Как найти косинус самого большого угла

Примеры:

(cos{⁡30^°}=)(frac{sqrt{3}}{2})
(cos⁡)(frac{π}{3})(=)(frac{1}{2})
(cos⁡2=-0,416…)

Содержание:

• Аргумент и значение
• 
  Коcинус острого угла
• 
  Косинус числа
• 
  Косинус любого угла
• 
  Знаки по четвертям
• 
  Связь с другими функциями
• 
  Функция 

Аргумент и значение

Косинус острого угла

Пример:

1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.

Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.

Косинус числа

Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с Пи: (frac{π}{2}), (frac{3π}{4}), (-2π).

Например, для числа (frac{π}{6}) — косинус будет равен (frac{sqrt{3}}{2}). А для числа (-)(frac{3π}{4}) он будет равен (-)(frac{sqrt{2}}{2}) (приблизительно (-0,71)).

Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в тригонометрической таблице.

Косинус любого угла

Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем (360°) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем (100) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в (150°). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью (x). После этого откладываем (150°) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в (-60°) (угол КОВ), делаем также, но (60°) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше (360°) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол (405°) отложен как (360° + 45°).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в (960°), надо сделать уже два оборота ((360°+360°+240°)), а для угла в (2640°) — целых семь.

Стоит запомнить, что:

Знаки косинуса по четвертям

С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по четвертям числовой (тригонометрической) окружности:

— там, где значения на оси от (0) до (1), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
— там, где значения на оси от (0) до (-1), косинус будет иметь знак минус (II и III  четверти – фиолетовая область).

Пример. Определите знак (cos 1).
Решение: Найдем (1) на тригонометрическом круге. Будем отталкиваться от того, что (π=3,14). Значит единица, примерно, в три раза ближе к нулю (точке «старта»).

Если провести перпендикуляр к оси косинусов, то станет очевидно, что (cos⁡1) – положителен.
Ответ: плюс.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

— синусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством (sin^2⁡x+cos^2⁡x=1)
— тангенсом того же угла (или числа): формулой (1+tg^2⁡x=)(frac{1}{cos^2⁡x})
— котангенсом и синусом того же угла (или числа): формулой (ctgx=)(frac{cos{x}}{sin⁡x})
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.

Функция (y=cos{x})

Если отложить по оси (x) углы в радианах, а по оси (y) — соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:

График данной функции называется косинусоида и обладает следующими свойствами:

      — область определения – любое значение икса:   (D(cos{⁡x} )=R)
      — область значений – от (-1) до (1) включительно:    (E(cos{x} )=[-1;1])
      — четная:   (cos⁡(-x)=cos{x})
      — периодическая с периодом (2π):   (cos⁡(x+2π)=cos{x})
      — точки пересечения с осями координат:
             ось абсцисс:   (()(frac{π}{2})(+πn),(;0)), где (n ϵ Z)
             ось ординат:   ((0;1))
      — промежутки знакопостоянства:
             функция положительна на интервалах:   ((-)(frac{π}{2})(+2πn;) (frac{π}{2})(+2πn)), где (n ϵ Z)
             функция отрицательна на интервалах:   (()(frac{π}{2})(+2πn;)(frac{3π}{2})(+2πn)), где (n ϵ Z)
      — промежутки возрастания и убывания:
             функция возрастает на интервалах:    ((π+2πn;2π+2πn)), где (n ϵ Z)
             функция убывает на интервалах:    ((2πn;π+2πn)), где (n ϵ Z)
       — максимумы и минимумы функции:
             функция имеет максимальное значение (y=1) в точках (x=2πn), где (n ϵ Z)
             функция имеет минимальное значение (y=-1) в точках (x=π+2πn), где (n ϵ Z).

Смотрите также:

Синус
Тангенс
Котангенс
Решение уравнения (cos⁡x=a)

Для простоты запоминания можно дать такое определение: косинус угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к гипотенузе.

В случае с рисунком, описанным выше: cos⁡α=bccosalpha=frac{b}{c}

Решение задач по математике от экспертов сайта Студворк!

Тест по теме “Вычисление косинуса”

Приложения: