Как найти косинус между прямыми в кубе - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

$vec{a}(x_{a};: y_{a};: z_{a})$

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

$vec{a}=vec{AB}(x_{B}-x_{A};: y_{B}-y_{A};: z_{B}-z_{A})$

Длина вектора vec{AB} в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

$|vec{a}|=sqrt{x^{2}_{a}+y^{2}_{a}+z^{2}_{a}}=sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$ Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

$x_{M}=frac{x_{A}+x_{B}}{2};: : y_{M}=frac{y_{A}+y_{B}}{2};: : z_{M}=frac{z_{A}+z_{B}}{2}$

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

$vec{a}+vec{b}=vec{c}(x_{a}+x_{b};: y_{a}+y_{b};: z_{a}+z_{b})$

Разность векторов:

$vec{a}-vec{b}=vec{d}(x_{a}-x_{b};: y_{a}-y_{b};: z_{a}-z_{b})$

Произведение вектора на число:

$lambda cdot vec{a}=vec{p}(lambda x_{a};: lambda y_{a};:lambda z_{a} )$

Скалярное произведение векторов:

$vec{a}cdot vec{b}=|vec{a}|cdot |vec{b}|cdot cosvarphi =x_{a}cdot x_{b}+y_{a}cdot y_{b}+z_{a}cdot z_{b}$

Косинус угла между векторами:

$cosvarphi =frac{vec{a}cdot vec{b}}{|vec{a}|cdot vec{|b|}}=frac{x_{a}cdot x_{b}+y_{a}cdot y_{b}+z_{a}cdot z_{b}}{sqrt{x^{2}_{a}+y^{2}_{a}+z^{2}_{a}}cdot sqrt{x^{2}_{b}+y^{2}_{b}+z^{2}_{b}}}$

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами vec{AE} и vec{BK} . Для этого нужны их координаты.

$, \ A(0;0;0)\ B(1;0;0)\ E(frac{1}{2};0;1)\ K(1;frac{1}{2};1)$

Запишем координаты векторов:

$vec{AE}left (frac{1}{2};0;1 right )$

$vec{BK}left (0;frac{1}{2};1 right )$

и найдем косинус угла между векторами vec{AE} и vec{BK} :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

$Aleft ( frac{1}{2};-frac{1}{2};0 right )$

$Bleft ( frac{1}{2};frac{1}{2};0 right )$

$Cleft ( -frac{1}{2};frac{1}{2};0 right )$

Из прямоугольного треугольника AOS найдем $OS=frac{sqrt{2}}{2}.$

Координаты вершины пирамиды: $Sleft ( 0;0;frac{sqrt{2}}{2} right ).$

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

$Eleft ( frac{1}{4};frac{1}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

$Kleft ( -frac{1}{4};frac{1}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

Найдем координаты векторов и :

$overrightarrow{AE}left ( -frac{1}{4};frac{3}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

$overrightarrow{BK}left ( -frac{3}{4};frac{1}{4};frac{sqrt{2}}{4} right )$

и угол между ними:

$cosvarphi =frac{overrightarrow{AE}cdot overrightarrow{BK}}{left |overrightarrow{AE} right |cdot left |overrightarrow{BK} right |}=frac{1}{6}$

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

$A_{1}(0;0;1)$

$B(frac{1}{2};frac{sqrt{3}}{2};0)$

$B_{1}(frac{1}{2};frac{sqrt{3}}{2};1)$

$C_{1}(-frac{1}{2};frac{sqrt{3}}{2};1)$

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

$D(frac{1}{4};frac{sqrt{3}}{4};1)$

Найдем координаты векторов и $overrightarrow{BC}_{1}$ , а затем угол между ними:

$overrightarrow{AD}(frac{1}{4};frac{sqrt{3}}{4};1)$

$overrightarrow{BC_{1}}(-1;0;1)$

$cosvarphi =frac{overrightarrow{AD}cdot overrightarrow{BC_{1}}}{left |overrightarrow{AD} right |cdot left |overrightarrow{BC_{1}} right |}=frac{3}{2sqrt{10}}$

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

$left{begin{matrix} A+C+D=0\ 2A-2B+D=0\ 4A+B+2C+D=0 end{matrix}right.$ .

