Как найти косинус угла без сторон - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Определение косинуса угла

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: косинус угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к гипотенузе.

В случае с рисунком, описанным выше: cos⁡α=bccosalpha=frac{b}{c}

Задача 1

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см10text{ см}. Один из катетов равен 6 см6text{ см}. Найдите косинус угла, прилежащего к наибольшему катету.

Решение

Пользуясь теоремой Пифагора вычислим длину неизвестного нам катета.

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

62+b2=1026^2+b^2=10^2

36+b2=10036+b^2=100

b2=64b^2=64

b=8b=8

Катет bb длиннее катета aa. Нам нужно найти косинус угла, прилежащего к наибольшему катету, то есть, к катету bb:

cos⁡α=bc=810=0.8cosalpha=frac{b}{c}=frac{8}{10}=0.8

Ответ

0.8

Задача 2

Две стороны треугольника равны 4 см4text{ см} и 9 см9text{ см}. Периметр его равен 25 см25text{ см}.
Найдите косинус угла, прилежащего к неизвестной стороне и стороне с длиной 4 см4text{ см}.

Решение

Найдем третью сторону треугольника. Так как известен периметр, это будет легко сделать:

P=a+b+cP=a+b+c

25=9+4+c25=9+4+c

c=12c=12

При нахождении косинуса угла нам поможет следствие из теоремы косинусов, которое выглядит так:

cos⁡α=b2+c2−a22⋅b⋅c=42+122−922⋅4⋅12=16+144−8196=7996≈0.82cosalpha=frac{b^2+c^2-a^2}{2cdot bcdot c}=frac{4^2+12^2-9^2}{2cdot 4cdot 12}=frac{16+144-81}{96}=frac{79}{96}approx0.82

Ответ

0.820.82

Решение задач по математике от экспертов сайта Студворк!

Тест по теме “Вычисление косинуса”

Источник

Загрузить PDF

Теорема косинусов широко применяется в тригонометрии. Ее используют при работе с неправильными треугольниками, чтобы находить неизвестные величины, например стороны и углы. Теорема схожа с теорема Пифагора, и ее довольно легко запомнить. Теорема косинусов гласит, что в любом треугольнике $c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2abcos {C}$ .

1
Запишите известные величины. Чтобы найти неизвестную сторону треугольника, нужно знать две другие стороны и угол между ними.^[1]
- Например, дан треугольник XYZ. Сторона YX равна 5 см, сторона YZ равна 9 см, а угол Y равен 89°. Чему равна сторона XZ?
2

Запишите формулу теоремы косинусов. Формула: $c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2abcos {C}$ , где — неизвестная сторона, — косинус угла, противоположного неизвестной стороне, и — две известные стороны.^[2]
3
4
Найдите косинус известного угла. Сделайте это с помощью калькулятора. Введите значение угла, а затем нажмите кнопку . Если у вас нет научного калькулятора, найдите онлайн-таблицу значений косинусов, например, здесь.^[4] Также в Яндексе можно ввести «косинус Х градусов» (вместо X подставьте значение угла), и поисковая система отобразит косинус угла.
- Например, косинус 89° ≈ 0,01745. Итак: $c^{{2}}=5^{{2}}+9^{{2}}-2(5)(9)(0,01745)$ .
5

Перемножьте числа. Умножьте на косинус известного угла.
6

Сложите квадраты известных сторон. Помните, чтобы возвести число в квадрат, его нужно умножить на само себя. Сначала возведите в квадрат соответствующие числа, а затем сложите полученные значения.
7

Вычтите два числа. Вы найдете $c^{{2}}$ .
8

Извлеките квадратный корень из полученного значения. Для этого воспользуйтесь калькулятором. Так вы найдете неизвестную сторону.^[5]

Реклама

1
Запишите известные величины. Чтобы найти неизвестный угол треугольника, нужно знать все три стороны треугольника.^[6]
- Например, дан треугольник RST. Сторона СР = 8 см, ST = 10 см, РТ = 12 см. Найдите значение угла S.
2

Запишите формулу теоремы косинусов. Формула: $c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2abcos {C}$ , где — косинус неизвестного угла, — известная сторона, противолежащая неизвестному углу, и — две другие известные стороны. ^[7]
3
4
Перемножьте числа. Умножьте на косинус неизвестного угла.
- Например, $12^{{2}}=8^{{2}}+10^{{2}}-160cos {C}$ .
5
Возведите в квадрат. То есть умножьте число само себя.
- Например, $144=8^{{2}}+10^{{2}}-160cos {C}$
6

Сложите квадраты и . Но сначала возведите соответствующие числа в квадрат.
7

Изолируйте косинус неизвестного угла. Для этого вычтите сумму $a^{{2}}$ и $b^{{2}}$ из обеих частей уравнения. Затем разделите каждую часть уравнения на коэффициент (множитель) при косинусе неизвестного угла.
8
Вычислите арккосинус. Так вы найдете значение неизвестного угла.^[9] На калькуляторе функция арккосинуса обозначается $COS^{{-1}}$ .
- Например, арккосинус 0,0125 равен 82,8192. Итак, угол S равен 82,8192°.
Реклама

1

Найдите неизвестную сторону треугольника. Известные стороны равны 20 см и 17 см, а угол между ними равен 68°.
2

Найдите угол H в треугольнике GHI. Две стороны, прилегающие к углу Н, равны 22 и 16 см. Сторона, противоположная углу H, равна 13 см.
3

Найдите длину тропы. Речная, Холмистая и Болотная тропы образуют треугольник. Длина Речной тропы — 3 км, длина Холмистой тропы — 5 км; эти тропы пересекаются друг с другом под углом 135°. Болотная тропа соединяет два конца других троп. Найдите длину Болотной тропы.

Реклама

Советы

Проще пользоваться теоремой синусов. Поэтому сначала выясните, можно ли применить ее к данной задаче.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 5444 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Как найти косинус

Косинус является одной из основных тригонометрических функций. Согласно определения данная величина представляет численное выражение отношения прилежащего катета (в прямоугольном треугольнике) к гипотенузе. Для нахождения величины cos угла можно воспользоваться данными о сторонах треугольника, формулами приведения или же тригонометрическими тождествами. С каждым из способов более подробно познакомимся далее.

1

Нахождение величины косинуса по определению

Определение косинуса “привязывает” данную тригонометрическую функцию с прямоугольному треугольнику. Итак, перед вами указанная фигура – треугольник MSP, ∠P = 90°. Тогда:

cosM = MP/MS,
cosS = PS/MS, где
MP и PS – прилежащие (для каждого конкретного угла) катеты,
MS – гипотенуза заданного треугольника.

2

Нахождение величины косинуса угла между векторами

Пересечение направленных отрезков прямой – векторов – ведет к образованию углов. Найти их косинус (а, значит, в последствии и градусную меру) позволяет определение скалярного произведения векторов. Данная формулировка предполагает перемножение длин векторов на косинус угла, образованного в результате их пересечения. Т.о., если у вас есть 2 направленных отрезка ū и ō, то

ūō = ū *ō = (ū, ō) = lūl * lōl * cos (ū,ˆ ō), ⇒
cos (ū,ˆ ō) = (ū, ō) / lūl * lōl.
В проекции на координаты декартовой системы направленные отрезки имеют параметры ū (x,y) = (u(x) ,u(y)) и ō (x,y) = (o(x), o(y)). Значит соотношение приобретает следующий вид:
cos (ū,ˆ ō) = (u(x)*o(x) + u(y)*o(y)) / lūl * lōl = (u(x)*o(x) + u(y)*o(y)) / (√(u(x)²+ u(y)²) * √o(x)² + o(y)²).

Если направленные отрезки заданы не на плоскости, а в пространстве, добавляется третья координата – z. Выражение нахождения косинуса преобразуется и будет иметь следующий вид:

cos (ū,ˆ ō) = (u(x)*o(x) + u(y)*o(y) + u(z)*o(z)) / lūl * lōl = (u(x)*o(x) + u(y)*o(y) + u(z)*o(z)) / (√(u(x)²+ u(y)² + u(z)²) * √o(x)² + o(y)² + o(z)².

