Как найти косинус угла формула тригонометрии - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой alpha .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла alpha , называется противолежащим (по отношению к углу alpha ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла alpha , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}.$

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle b}{displaystyle c}.$

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b}.$

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sin A}{displaystyle cos A}.$

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle cos A}{displaystyle sin A}.$

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin $displaystyle alpha = frac{a}{c}$	sin ${}^2 alpha +$ cos $displaystyle {}^2 alpha =1$	$alpha + beta = 90 ^{circ}$
cos $displaystyle alpha = frac{b}{c}$	1+tg $displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{cos ^2 alpha}$	cos = sin
tg $displaystyle alpha = frac{a}{b}$	1+ctg $displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{sin ^2 alpha}$	sin = cos
ctg $displaystyle alpha = frac{b}{a}$		tg = ctg

Давайте докажем некоторые из них.

Сумма углов любого треугольника равна $180^{circ}$ . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa $90^{circ}$ .
С одной стороны, $sin A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}$ как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, $cos B =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}$ , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, $cos left( 90^{circ}-A right) = sin A$ .
Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на получаем $displaystyle left ( frac{a}{c} right )^2+left ( frac{b}{c} right )^2=left ( frac{c}{c} right )^2 ,$ то есть
Мы получили основное тригонометрическое тождество.
Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: $1+tg ^2 A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle cos ^2 A }.$ Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично, $1+ctg ^2 A =genfrac{}{}{}{0}{1}{sin ^2 A }.$

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна $180^{circ}$ .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от $0^{circ}$ до $90^{circ}$ .

	0	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}$
sin	0	$displaystyle frac{1}{2}$	$displaystyle frac{sqrt{2}}{2}$	$displaystyle frac{sqrt{3}}{2}$
cos		$displaystyle frac{sqrt{3}}{2}$	$displaystyle frac{sqrt{2}}{2}$	$displaystyle frac{1}{2}$	0
tg	0	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}}$			−
ctg	−			$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}}$	0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и C_1 и равными острыми углами А и A_1.

Треугольники АВС и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому $displaystyle frac{AB}{A_1 B_1}=frac{BC}{B_1 C_1}=frac{AC}{A_1 C_1 } .$

Из этих равенств следует, что $displaystyle frac{BC}{AB}=frac{B_1 C_1}{A_1 B_1} ,$ т. е. sin А = sin A_1.

Аналогично, $displaystyle frac{AC}{AB}=frac{A_1C_1}{A_1 B_1},$ т. е. cos А = cos A_1, и $displaystyle frac{BC}{AC}=frac{B_1C_1}{A_1 C_1},$ т. е. tg A = tg A_1.

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен $90^{circ}$ , sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку $A+B = 90^{circ}$ , sin A = cos B = 0,1.

Задача 2. В треугольнике ABC угол равен $90^{circ}$ , AB=5 , $sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}$ .

Найдите .

Решение:

$sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle BC}{displaystyle AB} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.$

Отсюда

$BC= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25} cdot AB = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 5}.$

Найдем AC по теореме Пифагора.

$AC=sqrt{AB^2-BC^2} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 24}{displaystyle 5} = 4,8.$

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против Значит, sin A $displaystyle = frac{BC}{AB}= frac{5}{13}.$

Катет, прилежащий к angle A – это катет АС, следовательно, cos⁡ А $displaystyle = frac{AC}{AB}=frac{AC}{13}.$

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:

Тогда $AC = sqrt{AB^2-BC^2}=sqrt{(13)^2-5^2}=sqrt{144}=12.$

cos⁡ А $displaystyle = frac{12}{13}=0,923 ... approx 0,92 ;$

tg A $displaystyle = frac{BC}{AC} = frac{5}{12}=0,416...approx 0,42.$

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен AC = 2, sin A= $displaystyle frac{sqrt{17}}{17} .$

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A $displaystyle = frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{sqrt{17}}{17},$ $displaystyle frac{a}{c} = frac{sqrt{17}}{17} ,$ $displaystyle c = frac{17a}{sqrt{17}}=sqrt{17}a.$

По теореме Пифагора получим

$a^2+2^2=(sqrt{17} a)^2;$

$displaystyle a= frac{1}{2}=0,5;$

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен AC = 4, tg A = $displaystyle frac{33}{4sqrt{33}} .$ Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A $displaystyle = frac{a}{b}=frac{33}{4sqrt{33}},$

$displaystyle frac{a}{4}=frac{33}{4sqrt{33}},$ $displaystyle a=frac{4 cdot 33}{4 cdot sqrt{33}}=sqrt{33},$

$AB = c = sqrt{a^2+b^2}=sqrt{(sqrt{33})^2+4^2}=sqrt{33+16} =7.$

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен CH – высота, AB = 13, tg A = $displaystyle frac{1}{5} .$ Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = $displaystyle frac{a}{b}=frac{1}{5} ,$ тогда b = 5a.