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

$left{begin{matrix} A+C-2=0\ 2A-2B-2=0\ 4A+B+2C-2=0 end{matrix}right.$ ;

$left{begin{matrix} A+C=2\ A-B=1\ 4A+B+2C=2 end{matrix}right.$ .

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

$left{begin{matrix} C=2-A\ B=A-1\ 4A+A-1+4-2A=2 end{matrix}right.$ .

Решив систему, получим:

$, \ A=-frac{1}{3}\ , \ B=-frac{4}{3}\ , \ C=frac{7}{3}$

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

$-frac{1}{3}x-frac{4}{3}y+frac{7}{3}z-2=0.$

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку $M(x_{0}, y_{0}, z_{0}),$ имеет вид:

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0.$

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

$cosvarphi =frac{left |vec{n}_{1}cdot vec{n}_{2} right |}{|vec{n}_{1}|cdot |vec{n}_{2}|}$

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: $vec{n}_{1}=overrightarrow{AC}(1;1;0).$

Напишем уравнение плоскости AEF.

$, \ A(0;0;0)\ E(frac{1}{2};0;1)\ , \ F(0;frac{1}{2};1)$

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

$left.begin{matrix} A\ , \ E\ , \ F end{matrix}right|$ $, \ 0cdot A+0cdot B+0cdot C+D=0\ , \ frac{1}{2}cdot A+0cdot B+1cdot C+D=0\ , \ 0cdot A+frac{1}{2}cdot B+1cdot C+D=0$

Упростим систему:

$left{begin{matrix} D=0\ frac{1}{2}A+C=0\ , \ frac{1}{2}B+C=0 end{matrix}right.$ .

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

$cosvarphi =frac{|2+2|}{sqrt{2}cdot sqrt{9}}=frac{4}{sqrt{2}cdot 3}=frac{4}{sqrt{2}cdot 3}=frac{2sqrt{2}}{3}$

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике»

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = √3

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор $vec{n_{1}}(1;0;0)$ .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

$B_{1}left ( 5;, 0;, sqrt{3} right )$

Координаты вектора $overrightarrow{B_{1}D}$ — тоже:

$overrightarrow{B_{1}D}left ( -5;, sqrt{33};, -sqrt{3} right )=overrightarrow{n}_{2}$

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

$cos, varphi =frac{5}{sqrt{25+33+3}}=frac{5}{sqrt{61}}$

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

$1+tg^{2}varphi =frac{1}{cos^{2}varphi }$

Получим:
$tg, varphi =frac{6}{5}.$

Ответ: $frac{6}{5}.$

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

$sin, varphi =frac{left | overrightarrow{n}cdotoverrightarrow{a} right |}{left | overrightarrow{n} right |cdot |overrightarrow{a}|}$

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

$Eleft ( 1;, frac{1}{2};, 1 right )$

Находим координаты вектора $overrightarrow{AE}left ( 0;, frac{1}{2};, 1 right )$ .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

$sin, varphi =frac{left | overrightarrow{AC}cdot overrightarrow{AE} right |}{|overrightarrow{AC}|cdot|overrightarrow{AE}|}=frac{2}{2cdot sqrt{2}cdot sqrt{5}}=frac{1}{sqrt{10}}$

Ответ: $frac{1}{sqrt{10}}.$

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

$h=frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = $frac{6}{sqrt{5}}$ . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

$A_{1}left ( 0, ;0;, frac{6}{sqrt{5}} right )$

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

$left.begin{matrix} A_{1}\ B\ D end{matrix}right|$ $begin{matrix} frac{6}{sqrt{5}}C+D=0\ sqrt{10}A+D=0\ 3sqrt{10}B+D=0 end{matrix}$

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

$h=frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}=frac{6sqrt{10}}{sqrt{50+36+4}}=frac{6sqrt{10}}{sqrt{90}}=2.$

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Векторы в пространстве и метод координат» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Угол между двумя прямыми

30 мая 2011

Буду кратким. Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂), то сможете найти угол. Точнее, косинус угла по формуле:

Посмотрим, как эта формула работает на конкретных примерах:

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки E и F — середины ребер A₁B₁ и B₁C₁ соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.

Поскольку ребро куба не указано, положим AB = 1. Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x, y, z направим вдоль AB, AD и AA₁ соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1. Теперь найдем координаты направляющих векторов для наших прямых.