3

Нахождение величины косинуса с помощью формул приведения

Работая с формулами приведения для косинуса, необходимо понимать и помнить важное правило – переход от функции к кофункции (в данном случае переход от cos к sin) происходит при 90° и 270°. При 180° и 360° такой трансформации не будет. Исходя из этого, справедливыми будут следующие соотношения:

cos(π/2 – μ) = sinμ,
cos(π/2 + μ) = -sinμ,
cos(π – μ) = cos(π + μ) = -cosμ,
cos(3π/2 – μ) = -sinμ,
cos(3π/2 + μ) = sinμ,
cos(2π – μ) = cos(2π + μ) = cosμ, где
μ – угол поворота.

Т.к. косинус является периодической функцией с периодом 2πk, где k – произвольное целое значение, в общем случае выражения приведения приобретут следующий вид:

cos(μ + 2πk) = cos(-μ + 2πk) = cosμ,
cos(π/2 – μ + 2πk) = sinμ,
cos(π/2 + μ + 2πk) = -sinμ,
cos(π – μ + 2πk) = cos(π + μ + 2πk) = -cosμ,
cos(3π/2 – μ + 2πk) = -sinμ,
cos(3π/2 + μ + 2πk) = sinμ,
cos(2π – μ + 2πk) = cos(2π + μ + 2πk) = cosμ.

4

Нахождение величины косинуса через тригонометрические тождества

Данные тождества представляют собой выражения (равенства), справедливые для угла любой градусной меры.

cos²μ + sin²μ = 1 ⇒ cos²μ = 1 – sin²μ ⇒ cosμ = ±√ 1 – sin²μ
tgμ = sinμ / cosμ ⇒ cosμ = sinμ / tgμ
ctgμ = cosμ / sinμ ⇒ cosμ = ctgμ * sinμ
1/cos²μ = tg²μ + 1 ⇒ cos²μ = 1 / (tg²μ + 1) ⇒ cosμ = ± 1 / √tg²μ + 1

5

Нахождение косинуса угла – табличные величины

Для каждого угла, градусная мера которого находится в промежутке от 0° до 360°, можно определить соответствующее значение косинуса, воспользовавшись одноименной таблицей. Наиболее распространенными и часто используемыми являются следующие константы:

cos0° = 1, cos90° = 0,
cos30° = √3/2, cos180° = -1,
cos60° = 1/2, cos360° = 1.
cos45° = √2/2,

Источник

В статье мы расскажем, как находить значения:

(cos300^°), (sin⁡(-540^°)), (cos 510^°), (sin⁡(-135^°))

и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы.

Как вычисляются синусы и косинусы углов?

Чтобы вычислить косинус и синус некоторого угла нужно:
1. Отложить этот угол на тригонометрическом круге и определить какая точка соответствует этому углу;
2. Найти абсциссу и ординату этой точки. Косинус угла равен — абсциссе, а синус угла — ординате.

Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла (30^°). Отложим на круге угол в (30^°) и найдем какая точка соответствует этому углу.

Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна (0,866)… , что равно числу (frac{sqrt{3}}{2}) , а ордината равна (0,5), то есть (frac{1}{2}).

Получается, (cos 30^° = frac{sqrt{3}}{2}), а (sin⁡30^° =frac{1}{2}).

Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:

В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».

Обычно на осях не отмечают (0,1); (0,2); (0,3) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: (±frac{1}{2}=±0,5); (±frac{sqrt{2}}{2} ≈±0,707); (±frac{sqrt{3}}{2} ≈±0,866).

Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.

Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?

Для этого нужно знать несколько фактов:

Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;
Градусная мера окружности равна (360^°), полуокружности (180^°), а четверти (90^°);
Углы в (0^°), (30^°), (45^°) и (60^°) выглядят так:

Одна точка может соответствовать разным углам;

Угол может быть больше (360^°). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно (360^°) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.