По теореме Пифагора ABC:

$displaystyle a=sqrt{frac{169}{26}}=frac{13}{sqrt{26}},$ тогда $displaystyle b = 5a=5cdot frac{13}{sqrt{26}}=frac{65}{sqrt{26}}.$

(по двум углам), следовательно $displaystyle frac{AH}{AC}=frac{AC}{AB} ,$ откуда

$displaystyle AH = frac{AC^2}{AB}=frac{b^2}{c}=left ( frac{65}{sqrt{26}}right )^2:13=12,5.$

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен

CH – высота, BC = 3, sin A = $displaystyle frac{1}{6} .$

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = $displaystyle frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{1}{6},$ тогда $displaystyle frac{3}{c} = frac{1}{6} ,$ c = АВ = 18.

sin A = $displaystyle frac{a}{c}$ = cos⁡ B = $displaystyle frac{1}{6} .$

Рассмотрим BHC:

${cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}$ = $displaystyle frac{1}{6} ,$ получим $displaystyle frac{BH}{3}=displaystyle frac{1}{6},$

тогда BH = $displaystyle frac{3}{6}=displaystyle frac{1}{2}$ = 0,5,

AH = AB — BH = 18 — 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, BC = 3, cos A = $displaystyle frac{sqrt{35}}{6}.$

Найдите АH.

Решение:

Так как для АВС: cos A = $displaystyle frac{AC}{AB}=$ sin В = $displaystyle frac{sqrt{35}}{6},$

а для ВНС: sin В = $displaystyle frac{CH}{BC}$ = $displaystyle frac{sqrt{35}}{6}$ , откуда СН = $displaystyle frac{BC cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{3 cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{sqrt{35}}{2},$

По теореме Пифагора найдем ВН:

$BH = sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=sqrt{3^2-{left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}=$

$=sqrt{9-displaystyle frac{35}{4}}=sqrt{displaystyle frac{1}{4}}=displaystyle frac{1}{2}=0,5.$

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для АВС получим:

${CH}^2=AH cdot BH,$ тогда $AH= displaystyle frac{ {CH}^2}{BH}, ; AH= displaystyle frac{ {left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}{0,5}=displaystyle frac{35 cdot 2}{4}=17,5.$

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= $displaystyle frac{a}{c}$ = $displaystyle frac{BC}{AB}$ =

Рассмотрим BHC : ${cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}.$

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС= $sqrt{{BH}^2+{CH}^2}=sqrt{7^2+{24}^2}=sqrt{49+576}=sqrt{625}=25,$

тогда ${cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}=displaystyle frac{7}{25}=0,28,$ а значит и sin A = = 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = $displaystyle frac{a}{c}$ = $displaystyle frac{BC}{AB}$ = cos A = $displaystyle frac{b}{c}$ = $displaystyle frac{AC}{AB}$ =

тогда tg A = $displaystyle frac{sin A}{{cos A }}=displaystyle frac{cosB}{sinB}=ctgB,$ который найдем из BHC:

$ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{4}{8}=0,5.$

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, BН = 12, tg A = $displaystyle frac{2}{3}.$ Найдите АН.

Решение:

По определению tg A= $displaystyle frac{BC}{AC}=ctgB=displaystyle frac{2}{3}.$

Для BHC: $ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{2}{3}$ , значит $displaystyle frac{12}{CH}=displaystyle frac{2}{3},$ СН = $displaystyle frac{12 cdot 3}{2}=18.$

Для АHC: tg A= $displaystyle frac{CH}{AH}=displaystyle frac{2}{3},$ то $displaystyle frac{18}{AH}=displaystyle frac{2}{3},$ AH = $displaystyle frac{18 cdot 3}{2}=27.$

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, BН = 12, sin A = $displaystyle frac{2}{3}.$ Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = $displaystyle frac{BC}{AB}$ = sin A = $displaystyle frac{2}{3}.$

Из СВН имеем cos В = $displaystyle frac{HB}{BC}$ = $displaystyle frac{2}{3},$ тогда ВС = $displaystyle frac{3 cdot HB}{2}=displaystyle frac{3 cdot 12}{2}=18.$

В АВС имеем sinA = $displaystyle frac{BC}{AB}$ = $displaystyle frac{2}{3},$ тогда AВ = $displaystyle frac{3 cdot BC}{2}=displaystyle frac{3 cdot 18}{2}=27.$

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из ВСН:

