Ответ мой будет аналогичным ответу на похожий вопрос (см. здесь).
Из основного тригонометрического тождества:
выразим косинус в квадрате угла а:
Значит косинус угла равен либо корню квадратному из этого выражения, либо ему же, только со знаком -.
Знак перед корнем зависит от ограничения, которое накладывается для определенности в условии задачи.
Если дано положительное значение синуса,то угол находится в 1-й или во 2-й четверти. В первой четверти (0< a< 90) значение косинуса будет положительным. Здесь выбираем знак плюс. Во второй четверти (90< a< 180) значение косинуса будет отрицательным. Тогда перед корнем выбираем знак минус.
Если значение синуса отрицательное, то угол расположен в 3-й или 4-й четверти. В 3 четверти (180< a< 270) косинус угла будет меньше нуля.
В 4 четверти (270< a< 360) косинус угла будет больше нуля.
Примеры.
Пример 1. Найти косинус угла, если sina = -0,6. 180<a<270 (в градусах)
Решение. Находим разность 1 и квадрата значения sina, т.е. квадрата (-0,6).
-0,6 в квадрате находится так: (-0,6)*(-0,6) = 0,36. Подставим его в искомую разность:
1-0,36=0,64
Получили квадрат значения косинуса. Для нахождения значения самого косинуса, извлечем корень квадратный из 0,64 и возьмем его со знаком + или со знаком — . Получим 0,8 или -0,8.
Так как по условию угол находится в 3 четверти, то искомое значение косинуса будет также меньше нуля. Значит выбираем -0,8.
Ответ: cos a =-0,8.
Рассмотрим пример для случая, когда угол находится в 4 четверти:
Пример 2. Найти косинус угла, если sina = -0,6. 270<a<360 (в градусах)
Решение такое же (см. пример 1).
Перед выбором ответа рассуждаем так:
Т. к. по условию угол расположен в 4 четверти, то значение косинуса будет больше нуля. Значит выбираем 0,8.
Ответ: cos a =0,8.
Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Для простоты запоминания можно дать такое определение: косинус угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к гипотенузе.
В случае с рисунком, описанным выше: cosα=bccosalpha=frac{b}{c}
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см10text{ см}. Один из катетов равен 6 см6text{ см}. Найдите косинус угла, прилежащего к наибольшему катету.
Решение
Пользуясь теоремой Пифагора вычислим длину неизвестного нам катета.
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
62+b2=1026^2+b^2=10^2
36+b2=10036+b^2=100
b2=64b^2=64
b=8b=8
Катет bb длиннее катета aa. Нам нужно найти косинус угла, прилежащего к наибольшему катету, то есть, к катету bb:
cosα=bc=810=0.8cosalpha=frac{b}{c}=frac{8}{10}=0.8
Ответ
0.8
Две стороны треугольника равны 4 см4text{ см} и 9 см9text{ см}. Периметр его равен 25 см25text{ см}.
Найдите косинус угла, прилежащего к неизвестной стороне и стороне с длиной 4 см4text{ см}.
Решение
Найдем третью сторону треугольника. Так как известен периметр, это будет легко сделать:
P=a+b+cP=a+b+c
25=9+4+c25=9+4+c
c=12c=12
При нахождении косинуса угла нам поможет следствие из теоремы косинусов, которое выглядит так:
cosα=b2+c2−a22⋅b⋅c=42+122−922⋅4⋅12=16+144−8196=7996≈0.82cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2cdot bcdot c}=frac{4^2+12^2-9^2}{2cdot 4cdot 12}=frac{16+144-81}{96}=frac{79}{96}approx0.82
Ответ
0.820.82
Решение задач по математике от экспертов сайта Студворк!
Тест по теме “Вычисление косинуса”
Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс
18 мая 2022
Сегодня мы узнаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Это первый и самый важный урок по тригонометрии на всём сайте.
Содержание:
- Ключевые определения: синус, косинус, тангенс, котангенс.
- Почему эти значения зависят только от углов?
- Стандартные углы: 30°, 45°, 60°.
- Простейшие свойства синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
- Тригонометрия на координатной сетке.
Никаких сложных формул и длинных решений. Всё расписано максимально подробно. Изучите этот урок — и никаких проблем с тригонометрией не будет. Погнали!