Найдем координаты вектора AE. Для этого нам потребуются точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Поскольку точка E — середина отрезка A₁B₁, ее координаты равны среднему арифметическому координат концов. Заметим, что начало вектора AE совпадает с началом координат, поэтому AE = (0,5; 0; 1).

Теперь разберемся с вектором BF. Аналогично, разбираем точки B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), т.к. F — середина отрезка B₁C₁. Имеем:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Итак, направляющие векторы готовы. Косинус угла между прямыми — это косинус угла между направляющими векторами, поэтому имеем:

Задача. В правильной трехгранной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E — середины ребер A₁B₁ и B₁C₁ соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE.

Введем стандартную систему координат: начало координат в точке A, ось x направим вдоль AB, z — вдоль AA₁. Ось y направим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью ABC. Единичный отрезок равен AB = 1. Найдем координаты направляющих векторов для искомых прямых.

Для начала найдем координаты вектора AD. Рассмотрим точки: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), т.к. D — середина отрезка A₁B₁. Поскольку начало вектора AD совпадает с началом координат, получаем AD = (0,5; 0; 1).

Теперь найдем координаты вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) считается легко. С точкой E — серединой отрезка C₁B₁ — чуть сложнее. Имеем:

Осталось найти косинус угла:

Задача. В правильной шестигранной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, отмечены точки K и L — середины ребер A₁B₁ и B₁C₁ соответственно. Найдите угол между прямыми AK и BL.

Введем стандартную для призмы систему координат: начало координат поместим в центр нижнего основания, ось x направим вдоль FC, ось y — через середины отрезков AB и DE, а ось z — вертикально вверх. Единичный отрезок снова равен AB = 1. Выпишем координаты интересующих нас точек:

Точки K и L — середины отрезков A₁B₁ и B₁C₁ соответственно, поэтому их координаты находятся через среднее арифметическое. Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AK и BL:

Теперь найдем косинус угла:

Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки E и F — середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.

Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x и y направим вдоль AB и AD соответственно, а ось z направим вертикально вверх. Единичный отрезок равен AB = 1.

Точки E и F — середины отрезков SB и SC соответственно, поэтому их координаты находятся как среднее арифметическое концов. Выпишем координаты интересующих нас точек:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AE и BF:

Координаты вектора AE совпадают с координатами точки E, поскольку точка A — начало координат. Осталось найти косинус угла:

Смотрите также:

Задача 14: Угол между плоскостями сечения
Видеоурок по задачам C2: расстояние от точки до плоскости
Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
Решение задач B12: №440—447
Текстовые задачи про рельсы
Задача B4: Семья из трех человек едет из Москвы в Нижний Новгород

Источник

Рассмотрим
решения стереометрических задач из открытого банка заданий, расподоженного на
сайте Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Задачи на
нахождение углов между скрещивающимися прямыми в кубе.

Перед тем, как мы приступим к решению
первой задачи, вспомним определение угла между скрещивающимися прямыми.

Углом
между скрещивающимися прямыми называется угол
между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны
заданным скрещивающимся прямым.

Задание 1. Точка E — середина ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми BE и AD.

Решение.

По условию, задача верна для любого куба. Для того
чтобы в решении было меньше дробей, предположим, что ребро куба равно 2
единицам. Тогда CE=1 .

Прямая AD параллельна
прямой BC, значит, угол
между прямыми BE и AD равен углу CBE.

Из прямоугольного треугольника CBE с прямым углом С имеем:

tg ÐCBE = CE: CB =1:2 =0,5,

тогда ÐCBE = arctg0,5.

Ответ: arctg0,5.

Перед решением второй задачи напомним теорему
косинусов:

Квадрат стороны
треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Задача 2. На ребре CC₁куба
ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена
точка E так, что CE:EC₁=1:2. Найдите угол
между прямыми BE и AC₁.

Задания для
самостоятельной работы.

1.
На
ребре CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁
отмечена точка E так, что CE:EC₁=3:1. Найдите угол между прямыми BE и AC₁.

2.
На
ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC1=2:1. Найдите угол
между прямыми BE и AC1.

3.
На
ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена
точка E так, что CE:EC1=2:3. Найдите угол
между прямыми BE и AC1.

4.
На
ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC1=1:3. Найдите угол
между прямыми BE и AC1.

