arccos25+2πk,k∈ℤ
.
Определения
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе.
Синус угла А обозначается sin A.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла А обозначается cos A.
Наглядно это видно на следующем рисунке:
Функция косинуса: свойства и значения функции косинус
Определение
Функцией косинуса называют элементарную тригонометрическую функцию, выражающую зависимость угла при вершине треугольника от отношения прилежащей его стороны к гипотенузе.
- Основные свойства функции косинус следующие:
- Область определения функции косинуса (значений, которые может принимать аргумент x) – множество всех действительных чисел;
- Значения функции косинус – это (+1) и (-1) и множество действительных чисел между ними.
- Наименьшее значение функции косинус равно 1, а наибольшее – (-1);
- Функция чётная, т. е. cos(-x) = cos(x);
- Функция периодическая. Её период равен 2π;
- Наибольшего своего значения функция косинус x достигает в точках x=2πk;
- Наименьшее значение функции косинус x будет в точках x= π/2+2πk;
- Область возрастания функции cos(x): -π+2πk<=x<=2πk;
- Область убывания функции cos(x): 2πk<= π+2πk;
- Функция не имеет разрывов, т. е. непрерывна.
График функции косинус
Графиком функции является косинусоида. Он получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние [frac{pi}{2}] влево. Он выглядит следующим образом:
Как построить график функции косинус икс
График функции косинуса можно построить следующим образом:
Используем данные единичной окружности, приведённой на рисунке выше.
Из рисунка единичной окружности видно, что в точке ноль ордината функции равна единице. В точке π/2 по оси X значение Y равно 0. В точке π по оси X ордината равна (-1). В точке 3π/2 значение функции снова равно 0, а в точке 2π значение по оси X равно 1. Отметим все названные точки.
Соединим их плавной линией
Т. к. наша функция чётная (свойство №4), её график симметричен оси Y. Зеркально отразим его. Помимо этого нам известно, что период функции равен 2π. Из данного свойства следует неограниченная повторяемость кусочка функции между 0 и 2π в обе стороны вдоль оси X. График функции косинус x построен.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Как найти значение функции косинуса при x равном 45 градусам
Построим прямоугольный треугольник с катетами, равняющимися единице. Сумма углов любого треугольника, как известно, равна 180 градусам. Если вычтем из них прямой угол, получим сумму двух оставшихся углов. Это углы при вершинах A и B. Так как катеты равны, то и выше названные углы равны и каждый из них составляет (180 – 90)/2 = 45 градусов.
По теореме Пифагора гипотенуза его в этом случае будет равна [c=sqrt{a^{2}+a^{2}}=sqrt{1+1}=sqrt{2}]
Из определения косинуса находим [cos (a)=1 / sqrt{2}]
После вычисления и округления числа получим 0,7071. Это и есть косинус 45 градусов.
- Развертка абсциссы движения точки по числовой окружности в функцию от угла
- Свойства функции y=cosx
- Примеры
п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла
Развертка абсциссы движения точки по числовой окружности в функцию от угла (см. §2 данного справочника).
Рассмотрим, как изменяется косинус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=cosx на этом отрезке.
Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривая продолжится вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x<0, кривая продолжится влево.
В результате получаем график y=cosx для любого (xinmathbb{R}).
График y=cosx называют косинусоидой.
Часть косинусоиды для –π≤x≤π называют волной косинусоиды.
Часть косинусоиды для (-fracpi2leq xleqfracpi2) называют полуволной или аркой косинусоиды.
Заметим, что термин «косинусоида» используется достаточно редко. Обычно, и в случае косинуса, говорят о «синусоиде».
п.2. Свойства функции y=cosx
1. Область определения (xinmathbb{R}) — множество действительных чисел.
2. Функция ограничена сверху и снизу $$ -1leq cosxleq 1 $$ Область значений (yin[-1;1])
3. Функция чётная $$ cos(-x)=cosx $$
4. Функция периодическая с периодом 2π $$ cos(x+2pi k)=cosx $$
5. Максимальные значения (y_{max}=1) достигаются в точках $$ x=2pi k $$ Минимальные значения (y_{min}=-1) достигаются в точках $$ x=pi+2pi k $$ Нули функции (y_{0}=cosx_0=0) достигаются в точках (x=fracpi2 +pi k)
6. Функция возрастает на отрезках $$ -pi+2pi kleq xleq 2pi k $$ Функция убывает на отрезках $$ 2pi kleq xleqpi+2pi k $$
7. Функция непрерывна.
п.3. Примеры
Пример 1.Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=cosx на отрезке:
a) (left[fracpi6; frac{3pi}{4}right]) $$ y_{min}=cosleft(frac{3pi}{4}right)=-frac{sqrt{2}}{2}, y_{max}=cosleft(fracpi6right)=frac{sqrt{3}}{2} $$ б) (left[frac{5pi}{6}; frac{5pi}{3}right]) $$ y_{min}=cos(pi)=-1, y_{max}=cosleft(frac{5pi}{3}right)=frac12 $$
Пример 2. Решите уравнение графически:
a) (cosx=fracpi2-x)
Один корень: (x=fracpi2)
б) (cosx-x=1)
(cosx=x+1)
Один корень: x = 0
в) (cosx-x^2=1)
(cosx=x^2+1) 
Один корень: x = 0
г*) (cosx-x^2+frac{pi^2}{4}=0)
(cosx=x^2-frac{pi^2}{4})
(y=x^2-frac{pi^2}{4}) – парабола ветками вверх, с осью симметрии (x_0=0) (ось OY) и вершиной (left(0; -frac{pi^2}{4}right)) (см. §29 справочника для 8 класса)
Два корня: (x_{1,2}=pmfracpi2)
Пример 3. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=cosx, y=-cosx, y=2cosx, y=cosx-2 $$ 
(y=-cosx) – отражение исходной функции (y=cosx) относительно оси OX. Область значений (yin[-1;1]).