1. Ключевые определения
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:
Мы видим, что острый угол $alpha $ образован гипотенузой $c$ и катетом $b$. Такой катет будем называть прилежащим. А катет $a$, который не участвует в формировании угла $alpha $, назовём противолежащим:
Это общепринятые названия: как только в прямоугольном треугольнике отмечен острый угол, для него немедленно можно указать прилежащий катет и противолежащий. И тут мы переходим к ключевым определениям.
1.1. Синус, косинус, тангенс, котангенс
Итак, пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $.
Тогда:
Определение 1. Синус угла $alpha $ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
[sin alpha =frac{text{противолежащий катет}}{text{гипотенуза}}=frac{a}{c}]
Определение 2. Косинус угла $alpha $ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
[cos alpha =frac{text{прилежащий катет}}{text{гипотенуза}}=frac{b}{c}]
Определение 3. Тангенс угла $alpha $ — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
[operatorname{tg}alpha =frac{text{противолежащий катет}}{text{прилежащий катет}}=frac{a}{b}]
Определение 3. Котангенс угла $alpha $ — это отношение прилежащего катета к противолежащему:
[operatorname{ctg}alpha =frac{text{прилежащий катет}}{text{противолежащий катет}}=frac{b}{a}]
Вот так всё просто! Берём один катет, делим его на гипотенузы (или на другой катет) — и получаем выражение для синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Все эти выражения называются тригонометрическими («тригонометрия» = «треугольники измеряю»).
Рассмотрим пару примеров.
Задача 1. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $alpha $.
Решение. Это классический прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Угол $alpha $ (он же — угол $A$ или угол $BAC$) образован прилежащим катетом $AB=3$гипотенузой $AC=5$. Следовательно катет $BC=4$ — противолежащий.
Имеем:
[begin{align}sin alpha& =frac{BC}{AC}=frac{5}{4} \ cos alpha& =frac{AB}{AC}=frac{3}{5} \ operatorname{tg}alpha& =frac{BC}{AB}=frac{4}{3} end{align}]
Далеко не всегда будут получаться такие красивые ответы. Чаще они будут содержать корни — это следствие теоремы Пифагора. Но важно понимать: как только мы находим длины катетов и гипотенузу, мы сразу можем найти и синусы, косинусы, тангенсы.
Далее в примерах мы не будем считать котангенсы, потому что из формулы котангенса очевидно, что они легко выражаются через тангенсы:
[operatorname{ctg}alpha =frac{1}{operatorname{tg}alpha }]
Но об этом чуть позже.
Задача 2. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $alpha $.
Это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $AB=BC=1$. Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:
[begin{align}{{ AC}^{2}} & ={{AB}^{2}}+{{BC}^{2}}=1+1=2 \ AC & =sqrt{2} \ end{align}]
Теперь найдём синус, косинус и тангенс:
[begin{align}sin alpha &=frac{BC}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ cos alpha &=frac{AB}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ operatorname{tg}alpha&=frac{BC}{AB}=frac{1}{1}=1 end{align}]
Простое правило, чтобы не запутаться, где прилежащий катет, а где противолежащий. Просто помните: приставка «ко» означает «вместе», «сообща». Поэтому «косинус» — это «катет, лежащий рядом, к гипотенузе», «котангенс» — это «катет, лежащий рядом, к противолежащему». И никак иначе.:)
1.2. Задачи для тренировки
Перед тем как переходить к следующей части урока, предлагаю 4 примера для тренировки.
Задача 3. ►
Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
Решение.
[begin{align}sin alpha &=frac{5}{13} \ cos alpha &=frac{12}{13} \ operatorname{tg}alpha &=frac{5}{12} \ end{align}]
Задача 4. ►
Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
Решение.