5.
На
ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC1=3:2. Найдите угол
между прямыми BE и AC1.

6.
Точка
E — середина
ребра BB1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол
между прямыми AE и CA1.

7.
Точка
E — середина
ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите
площадь сечения куба плоскостью A1BE, если рёбра
куба равны 2.

8.
Точка
E — середина
ребра DD1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол
между прямыми CE и AC1.

9.
Точка
E — середина
ребра BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите
площадь сечения куба плоскостью D₁AE, если рёбра
куба равны 4.

10.
Точка
E — середина
ребра AA₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол
между прямыми DE и BD₁.

11.
Точка
E — середина
ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол
между прямыми BE и B₁D.

12.
Точка
E — середина
ребра AA₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите
площадь сечения куба плоскостью C₁DE, если рёбра
куба равны 2.

Точка E — середина ребра DD₁куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите площадь сечения куба плоскостью B₁CE, если рёбра куба равны 4.

Источник

Угол между прямыми на плоскости

Определение.
Углом между прямыми называется наименьший
из двух смежных углов, образованных
этими прямыми.

Для
решения вопроса о нахождении угла между
прямыми достаточно заменить прямые их
направляющими векторами и находить
острый угол между векторами.

Пусть
прямые ℓ₁
и ℓ₂
заданы общими уравнениями в прямоугольной
декартовой системе координат О
:

ℓ_1:

= 0,

ℓ_2:

= 0.

Направляющие
векторы этих прямых имеют координаты

₁(В₁,
– А₁)
и

₂(В₂,
– А₂).
Пусть угол между прямыми равен .
Тогда

cos
=

или

cos
=

.
(7)

При
решении задач часто сталкиваемся с
нахождением угла между прямыми, когда
прямые ℓ₁
и ℓ₂
задаются
уравнениями с угловым коэффициентом
(не забываем, что прямые ℓ₁
и ℓ₂
не параллельны оси Оу):

ℓ_1:

,

ℓ_2:

.

Если
переписать эти уравнения в общем виде,
то получим

ℓ_1:

= 0,

ℓ_2:

= 0.

Соответственно,
их направляющие векторы

₁(1,
k₁)
и

₂(1,
k₂),
и формула (7) принимает вид:

cos
=

.

Более
интересна формула для угла между прямыми
ℓ₁
и ℓ₂:

=

.

Действительно,

,

(см. рисунок). Тогда
один из углов между прямыми ℓ₁
и ℓ₂:

= |
|.
Так как

=
|

|
= |
|,

то

Замечание.
Если ℓ₁
ℓ₂,
то

– не существует и

= –1.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть
прямые ℓ₁
и ℓ₂
заданы общими уравнениями в О

:

ℓ_1:

= 0,

ℓ_2:

= 0.

Вопрос
о взаимном расположении двух прямых
можно решить алгебраическим путем, а
именно, исследуя решение системы линейных
уравнений

Как
известно, система имеет единственное
решение только в единственно случае,
когда коэффициенты при неизвестных не
пропорциональны

.
Следовательно,

1.
ℓ₁

ℓ₂



ℓ₁

ℓ₂


2.
ℓ₁||ℓ₂
ℓ₁

ℓ₂


(


).

3.
ℓ₁=
ℓ₂


( прямые совпадают).

Расстояние от точки до прямой

Пусть
прямая ℓ задана общим уравнением в О
:

ℓ:

= 0.

Нормальный
вектор прямой имеет координаты:

.
Выберем произвольно точку М₀(
)
и найдем расстояние от точки М₀
до прямой ℓ.

Из
точки М₀опустим
перпендикуляр на прямую ℓ
и обозначим
основание
перпендикуляра
М₁(
).
Так как М₁
ℓ, то

= 0 и

С
= – (
).
(8)

Искомое
расстояние равно |М₁М₀|.
С другой стороны

||

и, следовательно, угол 
между ними равен или 0, или .

Поэтому:

(
,

)
= |
|
|
|cos
= 
|
|
|
|
= 
|
|
.

Запишем
полученное равенство в координатной
форме.

Имеем:

(
.

Поэтому,
учитывая (8) получим:

(
,

)
=

=

=

.