$HB = sqrt{BC^2-BH^2}=sqrt{20^2-12^2}=sqrt{(20-12)(20+12)}=$

sin В = $displaystyle frac{CH}{BC}$ = $displaystyle frac{12}{20}=displaystyle frac{3}{5}.$

Для АВС: cos A = $displaystyle frac{AC}{AB}=sin B=displaystyle frac{3}{5},$ получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = $displaystyle frac{AC}{AB}=displaystyle frac{3}{5},$ то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора ${AC}^2+{BC}^2= {AB}^2,$ получим ${(3x)}^2+{(20)}^2= {(5x)}^2$
${25x}^2-{9x}^2= {20}^2 ,$

${16x}^2= {20}^2,$

$x^2= {left(displaystyle frac{20}{4}right)}^2,$
х = 5 ( так как х0). Значит,

2-й способ.

(по двум углам), значит $displaystyle frac{HB}{CB}=frac{HC}{AC}=frac{BC}{AB}$ или $displaystyle frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,$

k = $displaystyle frac{16}{20}=displaystyle frac{4}{5} ,$ тогда $displaystyle frac{12}{AC}=displaystyle frac{4}{5},$ АС = $displaystyle frac{12 cdot 5}{4}=15$ ; $displaystyle frac{20}{AB}=displaystyle frac{4}{5},$ АВ = $displaystyle frac{20 cdot 5}{4}=25.$

3-й способ.

${CH}^2=AH cdot HB$ (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда ${12}^2=AH cdot 16,$ АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

$AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{25}^2-{20}^2}=sqrt{(25-20)(25+20)}$ =

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = $sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=sqrt{{18}^2+{24}^2}=sqrt{324+576}$ =

cos C = $displaystyle frac{HC}{BC}=displaystyle frac{18}{30}=displaystyle frac{3}{5}.$

Для АВС: sin А = $displaystyle frac{BC}{AC}$ = cos C = $displaystyle frac{3}{5}.$

Для АНВ: sin А = $displaystyle frac{BH}{AB}$ = $displaystyle frac{3}{5},$ то $displaystyle frac{24}{AB}$ = $displaystyle frac{3}{5},$ АВ = $displaystyle frac{24 cdot 5}{3}=40.$

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A = $sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-0,36}=sqrt{0,64}=0,8.$

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = $displaystyle frac{7}{25}.$

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном АСЕ sin А = $displaystyle frac{CE}{AC},$

значит $displaystyle frac{7}{25}$ = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: $AE= sqrt{{AC}^2-{CE}^2};$

$AE = sqrt{{50}^2-{14}^2}=sqrt{(50-14)(50+14)} =sqrt{36cdot 64}=6cdot8=48.$

Площадь прямоугольного треугольника равна S = $displaystyle frac{1}{2}ab,$

поэтому $S_{ACE}= displaystyle frac{1}{2} AEcdot CE=displaystyle frac{48cdot 14}{2}=336.$

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin Результат округлите до сотых.

Решение:

A-общий, $angle AKC=angle ACB=90{}^circ$ ),

значит sin $angle ACK=displaystyle frac{AK}{AC}=displaystyle frac{AC}{AB}.$

Найдем АС по теореме Пифагора из САВ:

$AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{13}^2-{12}^2}=$

Тогда sin $angle ACK=displaystyle frac{5}{13}=0,384..approx 0,38.$

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = $displaystyle frac{12}{13}.$ Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ = $displaystyle frac{1}{2}AB=36.$

Поскольку АСН — прямоугольный,

cos A = $displaystyle frac{AH}{AC}=$ $displaystyle frac{12}{13},$ то есть $displaystyle frac{36}{AC}=$ $displaystyle frac{12}{13}$ АС = $displaystyle frac{36 cdot 13}{12}=39.$

По теореме Пифагора ${AH}^2+{CH}^2={AC}^2,$ тогда

$CH = sqrt{{AC}^2-{AH}^2} = sqrt{{39}^2-{36}^2}=$

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ sin A = $displaystyle frac{11}{14},$ AC = 10 Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = $displaystyle frac{BC}{AB}=$ $displaystyle frac{11}{14},$ то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора $AC^2+{BC}^2={AB}^2;$

${(10sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;$

${(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 cdot 100;$

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 cdot 100;

x^2=4, учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 cdot 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ${sin}^2A+{cos}^2A=1;$

cos A = $sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-{left(displaystyle frac{11}{14}right)}^2}=sqrt{displaystyle frac{196-121}{196}}=sqrt{displaystyle frac{75}{196}}=displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.$

По определению cos A = $displaystyle frac{AC}{AB},$ значит $displaystyle frac{AC}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.$

Так как АС=10 то $displaystyle frac{10sqrt{3}}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14},$ откуда АВ = $displaystyle frac{10sqrt{3} cdot 14}{5sqrt{3}}$ = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 sqrt{3} и 4.