[begin{align}sin alpha &=frac{8}{17} \ cos alpha &=frac{15}{17} \ operatorname{tg}alpha &=frac{8}{15} \ end{align}]
Задача 5. ►
Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
Прилежащий катет по теореме Пифагора:
[begin{align}{{l}^{2}}&={{3}^{2}}-{{1}^{2}}=9-1=8 \ l&=sqrt{8}=2sqrt{2} \ end{align}]
Синус, косинус и тангенс:
[begin{align}sin alpha&=frac{1}{3} \ cos alpha&=frac{2sqrt{2}}{3} \ operatorname{tg}alpha&=frac{1}{2sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{4} \ end{align}]
Задача 6. ►
Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
Прилежащий катет по теореме Пифагора:
[begin{align}{{l}^{2}} &={{2}^{2}}-{{1}^{2}}=4-1=3 \ l &=sqrt{3} \ end{align}]
Синус, косинус и тангенс:
[begin{align}sin alpha&=frac{1}{2} \ cos alpha&=frac{sqrt{3}}{2} \ operatorname{tg}alpha&=frac{1}{sqrt{3}}=frac{sqrt{3}}{3} \ end{align}]
Как видим, считать синусы, косинусы и тангенсы совсем несложно. Перейдём теперь к принципиально важному вопросу: а зачем вообще всё это нужно?
2. Теорема о единственности
Ключевая идея: синус, косинус, тангенс и котангенс зависят только от величины угла $alpha $ и никак не зависят от прямоугольного треугольника, в котором идут вычисления.
Такого не произойдёт. Потому что есть теорема о единственности.
2.1. Формулировка теоремы
Теорема. Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике определяются только величиной этого угла и никак не зависят от самого треугольника.
2.2. Доказательство
Рассмотрим произвольный острый угол $alpha $. Для удобства обозначим его вершину буквой $A$:
А затем впишем в него два произвольных прямоугольных треугольника — $ABC$ и $AMN$. Любым удобным способом. Например, можно вписать эти треугольники вот так:
А можно и вот так — это не имеет никакого значения:
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AMN$. Угол $A$ у них общий; углы [angle ABC=angle AMN=90{}^circ ] по условию. Следовательно, треугольники $ABC$ и $AMN$ подобны по двум углам:
[Delta ABCsim Delta AMN]
Из подобия треугольников следует двойное равенство
[frac{AB}{AM}=frac{BC}{MN}=frac{AC}{AN}]
Выпишем второе равенство — получим пропорцию
[frac{BC}{MN}=frac{AC}{AN}]
Попробуем выразить $sin alpha $. Вспомним основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Поэтому
[BCcdot AN=MNcdot AC]
Разделим обе части равенства на длину каждой гипотенузы — $AN$ и $AC$:
[begin{align}frac{BCcdot AN}{ANcdot AC} &=frac{MNcdot AC}{ANcdot AC} \ frac{BC}{AC} &=frac{MN}{AN} end{align}]
Однако по определению синуса имеем:
[begin{align}sin BAC &=frac{BC}{AC} \ sin MAN &=frac{MN}{AN} \ end{align}]
Получается, что $sin BAC=sin MAN$. Другими словами, вне зависимости от выбора треугольника для данного угла $alpha $ мы всегда будем получать одно и то же значение $sin alpha $.
То же самое касается и $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $ и $operatorname{ctg}alpha $ — они зависят лишь от градусной меры угла $alpha $ и никак не зависят от конкретного прямоугольного треугольника, в котором они находятся. Теорема доказана.
3. Стандартные углы
Итак, значения $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $ и $operatorname{ctg}alpha $ однозначно определяются величиной угла $alpha $. Нам не важен треугольник — важна только градусная мера угла. Можно один раз посчитать синусы, косинусы и т.д. для нужных углов, а затем просто подставлять их.
Но тут мы сталкиваемся с проблемой, из-за которой многие как раз и не понимают тригонометрию. Проблема состоит из двух пунктов:
- Для большинства углов $alpha $ нельзя найти точные значения $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
- Верно и обратное: для большинства «красивых» $sin alpha $, $cos alpha $ и т.д. нельзя подобрать подходящий угол $alpha $.
Звучит немного непонятно, поэтому разберём каждый пункт на конкретных примерах.