Учитывая,
что скалярное произведение векторов
может быть отрицательным, будем
рассматривать его по абсолютной величине
и находим

|
|

= |
|,

|М₁М₀|
=

.
(9)

Знак
трехчлена Ах
+ Ву + С

Пусть
прямая ℓ задана общим уравнением в О
:

ℓ:

= 0.

Нормальный
вектор прямой имеет координаты:

.
От произвольной точки

прямой
ℓ откладываем представитель

вектора

Как
известно прямая ℓ разбивает плоскость
на две открытые полуплоскости, которые
обозначим 
и ,
причем полуплоскость 
содержит отрезок

.

Тогда,
как нетрудно заметить, если точка М(
)
расположена в полуплоскости ,
то угол между векторами

будет острый. Если точка М
расположена в полуплоскости ,
то угол между векторами

будет тупой. Рассматривая скалярные
произведения этих векторов, получим:

Если
точка М
расположена в полуплоскости ,
то (
,

)
> 0.
Если
точка М
расположена
в полуплоскости ,
то (
,

)
< 0.

Записывая
1 и 2 в координатной форме, получим:

М



>
0,

М



<
0.

Учитывая,
что точка


ℓ, (см (8)) получим:

М




> 0, (10)

М




< 0. (11)

Таким
образом, строгие неравенства (10), (11)
являются уравнениями открытых
полуплоскостей. Если неравенства
нестрогие, т.е.

≥ 0,
(12)

 0.
(13),

то
они являются уравнениями полуплоскостей
(вместе с граничной прямой ℓ).

Пример.
В прямоугольной декартовой системе
координат на плоскости заданы точки:
А(2; −1), В(−1;
3), С(4; −5).

1)
Составить уравнения прямой АВ
в канонической,
параметрической и общей формах. Определить
координаты ее нормального вектора.

2)
Определить угловой коэффициент прямой
(АС)
и отрезки, отсекаемые ею на осях координат.

3)
Найти косинус угла между прямыми (АВ)
и (АС).

4)
Найти длину высоты треугольника АВС,
проведенной из вершины С и составить
уравнение прямой, содержащей этот
отрезок.

Решение.
1. Прямую (АВ)
можно задать точкой А(2;
−1) и вектором

,
тогда каноническое и параметрическое
задания данной прямой будут выглядеть
следующим образом:

(1)

где

R.
(2)

Из
канонического уравнения (1) равносильными
переходами получим ее общее уравнение:

.
(3)

Из
уравнения (3) найдем координаты нормального
вектора этой прямой:

.

2.
Аналогично пункту (1) можно получить
общее уравнение прямой (АС):
2x
+ y
− 3 = 0.

Откуда

y
= −2x
+ 3.

Следовательно,
угловой коэффициент этой прямой k
= − 2.

Уравнение
прямой (АС)
запишем в виде: 2x
+ y
= 3 и, разделив
обе части уравнения на 3, получим

Мы
получили уравнение прямой в отрезках.
Отсюда находим точки пересечения прямой
с осями координат:

,
B(0;3)

3.
Для нахождения косинуса угла между
прямыми (АВ)
и (АС)
используем следующую формулу:

где

–угл между прямыми,
k₁,
k₂
– угловые коэффициенты данных прямых.
Во второй части задания мы нашли k₂= −2.

Общее
уравнение прямой (АВ)
получено в первой части задания:

4x
+ 3y
− 5 = 0, откуда

и k₁=

.

Следовательно,

Итак,

.

4
.

Длину
высоты

можно рассматривать как расстояние от
точки С(4;−5).до прямой (АВ):

.

аким образом,

.
Формула расстояния от точки до прямой
известна:

Следовательно,

.

Итак,
|CH|=0,8.

Прямую
(CH)
можно задать точкой С(4;
-5) и нормальным
вектором

.
Поэтому −3
∙(x
− 4) + 4 ∙(y
+5)=0,

3x
— 4y
– 32 = 0 –
уравнение прямой (CH).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Задание:

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми AB и CA₁.

Решение:

Заменим одну из заданных прямых AB на параллельную прямую B₁A₁
Угол между AB и CА₁ равен углу между прямой CA₁ и А₁B₁.

Из CB₁В:

Если вы получите отрицательное значение косинуса, — это говорит о том, что угол тупой. Вспомним, что в стереометрии углом между прямыми называют острым. Перейти к острому углу просто: cos α = m

Источник