Решение:

Пусть angle ВАО = alpha .

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, = alpha .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = $displaystyle frac{1}{2} AC=2sqrt{3},$ а катет ВО = $displaystyle frac{1}{2}BD =2.$

Поэтому tg $alpha =displaystyle frac{BO}{AO}=displaystyle frac{2}{2sqrt{3}}=displaystyle frac{1}{sqrt{3}},$ откуда $alpha =30{}^circ .$

$angle BAD=2alpha =60{}^circ , ; angle ADC=angle ABC=180{}^circ -60{}^circ =120{}^circ .$

Ответ: ${60}^circ,$ ${120}^circ,$ ${60}^circ,$ ${120}^circ .$

Часто в задачах встречаются треугольники с углами $90^{circ},, 30^{circ}$ и $60^{circ}$ или с углами $90^{circ},, 45^{circ}$ и $45^{circ}$ . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами $90^{circ},, 30^{circ}$ и $60^{circ}$ катет, лежащий напротив угла в $30^{circ}$ , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами $90^{circ},, 45^{circ}$ и $45^{circ}$ — равнобедренный. В нем гипотенуза в sqrt{2} раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ угол А равен 30 ${}^circ,$ АВ = 2

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим АВС:

По свойству катета, лежащего против угла ${30}^circ,$ имеем ВС = $displaystyle frac{1}{2}$ АВ =

В BHC: $angle BHC=90{}^circ ,; angle B=60{}^circ ,$ то $angle HCB=30{}^circ ,$ следовательно, ВН = $displaystyle frac{1}{2}$ BC = $displaystyle frac{sqrt{3}}{2}.$

По теореме Пифагора найдем НС:

$HC = sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=sqrt{{left(sqrt{3}right)}^2-{left(displaystyle frac{sqrt{3}}{2}right)}^2}=sqrt{3-displaystyle frac{3}{4}}=$

$=sqrt{2displaystyle frac{1}{4}}=sqrt{displaystyle frac{9}{4}}=displaystyle frac{3}{2}=1,5.$

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, АВ = 2, $angle A=30{}^circ .$ Найдите АH.

Решение:

Из АВС найдем ВС = $displaystyle frac{1}{2}$ АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30 ${}^circ$ ),

$angle A=30{}^circ ,$ то $angle B=60{}^circ .$

Из ВСН: $angle BHC=90{}^circ , angle B=60{}^circ ,$ то $angle HCB=30{}^circ ,$ следовательно,

ВН = $displaystyle frac{1}{2}$ ВС = $displaystyle frac{1}{2}.$

АН = АВ — НВ = 2 — $displaystyle frac{1}{2}$ = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Содержание

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла
Основное тригонометрическое тождество
Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом
Чётность, нечётность и периодичность тригонометрических функций
Формулы сложения
Формулы двойного и тройного аргумента
Формулы понижения степени
Формулы приведения
Формулы суммы и разности синусов
Формулы суммы и разности косинусов
Формулы суммы и разности тангенсов
Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму (разность)
Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента

trig

$[1 + operatorname{tg}^2alpha = frac{1}{cos^2alpha},]$

$[1 + operatorname{ctg}^2alpha = frac{1}{sin^2alpha}.]$

Косинус – чётная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечётные функции аргумента :

Синус и косинус – периодические с периодом функции, а тангенс и котангенс – периодические с периодом
функции:

Число является наименьшим положительным периодом синуса и косинуса, а число – наименьшим
положительным периодом тангенса и котангенса.

Для любого целого справедливы равенства

$[operatorname{tg}(alpha + beta) = frac{operatorname{tg}alpha + operatorname{tg}beta}{1 - operatorname{tg}alphaoperatorname{tg}beta},]$

$[operatorname{tg}(alpha - beta) = frac{operatorname{tg}alpha - operatorname{tg}beta}{1 + operatorname{tg}alphaoperatorname{tg}beta}.]$

$[cos{2alpha} = cos^2{alpha} - sin^2{alpha} = 2cos^2{alpha}-1 =1 - 2 sin^2{alpha},]$

$[operatorname{tg}2alpha = frac{2operatorname{tg}alpha}{1- operatorname{tg} ^2{alpha}},]$

$[sin 3alpha = 3sinalpha - 4sin^3{alpha},]$

$[cos 3alpha = 4cos^3alpha - 3cos{alpha},]$

$[operatorname{tg}3alpha=frac{3operatorname{tg}alpha - operatorname{tg}^3alpha}{1 - 3operatorname{tg}^2alpha}.]$