Пример. Отметьте угол в (90^° ) и (-90^°).
Решение:

Пример. Отметьте угол в (225^° ) и (-135^°).
Решение: (225^°=180^°+45^°)
(-135^°=-90^°-45^°)

Пример. Отметьте угол в (420^° ) и (-390^°).
Решение: (420^°=360^°+60^°)
(-390^°=-360^°-30^°)

Задание 1. Отметьте на окружности точки соответствующие углам: (720^°), (225^°), (300^°), (870^°), (900^°), (-330^°), (-630^°), (-210^°).

Как находить синус и косинус любого угла?

Простой алгоритм:

Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

Пример. Вычислите (sin⁡300^°) и (cos⁡300^°) .
Решение: (⁡300^°=360^°-60^°)

(cos⁡ 300^°=frac{1}{2}), (sin⁡{300^°}=-frac{sqrt{3}}{2}).

Пример . Вычислите (sin⁡(-540^°)) и (cos(-540^°)) .
Решение. (-540^°=-360^°-180^°).

(-540^°) на тригонометрическом круге совпадает с (-1) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: ((-1;0)). Значит, (cos⁡(-540^°)=-1), а (sin⁡(-540^° )=0).

Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье.

Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).

Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ

В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.

Пример . Найдите значение выражения (-18sqrt{2}sin⁡(-135^°)).
Решение. (-135^°=-90^°-45^°)

Получается (-18sqrt{2} sin⁡(-135^° )=-18sqrt{2}cdot-frac{sqrt{2}}{2}=frac{18cdotsqrt{2}cdotsqrt{2}}{2}=9cdot 2=18.)
Ответ: (18).

Пример . Найдите значение выражения (54sqrt{3}cos⁡(510^°)).
Решение. (510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.)

(54sqrt{3}cos⁡(510^°)=54sqrt{3}cdot(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{54cdot sqrt{3}cdot sqrt{3}}{2}=-27cdot 3=-81.)
Ответ: (-81).

Смотрите также:
Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? Из градусов в радианы и наборот
Тригонометрическая таблица с кругом
Почему в тригонометрической таблице такие числа?

Для тех кто хочет закрепить знания:
Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Источник

Совет 1: Как обнаружить косинус угла

Косинус – одна из основных тригонометрических функций. Косинус ом острого угла в прямоугольном треугольнике именуется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Определение косинуса привязано к прямоугольному треугольнику, но нередко угол, косинус которого нужно определить, в прямоугольном треугольнике не размещен. Как обнаружить значение косинуса всякого угла ?

Инструкция

1. Если нужно обнаружить косинус угла в прямоугольном треугольнике, нужно воспользоваться определением косинуса и обнаружить отношение прилежащего катета к гипотенузе:cos? = a/c, где а – длина катета, с – длина гипотенузы.

2. Если нужно обнаружить косинус угла в произвольном треугольнике, нужно воспользоваться теоремой косинусов:если угол острый: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);если угол тупой: cos? = (с2 – a2 – b2)/(2ab), где а, b – длины сторон прилежащих к углу, с – длина стороны противолежащей углу.

3. Если нужно обнаружить косинус угла в произвольной геометрической фигуре, нужно определить величину угла в градусах либо радианах, а косинус угла обнаружить по его величине с поддержкой инженерного калькулятора, таблиц Брадиса либо всякого иного математического приложения.

Совет 2: Как определить косинус

Косинус – это базовая тригонометрическая функция угла. Знание определять косинус сгодится в векторной алгебре при определении проекций векторов на разные оси.

Инструкция

1. Косинус ом угла называют отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. Значит, в прямоугольном треугольнике ABC (ABC – прямой угол) косинус угла BAC равен отношению AB к AC. Для угла ACB: cos ACB = BC/AC.

2. Но не неизменно угол принадлежит треугольнику, помимо того бывают тупые углы, которые заведомо не могут быть в составе прямоугольного треугольника. Разглядим случай, когда угол задан лучами. Дабы в этом случае вычислить косинус угла, поступают дальнейшим образом. К углу привязывают систему координат, предисловие координат считается от вершины угла, ось X идет по одной стороне угла, ось Y строится перпендикулярно оси X. После этого строят окружность единичного радиуса с центром в вершине угла. Вторая сторона угла пересекает окружность в точке A. Опустите перпендикуляр из точки A на ось X, обозначьте точку пересечения перпендикуляра с осью Ax. Тогда получится прямоугольный треугольник AAxO, и косинус угла равен AAx/AO. От того что окружность единичного радиуса, то AO = 1 и косинус угла равен примитивно AAx.