(y=2cosx) – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY. Область значений (yin[-2;2]).
(y=cosx-2) — исходная функция опускается вниз на 2. Область значений (yin[-3;-1]).
Пример 4. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=cosx, y=cos2x, y=cosfrac{x}{2} $$ 
Амплитуда колебаний у всех трёх функций одинакова, область значений (yin[-1;1]).
Множитель под косинусом изменяет период колебаний.
(y=cosx) – главная арка косинуса соответствует отрезку (-fracpi2leq xleqfracpi2)
(y=cos2x) — период уменьшается в 2 раза, главная арка укладывается в отрезок (-fracpi4leq xleqfracpi4).
(y=cosfrac{x}{2}) — период увеличивается в 2 раза, главная арка растягивается в отрезок (-pi leq xleq pi).
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.
Содержание:
Некоторые свойства функции 
Например, областью определения функции 
является множество всех действительных чисел, множеством значений функции 
является отрезок 
наименьший положительный период функции 
равен 
Определение функции y=cos x
Определение:
Зависимость, при которой каждому действительному числу 
соответствует значение 
называется функцией 
Свойства функции y=cos x
Свойства функции 
приведены в таблице.:
График функции y=cos x
График функции 
изображен на рисунке 83. Этот график может быть получен путем преобразования (сдвига) графика функции 
Пример №1
Определите, какие из данных точек принадлежат графику функции 
Решение:
а) Подставим в формулу 
значение аргумента 
и найдем соответствующее значение функции 
Полученное значение функции равно ординате точки 
значит, точка 
принадлежит графику функции 
б) При 
— получим 
Точка 
принадлежит графику функции 
в) При 
получим 
Точка 
не принадлежит графику функции 
г) При 
получим 
Точка 
принадлежит графику функции 
Пример №2
Найдите область определения и множество значений функции 
Решение:
Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т. е. 
Множеством значений функции 
является отрезок 
значит, 
Тогда по свойству неравенств 
Таким образом, 
Пример №3
Найдите наименьшее значение функции 
Решение:
Так как 
значит, 
тогда 
Наименьшее значение функции 
равно -6.
Пример №4
Используя свойство периодичности функции 
найдите значение выражения:
Решение:
Так как число 
является наименьшим положительным периодом функции 
Тогда:
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример №5
Используя свойство четности функции 
найдите значение выражения:
Решение:
Так как функция 
четная, то 
Тогда:
Пример №6
Исследуйте функцию на четность (нечетность):
Решение:
а) 
— область определения симметрична относительно нуля;
значит, функция является четной.
— область определения симметрична относительно нуля;
значит, функция является нечетной.
Пример №7
Найдите нули функции:
Решение:
а) Пусть 
Нулями функции 
являются числа 
Тогда 
значит, 
Таким образом, числа 
являются нулями функции 
б) Пусть 
Нулями функции 
являются числа 
Тогда 
значит, 
Таким образом, числа 
являются нулями функции 
Пример №8
Определите знак произведения 
Решение:
Так как 
т. е. углы
4,5 радиана и 2 радиана принадлежат промежутку 
на котором функция 
принимает отрицательные значения, значит, 
Угол 7 радиан принадлежит промежутку, на котором функция 
принимает положительные значения, т. е. 
Значит, 
Пример №9
Что больше: 
Решение:
Так как функция 
убывает на промежутке 
то из того, что 
следует, что 
Пример №10
Постройте график функции:
Решение:
а) График функции 
получаем из графика функции 
сдвигом его вдоль оси абсцисс на 
влево (рис. 86).
б) График функции 
получаем из графика функции 
сдвигом его вдоль оси ординат на 2 единицы вниз (рис. 87).
- Функции y=tg x и y=ctg x — их свойства, графики
- Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
- Тригонометрические уравнения
- Тригонометрические неравенства
- Определение синуса и косинуса произвольного угла
- Определение тангенса и котангенса произвольного угла
- Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
- Функция y=sin x и её свойства и график
- Определение
- График косинуса
- Свойства косинуса
- Обратная к косинусу функция
- Таблица косинусов
Определение
Косинус острого угла α (cos α) – это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе (c) в прямоугольном треугольнике.
cos α = b / c
Например:
b = 4
c = 5
cos α = b / c = 4 / 5 = 0.8
График косинуса
Функция косинуса пишется как y = cos (x). График называется косинусоидой и в общем виде выглядит следующим образом:
Косинусоида – периодическая функция с основным периодом T = 2π.
Свойства косинуса
Ниже в табличном виде представлены основные свойства косинуса с формулами:
Обратная к косинусу функция
Арккосинус x – это обратная к косинусу функция x, при -1≤x≤1.
Если косинус у равняется х (cos y = x), значит арккосинус x равен у:
arccos x = cos-1 x = y
Например:
arccos 1 = cos-1 1 = 0° (0 рад)
Таблица косинусов
| x (°) | x (рад) | cos x |
| 180° | π | -1 |
| 150° | 5π/6 | -√3/2 |
| 135° | 3π/4 | -√2/2 |
| 120° | 2π/3 | -1/2 |
| 90° | π/2 | 0 |
| 60° | π/3 | 1/2 |
| 45° | π/4 | √2/2 |
| 30° | π/6 | √3/2 |
| 0° | 0 | 1 |
microexcel.ru