$[cos^2alpha = frac{1 + cos 2alpha}{2},]$

$[sin^2alpha = frac{1 - cos 2alpha}{2}.]$

$[sinleft(frac{pi}{2}-alpharight)=cosalpha,qquadsinleft(frac{pi}{2}+alpharight)=cosalpha,]$

$[cosleft(frac{pi}{2}-alpharight)=sinalpha,qquadcosleft(frac{pi}{2}+alpharight)=-sinalpha,]$

$[sinalpha + sinbeta = 2sinfrac{alpha + beta}{2}cosfrac{alpha - beta}{2},]$

$[sinalpha - sinbeta = 2sinfrac{alpha - beta}{2}cosfrac{alpha + beta}{2}.]$

$[cosalpha + cosbeta = 2cosfrac{alpha + beta}{2}cosfrac{alpha - beta}{2},]$

$[cosalpha - cosbeta = -2sinfrac{alpha + beta}{2}sinfrac{alpha - beta}{2}.]$

$[operatorname{tg}alpha + operatorname{tg}beta = frac{sin(alpha + beta)}{cosalphacosbeta},]$

$[operatorname{tg}alpha - operatorname{tg}beta = frac{sin(alpha - beta)}{cosalphacosbeta}.]$

$[sinalphacosbeta = frac{sin(alpha + beta) + sin(alpha - beta)}{2},]$

$[cosalphacosbeta = frac{cos(alpha + beta) + cos(alpha - beta)}{2},]$

$[sinalphasinbeta = frac{cos(alpha - beta) - cos(alpha + beta)}{2}.]$

$[sinalpha = frac{2operatorname{tg}frac{alpha}{2}}{1 + operatorname{tg}^2frac{alpha}{2}},]$

$[cosalpha = frac{1 - operatorname{tg}^2frac{alpha}{2}}{1 + operatorname{tg}^2frac{alpha}{2}}.]$

Источник

Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:

(blacktriangleright) Основные тождества: [begin{array}{|l|l|}
hline sin^2 alpha+cos^2 alpha =1& mathrm{tg}, alpha cdot
mathrm{ctg}, alpha =1 \
&(sinalphane 0, cosalphane 0)\[0.5ex]
hline &\
mathrm{tg}, alpha=dfrac{sin alpha}{cos alpha}
&mathrm{ctg}, alpha
=dfrac{cos alpha}{sin alpha} \&\
1+mathrm{tg}^2, alpha =dfrac1{cos^2 alpha} & 1+mathrm{ctg}^2, alpha=dfrac1{sin^2 alpha}\&\
(cosalphane 0)& (sinalphane 0) \
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формулы сложения углов: [begin{array}{|l|r|}
hline &\
sin{(alphapm beta)}=sinalphacdot cosbetapm sinbetacdot
cosalpha & cos{(alphapm beta)}=cosalphacdot cosbeta mp
sinalphacdot sinbeta\ &\
hline &\
mathrm{tg}, (alphapm beta)=dfrac{mathrm{tg}, alphapm
mathrm{tg}, beta}{1 mp mathrm{tg}, alphacdot
mathrm{tg}, beta} & mathrm{ctg}, (alphapmbeta)=-dfrac{1mp mathrm{ctg}, alphacdot mathrm{ctg}, beta}{mathrm{ctg}, alphapm mathrm{ctg}, beta}\&\
cosalphacosbetane 0&sinalphasinbetane 0\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формулы двойного и тройного углов: [begin{array}{|lc|cr|}
hline sin {2alpha}=2sin alphacos alpha & qquad &qquad & cos{2alpha}=cos^2alpha -sin^2alpha\
sin alphacos alpha =dfrac12sin {2alpha} && & cos{2alpha}=2cos^2alpha -1\
& & & cos{2alpha}=1-2sin^2 alpha\
hline &&&\
mathrm{tg}, 2alpha = dfrac{2mathrm{tg},
alpha}{1-mathrm{tg}^2, alpha} && & mathrm{ctg}, 2alpha
= dfrac{mathrm{ctg}^2, alpha-1}{2mathrm{ctg}, alpha}\&&&\
cosalphane 0, cos2alphane 0 &&& sinalphane 0,
sin2alphane 0\
hline &&&\
sin {3alpha}=3sin alpha -4sin^3alpha && &
cos{3alpha}=4cos^3alpha -3cos alpha\&&&\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формулы понижения степени: [begin{array}{|lc|cr|}
hline &&&\
sin^2alpha=dfrac{1-cos{2alpha}}2 &&&
cos^2alpha=dfrac{1+cos{2alpha}}2\&&&\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формулы произведения функций: [begin{array}{|c|}
hline \
sinalphasinbeta=dfrac12bigg(cos{(alpha-beta)}-cos{(alpha+beta)}bigg)\\
cosalphacosbeta=dfrac12bigg(cos{(alpha-beta)}+cos{(alpha+beta)}bigg)\\
sinalphacosbeta=dfrac12bigg(sin{(alpha-beta)}+sin{(alpha+beta)}bigg)\\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формулы суммы/разности функций: [begin{array}{|lc|cr|}
hline &&&\
sinalpha+sinbeta=2sin{dfrac{alpha+beta}2}cos{dfrac{alpha-beta}2}
&&&
sinalpha-sinbeta=2sin{dfrac{alpha-beta}2}cos{dfrac{alpha+beta}2}\&&&\
cosalpha+cosbeta=2cos{dfrac{alpha+beta}2}cos{dfrac{alpha-beta}2}
&&& cosalpha
-cosbeta=-2sin{dfrac{alpha-beta}2}sin{dfrac{alpha+beta}2}\&&&\
mathrm{tg}, alpha pm mathrm{tg},
beta=dfrac{sin{(alphapmbeta)}}{cosalphacosbeta} &&&
mathrm{ctg}, alphapm mathrm{ctg}, beta= — dfrac{sin{(alphapm beta)}}{sinalphasinbeta}\&&&\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: [begin{array}{|l|r|}
hline &\
sin{2alpha}=dfrac{2mathrm{tg}, alpha}{1+mathrm{tg}^2, alpha} & cos{2alpha}=dfrac{1-mathrm{tg}^2, alpha}{1+mathrm{tg}^2, alpha}\&\
cosalphane 0 & sinalphane 0\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формула вспомогательного аргумента: [begin{array}{|c|}
hline text{Частный случай}\
hline \
sinalphapm cosalpha=sqrt2cdot
sin{left(alphapm dfrac{pi}4right)}\\
sqrt3sinalphapm cosalpha=2sin{left(alphapm dfrac{pi}6right)}\\
sinalphapm sqrt3cosalpha=2sin{left(xpm dfrac{pi}3right)}\\
hline text{Общий случай}\
hline\
asinalphapm bcosalpha=sqrt{a^2+b^2}cdot sin{(alphapm
phi)}, cosphi=dfrac a{sqrt{a^2+b^2}}, sinphi=dfrac
b{sqrt{a^2+b^2}}\\
hline
end{array}]

Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.

Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.

(blacktriangleright) Вывод формулы косинуса разности углов (cos{(alpha
-beta)}=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta)

Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы (alpha) и (beta). Пусть этим углам соответствуют точки (A) и (B) соответственно. Тогда координаты этих точек: (A(cosalpha;sinalpha), B(cosbeta;sinbeta)).

Рассмотрим (triangle AOB: angle AOB=alpha-beta). По теореме косинусов:

(AB^2=AO^2+BO^2-2AOcdot BOcdot
cos(alpha-beta)=1+1-2cos(alpha-beta) (1)) (т.к. (AO=BO=R) – радиус окружности)

По формуле расстояния между двумя точками на плоскости:

(AB^2=(cosalpha-cosbeta)^2+(sinalpha-sinbeta)^2=cos^2alpha-2cosalphacosbeta+cos^2beta+)

(+sin^2alpha-2sinalphasinbeta+sin^2beta=big(cos^2alpha+sin^2alphabig)+big(cos^2beta+sin^2betabig)-2big(cosalphacosbeta+sinalphasinbetabig)=)

(=1+1-2big(cosalphacosbeta+sinalphasinbetabig) (2))

Таким образом, сравнивая равенства ((1)) и ((2)):

(1+1-2big(cosalphacosbeta+sinalphasinbetabig)=1+1-2cos(alpha-beta))

Отсюда и получается наша формула.

(blacktriangleright) Вывод остальных формул суммы/разности углов:

Остальные формулы с легкостью выводятся с помощью предыдущей формулы, свойств четности/нечетности косинуса/синуса и формул приведения (sin x=cos(90^circ-x)) и (cos x=sin (90^circ-x)):

1) (cos(alpha+beta)=cos(alpha-(-beta))=cosalphacos(-beta)+sinalphasin(-beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta)

2) (sin(alpha+beta)=cos(90^circ-(alpha+beta))=cos((90^circ-alpha)-beta)=)

(+cos(90^circ-alpha)cosbeta+sin(90^circ-alpha)sinbeta=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta)

3) (sin(alpha-beta)=sin(alpha+(-beta))=sinalphacos(-beta)+sin(-beta)cosalpha=sinalphacosbeta-sinbetacosalpha)