3. В случае тупого угла проводят все те же самые построения. Косинус тупого угла негативный, но он также равен Ax.

Видео по теме

Обратите внимание!
Косинусы некоторых углов представлены в таблицах Брадиса.

Совет 3: Как обнаружить косинус

Такие представления как синус, косинус, тангенс вряд ли кому-то зачастую встречаются в повседневной жизни. Впрочем, если вы сели решать математические задачки с сыном-старшеклассником, хорошо было бы припомнить, что же это за представления, и как обнаружить, скажем, косинус.

Инструкция

Видео по теме

Совет 4: Как находить косинус в треугольнике

Частенько в геометрических (тригонометрических) задачах требуется обнаружить косинус угла в треугольнике , так как косинус угла разрешает однозначно определить величину самого угла.

Инструкция

1. Дабы обнаружить косинус угла в треугольнике , длины сторон которого знамениты, дозволено воспользоваться теоремой косинус ов. Согласно этой теореме, квадрат длины стороны произвольного треугольника равняется сумме квадратов 2-х его других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними:а?=b?+c?-2*b*c*соs?, где:а, b, с – стороны треугольника (вернее их длины),? – угол, противоположный стороне а (его величина).Из приведенного равенства легко находится соs?:соs?=( b?+c?-а? )/(2*b*c)Пример 1.Имеется треугольник со сторонами а, b, с, равными 3, 4, 5 мм, соответственно.Обнаружить косинус угла, заключенного между крупными сторонами.Решение:По условию задачи имеем:а=3,b=4,с=5.Обозначим противоположный стороне а угол через ?, тогда, согласно выведенной выше формуле, имеем:соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=0,8Ответ: 0,8.

2. Если треугольник прямоугольный, то для нахождения косинус а угла довольно знать длины каждого 2-х всяких сторон (косинус прямого угла равен 0).Пускай имеется прямоугольный треугольник со сторонами а, b, с, где с – гипотенуза.Разглядим все варианты:Пример 2.Обнаружить соs?, если знамениты длины сторон а и b (катеты треугольника)Воспользуемся добавочно теоремой Пифагора:c?=b?+а?,с=v(b?+а?)соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+а?))=b/v(b?+а?)Дабы проверить правильность полученной формулы, подставим в нее значения из примера 1, т.е.а=3,b=4.Проделав элементарные вычисления, получаем:соs?=0,8.

3. Подобно находится косинус в прямоугольном треугольнике в остальных случаях:Пример 3.Знамениты а и с (гипотенуза и противолежащий катет), обнаружить соs?b?=с?-а?,b=v(c?-а?)соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.Подставляя значения а=3 и с=5 из первого примера, получаем:соs?=0,8.

4. Пример 4.Вестимы b и с (гипотенуза и прилежащий катет).Обнаружить соs?Произведя схожие (показанные в примерах 2 и 3 реформирования), получим, что в этом случае косинус в треугольнике вычисляется по дюже легкой формуле:соs?=b/с.Простота выведенной формулы объясняется элементарно: реально, прилежащий к углу ? катет является проекцией гипотенузы, следственно его длина равна длине гипотенузы, умноженной на соs?.Подставляя значения b=4 и с=5 из первого примера, получим:соs?=0,8Значит, все наши формулы правильны.

Совет 5: Как обнаружить острый угол в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник, видимо, – одна из самых знаменитых, с исторической точки зрения, геометрических фигур. Пифагоровым “штанам” конкуренцию может составить лишь “Эврика!” Архимеда.

Вам понадобится

– чертеж треугольника;
– линейка;
– транспортир.

Инструкция

1. Как водится, вершины углов треугольника обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), а противоположные им стороны маленькими латинскими буквами (a, b, c) либо по наименованиям вершин треугольника, образующих эту сторону (AC, BC, AB).