3.1. Три стандартных угла
Существует лишь три острых угла, для которых легко считаются синусы, косинусы и т.д. Это 30°, 45°, 60°. Вот их синусы, косинусы и тангенсы:
[begin{array}{c|ccc} alpha& 30{}^circ& 45{}^circ & 60{}^circ \ hlinesin alpha & frac{1}{2} & frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{3}}{2} \ cos alpha & frac{sqrt{3}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} & frac{1}{2} \ operatorname{tg}alpha& frac{sqrt{3}}{3} & 1 & sqrt{3} \ end{array}]
Чтобы понять, чем эти углы такие особенные, просто посчитаем все эти синусы, косинусы и тангенсы. Начнём с $alpha =45{}^circ $. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. Мы уже встречались с ним:
Поскольку в равнобедренном треугольнике $angle A=angle B=45{}^circ $, получим:
[begin{align}sin 45{}^circ &=sin A=frac{BC}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ cos 45{}^circ &=sin A=frac{AB}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ operatorname{tg}45{}^circ&=sin A=frac{BC}{AB}=frac{1}{1}=1 end{align}]
Это именно те значения, которые указаны в таблице!
Теперь разберёмся с углами $alpha =30{}^circ $ и $alpha =60{}^circ $. Здесь рассуждения будут чуть сложнее. Сначала рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB=2$ (просто так удобнее) и проведём высоту $BH$:
Мы знаем, что высота $BH$ — ещё и медиана, и биссектриса. Поэтому $AH=CH=1$, $angle ABH=angle CBH=30{}^circ $.
Следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный, да ещё и с острыми углами 30° и 60°. По теореме Пифагора легко найти $BH=sqrt{3}$. Нанесём все данные на чертёж:
Разберёмся с углом 60°:
[begin{align} sin{60}^circ &=sin A=frac{BH}{AB}=frac{sqrt{3}}{2} \ cos{60}^circ&=cos A=frac{AH}{AB}=frac{1}{2} \ operatorname{tg}{60}^circ&=operatorname{tg}A=frac{BH}{AH}=sqrt{3} \ end{align}]
И с углом 30°:
[begin{align} sin{30}^circ &=sin ABH=frac{AH}{AB} =frac{1}{2} \ cos{30}^circ &=cos ABH=frac{BH}{AB} =frac{sqrt{3}}{2} \ operatorname{tg}{30}^circ &=operatorname{tg} ABH=frac{AH}{BH} =frac{1}{sqrt{3}} =frac{sqrt{3}}{3} \ end{align}]
Попробуйте повторить все эти рассуждения самостоятельно. Это очень полезное упражнение!
Возникает вопрос: как быть с другими углами? Например, можно ли найти $sin {50}^circ $? Или, быть может, $cos {10}^circ $? Спойлер: можно, но это будут очень громоздкие выражения. И у нас пока не хватает технологий, чтобы их найти.
Поэтому идём дальше и посмотрим на ситуацию с другой стороны: как подобрать угол к заданному синусу, косинусу, тангенсу?
3.2. Что с другими углами?
Взгляните ещё раз на «классический» прямоугольный треугольник, с которого мы начинали наши рассуждения:
Катеты 4 и 3, гипотенуза 5 — вполне обычный треугольник. Для него можно посчитать, например, синус острого угла $alpha $:
[sin alpha =sin A=frac{BC}{AB}=frac{3}{5}=0,6]
Итак, мы знаем синус. Внимание, вопрос: каким должен быть угол $alpha $, чтобы $sin alpha =0,6$? Сколько градусов должно быть в угле $alpha $? Ответ: неизвестно.:)
Точнее, правильнее сказать, что у нас пока нет технологий, позволяющих найти такой угол $alpha $, чтобы $sin alpha =0,6$. Хотя такой угол точно есть, ведь мы предъявили треугольник, в котором он присутствует.
Из всех этих рассуждений сделаем важный вывод. В тригонометрии мы:
- Либо берём угол и считаем для него синусы, косинусы и т.д. Но лишь для трёх острых углов — 30°, 45°, 60° — всё будет считаться быстро и красиво. Такие углы называются табличными.
- Либо берём синус, косинус или тангенс и для него пытаемся подобрать острый угол. Но лишь для табличных значений мы сможем подобрать такие углы. И да: это будут углы 30°, 45°, 60°.
Ещё раз:
Мы можем посчитать лишь синус, косинус и тангенс для трёх табличных углов.