4) (mathrm{tg},(alphapmbeta)=dfrac{sin (alphapmbeta)}{cos
(alphapmbeta)}=dfrac{sinalphacosbetapmsinbetacosalpha}{cosalphacosbetampsinalphasinbeta}=)

разделим числитель и знаменатель дроби на (cosalphacosbetane
0)
(при (cosalpha=0 Rightarrow
mathrm{tg},(alphapmbeta)=mp mathrm{ctg},beta), при (cosbeta=0 Rightarrow
mathrm{tg},(alphapmbeta)=pm mathrm{ctg},alpha)):

(=dfrac{mathrm{tg},alphapmmathrm{tg},beta}{1mpmathrm{tg},alphacdot
mathrm{tg},beta})

Таким образом, данная формула верна только при (cosalphacosbetane 0).

5) Аналогично, только делением на (sinalphasinbetane 0), выводится формула котангенса суммы/разности двух углов.

(blacktriangleright) Вывод формул двойного и тройного углов:

Данные формулы выводятся с помощью предыдущих формул:

1) (sin
2alpha=sin(alpha+alpha)=sinalphacosalpha+sinalphacosalpha=2sinalphacosalpha)

2) (cos2alpha=cos(alpha+alpha)=cosalphacosalpha-sinalphasinalpha=cos^2alpha-sin^2alpha)

Используя основное тригонометрическое тождество (sin^2alpha+cos^2alpha=1), получим еще две формулы для косинуса двойного угла:

2.1) (cos2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha=cos^2alpha-(1-cos^2alpha)=2cos^2alpha-1)

2.2) (cos2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha=(1-sin^2alpha)-sin^2alpha=1-2sin^2alpha)

3) (mathrm{tg},2alpha=dfrac{sin2alpha}{cos2alpha}=dfrac{2sinalphacosalpha}{cos^2alpha-sin^2alpha}=)

разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alphane 0) (при (cosalpha=0 Rightarrow mathrm{tg},2alpha=0)):

(=mathrm{tg},2alpha=dfrac{2mathrm{tg},alpha}{1-mathrm{tg}^2,alpha})

Таким образом, эта формула верна только при (cosalphane 0), а также при (cos2alphane 0) (чтобы существовал сам (mathrm{tg},2alpha)).

4) (mathrm{ctg},2alpha=dfrac{cos^2alpha-sin^2alpha}{2sinalphacosalpha}=dfrac{mathrm{ctg}^2,alpha-1}{2mathrm{ctg},alpha})

По тем же причинам при (sinalphane 0, sin2alphane 0).

5) (sin3alpha=sin(alpha+2alpha)=sinalphacos2alpha+cosalphasin2alpha=sinalpha(1-2sin^2alpha)+cosalphacdot
2sinalphacosalpha=)

(=sinalpha-2sin^3alpha+2sinalpha(1-sin^2alpha)=3sinalpha-4sin^3alpha)

6) Аналогично выводится, что (cos3alpha=cos(alpha+2alpha)=4cos^3alpha-3cosalpha)

(blacktriangleright) Вывод формул понижения степени:

Данные формулы — просто по-другому записанные формулы двойного угла для косинуса:

1) (cos2alpha=2cos^2alpha-1 Rightarrow
cos^2alpha=dfrac{1+cos2alpha}2)

2) (cos2alpha=1-2sin^2alpha Rightarrow
sin^2alpha=dfrac{1-cos2alpha}2)

Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна (2) в левой части, а в правой части степень косинуса равна (1).

(blacktriangleright) Вывод формул произведения функций:

1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:

(cos(alpha-beta)=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta)

(cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta)

Получим: (cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=2cosalphacosbeta
Rightarrow
cosalphacosbeta=dfrac12Big(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)Big))

2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:

(sinalphasinbeta=dfrac12Big(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)Big))

3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:

(sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+sinbetacosalpha)

(sin(alpha-beta)=sinalphacosbeta-sinbetacosalpha)

Получим: (sinalphacosbeta=dfrac12Big(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)Big))

(blacktriangleright) Вывод формул суммы/разности функций:

Обозначим (alpha+beta=x, alpha-beta=y). Тогда: (alpha=dfrac{x+y}2, beta=dfrac{x-y}2). Подставим эти значения в предыдущие три формулы:

1) (2cos{dfrac{x+y}2}cos{dfrac{x-y}2}=cos x+cos y)

Получили формулу суммы косинусов.

2) (2sin {dfrac{x+y}2}sin {dfrac{x-y}2}=cos y-cos x)

Получили формулу разности косинусов.

3) (2sin {dfrac{x+y}2}cos {dfrac{x-y}2}=sin y+sin x)

Получили формулу суммы синусов.