2. Сумма углов треугольника составляет 180 градусов. В прямоугольном треугольнике один угол (прямой) неизменно будет 90 градусов, а остальные острыми, т.е. поменьше 90 градусов весь. Дабы определить, какой угол в прямоугольном треугольнике является прямым, измерьте с поддержкой линейки стороны треугольника и определите крупнейшую. Она именуется гипотенуза (AB) и располагается наоборот прямого угла (C). Остальные две стороны образуют прямой угол и именуются катетами (AC, BC).

3. Когда определили, какой угол является острым, вы можете либо измерить величину угла при помощи транспортира, либо рассчитать с поддержкой математических формул.

4. Дабы определить величину угла с подмогой транспортира, совместите его вершину (обозначим ее буквой А) с особой отметкой на линейке в центре транспортира, катет АС должен совпадать с ее верхним краем. Подметьте на полукруглой части транспортира точку, через которую проходит гипотенуза AB. Значение в этой точке соответствует величине угла в градусах. Если на транспортире указаны 2 величины, то для острого угла необходимо выбирать меньшую, для тупого – крупную.

5. Величину угла дозволено рассчитать, сделав несложные математические вычисления. Вам потребуется познание основ тригонометрии. Если знамениты длина гипотенузы AB и катета ВС, вычислите значение синуса угла А: sin (A) = BC / AB.

6. Полученное значение обнаружьте в справочных таблицах Брадиса и определите какому углу соответствует полученное числовое значение. Этим способом пользовались наши бабушки.

7. В наше время довольно взять калькулятор с функцией вычисления тригонометрических формул. Скажем, встроенный калькулятор Windows. Запустите приложение “Калькулятор”, в пункте меню “Вид” предпочтете пункт “Инженерный”. Вычислите синус желанного угла, скажем, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

8. Переключите калькулятор в режим обратных функций, кликнув по кнопке INV на табло калькулятора, после этого кликните по кнопке расчета функции арксинуса (на табло обозначена, как sin в минус первой степени). В окошке расчета появится дальнейшая надпись: asind (0.5) = 30. Т.е. значение желанного угла – 30 градусов.

Совет 6: Как обнаружить косинус в теореме косинусов

Теорема косинусов в математике почаще каждого применяется в том случае, когда нужно обнаружить третью сторону по углу и двум сторонам. Впрочем, изредка условие задачи поставлено напротив: требуется обнаружить угол при заданных 3 сторонах.

Инструкция

1. Представьте себе, что дан треугольник, у которого вестимы длины 2-х сторон и значение одного угла. Все углы этого треугольника не равны друг другу, а его стороны также являются разными по величине. Угол ? лежит наоборот стороны треугольника, обозначенной, как AB, которая является основанием этой фигуры. Через данный угол, а также через оставшиеся стороны AC и BC дозволено обнаружить ту сторону треугольника, которая неведома, по теореме косинусов, выведя на ее основе представленную ниже формулу:a^2=b^2+c^2-2bc*cos?, где a=BC, b=AB, c=ACТеорему косинусов напротив называют обобщенной теоремой Пифагора.

2. Сейчас представьте себе, что даны все три стороны фигуры, но при этом ее угол ? неведом. Зная, что формула имеет вид a^2=b^2+c^2-2bc*cos?, преобразуйте данное выражение таким образом, дабы желанной величиной стал угол ?: b^2+c^2=2bc*cos?+a^2.После этого приведите показанное выше уравнение к несколько другому виду: b^2+c^2-a^2=2bc*cos?.После этого данное выражение следует преобразовать в представленное ниже: cos?=?b^2+c^2-a^2/2bc.Осталось подставить в формулу числа и осуществить вычисления.

3. Дабы обнаружить косинус угла треугольника, обозначенного как ?, его нужно выразить через обратную тригонометрическую функцию, называемую арккосинусом. Арккосинусом числа m именуется такое значение угла ?, для которого косинус угла ? равен m. Функция y=arccos m является убывающей. Представьте себе, скажем, что косинус угла ? равен одной 2-й. Тогда угол ? может быть определен через арккосинус дальнейшим образом:? = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, где m = 1/2.Аналогичным образом дозволено обнаружить и остальные углы треугольника при 2-х других неведомых его сторонах.