Например, $sin 30{}^circ $, $cos 45{}^circ $, $operatorname{tg}60{}^circ $ и т.д. А всякие $sin 15{}^circ $, $cos 25{}^circ $ или $operatorname{tg}89,5{}^circ $ — не сможем. По крайней мере пока.:)
И наоборот:
Зная $sin alpha $, $cos alpha $ или $operatorname{tg}alpha $, мы сможем назвать точный угол $alpha $ только в том случае, если все эти синусы, косинусы и тангенсы — среди табличных значений.
Например, мы точно знаем, что если $sin alpha =frac{sqrt{2}}{2}$, то $alpha =45{}^circ $. Но когда $sin alpha =0,6$, мы уже не можем назвать угол $alpha $ (хотя всегда можем построить такой угол).
С этой мыслью мы и переходим к следующему пункту — свойства тригонометрических выражений.
4. Свойства синуса, косинуса, тангенса
Мы разберём три ключевых свойства:
- Связь между синусом, косинусом и тангенсом.
- Связь между острыми углами прямоугольного треугольника.
- Основное тригонометрическое тождество.
Свойствам 2 и 3 далее в курсе будут посвящены отдельные уроки. Но основные идеи полезно взять на вооружение уже сейчас.
4.1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:
Выразим синус, косинус:
[sin alpha =frac{a}{c};quad cos alpha =frac{b}{c}]
А теперь выразим тангенс и заметим, что
[operatorname{tg}alpha =frac{a}{b}=frac{a}{c}cdot frac{c}{b}=frac{sin alpha }{cos alpha }]
Точно так же можно выразить и котангенс:
[operatorname{ctg}alpha =frac{b}{a}=frac{b}{c}cdot frac{c}{a}=frac{cos alpha }{sin alpha }]
Более того, сам тангенс и котангенс тоже связаны:
[operatorname{tg}alpha cdot operatorname{ctg}alpha =frac{a}{b}cdot frac{b}{a}=1]
Мы получили три важнейших тригонометрических формулы:
Основные формулы тригонометрии:
[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha };quad operatorname{ctg}alpha =frac{cos alpha }{sin alpha };quad operatorname{tg}alpha cdot operatorname{ctg}alpha =1]
Эти формулы нужно знать наизусть. И понимать, откуда они берутся.
4.2. Связь между острыми углами
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $angle C=90{}^circ $. Пусть градусная мера $angle A=alpha $ градусов:
Мы помним, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому если $angle A=alpha $, то угол $angle B=90{}^circ -alpha $. Но тогда:
[sin alpha =sin A=frac{BC}{AB}=cos B=cos left( 90{}^circ -alpha right)]
То же самое и с косинусами:
[cos alpha =cos A=frac{AC}{AB}=sin B=sin left( 90{}^circ -alpha right)]
И даже с тангенсами и котангенсами:
[begin{align} operatorname{tg}alpha&=operatorname{tg}A=frac{BC}{AC} =operatorname{ctg}B=operatorname{ctg}left( {90}^circ -alpharight) \ operatorname{ctg}alpha&=operatorname{ctg}A=frac{AC}{BC} = operatorname{tg}B=tgleft( {90}^circ -alpha right) \ end{align}]
Другими словами, если вместо $alpha $ поставить ${90}^circ -alpha $, то исходная тригонометрическая функция поменяется на ко-функцию:
[begin{align}sin left( {90}^circ-alpharight) &=cos alpha \ cos left( {90}^circ-alpharight) &=sin alpha \ operatorname{tg}left( {90}^circ-alpharight) &=operatorname{ctg}alpha\ operatorname{ctg}left( {90}^circ-alpharight) &=operatorname{tg}alphaend{align}]
Но это ещё не всё. Есть гораздо более интересная формула.
4.3. Основное тригонометрическое тождество
Вновь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:
Запишем выражения для $sin alpha $ и $cos alpha $:
[sin alpha =frac{a}{c};quad cos alpha =frac{b}{c}]
Далее заметим, что
[begin{align} {{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha&={{left( frac{a}{c} right)}^{2}}+{{left( frac{b}{c} right)}^{2}}= \ & =frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}} +frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}= \ & =frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}} end{align}]
В числителе можем применить теорему Пифагора: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$, поэтому
[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1]
Правая часть этой формулы вообще не зависит от угла $alpha $.