4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:

(sin x-sin y=sin x+sin(-y)=2sin {dfrac{x-y}2}cos
{dfrac{x+y}2})

5) (mathrm{tg},alphapmmathrm{tg},beta=dfrac{sinalpha}{cosalpha}pmdfrac{sinbeta}{cosbeta}=dfrac{sinalphacosbetapmsinbetacosalpha}{cosalphacosbeta}=dfrac{sin(alphapmbeta)}{cosalphacosbeta})

Аналогично выводится формула суммы котангенсов.

(blacktriangleright) Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:

1) (sin2alpha=dfrac{sin2alpha}1=dfrac{2sinalphacosalpha}{sin^2alpha+cos^2alpha}=)

(разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alphane 0) (при (cosalpha=0) и (sin2alpha=0)):)

(=dfrac{2mathrm{tg},alpha}{1+mathrm{tg}^2,alpha})

2) Так же, только делением на (sin^2alpha), выводится формула для косинуса.

(blacktriangleright) Вывод формул вспомогательного угла:

Данные формулы выводятся с помощью формул синуса/косинуса суммы/разности углов.

Рассмотрим выражение (asin x+bcos x). Домножим и разделим это выражение на (sqrt{a^2+b^2},):

(asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2}left(dfrac a{sqrt{a^2+b^2}}sin x+
dfrac b{sqrt{a^2+b^2}}cos x right)=sqrt{a^2+b^2}big(a_1sin x+b_1cos xbig))

Заметим, что таким образом мы добились того, что (a_1^2+b_1^2=1),

т.к. (left(dfrac a{sqrt{a^2+b^2}}right)^2+left(dfrac
b{sqrt{a^2+b^2}}right)^2=dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1)

Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол (phi), для которого, например, (cos phi=a_1, sin phi=b_1). Тогда наше выражение примет вид:

(sqrt{a^2+b^2},big(cos phi sin x+sin phicos
xbig)=sqrt{a^2+b^2},sin (x+phi)) (по формуле синуса суммы двух углов)

Значит, формула выглядит следующим образом: [{large{asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2},sin (x+phi),}} quad text{где } cos phi=dfrac
a{sqrt{a^2+b^2}}] Заметим, что мы могли бы, например, принять за (cos phi=b_1, sin phi=a_1) и тогда формула выглядела бы как [asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2},cos (x-phi)]

(blacktriangleright) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:

(a) sin xpmcos x=sqrt2,left(dfrac1{sqrt2}sin
xpmdfrac1{sqrt2}cos xright)=sqrt2, sin
left(xpmdfrac{pi}4right))

(b) sqrt3sin xpmcos x=2left(dfrac{sqrt3}2sin xpm
dfrac12cos xright)=2, sin left(xpmdfrac{pi}6right))

Источник

Основные тригонометрические формулы

Содержание

Справочник по математике для школьников тригонометрия связи между тригонометрическими функциями

Связи между тригонометрическими функциями одного угла

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Тригонометрические функции двойного угла

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Выражение тангенса угла через синус и косинус двойного угла

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Тригонометрические функции тройного угла

Связи между тригонометрическими функциями одного угла

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Тригонометрические функции двойного угла

Формула	Название формулы
sin 2α = 2 sin α cos α	Синус двойного угла
cos 2α = cos ²α – sin²α cos 2α = 2cos ²α – 1 cos 2α = 1 – 2sin ²α	Косинус двойного угла
	Тангенс двойного угла

Синус двойного угла

sin 2α = 2 sin α cos α

Косинус двойного угла

cos 2α = cos ²α – sin²α

cos 2α = 2cos ²α – 1

cos 2α = 1 – 2sin ²α

Тангенс двойного угла

Основные тригонометрические формулы тригонометрические функции двойного угла

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формула	Название формулы
	Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла
	Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла
	Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Формула	Название формулы
	Выражение куба синуса через синус угла и синус тройного угла
	Выражение куба косинуса через косинус угла и косинус тройного угла

Выражение куба синуса через синус угла и синус тройного угла

Выражение куба косинуса через косинус угла и косинус тройного угла

Выражение тангенса через синус и косинус двойного угла

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Сумма синусов

Разность синусов

Сумма косинусов

Разность косинусов

Сумма тангенсов

Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Разность тангенсов

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Произведение синусов

Произведение косинусов

Произведение синуса и косинуса

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Формула	Название формулы
	Выражение синуса угла через тангенс половинного угла
	Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла
	Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла

Тригонометрические функции тройного угла

Формула	Название формулы
sin 3α = 3sin α – 4sin³α	Синус тройного угла
cos 3α = 4cos³α –3cos α	Косинус тройного угла
	Тангенс тройного угла