4. В случае, если углы представлены в радианах, переведите их в градусы, применяя следующее соотношение:? радиан = 180 градусов.Помните, что подавляющее множество инженерных калькуляторов снабжено вероятностью переключения единиц измерения углов.

Совет 7: Как считать косинус

Синус и косинус – две тригонометрические функции, которые называют «прямыми». Именно их доводится вычислять почаще других и для решения этой задачи сегодня всякий из нас имеет большой выбор вариантов. Ниже приведено несколько особенно примитивных методов.

Инструкция

1. Используйте транспортир, карандаш и лист бумаги, если других средств вычисления нет под рукой. Одно из определений косинуса дается через острые углы в прямоугольном треугольнике – его значение равно соотношению между длиной катета, лежащего наоборот этого угла и длиной гипотенузы. Нарисуйте треугольник, в котором один из углов будет прямым (90°), а иной равен углу, косинус которого требуется вычислить. Длина сторон при этом не имеет значения – нарисуйте их такими, которые вам комфортнее измерять. Измерьте длину надобного катета и гипотенузы и поделите первое на второе любым комфортным методом.

2. Воспользуйтесь вероятностью определять значения тригонометрических функций с поддержкой калькулятора, встроенного в поисковую систему Nigma, если у вас есть доступ в интернет. Скажем, если требуется вычислить косинус угла в 20°, то загрузив основную страницу обслуживания http://nigma.ru наберите в поле поискового запроса «косинус 20 градусов» и нажмите кнопку «Обнаружить!». Дозволено слово «градусов» опустить, а слово «косинус» заменить на cos – в любом случае поисковик покажет итог с точностью до 15 знаков позже запятой (0,939692620785908).

3. Откройте стандартную программу-калькулятор, устанавливаемую совместно с операционной системой Windows, если нет доступа к интернету. Сделать это дозволено, скажем, единовременно нажав клавиши win и r, после этого введя команду calc и щелкнув по кнопке OK. Для вычисления тригонометрических функций тут предуготовлен интерфейс, с наименованием «инженерный» либо «ученый» (в зависимости от версии ОС) – выберите необходимый пункт в разделе «Вид» меню калькулятора. Позже этого введите величину угла в градусах и щелкните по кнопке cos в интерфейсе программы.

Видео по теме

Совет 8: Как определить углы в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник характеризуется определенными соотношениями между углами и сторонами. Зная значения одних из них, дозволено вычислять другие. Для этого применяются формулы, основанные, в свою очередь, на аксиомах и теоремах геометрии.

Инструкция

1. Из самого наименования прямоугольного треугольника ясно, что один из его углов является прямым. Самостоятельно от того, является прямоугольный треугольник равнобедренным либо нет, в нем неизменно имеется один угол, равный 90 градусам. Если дан прямоугольный треугольник, являющийся единовременно и равнобедренным, то, исходя из того, что в фигуре имеется прямой угол, обнаружьте два угла при его основании. Эти углы равны между собой, следственно всякий из них имеет значение, равное:?=180°- 90°/2=45°

2. Помимо рассмотренного выше, допустим также иной случай, когда треугольник является прямоугольным, но не является равнобедренным. Во многих задачах угол треугольника равен 30°, а иной 60°, от того что сумма всех углов в треугольнике должна быть равной 180°. Если дана гипотенуза прямоугольного треугольника и его катет, то угол дозволено обнаружить из соответствия этих 2-х сторон:sin ?=a/c, где a – катет, противолежащий к гипотенузе треугольника, с – гипотенуза треугольникаСоответственно, ?=arcsin(a/c)Также угол дозволено обнаружить и по формуле нахождения косинуса:cos ?=b/c, где b – прилежащий катет к гипотенузе треугольника

3. Если вестимы только два катета, то угол ? дозволено обнаружить по формуле тангенса. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:tg ?=a/bИз этого следует, что ?=arctg(a/b)Когда даны прямой угол и один из углов, обнаруженных вышеуказанным методом, 2-й находится дальнейшим образом:?=180°-(90°+?)