Основное тригонометрическое тождество:
[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =1]
Это равенство связывает синус и косинус одного и того же угла и верно для всех $alpha $.
С помощью основного тригонометрического тождества можно вычислять косинус, зная синус, и наоборот.
Задача 7. Найдите $18cos alpha $ для острого угла $alpha $, если $sin alpha =frac{sqrt{65}}{9}$.
Решение. Запишем основное тригонометрическое тождество:
[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =1]
Подставим указанное значение $sin alpha $ и выразим $cos alpha $:
[begin{align}{{left( frac{sqrt{65}}{9} right)}^{2}}+{{cos }^{2}}alpha &=1 \ frac{65}{81}+{{cos }^{2}}alpha &=1 \ {{cos }^{2}}alpha &=frac{16}{81} \ cos alpha&=pm frac{4}{9} end{align}]
Поскольку косинус угла в прямоугольном треугольнике не может быть отрицательным, выбираем вариант $cos alpha ={4}/{9};$. Остаётся сделать финальный шаг:
[18cos alpha =18cdot frac{4}{9}=2cdot 4=8]
Вот и всё! Ответ: 8.
В следующем примере мы уже не будем подробно расписывать каждый шаг. Оформим всё так, как надо оформлять на контрольных и экзаменах.
Задача 8. Найдите $48operatorname{tg}alpha $ для острого угла $alpha $, если $cos alpha =frac{8}{sqrt{113}}$.
Решение. Найдём $sin alpha $:
[begin{align}{{sin }^{2}}alpha &=1-{{cos }^{2}}alpha = \ & =1-{{left( frac{8}{sqrt{113}} right)}^{2}}= \ & =1-frac{64}{113}=frac{49}{113} \ sin alpha&=pm frac{7}{sqrt{113}} end{align}]
Но ${0}^circ lt alpha lt {90}^circ $, поэтому $sin alpha gt 0$. Следовательно
[sin alpha =frac{7}{sqrt{113}}]
Найдём $operatorname{tg}alpha $:
[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=frac{7}{sqrt{113}}cdot frac{sqrt{113}}{8}=frac{7}{8}]
Окончательный ответ:
[48operatorname{tg}alpha =48cdot frac{7}{8}=6cdot 7=42]
Ответ: 42.
Заметка на будущее: замечание о том, что угол $alpha $ острый, весьма существенно. То, как мы сейчас определяем синусы, косинусы и тангенсы (через прямоугольный треугольник), называется геометрической тригонометрией. Её проходят в 8—9 классе.
Но в 10—11 классах появится алгебраическая тригонометрия, где синусы, косинусы и т.д. вполне могут быть отрицательными. И уже не получится просто так избавиться от минуса.
Но всё это будет чуть позже. А сейчас потренируемся.
Задача 9. ►
Найдите $52cos alpha $ для острого угла $alpha $, если $sin alpha =frac{5}{13}$.
Решение. Найдём $cos alpha $:
[begin{align}{{cos }^{2}}alpha &=1-{{sin }^{2}}alpha = \ &=1-frac{25}{169}=frac{144}{169} \ cos alpha&=pm frac{12}{13} end{align}]
Поскольку $cos alpha gt 0$ для острых $alpha $, выбираем $cos alpha ={12}/{13};$. Итого
[52cos alpha =52cdot frac{12}{13}=48]
Ответ: 48.
Задача 10. ►
Найдите $1+2operatorname{tg}alpha $ для острого угла $alpha $, если $cos alpha =frac{1}{sqrt{26}}$.
Решение. Найдём $sin alpha $:
[begin{align}{{sin }^{2}}alpha &=1-{{cos }^{2}}alpha = \ & =1-frac{1}{26}=frac{25}{26} \ sin alpha&=pm frac{5}{sqrt{26}} end{align}]
Поскольку $sin alpha gt 0$ для острых $alpha $, выбираем
[sin alpha =frac{5}{sqrt{26}}]
Считаем $operatorname{tg}alpha $:
[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=frac{5}{sqrt{26}}cdot frac{sqrt{26}}{1}=5]
Откуда
[1+2operatorname{tg}alpha =1+2cdot 5=11]
Ответ: 11.
5. Тригонометрия на координатной сетке
Задачи, которые мы сейчас разберём, вполне могут встретиться в ОГЭ и даже ЕГЭ. Часто в них нет прямоугольного треугольника — есть лишь угол, в который этот треугольник предлагается вписать.
Для решения задач на координатной сетке достаточно посмотреть, через какие узлы сетки проходят интересующие нас лучи. И понять, какие из этих узлов имеет смысл соединить дополнительными построениями.
Звучит страшно, но на практике всё легко.:)
Задача 11. Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:
Решение. Дополнительное построение: $AHbot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ на луч $BC$.
Треугольник $BAH$ — прямоугольный, причём угол $ABC$ — один из его острых углов. Поэтому
[operatorname{tg}ABC=frac{AH}{BH}=frac{3}{4}=0,75]
Это и есть искомый тангенс.
Ответ: 0,75.
Ещё раз: важно, чтобы основание перпендикуляра попадало в узел сетки. Иначе нахождение длины катетов резко усложняется. Попробуйте сами:
Задача 12. ►
Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:
Решение.
Дополнительное построение: $AHbot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ к лучу $BC$.
Треугольник $BAH$ — прямоугольный с острым углом $ABC$. Поэтому
[operatorname{tg}ABC=frac{AH}{BH}=frac{2}{4}=frac{1}{2}]
Ответ: 0,5.
Разумеется, это были совсем простые задачи. Потому что один из лучей был параллелен линиям сетки.
Куда интереснее (и полезнее) рассмотреть ситуации, где лучи направлены под углом к сетке. Суть та же: ищем и соединяем узлы на лучах. Но тут уже нужна наблюдательность.
Задача 13. Найдите тангенс угла $MNK$, изображённого на координатной сетке:
Решение. Луч $KN$ содержит лишь две точки в узлах координатной сетки — собственно, $K$ и $N$. Понятно, что если продолжить луч за точку $K$, мы найдём ещё много таких точек, но будем решать задачу с тем, что есть.
Заметим, что прямая $MN$ наклонена к линиям сетки под углом 45° и образует диагонали квадратов. Это значит, что перпендикуляр к ней тоже будет наклонён под углом 45°.
Дополнительное построение: отрезок $KH$ — диагональ одного из квадратов сетки.
Очевидно, что угол $NHK$ прямой, поэтому треугольник $KHN$ прямоугольный и содержит искомый острый угол $MNK$. Находим тангенс:
[operatorname{tg}MNK=frac{HK}{HN}=frac{sqrt{2}}{2sqrt{2}}=frac{1}{2}=0,5]
Здесь мы предположили, что сторона квадрата сетки равна 1. Но с тем же успехом можно считать, что сторона квадрата $a$:
[operatorname{tg}MNK=frac{HK}{HN}=frac{asqrt{2}}{2asqrt{2}}=frac{1}{2}=0,5]
Ответ: 0,5.
Подобные задачи считаются довольно сложными. По статистике большинство выпускников 9 классов не способны их решать. Но вы-то теперь точно справитесь. Попробуйте:
Задача 14. ►
Найдите тангенс угла $DEF$, изображённого на координатной сетке:
Решение.
Дополнительное построение: отрезок $DH$.
Очевидно, $EH=DH$, угол $EHD$ прямой. Следовательно, треугольник $EDH$ — прямоугольный и равнобедренный. Поэтому $operatorname{tg}DEF=1$.
Либо можно посчитать «напролом», полагая, что сторона квадрата сетки равна $a$:
[operatorname{tg}DEF=frac{asqrt{10}}{asqrt{10}}=1]
Ответ: 1.
Вообще, поиск «правильных» узлов на координатной сетке — это своего рода искусство. И если углубляться в эту тему, то можно быстро выйти на «полуолимпиадные» задачи.