Совет 9: Как обнаружить косинус альфа

Словом «косинус» называют одну из тригонометрических функций, которая при написании обозначается как cos. Особенно зачастую иметь с ней дело доводится при решении задач на нахождение параметров верных фигур в геометрии. В таких задачах величины углов в вершинах многоугольников обозначаются, как водится, прописными буквами греческого алфавита. Если речь при этом идет о прямоугольном треугольнике, то по одной этой букве изредка дозволено узнать, тот, что из углов имеется в виду.

Инструкция

1. Если величина угла, обозначенная буквой ?, знаменита из условий задачи, то для нахождения значения, соответствующего косинусу альфа, дозволено воспользоваться стандартным калькулятором ОС Windows. Запускается он через основное меню операционной системы – нажмите кнопку Win, раскройте в меню раздел «Все программы», перейдите в подраздел «Типовые», а после этого в секцию «Служебные». Там и обнаружите строку «Калькулятор» – кликните ее для запуска приложения.

2. Нажмите сочетание клавиш Alt + 2, дабы переключить интерфейс приложения в «инженерный» (в иных версиях ОС – «ученый») вариант. После этого введите величину угла ? и щелкните указателем мыши кнопку, обозначенную буквами cos – калькулятор произведет вычисление функции и отобразит итог.

3. Если вычислить косинус угла ? необходимо в прямоугольном треугольнике, то, вероятно, это один из 2-х острых углов. При верном обозначении сторон такого треугольника гипотенузу (самую длинную сторону) обозначают буквой c, а лежащий наоборот нее прямой угол – греческой буквой ?. Две другие стороны (катеты) обозначают буквами a и b, а лежащие наоборот них острые углы – ? и ?. Для величин острых углов прямоугольного треугольника существуют соотношения, которые дозволят вычислять косинус, даже не зная величины самого угла.

4. Если в прямоугольном треугольнике вестимы длины сторон b (катета, прилежащего к углу ?) и c (гипотенузы), то для вычисления косинуса ? поделите длину этого катета на длину гипотенузы: cos(?)=b/c.

5. В произвольном треугольнике значение косинуса угла ? незнакомой величины дозволено вычислить, если в условиях даны длины всех сторон. Для этого вначале возведите в квадрат длины всех сторон, потом полученные значения для 2-х сторон, прилежащих к углу ? сложите, а полученное значение для противолежащей стороны отнимите от итога. После этого полученную величину поделите на удвоенное произведение длин прилегающих к углу ? сторон – это и будет желанный косинус угла ?: cos(?)=(b?+c?-a?)/(2*b*c). Это решение вытекает из теоремы косинусов.

Полезный совет
Математическое обозначение косинуса – cos. Значение косинуса не может быть огромнее 1 и поменьше -1.

Источник

Тест по теме “Вычисление косинуса”

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Как найти косинус

1 Нахождение величины косинуса по определению

2 Нахождение величины косинуса угла между векторами

3 Нахождение величины косинуса с помощью формул приведения

4 Нахождение величины косинуса через тригонометрические тождества

5 Нахождение косинуса угла – табличные величины

Как вычисляются синусы и косинусы углов?

В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».

Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?

Как находить синус и косинус любого угла?

Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ

Совет 1: Как обнаружить косинус угла

Инструкция

Совет 2: Как определить косинус

Инструкция

Совет 3: Как обнаружить косинус

Инструкция

Совет 4: Как находить косинус в треугольнике

Инструкция

Совет 5: Как обнаружить острый угол в прямоугольном треугольнике

Инструкция

Совет 6: Как обнаружить косинус в теореме косинусов

Инструкция

Совет 7: Как считать косинус

Инструкция

Совет 8: Как определить углы в прямоугольном треугольнике

Инструкция

Совет 9: Как обнаружить косинус альфа

Инструкция

1

Нахождение величины косинуса по определению

2

Нахождение величины косинуса угла между векторами

3

Нахождение величины косинуса с помощью формул приведения

4

Нахождение величины косинуса через тригонометрические тождества

5

Нахождение косинуса угла – табличные величины