К тому же не существует «самого правильного» дополнительного построения. Задачу на координатной сетке всегда можно решить множеством различных способов. Так, в последнем примере можно было провести перпендикуляр вот так:
И даже так (хотя вряд ли этот способ можно назвать рациональным):
Во всех случаях ответ будет один и тот же. Поэтому не бойтесь экспериментировать. И переходите к следующему уроку — к действительно важным и полезным свойствам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.:)
Смотрите также:
- Радианная и градусная мера угла
- Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов
- Сложные логарифмические неравенства
- Сложные выражения с дробями. Порядок действий
- Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат
- Обход точек в стереометрии — 2
Как найти косинус альфа
Словом «косинус» называют одну из тригонометрических функций, которая при написании обозначается как cos. Наиболее часто иметь с ней дело приходится при решении задач на нахождение параметров правильных фигур в геометрии. В таких задачах величины углов в вершинах многоугольников обозначаются, как правило, прописными буквами греческого алфавита. Если речь при этом идет о прямоугольном треугольнике, то по одной этой букве иногда можно выяснить, который из углов имеется в виду.
Инструкция
Если величина угла, обозначенная буквой α, известна из условий задачи, то для нахождения значения, соответствующего косинусу альфа, можно воспользоваться стандартным калькулятором ОС Windows. Запускается он через главное меню операционной системы — нажмите кнопку Win, раскройте в меню раздел «Все программы», перейдите в подраздел «Стандартные», а затем в секцию «Служебные». Там и найдете строку «Калькулятор» — кликните ее для запуска приложения.
Нажмите сочетание клавиш Alt + 2, чтобы переключить интерфейс приложения в «инженерный» (в других версиях ОС — «научный») вариант. Затем введите величину угла α и щелкните указателем мыши кнопку, обозначенную буквами cos — калькулятор произведет вычисление функции и отобразит результат.
Если вычислить косинус угла α нужно в прямоугольном треугольнике, то, по-видимому, это один из двух острых углов. При правильном обозначении сторон такого треугольника гипотенузу (самую длинную сторону) обозначают буквой c, а лежащий напротив нее прямой угол — греческой буквой γ. Две другие стороны (катеты) обозначают буквами a и b, а лежащие напротив них острые углы — α и β. Для величин острых углов прямоугольного треугольника существуют соотношения, которые позволят вычислять косинус, даже не зная величины самого угла.
Если в прямоугольном треугольнике известны длины сторон b (катета, прилежащего к углу α) и c (гипотенузы), то для вычисления косинуса α поделите длину этого катета на длину гипотенузы: cos(α)=b/c.
В произвольном треугольнике значение косинуса угла α неизвестной величины можно вычислить, если в условиях даны длины всех сторон. Для этого сначала возведите в квадрат длины всех сторон, потом полученные значения для двух сторон, прилежащих к углу α сложите, а полученное значение для противолежащей стороны отнимите от результата. Затем полученную величину разделите на удвоенное произведение длин прилегающих к углу α сторон — это и будет искомый косинус угла α: cos(α)=(b²+c²-a²)/(2*b*c). Это решение вытекает из теоремы косинусов.
Источники:
- найдите синус альфа если косинус
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
- Определение
- График косинуса
- Свойства косинуса
- Обратная к косинусу функция
- Таблица косинусов
Определение
Косинус острого угла α (cos α) – это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе (c) в прямоугольном треугольнике.
cos α = b / c
Например:
b = 4
c = 5
cos α = b / c = 4 / 5 = 0.8
График косинуса
Функция косинуса пишется как y = cos (x). График называется косинусоидой и в общем виде выглядит следующим образом:
Косинусоида – периодическая функция с основным периодом T = 2π.
Свойства косинуса
Ниже в табличном виде представлены основные свойства косинуса с формулами:
Обратная к косинусу функция
Арккосинус x – это обратная к косинусу функция x, при -1≤x≤1.
Если косинус у равняется х (cos y = x), значит арккосинус x равен у:
arccos x = cos-1 x = y
Например:
arccos 1 = cos-1 1 = 0° (0 рад)
Таблица косинусов
| x (°) | x (рад) | cos x |
| 180° | π | -1 |
| 150° | 5π/6 | -√3/2 |
| 135° | 3π/4 | -√2/2 |
| 120° | 2π/3 | -1/2 |
| 90° | π/2 | 0 |
| 60° | π/3 | 1/2 |
| 45° | π/4 | √2/2 |
| 30° | π/6 | √3/2 |
| 0° | 0 | 1 |
microexcel.ru